专题5.2 数列中的最值问题-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品(word版含答案)

一、考情分析数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,在高考中占有极其重要的地位．数列中整数解问题逐渐成为一个新的热点．本文试图对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步的探讨,以期给同学们的学习带来帮助 二、经验分享二元不定方程 双变量的不定方程,在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解,方法较灵活,下面介绍3种常用的方法.方法1. 因式分解法：先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积,多项式分解为若干个因式的乘积,再由题意分类讨论求解.方法2. 利用整除性质 ：在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时,可分离变量后利用整除性质解决．方法3.不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围,再分别求解.如转化为 ()()f m g n =型,利用()g n 的上界或下界来估计()f m 的范围,通过解不等式得出m 的范围,再一一验证即可. 三、知识拓展 1、整数的基本性质： （1）整数的和,差,积仍为整数（2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+∈,则称n 为奇数；若()2n k k Z =∈,则称n 为偶数,在加,减,乘法运算中,其结果有以下规律：① 奇数±奇数=偶数 ② 奇数±偶数=奇数 ③ 偶数±偶数=偶数 ④ 奇数⨯偶数=偶数 ⑤ 偶数⨯偶数=偶数 ⑥ 奇数⨯奇数=奇数 （3）若,a b Z ∈,且a b <,则1a b ≤-（4）已知,,a b R a b ∈<,若n Z ∈,且(),n a b ∈,则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解） （5）若aZ b∈,称a 能被b 整除,则有： ① b a ≤② b 为a 的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集,均有一个最小的自然数 2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数,则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内,若要求得变量的值,通常要依赖方程,而不等式只能解得变量的范围.但是在整数范围内,除了方程,在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4））,例如：若(),2,5n N n ∈∈,则n 的取值只能是3,4.所以在涉及求整数的值时,思路不要局限于寻找等量关系,构造不等关系依然可以求解.（2）整除问题：若表达式形式较为简单,可通过对常数进行因数分解,进而确定变量的取值；若表达式次数较高,则可以先利用二项式定理去掉高次的项,再进行处理.（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时,不定方程的解可能有有限多组解.通常的处理方式有两个： ① 通过对表达式进行因式分解,对另一侧的常数进行因数分解,进而将不定方程拆成多个方程的方程组,进而解出变量② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离,求出含变量函数的值域,进而将参数置于一个范围内,再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时,常见的矛盾有以下几点： ① 所解得变量非整数,或不符合已知范围 ② 等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来,其特征就是数列中项的序数,以及前n 项和的项数,均为正整数.四、题型分析 (一) 因式分解法 【例1】【解析】【点评】本题中将不定方程变形为,因为分解方式是唯一的,所以可以得到关于k,m,的二元一次方程组求解. (二) 利用整除性质【例2】已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-,若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项,则m =____【答案】2m =【点评】（1）本题的亮点在于对()()272523m m m ---的变形,在有关整数的问题里,通常可对分式进行“分离常数”的变形,从而将复杂的分式简化,并能立刻找到需处理的部分.例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在823m -上.（2）本题对823m -的处理有多个角度,还可以从分母出发,观察到23m -应为奇数,而823Z m ∈-,而8的奇因数只有1和1-,同样可确定m 的值.【牛刀小试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =-,1320n n a S +++=（*n ∈N ）.（1）求2a ,3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在整数对(,)m n ,使得等式248n n a m a m -⋅=+成立？若存在,请求出所有满足条件的(,)m n ；若不存在,请说明理由.n ,再求出m .解：由（2）得：()()22248nnm m ---=+()()()()()()22282168824242424n n n n n nm ⎡⎤⎡⎤----+⎣⎦⎣⎦∴===--+-+-+-+ m Z ∈ 且()24nZ --∈ ∴只需()824nZ ∈-+,即()241,2,4,8n-+=±±±±经计算可得：1,2,3n =时,()824nZ ∈-+∴ 解得：123,,2114n n n m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-==-⎩⎩⎩ ∴ 共有三组符合题意：()()()2,1,1,2,14,3--【点评】（1）在第（2）问中,要注意n 的取值范围变化,并且要把n 所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足.（2）二元不定方程在求解时,参变分离是一种方式,通过变形让两变量分居不等号的两侧,这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题）,来求得变量的解 (三) 不等式估值法【例3】已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列,n S 是其前n 项和,且满足221n n a S -=,令11n n n b a a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T（1）求数列{}n a 的通项公式及n T（2）是否存在正整数(),1m n m n <<,使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在,求出所有的,m n 的值；若不存在,请说明理由.（2）【分析】先假定存在满足条件的,m n ,则由21mn T T T =⋅可得()22132121m n n m =⋅++,无法直接得到不等关系,考虑变形等式：()222163m n m n++=,分离参数可得：24132m m n +-=,以30n >为突破口可解出m 的范围122⎛-+ ⎝⎭,从而确定m 的值后即可求出n【解析】假设存在(),1m n m n <<,则21m n T T T =⋅即()()222222211634416332121m m n n m m n n m n m nm +++++=⋅⇒=⇒=++241346m m n ∴++=+即241320m m n+-=> 222410m m m -++∴>解得：1122m -<<+ 2m ∴=,代入可得：234112224n =+-=,解得：12n = ∴存在2,12m n ==,使得1,,m n T T T 成等比数列【牛刀小试】已知{}n a 为等差数列,前n 项和为n S ,若4224,21n n S S a a ==+ （1）求n a（2）对m N *∀∈,将{}n a 中落入区间()22,2m m 内项的个数记为{}m b① 求m b ② 记2122m m m c b -=-,{}m c 的前m 项和记为m T ,是否存在,m t N *∈,使得111m m t T t T t c +-=-+成立？若存在,求出,m t 的值；若不存在,请说明理由1114122m m t t +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得到关于,m t 的不定方程,可考虑对,m t 进行变量分离1142142mt t --⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数）,得到40t ->,即{}1,2,3t ∈,然后代入t 解出符合条件的m 即可111144222m mtt -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-⋅-=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1142142mtt --⎛⎫∴= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭1110,4022mt-⎛⎫⎛⎫>+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}401,2,3t t ∴->⇒∈1t =时,解得：12133log 255mm Z ⎛⎫=⇒=∉ ⎪⎝⎭（舍）2t =时,解得：12111log 233mm Z ⎛⎫=⇒=∉ ⎪⎝⎭（舍）3t =时,解得：11328mm Z ⎛⎫=⇒=∈ ⎪⎝⎭存在这样的33m t =⎧⎨=⎩,满足所给方程 【点评】1、本题中②的方程,并没有在一开始就将m T 代入,否则运算会复杂的多,所采取的策略为先化简变形,变形完成之后再代入.可简化不必要的运算2、本题在解,m t 的不定方程所用的方法为变量分离法,将两个只含某一字母的式子用等号连接,则两边式子的范围应当一致.以其中一个式子作为突破口（比如12m⎛⎫⎪⎝⎭）,再结合变量必须取整数的条件,便可用不等关系将变量所能取的值确定下来. (四) 反证法【例4】已知数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,且对任意的n N *∈,都有：311222n n n a b a b a b n ++++=⋅ ,若18a =,则：（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式（2）试探究：数列{}n b 中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它(),2r r N r ∈≥项的和？若存在,请求出该项,若不存在,请说明理由（2）【分析】首先要把命题翻译为等式,将其他r 项可设为12,,,r t t t b b b ,设存在某项m b ,则12122222r r t t t m m t t t b b b b =+++⇒=+++ ,设12r t t t <<< ,则同除以12t ,就会出现左右两侧奇偶不同,从而假设不成立【点评】（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项,则可表示为：12,,,m m m a a a ++ ,如果不一定相邻,则可用12,r t t t 作角标,其中1,2,,r 体现出这一串项所成数列中项的序数,而12,r t t t 表示该项在原数列中的序数（2）本题还有一个矛盾点：题目中的r 项不一定为相邻项,但是可通过放缩将右边的项补全,变为从12 一直加到2r t,即1212222222r r tttt+++≤+++ .则21222221mtrtr +≤+++=- ①,由整数性质可得1r r m t m t >⇒≥-,所以112221rr t t m++≥>-,与①矛盾,所以不存在.【牛刀小试】已知数列{}{},n n a b 满足1123,2,,1n n n n n n a a b b a b n N a *+⎛⎫===-∈ ⎪+⎝⎭（1）求证：数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列,并求数列{}n b 的通项公式（2）设数列{}n c 满足25n n c a =-,对于任意给定的正整数p ,是否存在正整数(),q r p q r <<,使得111,,p q rc c c 成等差数列？若存在,试用p 表示,q r ；若不存在,请说明理由 【解析】（1）12211nn n nn n n n a b a b a b a a +⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭ 22n n n na b a b =⇒=1422221n nn n nb b b b b +∴=-=++p q r << 2,3q r ∴≥≥211,112121q r <+>-- 2112121q r ∴=+--不成立 当2p ≥时,111,,p q rc c c 成等差数列,同理可得： 211212121q p r =+--- ()()1214212121212121p q r q p p q --∴=-=-----()()21212221421421p q pq p q r r p q p q --+-∴-=⇒=----∴设21q p =-,此时2452r p p =-+2p ≥ ()2221,4734110q p p r q p p p p ∴=->-=-+=-+->∴21q p =-,2452r p p =-+符合题意综上所述：1p =时,不存在满足条件的,q r2p ≥时,存在21q p =-,2452r p p =-+五、迁移运用1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足1a a =（其中a 为常数）,()()111n n nS n S n n +=+++ ()*n N∈.数列{}nb满足)*nbn N =∈.（1）证明数列{}n a 是等差数列,并求出{}n a 的通项公式；（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*n N ∈,数列{}n b 中总存在两个不同的项s b , t b ()*,s t N ∈使得s n t b c b ≤≤,求{}n c 的公比q .因此1nS n a n=-+,即()21n S n a n =+-.因为对任意*n N ∈,总存在数列{}n b 中的两个不同项s b , t b ,使得s n t b c b ≤≤,所以对任意的*n N ∈都有nc∈⎝,明显0q>.若1q>,当1logn≥+时,有111n nnc c q--=>≥不符合题意,舍去；若01q<<,当1logn≥+,有11nnc c q-=≤1n-≤不符合题意,舍去；故1q=.2．【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列{}n a的前n项和n S,对任意正整数n,总存在正数,,p q r使得1nna p-=, nnS q r=-恒成立：数列{}n b的前n项和n T,且对任意正整数n, 2n nT nb=恒成立.（1）求常数,,p q r的值；（2）证明数列{}n b为等差数列；（3）若12b=,记31222224nn n nn bn b n bPa a a+++=++1212222n nn nn nn b n ba a---+++⋯++,是否存在正整数k,使得对任意正整数n, n P k≤恒成立,若存在,求正整数k的最小值,若不存在,请说明理由.∴③-④得： ()121n n n b nb n b -=--,即()()121n n n b n b --=-⑤, 又∵()11n n n b nb +-=⑥∴⑤+⑥得： ()()()112211n n n n b n b n b -+-=-+-,即112n n n b b b -+=+ ∴{}n b 为等差数列.（3）∵10b =, 22b =,由（2）知{}n b 为等差数列 ∴22n b n =-. 又由（1）知12n n a -=,∴122222n n n n n P -+=+ 2322444222n n n n ----+++ ,3．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】若数列{}n a 同时满足：①对于任意的正整数n , 1a n a a +≥恒成立；②对于给定的正整数k , 2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立,则称数列{}n a 是“()R k 数列”. （1）已知22,,{2,,n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”,并说明理由；（2）已知数列{}n b 是“()3R 数列”,且存在整数(1)p p >,使得33p b -, 31p b -, 31p b +, 33p b +成等差数列,证明： {}n b 是等差数列.【解析】（1）当n 为奇数时, ()()1212130n n a a n n +-=+--=>,所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()()2212212212n n n n a --++-=-=.当n 为偶数时, ()121210n n a a n n +-=+-=>,所以1n n a a +≥.22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.若210d d ->,则当12121b b d n d d -+>-时,②不成立；若210d d -=,则①和②都成立,所以12d d =.同理得： 13d d =,所以123d d d ==,记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=, 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--3131p p b b d d λ-+=-+=-.同理可得： 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-,所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+,3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+, 3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-,以上三式相加可得： 32d λ=,所以23d λ=, 所以()3211n b b n d -=+- ()13213db n =+-+,()3121n b b n d -=+- ()11b d n d λ=+-+- ()13113d b n =+--, ()331n b b n d =+- ()11b n d λ=++- ()1313d b n =+-,所以()113n d b b n =+-,所以13n n d b b +-=, 所以,数列{}n b 是等差数列.4．【江苏省南通市如皋中学2017-2018学年第一学期高三第二次阶段测试】已知数列{a n }的首项135a =, 1321n n n a a a +=+, *n N ∈．(1)求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(2)记12111n nS a a a =+++ ,若S n <100,求最大正整数n ； (3)是否存在互不相等的正整数m ,s ,n ,使m ,s ,n 成等差数列,且a m －1,a s －1,a n －1成等比数列？如果存在,请给以证明；如果不存在,请说明理由．5．【江苏省徐州市铜山中学2018届高三第一学期期中】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n S a =-,*n N ∈,数列{}n b 满足()()111n n nb n b n n +-+=+, *n N ∈,且11b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n c a =数列{}n c 的前n 项和为n T ,对任意的*n N ∈,都有n n T nS a ≤-,求实数a 的取值范围.（3）是否存在正正数,m n ,使1,,(1)m n b a b n >成等差数列？若存在,求出所有满足条件的,m n ；若不存在,请说明理由.所以12+1n n T n =-⋅（）,由（1）得2121n n n S a =-=-,6．【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列{}n a 满足1133,1,{1,n n n a n n a a a n n ++==---为奇数，为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为2,n n n S b a =, *.n N ∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列,并求其通项n b ； （2）求n S ；（3）问是否存在正整数n ,使得212n n n S b S +>>成立？说明理由. 【解析】因为()12221213321363n n n n b a a n a n ++++==++=++ ()22321633n n a n n a =---++=- ,即1123,6n n b b b a +=-==又 ,所以()23nn b =--.（3）假设存在正整数n ,使得212n n n S b S +>> 成立,因为()22121n S n +=-+ , ()22223nn S n =--- , 所以只要()()()222123223nnn n -+>-->---即只要满足 ①：22n > ,和②：()()22321n n -+>+ ,对于①只要2n ≥ 就可以； 对于②,当n 为奇数时,满足()22321nn -⋅+>+ ,不成立,当n 为偶数时,满足()22321nn ⋅+>+,即22123nn n +-> 令2213n nn n c +-= ,因为()22222222321812160333n nn n n n n n n n n c c +++++++---+-=-=<即2n n c c +< ,且当2n = 时, 22123nn n +->, 所以当n 为偶数时,②式成立,即当n 为偶数时, 212n n n S b S +>>成立 . 7．【】江苏省徐州市2018届高三上学期期中】已知数列的前项和为,满足,．数列满足,,且．（1）求数列和的通项公式； （2）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围；（3）是否存在正整数,,使,,（）成等差数列,若存在,求出所有满足条件的,,若不存在,请说明理由．从而数列的通项公式为． （2）由（1）得,于是,所以两式相减得, 所以,由（1）得,8．【2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考】已知数列{}n a 的首项为2,前n 项的和为n S ,且111241n n n a a S +-=-（*n N ∈）． （1）求2a 的值；（2）设1nn n na b a a +=-,求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在正整数n ,使得3n na a +为整数,若存在求出n ,若不存在说明理由. 【解析】 （1）易得2143a =．因为112134a b a a ==-,所以数列{}n b 的通项公式为14n b n =-．（3）由（2）知,114n n n a n a a +=--,所以114311414n na n a n n ++=+=--,所以()141141n n a a n n +=+--,所以数列41n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列．由124113a =⨯-,所以()2413n a n =-．则34111214141n n a n a n n ++==+--, 注意到413n -≥,且41n -为12的约数,所以413,4,6,12n -=,由*n N ∈知1n =．9.已知{}n a 为等差数列,前n 项和为n S ,若4224,21n n S S a a ==+ （1）求n a（2）对m N *∀∈,将{}n a 中落入区间()22,2m m 内项的个数记为{}m b① 求m b ② 记2122m m m c b -=-,{}mc 的前m 项和记为m T ,是否存在,m t N *∈,使得111m m t T t T t c +-=-+成立？若存在,求出,m t 的值；若不存在,请说明理由1114122m m t t +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得到关于,m t 的不定方程,可考虑对,m t 进行变量分离1142142mt t --⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数）,得到40t ->,即{}1,2,3t ∈,然后代入t 解出符合条件的m 即可解：由①可得：212122m m m c --⎛⎫== ⎪⎝⎭12121411212m m m T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-由111m m t T t T t c +-=-+可得：。

第 49题 数列中的最值问题I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知等差数列245,4,3,77的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值． 【答案】7或8．【解析】由题意知，等差数列245,4,3,77的公差为57-，()2257555151125251271414256n n n nS n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-⋅-==--+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴当7n =或8时，n S 取最大值．精彩解读【试题来源】人教A 版必修5P 45例4．【母题评析】本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力． 【思路方法】由等差数列前n 项和得和，再利用二次函数的相关知识求解．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考北京理20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n >；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求123,,c c c ，观察规律，再证明当3n ≥时，11()()20k k k k b na b na n ++---=-<，所以k kb na -关于*k ∈N 单调递减．所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n=---=-=-，即证明；（Ⅱ）首先求{}n c 的通项公式，分1110,0,0d d d >=<三种情况讨论证明．试题解析：解：（Ⅰ）111110,c b a =-=-=【命题意图】这类题主要考查数列中项的最值问题、前n 项和的最值、求满足数列的特定条件的n 的最值、求满足条件的参数的最值等．【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．【难点中心】解答此类问题一般利用函数思想，结合函数与数列相关性质解题．21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-．当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减． 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-．所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列．（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--．所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-．此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列．②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列．③当10d <时，当21d n d >时，有12nd d <． 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当n m ≥时，nc M n>． 【例3】【2016高考新课标1T15】设等比数列{}n a 满足132410,5,a a a a +=+=则12n a a a 的最大值为 ．【答案】64【解析】设等比数列的公比为q ，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得，2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．∴2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=．III ．理论基础·解题原理数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等． 数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题： 1．等差数列的前n 项和与函数的关系 等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，则S n ＝An 2＋Bn ．当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ， S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题． 2．等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项10a >，公差0d <，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足10n n a a +≥⎧⎨≤⎩．(2)若等差数列的首项10a <，公差0d >，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．【技能方法】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1．利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值．2．利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数，n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >，递增；0d <，递减）；3．利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩．只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可． 【易错指导】1．在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用．2．在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定． V ．举一反三·触类旁通 考向1 数列中项的最值问题求数列中项的最值的基本方法是：(1)利用不等式组()112n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩确定数列的最大项；(2)利用不等式组()112n n nn a a n a a -+≤⎧≥⎨≤⎩确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项．【例1】【2018山西大学附中高三理上学期期中考试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010S a【答案】C 【解析】【例2】【2018湖北武汉部分学校新高三起点调研考试】设等差数列{}n a 满足3736a a +=，46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为__________． 【答案】-12【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3736a a +=，所以4636a a +=，4646275,,a a a a =∴是一元二次方程2362750t t -+=的二根，由2362750t t -+=得()()25110t t --=，125t ∴=或211t =，当4625,11a a ==时，6411257642a a d --===--，()44753n a a n d n ∴=+-=-+，当10,0n n a a +><时，1n n a a +取得最小值，由()7530{71530n n -+>-++<解得465377n <<，7n ∴=时，1n n a a +取得最小值，此时()781min 4,3,12n n a a a a +==-=-，当4611,25a a ==时，6425117642a a d --===-，()44717n a a n d n ∴=+-=-，当10,0n n a a +时，1n n a a +取得最小值，由()7170{71170n n -<+->解得101777n <<，2n ∴=时，1n n a a +取得最小值，此时()231min 3,4,12n n a a a a +=-==-，故答案为12-． 【例3】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +，求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解．思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的n 的值．【解法一】基本不等式法．n a =2156n n +=1156n n+，因为156n n +≥1562n n⨯；当且仅当156n n =，即n=156时，而，144156169<< 且n ∈N *，于是将n=12或13代人，得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解，解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值，从而找到最大项【跟踪练习】1．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．163 B ．133 C ．4D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0．2．在数列{a n }中，a n ＝n － 2 013n － 2 014，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是 ( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014，∴当n ∈[1，44]时，{a n }单调递减，当n ∈[45，100]时，{a n }单调递减， 结合函数f (x )＝x － 2 013x － 2 014的图象可知，(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44，选C ．3．【2018江苏常州高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为________． 【答案】3【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且234234a a a a a a =++，所以33324a a a a -=+，则3332424322a a a a a a a -=+≥=，即()23330a a -≥，即2333,3a a ≥≥，即3a 的最小值为3． 4．在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．(2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．【点评】要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．5．【2018山西太原高三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()121n n S a =-，416a =，*n N ∈． （1）求1a 及数列{}n a 的通项公式；（2）设2n nn b a =，求数列{}n b 的最大项．【解析】（1）由题得4431816a S S a =-==，解得12a =，故122n n S +=-，则2n ≥时，12n n n n a S S -=-=，令1n =，12a =成立，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =．（2）22n n n b =，()222111121222n n n n n n n n n b b ++++-++-=-=．当12n ≤≤时，2210n n -++>，则1n n b b +>，当3n ≥时，2210n n -++<，则1n n b b +<， 故数列{}n b 前3项依次递增，从第3项开始依次递减，所以数列{}n b 的最大项为398b =． 6．已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a …，且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩…，记集合{}*n M a n =∈N ．（1）若16a =，写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值． 解析：（1）6，12，24．（3）由136a …，*1a ∈N ，11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩…，可归纳证明()362,3,n a n =…．因为1a 是正整数，112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩…，所以2a 是2的倍数，从而当3n …时，n a 是4的倍数．如果1a 是3的倍数，由（2）知对所有正整数n ，n a 是3的倍数，因此当3n …时，{}12,24,36n a ∈，这时，M 中的元素的个数不超过5．如果1a 不是3的倍数，由（2）知，对所有的正整数n ，n a 不是3的倍数，因此当3n …时，{}4,8,16,20,28,32n a ∈，这时M 的元素的个数不超过8． 当11a =时，{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素． 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8．考向2 数列中前n 项和的最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现，题型有小题也有大题，难度不大，求等差数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性，求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．(3)利用11,n n n n S S S S -+≥⎧⎨≥⎩求出S n 的最值．【例4】在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大，可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数，再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律，并利用所有正数项和最大．【例5】【2018届吉林省吉林市五十五中开学考试】已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-． （Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．【答案】（1）25n a n =-+；（2）n S 的最大值为4．【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式()11n a a n d =+-变形有()n m a a n m d =+-，则公差n ma a d n m-=-，所以525125252a a d ---===---，所以通项公式()()()2212225n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+；（2）根据等差数列前n 项和公式()()11122n n n a a n n S na d +-==+有()()213242n n n S n n n -=+⨯-=-+，配方得()224n S n =--+，根据二次函数图象及性质可知，当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4．等差数列前n 项和22n S An Bn =+，因此可以看出二次函数或一次函数（0d =时）来求最值，考查数列与函数．【例6】已知函数x x x f 63)(2+-=，n S 是数列}{n a 的前n 项和，点(,)n n S （n N *∈）在曲线)(x f y =上．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c ∙=，且n T 是数列}{n c 的前n 项和．试问n T 是否存在最大值？若存在，请求出n T 的最大值；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）因为111(96)()1112(),(32)()2662n n n n n n n n b c a b n ---====- ①所以 231111(1)()(3)()(32)(),2222n n T n =+-+-++- ②234111111()(1)()(3)()(32)(),22222n n T n +=+-++-++- ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n ．整理得1)21)(12(-+=n n n T ．④方法一 利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以111111(23)()(21)()[(23)()(21)]()22223111[(21)]()()().2222nn n n n n nT T n n n n n n n ++-=+-+=+-+=+-+=-因为1≥n ，所以021<-n ．又0)21(>n ，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1， 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T ．所以T n 存在最大值11.2T =方法三 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为n T 是数列}{n c 的前n 项和， 所以n n n n T c T T <+<++11．所以 >>>>>>+1321n n T T T T T ，所以n T 存在最大值211=T ． 【跟踪练习】1．【安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列{}n a 中，761a a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，则当0n S >时，n 的最大值为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【答案】A【解析】数列{}n a 为等差数列，若761a a <-，则7660a a a +<，可得0d <60a ∴>，760a a +<，70a <，111620a a a ∴+=>，110S >112760a a a a +=+<，120S <，则当0n S >时，n 的最大值为11，故选A2．已知()[]23,0,31xf x x x +=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且122010670a a a +++=，则122010()()()f a f a f a+++( )A ．有最大值6030B ．有最小值6030C ．有最大值6027D ．有最小值6027 【答案】A3．【2018安徽池州市东至县高三12月联考数学】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B4．【2018福建闽侯县八中高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2nn a =，则使得1500n n S na +-+<的最小正整数n 的值为__________．【答案】55．【2018河南林州一中高三8月调研考试】已知数列{}n a 满足：()2125752*13?3?·33n n na a a n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，令()*15n n n n T a a a n N ++=+++∈，则n T 的最小值为__________．【答案】15考向3 求满足数列的特定条件的n 的最值【例7】【福建省福州市2018届高三上学期期末质检】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =．若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 【答案】A 【解析】若n为偶数，则()()()()()1234112112312112n n n n n S a a a a a a n -+=++++++=⨯++⨯++-+=，5012751350S =<，5217381350S =>，所以这样的偶数不存在若n 为奇数，则若5121301.51350S a =-=，则当248.52a =-<时成立；若5321405.51350S a =-=，则当255.52a =>不成立．故选A ．【名师点睛】本题是道数列的综合题目，考查了数列的求和时的最值问题，需要注意这里的分类讨论，当n 为偶数、n 为奇数时运用等差数列求和，将和的表达式写出来，然后结合题意进行讨论．【例8】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为12n n S m +=+，且145,,2a a a -成等差数列，()()111n n n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 【分析】先求和，再解不等式． 【答案】C【例9】【2018重庆一中高三下学期第二次月考】已知曲线1C 的方程为221x y +=，过平面上一点1P 作1C 的两条切线，切点分别为11,A B ，且满足1113A PB π∠=，记1P 的轨迹为2C ，过一点2P 作2C 的两条切线，切点分别为2A 、 2B 满足2223A PB π∠=，记2P 的轨迹为3C ，按上述规律一直进行下去……，记1m a x ||n n n a A A +=且n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则满足213100n S -<的最小的n 是___________．【答案】7【跟踪练习】1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．【解析二】由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2， 故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．【解析三】根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值． 2．设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值． 【答案】（1）2nn a =；（2）10．（2）由（1）得112n n a =．所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--． 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n>．因为9102512100010242=<<=，所以10n ≥．于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10． 3．【2018四川普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数，且214a a =，()2*12n n n a a a n N +=+∈．（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使345n T >成立时n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()13log 12n n a -+=，()221321log 124n n n n b a ---=+==， 则()211211444413n nn n T b b b -=+++=++++=-……． 不等式345n T >即为()*41036n n N >∈，所以6n ≥，于是345n T >成立时n 的最小值为6．4．【2018四川省广安、眉山毕业班第一次诊断】已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且()*11n n n S S a n n N+=+++∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求满足不等式1910nT ≥的最小正整数n ． 【答案】（1）()12n n na +=（2）19试题解析：（1）由()*11n n n S S a n n N +=+++∈，有11n n a a n +-=+，又11a =，所以2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()11212n nn n +=+-+++=．当1n =时，也满足()12nn n a +=，所以数列{}n a 的通项公式为()12nn n a +=．（2）由（1）知()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111122121223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 令219110n n ≥+，解得19n ≥，所以满足不等式1910n T ≥的最小正整数n 为19． 考向4 求满足条件的参数的最值【例10】【2018天一大联考高中毕业班阶段性测试】已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式()()2*13222Nn n S M n a a n ++≤+∈恒成立，则M 的最小值为__________． 【答案】6259【解析】由题可知：()()()()()2112232222n n n n n S Mn n +++=⇒≤++恒成立，即()()1322n M n n +≤++恒成立，设t=n+1，则()()()()21131322311323132n t tn n t t t t t t+===++++++++，因为函数31t t +在()0,3131+∞递减，（，）递增，()()5667565,6565f f ==<，所以311259324366t t ++≥=，所以M 的最小值是6259． 【例11】【2018山东枣庄高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和，()210,2,326n n n a a a S ∈++=．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值． 【分析】(1)首先求得1a 的值，然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列，由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式，然后用裂项法求得n T ，再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．(2)由32n a n =- ，可得()()12111111,...323133231n n n n n b T b b b a a n n n n +⎛⎫===-=+++ ⎪-+-+⎝⎭1111111 (3447323131)n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 因为()()()1110311313134n n n n T T n n n n ++-=-=>+++++，所以1n n T T +>，所以数列{}n T 是递增数列，所以1141444n n t t t T T T t ≤⇔≤⇔≤=⇔≤，所以实数t 的最大值是1． 【点评】(1) 求解与参数有关的问题，一般是分离变量，再构造新函数求解．(2)使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．【例12】【2018天津六校2高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =，12(2)n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：2n T <； （3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立，求λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥是以为首项，为公差的等差数列，．（2），，即2nT <（3）由得，当且仅当时，有最大值，．【跟踪练习】1．【2018天津六校高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D2．已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+，前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，不等式216n n m S S ->恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为 ． 【答案】53．已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N ．（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-． 【答案】（1）65n a n =-；（2）详见解析；（3）1,02⎛⎫-⎪⎝⎭．因为0n n a a ≥，n *∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥．故{}n b 的第0n 项是最大项．解：（3）因为nn b λ=，所以()112n n n n a a λλ++-=-，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()()()1122222n n n n λλλλλλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+2n λλ=-．当1n =时，1a λ=，符合上式．所以2nn a λλ=-．因为0λ>，所以222nn a λλλ=->-，21212n n a λλλ--=-<-．①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而()32,21∉--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值222a λλM ==-，最小值1m a λ==，由2222λλλ--<<及10λ-<<，得102λ-<<．综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭． 考向5 有关数列的其它最值问题【例13】【2018河北承德联校高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=，242b b +=，则12222nb b b的最大值为________．【答案】512 【解析】依题意有111126{32b b d b d b d ++=+++=，解得15,2b d ==-，故27n b n =-+．()12212222nn nb b b -++++=，故当3n =时，取得最大值为92512=．【例14】【2018安徽淮南高三一模】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()211n n n n a S S S ---=，且11a =，设12log 3n n a b +=，则12341n b b b n ++⋯+++的最小值是________． 【答案】911221424434n n n n n n n n S n a S S -----∴=∴≥=-=-=⨯．，． 211{342n n n a n -∴=⨯≥，＝．，221222223n n n a b log log n -+∴===-，则()2120222n n n b b b n n +-++⋯+==-． 则()()2212131363434111n n n b b b n n n n n +-++++⋯++-+==+++361312391n n =++-≥-=+， 当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立． 【跟踪练习】1．【2018福建三明市A 片区高中联盟校高三上学期阶段性考试】已知在各项为正数的等比数列{}n a 中，4a 与10a 的等比中项为4，则当5928a a +取最小值时首项1a 等于（ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 【答案】A【解析】设各项为正数的等比数列{}n a 的公比为(0)q q >∵4a 与10a 的等比中项为4，∴2241074a a a ==，∴74a =，∴22275972222882883223232a a a a q q q q q q+=+=+≥⨯=， 当且仅当22832q q =，即212q =时取等号，此时71632a a q ==，故选A ． 2．【2018河南豫北名校联盟高三年级精英对抗赛，】已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 满足14m n a a a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C ． 73 D ．256【答案】A3．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11111111,2,,,22n n n n n n n n a c a b b c b c a a a b c +++++>+====，则n A ∠的最大值是________________． 【答案】3π【解析】由11,22n n n n n n a c a bb c ++++==得 ()111222n n n n n n n n n a c a b b c b c a +++++=+=++，又11n n a a a +==，所以()11111222n n n n b c a b c a +++-=+-，而1112b c a +=，所以12n n b c a +=，所以()222222123cos 1222n n n n n n n n n n n n n n nb c a b c b c a a A b c b c b c +--+-∠===-2211221331112222n n a a a b c ≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭，所以n A ∠的最大值是3π．。

2018届高三数学成功在我专题五 数列问题六：数列中的探索性问题一、考情分析近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题. 二、经验分享(1)对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件．另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答．(2)探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题．一般是由给定的已知条件求相应的结论。

它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值．数列中大小关系的探索问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法． (3)存在型探索性问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．(4)处理规律探索性问题，应充分利用已知条件，先求出数列的前几项，根据前几项的特点透彻分析，发现规律、猜想结论． 三、题型分析 (一) 条件探索性问题【例1】已知数列{}n a 为等差数列，12a =，{}n a 的前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）是否存在非零整数λ，使不等式1121111(1)(1)(1)cos 21n n n a a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<+对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列{}n c ，满足391007c a =，且存在正整数k ，使139,,k c c c 成等比数列，若数列{}n c 的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．【分析】（Ⅰ）因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的n *∈N 恒成立，所以取1,2,3n =，又知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（Ⅱ））由2n a n =，得11coscos(1)(1)2n n a n ππ++=+=-，设121111(1)(1)(1)1n n nb a a a a =--⋅⋅⋅-+，则不等式等价于1(1)n n b λ+-<，问题转化为求n b 的最小值，因0n b >，利用()12112123n n n b b n n ++=>++知n b 单调递增，求n b 的最小值，再根据1(1)n n b λ+-<求解；（Ⅲ）特殊情况0d =时，成立，当d ＞0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，由等比中项知2391k c c c =，化简得()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k --+-=⇒-=-，整理得：*53383953k N d ⨯=+∈-，由120143838(53)05300c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，所以53530d >->，根据*533853N d⨯∈-，故531,2,19d -=，从而52,51,34d =，所以公差d 的所有可能取值之和为137．【解析】（Ⅰ）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ． 因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令1,2,3n =分别得114a b =，112220a b a b +=，11223368a b a b a b ++=，又12a =所以1122332,21648a b a b a b ==⎧⎪=⎨⎪=⎩即22(2)(2)163440(22)(2)48d q d d d q +=⎧⇒--=⎨+=⎩， 得11236d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或2222d q =⎧⎨=⎩，经检验2,2d q ==符合题意，2,63d q =-=不合题意，舍去．所以2,2n n n a n b ==．①当n 为奇数时，得min 123()3n b b λ<==； ② 当n 为偶数时，得min 285()15n b b λ-<==，即8515λ>-． 综上，8523,153λ⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭，由λ是非零整数，可知存在1λ=±满足条件． （Ⅲ）易知d=0，成立．当d ＞0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，39(39)2014(39)k c c k d k d =+-=+-，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-， 395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯，*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩Q ，05353d ∴<-<，531,2,19d ∴-=，52,51,34d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为137．……16分【点评】第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对n 分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整数，分析对公差d 的要求，进而得到d 的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形、运算、分析能力要求很高．【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三上学期调研】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()12n n S n λ=+-⋅,又数列{}n b 满足:n n a b n ⋅=． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)当λ为何值时,数列{}n b 是等比数列？并求此时数列{}n b 的前n 项和n T 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()()11,22n n n a n n λ-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩；(Ⅱ)[)1,2. 【解析】（Ⅰ）由()12n n S n λ=+-⋅，当1n =时，11a S λ==；当2n ≥时，()()11112222n n n n n n a S S n n n ---=-=-⋅--⋅=⋅，故数列{}n a 的通项公式为()()11,22n n n a n n λ-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ (Ⅱ)由n n a b n ⋅=有()()111,122n n n b n λ-⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩则数列{}n b 为等比数列， 则首项为11b λ=满足2n ≥的情况，故1λ=，则()112111122111212nn n n b q b b q --⎛⎫++===- ⎪-⎝⎭-…+b 而1212n⎛⎫- ⎪⎝⎭是单调递增的，故[)121211,22n n b b ⎛⎫++=-∈ ⎪⎝⎭…+b (二) 结论探索性问题【例2】已知数列{}n a 中，2a a =（a 为非零常数），其前n 项和n S 满足1()()2n n n a a S n N +-=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2a =，且21114m n a S -=，求m n 、的值； （3）是否存在实数a b 、，使得对任意正整数p ，数列{}n a 中满足n a b p +≤的最大项恰为第32p -项？ 若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)先由()12n n n a a S -=得11111()02a a a S -===， 2n n na S =，11(1)2n n n a S +++=两式相减整理得1(1)n n n a na +-=，21(1)n n na n a ++=+， 再相减化为121n n n n a a a a +++-=-，故{}n a 是等差数列，(1)n a n a =-；(2)先求出()()221,1n n a n S n n =-=-代入21114m n a S -=整理得(223)(221)43m n m n +---=，只有22343,m n +-=且2211m n --=，解得12,11m n ==；(3)先排除0a <的情况，再求得0a >时有1p b n a -≤+，再由3231p bp p a--≤<-对任意正数p 成立可得310,a -= 13a =，最后验证2013b b -<≤-得213b <≤．【解析】（1）由已知，得11111()02a a a S -===，∴2n n na S =， 则有11(1)2n n n a S +++=，∴112()(1)n n n n S S n a na ++-=+-， 即1(1)n n n a na +-=，21(1)n n na n a ++=+， 两式相加，得*122,n n n a a a n N ++=+∈， 即*121,n n n n a a a a n N +++-=-∈， 故数列{}n a 是等差数列，又120,a a a ==，∴(1)n a n a =-（3）由n a b p +≤，得(1)a n b p -+≤， 若0a <，则1p bn a -≥+，不合题意，舍去； 若0a >，则1p bn a-≤+． ∵不等式n a b p +≤成立的最大正整数解为32p -， ∴32131p bp p a--≤+<-， 即2(31)3a b a p a b -<-≤-对任意正整数p 都成立，∴310a -=，解得13a =， 此时，2013b b -<≤-，解得213b <≤， 故存在实数a b 、满足条件，a 与b 的取值范围是12,133a b =<≤， 【点评】判定一个数列为等差数列的常见方法是：①验证2n ≥时1n n a a --为同一常数；②验证3n ≥时，112n n n n a a a a ----=-恒成立；③验证n a pn q =+；④验证2n S An Bn =+．本题（1）运用了方法②．【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三理周考】已知数列{}n a 中，11a =，且点()()*1n n P a a n N +∈，在直线10x y -+=上． ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵若函数()123123nnf n n a n a n a n a =++++++++…（n N ∈，且2n ≥），求函数()f n 的最小值； ⑶设1n nb a =，n S 表示数列{}n b 的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式()g n ，使得()()12311n n S S S S S g n -++++=-⋅…对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出()g n 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)n a n =；（2）65)2(=f ；(3)n ng =)(，证明见解析. 【解析】⑴ 点）（1,+n n a a P 在直线01=--y x 上，即11=-+n n a a ，且11=a ，∴数列}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，)2(1)1(1≥=⋅-+=∴n n n a n ，11=a 也满足，n a n =∴⑵ n nn n n f 22211)(+++++=， ∴22112213221)1(+++++-+++++=+n n n n n n n n n f ， 0)()1(≥-+∴n f n f ，)(n f ∴是单调递增的，故)(n f 的最小值是65)2(=f ． ⑶ n S n b n n 1312111++++=⇒= ，)2(11≥=-∴-n nS S n n ，即，1,,1)2()1(112221+=-+=---∴---S S S S S n S n n n n ，,1-n 1211++++=-∴-n n S S S S nS)2()1(121≥⋅-=-=+++∴-n n S n nS S S S n n n ，n n g =∴)(．故存在关于n 的整式n n g =)(，使等式对于一切不小于2的自然数n 恒成立． 法二：先由3,2==n n 的情况，猜想出n n g =)(，再用数学归纳法证明． (三) 存在型探索问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．【例3】【广东省茂名市五大联盟学校2018届高三3月联考】设数列的前n项和为，且满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数,使得数列为等差数列？若存在，求出的值,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）由题意可得，据此有.且（）.，故，整理可得.数列是以2为首项,2为公比的等比数列，.（2）由（1）知，，，必要条件探路，若为等差数列，则，，成等差数列，据此可得.经检验时，成等差数列，故的值为-2.【解析】（1）由（），可知当时，.又由（）.可得，两式相减，得，即，即.所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列故.（2）由（1）知，，所以若为等差数列，则，，成等差数列，即有，即，解得. 经检验时，成等差数列，故的值为-2.【小试牛刀】【2017安徽六安一中上学期周检】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，13n S +是6与2nS 的等差中项()n N *∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使不等式()()21nn n k a S n N*-<∈恒成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)()*131N n a n n ∈=-；(2)存在,11. 【解析】（1）解法一：因为13n S +是6与2n S 的等差中项，所以()1626n n S S n N *++=∈，即1113n n S S +=+，当2n ≥时有1113n n S S -=+②-①②得()1113n n n n S S S S +--=-，即113n n a a +=对2n ≥都成立 又根据①有21113S S =+即121113a a a +=+，所以211133a a ==所以()113n n a n N *-=∈.所以数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列.解法二：因为13n S +是6与2n S 的等差中项所以()1626n n S S n N *++=∈，即1113n n S S +=+，()n N *∈ 由此得()1313111312323232n n n n S S S S n N *+⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又11331222S a -=-=-，所以()1312332n n S n N S +*-=∈-， 所以数列32n S ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以为12-首项，13为公比的等比数列. 得1311223n n S -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，即()1311223n n S n N -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以，当2n ≥时，121131131112232233n n n n n n a S S ----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=---=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又1n =时，11a =也适合上式，所以()113n n a n N *-=∈. （2）根据（1）的结论可知， 数列{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列， 所以其前n 项和为()1311223n n S n N -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭原问题等价于()()()21111113323n n nk n N --*⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<-∈⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦①恒成立. 当n 为奇数时，不等式左边恒为负数，右边恒为正数，所以对任意正整数k 不等式恒成立；当n 为偶数时，①等价于()2111123033n n k --⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，令113n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，有103t <<，则①等价于2230kt t +-<在103t <<恒成立，因为k 为正整数，二次函数223y kt t =+-的对称轴显然在y 轴左侧，所以当103t <<时，二次函数为增函数，故只须21123033k ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，解得012k <<，k N *∈，所以存在符合要求的正整数k ，且最大值为11. 四、迁移运用1．【2017福建厦门一中高二上学期期中】数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*3113,21,n n S a S n N +==+∈，则符合5n S a >的最小的n 值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 【答案】D2．【2017届安徽淮北一中高三上学期四模】已知{}n a 是等比数列, 公比为q , 前n 项和是n S ，若1341,,a a a a - 成等差数列，则（ ）A ．10a >时，1n n S qS +<B ．10a >时，21n n S q S +< C. 10a <时，1n n S qS +< D ．10a <时，21n n S q S +< 【答案】B【解析】1341,,a a a a -成等差数列，即314142,2a a a a a q =+-==.()()11122112n n n a S a -==--，()11121n n S a ++=-，()21421n n q S a =-，当10a >时，()()()211111214213120n n n n n S q S a a a ++-=---=-<，所以21n n S q S +<，选B.3．【2017届河北武邑中学高三周考】若数列{}n a 满足112324221n n a a a a n -++++=-…，且数列{}n a 的前n 项和为n S ，若实数λ满足对于任意*n N ∈都有24n S λλ<<，则λ的取值范围是 ．【答案】143<≤λ 【解析】由,122421321-=++++-n a a a a n n 得2123124221123n n a a a a n n --++++=--=-（）2n ≥（），两式相减得）（2,221≥=-n a n n ，又1=n 时，11=a ，所以,)2(2112⎩⎨⎧≥==-n n a nn ），（所以212210213211211122221------=--+=++++=n n nn S ）（）（ ，在1≥n 时单调递增，可得31<≤n S ，由题意可得,3412⎩⎨⎧≥<λλ解得143<≤λ.4．【2017届安徽淮北一中高三上学期四模】已知数列{}n a 与{}n b 满足()1122n n n n a b b a n N *+++=+∈，若()19,3n n a b n N*==∈且()33633n nan λλ>+-+对一切n N *∈恒成立 ，则实数λ的取值范围是_________. 【答案】13,18⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．【2017届山西临汾一中等五校高三联考】已知数列{}n a 的通项公式()(),14182,2nn a n a n a n =⎧⎪=⎨+--≥⎪⎩，若对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是_____________ . 【答案】()3,5【解析】∵对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，∴1=n 时，21a a <，可得()a a 288-+<，解得316<a ．2≥n时，()()()()()a n a n n n2811428141--++<--++，化为：()()01141>+--+n a ，k n 2=时，化为：()014>+--a ，解得3>a ；12+=k n 时，化为：014>+-a ，解得5<a ．综上可得：()3,5．∴a 的取值范围是()3,5．故答案为：()3,5．6．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a H n-+++=为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值”12n n H +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的n 恒成立，则实数k 的最大值为__________．【答案】712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题可知1112222n n na a a n-++++=，∴1112222n n n a a a n -++++=⋅①，212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅②，由①-②得：1122(1)2n n n n a n n -+=⋅--⋅，则22n a n =+，所以(2)2n a kn k n -=-⋅+，令(2)2n b k n =-⋅+，5n S S ≤，560,0b b ∴≥≤，解得：71235k ≤≤，所以k 的取值范围是712[,]35. 7．【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知数列{}n x 各项为正整数，满足1, 21,nn n nn x x x x x +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数，为奇数，*n ∈N ．若343x x +=，则1x 所有可能取值的集合为__________． 【答案】{}1,2,3,4,8【解析】由题意得34341,22,1x x x x ====或；当31x =时，22x =，从而114x =或；当32x =时，214x =或，因此当21x =时，12x =；当24x =时，183x =或，综上1x 所有可能取值的集合为{}1,2,3,4,88.设等差数列{}n a 满足公差d N +∈,n a N +∈,且数列{}n a 中任意两项之和也是该数列的一项.若513a =，则d 的所有可能取值之和为_________________. 【答案】364【解析】设,n m a a (m n)≠设等差数列{}n a 中的任意两项，由已知得，53(n 1)n a d =+-，53(1)m a m d =+-，则523(2)m n a a m n d +=⨯++-，设m n a a +是数列{}n a 中的第k 项，则有53(1)m n a a k d +=+-，即5523(2)3(1)m n d k d ⨯++-=+-，531d m n k =-+--，故d 的所有可能取值为23451,3,3,3,3,3，其和为61336413-=-． 9．【江苏省扬州市2017-2018学年度第一学期期末调研】已知各项都是正数的数列的前项和为，且，数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）设数列满足，求和；（3）是否存在正整数，，，使得，，成等差数列？若存在，求出所有满足要求的，，，若不存在，说明理由. 【解析】（1）①，②，②-①得：，即，因为是正数数列，所以，即，所以是等差数列，其中公差为1，在中，令，得，所以，由得，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以.（2），裂项得，所以，（3）假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，因为，所以数列从第二项起单调递减，当时，，若，则，此时无解；若，则，因为从第二项起递减，故，所以符合要求，若，则，即，不符合要求，此时无解；当时，一定有，否则若，则，即，矛盾，所以，此时，令，则，所以，，综上得：存在或，，满足要求.10．数列{}n x 满足： 11x =， 141n n n x x x ++=+， *n N ∈ (Ⅰ)判断n x 与2的大小关系，并证明你的结论； (Ⅱ)求证： 122222n x x x -+-++-<.【解析】Ⅰ) 当n 为奇数时， n x <2；当n 为偶数时， n x >2. 证明如下：()1221n n n x x x +---=+，两边同取倒数得：11131222n n n n x x x x ++=-=-----，1111132424n n x x +⎛⎫+=-⨯+ ⎪--⎝⎭，所以数列1124n x ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以34-为首项， 3-为公比的等比数列， ()11133244n n x -+=-⋅--，()4231n nx -=--，所以当n 为奇数时，()42031n nx -=<--，即n x <2；当n 为偶数时， ()42031n nx -=>--， n x >2.当n 为偶数且4n ≥时， 要证1412312n n n x --=<-， 只需证2231nn⨯<-，即证212133n n⎛⎫⎛⎫⨯+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()21233nnf n ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f n 单调递减， ()()max 41f n f =<，当n 为奇数且3n ≥时， 要证1412312n n n x --=<+， 只需证2231nn⨯<+， 只需证223nn⨯<，即证2213n ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，令()223ng n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，则()g n 单调递减， ()()max 31g n g =<， 所以()1412231n nn x --=<--成立， 所以122222n x x x -+-++-<成立.11．【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知数列{}n a 满足11a =， 2142n n n n a a a a λμ+++=+，其中*N n ∈， λ， μ为非零常数.（1）若3λ=， 8μ=，求证： {}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列. ①求实数λ， μ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当3λ=， 8μ=时， 213842n n n n a a a a +++=+ ()()3222n n n a a a ++=+ 32na =+， ()1131n n a a +∴+=+.又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，{}1n a ∴+为2为首项，3为公比的等比数列， 1123n n a -∴+=⋅， 1231n n a -∴=⋅-.经检验，满足题意.综上， 1λ=， 4μ=， 21n a n =-. ②由①知()21212n n n S n +-==.设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.1°若三个奇数一个偶数，设1S ， 21x S +， 21y S +， 2z S 是满足条件的四项，则()2121x +++ ()222142017y z ++=，()2222x x y y z ∴++++ 1007=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.2°若一个奇数三个偶数，设1S ， 2x S ， 2y S ， 2z S 是满足条件的四项，则2214x ++ 22442017y z +=， 222504x y z ∴++=.由504为偶数知， x ， y ， z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数.1）若x ， y ， z 中一个偶数两个奇数，不妨设12x x =， 121y y =+， 121z z =+，则()222111112x y y z z ++++ 251=，这与251为奇数矛盾.2）若x ， y ， z 均为偶数，不妨设12x x =， 12y y =， 12z z =，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知1x ， 1y ， 1z 中两奇数一个偶数， 不妨设122x x =， 1221y y =+， 1221z z =+，则22222x y y +++ 22231z z +=.因为()221y y +， ()221z z +均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z ≤≤，当21x =时， 222222y y z z +++ 30=， 22214y y +≤，检验得20y =， 25z =， 21x =， 当23x =时， 222222y y z z +++ 22=， 22210y y +≤，检验得21y =， 24z =， 23x =，当25x =时， 222222y y z z +++ 6=， 2222y y +≤，检验得20y =， 22z =， 25x =，即1S ， 4S ， 8S ， 44S 或者1S ， 12S ， 24S ， 36S 或者1S ， 4S ， 20S ， 40S 满足条件， 综上所述， {}14844,,,S S S S ， {}1122436,,,S S S S ， {}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列. 12．【西南名校联盟高三2018年元月考试】已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，其前n 项和为n S ，且1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足14b a =， ()*13n n n b b n N +=+∈，求满足6n n b S n ≤+的所有n 的值.【解析】（1）∵1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=， ∴5515a =， 6525a =，得53a =， 65a =，∴2d =，∴()55n a a n d =+- ()325n =+- 27n =-，得15a =-，∴()112n n n S na d -=+ 26n n =-．（2）∵141b a ==， 13n n n b b +-=，∴()()()121122113331n n n n n n n b b b b b b b b -----=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++ ()3122n n -=≥，又13112b -==∴()31*2n n b n N -=∈，故由6n n b S n ≤+得2312nn -≤ ∴1n =或2n =．13．【2017届湖南长沙雅礼中学高三月考】已知首项为23的等比数列}{n a 的前n 项和为)(*∈N n S n ，且4324,,2S S S -成等差数列.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）对于数列}{n A ，若存在一个区间M ，均有),3,2,1(, =∈i M A i ，则称M 为数列}{n A 的“容值区间”.设nn n S S b 1+=，试求数列}{n b 的“容值区间”长度的最小值. （注：区间],[),,[],,(),,(b a b a b a b a 的长度均为a b -） 【答案】（1）1)21(23--⋅=n n a ；（2）61． 【解析】（1）设等比数列}{n a 的公比为)0(≠q q ，由题意知342242S S S =+-，则)232323(2)23232323(4)2323(2232q q q q q q ++=+++++-，化简得06332=+q q ， 解得21-=q ，∴1)21(23--⋅=n n a .（2）由（1）可知n n S )21(1--=.当n 为偶数时，n n S )21(1-=，易知n S 随n 增大而增大，∴)1,43[∈n S ，此时]1225,2(1∈+=n n n S S b ； 当n 为奇数时，n n S )21(1+=，易知n S 随n 增大而减小，∴]23,1(∈n S ，此时]613,2(1∈+=n n n S S b . 又1225613>，∴]213,2(∈n b .故数列}{n b 的“容值区间”长度的最小值为61. 14．【2017届河南南阳一中高三上学期月考】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足11()22n n n S a -++=（*n N ∈），设2n n n c a =.（1）求证：数列{}n c 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）按以下规律构造数列{}n b ，具体方法如下：11b c =，223b c c =+，34567b c c c c =+++，…，第n 项n b 由相应的{}n c 中12n -项的和组成，求数列{}n b 的通项公式．【答案】（1）2n nn a =；（2）232322n n --⨯-. 【解析】（1）在11()22n n n S a -++=，①中，令1n =，得1112S a ++=，∴112a =． 当2n ≥时，2111()22n n n S a ---++=，②①-②得：1112()02n n n a a ----=，（2n ≥），∴1112()2n n n a a ---=，∴11221n n n n a a ---=，又2n n n c a =，∴11(2)n n c c n --=≥， 又1121c a ==，所以数列{}n c 是等差数列， ∴1(1)1n c n n =+-⨯=，又2n n n c a =，∴2n nn a =． （2）由题意得1111122122212(21)(21)n n n n n n n n b c c c c -----++-=++++=++++-……，而12n -，121n -+，122n -+，…，21n -是首项为12n -，公差为1的等差数列，设数列共有12n -项，所以，11222112322(21)222232222n n n n n n n n n b -------⎡⎤+-⨯+-⎣⎦===⨯-．15．【2017届福建连城县二中高三上学期期中】数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =，121n n a S +=+（*n N ∈）．（1）t 为何值时，数列{}n a 是等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值，且315T =，又11a b +，22a b +，33a b +等比数列，求n T ．【答案】（1）1t =；（2）2205n T n n =-. 【解析】（1）∵121n n a S +=+， ∴当2n ≥时，121n n a S -=+，两式相减得12n n n a a a +-=，即13n n a a +=， ∴当2n ≥时，数列{}n a 是等比数列， 要使数列{}n a 是等比数列， 当且仅当213a a =，即213t t +=，从而1t =．16．【2017届江西鹰潭一中高三上学期月考】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1,1a a =，()101,b a =，若24a b =，且11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()1121n a n T a λ-=--（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和；（Ⅱ）是否存在非零实数λ，使得数列为等比数列？并说明理由．【答案】（Ⅰ）21n a n =+，96+=n nM n ；（Ⅱ）不存在非零实数，使数列为等比数列，理由见解析． 【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由()1,1a a =，()101,b a =，24a b =，得11024a a +=又11143S =解得13a =，2d =，因此数列的通项公式是21n a n =+（*n N ∈），所以1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以111111123557212369n nM n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪+++⎝⎭ （Ⅱ）因为()1121na n T a λ-=--（*n N ∈）且13a =可得124n n T λλ=+，当1n =时，16b λ=；当2n ≥时，1134n n n n b T T λ--=-=，此时有14n n b b -=，若是{}n b 等比数列，则有214bb =，而16b λ=，212b λ=，彼此相矛盾，故不存在非零实数，使数列为等比数列．17．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55625S a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）34n a n =-（Ⅱ）2974k -<<18．【2017届江苏南京市盐城高三一模】若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N ka n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”.（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3. ①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由. 【答案】（Ⅰ）①6，②[)14,λ∈+∞（Ⅱ）n b b =或()11n n b b -=-.【解析】（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，2014201300b b ∴=⨯=，2015201433b b ∴=+=，2016201536b b ∴=+=.方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=， ∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列. ∴201666b b ==.②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴()()()32313131331313126n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+-----=+-=+-=++-==⎡⎤⎣⎦， ∴{}31n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列， 又()()32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b ------++=-+++=，()()()312345632313n n n n S b b b b b b b b b --∴=+++++++++()()2253113346932n n n b b b n n n --⎡⎤=++=+⨯=+⎢⎥⎣⎦，133n n S λ-≤⋅，313n n S λ-∴≤，设313nn n S c -=，则()max n c λ≥， 又()()()2221112322913193333n n n n n n n n n n n c c +-----++++-=-=， 当1n =时，23220n n --<，12c c <；当2n ≥时，23220n n -->，1n n c c +<， ∴123c c c <>>⋅⋅⋅，∴()2max 14n c c ==， ∴14λ≥，得[)14,λ∈+∞.方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++-=-==，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列， ∴()2363176342n n n b b b n n n -+++=+⨯=+， 易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，()21245323122121362n n n n b b b b b b n n n ---∴++++++=⨯+⨯=-，()()222334693n S n n n n n n ∴=++-=+，以下同方法一.方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，()3b b d q =+，()4b b d q d =++，由2132b b b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得()()2b d q b d q d +=++，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或()11n n b b -=-，经检验均合题意.②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得()()22b d b b d +=+，得0d =，则n b b =，经检验适合题意.综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或()11n n b b -=-.19．【2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考】已知数列{}n a 满足10a =，218a =，且对任意m ，*n ∈N 都有()221211324m n m n a a a m n --+-+=+-． （1）求3a ，5a ；（2）设2121n n n b a a +-=-（*n ∈N ）． ①求数列{}n b 的通项公式； ②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，是否存在正整数p ，q ，且1p q <<，使得1S ，p S ，q S 成等比数列？若存在，求出p ，q 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）31a =，55a =（Ⅱ）①32n b n =-②2p =，16q = 【解析】（1）由题意，令2m =，1n =，则()231232214a a a +=+-，解得31a =． 令3m =，1n =，则()251332314a a a +=+-，解得55a =． （2）①以2n +代替m ，得23212123n n n a a a +-++=+．则()()()21212112113n n n n a a a a +-+++-⎡⎤---=⎣⎦，即13n n b b +-=．所以数列{}n b 是以3为公差的等差数列．1311b a a =-=，()11332n b n n ∴=+-⨯=-．②因为()()111111323133231n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭． 所以11111111113447323133131n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 则114S =，31p p S p =+，31q q S q =+．因为1S ，p S ，q S 成等比数列，2131431p q p q ⎛⎫∴= ⎪++⎝⎭，即26134p q p q ++=． 所以1p q <<，34433q q q +∴=+>．2613p p+∴>． 解得32332333p -+<<． 又1p <，且*p ∈N ，2p ∴=，则16q =．所以存在正整数2p =，16q =，使得1S ，p S ，q S 成等比数列．。

课题： 数列中的最值问题执 教：宋荷娟班 级：高三（1）班教学目标：1.理解函数单调性与数列单调性的关系，掌握用单调性求数列最值的方法．2.在解决问题的过程中，体会运用函数性质研究数列性质、求数列最值的方法要领．3.在交流的过程中，分享多角度解决问题的成功经验，提高综合分析、解决问题的能力，提升数学素养．教学重点：利用研究函数最值的方法解决数列中的最值问题．教学难点：利用单调性解决数列中的最值问题．教学过程：一． 实例引入数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用．问题1：在一次人才招聘会上，A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。

设某人年初被A ，B 两家公司同时录用，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？【设计说明】让学生在实际情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在思维碰撞中深刻体会其蕴含的数学思想和方法．思路分析：由题意可知，此人在A 、B 两公司工作的第n 年月工资数分别为 *,05.12000,1270230)1(23015001N n b n n a n n n ∈⨯=+=-+=-问题是该人在A 公司比在B 公司工资每月高出部分的最大值 故需要比较和 可设所以问题转化为研究函数最大值 二．方法探究问题2：设等差数列}{n a 的首项01>a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若2015S S =，求n S 取最大值时的n 值．【设计说明】通过对几种不同的解题方法的比较，引导学生用函数的观点理解数列的有关问题，体会数列与函数的联系．思路分析：思路一：利用数列的单调性。

即从寻求通项公式入手，等差数列中)()1(11d a dn d n a a n -+=-+=，若0,01<>d a ，则等差数列}{n a 是递减数列，则n S 有最大值；思路二：借助初等函数的性质解决数列问题。

数列热点一 等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用. 【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ）， 解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下：∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k ∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13， ∴不存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立.热点二 数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)解 由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1. (2)解 由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1， 于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q . 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n .【对点训练】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *. (1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S 2n .(1)证明 由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n ＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列. 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1. 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝32(3n －1). 热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *).(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2， 解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.【例3－2】 在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)设公差为d ，由题意得： ⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n . (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝32n (n ＋1)， ∴T n ＝n （n ＋1）2n ，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32， ∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标版文科数学】总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______（一） 选择题（12*5=60分）1.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，12a =，145a a a +=，若32n S >，则n 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】D 【解析】由已知12a =且145a a a +=，可得2d =，因此532S =，即632S >，故选D. 2.数列{}n a 是等差数列，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于（ ） A ．17 B ．16 C ．15 D ．14 【答案】C 【解析】3.等差数列{n a }前n 项和为n s ，满足3060S S =，则下列结论中正确的是（ ） A ．45S 是n S 中的最大值 B ．45S 是n S 中的最小值 C ．45S =0 D ．90S =0 【答案】D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，①若0d =，可排除A ，B ；②0d ≠，可设()20n S pn qn p =+≠，∵3060S S =，∴9003036006090p q p q q p +=+=-，，∴908100900S p q =-= ；故选D ．4.设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-；则数列{}n a 的前n 项和n S 中使得n S 取的最大值的序号n 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B 【解析】由题意可得数列的公差1039521037a a d ---===--，则数列{}n a 的通项公式33523211n a a n d n n =+-=--=-+（）（），令1121102n a n n =-+≤∴≥，故等差数列{}na 的前5项为正数，从第6项开始为负数，则使得n S 最大的序号5n =．故选B5.已知等差数列{}n a 的公差0,d <若462824,10,a a a a ⋅=+=则该数列的前n 项和n S 的最大值为 （ ） A ．50 B ．40 C ．45 D ．35【答案】C6.已知*)(10123N n n a n ∈-=，数列}{n a 的前项和为n S ，则使0>n S 的n 最小值：（ ）A ．99B ．100C ．101D ．102【答案】C.【解析】由通项公式得1001a a +=992a a +=983a a += =5150a a +=0，101a =01013> 故选C. 7.【2018届高三训练】在正数组成的等比数列{a n }中，若a 1a 20＝100，则a 7＋a 14的最小值为( ) A. 20 B. 25 C. 50 D. 不存在 【答案】A【解析】{}n a 为正数组成的等比数列， 120100a a =120714100a a a a ∴==71420a a ∴+≥==当且仅当714a a =时， 714a a +取最小值20 故选A8.已知正整数122016,,,a a a 成等比数列，公比()1,2q ∈，则2016a 取最小值时，q =（ ） A ．65 B ．54 C ．43 D ．32【答案】D 【解析】9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13711,6a a a =-+=-，当n S 取得最小值是，n =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以1286a d +=-，因为111a =-，故2d =，所以112(1)213n a n n =-+-=-，令0n a ≤，得16n ≤≤，所以当n S 取得最小值时6n =．10. 已知数列}{n a 中满足151=a ，21=-+na a nn ，则n a n 的最小值为（ ）A ．7B ．1152-C ．9D ．427【答案】D【解析】由题意知，n a a n n 21=-+，22,122312⋅=-⋅=-∴a a a a ， ()121-=--n a a n n ，将以上n 个式子相加，得()()n n n n n a a n -=-+-=-+++=-212)11(1213212 ，所以152+-=n n a n ，115-+=∴n n n a n ，令()115-+=x x x g ，()22215151xx x x g -=-='，当[]3,0∈x 时，()0<'x g ， 当[)+∞∈,4x ，()0>'x g ，()71533=-+=g ，()427141544=-+=g ，故最小最值427，故答案为D ． 11.若在数列{a n }中，对任意正整数n ，都有221n n a a p ++= (p 为常数)，则称数列{a n }为“等方和数列”，称p 为“公方和”，若数列{a n }为“等方和数列”，其前n 项和为S n ，且“公方和”为1，首项a 1＝1，则S 2 014的最大值与最小值之和为( ) A. 2 014 B. 1 007 C. －1 D. 2 【答案】D12.【2018届河北省定州市定州中学高三上期末】若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ）A. 94-B. 94C. 274D. 274- 【答案】C【解析】设等比数列的公比为q （q ＞1），1+（a 2-a 4）+λ（a 3-a 5）=0，可得λ=24531a a a a +--则a 8+λa 9=a 8+666929498385888222535353111a a a a a a a a a q q q a a a a a a a q a a q q --+=++=+-=------令21t q =-，（t ＞0），q 2=t+1，则设f （t ）=()()()()()()3232622213112111t t t t t t q f t q t t t ++-+-+=='=∴-当t ＞12时，f （t ）递增； 当0＜t ＜12时，f （t ）递减． 可得t=12处，此时q=2，f （t ）取得最小值，且为274，则a 8+λa 9的最小值为274； 故选C.（二） 填空题（4*5=20分）13.【2018届山东省曲阜市高三上期中】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时， {}n a 的前n 项和最大．【答案】814.【2018届甘肃省肃南裕固族自治县第一中学高三1月检测】等差数列{}n a 中， 39a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是__________． 【答案】5或6【解析】∵d＜0，|a 3|=|a 9|，∴a 3=-a 9，∴a 1+2d=-a 1-8d ，∴a 1+5d=0，∴a 6=0，∴a n ＞0（1≤n≤5）， ∴S n 取得最大值时的自然数n 是5或6． 故答案为5或6.15.【2018届吉林省普通中学高三第二次调研】已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且12n n n S a +=，则1(1)nn a n a ->的最大值为_________ 【答案】2 【解析】∵12n n n S a +=∴当1n >时， 11122n n n n n n n a S S a a --+=-=-，即11n n a na n -=- ∵数列1nn -单调递减 ∴当2n =时12nn a a -=最大 故答案为216.【2018届四川省广元市高三第一次高考适应性统考】若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为__________．【答案】274【解析】由题设正项递增等比数列{}n a 的公比为q 则0q >，根据已知则由（三） 解答题题（6*12=72分）17.【2018届西南名校联盟高三元月考试】已知数列{}n a 为等差数列，公差为d ，其前n 项和为n S ，且1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足14b a =， ()*13n n n b b n N +=+∈，求满足6n n b S n ≤+的所有n 的值.【答案】（Ⅰ）n a = 27n -， n S = 26n n -（Ⅱ）1n =或2n =．【解析】试题分析：（1）根据1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=，可分别求出5a 和6a ，即可求出数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）由（1）求出数列{}n b 的通项公式，然后即可求出满足6n n b S n ≤+的所有n 的值.试题解析：（1）∵1357915a a a a a ++++=， 24681025a a a a a ++++=， ∴5515a =， 6525a =，得53a =， 65a =，∴2d =，∴()55n a a n d =+- ()325n =+- 27n =-，得15a =-，∴()112n n n S na d -=+ 26n n =-．（2）∵141b a ==， 13n n n b b +-=，∴()()()121122113331n n n n n n n b b b b b b b b -----=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++ ()3122n n -=≥，又13112b -==∴()31*2n n b n N -=∈，故由6n n b S n ≤+得2312n n -≤ ∴1n =或2n =．18.【2018届北京市西城区高三上学期期末】已知数列{}n a 是公比为13的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．(I)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值． 【答案】(Ⅰ) 413n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(Ⅱ) 729.所以 14113n n n a a q --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）令1n a ≥，即4113n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，得4n ≤， 故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1． 所以当3n =，或4n =时， n T 取得最大值，n T 的最大值为 34123729T T a a a ==⋅⋅=．19.【2018届江西省莲塘一中、临川二中高三上第一次联考】各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足122nnn nS S -=+（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n n a b S S ++=，若数列{}n a 的前n 项和为n T ，求()1n nT n N T +-∈的最小值.【答案】(1) 12n n a -=;(2) 最小值为56-.因为11121n n T +=--是递增的，所以1n T T >令()1,0f x x x x =->，则()2110f x x=+>，故()f x 在0x >上是增函数， 所以1n n T T ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是递增的，则有111156n n T T T T ->-=-，所以1n nT T -的最小值为56-.20.在数列{}n a 中，11,2a n =≥当时，其前n 项和n S 满足：)12(22-=n n n S a S . （Ⅰ）求证：数列}1{nS 是等差数列，并用n 表示n S ； （Ⅱ）令21nn S b n =+，数列{}n b 的前n 项和为.n T 求使得)3()12(22+≤+n m n T n 对所有n N *∈都成立的实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）121-=n S n ；（Ⅱ）实数m 的取值范围为74≥m.设nn c n 32+=∴由题max )(ncm ≥函数xx y 3+=在]3,0(上是减函数，在),3[+∞上是增函数 故数列}{n c 从第二项起递减，而211=c ，742=c∴满足题意的实数m 的取值范围为74≥m .21.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为()62'f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .【答案】（1）65＝－n a n ;（2）10.因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m ,当且仅当21≤20m ， 即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++= ，*n N ∈．（Ⅰ) 求证:数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式 1212911122n n nb b b m a a a a +++≥-++++ 对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】（Ⅰ)见解析；（Ⅱ）实数m 的最大值是6116．。

2018届高三数学成功在我一、考情分析立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值.纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享1.解决立体几何中的最值问题常见方法有：(1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公试法； 有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.(2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径.(3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解：如ab b a ≥+222 2b a ab +≤ 最小角定理所建立的不等关系等等.(4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由难化易.(5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法.除了上述5种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内涵与思想方法所在.2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最值；通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊位置确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径三、题型分析(一) 距离最值问题1.空间中两点间距离的最值问题【例1】正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1,M 、N 分别在线段11AC 与BD 上,求MN 的最小值.由正方体的棱长为1可得1PQ =.连结AC ,则11//AC AC ,所以BQC ∠为两异面直线11AC 与BD 所成角. 在正方形ABCD 中,AC BD ⊥,所以90BQC ∠=.过点M 作MH AC ⊥,垂足为H ,连结NH ,则//MH PQ ,且1MH PQ ==.设PM m =,QN t =,则QH m =.在Rt QNH ∆中,22222HN QN QH n m =+=+,在Rt MHN ∆中,2222221MN MH HN n m =+=++.显然,当0m n ==时,2MN 取得最小值1,即MN 的最小值为1.【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵活运用.【小试牛刀】【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,是坐标原点,有一棱长为的正方体,和分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B2.几何体表面上的最短距离问题【例2】正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长均为2,M为AA1中点,N为BC的中点,则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少?并求之.【分析】将正三棱柱的表面展开,即可转化为平面内两点间距离的最小值问题求解.注意两种不同的展开方式的比较.【解析】 (1)从侧面到N,如图1,沿棱柱的侧棱AA1剪开,并展开,则MN===(2)从底面到N点,沿棱柱的AC、BC剪开、展开,如图2.则MN=图（1）图（2）【点评】求解几何体表面上的最短距离问题,往往需要将几何体的侧面或表面展开,将问题转化为平面图形中的最值,进而利用平面几何中的相关结论判断并求解最值.如【典例2】中就是利用了平面内两点间线段最短来确定最值,但要注意几何体表面的展开方式可能有多种,求解相关最值时,需要比较才能得到正确结论.【小试牛刀】【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】在侧棱长为的正三棱锥中,,过作截面,交于,交于,则截面周长的最小值为__________．【答案】6【解析】将棱锥的侧面沿侧棱展开,如图,的长就是截面周长的最小值,由题意,由等腰三角形的性质得.(二) 面积的最值1.旋转体中面积的最值【例3】一个圆锥轴截面的顶角为56π,母线为2,过顶点作圆锥的截面中,最大截面面积为 .【分析】本题是截面问题中的常见题,应根据几何体的结构特征确定截面形状,然后求解截面的数字特征,进而确定其最值.【点评】由圆锥的性质可知,过圆锥顶点的截面一定是等腰三角形,且腰长等于圆锥的母线长,该等腰三角形的顶角的最大值为轴截面的顶角,所以截面面积的最大值取决于轴截面顶角的取值范围,不能误认为轴截面的面积就是最大值.【小试牛刀】圆柱轴截面的周长l 为定值,求圆柱侧面积的最大值.【解析】设圆柱的底面直径为d ,高为h .则由题意得：2()d h L +=. 所以12d h L +=. 而圆柱的侧面积为2S rh dh ππ==.由均值不等式可得2()2d h dh +≥,即216L dh ≤（当且仅当d h =时等号成立）. 所以圆柱侧面积为216S dh L ππ=≤,即圆柱侧面积的最大值为216L π. 2.多面体中的面积最值【例4】如图中1所示,边长AC ＝3,BC ＝4,AB ＝5的三角形简易遮阳棚,其A 、B 是地面上南北方向两个定点,正西方向射出的太阳光线与地面成30°角,试问：遮阳棚ABC 与地面成多大角度时,才能保证所遮影面ABD 面积最大?【分析】首先分析几何体的结构特征,明确遮影面ABD 中的定值——AB,则所求最值问题转化为该边上的高的最值,进而根据已知——太阳光的照射角度将其与ABC ∆中AB 上的高建立联系,从而确定最值.【点评】求解几何体中的面积最值,首先要明确所求图形面积的表示式,区分该图形中的定值与变量,然后根据几何体的结构特征和已知条件确定变量的最值即可.如该题中抓住QD 的变化,建立与已知——太阳光的照射角的关系是准确确定最值的关键所在.【小试牛刀】在三棱锥A —BCD 中,ΔABC 和ΔBCD 都是边长为a 的正三角形,求三棱锥的全面积的最大值.(三) 体积的最值问题【例5】如图3,已知在∆A B C 中,∠=︒C 90,P A ⊥平面ABC,A E P B ⊥于E,A F P C⊥于F,A P A B ==2,∠=A E F θ,当θ变化时,求三棱锥PA E F-体积的最大值.图3【分析】θ的变化是由ＡＣ与ＢＣ的变化引起的,要求三棱锥P-AEF 的体积,则需找到三棱锥P-AEF 的底面积和高,高为定值时,底面积最大,则体积最大.【解析】因为P A ⊥平面ABC,B C ⊂平面ABC,所以P A B C⊥ 又因为B C A C P A A C A ⊥⋂=,,所以B C ⊥平面PAC,又A F ⊂平面PAC,所以B C A F⊥,又A F P C P C B C C ⊥⋂=,,所以A F ⊥平面PBC,即A F E F⊥.EF 是AE 在平面PBC 上的射影,因为A E P B ⊥,所以E F P B ⊥,即P E ⊥平面AEF.在三棱锥PA E F-中,A P A BA E P B ==⊥2,, 所以P E A E ==22,,A F E F V S P E P A E F A E F ===⋅=⨯⨯⋅⨯-22131312222s in ,c o s s in c o s θθθθ，∆ =262sin θ,因为02<<θπ,所以02021<<<≤θπθ，s i n 因此,当θπ=4时,V P A E F -取得最大值为26. 【点评】几何体体积的最值问题的解决,要根据几何体的结构特征确定其体积的求解方式,分清定量与变量,然后根据变量的取值情况,利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.【小试牛刀】【2017安徽省黄山市上学期期末质量检测】在棱长为6的正方体中,是中点,点是面所在的平面内的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是（ ） A. 36 B. C. 24 D.【答案】B(四) 角的最值【例6】如图,在四棱锥S － ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA =AB=BC =2,AD =1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为θ,求sinθ的最大值,【分析】直接根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标和向量坐标,利用向量运算进行证明计算即可.【解析】当531=x ,即35=x 时,735sin max =θ. 【小试牛刀】在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 是A 1B 1上的一动点,平面PAD 1和平面PBC 1与对角面ABC 1D 1所成的二面角的平面角分别为α、β,试求α+β的最大值和最小值. 解析：如图.对角面A 1B 1CD⊥对角面ABC 1D 1,其交线为EF.过P 作PQ⊥EF 于Q,则PQ⊥对角面ABC 1D 1.分别连PE 、PF.∵EF⊥AD 1,PE⊥AD 1(三垂线定理).故由二面角的平面角定义知 ∠PFQ ＝α,五、迁移运用1.【2018北京市首师附高三理零模】在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D 中,点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点,且线段12PP 平行于平面11A ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值是A.124 B. 112 C. 16 D. 12【答案】A2.【2018年江西省抚州市高三八校联考】如图，在长方体中，,,，点是棱的中点，点在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点(含边界).若平面，则线段长度的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取中点，在上取点，使得，连结，则平面平面，因为是侧面内的一动点（含边界），平面，所以，3.如图，在棱长为5的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体P－QEF的体积 ( )A. 是变量且有最大值B. 是变量且有最小值C.是变量且有最大值和最小值D. 是常量【答案】D【解析】因为EF＝2，点Q到AB的距离为定值，∴△QEF的面积为定值，设为S．又D1C1∥AB，D1C1 平面QEF ，AB⊂平面QEF，∴D1C1∥平面QEF，∴点P到平面QEF的距离也为定值，设为d．∴四面体P－QEF的体积为定值13Sd．选D．4. 【2017届甘肃省肃南裕固族自治县第一中学高三上学期期末】若一条直线与一个平面成角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当这个平面内经过斜足的直线与这条直线在这个平面内射影垂直时, 直线与这条直线垂直,所成角为直角,而两直线所成角范围为,所以直线与这条直线所成角最大值为,所以选B.5.【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】三棱锥内接于半径为的球中,,则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C6.【2017学年安徽省黄山市高二上学期期末质量检测】在棱长为6的正方体中,是中点,点是面所在的平面内的动点,且满足,则三棱锥的体积最大值是（）A. 36B.C. 24D.【答案】B【解析】试题分析：因平面,则,同理平面,则,,则,,则,下面研究点在面的轨迹（立体几何平面化）,在平面直角坐标系内设,设,因为,所以,化简得：,该圆与的交点纵坐标最大,交点为,三棱锥的底面的面积为18,要使三棱锥体积最大,只需高最大,当在上切时,棱锥的高最大,,.,本题应选.7.【2017湖北省武汉市第二中学上学期期末】如图,在四棱锥中,侧面是边长为4的正三角形,底面为正方形,侧面⊥底面,为底面内的一个动点,且满足,则点到直线的最短距离为( )A. B. C. D.【答案】C8．【2017届浙江省温州市高三第二次模拟考试】如图,在三棱锥中,平面平面,与均为等腰直角三角形,且,．点是线段上的动点,若线段上存在点,使得异面直线与成的角,则线段长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】9．【2016浙江省杭州二中】已知各棱长均为1的四面体ABCD 中, E 是AD 的中点,P∈直线CE,则|BP|＋|DP|的最小值为（ ）A ．1 D 【答案】B【解析】如图,将CDE ∆旋转至与BCE ∆共面,连结BD ,则它与CE 的交点P ,即为使|BP|＋|DP|取最小值的点．易知11,,9022BE CE BC DE DEC ====∠= , 在BCE ∆中由余弦定理得2221cos 23BE CE BC BEC BE CE +-∠==⋅ ,从而由平方关系得sin 3BEC ∠=, 在BDE ∆中由余弦定理得22222112cos(90)()2(122BD DE BE DE BE BEC =+-⋅+∠=+-=+,所以BD =．BE D10．【2016辽宁师大附中】在长方体1111D C B A ABCD -中,2=AB ,11==AA BC ,点M 为1AB 的中点,点P 为对角线1AC 上的动点,点Q 为底面ABCD 上的动点（点P 、Q 可以重合）,则PQ MP +的最小值为（ ）A ．22B ．23C ．43D ．1【答案】C11.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示,则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是（ ）A ．3 B．．6 D ．8俯视图侧视图正视图图1【答案】 C【解析】三棱锥如图所示,3PM =,142PDC S ∆=⨯= 12332PBC PAD S S ∆∆==⨯⨯=,14362PAB S ∆=⨯⨯=222N12.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为( )A．(6－33)πB．(8－43)πC．(6＋33)πD．(8＋43)π【答案】A13.【河北省石家庄市2018届高三下学期一模】一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为__________．【答案】【解析】[Failed to download image :如图，不妨设N在B处，AM h CQ m==，，则有2222444M B h B Q m M Q =+=+=-，，（）由222220MB BQ MQ m hm=+⇒-+=．22808h h=-≥⇒≥该直角三角形斜边MB≥故答案为14.【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试】表面积为的球面上有四点,且是边长为的等边三角形,若平面平面,则三棱锥体积的最大值是__________． 【答案】15．【2016届辽宁省沈阳市二中高三上学期期中】如图,在棱柱111ABC A B C -的侧棱11A A B B 和上各有一个动点,P Q ,且满足1A P BQ =,M 是棱CA 上的动点,则111M ABQPABC A B C M ABQPV V V ----的最大值是 ．【答案】1216．【2016届广东省广州市荔湾区高三上学期调研】已知直三棱柱111ABC A B C -中,090BAC ∠=,侧面11BCC B 的面积为2,则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为 ． 【答案】4π【解析】根据题意,设2BC m =,则有11BB m=,从而有其外接球的半径为1R =≥,所以其比表面积的最小值为4S π=． 17．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形,球心O 到平面ABC 的距离为3,若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为 ．【答案】2718.如图,过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC,(1)求证：PA 2+PB 2+PC2为定值；(2)求三棱锥P —ABC 的体积的最大值.【解析】(1)设过PA 、PB 的平面截球得⊙O 1,∵PA⊥PB,∴AB 是⊙O 1的直径,连PO 1并延长交⊙O 1于D,则PADB 是矩形,PD 2＝PA 2+PB 2. 设O 为球心,则OO 1⊥平面⊙O 1, ∵PC⊥⊙O 1平面,∴OO 1∥PC,因此过PC 、PD 的平面经过球心O,截球得大圆,又PC⊥PD. ∴CD 是球的直径.故 PA 2+PB 2+PC 2＝PD 2+PC 2＝CD 2＝4R 2定值.(2)设PA 、PB 、PC 的长分别为x 、y 、z,则三棱锥P —ABC 的体积V ＝61xyz, V 2＝361x 2y 2z 2≤361(3222z y x ++)3＝361·27646R ＝5432R 6.∴V≤2734R 3.即 V 最大＝2734R 3. 19.如图,平行四边形ABCD 中,AB ⊥BD ,AB ＝2,BD ＝2,沿BD 将△BCD 折起,使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角,设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时,三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？ (2)当AD ⊥BC 时,求α的大小．20. 如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB ＝2,EB＝ 3.(2)设AC＝x,V(x)表示三棱锥B－ACE的体积,求函数V(x)的解析式及最大值．。

第 49题 数列中的最值问题I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知等差数列245,4,3,77的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值． 【答案】7或8．【解析】由题意知，等差数列245,4,3,77的公差为57-，()2257555151125251271414256n n n nS n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-⋅-==--+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．∴当7n =或8时，n S 取最大值．精彩解读【试题来源】人教A 版必修5P 45例4．【母题评析】本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力． 【思路方法】由等差数列前n 项和得和，再利用二次函数的相关知识求解．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考北京理20】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n >；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别代入求123,,c c c ，观察规律，再证明当3n ≥时，11()()20k k k k b na b na n ++---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减．所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-，即证明；（Ⅱ）首先求{}n c 的通项公式，分1110,0,0d d d >=<三种情况讨论证明．试题解析：解：（Ⅰ）111110,c b a =-=-=【命题意图】这类题主要考查数列中项的最值问题、前n 项和的最值、求满足数列的特定条件的n 的最值、求满足条件的参数的最值等．【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．【难点中心】解答此类问题一般利用函数思想，结合函数与数列相关性质解题．21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-．当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减． 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-．所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列．（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--．所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-．此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列．②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列．③当10d <时，当21d n d >时，有12nd d <． 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当n m ≥时，nc M n>． 【例3】【2016高考新课标1T15】设等比数列{}n a 满足132410,5,a a a a +=+=则12n a a a 的最大值为 ．【答案】64【解析】设等比数列的公比为q ，由1324105a a a a +=⎧⎨+=⎩得，2121(1)10(1)5a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩．∴2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=．III ．理论基础·解题原理数列中的最值是高考热点，常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的n 最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等． 数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题： 1．等差数列的前n 项和与函数的关系 等差数列的前n 项和公式为1(1)2n n n S na d -=+可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，令A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，则S n ＝An 2＋Bn ．当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ， S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题． 2．等差数列前n 项和的最值(1)若等差数列的首项10a >，公差0d <，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n 项和有最大值，且满足10n n a a +≥⎧⎨≤⎩．(2)若等差数列的首项10a <，公差0d >，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n 项和有最小值，且满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，为选择或填空题，也可以是解答题的一个小题，难度较大．【技能方法】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1．利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值．2．利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数，n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >，递增；0d <，递减）；3．利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩．只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可． 【易错指导】1．在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用．2．在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定． V ．举一反三·触类旁通 考向1 数列中项的最值问题求数列中项的最值的基本方法是：(1)利用不等式组()112n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≥⎩确定数列的最大项；(2)利用不等式组()112n n nn a a n a a -+≤⎧≥⎨≤⎩确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项．【例1】【2018山西大学附中高三理上学期期中考试】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010S a【答案】C 【解析】【例2】【2018湖北武汉部分学校新高三起点调研考试】设等差数列{}n a 满足3736a a +=，46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为__________． 【答案】-12【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3736a a +=，所以4636a a +=，4646275,,a a a a =∴是一元二次方程2362750t t -+=的二根，由2362750t t -+=得()()25110t t --=，125t ∴=或211t =，当4625,11a a ==时，6411257642a a d --===--，()44753n a a n d n ∴=+-=-+，当10,0n n a a +><时，1n n a a +取得最小值，由()7530{ 71530n n -+>-++<解得465377n <<，7n ∴=时，1n n a a +取得最小值，此时()781min 4,3,12n n a a a a +==-=-，当4611,25a a ==时，6425117642a a d --===-，()44717n a a n d n ∴=+-=-，当10,0n n a a +时，1n n a a +取得最小值，由()7170{71170n n -<+->解得101777n <<，2n ∴=时，1n n a a +取得最小值，此时()231min 3,4,12n n a a a a +=-==-，故答案为12-． 【例3】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +，求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解．思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值．【解法一】基本不等式法．n a =2156nn +=1156n n+，因为156n n +≥1562n n ⨯；当且仅当156n n =，即n=156时，而，144156169<< 且n ∈N *，于是将n=12或13代人，得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解，解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的n 的值，从而找到最大项【跟踪练习】1．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．163 B ．133 C ．4D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0．2．在数列{a n }中，a n ＝n － 2 013n － 2 014，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是 ( )A ．a 1，a 50B ．a 1，a 44C ．a 45，a 44D ．a 45，a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014，∴当n ∈[1，44]时，{a n }单调递减，当n ∈[45，100]时，{a n }单调递减， 结合函数f (x )＝x － 2 013x － 2 014的图象可知，(a n )max ＝a 45，(a n )min ＝a 44，选C ．3．【2018江苏常州高三上学期期末】各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为________． 【答案】3【解析】因为{}n a 是各项均为正数的等比数列，且234234a a a a a a =++，所以33324a a a a -=+，则3332424322a a a a a a a -=+≥=，即()23330a a -≥，即2333,3a a ≥≥，即3a 的最小值为3． 4．在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．(2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．【点评】要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．5．【2018山西太原高三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()121n n S a =-，416a =，*n N ∈．（1）求1a 及数列{}n a 的通项公式；（2）设2n nn b a =，求数列{}n b 的最大项．【解析】（1）由题得4431816a S S a =-==，解得12a =，故122n n S +=-，则2n ≥时，12n n n n a S S -=-=，令1n =，12a =成立，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =．（2）22n n n b =，()222111121222n n n n n n n n n b b ++++-++-=-=．当12n ≤≤时，2210n n -++>，则1n n b b +>，当3n ≥时，2210n n -++<，则1n n b b +<， 故数列{}n b 前3项依次递增，从第3项开始依次递减，所以数列{}n b 的最大项为398b =． 6．已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a …，且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩…，记集合{}*n M a n =∈N ．（1）若16a =，写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值． 解析：（1）6，12，24．（3）由136a …，*1a ∈N ，11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩…，可归纳证明()362,3,n a n =…．因为1a 是正整数，112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩…，所以2a 是2的倍数，从而当3n …时，n a 是4的倍数．如果1a 是3的倍数，由（2）知对所有正整数n ，n a 是3的倍数，因此当3n …时，{}12,24,36n a ∈，这时，M 中的元素的个数不超过5．如果1a 不是3的倍数，由（2）知，对所有的正整数n ，n a 不是3的倍数，因此当3n …时，{}4,8,16,20,28,32n a ∈，这时M 的元素的个数不超过8． 当11a =时，{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素． 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8．考向2 数列中前n 项和的最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现，题型有小题也有大题，难度不大，求等差数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性，求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．(3)利用11,n n n n S S S S -+≥⎧⎨≥⎩求出S n 的最值．【例4】在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大，可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数，再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律，并利用所有正数项和最大．【例5】【2018届吉林省吉林市五十五中开学考试】已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-． （Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．【答案】（1）25n a n =-+；（2）n S 的最大值为4．【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式()11n a a n d =+-变形有()n m a a n m d =+-，则公差n ma a d n m-=-，所以525125252a a d ---===---，所以通项公式()()()2212225n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+；（2）根据等差数列前n 项和公式()()11122n n n a a n n S na d +-==+有()()213242n n n S n n n -=+⨯-=-+，配方得()224n S n =--+，根据二次函数图象及性质可知，当2n =时，前n 项和取得最大值，最大值为4．等差数列前n 项和22n S An Bn =+，因此可以看出二次函数或一次函数（0d =时）来求最值，考查数列与函数．【例6】已知函数x x x f 63)(2+-=，n S 是数列}{n a 的前n 项和，点(,)n n S （n N *∈）在曲线)(x f y =上．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c ∙=，且n T 是数列}{n c 的前n 项和．试问n T 是否存在最大值？若存在，请求出n T 的最大值；若不存在，请说明理由．（Ⅱ）因为111(96)()1112(),(32)()2662n n n n n n n n b c a b n ---====- ①所以 231111(1)()(3)()(32)(),2222n n T n =+-+-++- ②234111111()(1)()(3)()(32)(),22222n n T n +=+-++-++- ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n ．整理得1)21)(12(-+=n n n T ．④方法一 利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以111111(23)()(21)()[(23)()(21)]()22223111[(21)]()()().2222nn n n n n nT T n n n n n n n ++-=+-+=+-+=+-+=-因为1≥n ，所以021<-n ．又0)21(>n ，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1， 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T ．所以T n 存在最大值11.2T =方法三 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为n T 是数列}{n c 的前n 项和， 所以n n n n T c T T <+<++11．所以 >>>>>>+1321n n T T T T T ，所以n T 存在最大值211=T ． 【跟踪练习】1．【安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列{}n a 中，761a a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，则当0n S >时，n 的最大值为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【答案】A【解析】数列{}n a 为等差数列，若761a a <-，则7660a aa +<，可得0d <60a ∴>，760a a +<，70a <，111620a a a ∴+=>，110S >112760a a a a +=+<，120S <，则当0n S >时，n 的最大值为11，故选A2．已知()[]23,0,31xf x x x+=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且122010670a a a +++=，则122010()()()f a f a f a +++( )A ．有最大值6030B ．有最小值6030C ．有最大值6027D ．有最小值6027 【答案】A3．【2018安徽池州市东至县高三12月联考数学】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题：①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ；⑤67a a >，其中正确命题的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B4．【2018福建闽侯县八中高三上学期期末】已知数列{}n na 的前n 项和为n S ，且2n n a =，则使得1500n n S na +-+<的最小正整数n 的值为__________．【答案】55．【2018河南林州一中高三8月调研考试】已知数列{}n a 满足：()2125752*13?3?·33n n na a a n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，令()*15n n n n T a a a n N ++=+++∈，则n T 的最小值为__________．【答案】15考向3 求满足数列的特定条件的n 的最值【例7】【福建省福州市2018届高三上学期期末质检】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =．若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 【答案】A 【解析】若n为偶数，则()()()()()1234112112312112n n n n n S a a a a a a n -+=++++++=⨯++⨯++-+=，5012751350S =<，5217381350S =>，所以这样的偶数不存在若n 为奇数，则若5121301.51350S a =-=，则当248.52a =-<时成立；若5321405.51350S a =-=，则当255.52a =>不成立．故选A ．【名师点睛】本题是道数列的综合题目，考查了数列的求和时的最值问题，需要注意这里的分类讨论，当n 为偶数、n 为奇数时运用等差数列求和，将和的表达式写出来，然后结合题意进行讨论．【例8】【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期一模】已知{}n a 的前n 项和为12n n S m +=+，且145,,2a a a -成等差数列，()()111n n n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20172018n T >的最小正整数n 的值为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11 【分析】先求和，再解不等式． 【答案】C【例9】【2018重庆一中高三下学期第二次月考】已知曲线1C 的方程为221x y +=，过平面上一点1P 作1C 的两条切线，切点分别为11,A B ，且满足1113A PB π∠=，记1P 的轨迹为2C ，过一点2P 作2C 的两条切线，切点分别为2A 、 2B 满足2223A PB π∠=，记2P 的轨迹为3C ，按上述规律一直进行下去……，记1m a x ||n n n a A A +=且n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则满足213100n S -<的最小的n 是___________． 【答案】7【跟踪练习】1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．【解析二】由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2， 故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．【解析三】根据a 1＝13，S 3＝S 11，则这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值． 2．设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值． 【答案】（1）2nn a =；（2）10．（2）由（1）得112n n a =．所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--． 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n>．因为9102512100010242=<<=，所以10n ≥．于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10． 3．【2018四川普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数，且214a a =，()2*12n n n a a a n N +=+∈．（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使345n T >成立时n 的最小值． 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()13log 12n n a -+=，()221321log 124n n n n b a ---=+==， 则()211211444413n nn n T b b b -=+++=++++=-……． 不等式345n T >即为()*41036n n N >∈，所以6n ≥，于是345n T >成立时n 的最小值为6．4．【2018四川省广安、眉山毕业班第一次诊断】已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且()*11n n n S S a n n N +=+++∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，求满足不等式1910n T ≥的最小正整数n ． 【答案】（1）()12n n na +=（2）19试题解析：（1）由()*11n n n S S a n n N +=+++∈，有11n n a a n +-=+，又11a =，所以2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()11212n n n n +=+-+++=．当1n =时，也满足()12n n n a +=，所以数列{}n a 的通项公式为()12n n n a +=．（2）由（1）知()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以11111122121223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 令219110n n ≥+，解得19n ≥，所以满足不等式1910n T ≥的最小正整数n 为19． 考向4 求满足条件的参数的最值【例10】【2018天一大联考高中毕业班阶段性测试】已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n =，前n 项和为n S ，若不等式()()2*13222N n n S M n a a n ++≤+∈恒成立，则M 的最小值为__________．【答案】6259【解析】由题可知：()()()()()2112232222n n n n n S Mn n +++=⇒≤++恒成立，即()()1322n M n n +≤++恒成立，设t=n+1，则()()()()21131322311323132n t tn n t t t t t t+===++++++++，因为函数31t t +在()0,3131+∞递减，（，）递增，()()5667565,6565f f ==<，所以311259324366t t ++≥=，所以M 的最小值是6259．【例11】【2018山东枣庄高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和，()210,2,326n n n a a a S ∈++=．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值． 【分析】(1)首先求得1a 的值，然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列，由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式，然后用裂项法求得n T ，再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．(2)由32n a n =- ，可得()()12111111,...323133231n n n n n b T b b b a a n n n n +⎛⎫===-=+++ ⎪-+-+⎝⎭1111111 (3447323131)n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 因为()()()1110311313134n n n n T T n n n n ++-=-=>+++++，所以1n n T T +>，所以数列{}n T 是递增数列，所以1141444n n t t t T T T t ≤⇔≤⇔≤=⇔≤，所以实数t 的最大值是1． 【点评】(1) 求解与参数有关的问题，一般是分离变量，再构造新函数求解．(2)使用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．【例12】【2018天津六校2高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =，12(2)n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：2n T <； （3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立，求λ的取值范围． 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥是以为首项，为公差的等差数列，．（2），，即2nT <（3）由得，当且仅当时，有最大值，．【跟踪练习】1．【2018天津六校高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n nb n a λ+=-⋅+()n N *∈，1b λ=-，且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ）A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D2．已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+，前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，不等式216n n m S S ->恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为 ． 【答案】53．已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N ．（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-． 【答案】（1）65n a n =-；（2）详见解析；（3）1,02⎛⎫-⎪⎝⎭．因为0n n a a ≥，n *∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥． 故{}n b 的第0n 项是最大项．解：（3）因为n n b λ=，所以()112n nn n a a λλ++-=-，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()()()1122222n n n n λλλλλλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+2n λλ=-．当1n =时，1a λ=，符合上式．所以2n n a λλ=-． 因为0λ>，所以222nn a λλλ=->-，21212n n a λλλ--=-<-．①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而()32,21∉--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值222a λλM ==-，最小值1m a λ==，由2222λλλ--<<及10λ-<<，得102λ-<<．综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭． 考向5 有关数列的其它最值问题【例13】【2018河北承德联校高三上学期期末】设等差数列{}n b 满足136b b +=，242b b +=，则12222nb bb的最大值为________．【答案】512【解析】依题意有111126{ 32b b d b d b d ++=+++=，解得15,2b d ==-，故27n b n =-+．()12212222nn nb b b -++++=，故当3n =时，取得最大值为92512=．【例14】【2018安徽淮南高三一模】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，()211n n n n a S S S ---=，且11a =，设12log 3n n a b +=，则12341n b b b n ++⋯+++的最小值是________． 【答案】911221424434n n n n n n n n S n a S S -----∴=∴≥=-=-=⨯．，．211{ 342n n n a n -∴=⨯≥，＝．， 221222223n n n a b log log n -+∴===-， 则()2120222n n n b b b n n +-++⋯+==-． 则()()2212131363434111n n n b b b n n n n n +-++++⋯++-+==+++361312391n n =++-≥-=+， 当且仅当3611n n +=+即5n =时等号成立． 【跟踪练习】1．【2018福建三明市A 片区高中联盟校高三上学期阶段性考试】已知在各项为正数的等比数列{}n a 中，4a 与10a 的等比中项为4，则当5928a a +取最小值时首项1a 等于（ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 【答案】A【解析】设各项为正数的等比数列{}n a 的公比为(0)q q >∵4a 与10a 的等比中项为4，∴2241074a a a ==，∴74a =，∴22275972222882883223232a a a a q q q q q q+=+=+≥⨯=， 当且仅当22832q q =，即212q =时取等号，此时71632a a q==，故选A ． 2．【2018河南豫北名校联盟高三年级精英对抗赛，】已知在正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 满足14m n a a a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C ． 73 D ．256【答案】A3．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3…，若11111111,2,,,22n n n n n n n n a c a b b c b c a a a b c +++++>+====，则n A ∠的最大值是________________． 【答案】3π【解析】由11,22n n n n n n a c a bb c ++++==得 ()111222n n n n n n n n n a c a b b c b c a +++++=+=++，又11n n a a a +==，所以()11111222n n n n b c a b c a +++-=+-，而1112b c a +=，所以12n n b c a +=，所以()222222123cos 1222n n n n n n n n n n n n n n nb c a b c b c a a A b c b c b c +--+-∠===-2211221331112222n n a a a b c ≥-=-=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以n A ∠的最大值是3π．。

1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质热点题型一 函数单调性的判定与证明例1、【2017北京，文5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数 （D ）是奇函数，且在R 上是增函数 【答案】B【提分秘籍】判断(或证明)函数单调性的主要方法 (1)函数单调性的定义； (2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则； (4)利用导数等。

其中(2)(3)一般用于选择、填空题。

【举一反三】 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性。

【解析】设－1＜x 1＜x 2＜1，f (x )＝ax －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1热点题型二 求函数的单调区间例2、【2017课标II ，文8】函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是 A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ .故选D.【提分秘籍】 求函数单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间。

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义。

(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。

(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。

等比数列求解中忽视q 的取值范围 2018届高三数学优等生提分专题讲义一、易错提醒等比数列求和问题是高考的重点,求解等比数列求和问题“1q =”该不该考虑？,许多同学在解题不关心或不清楚,致使答案错误,到底那个题该考虑？那个题不考虑？认真审题,弄清题意是关键. 二、典例精析 (一) 1q =的问题【例1】已知数列1,3x ,25x ,37x ,⋅⋅⋅,1(21)n n x --,⋅⋅⋅. 求n S .【分析】在等比数列{}n a 中,若公比1q =,则1n S na =；若1q ≠,则1(1)1n n a q S q-=-,因此在解含参数的等比数列求和问题时,一定要注意其公比是什么？能否取到1.③当0x =时0n S =也满足上式,所以212(1)(21)(21)(1)(1)(1)n n n n x S n x n x x x x +⎧=⎪=⎨--+++≠⎪-⎩【点评】①求解本题容易出现下面三种错误：①忽视1x =的情况；②忽略0x =的情况；③用错位相减时不注意用对应项相减；④用错位相减时漏掉(21)nn x --.②等比数列前n 项和公式成立的条件为q ≠1,而当q ＝1时,应按常数列求和；在含字母参数的等比数列求和时,应分q ＝1与q ≠1两种情况进行讨论.【小试牛刀】设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3,S 4＝15,则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64【解析】方法一：在等比数列{a n }中,S 2,S 4－S 2,S 6－S 4也成等比数列,故(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4),则(15－3)2＝3(S 6－15),解得S 6＝63.方法三：因为数列{a n }为等比数列,若q ＝1, 则有S n ＝na 1,显然不符合题意,故q ≠1. 设其前n 项和为S n ＝kq n－k .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝k ×q 2－k ＝3，S 4＝k ×q 4－k ＝15， 两式相除得1＋q 2＝5,解得q 2＝4. 代入解得k ＝1.故S n ＝q n－1.所以S 6＝q 6－1＝(q 2)3－1＝43－1＝63. 方法四：设等比数列的公比为q ,则S 2＝a 1＋a 2＝3,S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋q 2)(a 1＋a 2)＝(1＋q 2)×3＝15, 解得q 2＝4.故S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(1＋q 2＋q 4)(a 1＋a 2) ＝(1＋4＋42)×3＝63.【点评】解题(1)中,方法一利用等比数列的性质S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m ,…(S m ≠S 2m )也成等比数列求解； 方法二利用等比数列的基本运算求解；方法三利用等比数列前n 项和公式的结构特征设出前n 项和的表达式； 方法四是利用整体代换的方法； (二) 1q ≠的问题【例2】已知数列{}n a 是首项为1的等比数列,n S 是{}n a 的前n 项和,且369S S =,则数列1{}na 的前5项和为 .【分析】题目已知数列{}n a 是首项为1的等比数列,369S S =,很明显数列{}n a 中1n a =不满足369S S =,所以本题中1q ≠.【解析】显然1q ≠,所以369(1)111q q q q--=--整理得319q +=,∴2q =,所以1{}n a 是首项为1,公比为12的等比数列, 前5项和5511()31211612T -==-. 【点评】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质,在进行等比数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法的应用.【小试牛刀】已知等比数列}{n a 的各项均为正数,公比为q ,前n 项和为n S ,若*∈∀N n ,有n n S S 32<,则q 的取值范围是 . 【分析】对q 分类讨论.(三) 0q ≠的问题由等比数列定义可得,等比数列的公比不为0,且等比数列任意一项都不为0.【例3】已知等比数列{}n a ,若存在实数k,使得21()n n n k a a a +++=恒成立,则k 的取值范围是 . 【分析】把k 表示为q 的函数,转化为函数求值域.【解析】由21()n n n k a a a +++=可得()21k q q +=,即21q k q =+,因为0q ≠,所以11,00,22k ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【点评】本题易忽略0q ≠,得到错误答案11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【小试牛刀】已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ,a n ＋1＝23a n ＋n －4,b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21),其中λ为实数,n ∈N *.(1)对任意实数λ,证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论.【解析】(1)证明：假设存在一个实数λ,使{a n }是等比数列 ,则有a 22＝a 1·a 3,即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0,矛盾.所以数列{a n }不是等比数列.(2)因为b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21),b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a n ＋n －4－3（n ＋1）＋21＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝23(－1)n ＋1(a n －3n ＋21)＝－23b n. 又b 1＝－(λ＋18),所以当λ＝－18,b 1＝0,易得b n ＝0(n ∈N *),此时数列{b n }不是等比数列； 当λ≠－18,b 1≠0,由上可知b n ≠0, ∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *),此时数列{b n }是等比数列. 三、迁移运用1．【云南省师范大学附属中学2018届高三第七次月考】正项数列是等比数列，公比为q ，且，则实数q 为A. 或1B. 1C. 2D. 或【答案】B 【解析】由题意，，解得.故选B.2.等比数列x ,3x ＋3,6x ＋6,…的第四项等于( )A.－24B.0C.12D.24【答案】A【解析】∵x ,3x ＋3,6x ＋6是等比数列的前三项,∴(3x ＋3)2＝x (6x ＋6),解得x ＝－1或－3.当x ＝－1时,数列前三项为－1,0,0,不构成等比数列；当x ＝－3时,数列前三项为－3,－6,－12,其公比q ＝2,该数列第四项为－12×2＝－24.故选A.3.若{}n a 是等比数列,则数列{}1n n a a ++（ ） A ． 一定是等比数列 B ． 一定不是等差数列 C ． 一定不是比差数列 D. 可能是等差数列 【答案】D【解析】若()1nn a =-,则10n n a a ++=,此时{}1n n a a ++不是比差数列,是等差数列,故选D.4.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考】已知数列{}n a 的前n 项和()0nn S Aq B q =+≠,则“A B =-“是“数列{}n a 是等比数列”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件 【答案】B5.实数项等比数列{a n }的前n 项的和为S n ,若S 10S 5＝3132,则公比q 等于________． 【答案】－12【解析】首先q ≠1,因为若q ＝1,则S 10S 5＝2,当q ≠1时,S 10S 5＝a 1 1－q 101－q a 1 1－q 5 1－q＝1－q 101－q 5＝ 1－q 5 1＋q 51－q 5＝3132,q 5＝－132,q ＝－12.6.求和：23(1)(1)(1)(1)()n n T x x x x n N *=++++++⋅⋅⋅++∈ 【解析】依题意,23(1)(1)(1)(1)()nn T x x x x n N *=++++++⋅⋅⋅++∈, ①当0x =时,0n T =；②当2x =-或0x =时,n T n =；③当2x ≠-且0x ≠时,n T 可看作是首项为1x +,公比为1x +的等比数列的前n 项和.∴(1)[1(1)]11(1)(1)222n n n x x T x x +-+==+-+, 故0(1)2013(20)11(1)(1)(20)22n n x T x x x x x x ⎧⎪=-⎪==-=⎨⎪⎪+-+≠-≠⎩或或.7.设{}a n 是公比为q 的等比数列. (1)推导{}a n 的前n 项和公式；(2)设q ≠1, 证明数列{a n ＋1}不是等比数列. 【解析】(1) 设{}a n 的前n 项和为S n , 当q ＝1时,S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时,S n ＝a 1＋a 1q ＋…＋a 1qn －1,①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ,②①－②得,()1－q S n ＝a 1－a 1q n.∴S n ＝a 1()1－q n1－q ,∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1()1－q n 1－q， q ≠1.(2) 证明：(反证法),假设数列{a n ＋1}是等比数列,则对任意的k ∈N ＋,()a k ＋1＋12＝()a k ＋1()a k ＋2＋1,a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1,a 21q 2k ＋2a 1q k ＋1＝a 1qk －1a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1＋1, ∵a 1≠0,∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0,∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1,与已知矛盾. ∴数列{a n ＋1}不是等比数列. 8. 已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=.（Ⅰ）若2342,,9a a x a ===,求x 的取值范围；（Ⅱ）若{}n a 是公比为q 等比数列,12nn S a a a =+++ ,113,*,3n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围；（Ⅲ）若12,,,k a a a 成等差数列,且121000k a a a +++= ,求正整数k 的最大值,以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差. 【解析】（Ⅰ）由条件得263x ≤≤且933xx ≤≤,解得36x ≤≤. 所以x 的取值范围是[3,6].（Ⅱ）由133n n a a ≤,且110n n a a q -=≠,得0n a >,所以113n n S S +≤ 又1333n n n a a a ≤≤,所以133q ≤≤ 当1q =时, 1,1n n S n S n +==+,由13n n +≤得13n n S S +≤成立当1q ≠时,13n n S S +≤即111311n nq q q q+--≤⋅--（Ⅲ）设1,2......k a a a 的公差为d ,由1133n n n a a a +≤≤,且11a = 得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-,1,2,......, 1.n k =-即(21)2(23)2n n +≥-⎧⎨-≥-⎩ 1,2,......, 1.n k =-当1n =时,223d -≤≤； 当2,3,......1n k =-时,由222123n n -->+-,得221d n -≥+, 所以22213d k -≥≥--. 所以1999.k ≤所以k 的最大值为1999,1999k =时,12,,......k a a a 的公差为11999-.。