数列最值问题及单调性 副本

热点问题 5 数列中单调性与最值问题一、填空题1.已知在正项等比数列n a 中，若21a ，则前3项的和3S 的取值范围是．2. 数列}{n a 中，*97()98n na n n N ，则最大项是第项．3 . 等差数列n a 的前n 项和为n S ．若451015S S ，≥≤，则4a 的最大值为．4. 已知数列n a 满足1133,2nn a a a n ，则n a n 的最小值是．5. 设等比数列{}n a 满足1310a a ，245a a ，则123n a a a a 的最大值为．6. 设6337,0,7,n n a n n aa a n （），，≤若且数列}{n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是．7. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足17180,0S S ，则15121215,S S S a a a 中最大的项为．8．在正项等比数列{}n a 中，43215a a a a ，则56a a 的最小值为．二、解答题9.等差数列n a 中，24,a 4715.a a （1）求数列n a 的通项公式；（2）设22n a n b n ，数列n b 的前n 和为n T ，求使2016n T 成立的n 的最小值．10.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，且1517,a a 568S ．(1)求该等差数列的公差d ；(2)设数列n b 满足n n n a b 3，则当n 为何值时，n b 最大?请说明理由;11.已知数列n a ，n b 满足12a ，121n n n a a a ，1n n b a ,数列n b 的前n 项和为n S ，2n n n T S S .（1）求证：数列1n b 为等差数列，并求通项n b ；（2）求证：1n n T T ；（3）求证：当2n 时，271112n n S ≥．12．已知数列}{n a 是等比数列，n S 为其前n 项和．（1）若4S ，10S ，7S 成等差数列，证明1a ，7a ，4a 也成等差数列；（2）设332S ，62116S ，2n n b a n ，若数列}{n b 是单调递减数列，求实数的取值范围.。

第18讲 数列的单调性问题数列的单调性1．判断数列单调性的两种方法(1)作差比较法： a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列； a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．（2)作商比较法：①当a n ＞0时，a n ＋1a n ＞1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n <1⇔数列{a n }是单调递减数列； a n ＋1a n ＝1⇔数列{a n }是常数列． ②当a n ＜0时，a n ＋1a n ＞1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n ＜1⇔数列{a n }是单调递增数列； a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列． 2．求数列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项．例1 讨论等差数列的单调性例2 讨论等比数列的单调性例3.（2020·辽宁沈河沈阳二中高三）设{}n a 是等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则12a a <，可得1(1)0a q ->，解得101a q >⎧⎨>⎩或101(0)a q q <⎧⎨<≠⎩， 此时数列{}n a 不一定是递增数列； 若数列{}n a 为递增数列，可得101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以“12a a <”是“数列{}n a 为递增数列”的必要不充分条件.例4．（2020·江西高三其他）已知{}n a 是等比数列，10a >，前n 项和为n S ，则“8792S S S <+”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】{}n a 是等比数列，10a >， ()787879892,,,10,0S S S a a q q q q q ∴<+∴<∴<∴->∴<或1q >，8792S S S ∴<+的充要条件为0q <或1q >.又10a >，{}n a 为递增数列的充要条件为1q >， 所以“8792S S S <+”是“{}n a 为递增数列的必要不充分条件.例5 .（2013）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题: {}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为 A.12,p p B.34,p p C.23,p p D.14,p p答案：D解析：如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a 1＝2×a 2，故p 2是假命题；如数列为{1,2,3，…}，则na n＝1，故p 3是假命题．故选D.例6 .(2018·河北石家庄月考，18，12分)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)n)1110((n ∈N *)． (1)讨论数列{a n }的增减性； (2)求数列{a n }的最大项．解：(1)由题意，知a n >0，令a n a n －1>1(n ≥2)，即)2(1)1110()1110)(1(1≥>+-n n n n n，解得2≤n <10，即a 9>a 8>…>a 1. 令a n a n ＋1>1，即1)1110(2)1110)(1(1>+++n nn n ）（整理得n ＋1n ＋2>1011，解得n >9，即a 10>a 11>….又a 9a 10＝1，所以数列{a n }从第1项到第9项单调递增，从第10项起单调递减． (2)由(1)知a 9＝a 10＝1010119为数列的最大项．方法点拨：数列是一种特殊的函数，因此解决数列的最大项与最小项问题可以利用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性，从而得解．例7．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．解析：(1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1，所以当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1(2－1a n －1－1)－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列．(2)解：由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)内均为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.课后作业：1．已知数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，设数列{}n b 中的最小项是第k 项，则k 等于( ) A ．30B ．28C ．26D ．24【解析】解：数列{}n a 与{}n b 满足113()n n n n b b a a ++-=-，*n N ∈，在数列{}n a 中，2163n n a n =-，∴叠加可得21473(16)33n n b b n -=-+，21(24)529n b n b ∴=--+，24n ∴=，n b 最小，故选：D ．2．在数列{}n a 中，22293n a n n =-++，则此数列最大项的值是( ) A ．103B ．8658C ．8258D ．108【解析】解：22293n a n n =-++对应的抛物线开口向下，对称轴为2929172244n =-==-⨯，n 是整数， ∴当7n =时，数列取得最大值，此时最大项的值为27272973108a =-⨯+⨯+=，故选：D ．3．设函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩，数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(2,3)C ．9(,3)4D ．(1,2)【解析】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩数列{}n a 满足()n a f n =，n N +∈，且数列{}n a 是递增数列∴2130187a a a a >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：132,9a a a a >⎧⎪<⎨⎪><-⎩或即：23a <<，故选：B ． 二．填空题（共4小题）4．已知{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是 (3,)-+∞ ． 【解析】解：对于任意的*n N ∈，2n a n n λ=+恒成立，221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++， {}n a 是递增数列，10n n a a +∴->，又221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+++--=++∴当1n =时，1n n a a +-最小，12130n n a a a a λ+∴->-=+>，3λ∴>-．故答案为：(3,)-+∞．5．已知数列{}n a 是递增数列，且对于任意的n N +∈，223n a n n λ=++恒成立，则实数λ的取值范围是6λ>- ．【解析】解：{}n a 是递增数列，且对于任意的*n N ∈，都有223n a n n λ=++成立， 数列{}n a 是递增数列，∴对于任意*n N ∈，1n n a a +>，222(1)(1)323n n n n λλ∴++++>++，化为：42n λ>--，恒成立．数列单调递减，6λ∴>-恒成立．故答案为：6λ>-．6．已知数列{}n b 满足113(1)2n n n n b λ-+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，则实数λ的取值范围 9(4-，3)2．【解析】解：113(1)2n n n n b λ-+=+-，1213(1)2n n n n b λ+++∴=+-，两式相减得：12111[3(1)2][3(1)2]n n n n n n n n b b λλ++-++-=+--+-123(1)2n n n λ+=+-，对于任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，∴对于任意的*n N ∈，都有3(1)20n n n λ+->恒成立，13(1)()2n n λ-∴-<对于任意的*n N ∈恒成立，∴当21n k =-时，2133()22k λ-<；当2n k =时，239()24kλ>--； 综上所述，实数λ的取值范围是：9(4-，3)2．。

专题突破二 数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性． 解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二 设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列． 证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1 ＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数． 解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数． 且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析 设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *，∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项． 反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值． 解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ， 解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟 注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为 ． 答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1， ∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－11，－9)解析 根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上．∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定 答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列 答案 C解析 令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当0<p ≤1时，p n ＋1≤p n ，∴log 0.5p n ＋1≥log 0.5p n ，即a n ＋1≥a n .故选C.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋6(n ∈N *)，则该数列的最大项为( ) A ．第2项B ．第3项C ．第2项或第3项D ．不存在 答案 C解析 易知，a n ＝1n ＋6n.函数y ＝x ＋6x (x >0)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减． 又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ， 当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第 项． 答案 5解析 易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小． 又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析 可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是 ．答案 (2,3)解析 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上． 因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3)． 三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围． 解 因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ， 所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1， 故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n .(1)判断{a n }的单调性； (2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *，当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0， 当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0， 即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减， n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生． 由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第 项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *， 所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值． 解 列表图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n≤5时数列递增；当n>5时数列递减，最大值为a5＝36，无最小值．。

数列和最值问题
数列和最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型，涉及到对一系列数字（数列）进行求和，并找到这些和的最大值或最小值。

这类问题在数学、物理、工程和经济等多个领域都有应用。

数列和最值问题通常可以通过以下几种方法来解决：
1. 直接计算：对于一些简单的数列，可以直接计算出数列的和，然后找到其中的最大值或最小值。

2. 数学归纳法：对于一些复杂的数列，可以使用数学归纳法来证明数列和的性质，从而找到最值。

3. 函数性质：将数列和表示为函数，然后利用函数的性质（如单调性、凹凸性等）来找到最值。

4. 优化算法：对于大规模的数列和最值问题，可以使用优化算法（如梯度下降、遗传算法等）来找到最优解。

在实际应用中，需要根据具体的问题场景和数据规模选择合适的方法来解决数列和最值问题。

数列的单调性与最值教学目标1、复习与巩固等差、等比数列的单调性、最值的判定与方法；2、掌握解决实际问题的的数学思想方法，培养转化问题的能力.教学过程一、知识梳理1、等差数列{}n a ，首项为1a ，公差为d ，则_____________时，数列{}n a 是递增数列； 则_____________时，数列{}n a 是递减数列； 若公差0=d 时，数列{}n a 是_______数列.2、等比数列 {}n a ，首项为1a ，公比为q ，则当__________________________________时，数列{}n a 是递增数列；当__________________________________时，数列{}n a 是递减数列；当__________________________________时，数列{}n a 是（非零）常数列；当__________________________________时，数列{}n a 是摆动数列.3、您能否从自己的学习体验中，概括出我们还能如何去研究数列的单调性？___________二、真题再现（10上海高考·文）已知数列{}n a 的n 前项和为n S ，且*,855N n a n S n n ∈--=(1) 证明：{}1-n a 是等比数列；(2) 求数列{}n S 的通项公式，并求出使得n n S S >+1成立的最小正整数n三、基础巩固1、下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：P 1：数列{a n }是递增数列； P 2：数列{na n }是递增数列；P 3：数列{a n n }是递增数列； P 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中真命题为 ( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 42、设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的 （ ）A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、设等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ,（1）若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时, n =____________.（2）若7890a a a ++>，7100a a +<，则当n S 取最大值时, n =____________.(3) 若17a =，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围____________.四、其它数列的单调性与最值1、已知数列}{n a 对于任意的n N *∈，（1）若数列}{n a 是递增数列，且2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围为 .（2）若数列}{n a 是递减数列，且2n a n n λ=-+恒成立，则实数λ的取值范围为________.2、已知数列{n a }的通项公式为1111-+=n n a n (n ∈N*)，则{n a }的最大项是___________,最小项是_________________.3、已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n a n的最小值为__________.4、已知数列}{n a 的通项公式为()728nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a 的最大值为_______________.5、（2014.6上海市宝山区高二统考23（2）） 已知数列}{n a 满足*)(14,11N n n a a a a n n ∈-=+=+,若}{n a 是递增数列，求实数a 的取值范围.6、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n *∈均在函数32y x =-的图像上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m .五、课堂小结。

数列最值问题具有较强的综合性，常与函数、不等式、数列等知识相结合.常见的数列最值问题主要有两种：（1）求数列的最大（小）项；（2）求等差数列前n项和的最大（小）值.下面结合实例，探讨一下这两类数列最值问题的解法.一、求数列的最大（小）项求单调数列{}a n的最大、最小项的常用方法：（1）在数列{}a n中，若{a n-a n+1≥0，an-a n-1≥0，则an是数列中的最大项；若{a n-a n+1≤0，an-a n-1≤0，则an是数列中的最小项；（2）利用函数的单调性求最大、最小项.例1.已知数列{a n}中，a n=1+1a+2(n-1)(n∈N*，a∈R且a≠0).若a=-7，求数列{}a n的最大项与最小项；解：因为a n=1+1a+2(n-1)(n∈N*，a∈R，且a≠0)，所以a n=1+12n-9(n∈N*)．由函数f(x)=1+12x-9的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>a n>1(n∈N*)，所以数列{a n}中的最大项为a5=2，最小项为a4=0.解答本题，需先仔细研究数列{}a n的通项公式；然后将其类比函数f(x)=1+12x-9，根据这个函数的单调性来确定数列{}a n的单调性，求得数列的最大、最小项.解答此类问题的关键是结合数列的特征，根据数列与函数之间的关系，研究函数和数列的单调性.二、求等差数列前n项和的最大（小）值求解等差数列前n项和的最大（小）值问题，通常要利用函数思想.主要有三种解题的思路：（1）函数性质法.即将等差数列的前n项和看成是关于n的二次函数式，利用二次函数的性质求数列前n项和的最值；（2）图象法.即利用二次函数图象的对称性或增减性来确定当S n取得最值时n的值；（3）通项法.若{a n≥0，an+1≤0，则Sn最大；若{a n≤0，an+1≥0，则Sn最小．例2.已知在等差数列{}a n中，a1>0，公差d<0，且S7=S12，求数列{}a n前n项和S n的最大值.解法一：由S7=S12，得d=-19a1，所以Sn=na1+12n(n-1)d=-118a1æèöøn-1922+36172a1，故当n=9或n=10时，S9=S10最大.解法二：由S7=S12，得d=-19a1，由ìíîïïan=a1+(n-1)d=19a1(10-n)≥0，an+1=a1+nd=19a1(9-n)≤0，得9≤n≤10，故当n=9或n=10时，S9=S10最大.解法三：由S7=S12，a1>0，得d=-19a1<0，所以{}a n是递减数列.因为S7=S12，所以a8+a9+a10+a11+a12=0，即5a10=0.所以a1>a2>∙∙∙>a10=0>a11>a12>∙∙∙，故当n=9或n=10时，S9=S10最大.求得a1与d的关系式和S n的表达式后，便可分别采用函数性质法、图象法、通项法来求解.解法一、二是将问题转化为二次函数性质和图象问题，根据二次函数的图象、性质来解题；解法三则是通过比较各项的大小关系，来确定数列的最大项.从上述分析可以发现，解答此类问题，要从已知条件出发，寻找数列的特点和变化规律，将数列与函数联系起来，灵活运用数列、函数知识来解题.（作者单位：山东省临沂市莒南第二中学）探索探索与与研研究究55。