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随机振动及试验技术(第三讲)-单自由度与多自由度随机振动

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机械振动 第3章-单自由度系统的振动

机械振动 第3章-单自由度系统的振动

kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子

J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n

振动理论讲义第3章 单自由度系统自由振动

振动理论讲义第3章 单自由度系统自由振动

3.1.2 几个概念和定义
图 3.1 弹簧连 接 的两个物体
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“无质量”的弹簧和“无弹性”
3-2
的质量所组成的模型，称为弹簧－质量系统（spring mass system）。如图 3.2，就是最简 单的振动系统，只包含一个弹簧 和一个质量 。
图 3.2 弹簧－质量体系
如果要取 个数字才能确定一个机械系统的位置，这个机械系统就叫做具有 个自由 度的系统。例如：在自身平面无约束地运动的一个圆盘具有三个自由度：重心的 位移 和 位移，以及绕重心的转动角。
一个系统究竟有多少个自由度，常常是很复杂的问题，这不仅取决于系统本身的结 构特性，还要根据所研究问题的性质、要求的精度以及振动的实际情况来确定。简化的 结果是否正确，还要经过实验来检验。
用一根弹簧把一个质量 悬挂在刚性天花板上。弹簧的刚度由弹性系数 表示。在质 量和刚性天花板之间有油或者空气缓冲器机构。质量静止时，缓冲器不传递力，质量运 动时，缓冲器的阻尼力与速度成正比，即 。 叫做阻尼常数或粘性阻尼常数。
在实际机械系统中所发生的阻尼常数并不按照 这个关系这样简单，而往往是非常 复杂的情况，但是使用这个关系进行分析是很简单的，因此得到大量的应用。
Contents
第 3 章 单自由度系统自由振动 ........................................................................................... 3-2 3.1 引言 .......................................................................................................................... 3-2 3.1.1 自由度 ........................................................................................................... 3-2 3.1.2 几个概念和定义 ........................................................................................... 3-2 3.2 振动微分方程的推导 .............................................................................................. 3-3 3.2.1 单自由度弹簧线振动 ................................................................................... 3-3 3.2.2 单自由度扭转系统 ....................................................................................... 3-4 3.2.3 单自由度电路的微分方程 ........................................................................... 3-5 3.2.4 直线、扭转和电路的比拟关系 ................................................................... 3-5 3.2.5 弹簧顶部运动导致的振动 ........................................................................... 3-7 3.3 单自由度无阻尼自由振动 ...................................................................................... 3-9 3.3.1 一般解 ........................................................................................................... 3-9 3.3.2 静变形法 ..................................................................................................... 3-10 3.3.3 能量法 ......................................................................................................... 3-10 3.3.4 瑞利法 ......................................................................................................... 3-12 3.3.5 等效刚度 ..................................................................................................... 3-13 3.3.6 单摆和复摆 ................................................................................................. 3-16 3.4 有粘性阻尼的自由振动 ........................................................................................ 3-17 3.4.1 阻尼 ............................................................................................................. 3-17 3.4.2 有阻尼的自由振动 ..................................................................................... 3-18 3.5 对数衰减 ................................................................................................................ 3-21 3.6 习题 ........................................................................................................................ 3-25

振动单自由度系统的振动 PPT课件

振动单自由度系统的振动 PPT课件
1
例3 品質彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼係數μ 。
解：n
g
st
9.8 31.3rad / s 0.01
A21 A2 A3 A21 (e ) nT1 20
A1 A1 A2
A20
0.16 (enT1 )20 0.8
ln( 0.16) 0.8
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振動微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有頻率：
n
8k 3M 2m
1
解2 ： 用機械能守恆定律 以x為廣義座標（取靜平衡位置為 原點）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
1
§12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動
自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振 動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動）， 這是因為有阻尼。 一、阻尼的概念：
阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起 的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
1
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
這就是品質——彈簧系統無阻尼自由振動的
微分方程。
對於其他類型，同理可得。如

12.3 单自由度体系的自由振动

12.3 单自由度体系的自由振动

各杆EI＝ 。 【例12-5】试求图示结构的ω。各杆 ＝C。 】
3l 4 B C D m B y A l l l 4 A l C D l
1
M1 图
解：
δ 11
7l 3 = 12 EI
1 12 EI EI = = 1.309 ω= 3 mδ11 7ml ml 3
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【注二】惯性力 FI = −m&& = maω 2 sin(ωt + α ) = mω 2 y ， 注二】 y FI 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例， 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系 数为 mω 2 。
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12.3.4 自振周期与自振频率
1.自振周期 自振周期 因
y = a sin (ωt + α ) = a sin (ωt + α + 2 π ) 2π = a sin ω t + + α = a sin[ω (t + T ) + α ] ω
所以自振周期
T =
2π
ω
表示体系振动一次所需要的时间，其单位为 （ 表示体系振动一次所需要的时间，其单位为s（秒） 。
式中， 为重力加速度 为重力加速度； 式中，g为重力加速度；W=mg为质点 为质点 的重力； 表示将重力W=mg 的重力；∆st=Wk11，表示将重力 施加于振动方向所产生的静位移。 施加于振动方向所产生的静位移。
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T = 2π ∆st g
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第三讲单自由度系统振动

第三讲单自由度系统振动
ent D1d sin d t D2d cos d t
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。 与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的 。 在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定 为 2 (2） 2 当ζ <<1时
20
单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。

第三节单自由度体系的自由振动

第三节单自由度体系的自由振动

v0 ω
代入上式， 代入上式，得到质点位移
v y (t ) = y 0 cos ωt + 0 sin ωt ω
由上式可知，自由振动由两部分 由上式可知， 组成：一部分是由初始位移y 组成：一部分是由初始位移 0引 起的，质点按余弦规律振动， 起的，质点按余弦规律振动，如 所示； 图 a所示；另一部分是由初始速 所示 引起的， 度v0引起的，质点按正弦规律振 如图b所示 动，如图 所示。两项均为简谐 函数，其合成运动仍为简谐运动, 函数，其合成运动仍为简谐运动, 如图C所示 如图 所示。
& y (t ) = −ωC1 sin ωt + ωC 2 cos ωt
C1和C2可由自由振动初始条件确定。设在初始时刻 时，质点有初始位移和 可由自由振动初始条件确定。设在初始时刻t=0时 初始速度v 初始速度 0，即
y (0) = y 0 ,
& y (0) = v0
可求出
C1 = y0 , C2 =
●

一、无阻尼自由振动 1.运动方程 的建立和求解 运动方程
如果不考虑阻尼， 如果不考虑阻尼，单自由度体系或其它单自由度体系的自由振动都可以 用下图所示的弹簧质点模型来描述。 用下图所示的弹簧质点模型来描述。
图11-14
单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程为
m&&(t ) + k11 y (t ) = 0 y
24 EI k11 = 3 h
ω=
k11 = m
24 EI mh 3
求图11-17a所示体系中质点 竖向振动的自振频率和自振周期。图中 所示体系中质点m竖向振动的自振频率和自振周期 例11-4 求图 所示体系中质点 竖向振动的自振频率和自振周期。 弹簧的刚度系数 k 1 = 2 EI 。 3

单自由度系统的自由振动

单自由度系统的自由振动

固有频率的计算方法
1. 建立微分方程求固有频率 2. 静位移法 3. 能量法
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
静位移法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动 能量法——求解固有频率
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
特征方程及特征根为
2 s 2 0 0
s1, 2 i0
则式（1-1）的通解为
y e x (c1 cos x c2 sin x)
x C1 cos 0t C2 sin 0t
C1 / C2 为任意积分常数，由运动的初始条件确定。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
临界阻尼系数 cc
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
2 0 x x0
当作微幅振动时，可认为sin , cos 1。再由静平衡条件 mgl st ka 则上式可简化为
a 2k 引入符号 2 ，则上式变为 ml
2 0
（1-2）
此为单自由度系统无阻尼自由扭振的微分方程，其解同例（1）。
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 无阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动
单自由度系统的自由振动 / 阻尼自由振动

单自由度体系的振动

单自由度体系的振动

1 ，频 k
率f f

2
（或
k m ）就越大，亦即振动越快；反之，质量 m 越大，亦即运
）越大，振动频率 f （或 ）就越小，亦即振动越慢，这是一个十分重要的 动惯性（ my
特性， 它表明一个结构体系的自由振动频率值的大小与该结构体系的外部条件无关， 只与反 映该结构的内部固有属性的质量、刚度有关，故通常称为自振频率或固有频率。 注意： ①自振周期 T （自振频率 ）只与结构的质量和刚度（或柔度）有关，与外界干扰因素无 关， （干扰力的大小只能影响振幅，是初始条件） ，改变结构的自振周期，只有从改变结构的 质量或刚度入手； ② T （或 ）是结构动力特性的重要数量标志，两个外表相似的结构，如 T （或 ）不同， 则动力性能相差很大；两个外表相差很大的结构，如 T （或 ）相同，则动力性能基本一 致。 例 3.1 图示各梁 EI 常数,跨中有集中质量 m ,忽略梁本身的质量,求各梁的自振周期 T 和 自振频率 。 解：本题用柔度法比较方便。 ①先求出各梁的 、 T 、 ，再进行比较。 所示。 （a） 1 各图在单位荷载 P 1 作用下的弯矩如图 3.3
设：
（3.1）

式中:
k m
（3.2）
——质点振动圆频率
(a)
(b)
图 3.1 无阻尼单自由度体系
将式（3.2）代入式（3.1） ，得：
2 my 0 my
整理得：
y 2 y 0
式（3.3）为齐次微分方程，其通解为:
（3.3）
y (t ) C1 cos t C 2 sin t
④单质点体系一般振动形式：
cy ky P (t ) my 和外力 P (t ) 影响，即可得到无阻尼体系自由振动。 去掉阻尼 cy y y P (t ) 的解为 y y 0 的通解，加上 y y P (t ) 的特解组成。 ⑤

振动力学3单自由度自由

振动力学3单自由度自由
= 1 1 (ka 2θ 2 − mglθ 2 ) = ( ka 2 − mgl )θ 2 2 2 ka 2 − mgl ω0 = ml 2
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变 化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之， 则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围 或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传 入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动

第3章 单自由度体系的振动分析工程,振动,稳定,全套,课件

第3章 单自由度体系的振动分析工程,振动,稳定,全套,课件

（3-13） ） （3-14） ）
R R R
ρ ρ ρ
y0
y0 y0
y0 ρ y0 y0
ω
. .
. . y y0000
. . .
ρ
y0
.
ρ y
I
0
I II y0
y0 .ω y0
ω
.
y0
ω
.
ω
ρ
y0
y0
y0
ω
.
y0
ω
.
y0
ω
.
ω .y0 ω y0 y0 ρ ω . . y0 y0 y
ω ω
0
.
ρ
ρ ρ y00 ρ y0000
1.临界阻尼 1.临界阻尼
自由振动方程： 自由振动方程： 特征方程： 特征方程：
m&& + cy + ky = 0 y &
2
（3-2） ）
c c 2 s=− ± −ω 2m 2m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记 当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为 ， 显然，应有c 作cc。显然，应有 c/2m=ω，即： ω
第 3 章 单自由度体系的振动分析
3.1 单自由度体系的自由振动分析
y (t) c F (t) m k
最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系 最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程： 已经得到单自由度体系的运动方程：
& m&& + cy + ky = FP (t ) y
位移反应： 位移反应：
y( t ) = A sin ωt + B cos ωt & & y ( 0) = y 0

单自由度及多自由度系统模态分析讲诉

单自由度及多自由度系统模态分析讲诉

{x} qr { r }
r 1
• 代入运动方程得
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1
[mr ] diag[m1 , m2 , [cr ] diag[c1 , c2 , [kr ] diag[k1 , k2 ,
mn ] mi {i }T [ M ]{i } cn ] ci {i }T [C ]{i } kn ] ki {i }T [ K ]{i }
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
• 简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值 之比
单自由度及多自由度系统 模态分析
结构振动分析基本理论
• 振动分析的“理论路线”
空间模型 模态模型 响应模型
（质量、阻尼、 刚度）
（固有频率， 模态振型）
（频率响应、 脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成 • 在理论分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
多自由度系统的振动 ——粘性阻尼系统
n n n [ M ] qr {r } [C ] qr {r } [ K ] qr {r } { f (t )} r 1 r 1 r 1

机械震动--单自由度体系的自由振动

机械震动--单自由度体系的自由振动

y sy(t)机械振动分析------单自由度无阻尼系统的自由振动机械振动是物体(或物体的一部分)在平衡位置（物体静止时的位置）附近作的往复运动。

可分为自由振动、受迫振动。

又可分为无阻尼振动与阻尼振动。

常见的简谐运动有弹簧振子模型、单摆模型等。

振动在机械中的应用非常普遍,例如在振动筛分行业中基本原理系借电机轴上下端所安装的重锤（不平衡重锤），将电机的旋转运动转变为水平、垂直、倾斜的三次元运动，再把这个运动传达给筛面。

若改变上下部的重锤的相位角可改变原料的行进方向。

物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。

其中仅需用一个独立坐标就可确定振体位置的系统为单自由度系统。

单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。

研究单自由度系统的振动有着非常普遍的实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。

而同时对多自由度系统和连续系统的振动，在特殊坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。

因此，揭示单自由度振动系统的规律、特点，为进一步研究复杂振动系统奠定了基础。

影响振动作用的因素是振动频率、加速度和振幅。

现在我们就此方面展开对单自由度无阻尼振动的讨论。

主要包括两部分：单自由度无阻尼系统的自由振动和单自由度无阻尼系统的受迫振动。

一、单自由度无阻尼系统的自由振动如下图，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg ，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。

若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。

由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。

在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。

1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。

2单自由度系统的振动_图文(精)

2单自由度系统的振动_图文(精)
写成: 其中， 下形式:
2 x(t ) 2n x(t ) n x(t ) 0
（2-18a）
（2-18b）
c / 2m n称为粘性阻尼因子。设（2-18b）式的解有如
x(t ) Ae
2
st
（2-19）
将（2-19）代入（2-18b）中，可得代数方程
s 2n s 0

gR 2 sin d
（b）

2 gR 2 sin
其中， dw是给定角φ位置的微元体重量，ρ是壳体单位面积 的质量。 壳体对C 点的转动惯量为:
2 I c R sin R 2 (1 cos ) 2 dm
2


2
2.1 单自由度系统的自由振动
阻尼元件 阻尼元件通常称为阻尼器，一般也假设为无质量。 常见的阻尼模型三种形式:
由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。 由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。 由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起
内摩擦所致的滞后阻尼。 粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。
飞行器结构动力学
第2章
单自由度系统的振动
第2章
单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动 2.2 单自由度系统的强迫振动 2.3 单自由度系统的工程应用
第2 章
单自由度系统的振动
2.1 单自由度系统的自由振动
2.1 单自由度系统的自由振动
正如第一章所述，振动系统可分为离散模型和连 续模型两种不同的类型。离散模型具有有限个自由度 ，而连续模型则具有无限个自由度。 系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必 须的独立的坐标个数。 在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统， 它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常 用来作为较复杂系统的初步近似描述。

《振动力学》2单自由度系统自由振动

《振动力学》2单自由度系统自由振动

单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： &x& + ω02 x = 0
通解 ： x(t) = c1 cos(ω0t) + c2 sin(ω0t) = Asin(ω0t + ϕ)
c1, c2： 任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A = c12 + c22
初相位 ： ϕ = tg −1 c1
c2
4
单自由度系统自由振动
解法2：
平衡位置2
动能 T = 1 Iθ&2 = 1 ml2θ&2
最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大
ω0 = k / m
T +V = const
Tmax = Vmax
Tmax = 0
Vmax
=
1 2
kxm2 ax
m
k
最大位移位置
0
xmax
静平衡位置
x
x&max = ω0 xmax
x 是广义的 对于转动： θ&max = ω0θmax
x(t) = Asin(ω0t + ϕ) 30
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 ω0 为频率的简谐振动，并且永无休止。
x
T = 2π / ω 0
初始条件的说明：
初始条件是外界能量输入的一 x0
A
种方式，有初始位移即输入了 弹性势能，有初始速度即输入 了动能。
ϕ0
ω0
t
9
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t)
=
x0
&x& + ω02 x = 0
ω0 =
k m

振动理论03(1)-单自由度系统自由振动

振动理论03(1)-单自由度系统自由振动
如果水在U形管中往复地振动，那么运 动质量就是 。 注意到，在这个问 题中，没有涉及弹簧。实际上，重力的 作用把水柱恢复到它的平衡位置，因此 在题目中有一个重力弹簧，按定义它的 弹性常数是单位位置变化所需要的力。
42
2014/9/28
管中其中一个臂的水位升高1厘米，另一个臂的水位就
降低1厘米，因此就给出2厘米水柱的失衡重量，产生
-任意瞬时的位置与平衡位置 之间的距离）?
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弹簧力
阻尼力
作用在质量块的力总计 sin
应用牛顿第二定律： 单自由度系统运动微分方程
mx cx kx P0 sin t
惯性力 阻尼力 弹性力 外来的谐力
单自由度扭转系统振动方程
圆盘的惯性矩为 轴的抗扭刚度为 外加扭矩 0 用于转动物体的广义牛顿定律
弹簧－质量系统
研究系统的振动问题时，常常把它简化成由若干个“ 无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所组成的模型， 称为弹簧－质量系统(spring mass system)
角振动(angular vibration)：以角位移作为独立坐标的系 统。例如后面将要介绍的圆盘的扭振(Torsional vibration)。
用一根弹簧把一个质量m悬挂 在刚性天花板上。弹簧的刚度 由弹性系数 表示
在质量和刚性天花板之间有油 或者空气缓冲器机构
质量静止时，缓冲器不传递力 质量运动时，缓冲器的阻尼力与
速度成正比，即 c:阻尼常数或粘性阻尼常数
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假设一个交变外力作用在质 量上
计算外力造成的质量的运动 ，即求出质量运动距离 的时 间函数
振动理论(3) 第3章 单自由度系统自由振动
自由度
自由度

03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动

03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
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令 t1 t2 t 则有, ( 5.10 ) 由（1）（2）及（3）可见均与t有关，说明初始 条件量随机时，引起的响应是非平稳随机过程。
2013-3-12 5
Dy ( t ) Dy0 F12 2C y0 y0 F1F2 Dy0 F22
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.3系统受基础运动随机激励 动 如图5.3所示。 及 x mx c( y ) k( z x ) 0 试 y x 验 m( ) cy ky 0 技 my cy ky mx 术 2 2n y n y (5.11) y x
12 11
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A11 A12 1 y y （7.1）+（7.2）得 ： m( 1 2 ) k ( y1 y2 ) x1 ( t ) x2 ( t ) y y （7.1）-（7.2）得 ：m( 1 2 ) 3k ( y1 y2 ) x1 ( t ) x2 ( t )
(5.13)
(5.12)模的平方
1 H ( ) 2 (n 2 ) 2 4 2n2 2
2
(5.14)
对于欠阻尼情 况,(5.14)可以用图 5.4表示。
H ( )
1
2 n
2
n
图
n
５.4ຫໍສະໝຸດ 2013-3-127
随 机 振 动 及 试 验 技 术
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(1/ 2 k )
(1/ 2 k ) 2 S0
2kc (1/ 2 k )
d —均方带宽
故：
E[Y 2 ] 2
作业6.2
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| H ( ) |2 的峰值 均方带宽d (5.31)
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随 第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 6.1 两自由度线性系统的平稳随机振动 动 6.1.1 两自由度无阻尼系统的确定性振动 及 试 列出方程 （6.1）式（6.2）式 验 my1 2ky1 ky2 x1 ( t ) (6.1) 技 (6.2) my2 2ky2 ky1 x2 ( t ) 术
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随机振动及试验技术
授课教师：艾延廷
飞行器动力与能源工程学院
随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.1 引言 单自由模型c，k，m 动 及 问题：初始条件是随机的; 试 基础运动是随机的; 验 质量块上作用力是随机的。 技 术
6.5 单自由度小阻尼系统共振时响应的近似算法
例5.1单自由度、白噪声激励
E[Y ]
2
S0
kc
(5.28)
1 2 k
小阻尼时， d n (d 1 2 n )
H (d ) 2
(5.29)
由(4.23)式知：
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 频率响应模下面的面积： 振 E[Y 2 ] 动 | H ( ) |2 d (5.30) 及 2 S0 2kc 试 S0 2 E[Y ] 验 kc 技 | H ( ) 2 d | E[Y 2 ] 0 术 d 2 2 2
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y0 F1 ( t ) y0 F2 ( t ) y
(5.7)
（1）数学期望
m y ( t ) E[Y ] m y0 F1 ( t ) m y0 F2 ( t )
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(5.8)
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 （2）自相关函数 Ry ( t1 , t2 ) E[Y ( t1 )Y ( t2 )] 动 及 E[( y0 F1 ( t1 ) y0 F2 ( t1 ))( y0 F1 ( t2 ) y0 F2 ( t2 ))] 试 E[ y2F ( t )F ( t ) y y F ( t )F ( t ) y y F ( t )F ( t ) y 2F ( t )F ( t )] 0 2 1 2 2 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 2 1 1 2 验 D * F ( t )F ( t ) 2C F ( t )F ( t ) D F ( t )F ( t ) y0 1 1 2 2 y0 y0 1 1 2 2 y0 2 1 2 2 技 (5.9) 术 （3）方差
图6.6测量沿海堤岸所受风力的概率特征
F F0 F y y0 y
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m cy ky F (5.20) y
F —平稳随机过程
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 Sy( ) 可用分析仪测量得到，表示成（5.21）式 振 动 4 B ( 2 2 ) Sy ( ) 及 [( k m 2 ) 2 c 2 ][( 2 2 2 ) 2 4 2 2 ]m 2 试 (5.21) 验 技 单自由度系统频率响应： 1 术 H ( ) (5.22) 2 m ic k
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或： 而：
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H ( )
2
1 ( k m 2 )2 c2 2
(5.23)
SF ( ) Sy( ) / | H ( ) | 2
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 4 B ( 2 2 ) (5.24) 2 2 2 2 2 动 ( ) 4 及 试 上式两边做傅立叶逆变换，得： | | 验 (5.25) RF ( ) 2 Be (cos sin | |) 技 术 令 0 ，则 (5.26) E[ F 2 ] RF (0) 2 B 沈
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令：
y1 ( t ) A1 sin t y2 ( t ) A2 sin t
4 k 2 3k 2 4 2 0 m m
(6.3)
将(6.3)代入(6.1)式和(6.2)式,得 ： (6.4)
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随 第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 有两个固有频率： 动 n1 k / m n 2 3k / m (6.5) 及 试 和两阶振型： 验 A11 A12 (6.6) 1 1 A技 ＝＝1 A21 A22 术 设： q1 A11 y1 A12 y2 y1 y2 (6.7) 沈 q2 A21 y1 A22 y2 y1 y2

(5.16) (5.17)
或
my
m h( )d x

( t )为平稳随机过程时，y( t ) 亦为平稳的。 x
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 （2）相应的自相关函数（由4.10式可知） 动 RY ( ) E[Y ( t ) Y ( t )] 及 h(1 ) h( 2 ) E[ X ( t 1 ) X ( t 2 ]d1d 2 试 验 h(1 ) h( 2 ) R ( 1 2 ]d1d 2 (5.18) x 技 术 （3）响应的自功率谱密度函数
1 2 )e i ( 1 2 ) d ( 1 2 )
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 H ( ) H ( ) S ( ) 振 x 动 | H ( ) |2 S ( ) (5.19) x 及 单自由度系统受一个基础的运动激励是一个单输 试 验 入单输出系统。 技 6.4系统受随机激励时的受迫振动 术
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随 机 振 动 及 试 验 技 术
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第6章 多自由度线性系统的平稳随机振动
mq1 kq1 x1 ( t ) x2 ( t ) mq2 3kq2 x1 ( t ) x2 ( t )

和两阶振型：
1 x1 x2 q1 ( t ) m 1 2 q2 n2q2 x1 x2 q2 ( t ) m g1 ( t ) 、 g2 ( t ) 是广义坐标里力。
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随 第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动 机 振 5.2 初始条件是随机时的振动响应 动 (5.1) my cy ky 0 及 或 试 (5.2) 2n y 2 y 0 y 验 2 c / 2mn 式中 n k / m 技 术
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SY ( )
把 RY ( ) 代入中 SY ( )

1 RY ( )e i d 2

SY ( ) h(1 )e i1 d1 h( 2 )e i 2 d 2 1 2
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Rx (
2 q1 n1q1
(6.8)
h1 ( )、 h2 ( ) 为新系统的脉冲响应函数。
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B的意义是均方值除以 2。 令 （5.25）式中 0 ，则
E[ F 2 ] RF (0) 2 B
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(5.27)
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第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动
讨论： (1)当时，激振力的周期性频率 (2)很大时，表示曲线衰减快，否则，曲线衰减慢。
第5章 单自由度线性系统的平稳随机振动