专题06 数列中的最值问题(第二篇)(原卷版)

高中数学——数列中的最值问题（相对于其他...
高中数学——数列中的最值问题（相对于其他考点算比较的难考点）
1.例题比较经典，基本都是常考题型，个别题目难度稍微大一些，基础中等偏上的同学们需要掌握
2.一般求最值需要判断数列单调性，做差或者做商，或者变成函数求导来判断，但是要注意数列是离散型的，只能取正整数。

3.趁着寒假，多花一点时间去复习自己薄弱的缓解，今年年后开学早，可以适度放松，但要有自己的学习计划，老想着玩注定与名校无缘[玫瑰][玫瑰][玫瑰]。

备战2020中考数学解题方法专题研究专题6 配方法专题【方法简介】配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。

这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．【真题演练】1. 用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣4）2＝22 C．（x﹣2）2＝10 D．（x﹣2）2＝82. 用配方法解下列方程：(1)x2＋3x－4＝0；(2)x(x＋8)＝609.3. 已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个根恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．4. 用配方法证明：不论x，y取何实数时，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值总不小于常数2.【名词释义】把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±可以将一元二次方程化为形如2()(0)ax b c c +=≥的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为2()ax b c +=的形式；4．若0c ≥，用“直接开平方法”解出；若0c <，则原方程无实数根即原方程无解．“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．【典例示例】例题1：有n 个方程：x 2＋2x －8＝0；x 2＋2×2x－8×22＝0；…；x 2＋2nx －8n 2＝0.小静同学解第1个方程x 2＋2x －8＝0的步骤为“①x 2＋2x ＝8；②x 2＋2x ＋1＝8＋1；③(x ＋1)2＝9；④x ＋1＝±3；⑤x ＝1±3；⑥x 1＝4，x 2＝－2.”(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的；(2)用配方法解第n 个方程x 2＋2nx －8n 2＝0(用含n 的式子表示方程的根)．例题2：先仔细阅读材料，冉尝试解决问题完全平方公式a 2±2ab+b 2＝(a±b)2及(a±b)2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x 2+12x ﹣4的最小值时，我们可以这样处理：解：原式＝2(x 2+6x ﹣2)＝2(x 2+6x+9﹣9﹣2)＝2[(x+3)2﹣11]＝2(x+3)2﹣22因为无论x 取什么数，都有(x+3)2的值为非负数，所以(x+3)2的最小值为0，当x ＝﹣3时，2(x+3)2﹣22的最小值是﹣22，所以当x ＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣22．解决问题：(1)请根据上面的解题思路探求：多项式x 2+4x+5的最小值是多少，并写出此时x 的值；(2)请根据上面的解题思路探求：多项式﹣3x 2﹣6x+12的最大值是多少，并写出此时x 的值．的值．【归纳总结】关于配方法主要在以下几个方面进行运用，①配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用，在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。

专题06 数列一．基础题组1. 【2014上海,文10】设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .【考点】无穷递缩等比数列的和.2. 【2013上海,文2】在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝______.【答案】15　3. 【2013上海,文7】设常数a ∈R .若25()a x x+的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝______.【答案】－2　4. 【2012上海,文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则12lim ()n n V V V →∞+++=…__________.【答案】875. 【2012上海,文8】在(x －1x)6的二项展开式中，常数项等于__________．【答案】－206. 【2012上海,文14】已知1()1f xx=+，各项均为正数的数列{a n}满足a1＝1，a n＋2＝f(a n)．若a2010＝a2 012，则a20＋a11的值是__________．7. 【2012上海,文18】若π2ππsin sin sin777nnS=+++…(n∈N*)，则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是( )A．16 B．72 C．86 D．100【答案】 C　8. 【2008上海,文14】若数列{}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．54【答案】B9. 【2007上海,文14】数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤， 则数列{}n a 的极限值（ ）Ａ.等于0Ｂ.等于1Ｃ.等于0或1Ｄ.不存在【答案】B二．能力题组1. 【2014上海,文23】（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=.（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的仅比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.【答案】（1）[3,6]；（2）1[,2]3；（3）k的最大值为1999，此时公差为11999d=-.【考点】解不等式（组），数列的单调性，分类讨论，等差（比）数列的前n项和.2. 【2013上海,文22】已知函数f(x)＝2－|x|，无穷数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)，n∈N*.(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．【答案】(1)a2＝2，a3＝0，a4＝2 ;(2)a1＝2-舍去)或a1＝2+(3) 当且仅当a1＝1时，a1，a2，a3，…构成等差数列3. 【2012上海,文23】对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k＝max{a1，a2，…，a k}(k＝1,2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列{b n}是{a n}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.(1)若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n}；(2)设{b n}是{a n}的控制数列，满足a k＋b m－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)，求证：b k＝a k(k＝1,2，…，m)；(3)设m＝100，常数a∈(12，1)，若(1)22(1)n nna an n+=--，{b n}是{a n}的控制数列，求(b1－a1)＋(b2－a2)＋…＋(b100－a100)．【答案】(1)参考解析;(2) 参考解析;(3) 2 525(1－a)4.【2011上海,文23】已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n ＋6，b n ＝2n ＋7(n ∈N *)．将集合{x |x ＝a n ，n ∈N *}∪{x |x ＝b n ，n ∈N *}中的元素从小到大依次排列，构成数列c 1，c 2，c 3，…c n ，….(1)求三个最小的数，使它们既是数列{a n }中的项又是数列{b n }中的项；(2) c 1，c 2，c 3，…，c 40中有多少项不是数列{b n }中的项？请说明理由；(3)求数列{a n }的前4n 项和S 4n (n ∈N *)．【答案】(1)9,15,21; (2)10; (3)241233n S n n=+5. 【2010上海,文21】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N *.(1)证明：{a n －1}是等比数列；(2)求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1＞S n 成立的最小正整数n .【答案】(1)参考解析; (2) S n ＝n ＋75·(56)n －1－90, 最小正整数n ＝156. (2009上海,文23)已知{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是公比为q的等比数列.(1)若a n=3n+1,是否存在m、k∈N*,有a m+a m+1=a k?请说明理由;(2)若b n=aq n(a,q为常数,且aq≠0),对任意m存在k,有b m·b m+1=b k,试求a、q满足的充要条件;(3)若a n=2n+1,b n=3n,试确定所有的p,使数列{b n}中存在某个连续p项的和是数列{a n}中的一项,请证明.【答案】(1)不存在m、k∈N*, (2) a=q c,其中c是大于等于-2的整数;(3) p为奇数7. 【2008上海,文21】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分４分，第2小题满分６分，第3小题满分8分．已知数列{}n a ：11a =，22a =，3a r =，32n n a a +=+（n 是正整数），与数列{}n b ：11b =，20b =，31b =-，40b =，4n n b b +=（n 是正整数）．记112233n n n T b a b a b a b a =++++ ．（1）若1231264a a a a ++++= ，求r 的值；（2）求证：当n 是正整数时，124n T n =-；（3）已知0r >，且存在正整数m ，使得在121m T +，122m T +， ，1212m T +中有4项为100．求r 的值，并指出哪4项为100．【答案】（1）4;（2）参考解析;（3）293294297298,,,T T T T()1241.121,12241;123,12441;125,12645;127,1284;129,121044;m n n n n T m m n m m T m n m m T m r nn m m T m r n m m T m r n m m T m =-≥=++=+=++=-+-=++=+-=++=--=++=+当时，当时，当时，当时，当时，8. 【2007上海,文20】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m = ，，，），我们称其为“对称数列”. 例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”.（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b .依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中492625,,c c c ⋅⋅⋅是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列.求{}n d 前n 项的和n S (12100)n = ，，，.【答案】（1）25811852，，，，，，;（2）67108861;（3）参考解析9. 【2006上海,文20】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

专题06 作文（满分作文与预测）40题1．（2223八年级下·上海浦东新·期中）题目：从此，我不再低头要求：（1）写一篇不少于600字的记叙文。

（2）不得透露个人相关信息。

（3）不得抄袭。

2．（2223八年级下·上海松江·期中）相信《蒹葭》中主人公“溯洄从之……溯游从之……”追求不懈的精神给你留下了深刻印象，你也一定有过类似经历，请以“追求不止”为题，写一篇文章。

要求：（1）不少于600字。

（2）不得透露个人相关信息。

（3）不得抄袭。

3．（2223八年级下·上海普陀·期中）题目：终于回来了要求：（1）写一篇不少于600字的文章；（2）不得透露个人相关信息；（3）不得抄袭。

4．（2223八年级下·上海·期中）大千世界充满了无数未知的领域，在人类面前形成了一个个谜团。

爱探求未知的人往往不服输，想要探索、征服它。

请结合你自己的经历，以《面对未知》为题写一篇非虚构类的文章。

要求：（1）写一篇600字左右的文章。

（2）不得透露个人相关信息。

（3）不得抄袭。

5．题目：一次新体验要求：写一篇600字左右的文章，不得透露个人相关信息，不得抄袭。

6．请以“他（她）温暖了我的心”为题，写一篇不少于600字的文章。

要求：（1）不要透露个人相关信息。

（2）不得抄袭，不得使用本试卷中出现的材料。

7．生活中，有许多东西不能缺席，请以“不能缺席”为题目，写一篇作文。

要求：（1）写一篇600字左右的记叙文。

（2）不得透露个人相关信息。

（3）不得抄袭。

8．家,是早出晚归的住所,是日夜思念的故乡,是精神栖息的殿堂……大地是落叶的家，天空是翅膀的家，自然是心灵的家……回家,是过程,是情结,是觉醒……回家,从家人的喜怒哀乐中感受亲情,从故乡的离别团聚中体味牵挂,从精神迷失回归中找寻寄托。

请你大胆联想和想象，以“回家”为题，叙写一个回家的故事,抒发一份情感，分享一份感悟……要求：除诗歌外，文体不限；将作文题目写在答题卡上，作文内容积极向上，字数在600800之间，不要出现所在学校的校名或师生姓名。

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题06数列解答题1．(2022年全国甲卷理科·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．2．(2022新高考全国II 卷·第17题)已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．3．(2022新高考全国I 卷·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值．5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．6．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．7．(2020新高考II 卷(海南卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 通项公式；(2)求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-．8．(2021年高考全国乙卷理科·第19题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知12nb +=．(1)证明：数列{}n b 是等差数列;(2)求{}n a 的通项公式．9．(2021年高考全国甲卷理科·第18题)已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．(1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．()1证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；()2求{}n a 和{}n b 的通项公式．13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题)(12分)等比数列{}n a 中，11a =，534a a =(1)求{}n a 的通项公式；的(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若63m S =，求m ．(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值．15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+,其中0λ≠.(Ⅰ)证明{}n a 是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若53132S =,求λ.16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(本题满分12分)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S ，=记[]=lg n nb a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．(I)求111101b b b ，，；(II)求数列{}n b 的前1 000项和．17．(2015高考数学新课标1理科·第17题)(本小题满分12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知20,24 3.n n n n a a a S >+=+(Ⅰ)求{}n a 的通项公式：(Ⅱ)设112n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和18．(2014高考数学课标2理科·第17题)(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+．(Ⅰ)证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)证明：1231112na a a ++<…+19．(2014高考数学课标1理科·第17题)已知数列的前项和为,,,,其中为常数．(1)证明:;{}n a n n S 11a =0n a ≠11n n n a a S +=-λλ2n n a a l +-={}n a(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由．。

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题06不等式真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）若正实数x ，y ，z ，w 满足x y w ≥≥和2()x y z w +≤+，则w z x y+的最小值等于（）A ．34B ．78C ．1D ．前三个答案都不对2．（2021·北京·高三强基计划）已知,,a b c +∈R ，且111()3a b c a b c ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则()444444111ab c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值是（）A．417+B．417-C ．417D ．以上答案都不对3．（2021·北京·高三强基计划）若a ，b ，c 为非负实数，且22225a b c ab bc ca ++---=，则a b c ++的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．以上答案都不对二、填空题4．（2021·北京·高三强基计划）在锐角ABC 中，tan tan 2tan tan 3tan tan A B B C C A ++的最小值是_________．5．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数122020,,,a a a 满足1220201a a a +++= ，则222202012122320201a a a a a a a a a ++++++ 的最小值为________．6．（2022·浙江·高二竞赛）设a ，b ，c ，d +∈R ，1abcd =，则21914a a+∑∑的最小值为______.7．（2021·全国·高三竞赛）设正实数122020,,,a a a 满足202011i i a ==∑，则120201min1i ii kk a a ≤≤=+∑最大值为_________．8．（2021秋·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设0,0,25y x y x >>+=，则当=x _______时，12y y x +取到最大值．三、解答题9．（2023·全国·高三专题练习）设0()R[]nii i f x a x x ==∈∑，满足00,1,2,,.i a a i n ≤≤= 又设()0,1,,2i b i n = 满足22[()]ni i i f x b x ==∑，证明：()2111.2n b f +⎡⎤≤⎣⎦10．（2023·全国·高三专题练习）设0()nii i f x a x ==∑，1()n ii i g x c x +==∑是两个实系数非零多项式，且存在实数r 使得()()().g x x r f x =-记{}{}001max ,max i i i n i n a a c c ≤≤≤≤+==，证明：()1.a n c ≤+11．（2021·全国·高三竞赛）已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++.12．（2021·全国·高三竞赛）求所有的正实数a ，使得存在实数x 满足22sin cos22x x a a +≥．13．（2022·新疆·高二竞赛）（1）若实数x ，y ，z 满足2221++=x y z，证明：||||||-+-+-≤x y y z z x ；（2）若2023个实数122023,,, x x x 满足2221220231+++= x x x ，求12232022202320231-+-++-+- x x x x x x x x 的最大值．14．（2021·全国·高三竞赛）设m 为正整数，且21n m =+，求所有的实数组12,,,n x x x ，使得22221221i i nmx x x x x =++++ ，对所有1,2,,i n = 成立．15．（2021·全国·高三竞赛）求最大的正实数λ，使得对任意正整数n 及正实数01,,,n x x x ，均有010111.nnk k k kx x x x λ==≥+++∑∑ ．16．（2021·全国·高三竞赛）已知01({0,1,,10})i x i <<∈ 证明：存在,{0,1,2,,10}i j ∈ ，使得()1030i j j i x x x x <-<.17．（2021·全国·高三专题练习）已知：0a >，0b >，1a b +=.2<.18．（2021·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正数，且a b ¹，证明2112a b a b+>>>+.19．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设()1,,2n x x n ⋅⋅⋅≥皆为正数，且满足1211112022202220222022n x x x ++⋅⋅⋅+=+++2022≥20．（2023·全国·高三专题练习）实数,,a b c 和正数λ使得()32f x x ax bx c =+++有三个实数根123,,x x x ．且满足：（1）21x x λ-=；（2）()31212x x x >+，求332279a c abλ+-的最大值.21．（2021·全国·高三竞赛）设,1,2,,i a i n +∈=R ，记：121kk k ni i i kD C aa a =+++∑ ，其中求和是对1，2，…，n 的所有kn C 个k 元组合12,,,k i i i 进行的，求证：1.(1,2,,1)k k D D k n +≥=- ．22．（2021·全国·高三竞赛）已知12,,,n a a a R ∈L ，且满足222121n a a a +++= ，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-L 的最大值.23．（2021·全国·高三竞赛）已知正实数12,,,(2)n a a a n > 满足121n a a a +++= ．证明：23131212121222(1)n n n n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+-- ．24．（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列{}n a 定义为11a =，()11111nn k k a a n n +==+≥∑．证明，存在正整数n ，使得2020n a >．25．（2021·全国·高三竞赛）给定正整数3n ≥．求最大的实数M ．使得211nk k k k a M a a =+⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭∑对任意正实数12,,,n a a a 恒成立，其中11n a a +=．26．（2019·河南·高二校联考竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C --- .27．（2022·贵州·高二统考竞赛）正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．28．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知整数1n >，证明：11!32nnn n n ++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.29．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设实数12,,,n a a a 满足11(1)(1)n ni i i i a a ==+=-∏∏，求1ni i a =∑的最小值.30．（2021·浙江·高二竞赛）设x ，y ，0z >1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.。

2022-2023学年小学四年级思维拓展举一反三精编讲义专题06 巧妙求和知识精讲在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。

这类问题在数学中称为统筹问题。

我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）专题简析：若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1典例分析【典例分析01】有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

【典例分析02】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。

要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。

第100项=3+4×（100－1）=399【典例分析03】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

专题06 名著阅读学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、名著阅读1．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）有同学发现：读《红星照耀中国》就像从平面镜中看客观世界，读《昆虫记》就像从显微镜中看微观世界。

请选择以上两部作品中的一部结合著作内容，说说该同学为什么4．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）该同学所在班级打算下学期开展“共读一本书”活动，请你从以下书籍中选择一本作为共读书籍并说明选择该书的理由。

《红星照耀中国》《昆虫记》《简•爱》（2023秋·广东广州·八年级广州市番禺区香江育才实验学校校考期末）课外阅读时间，同学们纷纷来到班级“图书角”，朵朵找到了她喜爱的《昆虫记》，她的同桌华华则翻阅起《红星照耀中国》。

(2)美国学者休梅克认为：“《红星照耀中国》是一本题目正确、内容正确、出版时间也正确的书。

”小茗不太能理解这个评价，请你从“题目正确”“内容正确”“出版时间正确”中任选一个角度，帮助他理解。

（2023秋·广东·八年级校考期末）阅读以下两个来自不同名著中的摘抄，完成下面的读书任务卡。

摘抄1：（人物一）他是个大个子，像只老虎一样强壮有力。

他已年过半百，但仍很健康。

他不知疲倦。

他们说他在长征路上背着许多受伤的部下行军。

即使他还在当国民党的将领时，他生活也跟他的部下一样简单。

（人物二）在中国，像其他许多红军领袖一样，他是一个传奇式的人物。

他个子清瘦，中等身材，骨骼小而结实，尽管胡子又长又黑，外表上仍不脱孩子气，又大又深的眼睛富于热情。

他确乎有一种吸引力，似乎是羞怯、个人的魅力和领袖的自信的奇怪混合的产物。

（摘自《红星照耀中国》）摘抄2：（甲）它（西班牙犀头）独自一个，毫无外来帮助，为每个孩子预备摇篮似的食物，并且尽心修补，以防止其破裂，使摇篮十分安全。

一．基础题组1. 【金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学】在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 1+ a 2+ a 3 =2, a 3+ a 4+ a 5 =8,则a 4+ a 5+ a 6 = .2. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -=，则11S 的值为 ．3. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】等差数列{}n a 中，公差0d ≠，且2371220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =则68b b ＝ ．考点：1.等差数列的性质;2.等比中项4. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三学】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||q =是“627S S =” 的条件．5.【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且862a a a =+，则=55a S ．6. 【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】等差数列{}n a 中，若124a a +=,91036a a +=，则10S = .考点：等差数列.7. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知32=a ，116=a ，则=7S ．8. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在等比数列{}n a 中，22a =，516a =，则10a = .二．能力题组1. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】 各项均为正数的等比数列{}n a 中，811=a 12...8(2,)m m a a a m m N +⋅⋅⋅=>∈，若从中抽掉一项后，余下的m-1项之积为1m -，则被抽掉的是第 _ 项.2. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】设等比数列{}n a 满足公比*N q ∈，*N a n ∈，且{n a }中的任意两项之积也是该数列中的一项，若8112=a ，则q 的所有可能取值的集合为 ．3. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在数列{}n a 中，11a =，2(1)2n n n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S = .4.【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在数列{}n a 中，10a =，111111n n a a +-=--，设n b =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S = .5.【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题06 数列中的最值问题【典例1】【2019年10月广东省广州市天河区一模】在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，232637225a a a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n+++⋯+取最大值时，求n 的值． 【思路引导】（1）根据等比数列的性质化简2635a a a a =，2375a a a =，联立42a =即可解出答案（2）根据52nn a -=写出5n b n =-，求出292n n n S -=，写出92n S n n -=，再求出其前n 项的和，判断即可。

解：（1）232637225a a a a a ++=，可得2223355352()25a a a a a a ++=+=， 由42a =，即312a q =，①，由01q <<，可得10a >，0n a >，可得355a a +=，即24115a q a q +=，②由①②解得1(22q =舍去），116a =，则15116()22n n n a --==g ； （2）22log log 2n n b a ==55nn -=-，可得219(45)22n n n S n n -=+-=，92n S n n -=， 则127941222n S S S n n -++⋯+=++⋯+221917117289(4)()2244216n n n n n --=+==--+，可得8n =或9时，1212n S S S n++⋯+取最大值18．则n 的值为8或9． 【典例2】【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试】 在等差数列{}n a 中，已知345884,36a a a a +=-=. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求20n S n+的最小值. 【思路引导】（1）根据等差数列的基本量运算，得到首项1a 和公差d ，得到通项n a （2）根据（1）求出的等差数列，得到其前n 项和n S ，表示出20n S n+，然后找到其最小值，注意*n N ∈. 解：(Ⅰ)由34584a a a +=-得428a =，∴由11328736a d a d +=⎧⎨+=⎩，得1222a d =⎧⎨=⎩，即数列{}n a 的通项公式为()2212220n a n n =+-⨯=+. (Ⅱ)由(Ⅰ)得，()21222212n n n S n n n -=+⨯=+，∴202021n S n n n+=++， 令()*2021,f x x n N x =++∈， ()2201f x x=-',当((),0x f x ∈'<；当()(),0x f x ∈+∞>'则()f x在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增， 又*n N ∈Q ，()()4530f f ==∴当4n =或5时，，()f n 取到最小值30，即20n S n+的最小值为30. 【典例3】【2019届高三第一次全国大联考】已知数列{}n a 对任意n *∈N 满足112335(21)(1)32n n a a a n a n +++++-=-+L ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得2019n S >成立的正整数n 的最小值． 【思路引导】（1）由()()()11231352321132n n n a a a n a n a n +-++++-+-=-+L ，可得()()12313523232n n a a a n a n -++++-=-+L ()2n ≥，两式相减可得()32nn a n =≥，然后再验证1a 是否满足上式即可得到结论．（2）根据（1）中的通项公式求出n S ，然后根据题意得到不等式，最后根据函数的单调性求出不等式的解集后可得所求．解：（1）因为()()()11231352321132n n n a a a n a n a n +-++++-+-=-+L ①，所以()()12313523232nn a a a n a n -++++-=-+L ()2n ≥②，①②两式相减，得()()()()213323213nnn n a n n n ⎡⎤-=---=-⎣⎦()2n ≥，所以()32nn a n =≥③．又当1n =时，得12a =，不满足上式．所以数列{}n a 的通项公式为()()2,13,2n n n a n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩．（2）由（1）知，12S =，所以12019S >不成立， 当2n ≥时，123n n S a a a a L =++++232333n =++++L2313333n=-+++++L ()313113n⨯-=-+-=1352n +-， 由13520192n n S +-=>，得134043n +>．令()13n f n +=，则()f n 为增函数，又()()782187364043736561f f ==<<==．因此要使134043n +>成立，只需7n ≥，故使2019n S >成立的正整数n 的最小值为7．【典例4】【河北省衡水市衡水中学2019届高三下学期六调】已知{}n a 为公差不等于零的等差数列，S n 为n a 的前n 项和，且()1n n a S n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为常数列.（1）求1a ； （2）d ∈*N .设4035nn n a b a =-，仅当n 2019=时，n b 最大，求n a .【思路引导】（1）将等差数列{}n a 的通项和求和全部用基本量表示，然后对n 整理，令n 的系数和常数项为0，得到答案.（2）表示出n b 通项，然后化成反比例函数平移的形式，根据对称中心，得到公差d 的范围，然后根据*d ∈N ，得到d 的值，再求出n a 的通项.解：（1）设{}n a 首项为1a ，公差为d ，则()()()()[)11111122111]11n n n n n na d a ds c n a a in d n a n d --++===++-+⎡⎤+-+⎣⎦ 整理得：11022dd n dc a a c dc c ⎛⎫⎛⎫-+----=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的n 恒成立， 只须1110202d c d a a c dc c ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪--+-=⎪⎩解得：1121c a ⎧=⎪⎨⎪=⎩.（2）由题意可知()11n a n d =+-，()()403511114034140344034n n d nd d d b d n d nd d n d+-+-===++-----{}n b 数列的对称中心为4034,1d d +⎛⎫⎪⎝⎭因为仅当2019n =时，n b 最大，所以403420182019d d +≤<，解得201721009d <≤， 又因*d ∈N ，所以2d =,()11221n a n n =+-⨯=- 【典例5】【宁夏银川一中2019届高三第四次月考】 已知数列{}n a ，12a =，26a =，且满足1121n n n a a a +-+=+（2n ≥且*n N ∈）（1）求证：{}1n n a a +-为等差数列； （2）令()10112n n n b a +=-，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求{}2n n S S -的最大值. 【思路引导】(1)将式子变形得到()()112n n n n a a a a +----=，故得到数列{}1n n a a +-是公差为2的等差数列；（2）通过第一问的结论，以及累加法的应用得到()1n a n n =+，代入表达式得到n b ，设2n n n M S S =-，()()110121222n n M M n n +-=-++，将此式和0比即可得到最大项.解：（1）1122n n n a a a +-+=+，则()()112n n n n a a a a +----=. 所以{}1n n a a +-是公差为2的等差数列.（2）()()()()121112242212n n n n n n a a a a a a n n n L L ，-+≥=-++-+=+++=⋅=+.当11,2n a ==满足.则()1n a n n =+.()()1011101!22n n b n n n +=-=-+∴1110122n n S n ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭L ，∴211111*********n nS n n n n ⎛⎫=+++++++- ⎪++⎝⎭L L ， 设2111101222n n n n M S S n n n ⎛⎫=-=+++-⎪++⎝⎭L ，∴121111111023221222n n n n M S S n n n n n ++⎛⎫=-=+++++-⎪++++⎝⎭L ， ∴()()1111111110110102122122122221222n n M M n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=+--=--=-⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭∴当1n =时，11010342n n M M +-=->⨯， 即12M M <，当2n ≥时，10n n M M +-<， 即234M M M >>>L ，∴()2max 1129101346n M M ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭， 则{}2n n S S -的最大值为42296S S --【典例6】已知等差数列{}n a 中，公差0d >，其前n 项和为n S ，且满足：231445,14a a a a =+=g． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）通过公式nn S b n c=+构造一个新的数列{}n b ．若{}n b 也是等差数列，求非零常数c ；（Ⅲ）求()()()*125nn b f n n N n b +=∈+g 的最大值． 解：(1)∵数列{a n }是等差数列．∴a 2＋a 3＝a 1＋a 4＝14， 由23231445a a a a ＝+=⎧⎨⎩，解得2359a a =⎧⎨=⎩或2395a a =⎧⎨=⎩．∵公差d >0，∴a 2＝5，a 3＝9． ∴d ＝a 3－a 2＝4，a 1＝a 2－d ＝1． ∴14(1)43n a n n =+-=-．(2)∵S n ＝na 1＋n (n －1)d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴22nn S n n b n c n c-==++． ∵数列{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2·＝＋，解得12c =- (c ＝0舍去)．∴22212n n nb nn -==-． 显然{b n }成等差数列，符合题意，∴12c =-． (3)由（2）可得()221252(25)(1)262526n n f n n n n n n n===++++++136≤=，当且仅当25n n=，即5n =时等号成立． ∴f (n )的最大值为136． 【典例7】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（二】已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【思路引导】(Ⅰ)利用11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，整理可得数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列，求出{}n b 的通项公式可得数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11122121n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，利用裂项相消法求得11124212163n n T +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭，解不等式可得结果.解：(Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭Q ，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1nn n n n b a b b -=∴=+Q ，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =.又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()111211*********n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <， 因为n 是自然数，所以n 的最大值为4.1.【晋冀鲁豫中原名校2019届高三第三次联考】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且218S =，490S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2115log 3n n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 及n T 的最大值. 【思路引导】（1）利用基本元的思想将已知转化为1,a q 的形式，由此求得1,a q ，进而求得数列的通项公式.（2）先求得n b 的表达式，根据等差数列前n 项和公式求得n T ，再利用二次函数的性质求得n T 的最大值.解：（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，若1q =，有414S a =，212S a =，而4490236S S =≠=，故1q ≠，则()()()()21242211411811119011a q S q a q a q q S q q ⎧-⎪==-⎪⎨-+-⎪===⎪--⎩，解得162a q =⎧⎨=⎩. 故数列{}n a 的通项公式为16232n nn a -=⨯=⨯. （2）由215log 215nn b n =-=-，则2(1415)29222n n n n nT +-==-+. 由二次函数22922x x y =-+的对称轴为292921222x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， 故当14n =或15时n T 有最大值，其最大值为14151052⨯=. 2.【辽宁省大连市瓦房店市高级中学2019-2020学年高三上学期10月月考】 已知数列{}n a 中，11128a =-，0n a ≠，且111364n n n S S a +++=+， （1）求n a ；（2）若4log n n b a =，12...n n T b b b =+++，当n 为何值时，n T 取最小值？并求出最小值.【思路引导】（1）由111364n n n S S a +++=+，得()113264n n n S S a n -+=+≥，两式作差得()122n n a a n +=≥，由11128a =-，计算得2164a =-，满足212a a =，得{}n a 等比数列，即可求出n a ；（2）由（1）得142n b n =-，满足112n n b b +-=，得{}n b 是等差数列，计算出n T 即可.解：（1）在数列{}n a 中，111364n n n S S a +++=+Q ①，()113264n n n S S a n -∴+=+≥②①-②得：1133n n n n a a a a +++=-()2n ≥，()122n n a a n +∴=≥. 且11128a =-，在①式中，令1n =，得2164a =-，212a a ∴=， 即()121n n a n a +=≥，{}n a ∴是以11128a =-为首项，以2为公比的等比数列，18122128n n n a --∴=-⨯=-. （2）由（1）知，82n n a -=-，且4841log l 42og 2n n n b a n -===-， 且()1111144222n n b b n n +⎡⎤⎛⎫-=+---= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以{}n b 是以172b =-为首项，以12为公差的等差数列， 2271152254152224244n n n n n n T ⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∴===. 78n ∴=或时，n T 最小，最小值为14-.3.已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列． （1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若()n n n b a f a =+，当k ={}n b 的前n 项和n S 的最小值. 【思路引导】（1）由题意得出()22n f a n =+，利用对数运算得出22n n a k +=，然后计算出1n na a +为非零常数，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a 是等比数列；（2）求出n a 和()n f a ，利用分组求和法得出n S ，然后分析数列{}n S 为单调递增数列，可得出该数列的最小值为1S ，由此可得出结果； 解：（1）证明：由题意()()41222n f a n n =+-⨯=+， 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，()2122122n n n n a k k a k++++∴==．Q 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列；（2）当k =时，112n n a +=，()22n f a n =+，()11222n n n n b a f a n +∴=+=++. ()2111142211423122212n n n n nS n n +⎛⎫- ⎪++⎝⎭∴=+=++--.1n ≥Q ，数列2111322n n S n n +=++-是递增数列，因而最小值为1111713244S =++-=；4.【安徽省黄山市2019-2020学年上学期高中毕业班第一次质量检测】 已知等比数列{}n a 中，0n a >，12a =，且12112n n n a a a ++-=，*n N ∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设4log n n n b a a =，若{}n b 前的前n 项和2020n S ≤，求n 的最大值.【思路引导】(1)由{}n a 是等比数列，令1n =可列出方程求出2q =，代入等比数列通项公式即可；（2）表示出{}n b 的通项公式，由错位相减法可求得n S ，代入已知不等式即可得解. 解：（1）由{}n a 是等比数列，令1n =可得2123112112222a a a q q-=⇒-= 2202q q q ⇒--=⇒=或1q =-（舍去），故2nn a =. （2）由题14log 2n n n n b a a n -==⋅，所以01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯又12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ 两式相减得1(1)2nn S n =+-⨯易知n S 单调递增，且891793,=40972020S S =>，故n 的最大值为8.5.【2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学】记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且223n S n n =-.递增的等比数列{}n b 满足，23a b =，3123a b b b =++，记数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求满足7n T S ≤的最大正整数n 的值.【思路引导】（1）当1n =时，解得11a =；2n ≥时，利用1n n n a S S -=-得到32n a n =-；再计算n b 得到答案.（2）计算770S =，21n n T =-，故2170n -≤，则271n ≤，计算得到答案.解：（1）当1n =时，122a =，解得11a =；当2n ≥时，223-n S n n =，2123(1)(1)n S n n -=---，两式相减，可得264n a n =-，故32n a n =-，故*n ∀∈N ，32n a n =-. 则34b =，1237b b b ++=，记数列{}n b 的公比为q ，则24447q q ++=，则23q =-或2q =， 而数列{}n b 递增，故23q =-舍去，故12n n b -=. （2）依题意，()1777702a a S +⋅==，而21n n T =-，故2170n -≤，则271n ≤，因为*n ∈N ，且6264=，72128=， 故满足7n T S ≤的最大正整数n 的值为6.6.【浙江省温州九校2019届高三第一次联考数学试题】已知数列{}n a 中，()110,2*n n a a a n n N +==+∈，（1）令+11n n n b a a =-+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）令3n n n a c =，当n c 取得最大值时，求n 的值. 【思路引导】（1）由题可得121221n n n n a a n a a n +++=+=++，两式相减， 得()211121n n n n a a a a +++-+=-+，即12n n b b +=，求出120b =≠，即可得证；（2）由（1）可知，2n n b =即121n n n a a +-=-，通过累加可得21n n a n =-- 则213n n n n c --=，而112123n n n n n c c +++--=，令()212n f n n =+-，讨论()()122n f n f n +-=-的符号可得n c 的最大值，进而得到n .解：（1）121221n n n n a a n a a n +++=+=++Q ，两式相减，得211221n n n n a a a a +++-=-+∴()211121n n n n a a a a +++-+=-+即：12n n b b +=21120a b ==≠Q 又，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可知，2n n b =即121n n n a a +-=-2121a a -=-23221a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅()11212n n n a a n ---=-≥()211222121n n n a a n n -∴-=++⋅⋅⋅+--=--2,21n n n a n ∴≥=--11,0n a ∴==也满足上式21n n a n ∴=--111212233n n n n n n n n c c +++----=∴= 11112221212333n n nn n n n n n n n c c ++++----+-∴-=-=令()212n f n n =+-，则()11232n f n n ++=+-，()()122n f n f n ∴+-=-()()()()()()12,234f f f f f f n ∴=>>>⋅⋅⋅>()()()()1210,310,3,0f f f n f n ==>=-<∴≥<Q123345...c c c c c c ∴>，∴3,n n c =最大，即3k =7.【2020届湖南省长沙市雅礼中学高三第5次月考】 已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，且22S -，3S ，44S 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于数列{}n A ，若存在一个区间M ，均有()1,2,3i A M i ∈=⋅⋅⋅，则称M 为数列{}n A 的“容值区间”.设1n n nb S S =+，试求数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值. 【思路引导】（1）根据324224S S S =-+，求出公比，即可得解；（2）对项数分奇偶讨论112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的取值范围，即可得到区间长度的最小值.解：（1）由题意可知：324224S S S =-+，即()()1231212342a a a a a a a a a ++=-+++++， ∴4312a a =-，即公比12q =-又132a =，∴13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭. （2）由（1）可知112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 当n 为偶数时112n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知n S 随n 增大而增大，∴3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，根据勾型函数性质，此时1252,12n n n b S S ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦. 当n 为奇数时112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知n S 随n 增大而减小， ∴31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，根据勾型函数性质，此时1132,6n n nb S S ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦. 又1325612>，∴132,6n b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故数列{}n b 的“容值区间”长度的最小值为16. 8.【江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三11月月考】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N +=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围. 【思路引导】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求得数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）求得n S 的表达式，然后利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和n T .利用差比较法证得数列{}n T 递增，进而求得n T 的取值范围.解：（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2111241a a a +=-，得11a =，由2241n n n a a S +=-，得2111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得22111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-= 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列.因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2n n n S n +-== 所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣ 所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)n n n ++-+L 2222222111111111433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭L 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦令21()1(21)f n n =-+，则(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++ 所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增， 所以129n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭.。

问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 题型一：求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的的值.【解法一】基本不等式法.n a =2156n n +=1156n n+,因为156n n +1562n n ⨯；当且仅当156n n =,即n=156时,而,144156169<< 且n ∈N *,于是将n=12或13代人,得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的的值,从而找到最大项【小试牛刀】在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }先递增,后递减；(2)求数列{a n }的最大项.(2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大.【点评】要证明数列{a n }是单调的,可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1,数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.题型二：数列前n 项和最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn(A,B 为常数)．(3)利用⎩⎨⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1求出S n 的最值.【例2】在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d,前n 项和为S n ,当且仅当n ＝8时S n 取最大值,则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大,可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数,再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．【解析】 (2)方法一(通法)：由于S n ＝7n ＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫7－d 2n,设f(x)＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－d 2x,则其图象的对称轴为直线x ＝12－7d .当且仅当n ＝8时S n 取得最大值,故7.5<12－7d <8.5,解得－1<d<－78.方法二(优法)：由题意,得a 8>0,a 9<0,所以7＋7d>0,且7＋8d<0,即－1<d<－78.【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且满足170S >,180S <,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010Sa 【答案】C 【解析】117917917()17(2)000022a a a S a +>⇒>⇒>⇒>11889181091018()18()0000022a a a a S a a a ++<⇒<⇒<⇒+<⇒<,因此8910121289100,0,0,0,0,S S SS S a a a a a >>>><而1291289,S S S a a a a <<<>>>>,所以89121289S S S S a a a a <<<<,选C. 题型三：求满足数列的特定条件的最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列,若981a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,那么当n S 取得最小正值时,n 等于（ ） A ．17 B ．16 C ．15 D ．14 【分析】利用等差数列的性质求前项和的最值.【解析】∵数列{}n a 的前n 项和有最大值,∴数列{}n a 为递减数列,又981a a <-, 8900a a ><∴，且890a a +<,又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a ++==>==+<，,故当15n =时,n S 取得最小正值,故选C ．【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数,且214a a =,()2*12n n n a a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+,数列{}n b 的前项和为n T ,求使345n T >成立时的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6【解析】（Ⅰ）由已知,2211124a a a a =+=,则()1120a a -=, 因为数列{}n a 各项为正数,所以12a =, 由已知,()21110n n a a ++=+>, 得()()313log 12log 1n n a a ++=+. 又()313log 1log 31a +==,所以,数列(){}3log 1n a +是首项为1,公比为2的等比数列.题型四：求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立,求实数的最大值. 【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得的最大值．【解析】(1)当1n =时,由2326n n n a a S ++=,得2111326a a a ++=,即211320a a -+=. 又()10,2a ∈,解得11a =.由2326n n n a a S ++=,可知2111326n n n a a S +++++=.两式相减,得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=,即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >,可得130n n a a +--=,即13n n a a +-=,所以{}n a 是首项为,公差为的等差数列,所以()13132n a n n =+-=-.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点． 【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前项和为n S ,若对任意的正整数,不等式216n n mS S ->恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为. 【答案】5【解析】要使216n n m S S ->恒成立,只需2min ()16n n m S S ->. 因2(1)1()n n S S ++-2222121221()()()n n n n n n n n n S S S S S S a a a +++++--=---=+-11111111022232222422224n n n n n n n n =+->+-=->++++++++,所以22113n n S S S S -≥-=,所以1161633m m <⇒<,m 所能取得的最大整数为5.题型五：实际问题中的最值【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全,国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案,计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆,以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆,计划以后每月比上一月多新购m 辆． （Ⅰ）求经过n 个月,两省新购校车的总数S(n)；（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标,求m 的最小值．【分析】本题主要考查实际问题、等差等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等数学知识,考查学生将实际问题转化为数学问题的能力,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,通过对题意的分析可知甲方案能构成等比数列,而乙方案能构成等差数列,利用等差等比数列的前n 项和公式分别求和,再相加即可；第二问,利用第一问的结论,得出3n =且(3)1000S ≥,直接解不等式即可得到m 的取值范围,并写出最小值.【解析】（Ⅰ）设a n ,b n 分别为甲省,乙省在第n 月新购校车的数量．依题意,{a n }是首项为10,公比为1＋50%＝32的等比数列；{b n }是首项为40,公差为m 的等差数列． {a n }的前n 项和310[1()]2312n n A -=-,{b n }的前n 项和[4040(1)](1)4022n n n m n n mB n ++--==+. 所以经过n 个月,两省新购校车的总数为S(n)＝310[1()](1)2403212n n n n n m A B n --+=++- 3(1)20[()1]4022n n n mn -=-++2320()(40)20222n m mn n =++--.（Ⅱ）若计划在3个月内完成新购目标,则S(3)≥1000,所以323(3)20()3(40)3201000222m mS =+⨯+-⨯-≥,解得m ≥277.5.又*∈N m ,所以m 的最小值为278.【小试牛刀】某企业为节能减排,用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后,年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本）,则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为n a 万元,则数列{}n a 是以为首项,以为公差的等差数列,则2n a n =,则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+,设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元,则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-,因此,该设备年平均盈利额为210999*********n S n n n n n n n n n n -+-⎛⎫==--+=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭,当且仅当9n n =且当n N *∈,即当3n =时,该设备年平均盈利额达到最大值,此时3n =,故选A.【迁移运用】1．【2016·辽宁大连统考】数列{a n }中,如果存在a k ,使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2,k ∈N *),则称a k 为数列{a n }的峰值,若a n ＝－3n 2＋15n －18,则{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133 D.163【答案】A【解析】因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34,且n ∈N *,所以当n ＝2或n ＝3时,a n 取最大值,最大值为a 2＝a 3＝0.2.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,n S 是其前项和,若236 a a a ，，成等比数列,且1017a =-,则2nnS 的最小值是（ ） A ．12- B ．58- C.38- D ．1532-【答案】A3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列{}n a 中,存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,且6542a a a =+,则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >,则由6542a a a =+得220q q --=,解之得2q =或1q =-（舍去）,因为存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,所以1111224m n a a --=,解之得6m n +=,所以1411414143()()(5)(52)6662n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⨯=,当且仅当4,6n m m n m n =+=即2,4m n ==时等号成立,所以14m n +的最小值是32,故选A. 4.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =,12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n n b n a λ+=-⋅+()n N *∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D5.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是( )． A.163 B.133 C ．4 D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34,由二次函数性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大为0.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7＞0,a 8＜0,故n ＝7时,S n 最大． 【解析二】由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d,把a 1＝13代入,得d ＝－2, 故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n,根据二次函数的性质,知当n ＝7时,S n 最大． 【解析三】根据a 1＝13,S 3＝S 11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值．7.在数列{a n }中,a n ＝n － 2 013n － 2 014,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A ．a 1,a 50B ．a 1,a 44C ．a 45,a 44D ．a 45,a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014,∴当n ∈1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f(x)＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.8.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数()()22812f x x a x a a =++++-,且()()2428f a f a -=-,设等差数列{}n a 的前项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（）， 解得a=1或a=-4,当a=-1时,2712f x x x =+-（）,数列{a n }不是等差数列； 当a=-4时,24f x x x =+（）,24nS f n n n ==+（）, ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，,()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯()113113122121312121n n n n =⨯+++≥++⎡⎤⨯⎢⎥=++⎣⎦+（）（），当且仅当1311n n +=+,即131n =-时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 9. 【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为． 【答案】﹣49【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, ∵S 10=10a 1+45d=0,S 15=15a 1+105d=25, ∴a 1=﹣3,d=, ∴S n =na 1+d=n 2﹣n,∴nS n =n 3﹣n 2,令nS n =f （n ）,∴f ′（n ）=n 2﹣n,∴当n=时,f （n ）取得极值,当n ＜时,f （n ）递减；当n ＞时,f （n ）递增；因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可． f （6）=﹣48,f （7）=﹣49, 故nS n 的最小值为﹣49． 故答案为：﹣49．10.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 满足151=a ,12n na a n+-=,则na n的最小值为． 【答案】27411.【2016·湖南衡阳五校联考】已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝1－14a n,其中n ∈N *. (1)设b n ＝22a n －1,求证：数列{b n }是等差数列,并求出{a n }的通项公式a n . (2)设c n ＝4a n n ＋1,数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ,是否存在正整数m,使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在,求出m 的最小值；若不存在,请说明理由． 【解析】(1)b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2. 所以数列{b n }是等差数列,a 1＝1,b 1＝2,因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n, 由b n ＝22a n －1得a n ＝n ＋12n .(2)c n ＝2n ,c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛1n －⎭⎪⎫1n ＋2, 所以T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3, 依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立,只需m （m ＋1）4≥3, 解得m ≥3或m ≤－4(舍), 所以m 的最小值为3.12.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前项和为n S ,212n n n S a a =+,n N *∈（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T ,求证：2n T <；（3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥ 【解析】（1）时,是以为首项,为公差的等差数列（2）,,即2n T <（3）由得, 当且仅当时,有最大值,13.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且55625S a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数都成立,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）34n a n =-（Ⅱ）2974k -<<14.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =,且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列11{}n n a a +的前项和,且存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,求实数λ的取值范围.【答案】（1）1n a n =+；（2）1(,]16-∞. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ,则1211154520,2(2)(6),a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩即12124,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩ 又因为0d ≠,所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+. （2）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++, 所以11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 因为存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,所以存在*n N ∈,使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立,即存在*n N ∈,使22(2)nn λ≤+成立.又2142(2)2(4)n n n n =+++,114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）, 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.15.已知等差数列{}n a 满足：12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前项和,是否存在正整数n,使得n S 60800n >+？若存在,求的最小值； 若不存在,说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为,依题意, ,2d +,24d +成等比数列,故有2(2)2(24)d d +=+,化简得240d d -=,解得0d =或d =. 当0d =时,2n a =；当d =时,2(1)442n a n n =+-⋅=-,从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.16.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q, 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5, 即4a 5＝a 3,于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32,所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×1)21(--n ＝(－1)n －1·32n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－n)21(-＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1＝32,故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34＝S 2≤S n <1,故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上,对于n ∈N *,总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－712.17.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ﹣10,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 【答案】（1）a n =2n ﹣1；（2）﹣25．【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100,∴,∴解得a 1=1,d=2,∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1． （2）∵b n =a n ﹣10=2n ﹣11, ∴=2﹣11=﹣9,b n ﹣b n ﹣1=（2n ﹣11）﹣2（n ﹣1）﹣11]=2,∴数列{b n }是首项为﹣9,公差为2的等差数列, T n ==n 2﹣10n=（n ﹣5）2﹣25．∴当n=5时,数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为﹣25． 18.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a ,且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩,记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩,可归纳证明对任意nk ,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >,因为12k k a a -=或1236k k a a -=-,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n ,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. （3）由136a ,*1a ∈N ,11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩,可归纳证明()362,3,na n =.因为1a 是正整数,112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩,所以2a 是2的倍数.从而当3n时,n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数,由（2）知对所有正整数n ,n a 是3的倍数,因此当3n时,{}12,24,36n a ∈,这时,M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数n ,n a 不是3的倍数,因此当3n时,{}4,8,16,20,28,32n a ∈,这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8. 19.设数列{}n a （1,2,3,n =）的前项和n S 满足12n n S a a =-,且1a ,21a +,3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T ,求使得111000nT -<成立的的最小值.（2）由（1）可得112n n a =,所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==--.由111000n T -<,得111121000n --<,即21000n>.因为9102512100010242=<<=,所以10n .所以使111000nT-<成立的的最小值为10.。

【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值 例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略 （1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域 （7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（ ） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________． 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 热点二 求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 热点三 求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______． 【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四 求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（ ）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（ ）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（ ） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（ ）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（ ） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__． 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。

专题06 求值问题（含最值问题）第9-12章 四边形、分式、反比例函数、二次根式共50题一、单选题1．如图，矩形ABCD 中，8AB AD ==，点E 在边AD 上，且1:3AE ED =:．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作交射线BC 于点F ，联结PF ．设M 是线段PF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，线段DM 长的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在ABC 中，，以ABC 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ．延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ ．图中两块阴影部分面积分别记为1S ，2S ，若12:1:4S S =，四边形18BAHE S =，则四边形MBNJ 的面积为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．93．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若，2BC CE ==，则EH =（ ）A B ．2 C D 4．如图，反比例函数()30y x x =>的图象经过等腰直角三角形的顶点和顶点C ，反比例函数()0ky x x=<的图象经过等腰直角三角形的顶点B ，，AB 边交y 轴于点D ，若，C 点的纵坐标为1，则k 的值是（ ）A ．6316-B ．498-C ．4912-D ．-65．如图，反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图象经过点A （﹣2，2），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B '在此反比例函数的图象上，则t 的值是（ ）A ．B ．C ．4D ．6．两个反比例函数3y x =，6y x =在第一象限内的图像如图所示，点1P 、2P 、3P ……2020P 反比例函数6y x=图像上，它们的横坐标分别是1x 、2x 、3x ……2020x ，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点1P 、2P 、3P ……2020P 分别作y 轴的平行线，与反比例函数3y x=的图像交点依次是、、……，则2020y 等于（ ）A ．2019.5B ．2020.5C ．2019D ．40397．如图，平面直角坐标系xOy 中，线段BC ∥x 轴、线段AB ∥y 轴，点B 坐标为(4，3)，反比例函数y ＝（x ＞0）的图像与线段AB 交于点D ，与线段BC 交于点E ，连结DE ，将△BDE 沿DE 翻折至△B'DE 处，则点B'的纵坐标是（ ） A ．715B ．C ．512D ．7248．如图，反比例函数(0)ky x x=<的图像经过点(2,2)A -，过点作AB y ⊥轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点(0,)P t ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B '在此反比例函数的图像上，则t 的值为（ ）．A B ．C ．1D ．1-9．如图，已知点是反比例函数y x=在第一象限图像上的一个动点，连接OA 为长，OA 为宽作矩形AOCB ，且点C 在第四象限，随着点的运动，点C 也随之运动，但点C 始终在反比例函数ky x=的图像上，则k 的值为（ ）A ．-B ．C ．D ．10．如图，已知点在反比例函数(0)a y a x =>的图象上，点B 、D 在反比例函数(0)by b x=<的图象上，////AB CD x 轴，AB 、CD 在x 轴的两侧，与CD 的距离为5，则a b -的值是A ．25B ．8C ．6D ．3011．如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E 为BC 边的中点，沿AP 折叠使D 点落在AE 上的点H 处，连接PH 并延长交BC 于点F ，则EF 的长为( )A ．B ．52-C ．3D ．1412．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠DAB =60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使△PBE 的周长最小，则△PBE 的周长的最小值为 ( )A ．B ．4C ．2D ．4+13．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点,E F 在正方形ABCD 内， ,EAB FDC ∆∆都是等边三角形，则EF 的长为（ ）A ．2B ．2-C 1D 14．如图，正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合，将△AEF 绕顶点A 旋转，在旋转过程中，当BE=DF 时，∠BAE 的大小可以是( )． A ．15° B ．165°C ．15°或165°D ．90°15．如图，在ABC ，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为（ ） A ．1.2B ．2.4C ．2.5D ．4.816．如图，平面内三点、B 、C ， 4AB =，3AC =，以BC 为对角线作正方形BDCE ，连接AD ，则AD 的最大值是 （ ）A ．5B ．7C ．D 17．如图，在平行四边形ABCD 中，于EF ，为AD 的中点，则AEF ∠的大小是( )A．54︒B．60︒C．66︒D．72︒MN再过点B折叠纸片，使点格在MN 18．如图，把正方形ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为,BE若AB长为2,则EN的长为(（）上的点F处，折痕为,A．3B．3-C．D．AB=，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD 19．如图，在正方形ABCD中，4的中点，连接GH，则GH的最小值为（）A B1C．2 D．4-20．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A．B．C．D．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上一点，将矩形沿AE折叠，点B落在点B'处，当△B'EC 是直角三角形时，BE的长为（）A．2 B．6 C．3或6 D．2或3或6二、填空题+=________．22．若a，b，c是实数，且，则2b c23．实数a、b满足，则22a b+的最大值为_________．24．甲容器中装有浓度为a，乙容器中装有浓度为b，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________．25．已知x=_________26．已知可写成的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______. 27．已知实数,x y 满足，则2232332007x y x y -+--的值为______.28．已知实数m 、n 、p 满足等式，则p =__________． 29．已知2221,2,16abc a b c a b c =++=++=，则的值是_________30．若240x y z -+=，4320x y z +-=．则的值为______31．对于正数x ，规定f （x ）＝11x +，例如：f （3）＝，f （13）11311413==-+，计算：f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （2004）+ f （2005）+ f （2006）＝______．32．将，，，…，依次代入得到1y ，2y ，3y …100y ，那么123100y y y y ++++=__________．33．若关于x 的方程有唯一解，则,a b 应满足的条件是_________________． 34．已知：223x x =+，328215y x x x =+-，计算：的值是_____．35．已知：①x +＝3可转化为x +＝1+2，解得x 1＝1，x 2＝2， ②x +6x＝5可转化为x +＝2+3，解得x 1＝2，x 2＝3， ③x +＝7可转化为x +＝3+4，解得x 1＝3，x 2＝4，……根据以上规律，关于x 的方程x +23n nx +-＝2n +4的解为_____．36．已知:x 满足方程11200620061x x =--,则代数式的值是_____.37．如图，在ABC 中，D 在BC 边上，且D 关于AC 、AB 的对称点分别为E 、F 若，，9ABCS =+连接EF ，则四边形BCEF 面积的最大值是__________．38．如图，正方形ABCD 的边长为2，M 是BC 的中点，N 是AM 上的动点，过点N 作EF ⊥AM 分别交AB ，CD 于点E ，F ．（1）AM 的长为_____； （2）EM +AF 的最小值为_____．39．如图，在正方形ABCD 中，点E 为BC 边上一点，且CE =2BE ，点F 为对角线BD 上一点，且BF =2DF ，连接AE 交BD 于点G ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，若HG =2cm ，则正方形ABCD 的边长为__________cm ．40．如图，长方形纸片ABCD 中，AD =7，CD =4，将长方形纸片折叠，使点B 落在AD 上的点E 处，折痕为AF ，再沿DF 折叠，使点C 落在点G 处，连接CG ，交DF 于点I ．则线段CG 的长度为____．在折痕DF 上有一动点P ，连接PC ，过点P 作PH ⊥DC 交DC 于H ．则PC +PH 的最小值为____．41．如图，正方形ABCD 中，AB =6，F 为AB 边上一点，H 是BC 延长线上一点，将△BHF 沿HF 翻折，使点B 恰好落在AD 边上的点E 处，EH 与CD 交于点G ，连接BG ，与HF 交于点M ，若BG 平分∠CGE ，AE =4，则FM =___．42．如图，长方形ABCD ，10AB =，8AD =，将长方形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，连结AP 、BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM =，连结MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是________．43．如图，在四边形ABCD 中，，BD 平分ABC ∠，过点作交BD 于点E ，EFBC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．44．如图，点P 是射线CM 上的一个动点，且APQ 是等边三角形，CM 平行于x 轴，已知点A 、B 、C ，若四边形ABPQ 的四边,,,AB BP PQ QA 中有两条边互相平行时，则P 的坐标是_______．45．如图，等腰直角三角形OAB 的一条直角边在y 轴上，点P 是边AB 上的一个动点，过点P 的反比例函数ky x=的图象交斜边于点Q ，（1）当Q 为中点时，:AP PB =_________（2）若P 为AB 的三等分．．．点．，当AOQ △的面积为k 的值为________．46．如图，P 是反比例函数12(0)y x x=>上的一个动点，过P 作PA x ⊥轴，PB y ⊥轴．（1）若矩形的对角线10AB =，则矩形OAPB 周长为________；（2）如图，点E 在BP 上，且2BE PE =，若E 关于直线AB 的对称点F 恰好落在坐标轴上，连结,,AE AF EF ，则AEF 的面积为___________．47．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(,0)m ，点Q 在x 轴上，且不与P 重合，以PQ 为边，60PQM︒∠=作菱形PQMN ，使点M 落在反比例函数y x=-的图象上．（1）若如图所示的点P 的坐标为，则图中点M 的坐标为________；（2）随着m 的取值不同，当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时，则点M 的坐标为________．48．如图，函数y= (x>0)的图象与矩形OABC 的边BC 交于点D ，分别过点A ，D 作AF ∥DE ，交直线y=k 2x(k 2<0)于点F ，E.若OE=OF ，BD=2CD ，四边形ADEF 的面积为12，则k 1的值为________.49．如图，等腰直角△ABC 位于第二象限，BC ＝AC ＝3，直角顶点C 在直线y ＝﹣x 上，且点C 的横坐标为﹣4，边BC 、AC 分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y ＝kx与△ABC 的边AB 有2个公共点，则k 的取值范围为___________ ．50．将反比例函数(0,0)ky k x x=<<的图像绕着原点O 顺时针旋转45°得到新的双曲线图像1C （如图1所示），直线l x ⊥轴，F 为x 轴上的一个定点，已知，图像1C 上的任意一点P 到F 的距离与直线l 的距离之比为定值，记为e ，即(1)PFe PH>．（1）如图1，若直线l 经过点B (1,0),双曲线1C 的解析式为y =且2e =，则F 点的坐标为__________．（2）如图2，若直线l 经过点B (1,0), 双曲线2C 的解析式为y =(5,0)F ，P 为双曲线2C 在第一象限内图像上的动点，连接PF ，Q 为线段PF 上靠近点P 的三等分点，连接HQ ，在点P 运动的过程中，当HQ 时，点P 的坐标为__________．。

重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）题型一：单调性法求数列最值一、单选题1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5711125,26,n n na S a ab a +=-+==，则数列{}n b （ ）A ．有最大项，无最小项B ．有最小项，无最大项C ．既无最大项，又无最小项D ．既有最大项，又有最小项【答案】D【分析】根据等差数列的首项1a ,公差d 列方程,可得1a 和d ,进而可得{}n a ,{}n b 通项,进而根据{}n b 的单调性,即可得最值.【详解】等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 由571125,26,S a a =-+=得1115102511216263a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ ,故()1131314n a n n =-+-=-11=13-14n n n a b a n +=+ 当5,n n N ≥∈时, {}n b 单调递减,故5671b b b >>>>,且52b =当15,n n N ≤<∈时, {}n b 单调递减,故12341b b b b >>>>,且14101112b b ==， 故{}n b 有最大值为2,最小值为12 故选:D2．（2022·北京·二模）已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为－3，且31a =，448a b =，则数列{}n n a b （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求出等差数列和等比数列的通项公式,n n a b ，得出n n a b ，确定数列{}n n a b 中奇数项都是负数，偶数能力拓展项都是正数，然后设n n n c a b =，用作差法得出{}n c 的单调性，从而可得数列{}n n a b 的最值． 【详解】13a =-，31a =，则1(3)22d --==，32(1)25n a n n =-+-=-， 4438a b ==，438b =，34118b q b ==-，12q =-，111(1)33()22n n n n b ---⋅=-⨯-=，1(1)3(25)2n n n n n a b --⋅-=，显然奇数项都是负数，偶数项都是正数， 设13(25)2n n n n n c a b --==，则113(23)3(25)3(72)222n n n n nn n n c c +-----=-=， 3.5n <，即3n ≤时，10n n c c +->，1n n c c +>，4n ≥时，10n n c c +-<，1n n c c +<，即数列{}n c ，从1c 到4c 递增，从4c 往后递减，由于{}n n a b 中奇数项都是负数，偶数项都是正数， 所以{}n n a b 中，44a b 最大， 又334c =，5153164c =>，所以55a b 是最小项． 故选：A ．3．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知等差数列{}n a 的首项11a =，且4329a a =+，正项等比数列{}n b 的首项112b =，且24332b b =，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n n b S 的最大项的值为（ ） A ．89B ．1C ．98D ．2【答案】C【分析】先求出n a ，的得到n S ，再求出n b ，从而得出n n b S ，然后分析出数列{}n n b S 的单调性，得出答案. 【详解】设等差数列{}n a 的公比为d ，由4329a a =+，则()112932a a d d =+++ 即()211329d d ++=+，故2d =，则()1121n a a n d n =+-=- 则()2112n n n n S na d -=+⨯=设正项等比数列{}n b 的公比为()0q q >，由24332b b =，则()2321132b q b q =所以232113222q q ⎛⎫⨯=⨯ ⎪⎝⎭，解得12q =，则1112n n n b b q -==22n n n b S n =，设22=n n n c ，则()221122n n n n c n c n++==当02n <≤时，11n nc c +>，即123c c c << 当3n ≥时，11n nc c +<，即345c c c >>>所以233333928c b S ===最大.故选：C4．（2022·广东·一模）已知正项数列{}n a 满足1*()n n a n n =∈N ，当n a 最大时，n 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【分析】先令1x y x =，两边取对数，再分析ln ()xf x x=的最值即可求解. 【详解】令1xy x =，两边取对数，有1ln ln ln xxy x x==， 令ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，当()0f x '>时，0e x <<；当()0f x '<时，e x >. 所以()f x 在(0,e)上单调递增，在(e,+)∞上单调递减. 所以e x =时，()f x 取到最大值，从而y 有最大值，因此，对于1*()nn a n n =∈N ，当2n =时，1222a =；当3n =时，1333a =.而113232>，因此，当n a 最大时，3n =. 故选：B 二、多选题5．（2021·广东·高三阶段练习）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a =，则下列结论中正确的是（ ） A ．()211n n n a n n ++=+B ．211n n n S n +-=+C ．32n a ≤D ．满足2021n S ≤的n 的最大值为2020 【答案】ACD【分析】A 选项，对n a =B 选项，对通项公式分离常数后利用裂项相消法求和；C 选项，{}n a 是单调递减数列，故132n a a ≤=；D 选项，在B 选项的基础上进行求解即可..【详解】()211n n n a n n +++，故A 正确； 因为()1111111n a n n n n =+=+-++，所以2111111211223111n n n S n n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 因为()()()1111112n n n n +>++++，所以1n n a a +>，所以{}n a 是单调递减数列，所以132n a a ≤=，故C 正确； 因为11101n a n n =+->+，所以n S 单调递增，且20202021S <，20212021S >，所以满足2021n S ≤的n 的最大值为2020，故D 正确． 故选：ACD6．（2022·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 各项均为正数，120a =，43220a a a +-=，数列{}n a 的前n 项积为n T ，则（ ） A ．数列{}n a 单调递增 B ．数列{}n a 单调递减 C ．当5n =时，n T 最大 D ．当5n =时，n T 最小【答案】BC【分析】由等比数列基本量求得等比数列{}n a 的公比，由0n a >可得数列{}n a 的增减性，然后由1+n nT T 判断数列{}n T 的单调性，从而得到n T 的最值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，43220a a a +-=，222220a q a q a ∴+-=，等比数列{}n a 各项均为正数，20a ∴>，2210q q ∴+-=，12q ∴=， 120a =，1202nn a ⎛⎫∴=⨯ ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 单调递减；121n n n T a a a a -=，11211n n n n T a a a a a +-+∴=，111202nn n n T a T ++⎛⎫∴==⨯ ⎪⎝⎭，当14n ≤≤时，1112012n n n n T a T ++⎛⎫==⨯> ⎪⎝⎭；当5n ≥时，1112012nn n n T a T ++⎛⎫==⨯< ⎪⎝⎭；∴数列{}n T 中，从1T 到5T 递增，从5T 开始递减，5n ∴=时，数列{}n T 中5T 最大.故选：BC7．（2021·河北·高三阶段练习）已知d ，n S 分别是等差数列{}n a 的公差及前n 项和，798S S S >>，设12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（ ）A ．满足0n S >的最小n 值为17B ．89a a <C ．78910a a a a ⋅>⋅D ．8n =时，n T 取得最小值【答案】AC【分析】由已知可得80a <，90a >，890a a +<，公差0d >，利用等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可判断A ；由890a a +<可判断B ；作差结合890a a +<可判断C ；由n T 的单调性以及n b 的符号即可求出n T 的最小值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】由题意知：8870a S S =-<，9980S a S =->，97890S S a a -=+<， 选项A 中：()()89116161616022a a a a S ++==<，()117179171702a a S a +==>，所以满足0n S >的最小n 值为17，故选项A 正确；选项B 中：89890a a a a -=-->，即89a a >，故选项B 错误； 选项C 中：由80a <，90a >可知公差0d >，则91078a a a a -=()()()88882a d a d a a d ++--()2882422d da d d a =+=+()8920d a a =+<所以78910a a a a ⋅>⋅，故选项C 正确；选项D 中：当8n ≤时，0n a <，当9n ≥时，0n a >，所以当6n ≤时，0n b <，1n n T T +<；77890b a a a >=，889100b a a a =<，当9n ≥时，0n b >， 所以76T T >，78T T >；当8n ≥时，1n n T T +>，()()867878989108971089890T T b b a a a a a a a a a a a a a a -=+=+=+=+>，所以86T T >，所以当6n =时，n T 取得最小值，故选项D 不正确，故选：AC.8．（2022·江苏·高三专题练习）在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n nA B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ）A ．n n n ABC 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值D ．{}n S 有最小值【答案】ABD【解析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】由222124n n n a c b++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bS S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD.【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断. 9．（2021·江苏·盐城中学一模）对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ）A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【答案】ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确； B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确； D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----， 首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数，当n 为偶数时，11()(0,1)2nn a =-∈，∴10n nnb a a =-<， 当n 为奇数时，11()2nn a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的，即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>，∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值． 三、填空题10．（2022·上海徐汇·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()3f x x =．设()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值为n a ．若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则实数λ的取值范围是______________．【答案】3(,)32-∞ 【分析】根据题意，利用换元法，分别求出当[)1,2x ∈，[)2,3x ∈，[),,1x n n ∈+时，()f x 的解析式，进而求出21nn a =-，然后，得到存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则有272nn λ-<有解，进而必有max272n n λ-⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，进而求出max 272n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即可求解. 【详解】当[)0,1x ∈时，()3f x x =，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，()()312121f x f x x +=+=+，令11t x =+，则11x t =-，所以，当[)11,2t ∈时，有311()2(1)1f t t =-+，所以，当[)1,2x ∈时，3()2(1)1f x x =-+，()()31214(1)3f x f x x +=+=-+，令21t x =+，则21x t =-，[)22,3t ∈，有322()4(2)3f t t =-+，所以，当[)2,3x ∈时，3()4(2)3f x x =-+，同理可得，[)3,4x ∈时，3()8(3)7f x x =-+，根据规律，明显可见当[),1x n n ∈+，()2()21n n n f x x n =-+-，且此时的()f x 必为增函数，又因为n a 为()f x 在区间[)()*,1N n n n +∈上的最小值，所以，1231,3,7,21n n a a a a ===⋯=-，所以，若存在*n ∈N ，使得()127n a n λ+<-有解，则有272nn λ-<有解，进而必有max 272n n λ-⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，根据该函数的特性，明显可见，当5n =时，有max 273232n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以，此时有332λ<故答案为：3(,)32-∞ 11．（2022·浙江台州·二模）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为___________.（用数字作答） 【答案】1【分析】由等差数列各项均为正数可判定该数列为递增数列，结合等差数列的通项公式和前n 和公式，可判定数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，进而可得到该数列的最大项.【详解】由题，等差数列{}n a 的各项均为正数，所以10a >，0d >， 且()()111n a a n d nd a d =+-=+-， 所以数列{}n a 是递增数列，又()12n n a a n S +⋅=，所以()1111222n n n n S a a a na a nd a d +==+⎡⎤+-⎣⎦， 即nnSna 是递减数列，所以当1n =时，得到数列n n S na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项为1111a a =⨯， 故答案为：112．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an }对任意m ，n ∈N *都满足am +n =am +an ，且a 1=1，若命题“∀n ∈N *，λan ≤2n a +12”为真，则实数λ的最大值为____.【答案】7【分析】先求出{}n a 的通项公式，然后参变分离转化为求最值【详解】令m =1，则an +1=an +a 1，an +1－an =a 1=1，所以数列{an }为等差数列，首项为1，公差为1，所以an =n ，所以λan ≤2n a +12⇒λn ≤n 2+12⇒λ≤n +12n， 又函数12y x x=+在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增， 当3n =或4n =时，min 12()7n n+= 所以7λ≤ 故答案为：713．（2022·天津市新华中学高三期末）在数列{}n a 中，()71()8nn a n =+，则数列{}n a 中的最大项的n =________ . 【答案】6或7【分析】利用作商法判断数列的单调性即可求出其最大项. 【详解】()71()08nn a n =+>，令()()1172()27817181()8n n n n n a n a n n ++++==⨯≥++，解得6n ≤， 即6n ≤时，1n n a a +≥，当6n >时，1n n a a +<， 所以6a 或7a 最大， 所以6n =或7. 故答案为：6或7.14．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，若a 1＝32，an ＋2an ＋1＝0，则Sn －1n S 的最大值与最小值的积为________. 【答案】－3572【分析】先计算出公比，求出Sn ，分奇偶性讨论得出Sn －1nS 的最大值与最小值，即可求解. 【详解】因为an ＋2an ＋1＝0，所以112n n a a +=-， 所以等比数列{an }的公比为12-，因为a 1＝32，所以Sn ＝31122111212nn ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.①当n 为奇数时，Sn ＝112n⎛⎫+ ⎪⎝⎭，Sn 随着n 的增大而减小，则1＜Sn ≤S 1＝32，又Sn －1n S 随着Sn 的增大而增大，故0＜Sn －1n S ≤56； ②当n 为偶数时，Sn ＝112n⎛⎫- ⎪⎝⎭，Sn 随着n 的增大而增大，则34＝S 2≤Sn ＜1，又Sn －1n S 随着Sn 的增大而增大，故712-≤Sn －1n S ＜0.综上，Sn －1n S 的最大值与最小值分别为56，712-.故Sn －1n S 的最大值与最小值的积为567351272⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭. 故答案为：－3572. 15．（2022·河南·模拟预测（文））已知数列{}()*n a n N ∈满足11,2,n n n n a n α-+⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则21n n n a a a ++的最大值为________．【答案】43【分析】令21n n n n a b a a ++=，n 分为奇偶性，分别求出21n n n a a a ++，通过判断{}n b 的单调性可求出其最大值【详解】令21n n n n a b a a ++=， 当n 为奇数时，21112222n n n a nn n a n n b a a n n ++++++===⋅⋅， 因为32214(4)(2)2124(2)2n n n n n b n n n n b n n ++++++⋅==<++⋅，所以2n n b b +<， 所以当n 为奇数时，数列{}n b 为递减数列， 所以当n 为奇数时，1b 最大，134b =， 当n 为偶数时，11122112242(1)2(1)1n n a n n n a n n n a b a a n n n +-+++++====⋅+++，当n 增大时，n b 在减小， 所以n 为偶数时，2b 最大，243b =， 因为4334>， 所以数列{}n b 的最大值为43，故答案为：4316．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，等差数列4021n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的首项为1，公差为1，则2n n S S -的最大值为__________. 【答案】656【分析】由题意求出n n a S 和，再求出2n S ，令2n n n M S S =-，求出n M 的单调性即可求出n M 的最大值. 【详解】由题意知4021n n a =+，则2012n a n =-，则111201232n nS n ⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 2111201232n S n n ⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭， 令2111201222n n n nM S S n n n ⎛⎫=-=+++-⎪++⎝⎭，则111111112020232221222n n n n M M n n n n n n +⎡+⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+++--+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()111111120120202122122122221222n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭. 由*n ∈N ，易得当2n ≤时，12010562n n M M +-≥->⨯， 所以321M M M >>；当3n ≥时，12010782n n M M +-≤-<⨯， 所以345M M M >>>…，故n M 的最大值为31113652045626M ⎛⎫=⨯++-= ⎪⎝⎭，即当3n =时，2n n S S -取得最大值，为656. 故答案为 :656. 四、解答题17．（2022·湖北·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项之积．．为n b ，且()2*12122n n a a a n n n N b b b +++⋅⋅⋅+=∈． (1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和{}n a 的通项公式；(2)求()12212n n n n n f n b b b b b ++-=+++⋅⋅⋅++的最大值． 【答案】(1)()*nn a n n N b =∈，1n n a n =+(2)56 【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥即项与和的关系方法求得nna b ，再利用1(2)n n n b a b n -=≥求得n a ； （2）再由定义求得n b ，并利用作差法得出()f n 是递减的，从而易得最大值．(1)∵212122n n a a a n n b b b +++⋅⋅⋅+=①，∴()()21121211212n n n n a a an b b b --+-++⋅⋅⋅+=≥-②， 由①②可得()2n n a n n b =≥，由①111ab =也满足上式，∴()*n n a n n N b =∈③， ∴()1112n n a n n b --=-≥④，由③④可得()1121n n n n a b n n b a n --=≥-， 即()1121n nn a n -=≥-，∴()112n n a n n --=≥，∴1n n a n =+． (2)由（1）可知1n na n =+，则121212311n n n b a a a n n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++，记()121111221n n n f n b b b n n n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++， ∴()11112323f n n n n +=++⋅⋅⋅++++， ∴()()1111110222312322f n f n n n n n n +-=+-=-<+++++， ∴()()1f n f n +<，即()f n 单调递减， ∴()f n 的最大值为()121151236f b b =+=+=． 18．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足()*N n n a S n -=∈321.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记()()n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩12123，为奇数，为偶数，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，若不等式()n n n n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】(1)13-=n n a (2)⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，.【分析】（1）利用n a 与n S 的关系即可求解；（2）根据裂项相消法和错位相减法求出数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，再将不等式的恒成立问题转化为求最值问题即可求解.(1)由题意,当1n = 时，1113211a a a -=⇒=, 当2n ≥ 时， 11321n n a S ---=，所以()n n n n a a S S -----=113320， 即 13n n a a -=，∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，11133n n n a --∴=⨯=故数列{}n a 的通项公式为13-=n n a . (2)()()12123n n n n n b n n a ⎧⎪-+⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，由 (1)，得当n 为偶数时，13n n n n nb a -==， 当n 为奇数时， 11142123n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设数列{}n b 的前2n 项中奇数项的和为n A ，所以n nA n n n ⎛⎫=-+-+⋯+-=⎪-++⎝⎭11111114559434141， 设数列{}n b 的前2n 项中偶数项的和为n B ，n n B n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1321111242333①n n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭352111112429333②，由-①②两，得()n n n n n n B n ++-⎛⨯⎫⎛⎫=⨯+⋯-⎛⎫=-⨯ ⎪++-⎪⎝⎭⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-21211321111139281111229332331319，整理得()nn n B +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭38927132329，故，()nn n n n n T A B n +⎛⎫=+=+-⋅ ⎪+⎝⎭23892714132329，n nn n n T n ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-=-⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭2241272713294132329.∴ 不等式()nnn n n T n λ⎛⎫-<+⋅-⎪+⎝⎭2241132941对一切*N n ∈恒成立, 即不等式()nnλ⎛⎫-<-⋅ ⎪⎝⎭27271132329对一切*N n ∈恒成立,()xf x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭2727132329在R 上是单调增所以，易知n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭2727132329在*N n ∈上为递增数列，∴ 当n 为偶数时，λ⎛⎫<-⋅ ⎪⎝=⎭2272713232956，当n 为奇数时, λ-<-⨯=272713232934， 解得34λ>-，所以λ的取值范围为⎛⎫- ⎪⎝⎭3546，.19．（2022·天津·高三专题练习）设数列{}n a 的前n 项和2n n S a n =-． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若22log 13nn b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求n b 的前n 项和n T 取最小值时n 的值； (3)证明：1214.9ni i a =<∑【答案】(1)21nn a =-(2)5或6(3)证明见解析【分析】（1）利用递推关系，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--，两式相减得121n n a a -=+，再用构造法得：1121n n a a -+=+，即可求出{}n a 的通项公式； （2）先求出{}n b 的通项公式，由二次函数求最值即可求出答案.（3）对21141i i a =-进行放缩得：()111111111()14144134444i i i i i ----=<=⨯--⎛⎫- ⎪⎝⎭，再求111()34i -⨯的前n 项和即可证明此题.()1因为2n n S a n =-，①1n =时，1121S a =-，11;a =2n ≥时，()1121n n S a n --=--②①-②得121n n a a -=+，所以1121n n a a -+=+，112a +=， 所以数列{}1n a +是2为首项，2为公比的等比数列，故1221;n nn n a a +=∴=-(2)2222226log 13log 2113log 23322n nn n b n n a n ⎛⎫⎛⎫-=+-=-+-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()62n n n b -=，于是当15n <<时，0n b <；60b =；当6n >时，0n b >.所以当5n =或6时，n T 取最小值. (3)()12111112211111111111111441434()()()1121414413434994914444n nni n i i i i i i i i i i a a ----==-⎛⎫- ⎪⎝⎭===<=⨯<⨯==-<---⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∑，．故1214.9ni i a =<∑20．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项10a =，()134N n n a a n n *+=+∈. (1)证明：数列{}21n a n ++是等比数列； (2)求数列{}100n a -的前n 项和n S 的最小值. 【答案】(1)证明见解析(2)304-【分析】（1）由已知等式变形得出()()1211321n n a n a n ++++=++，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）分析数列{}n b 的单调性，确定{}n b 的符号，由此可求得n S 的最小值.(1)解：因为()134N n n a a n n *+=+∈，则()()1211321n n a n a n ++++=++，且133a +=，所以，数列{}21n a n ++是以3为首项，3为公比的等比数列. (2)解：由（1）知，121333n n n a n -++=⋅=，则321n n a n =--.所以，10032101nn n b a n =-=--，所以，113322320n n nn n b b ++-=--=⋅->，故数列{}n b 为递增数列，1100b =-，296b =-，380b =-，428b =-，5132b =，，故当14n ≤≤时，0n b <；当5n ≥时，0n b >. 所以，n S 的最小值为4304S =-.21．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*21N n na S n n=+∈ (1)求证：数列{}n a 为等差数列； (2)若25a =，令1n nb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()122455n n T T m m +-≤-对任意*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)(,2][7,)m ∈-∞-⋃+∞.【分析】（1）利用,n n a S 关系可得1(2)(1)1n n n a n a --=--，即有1(1)1n n n a na +-=-，将两式相减并整理有112n n n a a a +-+=，即可证结论.（2）由（1）结论及题设可得143n b n =-，令21n n n c T T +=-、1231n n n c T T +++-=，应用作差法比较它们的大小，即可确定21}{n n T T +-的单调性并求其最大值，结合恒成立求m 的取值范围． (1)由题设，(1)2n n n a S +=，则11(1)(1)2n n n a S ---+=(2)n ≥， 所以111(1)(1)(1)(1)1222n n n n n n n n a n a na n a a S S ---+-+--+=-=-=，整理得1(2)(1)1n n n a n a --=--，则1(1)1n n n a na +-=-，所以11(1)(2)1(1)1n n n n n a n a na n a +----=---+，即11(1)()2(1)n n n n a a n a +--+=-，10n -≠， 所以112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 为等差数列，得证.(2)由1121S a =+，可得11a =，又25a =，结合（1）结论知：公差214d a a =-=， 所以43n a n =-，故1143n n b a n ==-，则21111 (414581)n n n n n T n c T +-=++++++=， 所以123111111...4549818589n n n n n c T T n n n +++-=+++++++=+++，且*N n ∈， 所以111140310858941(41)(85)(89)n n c c n n n n n n n +++-=-<++++++-=，即1n n c c +<， 所以，在[1,)n ∈+∞且*N n ∈上21n n T T +-递减，则max 32111114)594(5n n T T T T +-=-=+=，要使()122455n n T T m m +-≤-对任意*N n ∈恒成立，即2514(7)(2)0m m m m --=-+≥，所以(,2][7,)m ∈-∞-⋃+∞. 题型二：不等法求数列最值 一、单选题1．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知曲线()23e xy x x =+在点()0,0处的切线为l ，数列{}n a 的首项为1，点()()1,n n a a n N *+∈为切线l 上一点，则数列6nna ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项为（ ）A ．623-B ．523-C ．613-D ．613 【答案】C【分析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，则13n n a a +=，从而求出{}n a 的通项公式，再构造不等式组求出数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项；【详解】因为()23e x y x x =+，所以()()()22321e 3e 3e 31x x xx x x x y x =+++++'=，所以曲线()23e xy x x =+在点()0,0处的切线的斜率03x k y ='==.所以切线l 的方程为3y x =. 所以13n n a a +=.所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以1663n n n na ---=. 所以由11265336733n nn n n nn n-----⎧≤⎪⎪⎨--⎪≤⎪⎩，解得131522n ≤≤.因为n *∈N ，所以7n =.所以数列6n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中的最小项为6667133-=-.故选：C.2．（2021·辽宁·建平县实验中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足14a =，*1144(2,N )n n n a a n n a ---=≥∈，若124(6)na n nb na -=⋅-，且存在*N n ∈，使得2460n b m m +-≥成立，则实数m 的取值范围是（ ） A．⎣⎦ B．1⎡⎣C ．10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据题意，令12n n c a =-，进而证明数列{}n c 是以12-为首项，12-为公差的等差数列，故可得22n n a n+=，242n nn b -=，在结合题意将问题转化为()2max 460n b m m +-≥，再求数列{}n b 的最大值代入解一元二次不等式即可得答案. 【详解】()*11442,n n n a a n n a ---=∈N ，()()*11412,n n n a a a n n --∴=-∈N ． 令12n nc a =-， 111111122422n n n n n n n n n n a a c c a a a a a a ------∴-=-=----+ ()11142241n n n n n a a a a a ----==--+-()*1112,222n n n n a a n n a a ---=-≥∈-N ，又111122c a ==--， ∴数列{}n c 是以12-为首项，12-为公差的等差数列，11(1)222n n c n ∴=---=-，即122n n a =--， 22n n a n +∴=，()1224462na n n nn b na --∴=⋅-= ∵存在*n ∈N ，使得2460n b m m +-≥成立，()2max 460n b m m ∴+-．令11,,n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩得112426,222422,22n n nn n n n n -+--⎧≥⎪⎪⎨--⎪≥⎪⎩则34n ≤≤，*n ∈N ，3n ∴=或4n =．()34max 14n b b b ∴===， 2160m m ∴+-≥，即2610m m --≤，解得1132m -≤≤，∴实数m 的取值范围是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：D ．3．（2021·浙江·高三期中）已知数列{}n a 满足11a =，)*1n a n N +=∈，则（ ） A ．2021512a << B ．20211219a << C ．20211926a << D ．20212633a <<【答案】B【分析】由题意化简可得1n n a a +>，根据3311n n a a +->，利用累加法可得n a 2211n n na a a +-=，利用累加法计算化简可得13132n an +<n a <2021n =计算即可.【详解】解：显然，对任意*n N ∈，0n a >．1n a +=化简可得22110n n na a a +-=>，所以1n n a a +>，则()3322111nn n n n a a a a a ++->-=， 累加可得3311n a a n->-，所以n a又2211n n n a a a +-=，所以()1221311122n n n n n na a a a a a n ++-=<<+，则()()()111121n n n n n a a a a a a a a ++--=-+-++-()()2222223333331111131112221311332n n n n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥<+++=++++⎢⎥⎢⎥--⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 注意到()()()()11332211233333111311k k k k k k kk k --<=--+-+-，所以()1133222333311113311222231331n n n n ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+++<+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭-⨯⎢⎥⎣⎦，则13132n a n +<， 所以13132n n a a n +<<n a <当2021n =n a <<1219n a <<. 故选：B4．（2020·江西·鹰潭一中高三期中（文））数列{}n a 通项公式为：2202122021n n a n +=--，则{}n a 中的最大项为（ ）A ．第1项B ．第1010项C ．第1011项D ．第1012项【答案】B【分析】数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n n a a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得1010n =，从而求得结果.【详解】解：依题意，数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n n a a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即220212202112201922023n n n n +--+--且220232201912202122021n n n n +--+--，n Z ∈，解得1010n =，故最大项为第1010项， 故选：B ． 二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，an ＝(n ＋1)7()8n ，则数列{an }中的最大项可以是（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】AB【分析】假设an 最大，则有11,,n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩解不等式组，可求出n 的范围，从而可得答案【详解】假设an 最大，则有11,,n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩即177(1)()(2)()88n n n n +++≥且177(1)()()88n n n n -+≥，所以7(1)(2)()87(1)()8n n n n⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即6≤n ≤7，所以最大项为第6项和第7项．故选：AB6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足()*,01n n a n k n N k =⋅∈<<，下列命题正确的有（ ）A ．当12k =时，数列{}n a 为递减数列 B ．当45k =时，数列{}n a 一定有最大项 C ．当102k <<时，数列{}n a 为递减数列 D ．当1kk-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项 【答案】BCD 【分析】分别代入12k =和45k =计算判断AB 选项；再利用放缩法计算判断C 选项；按k 的范围分类，可判断D ；【详解】当12k =时，1212a a ==，知A 错误；当45k =时，1415n n a n a n ++=⋅，当4n <，11n n a a +>，4n >，11n n a a +<， 所以可判断{}n a 一定有最大项，B 正确； 当102k <<时，11112n n a n n k a n n +++=<≤，所以数列{}n a 为递减数列，C 正确； 当1k k -为正整数时，112k >≥，当12k =时，1234a a a a =>>>，当112k >>时，令*1k m N k =∈-， 解得1mk m =+，则()()111n n m n a a m m ++=+，当n m =时，1n n a a +=， 结合B ，数列{}n a 必有两项相等的最大项，故D 正确； 故选：BCD.7．（2020·河北·沧州市民族中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，22n n n S a a =+，著不等式()4111n nn S ka +≥-对任意的*n N ∈恒成立，则下列结论正确的为（ ） A ．n a n = B ．()12n n n S +=C ．k 的最大值为232D ．k 的最小值为15-【答案】ABC【分析】先用两式相减的方法消去n S ，求出n a ，判断A 选项；再代入已知求出n S ，判断B 选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C ，D 选项.【详解】依题意得当1n =时，21112a a a =+，由于20n a >，解得11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，因此有：22112n n n n n a a a a a --=-+-；整理得：11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，公差1d =的等差数列， 因此n a n =，故A 正确； ()12n n n S +=，故B 正确； 由()4111n nn S ka +≥-得：()11221nn k n++≥-， 令1122n c n n=++，则n 取2时，n c 取最小值，所以 ①当n 为偶数时，1123222n n ++≥，232k ∴≤， ②当n 为奇数时，1135223n n ++≥， 353k ∴-≤，353k ∴≥-，352332k ∴-≤≤故C 正确，D 错误.所以A 、B 、C 正确；D 错误. 故选：ABC【点睛】知识点点睛：（1）已知n S 求n a ，利用前n 项和n S 与通项公式n a 的关系()()1*112,n nn S n a S S n n N -⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩，此时一定要注意分类讨论.（2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意n 只能取正整数. 三、填空题8．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知数列{}n a 满足14a =，()1222nn n a a n -=+≥，若不等式()2231n n n a λ--<-对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是___________.【答案】5,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得n a ，由参变量分离法可得出2312n n λ-->，利用数列的单调性求得数列232n n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项的值，可得出关于实数λ的不等式，进而可求得实数λ的取值范围.【详解】当2n ≥时，在等式122nn n a a -=+两边同时除以2n 可得11122n n n n a a ---=且122a =， 故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，以1为公差的等差数列，则2112n n a n n =+-=+，()12nna n ∴=+⋅， 因为()()()2123231n a n n n n λ->--=-+对任意*n ∈N 恒成立，即2312nn λ-->， 令232n n n b -=，则()()1111212232123522222n nn n n n n n n n nb b ++++-------=-==. 当12n ≤≤时，1n n b b +>，即123b b b <<； 当3n ≥时， 1n n b b +<，即345>>>b b b .故数列{}n b 中的最大项为333328b ==，318λ∴->，解得58λ<. 故答案为：5,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.9．（2021·湖北·高三阶段练习）已知数列{}n a 的首项119a =-，其前n 项和为n S ，且满足()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=，则当n S 取得最小值时，n =___________.【答案】5【分析】首先根据()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=得到11111111n n a n a n ++=++，令111n n b a n=+得到2n b =，从而得到211n na n =-，再求当n S 取得最小值时n 的值即可.【详解】由题意，()11(1)110n n n n n n a a a a +++-+=可得111111111(1)1n n a a n n n n +-==-++，11111111n n a n a n++=++. 令111n n b a n=+，则1n n b b +=，即{}n b 是常数列， 所以111111112n n b b a n a =+==+=，故211n n a n =-. 当05n <≤时，0n a <；当6n ≥时，0n a >. 故当5n =时，n S 取得最小值. 故答案为：5 四、解答题10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列{}n a 满足11a =，且()*123n a a a a n n N ⋅⋅⋅⋅⋅=∈⋅．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()11,221,1n nn a n n n b n n ⎧-⋅+≥⎪=⎨⨯⎪=⎩，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若()32n S n λ≥-+恒成立，求λ的取值范围．【答案】(1)(),211,1n nn a n n ⎧≥⎪=-⎨⎪=⎩(2)23λ≥ 【分析】（1）当2n ≥时，有12211n n a a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-，两式作商求得,21n na n n =≥-，进而求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）得到12n nn b +=，结合乘公比错位相减法求得111322nn n n S -+=--，进而求得()322n n n λ+≥+⋅，再根据()()322n n g n n +=+⋅的单调性，即可求解.(1)解：数列{}n a 满足11a =，且()*123n a a a a n n N ⋅⋅⋅⋅⋅=∈⋅，当2n ≥时，有12211n n a a a a n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-， 两式作商，可得,21n na n n =≥-，又由11a =，得,211,1n nn a n n ⎧≥⎪=-⎨⎪=⎩. (2)解：当2n ≥时，()()111122n n nnn n n n b n -⋅++-==⋅，当1n =时，111212b a ===，所以对任意的*n N ∈，均有12nn n b +=， 则12231222n nn S +=++⋅⋅⋅+， 可得2312312222n n S n ++=++⋅⋅⋅+②， 两式相减可得123111111421111131111122222222212n n n n n n n n n S n -+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+++⎢⎥⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-=+-=---，求得111322n n n n S -+=--，由()32nS n λ≥-+，可得()322n n n λ+≥+⋅， 令()()322n n g n n +=+⋅，则()()()()()()()124132********n n n g n n n n n g n n n ++++⋅++==<+++⋅， 因为()0g n >，所以()()1g n g n +<，即随着n 增大，()g n 减小， 所以()()max 213g n g λ≥==． 11．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足()*121224N 2n n n a a na n -+++=-∈， (1)求3a 的值；(2)求数列{}n a 前n 项和n T ； (3)令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+． 【答案】(1)14；(2)1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)证明见解析.【分析】(1)根据已知条件，分别取n ＝1，2，3即可依次算出123,,a a a ； (2)用作差法求出{}n a 的通项公式，再求其前n 项和； (3)求123,,S S S ，猜想n S ，用数学归纳法证明n S ；用导数证明()ln 1(0)1x x x x<+>+，令1x n =，得11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，用这个不等式对n S 放缩即可得证. (1)依题()()312312312132223323244224a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭，314a ∴=； (2)依题当2n ≥时，()()121211212122144222n n n n n n n n nna a a na a a n a ----++⎛⎫⎡⎤=++-++-=---= ⎪⎣⎦⎝⎭， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又1012412a +=-=也适合此式， 112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，∴数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-； (3)111b a ==，1111S b T ∴==⨯，1221122T b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ()1212121221111112222T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2323232331111111111123232323T S S b T a T a T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，猜想：1112n n S T n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭① 下面用数学归纳法证明： (i)当n ＝1，2时，已证明①成立；(ii)假设当n k =时，①成立，即1112k k S T k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.从而1111111112121k k k k k k T S S b T a k k k +++⎛⎫⎛⎫=+=++++++++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()111121kk T a k +⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭111121k T k +⎛⎫=+++⎪+⎝⎭. 故①成立. 先证不等式()ln 1(0)1xx x x<+>+ ② 令()()ln 11xg x x x=+-+， 则()22110(0)1(1)(1)x g x x x x x '=-=>>+++.。

第二章数列与不等式专题08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．【压轴典例】例1.（河南省开封市2019届高三第三次模拟（理)）已知等比数列满足：，，则取最小值时，数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为当时，，则当时，，两式相减得：即解得又当且仅当时，等号成立.取最小值1时，故选A.例2.（安徽省黄山市2019届高三第二次检测）已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.例3.（2016高考上海文）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】max 4k =【解析】当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =. 例4.（广西柳州市2019届高三1月模拟）已知点在函数的图象上（）.数列的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____【答案】【解析】点在函数图象上，,是首项为，公比的等比数列，，则，是首项为，公差为2的等差数列，当，即时，最小，即最小值为.例5.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为__ __.【答案】【解析】，，所以，，，，由得，由函数的单调性及知，当或时，最小值为30，故.例6.（2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}nB x x n N ==∈．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.例7.（2019·天津高考模拟（文））已知数列{}n a 是正项等比数列，1342310,2a a a a a +=-=,数列{}n b 满足条件123(2)n b n a a a a =.(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设11n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和n S . ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意n *∈N ，均有k n S S ≥.【答案】（1）2nn a =，()1;n b n n =+（2）①11;12nn S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭②4k =.【解析】（1）设数列{}n a 是正项等比数列的公比为0q >，因为1310a a +=，4232a a a -=所以有1113211110222a a q a a q a q a qq +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以2;nn a = (1232nb n a aa a =2312322222n n b b n n +++⋅⋅⋅+⇒⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⇒=(1)2222(1);n b n n n b n n +⇒=⇒=+（2）①因为 11n n nc a b =-， 所以，123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+，123123()()n n n S a a a a b b b b ⇒=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+，11[1()]111122[],1122334(1)12n n S n n -⇒=-+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+-111111111()(1),2223341n n S n n ⇒=---+-+-+⋅⋅⋅+-+11111()1().2112n n n S n n ⇒=--+=-++②令11111111(1)(2)2()()22122(1)(2)n n n n n n n n S S n n n n ++++++--=--+=++⋅++， 由于12n +比(1)(2)n n ++变化的快，所以10n n S S +->，得4n <， 即1234,,,S S S S ,递增而456,,,,n S S S S ⋅⋅⋅递减，4S ∴是最大， 即当4k =时，对任意*n N ∈，均有k n S S ≥.例8.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【压轴训练】1．（2019·安徽高考模拟（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】C 【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C.2．（2019·北京师大附中高考模拟（文））已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a 12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．3.（2019·北京高三期末（理））已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差___；的最大值等于___. 【答案】 12【解析】由a 2＝4，a 3+a 5＝0得得，则S n ＝6n（﹣2）＝﹣n 2+7n ＝﹣（n ）2，则当n ＝3或4时，S n 取得最大值，最大值为S 3＝﹣9+21＝12， 故答案为：﹣2，124.（2019·山东枣庄八中高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式2221286n a a a +++＜成立的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】根据题意，数列{}n a 满足12n n S a +=， 当1n =时，1121a a =+，得11a =，当2n ≥时，()112n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，所以12nn a a -= 又∵11a =满足上式，即{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列则12n n a -=， 则214n n a -=，则数列{}2na 是以1为首项，4为公比的等比数列，则()()22212114141143n nn S a a a -=+++==--，若2221286n a a a +++<，则有()141863n-<， 变形可得：4259n <，又由*n N ∈，则4n ≤，即n 的最大值为4； 故选：B ．5.（2019·江苏高考模拟）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3故答案为：6.（2019·广东高考模拟）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=10，S 8=36，当n∈N *时，nn 3a S +的最大值为______． 【答案】71 【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4810,36S S ==，设首项为1a ，公差为d ，则11434102878362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a d ==，所以，所以(1)2n n n S +=， 则2322(3)(4)1271272nn a n n n n S n n n n+===++++++，当12n n +取最小值时，3n n a S +取最大值，结合函数()12(0)f x x x x =+>的单调性，可得当3n =或4n =时，317n n max a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：71． 7.（2019·天津高考模拟（文））已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为__________． 【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：18.（2019·江苏金陵中学高考模拟）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3， 由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+　，当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10. 故答案为：109.（2019·江苏扬州中学高考模拟）数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______. 【答案】12- 【解析】41016111153(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t t λ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-.10.（2019·福建高考模拟（理））在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10 【解析】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值．11.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈12.（2017·上海高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案； （2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析： （1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.13．（2018·河南高三期中（文））已知非零数列{}n a 满足*13()n n a a n +=∈N ，且1a ，2a 的等差中项为6．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求12233411111n n b b b b b b b b +++++…取值范围． 【答案】(1) 3nn a = (2) 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由()*13n n a a n N +=∈，得{}na 为等比数列且公比3q =.设首项为1a ，12,a a 的等差中项为6，即1212a a q +=，解得13a =，故3nn a =.(2)由32log 2na nb n ==得到：()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， ∴1223341111111111111114223141n n b b b b b b b b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为11141n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭可以看成关于n 的单调递增函数，所以n=1时，最小为18，且1111414n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， ∴1223341111111,84n n b b b b b b b b +⎡⎫++++∈⎪⎢⎣⎭. 14.（2019·湖南高考模拟（文））已知数列{}n a 的首项13a =，37a =，且对任意的n *∈N ，都有1220n n n a a a ++-+=，数列{}n b 满足12n nb a -=，n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使122018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值.【答案】（Ⅰ）21n a n =+，21nn b =+;（Ⅱ）10【解析】（Ⅰ）令1n =得，12320a a a -+=，解得25a =. 又由1220n n n a a a ++-+=知211n n n n a a a a +++-=- 212a a ==-=，故数列{}n a 是首项13a =，公差2d =的等差数列，于是21n a n =+，1221n nn b a -==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21nn b =+.于是11n n T b b b =+++ ()122222n =++++ ()12122212n n n n +-=+=+--.令()122n f n n +=+-，易知()f n 是关于n 的单调递增函数，又()1092921031f =+-=，()111021022056f =+-=，故使112018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值是10.15.（2019·山东日照一中高三期中（理））已知数列{a n }中，1123123n a a a a na =+++⋯+=，（n∈N *）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n }是等比数列，并求数列{a n }的通项a n ； （Ⅱ）求数列{n 2a n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）对任意n∈N *，使得恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)【解析】（Ⅰ）[证明]：由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 1+2a 2+3a 3+…+（n ﹣1）a n ﹣1=（n≥2），①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{na n }是等比数列，又a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 2=1，则2a 2=2，∴，∴（n≥2），∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴T n =1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n ﹣2，则，两式作差得：，得：；（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，即对任意n∈N *恒成立．当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．16.（2019·山东高考模拟（文））已知数列的各项均为正数，，且对任意，为和1的等比中项，数列满足.（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】（1）由题意得：，即数列成等比数列，首项为，公比为，又为正项数列（2）由（1）得：，即或（舍去）所以不小于的的最小值为。