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第二章数列与不等式专题08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．【压轴典例】例1.（河南省开封市2019届高三第三次模拟（理)）已知等比数列满足：，，则取最小值时，数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为当时，，则当时，，两式相减得：即解得又当且仅当时，等号成立.取最小值1时，故选A.例2.（安徽省黄山市2019届高三第二次检测）已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.例3.（2016高考上海文）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】max 4k =【解析】当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =. 例4.（广西柳州市2019届高三1月模拟）已知点在函数的图象上（）.数列的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____【答案】【解析】点在函数图象上，,是首项为，公比的等比数列，，则，是首项为，公差为2的等差数列，当，即时，最小，即最小值为.例5.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为__ __.【答案】【解析】，，所以，，，，由得，由函数的单调性及知，当或时，最小值为30，故.例6.（2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}nB x x n N ==∈．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.例7.（2019·天津高考模拟（文））已知数列{}n a 是正项等比数列，1342310,2a a a a a +=-=,数列{}n b 满足条件123(2)n b n a a a a =.(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设11n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和n S . ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意n *∈N ，均有k n S S ≥.【答案】（1）2nn a =，()1;n b n n =+（2）①11;12nn S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭②4k =.【解析】（1）设数列{}n a 是正项等比数列的公比为0q >，因为1310a a +=，4232a a a -=所以有1113211110222a a q a a q a q a qq +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以2;nn a = (1232nb n a a aa =2312322222n n b b n n +++⋅⋅⋅+⇒⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⇒=(1)2222(1);n b n n n b n n +⇒=⇒=+（2）①因为 11n n nc a b =-， 所以，123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+，123123()()n n n S a a a a b b b b ⇒=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+，11[1()]111122[],1122334(1)12n n S n n -⇒=-+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+-111111111()(1),2223341n n S n n ⇒=---+-+-+⋅⋅⋅+-+11111()1().2112n n n S n n ⇒=--+=-++②令11111111(1)(2)2()()22122(1)(2)n n n n n n n n S S n n n n ++++++--=--+=++⋅++， 由于12n +比(1)(2)n n ++变化的快，所以10n n S S +->，得4n <， 即1234,,,S S S S ,递增而456,,,,n S S S S ⋅⋅⋅递减，4S ∴是最大， 即当4k =时，对任意*n N ∈，均有k n S S ≥.例8.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【压轴训练】1．（2019·安徽高考模拟（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】C 【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C.2．（2019·北京师大附中高考模拟（文））已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a 12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．3.（2019·北京高三期末（理））已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差___；的最大值等于___. 【答案】 12【解析】由a 2＝4，a 3+a 5＝0得得，则S n ＝6n（﹣2）＝﹣n 2+7n ＝﹣（n ）2，则当n ＝3或4时，S n 取得最大值，最大值为S 3＝﹣9+21＝12， 故答案为：﹣2，124.（2019·山东枣庄八中高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式2221286n a a a +++＜成立的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】根据题意，数列{}n a 满足12n n S a +=， 当1n =时，1121a a =+，得11a =，当2n ≥时，()112n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，所以12nn a a -= 又∵11a =满足上式，即{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列则12n n a -=， 则214n n a -=，则数列{}2na 是以1为首项，4为公比的等比数列，则()()22212114141143n nn S a a a -=+++==--，若2221286n a a a +++<，则有()141863n-<， 变形可得：4259n <，又由*n N ∈，则4n ≤，即n 的最大值为4； 故选：B ．5.（2019·江苏高考模拟）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3故答案为：6.（2019·广东高考模拟）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=10，S 8=36，当n∈N *时，nn 3a S +的最大值为______． 【答案】71 【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4810,36S S ==，设首项为1a ，公差为d ，则11434102878362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a d ==，所以，所以(1)2n n n S +=， 则2322(3)(4)1271272nn a n n n n S n n n n+===++++++，当12n n +取最小值时，3n n a S +取最大值，结合函数()12(0)f x x x x =+>的单调性，可得当3n =或4n =时，317n n max a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：71． 7.（2019·天津高考模拟（文））已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为__________． 【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：18.（2019·江苏金陵中学高考模拟）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3， 由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+ ，当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10. 故答案为：109.（2019·江苏扬州中学高考模拟）数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______. 【答案】12- 【解析】41016111153(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t t λ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-.10.（2019·福建高考模拟（理））在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10 【解析】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值．11.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈12.（2017·上海高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案； （2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析： （1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.13．（2018·河南高三期中（文））已知非零数列{}n a 满足*13()n n a a n +=∈N ，且1a ，2a 的等差中项为6．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求12233411111n n b b b b b b b b +++++…取值范围． 【答案】(1) 3nn a = (2) 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由()*13n n a a n N +=∈，得{}na 为等比数列且公比3q =.设首项为1a ，12,a a 的等差中项为6，即1212a a q +=，解得13a =，故3nn a =.(2)由32log 2na nb n ==得到：()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， ∴1223341111111111111114223141n n b b b b b b b b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为11141n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭可以看成关于n 的单调递增函数，所以n=1时，最小为18，且1111414n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， ∴1223341111111,84n n b b b b b b b b +⎡⎫++++∈⎪⎢⎣⎭. 14.（2019·湖南高考模拟（文））已知数列{}n a 的首项13a =，37a =，且对任意的n *∈N ，都有1220n n n a a a ++-+=，数列{}n b 满足12n nb a -=，n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使122018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值.【答案】（Ⅰ）21n a n =+，21nn b =+;（Ⅱ）10【解析】（Ⅰ）令1n =得，12320a a a -+=，解得25a =. 又由1220n n n a a a ++-+=知211n n n n a a a a +++-=- 212a a ==-=，故数列{}n a 是首项13a =，公差2d =的等差数列，于是21n a n =+，1221n nn b a -==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21nn b =+.于是11n n T b b b =+++ ()122222n =++++ ()12122212n n n n +-=+=+--.令()122n f n n +=+-，易知()f n 是关于n 的单调递增函数，又()1092921031f =+-=，()111021022056f =+-=，故使112018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值是10.15.（2019·山东日照一中高三期中（理））已知数列{a n }中，1123123n a a a a na =+++⋯+=，（n∈N *）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n }是等比数列，并求数列{a n }的通项a n ； （Ⅱ）求数列{n 2a n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）对任意n∈N *，使得恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)【解析】（Ⅰ）[证明]：由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 1+2a 2+3a 3+…+（n ﹣1）a n ﹣1=（n≥2），①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{na n }是等比数列，又a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 2=1，则2a 2=2，∴，∴（n≥2），∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴T n =1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n ﹣2，则，两式作差得：，得：；（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，即对任意n∈N *恒成立．当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．16.（2019·山东高考模拟（文））已知数列的各项均为正数，，且对任意，为和1的等比中项，数列满足.（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】（1）由题意得：，即数列成等比数列，首项为，公比为，又为正项数列（2）由（1）得：，即或（舍去）所以不小于的的最小值为。
因为扇形的半径为１,所以|O Pң|＝１．又O PʅO B,故O Pң O Bң＝０．因为øA O B＝２π３,所以øA O P＝π６,于是P Mң P Nң＝(P Oң＋O Mң) (P Oң＋O Nң)＝P Oң２＋P Oң O Nң＋O Mң P Oң＋O Mң O Nң＝１＋０＋|O M|c o s５π６＋|O M| |O N|c o s２π３ɤ１＋０ˑ(－３２)＋０ˑ(－１２)＝１．综上,P Mң P Nң的最大值为１．如果两个向量的夹角是钝角,那么它们的数量积是负值,所以本例中要使P Mң P Nң值最大,只需M,N两点与O重合．２ ３㊀数量积定值问题例５㊀已知线段A B是半径为r(r＞０)的圆O的一条弦,且A B＝２,试问A Oң A Bң是定值(与r的大小无关)吗?请探究．先将问题特殊化:容易求得,当弦A B为直径时,有A Oң A Bң＝２;当әA O B为正三角形时,也有A Oң A Bң＝２,于是可以大胆猜想A Oң A Bң为定值２,那么这个论断正确吗?下面加以严格证明．如图５所示,过点O作O HʅA B于点H,则A Oң A Bң＝|A Oң||A Bң|c o søO A B＝(|O Aң| c o søO A B) |A Bң|＝|AHң||A Bң|＝１２|A Bң|２＝２．图５对于动中有定问题,通常可以从特殊值或运动的特殊位置入手,先找到 疑似定值 ,然后讨论一般情形并证明．解答本题还需注意向量的投影在圆中的运用,即A Oң A Bң的大小仅取决于弦A B的长短．从以上五个例题可以看出,无论是静态还是动态问题,平面向量数量积问题都离不开数量积定义式的应用,同时要注意图形特征,善于将欲求向量转化为已知向量．这类问题虽然背景比较新颖,但除去背景的 外包装 ,其实就是极为普通的平面向量数量积运算问题．(作者单位:甘肃省张掖市实验中学)Җ㊀山东㊀袁海艳㊀㊀在等差数列中,经常会碰到有关最值的问题,主要是等差数列前n项和的最值问题．通过题目中给出的相关信息,结合数列的相关性质,确定前n项和中的最值问题,是函数性质的一种特殊表现．１㊀邻项变号法(不等式法)等差数列中求前n项和S n的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第１项起到该项的各项的和为最大(小)．例１㊀若等差数列{a n}满足a７＋a８＋a９＞０,a７＋a１０＜０,则当n＝时,{a n}的前n项和最大．根据等差数列的性质有a７＋a８＋a９＝３a８＞０,可得a８＞０．又a７＋a１０＝a８＋a９＜０,则a９＜０,所以当n＝８时,等差数列{a n}的前n项和最大．本题根据等差数列的相关性质,利用邻项变号法,结合题意的相关知识和对应的要求加以分析求解等差数列的前n项和的最值．２㊀配方法把等差数列前n项和S n表示成关于n的二次函数,利用配方法,运用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值问题,要注意项数n的取值为正整数．例２㊀数列{a n}的前n项和S n＝３３n－n２,问n为何值时,S n有最大值?由于S n＝３３n－n２＝－(n－３３２)２＋１０８９４,所以当n＝１６或n＝１７时,S n有最大值２７２．本题直接进行配方,利用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值,要注意项数n的取值为正整数．３㊀图象法根据等差数列的性质,往往把等差数列前n项和６１S n 表示成关于n 的二次函数,利用二次函数所对应的图象与性质确定相应的最值．例３㊀设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a １＞０,S １２＞０,S １３＜０,指出S １,S ２, ,S １２中哪一个值最大,并说明理由．如图１所示,因为{a n }是等差数列,所以S n ＝d ２n ２＋(a １－d２)n ,因为S １２＞０,S １３＜０,所以a １３＝S １３－S １２＜０,因为a １＞０,a １３＜０,所以d ＜０,所以点(n ,S n )分布在开口方向向下的抛物线y ＝d ２x２＋(a １－d２)x 的图象上．设二次函数y ＝d ２x ２＋(a １－d２)x 的对称轴为x ＝n ０,则２n ０是二次函数的一个零点,因为S １２＞０,S １３＜０,所以１２＜２n ０＜１３,所以６＜n ０＜６ ５．易知n ＝６对应的点A (６,S ６)到对称轴的距离比n ＝７对应的点B (７,S ７)到对称轴的距离更小,所以点A 为最高点,S ６最大．图１本题通过把求和公式转化为相应的二次函数的解析式,利用二次函数的图象与性质来确定S n 的最值．４㊀数列性质法等差数列的单调性㊁首末两项等距的相加性等性质在解决等差数列的最值问题中经常采用,体现了函数思维㊁整体代换思维的应用．数列性质法能简化运算,优化解题过程．例４㊀在等差数列{a n }中,已知a １＝２０,前n 项和为S n ,且S １０＝S １５,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值．由于a １＝２０,S １０＝S １５,则１０ˑ２０＋１０ˑ９２d ＝１５ˑ２０＋１５ˑ１４２d ,解得d ＝－５３,由S １０＝S １５,可得a １１＋a １２＋a １３＋a １４＋a １５＝０,结合等差数列的性质可得５a １３＝０,即a １３＝０．综上,当n ＝１２或１３时,S n 有最大值,且最大值为S １２＝S １３＝１２ˑ２０＋１２ˑ１１２ˑ(－５３)＝１３０．求解此类问题方法众多,可以采用邻项变号法㊁配方法等,而结合题目条件,利用等差数列的性质法来处理显得更为简单巧妙．利用数列性质法来求解最值问题时,要注意题目中的条件与数列性质的转化．５㊀转化法在解决一些特别数列的最值问题时,往往通过转化,把问题转化为有关等差数列的单调性㊁相关项的正负或大小关系问题,进而根据求和问题加以判断与应用．例５㊀若数列{a n }是等差数列,数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋１ a n ＋２(n ɪN ∗),{b n }的前n 项和为S n ,若{a n }中满足３a ５＝８a １２＞０,试问n 为何值时,S n 取得最大值?证明你的结论．由于３a ５＝８a １２＞０,则３a ５＝８(a ５＋７d )＞０,解得a ５＝－５６５d ＞０,即d ＜０,而a ５＝－５６５d ＝a １＋４d ＞０,所以a １＝－７６５d ＞０,即数列{a n }是首项为正数的递减数列．由a n ȡ０,a n ＋１ɤ０,{得－７６５d ＋(n －１)d ȡ０,－７６５d ＋n d ɤ０,ìîíïïïï解得１５１５ɤn ɤ１６１５,故n ＝１６,即a １６＞０,a １７＜０,此时a １＞a ２＞ ＞a １６＞０＞a １７＞a １８＞ ,根据b n ＝a n a n ＋１ a n ＋２(n ɪN ∗),可得b １＞b ２＞ ＞b １４＞０＞b １７＞b １８＞ ,而b １５＝a １５ a １６ a １７＜０,b １６＝a １６ a １７a １８＞０,所以S １４＞S １３＞ ＞S １,S １４＞S １５＜S １６,又a １５＝a １＋１４d ＝－６５d ＞０,a １８＝a １＋１７d ＝９５d ＜０,所以a １５＜|a １８|,即|b １５|＜b １６,也即b １５＋b １６＞０,所以S １６＞S １４,即n ＝１６时,S n 取得最大值．转化与化归思想在解决数列的最值问题中经常碰到,往往是通过数列的项㊁求和公式㊁数列性质等的转化,把比较繁杂的问题转化为比较常见且方便求解分析的问题．在研究等差数列的最值问题中,以上五种方法可以灵活应用,当然有时对于同一个题目,五种方法都适用,关键是根据题目条件选择最适当的方法加以分析．通过不同方法的比较与渗透,能提高学生的知识应用能力与问题解决能力．(作者单位:山东省青岛市城阳第一高级中学)７１。
等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122nn n a s s n -=-==- 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122n a n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为49 6.52n +==， 而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。
1. 已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值. 2. 已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。
问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与n S 有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等. 题型一：求数列的最大项或最小项求数列中的最大项的基本方法是： (1)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.【例1】已知数列}{n a 的通项公式为n a =2156nn +,求}{n a 的最大项．【分析】思路1：利用基本不等式求解.思路2：求满足⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 的的值.【解法一】基本不等式法.n a =2156n n +=1156n n+,因为156n n +1562n n ⨯；当且仅当156n n =,即n=156时,而,144156169<< 且n ∈N *,于是将n=12或13代人,得1213a =a 且最大．【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a 的的值,从而找到最大项【小试牛刀】在数列{a n }中,a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }先递增,后递减；(2)求数列{a n }的最大项.(2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大.【点评】要证明数列{a n }是单调的,可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1,数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.题型二：数列前n 项和最值问题公差不为0的等差数列的前n 项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差数列前n 项和最值的方法有：(1)利用{a n }中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn(A,B 为常数)．(3)利用⎩⎨⎧S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1求出S n 的最值.【例2】在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d,前n 项和为S n ,当且仅当n ＝8时S n 取最大值,则d 的取值范围是________．【分析】知a 1和S 8最大,可以求出S n 关于d 的表达式是关于n 的二次函数,再用二次函数的最值来解决；还可用S 8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．【解析】 (2)方法一(通法)：由于S n ＝7n ＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫7－d 2n,设f(x)＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7－d 2x,则其图象的对称轴为直线x ＝12－7d .当且仅当n ＝8时S n 取得最大值,故7.5<12－7d <8.5,解得－1<d<－78.方法二(优法)：由题意,得a 8>0,a 9<0,所以7＋7d>0,且7＋8d<0,即－1<d<－78.【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且满足170S >,180S <,则11S a ,22S a ,…,1515S a 中最大的项为（ ） A ．77S a B ．88S a C ．99S a D ．1010Sa 【答案】C 【解析】117917917()17(2)000022a a a S a +>⇒>⇒>⇒>11889181091018()18()0000022a a a a S a a a ++<⇒<⇒<⇒+<⇒<,因此8910121289100,0,0,0,0,S S SS S a a a a a >>>><而1291289,S S S a a a a <<<>>>>,所以89121289S S S S a a a a <<<<,选C. 题型三：求满足数列的特定条件的最值【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列,若981a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,那么当n S 取得最小正值时,n 等于（ ） A ．17 B ．16 C ．15 D ．14 【分析】利用等差数列的性质求前项和的最值.【解析】∵数列{}n a 的前n 项和有最大值,∴数列{}n a 为递减数列,又981a a <-, 8900a a ><∴，且890a a +<,又115116158168915()16()1508()022a a a a S a S a a ++==>==+<，,故当15n =时,n S 取得最小正值,故选C ．【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列{}n a 各项为正数,且214a a =,()2*12n n n a a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列(){}3log 1n a +为等比数列；（Ⅱ）令()321log 1n n b a -=+,数列{}n b 的前项和为n T ,求使345n T >成立时的最小值. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6【解析】（Ⅰ）由已知,2211124a a a a =+=,则()1120a a -=, 因为数列{}n a 各项为正数,所以12a =, 由已知,()21110n n a a ++=+>, 得()()313log 12log 1n n a a ++=+. 又()313log 1log 31a +==,所以,数列(){}3log 1n a +是首项为1,公比为2的等比数列.题型四：求满足条件的参数的最值【例4】【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前项和,()210,2,326n n n a a a S ∈++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=,数列{}n b 的前项和为n T ,若对,4n n N t T *∀∈≤恒成立,求实数的最大值. 【分析】(1)首先求得1a 的值,然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 为等差数列,由此求得{}n a 的通项公式；(2)首先结合（1）求得n b 的表达式,然后用裂项法求得n T ,再根据数列{}n T 的单调性求得的最大值．【解析】(1)当1n =时,由2326n n n a a S ++=,得2111326a a a ++=,即211320a a -+=. 又()10,2a ∈,解得11a =.由2326n n n a a S ++=,可知2111326n n n a a S +++++=.两式相减,得()2211136n n n n n a a a a a +++-+-=,即()()1130n n n n a a a a +++--=.由于0n a >,可得130n n a a +--=,即13n n a a +-=,所以{}n a 是首项为,公差为的等差数列,所以()13132n a n n =+-=-.【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列{}n a 中每一项n a 均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点． 【小试牛刀】已知数列{}n a 的通项公式为11n a n =+,前项和为n S ,若对任意的正整数,不等式216n n mS S ->恒成立,则常数m 所能取得的最大整数为. 【答案】5【解析】要使216n n m S S ->恒成立,只需2min ()16n n m S S ->. 因2(1)1()n n S S ++-2222121221()()()n n n n n n n n n S S S S S S a a a +++++--=---=+-11111111022232222422224n n n n n n n n =+->+-=->++++++++,所以22113n n S S S S -≥-=,所以1161633m m <⇒<,m 所能取得的最大整数为5.题型五：实际问题中的最值【例5】为了保障幼儿园儿童的人身安全,国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案,计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆,以后每月的新购量比上一月增加50％；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆,计划以后每月比上一月多新购m 辆． （Ⅰ）求经过n 个月,两省新购校车的总数S(n)；（Ⅱ）若两省计划在3个月内完成新购目标,求m 的最小值．【分析】本题主要考查实际问题、等差等比数列的前n 项和公式、不等式的解法等数学知识,考查学生将实际问题转化为数学问题的能力,考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,通过对题意的分析可知甲方案能构成等比数列,而乙方案能构成等差数列,利用等差等比数列的前n 项和公式分别求和,再相加即可；第二问,利用第一问的结论,得出3n =且(3)1000S ≥,直接解不等式即可得到m 的取值范围,并写出最小值.【解析】（Ⅰ）设a n ,b n 分别为甲省,乙省在第n 月新购校车的数量．依题意,{a n }是首项为10,公比为1＋50%＝32的等比数列；{b n }是首项为40,公差为m 的等差数列． {a n }的前n 项和310[1()]2312n n A -=-,{b n }的前n 项和[4040(1)](1)4022n n n m n n mB n ++--==+. 所以经过n 个月,两省新购校车的总数为S(n)＝310[1()](1)2403212n n n n n m A B n --+=++- 3(1)20[()1]4022n n n mn -=-++2320()(40)20222n m mn n =++--.（Ⅱ）若计划在3个月内完成新购目标,则S(3)≥1000,所以323(3)20()3(40)3201000222m mS =+⨯+-⨯-≥,解得m ≥277.5.又*∈N m ,所以m 的最小值为278.【小试牛刀】某企业为节能减排,用万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加万元,该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后,年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本）,则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为n a 万元,则数列{}n a 是以为首项,以为公差的等差数列,则2n a n =,则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+,设第()n n N *∈的盈利总额为n S 万元,则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-,因此,该设备年平均盈利额为210999*********n S n n n n n n n n n n -+-⎛⎫==--+=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭,当且仅当9n n =且当n N *∈,即当3n =时,该设备年平均盈利额达到最大值,此时3n =,故选A.【迁移运用】1．【2016·辽宁大连统考】数列{a n }中,如果存在a k ,使得a k ＞a k －1且a k ＞a k ＋1成立(其中k ≥2,k ∈N *),则称a k 为数列{a n }的峰值,若a n ＝－3n 2＋15n －18,则{a n }的峰值为( ) A ．0 B ．4 C.133 D.163【答案】A【解析】因为a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34,且n ∈N *,所以当n ＝2或n ＝3时,a n 取最大值,最大值为a 2＝a 3＝0.2.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,n S 是其前项和,若236 a a a ，，成等比数列,且1017a =-,则2nnS 的最小值是（ ） A ．12- B ．58- C.38- D ．1532-【答案】A3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列{}n a 中,存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,且6542a a a =+,则14m n+的最小值是（ ） A ．32 B ．2 C. 73 D ．256【答案】A【解析】设数列{}n a 的公比为(0)q q >,则由6542a a a =+得220q q --=,解之得2q =或1q =-（舍去）,因为存在两项,m n a a 满足14m n a a a =,所以1111224m n a a --=,解之得6m n +=,所以1411414143()()(5)(52)6662n m n m m n m n m n m n m n +=++=++≥+⨯=,当且仅当4,6n m m n m n =+=即2,4m n ==时等号成立,所以14m n +的最小值是32,故选A. 4.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知数列{}n a 满足：11a =,12n n n a a a +=+()n N *∈．若11(2)(1)n n b n a λ+=-⋅+()n N *∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是（ ） A ．23λ>B ．32λ>C ．32λ<D ．23λ< 【答案】D5.设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是( )． A.163 B.133 C ．4 D ．0【答案】D【解析】∵a n ＝－32)25(-n ＋34,由二次函数性质,得当n ＝2或3时,a n 最大,最大为0.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝13,S 3＝S 11,当S n 最大时,n 的值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】 C【解析一】由S 3＝S 11,得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0,根据等差数列的性质,可得a 7＋a 8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a 7＞0,a 8＜0,故n ＝7时,S n 最大． 【解析二】由S 3＝S 11,可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d,把a 1＝13代入,得d ＝－2, 故S n ＝13n －n(n －1)＝－n 2＋14n,根据二次函数的性质,知当n ＝7时,S n 最大． 【解析三】根据a 1＝13,S 3＝S 11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n ＝3＋112＝7时,S n 取得最大值．7.在数列{a n }中,a n ＝n － 2 013n － 2 014,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是( ) A ．a 1,a 50B ．a 1,a 44C ．a 45,a 44D ．a 45,a 50【答案】C 【解析】a n ＝n － 2 013n － 2 014＝1＋ 2 014－ 2 013n － 2 014,∴当n ∈1,44]时,{a n }单调递减,当n ∈45,100]时,{a n }单调递减, 结合函数f(x)＝x － 2 013x － 2 014的图象可知,(a n )max ＝a 45,(a n )min ＝a 44,选C.8.【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知函数()()22812f x x a x a a =++++-,且()()2428f a f a -=-,设等差数列{}n a 的前项和为n S ,()*n N ∈若()n S f n =,则41n n S aa --的最小值为（ ） A ．276 B ．358 C ．143 D ．378【答案】【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．由题意可得2428a a -=-或2842822a a a +-+-=⨯-（）， 解得a=1或a=-4,当a=-1时,2712f x x x =+-（）,数列{a n }不是等差数列； 当a=-4时,24f x x x =+（）,24nS f n n n ==+（）, ()()1257575123n a a a n n ∴===+--=+，，,()22121134416122)11(2n n n n S a n n a n n ++++-++∴==-++⨯()113113122121312121n n n n =⨯+++≥++⎡⎤⨯⎢⎥=++⎣⎦+（）（），当且仅当1311n n +=+,即131n =-时取等号, ∵n 为正数,故当n=3时原式取最小值378,故选D ． 9. 【2016届江苏省盐城市盐阜中学高三上12月月】等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为． 【答案】﹣49【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, ∵S 10=10a 1+45d=0,S 15=15a 1+105d=25, ∴a 1=﹣3,d=, ∴S n =na 1+d=n 2﹣n,∴nS n =n 3﹣n 2,令nS n =f （n ）,∴f ′（n ）=n 2﹣n,∴当n=时,f （n ）取得极值,当n ＜时,f （n ）递减；当n ＞时,f （n ）递增；因此只需比较f （6）和f （7）的大小即可． f （6）=﹣48,f （7）=﹣49, 故nS n 的最小值为﹣49． 故答案为：﹣49．10.【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】已知数列{}n a 满足151=a ,12n na a n+-=,则na n的最小值为． 【答案】27411.【2016·湖南衡阳五校联考】已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝1－14a n,其中n ∈N *. (1)设b n ＝22a n －1,求证：数列{b n }是等差数列,并求出{a n }的通项公式a n . (2)设c n ＝4a n n ＋1,数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ,是否存在正整数m,使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在,求出m 的最小值；若不存在,请说明理由． 【解析】(1)b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2. 所以数列{b n }是等差数列,a 1＝1,b 1＝2,因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n, 由b n ＝22a n －1得a n ＝n ＋12n .(2)c n ＝2n ,c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛1n －⎭⎪⎫1n ＋2, 所以T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3, 依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立,只需m （m ＋1）4≥3, 解得m ≥3或m ≤－4(舍), 所以m 的最小值为3.12.【天津六校2017届高三上学期期中联考】已知各项都是正数的数列{}n a 的前项和为n S ,212n n n S a a =+,n N *∈（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 设数列{}n b 满足：11b =,12(2)n n n b b a n --=≥,数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和n T ,求证：2n T <；（3） 若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立,求λ的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12n a n =（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）29λ≥ 【解析】（1）时,是以为首项,为公差的等差数列（2）,,即2n T <（3）由得, 当且仅当时,有最大值,13.【中原名校豫南九校2017届第四次质量考评】设等差数列{}n a 的前项和为n S ,且55625S a a =+=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式()()282714nn n S n k a ++>-+对所有的正整数都成立,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）34n a n =-（Ⅱ）2974k -<<14.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前五项和520S =,且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n T 为数列11{}n n a a +的前项和,且存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,求实数λ的取值范围.【答案】（1）1n a n =+；（2）1(,]16-∞. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ,则1211154520,2(2)(6),a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩即12124,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩ 又因为0d ≠,所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+. （2）因为11111(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++, 所以11111111233412222(2)n n T n n n n =-+-++-=-=++++. 因为存在*n N ∈,使得10n n T a λ+-≥成立,所以存在*n N ∈,使得(2)02(2)nn n λ-+≥+成立,即存在*n N ∈,使22(2)nn λ≤+成立.又2142(2)2(4)n n n n =+++,114162(4)n n≤++（当且仅当2n =时取等号）, 所以116λ≤.即实数λ的取值范围是1(,]16-∞.15.已知等差数列{}n a 满足：12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前项和,是否存在正整数n,使得n S 60800n >+？若存在,求的最小值； 若不存在,说明理由.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为,依题意, ,2d +,24d +成等比数列,故有2(2)2(24)d d +=+,化简得240d d -=,解得0d =或d =. 当0d =时,2n a =；当d =时,2(1)442n a n n =+-⋅=-,从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.16.已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q, 因为S 3＋a 3,S 5＋a 5,S 4＋a 4成等差数列, 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5, 即4a 5＝a 3,于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32,所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×1)21(--n ＝(－1)n －1·32n .(Ⅱ)由(Ⅰ)得S n ＝1－n)21(-＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1<S n ≤S 1＝32,故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34＝S 2≤S n <1,故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上,对于n ∈N *,总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为－712.17.【2016届上海市七校高三上12月联考】公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n ﹣10,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 【答案】（1）a n =2n ﹣1；（2）﹣25．【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 2、a 5成等比数列,且该数列的前10项和为100,∴,∴解得a 1=1,d=2,∴a n =1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1． （2）∵b n =a n ﹣10=2n ﹣11, ∴=2﹣11=﹣9,b n ﹣b n ﹣1=（2n ﹣11）﹣2（n ﹣1）﹣11]=2,∴数列{b n }是首项为﹣9,公差为2的等差数列, T n ==n 2﹣10n=（n ﹣5）2﹣25．∴当n=5时,数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为﹣25． 18.已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ,136a ,且()12,18,1,2,236,18n n n n n a a a n a a +⎧==⎨->⎩,记集合{}*n M a n =∈N .（1）若16a =,写出集合M 的所有元素；（2）若集合M 存在一个元素时3的倍数,证明：M 的所有元素都是3的倍数； （3）求集合M 的元素个数的最大值. 解析：（1）6,12,24.（2）因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设k a 是3的倍数. 由12,18236,18n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩,可归纳证明对任意nk ,n a 是3的倍数.如果1k =,则M 的所有元素都是3的倍数；如果1k >,因为12k k a a -=或1236k k a a -=-,所以12k a -是3的倍数,或1236k a --是3的倍数,于是1k a -是3的倍数.类似可得,2k a -,…,1a 都是3的倍数.从而对任意1n ,n a 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. （3）由136a ,*1a ∈N ,11112,18236,18n n n n n a a a a a ----⎧=⎨->⎩,可归纳证明()362,3,na n =.因为1a 是正整数,112112,18236,18a a a a a ⎧=⎨->⎩,所以2a 是2的倍数.从而当3n时,n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数,由（2）知对所有正整数n ,n a 是3的倍数,因此当3n时,{}12,24,36n a ∈,这时,M 中的元素的个数不超过5.如果1a 不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数n ,n a 不是3的倍数,因此当3n时,{}4,8,16,20,28,32n a ∈,这时M 的元素的个数不超过8.当11a =时,{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8. 19.设数列{}n a （1,2,3,n =）的前项和n S 满足12n n S a a =-,且1a ,21a +,3a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T ,求使得111000nT -<成立的的最小值.（2）由（1）可得112n n a =,所以211122111111222212nn n nT ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+++==--.由111000n T -<,得111121000n --<,即21000n>.因为9102512100010242=<<=,所以10n .所以使111000nT-<成立的的最小值为10.。
等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。
