等差数列前n项和的最值问题的两个解法(20201005090556)

Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9 =2/9×n2-20/9n
=2/9(n2-10n)
=2/9(n-5)2-50/9
所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。
解法二：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d， 得d=4/9。 所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
例 1 已知等差数列{an}中，a1=-2, d=4/9。求前n项和的最值。
解：依求前n项 和的公式有 Sn=-2n+[n(n-1)/2]×4/9 =（2/9）n2-20/9×n =（2/9）×(n2-10n) =（2/9）(n-5)2-50/9
所以n=5时前n项和最小，最小值为-50/9。
小结：
练习： 1 在等差数列{an}中，a1+a2=91, a2+a3=85,求此数列的最值 及取得最值时的n. 2 在首项是31，公差为-4的等差 数列中，与零最靠近的项是第 几项？
作业：
1 一个首项为a(a>0)的等差数列,前3项和
与前10项和相等,问此数列的前几项和
最大，并求出最大值。 2 设等差数列{an}的前n项和Sn,已知 a13=12,
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9

2009×2008
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−

即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−

) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .

等差数列前n项求和公式方法等差数列是数学中常见的一种数列。

其中，首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。

要求等差数列前n项求和的公式，可以通过以下几种方法来推导。

一、首项与末项求和法首项与末项求和法是最常见的一种方法。

设首项为a₁，末项为aₙ，则数列的项数为n。

1.求首项与末项首项a₁为数列的第一项，末项aₙ为数列的第n项。

可以根据等差数列的通项公式推导得到，通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d其中，d表示公差。

2.求和公式根据等差数列的性质，首项与末项之和等于各项的平均数乘以项数，可以得到求和公式：Sₙ=(a₁+aₙ)×n/2其中，Sₙ表示前n项的和。

二、差法差法是一种较为简便的求和公式推导方法。

1.分析数列设首项为a₁，公差为d。

2.推导公式将数列分为两组，一组从首项开始，另一组从末项开始。

则两组数列的和相等，可以得到以下等式：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁+aₙ)×(n/2)+(a₁+aₙ)×(n/2)化简可得：(a₁+aₙ)×n/2=(a₁×n+aₙ×n)/2再次化简可得：(a₁+aₙ)×n=a₁×n+aₙ×n进一步化简可得：Sₙ=(a₁+aₙ)×(n/2)其中，Sₙ表示前n项的和。

三、差分法差分法是另一种可以用于推导等差数列前n项求和公式的方法。

1.分析数列设首项为a₁，公差为d。

2.构造数列构造一个新数列b₁、b₂、b₃、..，其中，b₁为a₁，b₂为a₁+(a₁+d)，b₃为a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)，以此类推。

3.求和求这个新数列的和S₁，其中S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ。

4.推导公式可以得到以下等式：S₁=b₁+b₂+b₃+...+bₙ=(n/2)×(2a₁+(n-1)d)将b₁展开，可以得到：S₁ = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (2a₁ + (n - 1)d) = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d)再次化简可得：S₁ = (n / 2) × (a₁ + a₁ + nd - d) = (n / 2) × (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项的和。

等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2,n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。

等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-L 当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d =探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,ns pn qn r =++其中:p.q.r 为常数,且p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时？n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且6.5介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：6.5≤n ≤7.5,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n=错误!未找到引用源。

求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。

2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。

等差数列前n项和的最值问题数列（二）一、数列的最大与最小项和最值问题1．直接求函数)(n f a n =的最大值或最小值，根据)(n f 的类型，并作出相应的变换，运用配方、重要不等式性质或根据)(n f 本身的性质求出)(n f 的最值。

2．研究数列)(n f a n =的正数与负数项的情况，这是求数列}{n a 的前n 项和n S 的最大值或最小值的一种重要方法.二、数列的求和1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 三、数列其他知识 1．(1) {}{}成等比数列成等差数列na n ba ?{}2n n n a a a n b S A n B n ?=+?=+成等差数列（2）{}{}成等比数列成等比数列kn n a a ? {}{}成等差数列成等比数列n ba n a a n log>2．递推数列：(1)能根据递推公式写出数列的前n 项(2)由n n n n S a a S f ,,0),(求= 解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 变化（1）已知0),(11=--n n a S f (2)已知0),(1=--n n n S S S f 四、例题解析例1（1）已知n a =，则 n S =___________。

（2）从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，则容器中有纯酒精_________升。

（3）3571013{}3224n a a a a a a ++++=在等差数列中，（）（），则此数列的前13项之和等于_______。

等差数列前n项和最值问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT等差数列前n 项和的最值问题问题引入：已知数列{},n a 的前n 项和212n S n n =+,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗如果是,它的首项与公差分别是什么 解:当n>1时:1122n n n a s s n -=-==-当n=1时:211131122a s ==+⨯= 综上:122na n =-,其中:132a =,2d = 探究1:一般地,如果一个数列{}n a 的前n 项和为:2,n s pn qn r =++≠0,那么这个数列一定是等差数列吗如果是,它的首项和公差分别是什么结论:当r=0时为等差,当r ≠0时不是一、 应用二次函数图象求解最值 例1：等差数列{}n a 中， 1490,a S S >=，则n 的取值为多少时n S 最大分析：等差数列的前n 项和n S 是关于n 的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。

解析：由条件1490,a S S >=可知，d<0，且211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-， 其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n +==，而n N *∈，且介于6与7的中点，从而6n =或7n =时n S 最大。

1.已知等差数列{n a }中1a =13且3S =11S ,那么n 取何值时,n S 取最大值.解析：设公差为d ，由3S =11S 得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, n a =13-2(n-1), n a =15-2n,由⎩⎨⎧≤≥+0a 0a 1n n 即⎩⎨⎧≤+-≥-0)1n (2150n 215得：≤n ≤,所以n=7时,n S 取最大值.2.已知a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，若S 10=0，求数列a n 前 5 项和取得最大值．结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．a n 是各项不为零的等差数列，其中a 1＞0，公差d ＜0，S 10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列a n 前5项和取得最大值．二、转化为求二次函数求最值例2、在等差数列{n a }中, 4a ＝－14, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值 分析：利用条件转化为二次函数，通过配方写成顶点式易求解。

人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修5 第二章 数列
等差数列前n项和的最值问题
复习顾
等差数列的前n项和公式：
Sn na1 n(n 1)d 2
Sn An2 Bn

d 2 d n (a1 )n 2 2
Sn 当 A 0（即 d 0 ）时，
是关于n的二次函数（常 数项为0）
5 40 解法二：由题知，an a1 (n 1)d n , an 1 5 n 5. 7 7 7 40 5 an 0 n 0 n 8 由 也就是说，a8 0, a9 7 7 可得 a 0, n 1 5 n 7.
①、a1 0, d 0, {an }单调递减，Sn有最大值。
an 0 由 求出n的值. an 1 0
Sn有最小值。 ②、a1 0, d 0, {an }单调递增，
an 0 由 求出n的值. an 1 0
小结归纳：
3、a1 0, d 0,{an }单调递增，Sn有最小值为a1.
n 5 0, 7
0.
因此，和是从第9项开始减少的.而第8项为0对和的大小
不产生影响.因此，前7项或前8项和最大.
小结归纳：
等差数列前n项和的最值问题方法总结：
1、利用Sn：Sn
d 2 d n (a1 )n， 转化为二次函数最值问题； 2 2
2、利用an：借助通项公式an的正负情况研究Sn的变化情况.
设
d d A , B a1 2 2
结论： 非“常数列”的等差数列的前n项和公式是关 于n的二次函数，且没有常数项。
典例剖析 2 4 例：已知等差数列 5, 4 ,3 ,L 的前n项和 Sn ， 7 7

等差数列sn最大值问题
等差数列的前n项和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)。

其中 a1
是首项， an 是第n项。

如果等差数列的公差不为0，那么等差数列的最大项就是第n项。

所以要想得到等差数列的最大值就是 an = a1 + (n-
1)d（其中d为公差）
如果要得到等差数列的最大前n项和，可以用 Sn = n/2 * (a1 + an) 来计算。

例如，等差数列 a1 = 2, d = 3, n = 6，那么 an = 2 + (6-1)3 =
2+15=17。

等差数列的最大前6项和就是 Sn = 6/2 * (2+17) = 619 = 114
总结：等差数列的前n项和最大值就是n/2 * (a1+an) 其中 an = a1 + (n-1)d 为第n项，a1为首
续， d为公差。

需要注意的是，在求等差数列的最大值时，如果d为负数，则最大值就是第一项，而不是最后一项。

因此，在求等差数列的最大值时，需要注意公差的正负。

如果等差数列的公差为0，那么所有项的值都相等，最大值就是第一项的值，并且前n项和就是n*a1.
总之，等差数列的最大值问题主要是要根据题目中的公差来考虑，而前n项和的最大
值问题可以使用等差数列前n项和的公式 n/2 * (a1 + an)
来求解，其中 an = a1 + (n-1)d , a1 为首项，d
为公差。

需要注意的是如果d为负数，则最大值就是第一项而不是最后一项，如果d为0，所有项都相等。

由方程an=0得 -2+(n-1)4/9=0
解得n=5.5 取 n=5 根据数列递增性可知a1,a2, a3,a4,a5均为负数，从第 六项起以后各项均为正数，因此前五项的和最小。 代入求和公式Sn=5×(-2)+[5×(5-1)/2]×4/9=-50/9
解法三：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即 an≤0 -2+(n-1)×4/9 ≤0 即 an+1≥0 -2+(n+1-1)×4/9≥0 4/9≥0
解法四：设该等差数列的公差为d。由S3=S7得 3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d，得d=4/9。所以通项公式an=-2+(n-1)×4/9
3×（-2）+(3×2/2)×d=7×（-2）+(7×6/2) ×d， 得d=4/9。
由首项及公Байду номын сангаас知：该数列为递增等差数列。 等差数列前n项和Sn 是n的二次函数，而S3=S7
正说明二次函数是以n=（3+7）/2为对称轴，
且二次函数开口向上，所以当n =5时Sn有最小值。
将n =5 代入前n项和公式，有
由首项及公差知：该数列为递增等差数列。 欲使前n项和最小必须前n项和都是由负数和零相加得到，
从第n+1项起以后各项均为零或正数，即 an≤0 -2+(n-1)×4/9 ≤0 即 an+1≥0 -2+(n+1-1)×4/9≥0 解得 4.5≤n ≤5 .5 所以n=5 即前5项的和最小，将 n =5 代入前n项和公式，

等差数列前n 项和的最值问题的两个解法求等差数列前n 项和最值的两种方法：n S 1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式，bn an S n +=2通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。

2.邻项变号法： ①时，满足的项数m 使得取得最大值为0,01<>d a ⎩⎨⎧≤≥+001n n a a n S mS ；②当时，满足的项数m 使得取得最小值为0,01><d a ⎩⎨⎧≥≤+001n n a a n S .m S 例1、等差数列前n 项和为，已知，当最大}{n a n S 1131,13S S a ==n S 时，n 的值是( )(A)5(B)6(C)7(D)8解：选C.方法一：由得，113S S =01154=+++a a a 根据等差数列性质可得， 087=+a a 根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到，故n=7 时，最大.0,087<>a a n S 方法二：由可得，把代入得113S S =d a d a 55113311+=+131=a 2-=d，故，根据二次函数性质，当n=7时，n n n n n S n 14)1(132+-=--=最大.n S 方法三：根据,，知这个数列的公差不等于零.由于131=a 113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据113S S =公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当时，只有时，取得最大值.113S S =72113=+=n n S 练习：1.已知在等差数列中，，是它的前n 项的和，}{n a 311=a n S 2210S S =.（1）求； （2）这个数列前多少项的和最大，并求出这n S 个最大值.解析：（1）∵，，又，102110a a a S ++= 222122a a a S ++= 2210S S =∴，则，又，0221211=++a a a 031212211=+=+d a a a 311=a ，∴。

计算等差数列的前n项与前n项和对于计算等差数列的前n项和以及前n项的问题，我们可以运用等差数列的性质和公式来解决。

下面将详细介绍计算等差数列前n项和和前n项的方法。

一、计算等差数列的前n项和假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an（其中n≥1），那么可以使用以下公式来计算等差数列的前n项和Sn：Sn = (a + an) * n / 2这个公式的推导可以通过以下步骤进行证明：1. 设前n项和为Sn，由等差数列的性质可知：Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n-1)d)2. 我们可以将等差数列的前n项分为两组进行对称排列，如下所示：Sn = (a + an) + (a + d + a + (n-1)d) + ... + (a + (n-2)d + a + (n-1)d)3. 上述每一对括号中的两项相加均为an，共有n对。

所以：Sn = n * (a + an) / 2二、计算等差数列的前n项要计算等差数列的前n项，我们可以利用等差数列的性质和公式来进行求解。

假设等差数列的首项为a，公差为d，我们可以使用以下公式来计算第n项an：an = a + (n-1)d利用这个公式，我们可以逐项计算等差数列的前n项。

例如，对于等差数列的首项a=2，公差d=3，我们要计算前n项，可以根据上述公式通过不断增加n的值来计算前n项的数值。

三、综合例子假如我们要计算等差数列的首项a为2，公差d为3的前10项和以及前10项，我们可以按照如下步骤进行计算：1. 首先计算前10项和Sn：Sn = (2 + an) * 10 / 2其中an = a + (n-1)d = 2 + (10-1) * 3 = 2 + 27 = 29所以，Sn = (2 + 29) * 10 / 2 = 31 * 5 = 155因此，等差数列的前10项和为155。

2. 接下来，计算前10项的数值：a1 = 2a2 = a1 + d = 2 + 3 = 5a3 = a2 + d = 5 + 3 = 8以此类推，可以计算出等差数列的前10项。

3．通项法：利用数列的通项公式来解决数列前n项和的最值问题，即：
当 ， 时，n为使 成立的最大的自然数时， 最大，这是因为：当 时， ，即 递增；已知等差数列{an}，a1＞0，d＜0，Sn存在最大值，
若am使Sn取得最大值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最大
当 时， ，即 递减。类似地，当 ， 时，若am使Sn取得最小值，则am满足：成立的最大自然数n时， 最小。
解：在等差数列{an}中，因为a1＋a12＞0，
所以a6＋a7＞0,又因为a1＜0且a6a7＜0，所以所以当Sn最小时的n为6
例题2：已知等差数列{an}的通项公式an＝3n－20，当n取何值时，Sn取得最小值，并求此最小值.
我们分析数列为：
－17，－14，－11，－8，－5，－2，1，4，…
问题1：从数列中可以发现，数列在第几项时，Sn取得最小值？
问题2：使数列Sn取得最小值的项具备什么特征呢？
结论：若am使Sn取得最小值，则am满足：
解法一：若am使Sn取得最小值，则am满足：
即
解得≤n≤，因为n∈N*，所以n＝6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
解法二：Sn＝n×（—17）＋×3＝n2－n，
其对称轴为n＝，所以离对称轴最近的整数为6．
所以当n取6时，Sn取得最小值，最小值为－57.
练习：
1、已知等差数列 的通项为 ，则使得 最大的 的值是？
又 ，∴ 的前10项或前11项的和最小。
说明：此处虽说是用图像法，但不一定要画出图像，而是利用图像的性质去解题。
练习1：等差数列 中， ， ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
速解： 抛物线对称轴方程为 ，则可设 ，
由

2.3等差救列的前n项和的最值问题求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:解法一：求出Sn,用配方法(结合图像)解法二：求出a。

,用单调性当d > 0H寸,Sn有最小值；当d < 0时,Sn有最大值.(1)若可<0,d>0,则数列的前面若干项a n <0, 所以将这些项相加即得Sn的最小值；<a2 <a3<•-<a n<0<a“日…）(2)若a】vO,dvO,则a】是Sn的最大值.(Q > > a2 > a3 > • • • > a n > a tl+} > ・・・)⑶若们> 0,d > 0,贝是Sn的最小值；(% <a2 <a3<•・•<0<a n+1<---)(4)若们>0,d<0,则数列的前面若干项a。

>0, 所以将这些项相加即得Sn的最大值；(q >a2 >角 >..・>4 2 0之%+1 >-.)1、已知等差数列角｝的前〃项和为S〃，角=24, S17=S10 问数列｛%｝的前多少项之和最大，并求此最大值。

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"1規骥解法二：由勿]=24,S]7=S IO,得17x16 10x9 ,17x24 ----------- x d = 10x24 + --------- x d2 2解得d=_W13.皿=24 + （〃-l）x（-当=-当+ 丝主“13 13 13令｛:：岂，解得｛成，即13＜心14 故当〃=13或〃 =14时,S〃取得最大值,其值是168.等差数列｛aj中,a1=255S17=S95问数列前多少r<项之和最大，并求此最大值.解法一：(% =25，[Su=S9.湄ir I7xl6 9x8得17a〔 + - d = 9a f + ------ d,2 2解得 d = -2.・•・ S n = 25n + "("T)(-2) = 一(n -13)2 +169.故前13项之和最大，且最大值％是169.解法二:由微=25-2（〃-1）20I an +i = 25 - 2w < 0% = 25,由［s ；=S9.得皿+ 解得 d= -2.5 = 212解法二:•：E N*.••当n = m,S n有最大值169.% = 25, 由｛，得17虬+[517 = S9. 1解得 d = -2.17=‘9，/.a10+a11+---+a17=0...a10+a17=a11+ a16= …=&13相14=0.•.•31=25>05(1<0/.a13>0,a14<0.W6d = 9~122・・・S[3最大撮大值为169.课堂小结解法一：求出Sn,用配方法（结合图像） 解法二：求出a 「,用单调性求等差数列前项和Sn 的最值问题有两种方法: SII求等差数列前项和Sn的最值问题有两种方法:(1)求出S n=f(n),用配方法(结合图像)(2)求出an=g(n),用单调性当d > 0时,Sn有最小值;当d V 0时,Sn有最大值.(1)若可<0,d>0,则数列的前面若干项a。

等差数列的前n项和S的最值问题数列是一种特殊的函数，因此高考题中常常会出现研究数列的单调性、最值等问题．其例题：设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝24，S11＝0.(1)求a n；(2)求数列{a n}的前n项和S n；(3)当n为何值时，S n最大，并求S n的最大值．变式1等差数列{a n}的前n项和为S n，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{a n}的前多少项的和最大？变式2等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d<0，若S 10＝S 23，则数列{a n }的前多少项的和最大？串讲1已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？串讲2已知数列{a n }的通项公式a n ＝40－5n7，记T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，当|T n |取最小值时，n 的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.求S n ，并求S n 的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)．若对任意的n ∈N *，总有S n ≤S k ，求正整数k 的值．答案：k ＝7.解法1因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝－13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24， 解得a 1＝13，a 2＝11，所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，5分令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1<0，得⎩⎨⎧－2n ＋15≥0，－2n ＋13<0，所以132<n ≤152，9分又n ∈N *，所以n ＝7，即数列{a n }的前7项和为S 7最大，所以k ＝7.14分解法2因为a n －S n ＝n 2－16n ＋15(n ≥2，n ∈N *)，所以⎩⎨⎧a 2－S 2＝13，a 3－S 3＝－24，也即⎩⎨⎧a 1＝13，a 1＋a 2＝24，解得a 1＝13，a 2＝11，7分所以d ＝a 2－a 1＝－2，故a n ＝－2n ＋15，9分S n ＝13n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，12分所以数列{a n }的前7项和为S 7最大，故k ＝7.14分说明：通过以上两种解法的比较，可以发现“解法1”采用了“邻项变号法”，解题思路、过程比较简洁方便，这是因为这种解法紧紧抓住了等差数列的项a n 对和S n 的影响规律，因而过程相对简洁精炼．例题答案：(1)a n ＝48－8n ；(2)S n ＝－4n 2＋44n ；(3)n ＝5或6时，S n 最大，S n ＝120. 解析：(1)因为a 3＝24，S 11＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝24，11a 1＋11×102d ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝40，d ＝－8，所以a n ＝48－8n.(2)由(1)知，a 1＝40，a n ＝48－8n ，所以S n ＝（a 1＋a n ）n 2＝（40＋48－8n ）n 2＝－4n 2＋44n.(3)解法1：由(2)有，S n ＝－4n 2＋44n ＝－4(n －112)2＋121，故当n ＝5或n ＝6时，S n 最大，且S n 的最大值为120.解法2 ：由a n ＝48－8n ，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧48－8n≥0，48－8（n ＋1）<0，得5<n≤6，又n∈N *，所以n ＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n 项和S n 最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用S n ＝an 2＋bn 具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，求得S n 取得最大值时n的条件，同样由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1>0，求得S n 取得最小值时n 的条件．变式联想变式1 答案：16. 解析：由S 9＝S 23，得a 10＋a 11＋…＋a 23＝0，即a 16＋a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 17<0，所以，数列{a n }的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S 10＝S 23，得a 11＋a 12＋…＋a 23＝0，即a 17＝0，又因为d<0，所以a 16>0，a 18<0，所以，数列{a n }的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n 项和S n 取得最值时，n 的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n ＝5. 解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋6＝7a n ＋3，考虑到|T n |≥0，且由n ＋3＝8，得n ＝5，即满足|T n |取得最小值的正整数n ＝5.串讲2答案：n ＝5或6.解析：由a n ＝40－5n7，知{a n }递减且a 8＝0，又T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n ＋(n ＋5)＝2×8±1，即就是n ＝5或6时，|T n |取得最小值．新题在线答案：－16. 解析：设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.由a 1＝－7得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.所以S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16.所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.。

等差数列前n项和的最值问题解法探究
池钊
【期刊名称】《数理天地:高中版》
【年(卷),期】2022()20
【摘要】本文对一道等差数列前n项和问题给出三种解法.第一种解法是利用等差数列的性质,等差数列的前n项和公式.第二种解法和第三种解法更加突出数列的函数性质.其中,第三种方法是在和学生的共同探究中产生的,针对学生“等差数列通项公式对应的函数“零点”与其前n项和对应的函数对称轴具有某种关系”这一猜想,师生共同探究,并发现它们之间相差1/2的规律,从而获得本文例题的第三种解法.【总页数】2页(P20-21)
【作者】池钊
【作者单位】清华大学附属中学将台路校区
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.等差数列前n项和最值问题解法探索
2.也谈等差数列的前n项和的最值问题
3.等差数列前n项和的最值问题
4.等差数列的前n项和S_n的最值问题的研究
5.等差数列前n项和最值问题的解法分析
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