等差数列中的最值问题

等差数列求最值问题
设有等差数列${a_1}, {a_2}, {a_3}, \cdots , {a_n}$，其中$a_1$ 与
$a_n$ 为首项与项数，$d$为公差。

这个数列的最值可以通过计算该数
列公式来获得。

首先，由首项$a_1$和公差$d$可以求出末项$a_n$。

即有$a_n=a_1+(n-1)d$。

其次，由公式$Sn=n\frac{a_1+a_n}{2}$可以求出该等差数列的和$S_n$。

之后，我们可以求出该等差数列的最大值和最小值。

如果等差数列是单调递增数列，那么最大值为$a_n$，最小值为$a_1$；而如果等差数列是单调递减数列，那么最大值为$a_1$，最小值为
$a_n$。

另外，我们还可以用等差比的方法来求出该等差数列的最值。

即
$\frac{a_2}{a_1}={\frac{a_3}{a_2}}=\cdots ={\frac{a_n}{a_{n-1}}}$，
根据此定义我们可以得出$a_n=a_1\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{n-1}$。

如果等差数列是单调递增数列，那么最大值为$a_n$，最小值为$a_1$；而如果等差数列是单调递减数列，那么最大值为$a_1$，最小值为
$a_n$。

以上就是等差数列求最值的计算方法，可以根据上述不同的方法求取数列最下和最大值，为解决类似问题提供了实用性和便利性。

学考方略数列最值问题的综合性较强，常与不等式、函数、方程、数列等相结合.此类问题的难度较大，侧重于考查同学们的推理和综合分析能力.本文以一道题为例，谈一谈解答数列最值问题的方法.题目：在等差数列{}a n 中，a 1<0，S 9=S 12，则数列{}a n 的前几项和最小？该题看似简单，其实较为复杂.要求得数列和的最小值，我们需根据等差数列的性质、公式和已知关系式，推理出数列各项之间的规律，明确公差d 的取值范围，以便确定数列中的哪些项为负值、0、正值，那么所有负数项的和必然最小，再根据等差数列的前n 项和公式就能求得数列的和的最小值.有如下三种求解的方法.一、利用数列的单调性求解我们知道数列具有单调性，一般地，若a n >a n +1，则{}a n 是递减数列；若a n <a n +1，则{}a n 是递增数列.对于等差数列而言，若公差大于零则数列是递增数列，公差小于零则数列是等差数列.在解答等差数列问题时，我们可以根据数列的通项公式或者公差来判断数列的单调性，然后根据数列的单调性来求数列和的最值.对于本题，我们可以根据已知关系式和等差数列前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d 来确定公差d 的取值范围，从而判断出数列的单调性，再根据数列的单调性来求数列和的最小值.解：因为S 9=S 12，所以9a 1+9×82d =12a 1+12×112d ,即d =-110a1.由a 1<0知d >0，则数列{}a n 是递增数列，则ìíîïï1-110()n -1≥0，1-110n ≤0，解得10≤n ≤11，所以当n =10或n =11时，S n 的值最小，即数列{}a n 的前10或11项和最小.二、巧用等差中项的性质求解若a 、b 、c 成等差数列，则b 为a 、c 的等差中项.a 、b 、c 成等差数列的充分必要条件是b =a +c 2.在求解等差数列最值问题时，我们可以借助等差中项的性质来建立关系式，从而明确数列中的哪些项为负数，哪些项为正数，求得数列和的最值.解：因为S 9=S 12，根据数列的前n 项求和公式S n =(a 1+a n )2可得9(a 1+a 9)2=12(a 1+a 12)2，化简得a 10+a 11+a 12=3a 11=0，解得a 11=0，所以数列{}a n 前10或11项和最小.此解法主要运用了等差中项的性质，从而求得a 11=0，求得数列和的最小值.该解题思路巧妙，解题过程简捷.运用该方法解题，同学们需灵活运用等差中项的性质.三、借助函数思想求解数列是一种特殊的函数，不过其自变量为自然数.在解答数列最值问题时，我们可巧妙利用函数思想来解题，将等差数列的前n 项和看作关于n 的二次函数式，将等比数列的前n 项和看作关于n 的指数函数式，借助二次函数、指数函数的图象和性质来解题.对于本题，我们可以将等差数列的前n 项和看作关于n 的二次函数式，借助二次函数的单调性来求数列的最值.解：因为S 9=S 12，所以9a 1+9×82d =12a 1+12×112d ，即d =-110a1，因为S n =na 1+n ()n -12d =d 2n 2+æèöøa 1-d 2n ，所以S n =æèöø-120a 1∙n 2+æèöø2110a 1∙n =-a 120æèöøn -2122+44180a1，由二次函数的性质知，函数图象的开口向下，对称轴为n =212=10.5，所以当n =10或n =11时，S n 的值最小，即数列{}a n 的前10或11项和最小.借助函数思想，可将数列问题转化为函数问题，使问题快速得解.虽然数列最值问题较为复杂，但是同学们只要熟练运用数列的通项公式、前n 项和公式，并掌握一些求解数列最值问题的方法，如利用数列的单调性、数列中项的性质以及函数思想，就能顺利破解难题.（作者单位：山东省青岛市即墨区第二中学）50Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。

2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。

等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。

与等差数列前n 项和S n 有关的最值问题教学讲义 例5 (文)(2018·福州模拟)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，n ＝10或11，S n 的最大值为55.[分析] 求出数列的公差，再根据通项公式或前n 项和公式求解．[解析] 解法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12，所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×112d ， 所以d ＝－1.所以a n ＝－n ＋11.所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n >0，当n ≥12时，a n <0，所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×92×(－1)＝55.解法二：同解法一求得d ＝－1.所以S n ＝10n ＋n (n －1)2·(－1)＝－12n 2＋212n ＝－12(n －212)2＋4418. 因为n ∈N *，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 解法三：同解法一求得d ＝－1.又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0.所以3a 11＝0，即a 11＝0.∴a 1>a 2>…>a 10>a 11＝0，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值．且最大值为S 10＝S 11＝55.例5 (理)(1)(2018·吉林市调研)设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9(2)(2018·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且其前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( B )A ．11B ．19C ．20D ．21[分析] (1)由S 5＝S 9可求得a 1与d 的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用S n 是关于n 的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用S n >0⇔a 1＋a n >0求解．[解析] (1)解法一：由S 5＝S 9得a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0即a 7＋a 8＝0，∴2a 1＋13d ＝0，又a 1>0，∴d <0.∴a 7>0，a 8<0，∴a 1>a 2>…>a 7>0>a 8>a 9>…，∴S n 最大时，n ＝7，故选B ．解法二：S n 是关于n 的二次函数，S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，且d <0，(n ，S n )所在抛物线开口向下 ，又S 5＝S 9，∴抛物线对称轴为n ＝7.即n ＝7时，S n 最大，故选B ．解法三：由解法1知d ＝－213a 1， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－12d )n ＝－a 113n 2＋1413a 1n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， ∵a 1>0，∴－a 113<0，∴当n ＝7时，S n 最大． 解法四：由解法一可知，d ＝－213a 1. ∵a 1>0，∴d <0.令⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎨⎧ a 1＋(n －1)(－213a 1)≥0，a 1＋n (－213a 1)≤0，解得132≤n ≤152. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝7时，S n 最大．(2)∵S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 有最大值，∴d <0，又a 11a 10<－1，∴a 10>0，a 11<0，∴a 10＋a 11<0，即a 1＋a 20<0，∴S 20＝10(a 1＋a 20)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，∴使S n >0的n 的最大值为19.故选B ．[引申]①本例(1)中若将“S 5＝S 9”改为“S 5＝S 10”，则当S n 取最大值时n ＝7或8； ②本例(1)中，使S n <0的n 的最小值为15；③本例(2)中，使S n 取最大值时n ＝10.[解析] ①若S 5＝S 10，则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 的对称轴为n ＝7.5，但n ∈N *，故使S n 最大的n 的值为7或8.②由a 7＋a 8＝a 1＋a 14＝0知S 14＝0，又a 8<0，∴2a 8＝a 1＋a 15<0，即S 15<0，∴使S n <0的n 的最小值为15.名师点拨 ☞求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法：〔变式训练3〕(2018·长春市模拟)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( C )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] ∵|a 6|＝|a 11|且公差d >0，∴a 6＝－a 11∴a 6＋a 11＝a 8＋a 9＝0，且a 8<0，a 9>0∴a 1<a 2<…<a 8<0<a 9<a 10<…∴使S n 取最小值的n 的值为8.故选C ．。

因为扇形的半径为１,所以|O Pң|＝１．又O PʅO B,故O Pң O Bң＝０．因为øA O B＝２π３,所以øA O P＝π６,于是P Mң P Nң＝(P Oң＋O Mң) (P Oң＋O Nң)＝P Oң２＋P Oң O Nң＋O Mң P Oң＋O Mң O Nң＝１＋０＋|O M|c o s５π６＋|O M| |O N|c o s２π３ɤ１＋０ˑ(－３２)＋０ˑ(－１２)＝１．综上,P Mң P Nң的最大值为１．如果两个向量的夹角是钝角,那么它们的数量积是负值,所以本例中要使P Mң P Nң值最大,只需M,N两点与O重合．２ ３㊀数量积定值问题例５㊀已知线段A B是半径为r(r＞０)的圆O的一条弦,且A B＝２,试问A Oң A Bң是定值(与r的大小无关)吗?请探究．先将问题特殊化:容易求得,当弦A B为直径时,有A Oң A Bң＝２;当әA O B为正三角形时,也有A Oң A Bң＝２,于是可以大胆猜想A Oң A Bң为定值２,那么这个论断正确吗?下面加以严格证明．如图５所示,过点O作O HʅA B于点H,则A Oң A Bң＝|A Oң||A Bң|c o søO A B＝(|O Aң| c o søO A B) |A Bң|＝|AHң||A Bң|＝１２|A Bң|２＝２．图５对于动中有定问题,通常可以从特殊值或运动的特殊位置入手,先找到 疑似定值 ,然后讨论一般情形并证明．解答本题还需注意向量的投影在圆中的运用,即A Oң A Bң的大小仅取决于弦A B的长短．从以上五个例题可以看出,无论是静态还是动态问题,平面向量数量积问题都离不开数量积定义式的应用,同时要注意图形特征,善于将欲求向量转化为已知向量．这类问题虽然背景比较新颖,但除去背景的 外包装 ,其实就是极为普通的平面向量数量积运算问题．(作者单位:甘肃省张掖市实验中学)Җ㊀山东㊀袁海艳㊀㊀在等差数列中,经常会碰到有关最值的问题,主要是等差数列前n项和的最值问题．通过题目中给出的相关信息,结合数列的相关性质,确定前n项和中的最值问题,是函数性质的一种特殊表现．１㊀邻项变号法(不等式法)等差数列中求前n项和S n的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第１项起到该项的各项的和为最大(小)．例１㊀若等差数列{a n}满足a７＋a８＋a９＞０,a７＋a１０＜０,则当n＝时,{a n}的前n项和最大．根据等差数列的性质有a７＋a８＋a９＝３a８＞０,可得a８＞０．又a７＋a１０＝a８＋a９＜０,则a９＜０,所以当n＝８时,等差数列{a n}的前n项和最大．本题根据等差数列的相关性质,利用邻项变号法,结合题意的相关知识和对应的要求加以分析求解等差数列的前n项和的最值．２㊀配方法把等差数列前n项和S n表示成关于n的二次函数,利用配方法,运用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值问题,要注意项数n的取值为正整数．例２㊀数列{a n}的前n项和S n＝３３n－n２,问n为何值时,S n有最大值?由于S n＝３３n－n２＝－(n－３３２)２＋１０８９４,所以当n＝１６或n＝１７时,S n有最大值２７２．本题直接进行配方,利用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值,要注意项数n的取值为正整数．３㊀图象法根据等差数列的性质,往往把等差数列前n项和６１S n 表示成关于n 的二次函数,利用二次函数所对应的图象与性质确定相应的最值．例３㊀设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a １＞０,S １２＞０,S １３＜０,指出S １,S ２, ,S １２中哪一个值最大,并说明理由．如图１所示,因为{a n }是等差数列,所以S n ＝d ２n ２＋(a １－d２)n ,因为S １２＞０,S １３＜０,所以a １３＝S １３－S １２＜０,因为a １＞０,a １３＜０,所以d ＜０,所以点(n ,S n )分布在开口方向向下的抛物线y ＝d ２x２＋(a １－d２)x 的图象上．设二次函数y ＝d ２x ２＋(a １－d２)x 的对称轴为x ＝n ０,则２n ０是二次函数的一个零点,因为S １２＞０,S １３＜０,所以１２＜２n ０＜１３,所以６＜n ０＜６ ５．易知n ＝６对应的点A (６,S ６)到对称轴的距离比n ＝７对应的点B (７,S ７)到对称轴的距离更小,所以点A 为最高点,S ６最大．图１本题通过把求和公式转化为相应的二次函数的解析式,利用二次函数的图象与性质来确定S n 的最值．４㊀数列性质法等差数列的单调性㊁首末两项等距的相加性等性质在解决等差数列的最值问题中经常采用,体现了函数思维㊁整体代换思维的应用．数列性质法能简化运算,优化解题过程．例４㊀在等差数列{a n }中,已知a １＝２０,前n 项和为S n ,且S １０＝S １５,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值．由于a １＝２０,S １０＝S １５,则１０ˑ２０＋１０ˑ９２d ＝１５ˑ２０＋１５ˑ１４２d ,解得d ＝－５３,由S １０＝S １５,可得a １１＋a １２＋a １３＋a １４＋a １５＝０,结合等差数列的性质可得５a １３＝０,即a １３＝０．综上,当n ＝１２或１３时,S n 有最大值,且最大值为S １２＝S １３＝１２ˑ２０＋１２ˑ１１２ˑ(－５３)＝１３０．求解此类问题方法众多,可以采用邻项变号法㊁配方法等,而结合题目条件,利用等差数列的性质法来处理显得更为简单巧妙．利用数列性质法来求解最值问题时,要注意题目中的条件与数列性质的转化．５㊀转化法在解决一些特别数列的最值问题时,往往通过转化,把问题转化为有关等差数列的单调性㊁相关项的正负或大小关系问题,进而根据求和问题加以判断与应用．例５㊀若数列{a n }是等差数列,数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋１ a n ＋２(n ɪN ∗),{b n }的前n 项和为S n ,若{a n }中满足３a ５＝８a １２＞０,试问n 为何值时,S n 取得最大值?证明你的结论．由于３a ５＝８a １２＞０,则３a ５＝８(a ５＋７d )＞０,解得a ５＝－５６５d ＞０,即d ＜０,而a ５＝－５６５d ＝a １＋４d ＞０,所以a １＝－７６５d ＞０,即数列{a n }是首项为正数的递减数列．由a n ȡ０,a n ＋１ɤ０,{得－７６５d ＋(n －１)d ȡ０,－７６５d ＋n d ɤ０,ìîíïïïï解得１５１５ɤn ɤ１６１５,故n ＝１６,即a １６＞０,a １７＜０,此时a １＞a ２＞ ＞a １６＞０＞a １７＞a １８＞ ,根据b n ＝a n a n ＋１ a n ＋２(n ɪN ∗),可得b １＞b ２＞ ＞b １４＞０＞b １７＞b １８＞ ,而b １５＝a １５ a １６ a １７＜０,b １６＝a １６ a １７a １８＞０,所以S １４＞S １３＞ ＞S １,S １４＞S １５＜S １６,又a １５＝a １＋１４d ＝－６５d ＞０,a １８＝a １＋１７d ＝９５d ＜０,所以a １５＜|a １８|,即|b １５|＜b １６,也即b １５＋b １６＞０,所以S １６＞S １４,即n ＝１６时,S n 取得最大值．转化与化归思想在解决数列的最值问题中经常碰到,往往是通过数列的项㊁求和公式㊁数列性质等的转化,把比较繁杂的问题转化为比较常见且方便求解分析的问题．在研究等差数列的最值问题中,以上五种方法可以灵活应用,当然有时对于同一个题目,五种方法都适用,关键是根据题目条件选择最适当的方法加以分析．通过不同方法的比较与渗透,能提高学生的知识应用能力与问题解决能力．(作者单位:山东省青岛市城阳第一高级中学)７１。

等差数列定义：一个数列从第二项起，后一项与前一项的差等于一个常数。

a n−a n−1=d 等差中项：由三个数a A b组成的等差数列，A=a+b，A叫做ab的等差中项通项公式： a n=a1+(n−1)以n为自变量的一次函数前n项和：S n=n(a1+a n)2S n=na1+n(n−1)d2是以n为自变量的二次函数两者关系：a n=S n−S n−1类型一：等差数列基本量的计算在等差数列的五个基本量a1、d、n、a n、S n中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用。

关键:1.判读题目考的是求基本量：一般问a n、S n（n可为1、2、7、n等）2.列出通项公式、求和公式，把已知量代进去3.把列出的方程组解出来，再向所求靠近1.已知等差数列{}na中，a2=2,a3=4,则a10=.182.在等差数列中,,则.133.已知等差数列的前n项之和记为S n，S10=210 ，S30=820，则S15等于。

4654.等差数列{}na的前n项和为nS，公差d= - 2，若S10=S11，则a1=205.等差数列的前n项和为，且=6，=4，则公差d等于（）C A．1 B C.- 2 D 36、等差数列{}na中，若232nS n n=+，则公差d=. 6类型二：等差数列的性质1.=na dmnam)(-+}{na6,7253+==aaa____________6=a{}na{}na nS3S1a532. （最重要！！！！！） 在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+；若2m=p+q ，则2a m =a p +a q ，3. 若{n a }是等差数列，公差为d.则),(,,,2*++∈N m k a a a m k m k k 组成公差为md 的等差数列。

第二课时 等差数列前n 项和的最值及应用课标要求素养要求能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.通过利用等差数列的前n 项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究公元前二千多年的巴比伦人就提出了等差数列问题，“十兄弟分银子”就是其中之一.有100两银子要分给10个兄弟，按年龄的不同分给不同的数量，老大要比老二多，老二要比老三多，依次类推，都相差一级，每一级相差数都一样，但不知是多少，只知道老八分到的银子是6两.问题 每一级的差额是多少？提示 设十兄弟所分得的银子从多到少依次为a 1，a 2，…，a 10，易知其为等差数列，且a 8＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧S10＝10a1＋12×9×10d ＝100，a8＝a1＋7d ＝6，解得a 1＝865，d ＝－85.故每一级的差额是85两.1.前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n . 2.等差数列前n 项和的最值d 的符号决定S n 有最大值还是最小值 (1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧an≥0，an ＋1≤0确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧an≤0，an ＋1≥0确定.(2)因为S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值，且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值.拓展深化[微判断]1.若等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，则其最大值或最小值一定在n ＝－B2A 取得.(×)提示 只有当－B2A 是正整数时才成立.2.若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }的前n 项和一定有最小值.(√)3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S p ＝S q (p ，q ∈N *)，则S n 在n ＝12(p ＋q )处取得最大值或最小值.(×)提示 当12(p ＋q )是正整数，即p ＋q 是偶数时结论才成立. [微训练]1.等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n ，则其最小值为________.解析 由S n ＝n 2－3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －322－94，可知当n ＝1或2时，S n 的最小值为－2.答案 －22.设a n ＝14－3n ，则数列{a n }的前n 项和S n 有最________(填“大”或“小”)值为________.解析 由于a 1＝11>0，d ＝－3<0，所以S n 有最大值.由⎩⎨⎧an ＝14－3n≥0，an ＋1＝14－3（n ＋1）≤0，得n ＝4，则其最大值为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝11＋8＋5＋2＝26.答案大26[微思考]1.在等差数列{a n}中，若a1＞0，d＞0或a1＜0，d＜0时，S n能否取得最值？提示当a1＞0，d＞0时，S n的最小值为a1，无最大值；当a1＜0，d＜0时，S n的最大值为a1，无最小值.2.若数列{a n}的通项公式为a n＝2n－37，则当n为何值时S n取得最小值？提示∵a n＝2n－37，a n＋1－a n＝2＞0，∴{a n}为递增数列.由a n＝2n－37≥0，得n≥18.5.∴a18＜0，a19＞0，∴S18最小，即当n＝18时，S n取得最小值.题型一等差数列前n项和最值问题的判断【例1】(多选题)在等差数列{a n}中，首项a1>0，公差d≠0，前n项和为S n(n∈N*)，则下列命题正确的是( )A.若S3＝S11，则必有S14＝0B.若S3＝S11，则S7是{S n}中的最大项C.若S7>S8，则必有S8>S9D.若S7>S8，则必有S6>S9解析根据等差数列的性质，若S3＝S11，则S11－S3＝4(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝14（a1＋a14）2＝7(a7＋a8)＝0；根据S n的图象，当S3＝S11时，对称轴是3＋112＝7，且d<0，那么S7是最大值；若S7>S8，则a8<0，且d<0，所以a9<0，所以S9－S8<0，即S8>S9；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，即S6>S9，所以ABCD都正确.答案ABCD规律方法一般地，在等差数列{a n}中，若a1>0，且S p＝S q(p≠q)，则①若p＋q为偶数，则当n＝p＋q2时，S n最大；②若p＋q为奇数，则当n＝p＋q－12或n＝p＋q＋12时，S n最大.【训练1】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15>0，S 16<0，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn an 的前15项中最大的项是( ) A.第1项 B.第8项 C.第9项 D.第15项解析 S 15＝15（a1＋a15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a1＋a16）2＝8(a 8＋a 9)<0，故a 8>0，a 9<0，公差d <0，所以数列{a n }是递减数列，所以a 1，…，a 8均为正，a 9，…，a n 均为负，且S 1，…，S 15均为正，S 16，…，S n 均为负，则S1a1>0，S2a2>0，…，S8a8>0，S9a9<0，S10a10<0，…，S15a15<0. 又S 8>S 7>…>S 1>0，a 1>a 2>…>a 8>0，所以S8a8>S7a7>…>S1a1>0，所以最大的项是S8a8，即第8项. 答案 B题型二 等差数列前n 项和最值的计算 【例2】设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2＋a 5＝1，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前n 项和. (1)求S n ；(2)求T n 及T n 的最小值. 解 (1)设数列{a n }的公差为d .依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＋a1＋4d ＝1，15a1＋15×142d ＝75，解得⎩⎨⎧a1＝－2，d ＝1， ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n （n －1）2＝n2－5n2.(2)法一 由(1)知S n ＝n2－5n 2，∴Sn n ＝n －52.设b n ＝Sn n ＝n －52，则b n ＋1－b n ＝（n ＋1）－52－n －52＝12，∴数列{b n }是公差为12的等差数列，首项b 1＝S11＝a 1＝－2. 又T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前n 项和，∴T n ＝－2n ＋n （n －1）2×12＝n2－9n 4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－8116. ∴当n ＝4或n ＝5时，(T n )min ＝－5.法二 易知b n ＝n －52，由⎩⎨⎧bn≤0，bn ＋1≥0，解得4≤n ≤5.故T n 的最小值为T 4＝T 5＝－5.规律方法 求等差数列前n 项和的最值的方法有：(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解；(2)通项公式法，求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 即可.【训练2】 已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？ 解 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0， 得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n . (2)法一 ∵a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值.法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列. 令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ＝5时，S n 取得最大值.题型三 等差数列求和的实际应用 【例3】7月份，有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服装都比前一天多3件，当日销售量达到最大(只有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2件，且7月31日当天刚好售出3件.(1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出几件？(2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行几天？解 (1)设7月n 日售出的服装件数为a n (n ∈N *，1≤n ≤31)，最多售出a k 件.由题意知⎩⎨⎧ak ＝3＋3（k －1），ak －2（31－k ）＝3，解得⎩⎨⎧k ＝13，ak ＝39，∴7月13日该款服装销售最多，最多售出39件. (2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，∵a n ＝⎩⎨⎧3n ，1≤n≤13，65－2n ，14≤n≤31，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（3＋3n ）n 2，1≤n≤13，273＋（51－n ）（n －13），14≤n≤31. ∵S 13＝273>200，∴当1≤n ≤13时，由S n >200，得12≤n ≤13，当14≤n ≤31时，日销售量连续下降，由a n <20，得23≤n ≤31，∴该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).规律方法 应用等差数列解决实际问题的一般思路：【训练3】某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； (2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？解 (1)由题意，知该地区9月份前10天每天新感染者人数构成一个首项a 1＝40，公差d ＝40的等差数列{a n }，所以9月10日的新感染者人数为a 10＝40＋(10－1)×40＝400.从9月11日起，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10，所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390.(2)9月份前10天流感病毒的新感染者人数的和为 S 10＝10×（40＋400）2＝2 200，9月份后20天每天新感染者人数构成一个首项b 1＝390，公差d 1＝－10的等差数列{b n }，又b 20＝390－10×19＝200，所以后20天流感病毒的新感染者人数的和为 T 20＝20×（390＋200）2＝5 900，所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有 2 200＋5 900＝8 100(人).一、素养落地1.通过学习等差数列前n 项和最值的求法，提升数学运算素养，通过学习利用等差数列前n 项和解决实际问题，提升数学建模素养.2.求等差数列前n 项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观. (2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧a n≥0，an ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧an≤0，an ＋1≥0时，S n 取得最小值.3.解决与等差数列有关的实际应用题时，要抓住其反映等差数列的特征，仔细审题，用心联想.要明确该问题是求a n 还是求S n ？要特别注意弄清项数是多少. 二、素养训练1.设a n ＝2n －9，则当数列{a n }的前n 项和取得最小值时，n 的值为( ) A.4 B.5 C.4或5D.5或6解析 由⎩⎨⎧an≤0，an ＋1≥0，解得72≤n ≤92，故n ＝4.答案 A2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 7＝S 12，则( ) A.S 9最大B.S 10最大C.S 9与S 10相等且最大D.以上都不对解析 由于不能明确公差的符号，所以S 9与S 10相等可能是最大值也可能是最小值. 答案 D3.若在数列{a n }中，a n ＝43－3n ，则当S n 取最大值时，n ＝( ) A.13 B.14 C.15D.14或15解析 ∵数列{a n }中，a n ＝43－3n ，∴a 1＝40，∴S n ＝n （40＋43－3n ）2是关于n 的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n ＝836，又n 为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.故选B. 答案 B4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( ) A.35 B.32 C.23D.38解析 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d ＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9a 1－108＝207，解得a 1＝35. 答案 A5.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？解 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( ) A.11或12 B.12 C.13D.12或13解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2， ∴数列{a n }为等差数列. 又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大. 答案 D2.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为( )A.6B.7C.8D.9解析 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ak≥0，ak ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k≥0，22－3（k ＋1）≤0，即193≤k ≤223.因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7. 答案 B3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？( ) A.4日 B.3日 C.5日D.6日解析 由题意，可知良马第n 日行程记为a n ，则数列{a n }是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n 日行程记为b n ，则数列{b n }是首项为92，公差为－1的等差数列，则a n ＝97＋15(n －1)＝15n ＋82，b n ＝92－(n －1)＝93－n . 因为数列{a n }的前n 项和为n （97＋15n ＋82）2＝n （179＋15n ）2，数列{b n }的前n 项和为n （92＋93－n ）2＝n （185－n ）2，∴n （179＋15n ）2＋n （185－n ）2＝840，整理得14n 2＋364n －1 680＝0，即n 2＋26n －120＝0，解得n ＝4(n ＝－30舍去)，即4日相逢. 答案 A4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.若S 12>0，S 13<0，则数列{|a n |}的最小项是( ) A.第6项 B.第7项 C.第12项D.第13项解析 由题意S 12>0，S 13<0及S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)，S 13＝13a 7，得a 6＋a 7>0，a 7<0，所以a 6>0，a 6>|a 7|，且公差d <0，所以|a 7|最小.答案 B5.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( )A.②③B.①②C.①③D.①④解析 ∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，①正确.又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确.S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确.{S n }中最大项为S 6，④不正确.故正确的是①②.答案 B二、填空题6.已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________.解析 由|a 5|＝|a 9|且d ＞0得a 5＜0，a 9＞0，且a 5＋a 9＝0，∴2a 1＋12d ＝0，∴a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小.答案 6或77.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，数列{a n }的前n 项和最大.解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0.故前8项的和最大.答案 88.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________. 解析 ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10（a3＋a8）2＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a3>0，a8>0，a3＋a8＝40×210＝8，∴a 3·a 8＝a 3(8－a 3)＝－a 23＋8a 3＝－(a 3－4)2＋16≤16.当且仅当a 3＝4时取等号.答案 16三、解答题9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由.解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d .∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧12a1＋66d ＞0，13a1＋78d ＜0，即⎩⎨⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.即d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. (2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧a1＋a12＞0，a1＋a13＜0，∴⎩⎨⎧a6＋a7＞0，a7＜0，∴a 6＞0，又由(1)知d ＜0.∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.10.某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？解 因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1 000万元，依据题意，知其后应分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{a n }，且a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，…，a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－0.5(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)，所以数列{a n }是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以a 10＝60－9×0.5＝55.5，S 20＝20[60＋（60－19×0.5）]2＝1 105. 所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1 105＋150＝1 255(万元). 故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元.能力提升11.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)问：此民谣提出的问题的答案是( )A.61.395尺B.61.905尺C.72.705尺D.73.995尺解析 设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∵每节竹节间的长相差0.03尺，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d ′＝0.03为公差的等差数列.由题意知竹节上一圈比下一圈细0.013尺，设从地面往上，每圈周长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，可得{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列.∴一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程S 30＝(a 1＋a 2＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋…＋b 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×（－0.013）＝61.395，故选A. 答案 A12.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50m ，最远一根电线杆距离电站1550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解 由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }， 则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300，S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋（n －1）×300＝3 100， ①na1＋n （n －1）2×300＝17 500. ② 由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)，所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m).所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.创新猜想13.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列四个命题，其中正确的命题有( )A.若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B.若S 4＝S 12，则使S n >0的n 的最大值为15C.若S 15>0，S 16<0，则{S n }中S 8最大D.若S 7<S 8，则S 8<S 9解析 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝（a1＋a10）·102＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1>0，则a 8>0，a 9<0，则有S 15＝15（a1＋a15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a1＋a16）2＝16（a8＋a9）2＝0，故使S n >0的n 的最大值为15，B 正确； 对于C ，若S 15>0，S 16<0，则S 15＝15（a1＋a15）2＝15a 8>0， S 16＝16（a1＋a16）2＝8(a 8＋a 9)<0， 则有a 8>0，a 9<0，故{S n }中S 8最大，故C 正确； 对于D ，若S 7<S 8，即a 8＝S 8－S 7>0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误. 答案 BC14.(多空题)已知{a n }是等差数列，首项为a 1，其公差d <0，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 的前n 项和为T n .(1)若a 1＝－4d ，则当n ＝________时，T n 有最大值；(2)若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a1d 的取值范围是________.解析 易知Sn n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a1－d 2，若a 1＝－4d ，则Sn n ＝d 2n －92d ，由⎩⎪⎨⎪⎧Sn n ≥0，Sn ＋1n ＋1≤0，解得8≤n ≤9. 即n ＝8或9时，T n 有最大值；若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧S66＝a1＋52d>0，S77＝a1＋3d<0，d<0， 解得－3<a1d <－52.答案 8或9 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－52。

专题5 等差数列的单调性和前n 项和的最值问题微点1 等差数列的单调性专题5 等差数列的单调性和前n 项和的最值问题微点1 等差数列的单调性【微点综述】当0d >时，数列{}n a 是递增数列；当0d <时，数列{}n a 是递减数列；当0d =时，{}n a 是常数列．【典例刨析】例1．1．已知点()1,5，()2,3是等差数列{}n a 图象上的两点，则数列{}n a 为（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．无法确定例2．（2023浙江绍兴一模）2．已知等差数列{}n a 单调递增且满足186a a +=，则6a 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．()3,6C ．()3+∞，D ．()6,+∞例3．3．在数列{}n a 中，2n a n kn =+，对任意的正整数n ，都有1n n a a +>恒成立，求实数k 的取值范围.【点睛】本题考查数列的增减性，考查数列的函数特性，考查数学转换思想例4．（2022年高考北京卷第6题）4．设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例5．（2023·北京海淀·校考三模）5．已知等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 满足()*1n n a b n ⋅=∈N ，则“0d >”是“{}n b 为递减数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例6．（2022春·北京房山·高二统考期末）6．已知无穷等差数列{}n a 为递增数列，n S 为数列前n 项和，则以下结论正确的是（ ）A ．1n nS S +>B ．数列{}n S 有最大项C ．数列{}n na 为递增数列D ．存在正整数0N ，当0N n >时，0n a >例7．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）7．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，公差()2023202220230,0d a a a <+<，则使数列{}n a 的前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4043B ．4044C ．4045D ．4046例8．（2022·上海华师大二附中月考）8．以下有四个命题：①一个等差数列{}n a 中，若存在()*10k k a a k N +>>∈，则对于任意自然数n k >，都有0n a >；②一个等比数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；③一个等差数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；④一个等比数列{}n a 中，若存在自然数k ，使10k k a a +⋅<则对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<．其中正确命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【反思】本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据相邻两项之间的关系确定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符号特征．例9．（2022·福建福安市第一中学高二月考）9．已知等差数列{}n a 中，390a a +=，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7例10．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）10．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若100，><a d ，则不正确的（ ）A ．数列{}n a 单调递减B ．数列{}n a 没有最小值参考答案：14．(1){}n a 、{}n c (2)证明见解析(3)1n a n =-或()11n a n d=+-【分析】（1）根据“H 数列”的定义可得出结论；（2）验证0d =成立，利用①②推导出Z d ∈，假设0d <，可得出等差数列{}n a 是递减数列，结合①得出101a ≤≤，结合1a ∈Z 可得出10a =或1，1d ≤-，再结合不等式的基本性质以及数列{}n a 的单调性推出矛盾，从而说明0d <不成立，即可证得结论成立；（3）由（2）知，1d ≥，可得知数列{}n a 是递增数列，推导出10a <不成立，可得出1a ∈N ，分10a =、10a ≠两种情况讨论，验证1n a n =-、()11n a a n d +-=满足①②，即可得出结果.【详解】（1）解：由“H 数列”的定义可知，数列{}n a 、{}n c 为“H 数列”.（2）证明：若0d =，则由①可知211a a =，所以10a =∈Z 或11a =∈Z ，且公差0d =∈N ，以下设0d ≠.由①，k ∃、l N *∈，12k a a a =，13l a a a =，两式作差得()()1321l k l k d a a a a a a d -=-=-=，因为0d ≠，所以1a l k =-∈Z .由①，m ∃、N n *∈，23m a a a =，24n a a a =，两式作差得()()2432n m n m d a a a a a a d -=-=-=，因为0d ≠，所以2a n m =-∈Z ，因此，21d a a =-∈Z .若0d <，则等差数列{}n a 是递减数列，由①21a 为{}n a 中的项，因此，211a a ≤，解得101a ≤≤，由1a ∈Z 且公差d ∈Z ，所以10a =或1，1d ≤-，()4131312a a d =+≤+⨯-=-，由①，24a 为{}n a 中的项，且()224124a a ≥-=>，这与等差数列{}n a 递减矛盾，因此，0d <不成立.综上，1a ∈Z 且公差d ∈N .（3）解：因为公差*d ∈N ，所以1d ≥，即{}n a 是递增数列.若10a <，因为1a ∈Z ，所以*113,2a a --∈N ，则()()131111222a a a a d a a -=+-≥+-=，且113112aa a a a -<≤，由①113a a a -为{}n a 中的项，这与等差数列{}n a 是递增数列矛盾.因此，10a ≥，又由（2）1a ∈Z ，故1a ∈N .由1a ∈N ，*d ∈N 知，*,0n n a ∀∈N ≥且{}n a 中存在一项为正整数，取最小的正整数项k a .则由②，*,i j ∃∈N ，使得i j k a a a =且1i k a a ≥≥，1j k a a ≥≥.因此2k i j k a a a a =≥，解得1k a ≤，又*k a ∈N ，故1k a =.因为{}n a 是递增数列，（i ）若10a =，则2121k d a a a a =-===，此时1n a n =-.因为*,i j ∀∈N ，()()111i j a a i j ij i j =--=--+，令2k ij i j =--+，有*k ∈N ，且i j k a a a =，所以{}n a 满足条件①.因为*k ∀∈N ，令2i =，j k =有21i j k k k a a a a a a ==⨯=，所以{}n a 满足条件②.（ii ）若10a ≠，则11k a a ==，()11n a n d =+-.因为*,i j ∀∈N ，()()1111i j a a a i d a j d =+-⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2211211a i j da i j d =++-+--()()()1211a i j i j d d=++-+--⎡⎤⎣⎦.令()()()2111k i j i j d =+-+--+，则*k ∈N ，且i j k a a a =，所以{}n a 满足条件①.因为*k ∀∈N ，令1i =，j k =，有11i j k k k a a a a a a ==⨯=，所以{}n a 满足条件②.综上，1n a n =-或()11n a n d =+-.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义“H 数列”，在第二问的证明中，可采取反证法证明0d <不成立，结合数列的单调性可证出结论；在第三问的求解，要注意对1a 是否为零30．（1）答案见解析，答案不唯一；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题设给定的数列性质写出一个满足题设的M数列{an}即可.（2）分别从必要性、充分性两个方面证明：由已知条件结合M数列{an}为递增数列证a2017=2018；由已知条件结合a2017=2018证M数列{an}为递增数列，即可证结论.【详解】（1）满足a2=1，a7=0，且S(A7)>0的一个M数列{an}为0，1，2，1，2，1，0．（2）证必要性：∵M数列{an}为递增数列，a1=2，n=2017，又|ak+1-ak|=1(k=1,2,3,…,n-1)，∴ak+1-ak=1(k=1，2，3，…，2016)，则数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，∴a2017=2+(2017-1)=2018．证充分性：∵M数列{an}满足|ak+1-ak|=1(k=1，2，3，…，n-1)，∴a2017-a2016≤1，a2016-a2015≤1，a2015-a2014≤1，……，a2-a1≤1，以上各式累加可得：a2017-a1≤2016，即a2017≤2016+a1=2018，又a2017=2018，∴a2017=2016+a1=2018．∴以上各式应该都取等号，即ak+1-ak=1>0(k=1，2，3，…，2016)，即M数列{an}为递增数列．故M数列{an}为递增数列的充要条件为a2017=2018．答案第15页，共15页。

等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值 例2、在等差数列{n a }中,4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。

等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。

高中巧构等差数列，妙解最值问题江苏省张家港市塘桥高级中学　衡德娟 在破解数学最值问题中，当涉及“犪＋犮＝２犫”的模型时，往往会与等差数列加以有机联系，从而找到破解问题的一条捷径，进而相当于在实际最值（最大值或最小值、取值范围等）问题和等差数列之间架起了一座“桥梁”，为等差数列的相关应用开辟了新天地，使最值问题得以合理巧妙解决．一、综合二次函数加以应用根据模型“犪＋犮＝２犫”加以合理构造等差数列，引入参数———公差犱，把对应代数式转化为二次函数模型，利用二次函数的图像与性质来确定给定区域条件下的最值问题．例１　（２０１９·上海卷·７）已知狓，狔∈犚＋，且满足１狓＋２狔＝３，则狔狓的最大值为．分析：根据题目条件中的关系式１狓＋２狔＝３，合理构造等差数列１狓，３２，２狔，引入公差犱，再利用消元法处理，结合恒等变形，以及二次函数的图像与性质的应用来确定相应的最值问题．解：由已知狓，狔∈犚＋，且满足１狓＋２狔＝３，则１狓，３２，２狔成等差数列．令１狓＝３２－犱，２狔＝３２＋犱，易知犱∈－３２，３２（），那么狔狓＝１２３２－犱（）３２＋犱（）＝１２９４－犱２（）．由于犱∈－３２，３２（），则当犱＝０时，狔狓的最大值为９８，当且仅当狓＝２３，狔＝３４时等号成立．故填答案：９８．点评：合理构造等差数列，通过引入公差犱这一变元进行换元处理，结合所求代数式的恒等变形，转化为含有公差犱的二次函数，利用二次函数的图像与性质，以及公差犱的取值范围来确定相应的最值问题．二、综合不等式性质加以应用根据模型“犪＋犮＝２犫”加以合理构造等差数列，引入参数———公差犱，把对应代数式转化为分式、根式等函数模型，结合参数的取值范围并利用不等式的性质来确定最值问题．例２　（２０１９·天津卷（文）·１３）设狓＞０，狔＞０，狓＋２狔＝４，则（狓＋１）（２狔＋１）狓狔的最小值为．分析：根据题目条件中的关系式狓＋２狔＝４，合理构造等差数列狓，２，２狔，引入公差犱，再利用消元法处理，结合恒等变形与不等式的性质的应用来确定相应的最值问题．解：由于狓＞０，狔＞０，狓＋２狔＝４，则狓，２，２狔成等差数列．令狓＝２－犱，２狔＝２＋犱，易知犱∈（－２，２），那么（狓＋１）（２狔＋１）狓狔＝（３－犱）（３＋犱）１２（２－犱）（２＋犱）＝２（９－犱２）４－犱２＝２（４－犱２）＋１０４－犱２＝２＋１０４－犱２．而犱∈（－２，２），则知犱＝０时，（狓＋１）（２狔＋１）狓狔的最小值为２＋１０４＝９２，当且仅当狓＝２，狔＝２时等号成立．故填答案：９２．点评：合理构造等差数列，通过引入公差犱这一变元进行换元处理，结合所求代数式的恒等变形，转化为含有公差犱的分式问题，利用公差犱的取值范围及不等式的基本性质来确定相应的最值问题．三、综合基本不等式加以应用根据模型“犪＋犮＝２犫”加以合理构造等差数列，引入参数———公差犱，把对应代数式加以合理转化，结合基本不等式的条件加以合理变形，借助关系式的特征利用基本不等式来确定最值问题．例３　（２０１９·天津卷（理）·１３）设狓＞０，狔＞０，３５２０２０年３月 解法探究教学参谋Copyright ©博看网. All Rights Reserved.高中狓＋２狔＝５，则（狓＋１）（２狔＋１）狓槡狔的最小值为．分析：根据题目条件中的关系式狓＋２狔＝５，合理构造等差数列狓，５２，２狔，引入公差犱，再利用消元法处理，结合恒等变形与基本不等式的应用来确定相应的最值问题．解：由已知狓＞０，狔＞０，狓＋２狔＝５，则狓，５２，２狔成等差数列．令狓＝５２－犱，２狔＝５２＋犱，易知犱∈－５２，５２（），那么（狓＋１）（２狔＋１）狓槡狔＝７２－犱（）７２＋犱（）１２槡×５２－犱（）５２＋犱（）槡＝槡２·４９４－犱２２５４－犱槡２＝槡２·２５４－犱２＋６２５４－犱槡２＝槡２·２５４－犱槡２＋６２５４－犱槡２烄烆烌烎≥槡２·２２５４－犱槡２×６２５４－犱槡２槡＝槡４３，当且仅当２５４－犱槡２＝６２５４－犱槡２，即犱＝±１２，亦即狓＝３，狔＝１或狓＝２，狔＝３２时等号成立．故填答案：槡４３．点评：合理构造等差数列，通过引入公差犱这一变元进行换元处理，结合所求代数式的恒等变形，转化为含有公差犱的关系式，通过代数式的巧妙转化，利用基本不等式的性质来确定相应的最值问题．四、综合其他知识加以应用根据模型“犪＋犮＝２犫”加以合理构造等差数列，引入参数———公差犱，综合三角函数、函数、平面向量、解三角形等其他知识加以综合，利用相关知识来确定最值问题．例４　（江苏省苏州市四市五区２０２０届高三期初调研·１４）在△犃犅犆中，若ｔａｎ犃ｔａｎ犅＋ｔａｎ犃ｔａｎ犆＝３，则ｓｉｎ犃的最大值为．分析：根据题目条件中的关系式ｔａｎ犃ｔａｎ犅＋ｔａｎ犃ｔａｎ犆＝３的变形，可得３ｔａｎ犃＝１ｔａｎ犅＋１ｔａｎ犆，合理构造等差数列１ｔａｎ犅，３２ｔａｎ犃，１ｔａｎ犆，引入公差犱，再利用三角关系式之间的等价变形，把ｔａｎ犅与ｔａｎ犆均表示成ｔａｎ犃与犱的关系式，利用三角恒等变换公式的应用来确定ｔａｎ２犃的最值，进而来确定ｃｏｓ２犃及ｓｉｎ犃的最值问题．解：由已知ｔａｎ犃ｔａｎ犅＋ｔａｎ犃ｔａｎ犆＝３，可得３ｔａｎ犃＝１ｔａｎ犅＋１ｔａｎ犆，则１ｔａｎ犅，３２ｔａｎ犃，１ｔａｎ犆成等差数列．令１ｔａｎ犅＝３２ｔａｎ犃＋犱，１ｔａｎ犆＝３２ｔａｎ犃－犱，则有ｔａｎ犅＝２ｔａｎ犃３＋２犱ｔａｎ犃，ｔａｎ犆＝２ｔａｎ犃３－２犱ｔａｎ犃．而ｔａｎ犃＝－ｔａｎ（犅＋犆）＝－ｔａｎ犅＋ｔａｎ犆１－ｔａｎ犅ｔａｎ犆＝－２ｔａｎ犃３＋２犱ｔａｎ犃＋２ｔａｎ犃３－２犱ｔａｎ犃１－２ｔａｎ犃３＋２犱ｔａｎ犃·２ｔａｎ犃３－２犱ｔａｎ犃＝１２ｔａｎ犃４（犱２＋１）ｔａｎ２犃－９，可知ｔａｎ２犃＝２１４（犱２＋１）≤２１４，当且仅当犱＝０时等号成立．又ｃｏｓ２犃＝ｃｏｓ２犃ｓｉｎ２犃＋ｃｏｓ２犃＝１ｔａｎ２犃＋１≥４２５，可得ｓｉｎ犃＝１－ｃｏｓ２槡犃≤１－４２５槡＝槡２１５．所以ｓｉｎ犃的最大值为槡２１５．故填答案：槡２１５．点评：合理构造等差数列，通过引入公差犱这一变元进行换元处理，结合三角函数关系式的恒等变换与代数式的恒等变形，并借助三角函数的相关知识来处理相应的最值问题．事实证明，事物的外在形式往往能有效反映出其内在的本质．通过观察相关最值问题的形式结构，有效联系等差数列的性质，合理构造等差数列，进而利用等差数列的相关知识来转化与应用，是破解最值问题的一种十分有效的方法．合理构造等差数列处理问题，能有效拓展数学思维，交汇数学知识，提升数学能力，培养数学核心素养．犠４５教学参谋解法探究２０２０年３月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。