等差数列前n项和的最值问题的两个解法(20201005090556)

等差数列前n项求和公式方法等差数列是数学中常见的一种数列。

其中，首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。

要求等差数列前n项求和的公式，可以通过以下几种方法来推导。

一、首项与末项求和法首项与末项求和法是最常见的一种方法。

设首项为a₁，末项为aₙ，则数列的项数为n。

1.求首项与末项首项a₁为数列的第一项，末项aₙ为数列的第n项。

可以根据等差数列的通项公式推导得到，通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d其中，d表示公差。

2.求和公式根据等差数列的性质，首项与末项之和等于各项的平均数乘以项数，可以得到求和公式：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2其中，Sₙ表示前n项的和。

二、差法差法是一种较为简便的求和公式推导方法。

1.分析数列设首项为a₁，公差为d。

2.推导公式将数列分为两组，一组从首项开始，另一组从末项开始。

则两组数列的和相等，可以得到以下等式：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁+aₙ)×(n/2)+(a₁+aₙ)×(n/2)化简可得：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁×n+aₙ×n)/2再次化简可得：(a₁+aₙ)×n=a₁×n+aₙ×n进一步化简可得：Sₙ=(a₁+aₙ)×(n/2)其中，Sₙ表示前n项的和。

三、差分法差分法是另一种可以用于推导等差数列前n项求和公式的方法。

1.分析数列设首项为a₁，公差为d。

2.构造数列构造一个新数列b₁、b₂、b₃、..，其中，b₁为a₁，b₂为a₁+(a₁+d)，b₃为a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)，以此类推。

3.求和求这个新数列的和S₁，其中S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ。

4.推导公式可以得到以下等式：S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ=(n/2)×(2a₁+(n-1)d)将b₁展开，可以得到：S₁ = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d)再次化简可得：S₁ = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d) = (n / 2) × (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和。

等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。

等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-L 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。

求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。

2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。

等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。

2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。

（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。

（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。

等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。

等差数列sn最大值问题
等差数列的前n项和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)。

其中 a1
是首项， an 是第n项。

如果等差数列的公差不为0，那么等差数列的最大项就是第n项。

所以要想得到等差数列的最大值就是 an = a1 + (n-
1)d（其中d为公差）
如果要得到等差数列的最大前n项和，可以用 Sn = n/2 * (a1 + an) 来计算。

例如，等差数列 a1 = 2, d = 3, n = 6，那么 an = 2 + (6-1)3 =
2+15=17。

等差数列的最大前6项和就是 Sn = 6/2 * (2+17) = 619 = 114
总结：等差数列的前n项和最大值就是n/2 * (a1+an) 其中 an = a1 + (n-1)d 为第n项，a1为首
续， d为公差。

需要注意的是，在求等差数列的最大值时，如果d为负数，则最大值就是第一项，而不是最后一项。

因此，在求等差数列的最大值时，需要注意公差的正负。

如果等差数列的公差为0，那么所有项的值都相等，最大值就是第一项的值，并且前n项和就是n*a1.
总之，等差数列的最大值问题主要是要根据题目中的公差来考虑，而前n项和的最大
值问题可以使用等差数列前n项和的公式 n/2 * (a1 + an)
来求解，其中 an = a1 + (n-1)d , a1 为首项，d
为公差。

需要注意的是如果d为负数，则最大值就是第一项而不是最后一项，如果d为0，所有项都相等。