备用题三角函数吕维留

三角函数部分下考题之阳早格格创做πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ）A ．背左仄移5π12个少度单位B ．背左仄移5π12个少度单位C ．背左仄移5π6个少度单位D ．背左仄移5π6个少度单位x a =与函数()sin f x x =战()cos g x x =的图像分别接于M N ，二面，则MN 的最大值为（ B ） A ．1BC D ．23.()2tan cot cos x x x +=( D )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x02,sin απαα≤≤，则α的与值范畴是：( C )（Ａ）,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ｂ）,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭（Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ｄ）3,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭sin y x =（x R ∈）的图象上所有面背左仄止移动3π个单位少度，再把所得图象上所有面的横坐标收缩到本去的12倍（纵坐标没有变），得到的图象所表示的函数是C（A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π=+，x R ∈（C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)32y x π=+，x R ∈5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则D（A ）c b a << （B ）a c b << （C ）a c b << （D ）b a c <<sin(2)3y x π=+的图象按背量α仄移后所得的图象闭于面(,0)12π-核心对于称，则背量α的坐标大概为（ C ） A ．(,0)12π-B ．(,0)6π-C ．(,0)12πD ．(,0)6π8.已知cos （α-6π）+sinα=的值是则)67sin(,354πα-（A ）-532（B ）532(C)-54 (D)549.（湖北）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按背量(,3)3π仄移得到图象F ',若F '的一条对于称轴是曲线4x π=,则θ的一个大概与值是AA.π125B. π125-C.π1211 D.1112π-2()sin cos f x x x x =正在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C )A.1B.12+C.3211.函数02x π≤≤)的值域是B（A ）] (B)[-1,0] （C ）]（D ）]12.函数f(x)=cosx(x)(x ∈R)的图象按背量(m,0) 仄移后，得到函数y=-f′(x)的图象，则m 的值不妨为AA.2πB.πC.－πD.－ 2π13.正在共一仄里曲角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象战曲线21=y 的接面个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4,5sin 2cos -=+a a 则a tan =B（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2-15.已知函数y =2sin(ωx+φ)(ω>0)正在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ） A. 1 B. 2C.1/2D. 1/316.0203sin 702cos 10--=（ C ）A.12B. 22C. 2D.3217.函数f(x)＝3sin x +sin(2+x)的最大值是 218.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对于边，背量m ＝（1,3-），n ＝（cosA,sinA ）.若m ⊥n ，且acosB+bcosA=csinC ，则角B ＝ 6π.19.()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω=．10 ()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是．π()sin (0)363f x x ff ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 正在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．14322．设ABC △的内角A B C ，，所对于的边少分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）供tan cot A B 的值； （Ⅱ）供tan()A B -的最大值．剖析：（Ⅰ）正在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号创造，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）供sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的里积332ABC S =△，供BC 的少．解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ··················· 5分（Ⅱ）由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由（Ⅰ）知33sin 65A =，故65AB AC ⨯=， ······················································ 8分 又sin 20sin 13AB B AC AB C⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==． ·········································· 10分2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）供ω的值；（Ⅱ）供函数()f x 正在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的与值范畴．解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+ π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．果为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．果为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，果此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的与值范畴为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值.【解】：2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-由于函数()216z u =-+正在[]11-，中的最大值为 最小值为故当sin 21x =-时y 博得最大值10，当sin 21x =时y 博得最小值622s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π．（Ⅰ）供ω的值；（Ⅱ）供函数()f x 的最大值，而且供使()f x 博得最大值的x 的集中．（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、二角战的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数sin()y A x ωϕ=+的本量等前提知识，考查基础运算本领．谦分12分． （Ⅰ）解：由题设，函数()x f 的最小正周期是2π，可得222πωπ=，所以2=ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ．当πππk x 2244+=+，坐即()Z k k x ∈+=216ππ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+44sin πx 博得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+，此时x 的集中为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ．（Ⅰ）供函数()f x 的最小正周期战图象的对于称轴圆程 （Ⅱ）供函数()f x 正在区间[,]122ππ-上的值域解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得∴函数图象的对于称轴圆程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 果为()sin(2)6f x x π=-正在区间[,]123ππ-上单调递加，正在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 与最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x 与最小值2-所以 函数()f x正在区间[,]122ππ-上的值域为[2- 28.已知函数f(x)＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为奇函数，且函数y ＝f(x)图象的二相邻对于称轴间的距离为.2π （Ⅰ）好洲f （8π）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f(x)的图象背左仄移6π个单位后，再将得到的图象上各面的横坐标舒畅少到本去的4倍，纵坐标没有变，得到函数y ＝g(x)的图象，供g(x)的单调递减区间. 解：（Ⅰ）f(x)＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x＝2sin(ϕω+x -6π)果为 f(x)为奇函数，所以 对于x ∈R,f(-x)=f(x)恒创造， 果此 sin （-ϕω+x -6π）＝sin(ϕω+x -6π).即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π),整治得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.果为 ω＞0，且x ∈R,所以 cos（ϕ-6π）＝0.又果为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f(x)＝2sin(x ω+2π)=2cos x ω.由题意得.2,222　＝ 所以 ωπωπ⋅=故 f(x)=2cos2x. 果为.24cos 2)8(==ππf （Ⅱ）将f(x)的图象背左仄移个6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸少到本去的4倍，纵坐标没有变，得到)64(ππ-f 的图象. 当 2kπ≤32ππ-≤2 kπ+ π(k ∈Z),即 4kπ＋≤32π≤x≤4kπ+38π (k ∈Z)时，g(x)单调递减.果此g(x)的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k(k ∈Z)29.如图，正在仄里曲角坐标系xoy 中，以ox 轴为初边干二个钝角α,β，它们的末边分别与单位圆相接于A,B 二面，已知A,B 的横坐标分别为105．（Ⅰ）供tan(αβ+)的值； （Ⅱ）供2αβ+的值．由条件的cos 105αβ==，果为α,β为钝角，所以sin α=10β=果此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)= tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ）22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为钝角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34πABC ∆中，角,,A B C 所对于应的边分别为,,a b c，a =tantan 4,22A B C++= 2sin cos sin B C A =，供,A B 及,b c解：由tantan 422A B C ++=得cot tan 422C C+= ∴cos sin224sin cos 22C C C C +=∴14sin cos22C C=∴1sin 2C =，又(0,)C π∈∴566C C ππ==，或由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+ 即sin()0B C -=∴B C = 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得 （Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式；（Ⅱ）供函数()g x 的值域.本小题主要考查函数的定义域、值域战三角函数的本量等基础知识，考查三角恒等变更、代数式的化简变形战运算本领.（谦分12分） 解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin1cos x xg x x xx x--=+++ 2.4x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭（Ⅱ）由1712x ππ≤＜，得55.443x πππ+≤＜sin t 正在53,42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，正在35,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上为删函数，又5535sin sin ,sin sin()sin 34244x πππππ∴≤+＜＜（当17,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦）， 即1sin()2)23424x x ππ-≤+-≤+--＜，＜，故g(x)的值域为)2,3.⎡-⎣2()2sin cos 444x x xf x =-．（Ⅰ）供函数()f x 的最小正周期及最值； （Ⅱ）令π()3g x fx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，推断函数()g x 的奇奇性，并证明缘由． 解：（Ⅰ）2()sin2sin )24x x f x =+-sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期2π4π12T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 博得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 博得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2x =．()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭．∴函数()g x 是奇函数．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对于边分别为a,b,c ，且A=60，c=3b.供：（Ⅰ）a c的值；（Ⅱ）cotB+cot C 的值. 解：（Ⅰ）由余弦定理得＝2221117()2,3329c c c cc +-=故a c =（Ⅱ）解法一：cot cot B C +＝cos sin cos sin sin sin B C C B B C+＝sin()sin ,sin sin sin sin B C A B C B C+=由正弦定理战（Ⅰ）的论断得故cot cot B C +=解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的论断有故sin B ===共理可得进而cos coscot cot sin sin 9B C B C BC+=+== 34.已知背量m=(sinA,cosA),n=1)-，m·n ＝1，且A 为钝角.（Ⅰ）供角A 的大小；（Ⅱ）供函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.本小题主要考查仄里背量的数量积估计、三角函数的基础公式、三角恒等变更、一元二次函数的最值等基础知识，考查运算本领.谦分12分. 解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-=由A 为钝角得,.663A A πππ-== （Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+果为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，果此，当1sin 2x =时，f(x)有最大值32.当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所供函数f(x)的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像通过面π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）供()f x 的剖析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，供()f αβ-的值．（1）依题意有1A =，则()sin()f x x ϕ=+，将面1(,)32M π代进得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=；（2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=.ABC △中，内角A B C ，，对于边的边少分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，供ABC △的里积．本小题主要考查三角形的边角闭系，三角函数公式等前提知识，考查概括应用三角函数有闭知识的本领．谦分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又果为ABC △1sin 2ab C =4ab =．4分 联坐圆程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =． ··················· 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =， ············································ 8分 当cos 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联坐圆程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得3a =3b =．所以ABC △的里积1sin 2S ab C ==． ·························· 12分。

高三数学精选三角函数与解三角形多选题 易错题难题自检题学能测试试题一、三角函数与解三角形多选题1．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABC 的外接圆半径为3D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABCS =△，所以=解得2t =，则4a =，6b =，c =故ABC 的周长为10+A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；C 项：因为π3C =，所以sin C =由正弦定理得2sin 3c R C ===，R =C 错误；D 项：由余弦定理得222cos214a cb B ac +-===，在BCD △中4BC =，BD =由余弦定理得2cos14B ==，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC 外接圆半径为7【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC外接圆半径为7，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.3．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =，当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确； D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．4．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3π-B ．函数()f x 的图像在y 3C ．函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】ABC 【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确； 由()02cos 36f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y 3B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.6．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0B ．该函数图象的对称轴方程是132x k =-+，Z k ∈ C ．()f x 在71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()2cos 36x f x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误.【详解】因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，23T ππω∴==， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 16πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.0ϕπ<<，5666πππϕ∴-<-<，则62ππϕ-=，23πϕ∴=，()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 选项正确；对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，A 选项正确； 对于B 选项，由()36x k k Z πππ+=∈，解得()132x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是132x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；对于C 选项，当71,23x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3618x ππππ-≤+≤，所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．7．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确；对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.8．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f xC ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度，得到的函数解析式为()()2g x x =【答案】BD 【分析】首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23x π-的范围，再判断函数的单调性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】()12cos 2sin 2222f x x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭132cos 2cos 22cos 22222x x x x x =--=-23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的周期22T ππ==，故A 不正确；B.B 正确；C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确； D. ()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到()52221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n k a k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ）A ．614a =B ．数列{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列C ．对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15【答案】ABD【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=，所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠，所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列， 所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错.又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=， 所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确. ()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确.故选：ABD.【点睛】 方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.10．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ）A．若为等差数列，则112d a =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d + 【答案】AB【分析】对于A，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案；对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案；对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案.【详解】对于A，因为为等差数列，所以=即==化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++，所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.。

2025年高考数学一轮复习课时作业-三角函数【原卷版】(时间:45分钟分值:80分)【基础落实练】1.(5分)下列函数中,是周期函数的为()A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=tan|x|D.y=(x-1)02.(5分)函数f(x)=ln(cos x)的定义域为()A.{x|kπ-π2<x<kπ+π2,k∈Z}B.{x|kπ<x<kπ+π,k∈Z}C.{x|2kπ-π2<x<2kπ+π2,k∈Z}D.{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}3.(5分)函数f(x)=sin(2x-π4)在区间[0,π2]上的最小值为()A.-1B.-22C.22D.04.(5分)函数f(x)=sin + cos + 2在[-π,π]上的图象大致为()5.(5分)(2024·哈尔滨模拟)方程2sin(2x+π3)-1=0在区间[0,4π)上的解的个数为()A.2B.4C.6D.8【6.(5分)(多选题)(2023·长沙模拟)已知函数f(x)=4cos2x,则下列说法中正确的是()A.f(x)为奇函数B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)的图象关于直线x=π4对称D.f(x)的值域为[0,4]7.(5分)写出一个最小正周期为3的偶函数为f(x)=.8.(5分)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与直线y=12,距离最近的两点间的距离为π3,那么此函数的最小正周期是.9.(5分)已知f(x)=sin[π3(x+1)]-3cos[π3(x+1)],则f(x)的最小正周期为, f(1)+f(2)+…+f(2025)=.10.(5分)函数f(x)=cos x-cos2x,则f(x)是()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为9811.(10分)已知函数f(x)=sin(2x-π3)+32.(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心;(2)若f(x0)≤3,求x0的取值范围.即x0的取值范围为[-π2+kπ,π3+kπ](k∈Z).【能力提升练】12.(5分)(多选题)对于函数f(x)=|sin x|+cos2x,下列结论正确的是()A.f(x)的值域为[0,98]B.f(x)在[0,π2]上单调递增C.f(x)的图象关于直线x=π4对称D.f(x)的最小正周期为π13.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2,且f(π12)=2,则f(π8)=.14.(10分)(2023·北京高考)设函数f(x)=sinωx cosφ+cosωx sinφ(ω>0,|φ|<π2).(1)若f(0)=-32,求φ的值.(2)已知f(x)在区间[-π3,2π3]上单调递增,f(2π3)=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.条件①:f(π3)=2;条件②:f(-π3)=-1;条件③:f(x)在区间[-π2,-π3]上单调递减.2025年高考数学一轮复习课时作业-三角函数【解析版】(时间:45分钟分值:80分)【基础落实练】1.(5分)下列函数中,是周期函数的为()A.y=sin|x|B.y=cos|x|C.y=tan|x|D.y=(x-1)0【解析】选B.因为cos|x|=cos x,所以y=cos|x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.2.(5分)函数f (x )=ln(cos x )的定义域为()A .{x |k π-π2<x <k π+π2,k ∈Z }B .{x |k π<x <k π+π,k ∈Z }C .{x |2k π-π2<x <2k π+π2,k ∈Z }D .{x |2k π<x <2k π+π,k ∈Z }【解析】选C .由cos x >0,解得2k π-π2<x <2k π+π2,k ∈Z .所以函数f (x )=ln(cos x )的定义域为{x |2k π-π2<x <2k π+π2,k ∈Z }.3.(5分)函数f (x )=sin(2x -π4)在区间[0,π2]上的最小值为()A .-1B .-22C .22D .0【解析】选B .由已知x ∈[0,π2],得2x -π4∈[-π4,3π4],所以sin(2x -π4)∈[-22,1],故函数f (x )=sin(2x -π4)在区间[0,π2]上的最小值为-22.4.(5分)函数f (x )=sin + cos + 2在[-π,π]上的图象大致为()【解析】选D .由f (-x )=sin (- )+(- )cos (- )+(- )2=-sin -cos + 2=-f (x ),得f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,排除A;又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f (π)=π-1+π2>0,排除B,C .5.(5分)(2024·哈尔滨模拟)方程2sin(2x +π3)-1=0在区间[0,4π)上的解的个数为()A .2B .4C .6D .8【解析】选D .由2sin(2x +π3)-1=0得sin(2x +π3)=12,x ∈[0,4π),分别画出y 1=sin(2x +π3)和y 2=12在x ∈0,4π上的图象,如图:两函数图象有8个交点,故方程2sin(2x +π3)-1=0在区间0,4π上的解的个数为8.6.(5分)(多选题)(2023·长沙模拟)已知函数f (x )=4cos 2x ,则下列说法中正确的是()A .f (x )为奇函数B .f (x )的最小正周期为πC .f (x )的图象关于直线x =π4对称D .f (x )的值域为[0,4]【解析】选BD .f (x )=4cos 2x =2cos 2x +2,该函数的定义域为R .因为f (-x )=2cos(-2x )+2=2cos 2x +2=f (x ),所以函数f (x )为偶函数,A 错误;函数f (x )的最小正周期为T =2π2=π,B 正确;因为f (π4)=2cos(2×π4)+2=2,所以f (π4)既不是函数f (x )的最大值,也不是该函数的最小值,C 错误;因为-1≤cos 2x ≤1,所以f (x )=2cos 2x +2∈[0,4],D 正确.7.(5分)写出一个最小正周期为3的偶函数为f (x )=.【解析】f (x )=cos(2π3x )为偶函数,且T =2π2π3=3.答案:cos(2π3x)(答案不唯一)8.(5分)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与直线y=12,距离最近的两点间的距离为π3,那么此函数的最小正周期是.【解析】根据正弦型函数的周期性,当sin(ωx+φ)=12时,若ωx1+φ=π6,则最近的另一个值为ωx2+φ=5π6,所以ω(x2-x1)=2π3,而x2-x1=π3,可得ω=2.故此函数的最小正周期是2π =π.答案:π9.(5分)已知f(x)=sin[π3(x+1)]-3cos[π3(x+1)],则f(x)的最小正周期为, f(1)+f(2)+…+f(2025)=.【解析】依题意可得f(x)=sin[π3(x+1)]-3cos[π3(x+1)]=2sinπ3x,其最小正周期T=6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,故f(1)+f(2)+…+f(2025)=f(1)+f(2)+f(3)=3+3+0=23.答案:62310.(5分)函数f(x)=cos x-cos2x,则f(x)是()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为98【解析】选D.由题意,f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos2x=f(x),所以该函数为偶函数,又f(x)=cos x-cos2x=-2cos2x+cos x+1=-2(cos x-14)2+98,所以当cos x=14时,f(x)取最大值98.11.(10分)已知函数f(x)=sin(2x-π3)+32.(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称中心;【解析】(1)f(x)的最小正周期T=π.由2x-π3=kπ,k∈Z得x=π6+ π2,k∈Z,故f(x)图象的对称中心为(π6+ π2,32)(k∈Z).(2)若f(x0)≤3,求x0的取值范围.【解析】(2)因为f(x0)≤3,所以sin(2x0-π3)+32≤3,即sin(2x0-π3)≤32,所以-4π3+2kπ≤2x0-π3≤π3+2kπ,k∈Z,即-π2+kπ≤x0≤π3+kπ,k∈Z.即x0的取值范围为[-π2+kπ,π3+kπ](k∈Z).【能力提升练】12.(5分)(多选题)对于函数f(x)=|sin x|+cos2x,下列结论正确的是()A.f(x)的值域为[0,98]B.f(x)在[0,π2]上单调递增C.f(x)的图象关于直线x=π4对称D.f(x)的最小正周期为π【解析】选AD.f(x)=|sin x|+cos2x=-2|sin x|2+|sin x|+1=-2(|sin x|-14)2+98[0,98],故A正确;当x∈[0,π2]时,|sin x|∈[0,1],|sin x|=sin x在[0,π2]上单调递增,f(x)=-2(|sin x|-14)2+98,故f(x)在[0,π2]上先增后减,故B错误;f(0)=|sin0|+cos(2×0)=1,f(π2)=|sin π2|+cos(2×π2)=0,f(0)≠f(π2),故C错误;易知y=|sin x|和y=cos2x的最小正周期均为π,故f(x)的最小正周期为π,故D正确.13.(5分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2,且f(π12)=2,则f(π8)=.【解析】因为函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为π2,所以 2=π2,得T=π,即2π =π,得ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ),因为f(π12)=2,所以f(π12)=2=2sin(π6+φ),即sinπ6+φ)=1,因为0<φ<π2,所以π6+φ=π2,得φ=π2-π6=π3,则f(x)=2sin(2x+π3),则f(π8)=2sin(2×π8+π3)=2sin(π4+π3)=2(sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3)=2(22×12+22×32)=2+62.答案:2+6214.(10分)(2023·北京高考)设函数f(x)=sinωx cosφ+cosωx sinφ(ω>0,|φ|<π2). (1)若f(0)=-32,求φ的值.【解析】(1)因为f(x)=sinωx cosφ+cosωx sinφ(ω>0,|φ|<π2)所以f(0)=sin0cosφ+cos0sinφ=sinφ=-32,因为|φ|<π2,所以φ=-π3.(2)已知f(x)在区间[-π3,2π3]上单调递增,f(2π3)=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.条件①:f(π3)=2;条件②:f(-π3)=-1;条件③:f(x)在区间[-π2,-π3]上单调递减.【解析】(2)因为f(x)=sinωx cosφ+cosωx sinφ(ω>0,|φ|<π2)所以f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),所以f(x)的最大值为1,最小值为-1.若选条件①:因为f(x)=sin(ωx+φ)的最大值为1,最小值为-1,所以f(π3)=2无解,故条件①不能使函数f(x)存在;若选条件②:因为f(x)在[-π3,2π3]上单调递增,且f(2π3)=1,f(-π3)=-1,所以 2=2π3-(-π3)=π,所以T=2π,ω=2π =1,所以f(x)=sin(x+φ),又因为f(-π3)=-1,所以sin(-π3+φ)=-1,所以-π3+φ=-π2+2kπ,k∈Z,所以φ=-π6+2kπ,k∈Z,因为|φ|<π2,所以ω=1,φ=-π6;若选条件③:因为f(x)在[-π3,2π3]上单调递增,在[-π2,-π3]上单调递减,所以f(x)在x=-π3处取得最小值-1,即f(-π3)=-1.以下与条件②相同.。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第五章三角函数题型总结及解题方法单选题1、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表已知港口的水的深度随时间变化符合函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0．25m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最多能停放（）A．4小时B．5小时C．6小时D．7小时答案：B分析：由已知表格中数据求得f(x)=2sinπ6x+5,根据驶入港口f(x)大于等于6,离开时f(x)大于等于5，分析即可得答案.由表格中的数据可知，f(x)max=7,f(x)min=3，则A=f(x)max−f(x)min2=7−32=2,B=f(x)max+f(x)min2=7+32=5.由T=12，∴ω=2πT =π6，故f(x)=2sin(π6x+φ)+5，当x=3时，f(x)=7，则2sin(π6x+φ)+5=7∴2cosφ=2，即cosφ=1，得φ=0.∴f(x)=2sinπ6x+5.由f(x)=2sinπ6x+5=6，得sinπ6x=12，即π6x=π6+2kπ,k∈Z或π6x=5π6+2kπ,k∈Z又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口， ∴k =1时，x =13，即该船应在13点入港并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0．25m 的速度减小，4小时卸完，卸完后的吃水深度为4−0.25×4=3， 所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由f(x)=2sin π6x +5=5，得sin π6x =0， 即π6x =0+2kπ,k ∈Z 或π6x =π+2kπ,k ∈Z∴x =12k,k ∈Z 或x =12k +6,k ∈Z .所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时. 故选：B2、已知简谐振动f (x )=Asin (ωx +φ)(|φ|<π2)的振幅是32，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0,34)，则该简谐振动的频率和初相是（ ） A ．16，π6B ．18，π3C ．18，π6D ．16，π3 答案：C分析：根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点(0,34)求出初相即可得解.由题意可知，A ＝32，32＋(T2)2＝52，则T ＝8，ω＝2π8＝π4， ∴ y ＝32sin (π4x +φ).由32sin φ＝34，得sin φ＝12. ∵|φ|＜π2， ∴φ＝π6.故选：C3、已知α，β为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−√22，则cosβ=（ ）A ．3√210B ．√210C ．7√210D ．9√210 答案：B分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cosα,sin(α+β)，再利用角变换β=α+β−α，利用两角差的余弦公式求得答案．由α是锐角，sinα=45，则cosα=√1−sin 2α=35， 又α，β是锐角，得α+β∈(0,π)， 又cos (α+β)=−√22，则sin(α+β)=√22， 则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=−√22×35+√22×45=−3√2+4√210= √210. 故选：B ．4、一个扇形的半径为3，圆心角为α，且周长为8，则α=（ ） A ．53B ．23C ．35D ．32答案：B分析：根据扇形的中心角公式计算．设扇形的弧长为l ，则l =8−3−3=2，则α=lr =23 故选：B ．5、若α∈(0,π),tan2α=cosα，则tanα=（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153答案：A分析：由二倍角公式可得tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α，再结合已知可求得sinα=14，利用同角三角函数的基本关系即可求解.∵tan2α=cosα2−sinα∴tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈(0,π2)，∴cosα≠0，∴2sinα1−2sin 2α=12−sinα，解得sinα=14，∴cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=√1515. 故选：A.小提示：关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sinα.6、将函数f (x )=2cosx 的图象先向右平移φ(0<φ<π)个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若对g (x )满足|g (x 1)−g (x 2)|=4，有|x 1−x 2|min =π4恒成立，且g (x )在区间(π6，π3)上单调递减，则φ的取值范围是（ ） A ．[π12，π3]B ．[π3，π2]C ．(π3，2π3]D ．[π3，2π3]答案：D分析：可得g (x )=2cos (ωx −φ)，根据题意可求出最小正周期，得出ω，求出g (x )的单调递减区间，根据包含关系可求出.由题可得g (x )=2cos (ωx −φ)，若满足|g (x 1)−g (x 2)|=4，则x 1和x 2必然一个极大值点，一个极小值点， 又|x 1−x 2|min =π4，则T2=π4，即T =π2，所以ω=2πT=4，即g (x )的单调递减区间为[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k ∈Z ，因为g (x )在区间(π6，π3)上单调递减，所以(π6，π3)⊆[kπ2+φ4,kπ2+π4+φ4],k ∈Z ，则{kπ2+φ4≤π6kπ2+φ4+π4≥π3，解得−2kπ+π3≤φ≤−2kπ+2π3,k ∈Z ，因为0<φ<π，所以可得π3≤φ≤2π3.故选：D.7、若sin(π−α)+cos(−α)=15，α∈(0,π)，则tan (32π−α)的值为（ ）A ．−43或−34B ．−43C ．−34D ．34答案：C分析：根据同角三角函数的基本关系及诱导公式求解. 由sin(π−α)+cos(−α)=15可得：sinα+cosα=15，平方得：sin 2α+2sinαcosα+cos 2α=125 所以tan 2α+2tanα+1tan 2α+1=125，解得tanα=−43或tanα=−34， 又sinα+cosα=15，所以|sinα|>|cosα|， 故tanα=−43， 故选：C8、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−12D ．12分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3， 于是tan (α+π4)= tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C.9、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +rsin∠BPO =5，所以r +rsin1=5， 所以r =5sin11+sin1，10、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( ) A ．−1B ．−√22C ．√22D ．1 答案：C分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=xr =√2=√22， 故选：C. 填空题11、若α∈(π2，π)，且cos 2α−sin α=14 ，则tan α=_____. 答案：−√33分析：根据同角平方和关系可解得sin α=12，进而根据角的范围可得α=5π6，进而可求.因为cos 2α−sin α=14，所以4(1－sin 2α)－4sin α－1=0即4sin 2α+4sin α－3=0 ，∴解得sin α=12或sin α=−32 （舍去）． ∵α∈(π2，π)，∴α=5π6，因此tan α=tan 5π6=−√33． 所以答案是：−√3312、设函数f (x )=sin (ωx +φ)，A >0，ω>0，若f (x )在区间[π6，π2]上单调，且f (π2)=f (2π3)=−f (π6)，则f (x )的最小正周期为____． 答案：π分析：根据单调性可确定0<ω≤3，结合f (π2)=f (2π3)=−f (π6)，可得x =7π12，(π3，0)分别为对称轴和对称中心，即可结合周期求解.则T 2=πω≥π2-π6，∴0<ω≤3．∵f (π2)=f (2π3)=−f (π6)，∴x =π2+2π32=7π12为f (x )=sin (ωx +φ)的一条对称轴，且(π6+π22，0)即(π3，0)为f (x )=sin (ωx +φ)的一个对称中心，只有当T4=14⋅2πω=7π12−π3=π4时，解得ω=2∈(0，3]，∴T=2π2=π，故答案为:π13、关于函数f （x ）=sinx +1sinx 有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =π2对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 答案：②③分析：利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取−π<x <0可判断命题④的正误.综合可得出结论. 对于命题①，f(π6)=12+2=52，f(−π6)=−12−2=−52，则f(−π6)≠f(π6)，所以，函数f(x)的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f(x)的定义域为{x|x ≠kπ,k ∈Z}，定义域关于原点对称， f(−x)=sin(−x)+1sin(−x)=−sinx −1sinx =−(sinx +1sinx )=−f(x)， 所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，∵f(π2−x)=sin(π2−x)+1sin(π2−x)=cosx +1cosx，ππ11ππ所以，函数f(x)的图象关于直线x =π2对称，命题③正确；对于命题④，当−π<x <0时，sinx <0，则f(x)=sinx +1sinx <0<2， 命题④错误. 所以答案是：②③.小提示：本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 14、已知−π<x <0，sinx +cosx =15，则sinx −cosx =______．答案：−75分析：利用同角三角函数关系求解即可. (sinx +cosx )2=1+2sinxcosx =125，解得2sinxcosx =−2425.因为−π<x <0，2sinxcosx <0，所以−π2<x <0. 所以(sinx −cosx )2=1−2sinxcosx =4925， 又sinx −cosx <0，所以sinx −cosx =−75． 所以答案是：−7515、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C =90∘，AC =6，BC =8，D 为AC 的中点，点E 在BC 上，分别连接BD 、AE ，交点为F ，若∠BFE =45∘，则CE =__________.答案：3011出关于x 的方程，即可解得x 的值. 设CE =x ，∠CBD =α，∠CAE =β，根据题意可得∠CDB =90∘−α=45∘+β，整理可得α+β=45∘， 所以tan (α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β=1，在Rt △BCD 中，tan α=38，在Rt △ACE 中，tan β=x6， 则tan (α+β)=tan α+tan β1−tan αtan β=38+x 61−38⋅x 6=1，解得x =3011，所以CE =3011.所以答案是：3011.解答题16、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数f (x )=−3−a x−3（a >0且a ≠1）的定点M .(1)求sinα−2cosα的值；(2)求sin (π+α)+cos(π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)−tan (5π+α)的值.答案：(1)−2 (2)5221分析：（1）易知函数f (x )=−3−a x−3的定点M 的坐标为(3,−4)，利用三角函数的定义则可求出sinα=−45，cosα=35则可求出答案；（2）利用诱导公式化简，再将sinα=−45，cosα=35，tanα=−43代入，即可得出答案.（1）∵函数f (x )=−3−a x−3（a >0且a ≠1）的定点M 的坐标为(3,−4)， ∴角α的终边经过点M (3,−4)，∴OM =√32+(−4)2=5（O 为坐标原点）， 43∴sinα−2cosα=−45−2×35=−2. （2）sin (π+α)+cos(π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)−tan (5π+α)=−sinα−sinαcosα−sinα−tanα=−2sinαcosα−sinα−(−43) =−2×(−45)35−(−45)+43=87+43=5221. 17、已知3sinα+4cosα=5 ，求tanα.答案：34. 分析：将给定等式两边平方，再利用同角公式变形求解作答.将3sinα+4cosα=5两边平方得：9sin 2α+24sinαcosα+16cos 2α=25=25sin 2α+25cos 2α，整理得：16sin 2α−24sinαcosα+9cos 2α=0，即(4sinα−3cosα)2=0，有4sinα=3cosα，所以tanα=34. 18、已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<π)的图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)首先将函数f (x )的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，然后将所得函数图象向右平移π8个单位，最后再向上平移1个单位得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在[0,π2]内的值域. 答案：(1)f (x )=2sin (2x +π3)(2)[−1,3]分析：（1）依题意可得A =2，13π12−π3=34T ，即可求出ω，再根据函数过点(13π12,2)，即可求出φ，从而求出函数解析式；（2）首先根据三角函数的变换规则得到g (x )的解析式，再由x 的取值范围求出4x −π6的取值范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；(1)解：由图象得A =2，13π12−π3=34T =34⋅2πω，所以ω=2， 由2×13π12+φ=π2+2kπ，所以φ=−5π3+2kπ(k ∈Z )，∵0≤φ≤π，∴φ=π3，∴f (x )=2sin (2x +π3)(2)解：将函数f (x )的图象上每一点横坐标缩短为原来的12，得到y =2sin (4x +π3)，再将y =2sin (4x +π3)向右平移π8个单位得到y =2sin (4(x −π8)+π3)=2sin (4x −π6)，最后再向上平移1个单位得到y =2sin (4x −π6)+1，即g (x )=2sin (4x −π6)+1当x ∈[0,π2]时，所以4x −π6∈[−π6,11π6]，所以sin (4x −π6)∈[−1,1]， ∴g (x )∈[−1,3] 19、（1）已知sinα+cosα=√2，求sinα⋅cosα及sin 4α+cos 4α的值；（2）已知sinα+cosα=15(0<α<π)，求tanα的值.答案：（1）sinα⋅cosα=12，sin 4α+cos 4α=12；（2）−43.分析：（1）把已知等式平方，结合平方关系可得sinαcosα，再把1=sin 2α+cos 2α平方可求得sin 4α+cos 2α；（2）已知等式平方求得sinαcosα确定出sinα,cosα的正负，求出sinα−cosα，与已知式联立求得sinα,cosα后可得tanα．解：（1）∵sinα+cosα=√2；1+2sinαcosα=2∴sinα⋅cosα=12sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2−2sin 2αcos 2α=1−2⋅(12)2=12（2）∵sinα+cosα=15，①∴(sinα+cosα)2+2sinαcosα=125∴2sinαcosα=−2425.∵0<α<π，∴π2<α<π，∴sinα>0,cosα<0，∴sinα−cosα>0，∴sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=75.②由①，②得sinα=45,cosα=−35，∴tanα=−43。