数值分析第二章上机题之第二题

用列主元消元法解线性方程组AX=b的MATLAB程序function[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('请注意：因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.') endend习题3.33.在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[1 1 1;1 3 9;1 7 49];b=[6;5;2];[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)运行后输出结果请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.RA = 3RB = 3n = 3X = 6.3750-0.3333-0.0417将矩阵A进行直接LU分解的MATLAB程序function hl=zhjLU(A)[n n]=size(A);RA=rank(A);if RA~=ndisp('请注意：因为A的n阶行列式hl等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA如下:'),RA,hl=det(A); returnendif RA==nfor p=1:nh(p)=det(A(1:p,1:p));endhl=h(1:n);for i=1:nif h(1,i)==0disp('请注意：因为A的r阶主子式等于零，所以A不能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl 依次如下：'),hl;RAreturnendendif h(1,i)~=0disp('请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：')for j=1:nU(1,j)=A(1,j);endfor k=2:nfor i=2:nfor j=2:nL(1,1)=1;L(i,i)=1;if i>jL(1,1)=1;L(2,1)=A(2,1)/U(1,1);L(i,1)=A(i,1)/U(1,1);L(i,k)=(A(i,k)-L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k))/U(k,k);elseU(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j);endendendendhl;RA,U,Lendend习题3.41.(1) 在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[2 4 -6;1 5 3;1 3 2];hl=zhjLU(A)运行后输出结果请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：RA = 3U =2.0000 4.0000 -6.00000 5.0000 6.00000 0 3.8000L =1.0000 0 00.5000 1.0000 00.5000 0.2000 1.0000hl =2 6 18(2) 在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[1 1 6;-1 2 9;1 -2 3];hl=zhjLU(A)运行后输出结果请注意：因为A的各阶主子式都不等于零，所以A能进行LU分解.A的秩RA和各阶顺序主子式值hl依次如下：RA =3U = 1.0000 1.0000 6.00000 2.0000 15.00000 0 19.5000L = 1.0000 0 0-1.0000 1.0000 01.0000 -1.5000 1.0000hl = 1 3 36用P范数讨论AX=b解和A的性态的MATLAB程序function Acp=zpjwc(A,jA,b,jb,p)Acp=cond(A,p);dA=det(A);X=A\b;dertaA=A-jA;PndA=norm(dertaA,p);dertab=b-jb;Pndb=norm(dertab,p);if Pndb>0jX=A\jb;Pnb=norm(b,p);PnjX=norm(jX,p);dertaX=X-jX;PnjdX=norm(dertaX,p);jxX=PnjdX/PnjX;PnjX=norm(jX,p);PnX=norm(X,p);jxX=PnjdX/PnjX;xX=PnjdX/PnX;Pndb=norm(dertab,p);xAb=Pndb/Pnb;Pnbj=norm(jb,p);xAbj=Pndb/Pnbj;Xgxx=Acp*xAb;endif PndA>0jX=jA\b;dertaX=X-jX;PnX=norm(X,p);PnjdX=norm(dertaX,p);PnjX=norm(jX,p);jxX=PnjdX/PnjX;xX=PnjdX/PnX;PnjA=norm(jA,p);PnA=norm(A,p);PndA=norm(dertaA,p);xAbj=PndA/PnjA;xAb=PndA/PnA;Xgxx=Acp*xAb;endif (Acp>50)&&(dA<0.1)disp('请注意：AX=b是病态的，A的P条件数Acp,A的行列式值dA，解X，近似解jX，解的相对误差jxX，解的相对误差估计值Xgxx，b或A的相对误差xAb依次如下：')Acp,dA,X,jX',xX',jxX',Xgxx',xAb',xAbj'elsedisp('请注意： AX=b是良态的，A的P条件数Acp,A的行列式值dA，解X，近似解jX，解的相对误差jxX，解的相对误差估计值Xgxx，b或A的相对误差xAb依次如下：')Acp,dA,X',jX',xX',jxX',Xgxx',xAb',xAbj'end习题3.61.在MATLAB工作窗口输入程序>>A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];jA=A;b=[32 23 33 31]';jb=[32.1 22.9 22.2 30.9]';Acp=zpjwc(A,jA,b,jb,1) 运行后输出结果请注意：AX=b是良态的，A的P条件数Acp,A的行列式值dA，解X，近似解jX，解的相对误差jxX，解的相对误差估计值Xgxx，b或A的相对误差xAb依次如下：Acp =4.4880e+03dA =1.0000ans =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000ans =-99.8000 172.7000 -50.0000 31.6000xX =88.5250jxX =1.0000Xgxx =418.6286xAb =0.0933xAbj =0.1027Acp =4.4880e+03用雅可比迭代解线性方程组AX=b的MATLAB主程序function X=jacdd(A,b,X0,P,wucha,max1)[n m]=size(A);for j=1:ma(j)=sum(abs(A(:,j)))-2*(abs(A(j,j)));endfor i=1:nif a(i)>=0disp('请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛')returnendendif a(i)<0disp('请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛') endfor k=1:max1k;for j=1:mX(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:m])*X0([1: j-1,j+1:m]))/A(j,j);endX;djwcX=norm(X'-X0,P); xdwcX=djwcX/(norm(X',P)+eps); X0=X';X1=A\b;if (djwcX<wucha)&&(xdwcX<wucha)disp('请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下：') breakendendif (djwcX>wucha)&&(xdwcX>wucha)disp('请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1')enda,X=X;jX=X1',习题4.22.（1）取最大迭代次数Max1=100在MATLAB工作窗口输入程序>>A=[23 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];b=[1.7;8.3;4.2];X0=[0 0 0]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100)运行后输出结果请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下：a =-21 -8 -1jX =0.2159 1.0711 1.0974X =0.2159 1.0710 1.0973取最大迭代次数Max=5在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[23 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];b=[1.7;8.3;4.2];X0=[0 0 0]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,5)运行后输出结果请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1a =-21 -8 -1jX =0.2159 1.0711 1.0974X =0.2152 1.0697 1.0959（2）取最大迭代次数Max1=100在MATLAB工作窗口输入程序>>A=[15 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 0.5];b=[7.2;8.3;4.2];X0=[0 0 0]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100) 运行后输出结果请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛取最大迭代次数Max1=5在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[15 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 0.5];b=[7.2;8.3;4.2];X0=[0 0 0]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,5) 运行后输出结果请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛（3）取最大迭代次数Max1=100在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];b=[7.2;8.3;4.2];X0=[0 0 0]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100) 运行后输出结果请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下：a =-8 -8 -1jX =1.1000 1.2000 1.3000X =1.0998 1.1998 1.2998取最大迭代次数Max1=5在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];b=[7.2;8.3;4.2];X0=[0 0 0]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,5)运行后输出结果请注意：系数矩阵A是严格对角占优的，此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1a =-8 -8 -1jX =1.1000 1.2000 1.3000X =1.0951 1.1951 1.2941（4）取最大迭代次数Max1=100在MATLAB工作窗口输入程序>>A=[1 2 3;2 5 2;3 1 5];b=[14;18;20];X0=[0 0 0]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100)运行后输出结果请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛取最大迭代次数Max1=5在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[1 2 3;2 5 2;3 1 5];b=[14;18;20];X0=[0 0 0]';X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,5)运行后输出结果请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛用高斯-塞德尔迭代定义解线性方程组的MATLAB主程序function X=gsdddy(A,b,X0,P,wucha,max1)D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1); dD=det(D);if dD==0disp('请注意：因为对角矩阵D奇异，所以此方程组无解.')elsedisp('请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解.')iD=inv(D-L); B2=iD*U;f2=iD*b;jX=A\b;X=X0; [n m]=size(A);for k=1:max1X1= B2*X+f2; djwcX=norm(X1-X,P);xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps);if (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)breakelsek;X1';k=k+1;X=X1;endendif (djwcX<wucha)|(xdwcX<wucha)disp('请注意：高斯-塞德尔迭代收敛,此A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下： ')elsedisp('请注意：高斯-塞德尔迭代的结果没有达到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X如下： ')X=X';jX=jX'endendX=X';D,U,L,jX=jX'习题4.33.（1）在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[11 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 0.5];b=[7.2 ;8.3;4.2];X0=[0 0 0]';X=gsdddy(A,b,X0,inf,0.00001,100)运行后输出结果请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解.请注意：高斯-塞德尔迭代收敛,此A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下：D =11.0000 0 00 10.0000 00 0 0.5000U =0 1 20 0 20 0 0L =0 0 01 0 01 1 0jX =15.8529 17.3941 74.8941X =15.8518 17.3928 74.8892（2）在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[4 4 -5 7;2 -8 3 -2;4 5 -13 16;7 -2 2 3];b=[5;2;-1;21];X0=[0 0 0 0]';X=gsdddy(A,b,X0,inf,0.00001,100) 运行后输出结果请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解.请注意：高斯-塞德尔迭代的结果没有达到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X如下：jX =0.3446 0.7555 4.7894 3.5066D =4 0 0 00 -8 0 00 0 -13 00 0 0 3U =0 -4 5 -70 0 -3 20 0 0 -160 0 0 0L =0 0 0 0-2 0 0 0-4 -5 0 0-7 2 -2 0jX =0.34460.75554.78943.5066X =1.0e+26 *-0.7417-0.33740.07681.4545用谱半径判别超松弛迭代法产生的迭代序列的敛散性的MATLAB主程序function H=ddpbj(A,om)D=diag(diag(A));U=-triu(A,1);L=-tril(A,-1); iD=inv(D-om*L);B2=iD*(om*U+(1-om)*D);H=eig(B2);mH=norm(H,inf);if mH>=1disp('请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散,谱半径mH和B的所有的特征值H如下：')elsedisp('请注意：因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛,谱半径mH和B的所有的特征值H如下：')endmH习题4.41.（1）当取ω=1.15时，在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[7 1 -1 -2;2 8 1 3;1 -2 -4 -1;-1 3 2 7];H=ddpbj(A,1.15)运行后输出结果请注意：因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛,谱半径mH和B的所有的特征值H如下：mH =0.1608H =0.0715 + 0.1440i0.0715 - 0.1440i-0.1308 + 0.0498i-0.1308 - 0.0498i（2）当取ω=1.15时，在MATLAB工作窗口输入程序>> A=[7 1 -1 -2;2 8 1 3;1 -2 -4 -1;-1 3 2 7];H=ddpbj(A,5)运行后输出结果请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散,谱半径mH和B的所有的特征值H如下：mH =13.1892H =-13.1892 + 0.0000i-2.6969 + 0.0000i0.2460 + 2.6714i0.2460 - 2.6714i。

东华大学研究生数值分析试题（上机部分）A 卷2008年12月 时间：60分钟班级 学号 机号 姓名 得分 注意：要求写出M 函数（如果需要）、MATLAB 命令和计算结果。

1. 求下列方程组在0<α, β<1中的解⎩⎨⎧-=+=βαββααsin 2.0cos 7.0cos 2.0sin 7.0 命令fun=inline('[x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2)),x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2))]','x'); [x,f,h]=fsolve(fun,[0.5 0.5]) 结果α=0.5265，β=0.50792命令>> fun=inline('c(1)+c(2)*x.^2','c','x'); >> x=[1.1 1.3 1.4 1.6 1.8]; >> y=[26 22 23 24 25];>> c=lsqcurvefit(fun,[0 0],x,y) 结果 c =23.7256 0.12873．求解下列微分方程组2(0)2013(0)1x x yx t y x yy '=-=⎧<<⎨'=+=⎩(结果只要求写出t =1时的解) 命令>> fun=inline('[y(1)-2*y(2);3*y(1)+y(2)]','t','y'); >> [t,y]=ode45(fun,[0 1], [2 1]) 结果x(1)=-5.6020, y(1)=2.15634．用定步长Gauss 积分法(课本123页)计算积分31e ln(1)x x dx -+⎰的近似值（等分数取4，每段取2个Gauss 点）。

命令fun=inline('exp(-x).*log(1+x)','x'); nagsint(fun,1,3,4,2) 结果 0.30865．矩阵改进平方根分解(课本25页)的计算公式为: d 1=a 11, 对i =2, 3, ⋯, n ,iki k ik ii i j ij ij j k jk ik ij ij l s a d i j d s l l s a s ∑∑-=-=-=-==-=1111,1,,2,1 ,/ ,试编写矩阵改进平方根分解的程序，并求矩阵1111551514A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的改进平方根分解。

1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 5设[]2(),f x Ca b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21m ax ()()m ax ().8a x b a x bf x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为10101010()()()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x bx af a f b a b x a --=+--1()()0()0f a f b L x ==∴= 又 插值余项为1011()()()()()()2R x f x L x f x x x x x ''=-=--011()()()()2f x f x x x x x ''∴=--[]012012102()()1()()21()41()4x x x x x x x x x x b a --⎧⎫≤-+-⎨⎬⎩⎭=-=- 又 ∴21m ax ()()m ax ().8a x b a x bf x b a f x ≤≤≤≤''≤- 16．求一个次数不高于4次的多项式P （x ），使它满足(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式0101010,10,10,1x x y y m m ======11300201001012()()()()(12)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x xx x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑210110102()(12)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-2021()(1)()(1)x x x x x xββ=-=-22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+设22301()()()()P x H x A x x x x =+--其中，A 为待定常数3222(2)1()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++-14A ∴= 从而221()(3)4P x x x =-19．求4()f x x =在[,]a b 上分段埃尔米特插值，并估计误差。

上机实习要求: 编程可以用C、C++、Matlab, 但不允许使用内置函数完成主要功能。

第2 章1. 已知函数表如下x 10 11 12 13ln(x) 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649试分别用线性插值与二次插值计算ln11.75 的近似值，并估计截断误差.2. 已知函数表x 0.1 0.2 0.3 0.4sin(x) 0.09983 0.19867 0.29552 0.38942试分别用Newton 前插与后插公式（1、2、3 阶）计算sin(0.22)的近似值。

要求，比较所得结果，思考如何选取节点。

3．构造函数表cos(x)：已知节点x k=k⋅/20 (k=0,1,…,20)处的函数值. 用一次和二次Lagrange 插值公式求cos(x)在x k_i(i=1,2,3)( x k_i=x k+( x k +1- x k)/4⋅i). 请用你计算的值连成函数图形，与标准图形比较。

4．已知直升飞机旋转机翼外形曲线轮廓上的某些型值点（见表），及端点处的一阶导数值y'(x) =. , y'(x) = .0 1 86548 18 0 046115试计算该曲线上横坐标为2,4,6,12,16,30,60,110,180,280,400,515 处的纵坐标（要求该曲线具有二阶光滑度）.k 0 1 2 3 4 5 6x k 0.52 3.1 8.0 17.95 28.65 39.62 50.65y k 5.28794 9.4 13.84 20.2 24.9 28.44 31.1k 7 8 9 10 11 12 13x k 78 104.6 156.6 208.6 260.7 312.5 364.4y k 35 36.5 36.6 34.6 31.0 26.34 20.9k 14 15 16 17 18x k 416.3 468 494 507 520y k 14.8 7.8 3.7 1.5 0.2。

第二章习题参考答案1.解： 由于20Ax b−≥，极小化2b Ax −与极小化22Ax b −是等价的。

令22()(,)(,)2(,)x Ax b Ax Ax b b Ax b ϕ=−=+−，对于任意的n R y x ∈,和实数α，)()(),()()(,*222*2****x Ay a x Ay Ay a x ay x b Ax x ϕϕϕϕ≥+=+=+=则有满足若这表示处达到极小值。

在*)(x x ϕ反之，若必有处达到极小，则对任意在nR y x ay x ∈+*)(ϕ0),(2),(2),(20)(**0*=−=+−=+=Ay b Ax Ay Ay a Ay b Ax daay x d a 即ϕ故有 b Ax =*成立。

以上证明了求解,22b Ax b Ax −=等价于极小化即。

等价于极小化2b Ax b Ax −= 推导最速下降法过程如下：),/(),(0),(),(,0),,2)(222)()(11k T k T k T k k T k T k T k k T k k k T k k kT k T k T T x x k r AA r AA r AA r a r AA r AA a r AA r r aA x da dx a r aA x x r A Ax b A Ax A b A x grad x x k==+−=++==−=−=−++=最终得到得出（由取得极小值。

使求出取的负梯度方向，且下降最快的方向是该点在ϕϕϕ给出的算法如下：1）)(000Ax b A r A R x T T n −=∈，计算给定； 2）L ,2,1,0=k 对于）转到否则数。

为一事先给定的停机常则停止；其中若2),/(),(10,11kT k k k k T k k k k k k k k k r A p Ax b r r A a x x Ap Ap p p a k k r =−=+==+=>≤−−εε2.证明 1） 正定性由对称正定矩阵的性质，(),0x Ax ≥（当且仅当x ＝0时取等号），所以 ()12,0Axx Ax =≥（当且仅当x ＝0时取等号）2） 齐次性()()()121122,(),,AA xx A x x Ax x Ax x αααααα⎡⎤====⎣⎦3）o1方法（一）A 是对称正定矩阵，得到(,())0x y A x y λλ++≥，把它展开如下2(,)(,)(,)(,)0y Ay x Ay y Ax x Ax λλλ+++≥考虑到(,)(,)(,)x Ay Ax y y Ax ==，把上式看成关于λ的一元二次方程，则式子等价于24(,)4(,)(,)0x Ay x Ax y Ay ∆=−≤因此1/21/2(,)(,)(,)x Ay x Ax y Ay ≤所以1/21/221/21/2((,)(,))(,)(,)2(,)(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)(,)((),())x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ax y Ay x Ay x Ax y Ay x Ay y Ax x y A x y +=++≥++=+++=++两边开平方即可得到AA A x yx y +≤+因此，1/2(,)A x Ax x =是一种向量范数。

第二章插值法1.当兀= 1—2时,/（%） = 0-3,4^/（%）的二次插值多项式。

解：X。

= I/】=—l,x2 = 2, /Uo) =0,/(^)=-3,/(X2) = 4;一丄(兀+i)(一2)，0（人）=Oo — xJOo — xJ 2加）=（_兀）（—心=丄（一1）（一2）（兀一兀）（州一呂）6(A-.VoX.V-Vj l(Y_1)(x+1)(x2-x Q)(x2-x t) 3则二次拉格朗口插值多项式为2厶⑴=£）恥）k=0=-3/0(X)+4/2(X)1 4= --U- 1)(A—2) + -(x-l)(x + 1)5r 3 7=-X" +—x--6 2 3/（x） = liix2.用线性插值及二次插值计算1110.54的近似值。

解：由表格知，x0 = 0・4，兀=0.59X2 = 0.6, x3 = 0.7,x4 = 0.8; f(x Q) = -0.916291,/(xj = -0.693147 /(A) = —0.510826,/a)= -0.356675 /(x4) =-0.223144若采用线性插值法计算hiO.54即/(0.54),则0.5 <0.54 <0.6/1(x) = ^—^ = -10(.v-0.6) 人一无X —X /.(%) = -__ =-10(x-0.5)厶⑴=/U1XW + /(x 2)/2(x)=6.93147(x — 0.6) - 5・ 10826(.— 0.5)・・・厶(0.54) = -0.6202186 « -0.620219若采用二次插值法计算lnO.54时, (V f _亠)=50(x-0.5)(x- 0.6)(x Q -xj(x 0-x 2)(工7。

)(工_亠)=-100(x- 0.4)(x — 0.6)(兀一 Xo )(X 】一XJ厶(x) = /UoVoW+/U1XW+/(x 2)/2(x )=-50 x 0.916291(%-0.5)(A -0.6)+ 69.3147(x-0.4)(x-0.6)-0.510826 x50(x-0.4)(x-0.5).14(0.54) = -0.61531984 « -0.615320 3.给全cosx,0 <x<90°的函数表,步长/? = r = （l/60）\若函数表具有5位有效数字，研 究用线性插值求cos 兀近似值时的总误差界。

第二章1.试证明nn R⨯中的子集“上三角阵”对矩阵乘法是封闭的。

证明：设n n R B A ⨯∈,为上三角阵，则)( 0,0j i b a ij ij >== C=AB ，则∑==nk kjik ij b ac 1)( 0j i c ij >=∴，即上三角阵对矩阵乘法封闭。

2.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=512103421121A ，求A 的行空间)(T A R 及零空间N(A)的基。

解：对T A 进行行变换，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00100010121420050000121501131242121TA 3)(=∴T A r ，)(T A R 的基为[][][]T T T 5121,03421121321=-==ααα，由Ax=0可得[]Tx 0012-=∴N(A)的基为[]T0012-3.已知矩阵321230103A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算A 的谱半径()A ρ。

解：2321()det()230(3)(64)013A f I A λλλλλλλλ---=-=--=--+=--max 35()3 5.A λρ=+=+4、试证明22112212211221,,,R E E E E E E ⨯+-是中的一组基。

，其中11121001,0000E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22210000,1001E E ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

1222112112211221134112212211221234134411221221122123410010000,,,00001001010110100000E E E E E E E E k k k k k k k E E E E E E k k k k k k E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎛⎫++++-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭++++-解：，（）（）令因此（）（0000O E ⎛⎫== ⎪⎝⎭）12331112212212211221111221122122112222112212211221 0 ,22,,,k k k k a a A V a a a a a aA a a E E E E E E R E E E E E E ⨯⇔====⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+-=+++-+∴+-对于任意二阶实矩阵有（）（）是中的一组基。

1、设函数()f x 的导数满足'0()m f x M <≤≤，且0)(=x f 的根存在，x 任意，证明：任取2(0,)Mλ∈，迭代格式 1()k k k x x f x λ+=-对任意初值0x 均收敛于0)(=x f 的根*x 。

证明：由题意可取定义域为R 。

由于0)('>x f ，0)('>x f 为单调函数，又0)(=x f 的根存在，所以方程0)(=x f 的根*x 是唯一的。

由迭代格式1()k k k x x f x λ+=-可以得到迭代函数)()(x f x x λϕ-=且|)('1||)('|x f x λϕ-=又'0()m f x M <≤≤及M20<<λ得 2)('0<≤≤<M x f m λλλ所以有 11)('111<-≤-≤-<-m x f M λλλ 故 1|}1||,1max{||)('|<--=≤M m L x λλϕ 此外，显然有()x R x R ϕ∀∈⇒∈由定理知迭代)()(111---=-=k k k k x x f x x ϕλ对任意初值0x 均收敛于0)(=x f 的根*x 。

2.提示：()22cos 2133x x ϕ'=≤<3.取迭代函数()[1,2]x x ϕ=∈讨论之。

4.由101kk L x p x x L-≤--确定k,迭代次数59.5.迭代公式及区间为()[]11,1.5,2x x ϕ=+。

7、2cos 2x x =≤，可以界定根的范围，用Newton 迭代公式及定理2-6做；8.三个根：[]()21,0,,*0.45896x x e x ϕ-=≈- ；[]()20,1,,*0.9100x x e x ϕ=≈9.取()n f x x a =-，当0a >时，取区间[0,1]a +，用定理6做，当0a <时，由()1n=-11提示：因为()()2233x x a x x aϕ+=+用定理2.4)33a a a aϕ+==+()()()()()()()()()()22222223333633361331101x x a x x a x x x a x ax x x a x x ax x x x a ϕϕϕϕϕϕϕ+=⇔+=++'++=+'⇒=-+'⇒==-=<收敛，由(3123kk kx x x a+=+可得12.()()()()()()()()()()()()()()()()()222******1*22*****1*2***2*3(),()2'()2!()'()'()2'()'()'()2()'()2k k kk k k kk k k k k k k kkk k k kkk f f y x x x f y f x f x y x y x f x f x f f y x x y x y x y x y x f x f x f x y x f f x f x y x f x y x f x x f f x ξξξξξξ+'''''-=-=+-+-'''∴-=--=------''⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭-''''=-+ ()()()()()2*13*121*32()2'()()()()4'()2'()k k k k k k f x x f x x x f f f f x x f x f x ξξξξξ⎛⎫''⨯- ⎪⎝⎭''-''''⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭()2**13**1()lim2'()k k kx x f x f x xx+→∞''⎛⎫-= ⎪⎝⎭- 13.提示：借助()()()()**,0mf x x xg x g x =-≠代入*1k xx +-中约化。

郑州大学研究生课程（2011-2012学年第一学期）数值分析Numerical Analysis习题课第二章代数插值代数插值问题：设函数y=f (x )定义在区间[a, b]上，而x 0,x 1,…,x n 是在[a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为y i =f (x i ),i=0,1,…n.求一个次数不超过n 次的多项式P n (x)，使它满足() (0,1,) (2.5)n i i P x y i n =="则称P n (x)为f (x )的n次代数插值多项式. 求满足以上条件多项式P n (x)的问题叫做代数插值问题. 称x 0,x 1,…,x n 为插值节点，[a, b]为插值区间，（2.5）为插值条件.一、要点回顾§2.2 代数插值多项式的存在唯一性定理1：n次代数插值问题的解是存在且惟一的.证：因为x,x1,…,x n是在[a, b]上取定的n+1个互异节点,由例2.1.1中分析过程可知，代数方程组的解存在唯一，从而满足插值条件(2.5)的n次代数插值多项式P n(x)也是存在唯一的.n次插值由抛物插值中构造性方法启发，解决一般的n 次代数插值问题.分别构造x 0, x 1, …, x n 上的n 次插值基函数l 0(x), l 1(x), …, l n (x),满足1,0,1,2,,()0i j ij i j n l x i j δ==⎧==⎨≠⎩" 　，1…l n (x )………………0…100l 2(x )0…010l 1(x )0…001l 0(x )x n …x 2x 1x 0节点基函数n次插值基函数§2.3 拉格朗日插值方法N次插值0110110()()()()()()()()(),0,1,,(2.11)i i n i i i i i i n n jij j j ix x x x x x x x l x x x x x x x x x x xi n x x −+−+=≠−−−−=−−−−−==−∏""""" 类似可得节点x i 对应的n 次插值基函数00110()()()()()(2.12)n n n ni i i P x l x y y l x y l x y l x ==+++=∑" 从而可得n 次代数插值多项式显然P n (x )是次数不超过n 的多项式，且P n (x i )=y i (i=0,1,…,n)§2.3 拉格朗日插值方法线性插值误差定理2.1设f (x )在[a,b ]上一阶导数连续，且存在二阶导数, x 0, x 1为[a , b ]上两个互异的节点, P 1(x )为满足P 1(x i ) = f (x i ) (i =0,1)的线性插值多项式，则对于任何x ∈[a , b ], 至少存在一点ξ∈[a , b ]，使得1101"()()()()()()(2.13)2!f R x f x P x x x x x ξ=−=−− §2.3 拉格朗日插值方法插值误差定理定理3设f (x )在[a,b ]上n 阶导数连续，且存在n +1阶导数, x 0, x 1 ,…, x n 为[a , b ]上n +1个互异的节点, P n (x )为满足P n (x i ) = f (x i ) (i=0,1,…,n )的n 次插值多项式，则对于任何x ∈[a , b ], 至少存在一点ξ∈[a , b ]，使得(1)01()()()()()()()(2.14)(1)!n n n n f R x f x P x x x x x x x n ξ+=−=−−−+" §2.3 拉格朗日插值方法§2.4 牛顿插值差商的定义和性质定义2.4.1.称010101()()[,]. (2.16)f x f x f x x x x −=−011201202[,][,][,,]. (2.17)f x x f x x f x x x x x −=−f(x)关于点x 0,x 1的一阶差商。