2019版九年级数学下册第二十七章相似27.2.3相似三角形应用举例教案新人教版

人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》教学设计1一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.3《相似三角形应用举例》一节，是在学生学习了相似三角形的性质和判定之后，进一步探讨相似三角形在实际问题中的应用。

通过本节课的学习，使学生了解相似三角形在实际生活中的重要性，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形的性质和判定，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但学生在解决实际问题时，往往缺乏将数学知识与实际问题相结合的能力。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生将所学知识应用于实际问题，提高他们的数学应用能力。

三. 教学目标1.理解相似三角形在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

2.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.增强学生对数学学科的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形在实际问题中的应用。

2.难点：将实际问题转化为数学问题，运用相似三角形的性质和判定解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究相似三角形在实际问题中的应用。

2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示实际问题，提高学生的空间想象能力。

3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.注重个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到有效的训练和提高。

六. 教学准备1.准备相关实际问题，用于引导学生运用相似三角形知识解决。

2.准备多媒体课件，展示实际问题及解题过程。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如建筑物的设计、尺子测量等，引导学生思考这些实际问题与数学知识的联系。

从而引出本节课的主题——相似三角形在实际问题中的应用。

2.呈现（10分钟）教师展示一个实际问题：在同一平面内，有两座建筑物，一座高度为30米，另一座高度为18米。

请问，在离这两座建筑物等距离的地点，如何测量出两座建筑物的高度比？教师引导学生分析问题，并提出解决方法：利用相似三角形。

27.2.2相像三角形的性质【教课目的】知识技术目标:1.认识并掌握相像三角形的性质.2.用相像三角形的性质解决简单的问题.过程性目标:经历研究相像三角形性质的过程,并在研究过程中引领学生体验解决问题策略的多样性.感情态度目标:经过研究相像多边形的性质,体验化归思想.【要点难点】要点:理解并掌握相像三角形的性质.难点:研究相像三角形周长的比等于相像比,面积比等于相像比的平方.【教课过程】一、创建情境两个三角形相像,除了对应边成比率、对应角相等以外,还能够获得很多实用的结论.比如,在图中,△ABC和△A′B′C′是两个相像三角形,相像比为k,此中AD,A′D′分别为BC,B′C′边上的高,那么AD,A′D′之间有什么关系?二、研究概括研究1.假如两个三角形相像,它们的周长之间什么关系?两个相像多边形呢?(学生小组议论)△ABC∽△A′B′C,相像比为k,∵===k,∴AB=kA′B′,BC=kB′C′,CA=kC′A′,∴==k,结论:相像三角形周长的比等于相像比.教师提出问题,先让学生勇敢猜想,再经过推理考证猜想的结论,在小组内与其余同学沟通,概括结论.教师让学生书写证明过程.教师指引学生推理考证结论(先由三角形相像获得对应边的比,再得周长的比的关系.)学生思虑、剖析、写出证明过程,小组沟通.教师指引学生类比相像三角形获得相像多边形的性质“相像多边形周长的比等于相像比”.结论:相像多边形周长的比等于相像比.研究2.相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比与相像比有如何的关系?教师提出问题,要求小组议论达成.学习组长把学习小组分工,分别来研究三个问题,最后一同沟通,得出结论.研究3.假如两个三角形相像,它们的面积之间有什么关系?两个相像多边形呢?(学生小组议论)△ABC∽△A′B′C′,相像比为k,它们的面积比是多少?解:分别作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.∵∠ADB=∠A′D′B′=90°,又∠B=∠B′.∴△ABD∽△A′B′D′.∴==k.∴===k2.结论:相像三角形对应高的比等于相像比,相像三角形面积比等于相像比的平方.三、新知应用例:如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的边BC上的高是6,面积是12,求△DEF的边EF上的高和面积.师生活动:师生一同剖析△ABC和△DEF拥有什么关系,相像三角形的对应高,对应面积有什么关系?四、检测反应1.已知△ABC∽△DEF,且AB∶DE=1∶2,则BC的中线与EF的中线之比为()A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1设计企图:考察“相像三角形对应线段的比等于相像比”的运用.2.在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,假如△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积挨次为()A.8,3B.8,6C.4,3D.4,6设计企图:联合三角形相像的判断,考察“相像三角形周长的比等于相像比”和“相像三角形面积的比等于相像比的平方”的运用.3.已知△ABC与△DEF相像且面积比为4∶25,则△ABC与△DEF的相像比为________.?设计企图:考察“相像多边形面积的比等于相像比的平方”的运用.4.已知两个相像三角形周长比为1∶2,它们的面积和为25,则较大三角形面积为__________.?设计企图:考察“相像三角形周长的比等于相像比”和“相像三角形面积的比等于相像比的平方”的运用.5.如图,?ABCD中,点E是AB延伸线上一点,DE交BC于点F,已知BE∶AB=3∶2,S△BEF=4,求S△CDF.设计企图:联合平行四边形的性质,考察“相像三角形面积的比等于相像比的平方”的运用.五、讲堂小结1.经过这节课,同学们学到了什么?(1)相像三角形周长的比等于相像比,相像多边形周长的比等于相像比.(2)相像三角形对应高的比、对应中线的比、对应角均分线的比都等于相像比.(3)相像三角形面积的比等于相像比的平方.2.对本节课你有什么疑惑?六、板书设计课题:27.2.2相像三角形的性质图形性质内容练习。

《27.2.3相似三角形的周长与面积》教案【教学目标】： (一)知识与技能1、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。

2、探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。

(二)过程与方法经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比” 、“面积比等于相似比的平方”的过程。

(三)情感态度与价值观在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性。

【教学重点】：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

教学难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。

【教学过程】： 新课引入：1．回顾相似三角形的概念及判定方法。

2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。

提出问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k ⇒111111AB BC CAk A B B C C A === ⇒AB=kA 1B 1,BC=kB 1C 1,CA=kC 1A 1⇒111111111111111111AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++++==++++ 进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比延伸问题： 探究：（1） 如图27．2-11（1），∆ABC ∽∆A 1B 1C 1，相似比为k 1 ，它们的面积比是多少？图27．2-11分析：如图27．2-11（1），分别作出∆ABC 和∆A 1B 1C 1的高AD 和A 1D 1。

∠ADB=∠A 1D 1B 1=900又∠B=∠B 1⇒∆ABD ∽∆A 1B 1D 1⇒11111AD ABk A D A B == ⇒111ABC A B C S S=111111*********1221122BC AD K B C K A D B C A D B C A D ==k 12进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD 相似于四边形A 1B 1C 1D 1，相似比为k 2，它们的面积比是多少？分析：111ABC A B C SS=111ACD A C D S S= k 22⇒1111ABCD A B C D S S =四边形四边形111111ABC ACD A B C A C D ++S SS S= k 22⇒相似多边形面积比等于相似比的平方 应用新知：例6：如图27．2-12，在∆ABC 和∆DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF，∠A=∠D ，∆ABC 的周长是24，面积是48，求 ∆DEF 的周长和面积。

27.2相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例【知识与技能】进一步巩固相似三角形的知识，学会用相似三角形解决不能直接测量的物体的长度和高度等一些实际问题.【过程与方法】通过把实际问题转化为有关相似三角形的模型，进一步体会数学建模的思想方法.【情感态度】培养学生分析问题、解决问题能力，增强观察、归纳、建模、应用能力，在活动中也培养学生良好的情感态度，主动参与、合作交流意识.【教学重点】运用相似三角形的知识求不能直接测量的物体的长度和高度.【教学难点】在实际问题中建立数学模型，灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.一、情境导入，初步认知问题一天上午10:00时，九年级的小明带着弟弟在操场上玩，弟弟看见高高的旗杆，好奇地问：哥哥，这旗杆好高啊，你知道它有多高吗？”望着高高的旗杆，小明一下子愣住了.但小明是个要强的孩子，他不愿意失去弟弟心目中“大英雄”的地位，绕着旗杆转了几圈，抬头望望，低头看看，这时他的目光停留在自己的影子和电线杆的影子上，他记得自己身高为1.60 米，联想到了刚刚学过相似三角形的知识，终于想到求出旗杆高度的方法了，并给弟弟一个满意的答案.同学们，如果是你，你有办法求出旗杆的高度吗？与同伴交流你的想法.【教学说明】通过学生能感受到的问题情境，提出问题，可激发学生的求知欲望，增强学习兴趣.在学生的相互交流过程中，慢慢感受到用相似三角形知识可以测量出不能直接测量的物体的高度的思路方法，引入新课.二、典例精析，掌握新知例1据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.新课标九年级数学下册二十七章教案如图，如果木杆EF 长为2m ，它的影长FD 为3m.测得0A = 201m ，求金字塔高度BO.【教学说明】利用学生刚刚获得的体验来解决金字塔的高度问题水到渠成，教学过程中教师应关注学生的说理过程，锻炼学生分析问题，解决问题及推理能力.例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P ，在近岸取点Q 和点S ，使P 、Q 、S 共线且直线PS 与河岸垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线b 上选取适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS的直线a 的交点 R.如果测得 QS=45m ，ST= 90m ，QR =60m ，求河的宽度PQ. 【教学说明】本题可让学生独立完成，选一名同学在黑板上写出解答过程，然后师生共同评析.然后教师可设置以下几个问题让学生思考：(1)PS 与河垂直是必须的吗？如果不是，请用类似的方法再设计一种估算河岸的方法，试试看；(2)如果保持犘犙与河垂直，删去直线b ，在PR 延长线上去一点T ，过T 作TS ⊥a ，垂足为S ，是否也能求出河的宽度PQ?如果可以，需测量出哪些线段长？通过学生对上述问题的思考，可增强学生的数学建模能力，锻炼一题多解的解题习惯，进一步领会用相似三角形知识可求出不能直接测量的物体的高度（或长度），达到融会贯通的目的.例3 如图，左、右并排的两棵大树的高 AB=8m ，CD=12m ，两树根部的距离BD=5m. 一个身高1.6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C ？【教学说明】教师首先应引导学生弄清题意，即当观察者行至图（2)位置时，恰好看到较高树的顶端点C ，再往右行，由于树的遮挡，就不能看到点C 了，因而问题的关键转化为求图(2)中观察者所处位置M 与B 之间的距离.这时可设观察者的水平视线与AB 、CD 分别交于 P 、Q ，利用树的平行关系，可找出图中相似三角形进而可求线段BM 的长.三、运用新知，深化理解1.在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋高楼的影长为90m ， 这栋高楼的高度是多少？2.如图，身高1.5m 的人站在离河边3m 处时，恰好能看到对岸边电线杆的全部倒影，若河岸高出水面高度ED 为0.75m ，电线杆高MG 为4.5m ，求河宽.【教学说明】对于第2题，教师可提高向学生提示应通过证△DEF ∽△KMF 来解题.接着让学生自主完成，教师巡视，及时指导.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解:设这栋高楼的高度是x米.由题意得：1.8390x.解得:x=54.即这栋高楼的高度为54米.四、师生互动，课堂小结用相似三角形的知识测量不能直接测量的物体的高度时，有哪几种构建三角形相似的方法，试举例说明.【教学说明】同学们相互交流后，师生共同回顾，积累构建相似三角形的经验.1.布置作业：从教材P42〜44习题27. 2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.前面的课时中探讨了如何判定两个三角形相似，本课时将实际问题转化为两个三角形相似的数学模型.在教学时教师应重点强调这个转化过程是如何实现的.总体来看，本课时首先呈现生活中常见问题，以便让学生体会其必要性，接着通过三个例题让学生掌握运用相关知识解应用题的思路.整个教学过程中都渗透了转化思想，教师应注意让学生把握这一点.。

27.2.3相似三角形应用举例【授课目的】知识技术目标:1.进一步牢固相似三角形的知识.2.能够运用三角形相似的知识,解决不能够直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等的一些实责问题.过程性目标:经过把实责问题转变为有关相似三角形的数学模型,进一步认识数学建模的思想,培养解析问题、解决问题的能力.感神态度目标:经过学生观察、解析现实生活中的相似现象,使学生进一步领悟三角形相似的应用价值和丰富内涵.渐渐形成数学思想,认识数学价值,促进审盛意识的发展.【重点难点】重点:运用三角形相似的知识计算不能够直接测量物体的长度和高度.难点:灵便运用三角形相似的知识解决实责问题.【授课过程】一、创立情境1.判断两个三角形相似有哪些方法?2.相似三角形有什么性质?3.太阳光辉是什么光辉?二、研究归纳研究活动1(教材P39例4——测量高度问题)例4据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光辉构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图,若是木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.(思虑如何测出OA的长?)师生活动:学生小组谈论;师生共同交流,经过观察表示图,使学生成立起相似图形的几何直觉,并能明确表述求OA的方法中包括的数学知识.解析:依照太阳光的光辉是互相平行的特点,可知在同一时辰的阳光下,竖直的两个物体的影子互相平行,从而构造相似三角形,再利用相似三角形的判断和性质,依照已知条件,求出金字塔的高度.解:略(见教材P40)研究活动2(教材P40例5——测量河宽问题)例5如图,为了估计河的宽度,我们能够在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择合适的点T,确定PT 与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请依照这些数据,计算河宽PQ.师生活动:教师提出问题:估计河的宽度,你有什么好方法吗?学生先小组谈论;教师在这一活动中重点关注学生们研究的主动性,特别应关注那些平时学习有必然困难的学生,他们经常在解决实责问题时,显示出创立的能力,这也是成立这些学生自信心的一个契机,尔后经过例5进一步完满学生们的想法,让学生领悟用数学知识解决实责问题的成就感和快乐.解析:设河宽PQ长为x m,由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线,故可获取相似三角形,因此有=,即=.再解x的方程可求出河宽.解:略(见教材P40)研究活动3(教材P40例6——盲区问题)例6如图,左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8 m和CD=12 m,两树底部的距离BD=5 m.一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的顶端C了?解析:观察者的眼睛F的地址为视点,视线FC与水平视线FG的夹角∠CFG是观察者的仰角,观察者看不到的地域(如四边形ABDC内部)是盲区.解:假设观察者从左向右走到点E(视点F)处,视点F与两棵树的极点A,C恰在一条直线上.由题意可知AB⊥l,CD⊥l,∴AB∥CD,∴△AFH∽△CFK,∴=.即==.解得FH=8.由此可知,若是观察者连续前进,即她与左边的树的距离小于8 m时,由于这棵树的遮挡,右边的树顶端C在观察者的盲区之内,观察者就不能够看到它了.三、新知应用某同学想利用树影测量树高.他在某一时辰测得小树高为1.5米时,其影长为1.2米,当他测量授课楼旁的一棵大树影长时,因大树凑近授课楼,有一部分影子在墙上.经测量,地面部分影长为6.4米,墙上影长为1.4米,那么这棵大树高多少米?师生活动:教师出示问题,学生独立思虑,写出解答过程,找学生板演讲解.设计妄图:这是一个变式拓展题,前面知道影子长度能够很快用比率得出想要的高度,但这里设置了一堵墙,物体的影长等于地上的部分加上墙上的部分,需要学生灵便办理,也会出现不同样的办理方法,截断AB或延长AD,观察学生对此类问题的灵便度和综合运用知识的能力.四、检测反响1.在阳光下,身高1.5 m的张强在地面上的影长为2 m,在同一时辰,测得学校的旗杆在地面上的影长为18 m,则旗杆的高度为__________.?2.王明在测量楼高时,先测出楼房落在地面的影长为15米,尔后在同一时辰测得一根高为2米的标杆,影长为3米,则楼高为__________.?3.在某一时辰,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长AC为3米,某一高楼的影长BA为90米,那么高楼的高度是多少米?4.如图,测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽AB.五、课堂小结1.面对不易直接测量的物体的高度或长度:实责问题→构造数学模型→利用相似三角形的性质成立方程→解决问题.2.这节课用到的求不能够直接测量的物体的高度或宽度的方法:(1)利用阳光下的影长测物体的高度.(2)利用标杆测物体的高度.(3)利用镜子的反射测物体的高度.六、板书设计课题:27.2.3相似三角形应用举例测高测宽盲区问题。

27.2.3 相似三角形应用举例教师备课素材示例●复习导入 1.相似三角形的判定方法有哪些？(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角分别相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似；(4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．2．相似三角形的性质有哪些？(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比；(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【教学与建议】教学：复习相似三角形的判定和性质，为本课时解决相似三角形的实际问题奠定基础．建议：学生如果出现回答不完整现象，其他同学相互补充．●悬念激趣胡夫金字塔是现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇迹之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约二百三十多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10多万人花了约20年时间．大金字塔原高146.59m，但经过几千年的风吹雨打，顶端风化，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的数学家、天文学家叫泰勒斯．他曾测量出大金字塔的高度．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？【教学与建议】教学：通过悬念问题的提出，让学生了解了本节课要探讨的问题方向．建议：对于测量问题，可以让学生小组讨论提出测量方案，作为一个专题完成学习．在阳光或者路灯的照射下，物、光线、影子构成的三角形相似，利用对应边成比例求线段长度．【例1】如图，身高为1.5m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3m，CA＝1m，则树的高度为(D)A．3mB．4mC．4.5mD．6m（例1题图）（例2题图）【例2】在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB＝2.5m，它的影长BC＝2m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.8m，MN＝1.2m，则木杆PQ的长度为__3.45__m.借助于标杆或三角尺，通过视线来构造相似直角三角形，进而利用对应边成比例解决问题．【例3】如图，小明同学用自制的直角三角纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝__5.5__m.平面镜反射光线时，入射角等于反射角，由此可构造相似的两个直角三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题．【例4】如图是小明设计用手电来测量某古城高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测量AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝12m，那么该古城墙的高度是(B)A．6mB．8mC．18mD．24m测量河、湖等宽度时，通常构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求宽度．【例5】如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB 等于(B)A．60mB．40mC．30mD．20m根据题意构造两对相似的直角三角形，利用相似三角形的性质求出物体的高．【例6】如图，一人拿着一支刻有厘米分度的小尺，他站在距电线杆约30m的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分度恰好遮住电线杆，已知臂长约60cm，则电线杆的高是__6__m.高效课堂教学设计1．能够运用相似三角形的知识，解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问题．2．能够根据同一时刻，物高与影长成比例，解决太阳光下的影长问题．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．▲重点运用相似的判定和性质定理解决实际问题．▲难点在实际问题中建立数学模型．◆活动1 新课导入你看过或听过解密埃及金字塔的故事吗？你知道古希腊数学家泰勒斯是怎样求出金字塔的高度的吗？◆活动2 探究新知1．教材P39例4.提出问题：(1)本例中是如何构造相似三角形求高的？(2)在太阳光下，如何利用影长求物体高度，你能从中得出什么结论？学生完成并交流展示．2．教材P40例5.提出问题：(1)构造相似三角形求河宽，至少需要测量几个数据？ (2)利用全等能求河宽吗？请设计出具体方案． 学生完成并交流展示． ◆活动3 知识归纳1．同一时刻的太阳光线下，物高与影长成比例．2．利用相似三角形解决问题的基本方法是：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解．◆活动4 例题与练习 例1 教材P 40 例6.例 2 九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD ＝3m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1.6m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2m ，求旗杆AB 的高度．解：由已知得CG∥AH，∴△CGE ∽△AHE ，∴CG AH ＝EG EH ，∴3－1.6AH ＝215＋2，∴AH ＝11.9(m)，∴AB ＝AH ＋EF ＝11.9＋1.6＝13.5(m).答：旗杆AB 的高度为13.5m ．例3 如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在点D 处的影长DE ＝3m ，沿BD 方向行走到点G ，DG ＝5m ，这时小明的影长GH ＝5m ．如果小明的身高为1.7m ，求路灯杆AB 的高度．(精确到0.1m)解：根据题意，得AB⊥BH，CD ⊥BH ，FG ⊥BH.在Rt △ABE 和Rt △CDE中，∵AB ⊥BH ，CD ⊥BH ，∴CD ∥AB ，∴△CDE ∽△ABE ，∴CD AB ＝DE BE ＝DEDE ＋BD①.同理，FG AB ＝HG HG ＋GD ＋BD ②.又∵CD＝FG ＝1.7m ，由①②可得DEDE ＋BD ＝HG HG ＋GD ＋BD ，即33＋BD ＝510＋BD ，解得BD ＝7.5m ．将BD ＝7.5m 代入①，得AB ＝5.95m ≈6.0m.答：路灯杆AB 的高度约为6.0m ．练习1．教材P 41 练习第1，2题．2．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5m 有一棵树，在北岸边每隔50m 有一根电线杆．小丽站在离南岸边15m 的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__22.5__m.3．如图，为了测量一棵树CD 的高度，测量者在点B 处立一根高为2m 的标杆，观测者站在点F 处时，观测者的眼睛E 与标杆顶A 和树顶C 在同一条直线上，若测量得到BD ＝6.4m ，FB ＝1.6m ，EF ＝1.6m ，求树的高度．解：过点E 作EG⊥CD 于点G ，交AB 于点H ，则EH⊥AB，∴∠AHE ＝∠CGE＝90°.又∵∠AEH＝∠CEG，∴△EAH ∽△ECG ，∴EH EG ＝AH CG ，即1.61.6＋6.4＝2－1.6CG，解得CG ＝2(m)，∴CD ＝CG ＋GD ＝2＋1.6＝3.6(m).答：树的高度为3.6m ． ◆活动5 完成附赠手册 ◆活动6 课堂小结1．测量不能直接测量的物体的高度：通常用同一时刻物高与影长成比例解决．2．测量不能直接测量的两点间的距离：通常构造相似三角形求解． 3．把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型．1．作业布置(1)教材P 43 习题27.2第9，10题； (2)学生用书对应课时练习． 2．教学反思。

《相似三角形的性质》教案设计一、教学目标1. 知识目标能探索相似三角形一系列性质的证明过程，理解相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质计算有关角、边、周长和面积问题2. 能力目标经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度。

利用相似三角形的性质解决实际问题，培养学生的创新意识。

3. 情感目标掌握初步的逻辑推理及类比的思维方法，感受从一般到特殊的认知规律，通过主动探索，体验成功的喜悦。

通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题复杂问题转化为简单问题的思想方法。

二、教学重点、难点、疑点教学重点相似三角形性质定理的探索及应用。

教学难点相似三角形性质的归纳推理，特别是面积之间的关系，并且注意“相似比”与“相似比的平方”的区分。

三、教学过程一、复习引入（1）、相似三角形有哪些性质？用符号语言怎样表示？（2）、如图：ΔABC～ΔDEF,相似比为k，则 x=____ y=_____ k=_____ ∠B=___ 二、探究新知相似三角形除了对应角相等，对应边成比例之外，还有其他性质吗？探究一、如图：相似△ ABC与△ DEF的相似比是多少？周长的比为多少？并且你发现了什么？让学生分组讨论得出：相似三角形周长的比等于相似比。

我们应该怎样证明这个结论呢？让学生先独立思考证明过程，然后小组讨论得出证明的过程，让其中一个小组代表展示证明的过程，以利于查缺补漏，从而得出了：相似三角形周长的比等于相似比。

探究二、相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比和相似比又有什么关系呢？学生分小组讨论，第一小组讨论对应高线的关系，第二小组讨论对应角平分线的关系，第三小组讨论对应中线的关系，然后，让三个小组选代表分别展示相似三角形的这三种线之间的对应关系，最后，老师在大屏幕上展示对应高与相似比之间的关系，这样，又得出了相似三角形的第二个性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。

27.2.3 相似三角形应用举例(第1课时)学习目标1.掌握在平行光线照射下,同一时刻不同物体的物高与影长成比例.2.掌握构造A字图和X字图的过程.3.能通过作图、测量、计算等活动,得到不能测量物体的长度.学习过程一、自主预习1.相似三角形的判定有哪些?2.相似三角形的性质有什么?3.如图,当时,△∽△.4.物高与影长:在太阳光下,同一时刻两个物体的高度和影长.如果某一电视塔在地面上的影长为60 m,同时一根高为2 m的竹竿的影长为3 m,则电视塔高.5.如图,AC∥DE,点C在直线BE上,AB⊥BE于B,DC⊥BE于C,求证:AAAA =AAAA.二、例题探究探究一:阅读教材39页例4及40页的解题过程,回答下列问题:(1)想一想如何测量金字塔的高度.(2)“在同一时刻,物高与影长之比是定值”这句话对吗?为什么?(3)写出解题过程.探究二:例5 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果我们测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,求河的宽度PQ.要求:(1)阅读题目了解如何测河宽.(2)由具体的操作获得已知条件,认真审题自己尝试求解.三、反馈练习1.课本41页练习第1题.2.课本41页练习第2题.3.如图,某同学身高AB=1.60米,他从路灯底部的D点处沿直线前进4米到点B时,其影长PB=2米,求路灯杆CD的高度.四、总结反思说说利用相似三角形进行测量的一般步骤是什么?五、能力提升1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某高楼的影长为60米,那么高楼的高度是()A.32米B.34米C.36米D.38米2.如图,要测量河两岸相对的两点A,B间的距离,先从B处出发,与AB成90°角方向,向前走50米到C处立一根标杆,然后方向不变继续朝前走10米到D处,在D处沿垂直于BD的方向再走5米到达E处,使A(目标物),C(标杆)与E在同一直线上,则AB的长为米.3.如图,一圆柱形油桶,高1.5 m,用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶用另一端的小口处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2 m,求桶内油面高度.4.如图1,物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播,现将图1抽象为图2,其中线段AB为蜡烛的火焰,线段A'B'为其倒立的像,如果蜡烛火焰AB的高度为2 cm,倒立的像A'B'的高度为5 cm,点O到AB的距离为4 cm,求点O到A'B'的距离.评价作业1.(6分)如图所示,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米,一棵大树的影长为5米,则这棵树的高度为()A.1.5米B.2.3米C.3.2米D.7.8米2.(6分)如图所示,身高1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A 走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为()A.4.8 mB.6.4 mC.8 mD.10 m3.(6分)如图所示,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是()mA.56mB.67C.6m5mD.1034.(6分)如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B 间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是()A.AB=24 mB.MN∥ABC.△CMN∽△CABD.CM∶MA=1∶25.(8分)如图所示,已知小明在打网球时,要使球C恰好能打过网DE,而且落在离网5 m 的位置上,则球拍击球的高度h应为 m.6.(8分)如图所示,已知零件的外径为25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2,量得CD=10 mm,则零件的厚度x=mm.7.(8分)一高1 m的油桶内有一定量的油,为了测出桶内油的深度,用一根长1.2 m的木棒从桶盖小口斜插入桶内,一端到桶底,另一端正好到小口,抽出棒,量得棒上浸油部分长0.45 m,则桶内油的深度为.8.(8分)如图所示,已知有两堵墙AB,CD,AB墙高2米,两墙之间的距离BC为8米,小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时,木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时,木梯刚好到达墙的顶端,则墙CD的高为.9.(13分)如图所示,为了测量一个大峡谷的宽度AO,地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O,再在他们所在的这一侧选点A,B,D,使AB⊥AO,DB⊥AB,然后确定DO和AB的交点C,测得AC=120 m,CB=60 m,BD=50 m,请你帮助他们算出峡谷的宽AO.10.(13分)王芳同学利用下面的方法测量学校旗杆的高.如图所示,在旗杆的底部B引一条直线BM,在这条直线适当的位置E处放一面镜子,当她沿着这条直线走到点D处时恰好在镜子中看到旗杆的顶端A,又测得BE=18米,ED=2.4米,已知王芳的眼睛到地面的高度CD=1.6米,求旗杆AB的高.11.(20分)将△ABC纸片按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF.已知AB=AC=6,BC=8.(1)求△ABC的周长;(2)若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,求BF的长.参考答案学习过程一、自主预习1.(1)平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所得三角形与原三角形相似.(2)三条边成比例的两个三角形相似.(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(4)两角分别相等的两个三角形相似.(5)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.2.(1)相似三角形的对应边成比例;(2)相似三角形的对应角相等;(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)的比等于相似比;(4)相似三角形的周长比等于相似比;(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.3.DE∥BC ADE ABC4.成正比20 m5.证明:∵AC∥DE,∴∠ACB=∠DEC.∵AB⊥BE于B,DC⊥BE于C,∴∠ABC=∠DCE=90°,∴△ABC∽△DCE,∴AAAA =AAAA.二、例题探究探究一:解:太阳光是平行光线,因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°,∴△ABO∽△DEF.∴AAAA =AAAA,∴BO=AA·AAAA =201×23=134(m).因此金字塔的高度为134 m.探究二:解:∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P, ∴△PQR∽△PST.∴AAAA =AAAA,即AAAA+AA =AAAA,AAAA+45=6090,PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90(m).因此,河宽大约为90 m.三、反馈练习1.解:设这栋楼的高度为x m,根据题意得1.83=A90,解得x=54,∴这栋楼的高度为54 m.2.解:由图得AB⊥BC,EC⊥BC,∴∠B=∠C=90°.∵∠ADB=∠EDC,∴△ABD∽△ECD,∴AA AA =AAAA,∴12060=AA50,解得AB=100.故河宽AB为100 m.3.解:根据题意得:AB∥CD,PD=2+4=6(米),∴△PAB∽△PCD,∴AAAA=AAAA,即1.62=AA6,解得CD=4.8(米).答:路灯杆CD的高度为4.8米.四、总结反思利用相似三角形进行测量的一般步骤:①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度;③画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量;④检验并得出答案.五、能力提升1.C2.253.解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴AAAA =AAAA,即AA1.5=1.22,解得AE=0.9 m,∴EC=1.5-0.9=0.6(m).∴桶内油面高度为0.6 m.4.解:∵AB ∥A'B', ∴△ABO ∽△A'B'O ,∴AA A 'A '=25是相似比,∴点O 到A'B'的距离=52×4=10(cm), ∴点O 到A'B'的距离为10 cm .评价作业1.C2.C3.C4.D5.2.76.2.57.38 m 8.7.5米9.解:∵AB ⊥AO ,DB ⊥AB ,∴∠A=∠B=90°.又∠ACO=∠BCD ,∴△ACO ∽△BCD ,∴AAAA =AA AA .∵AC=120 m,BC=60 m,BD=50 m,∴AA50=12060,解得AO=100(m),即峡谷的宽AO 是100 m .10.解:如图所示,过点E 作镜面的垂线EF ,由光学原理得∠AEF=∠CEF.∵∠DEC=90°-∠CEF ,∠BEA=90°-∠AEF ,∴∠DEC=∠BEA.又∵∠CDE=∠ABE=90°,∴△CDE ∽△ABE ,∴AAAA =AA AA ,即1.6AA=2.418,解得AB=12(米).答:旗杆AB 高为12米.11.解:(1)∵AB=AC=6,BC=8,∴△ABC 的周长=AB+AC+BC=20.(2)①∵以点B',F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,∴△B'FC ∽△ABC ,∴B'F ∶AB=FC ∶BC ,即BF ∶6=(8-BF )∶8,解得BF=247.②∵以点B',F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,∴△FB'C ∽△ABC ,∴B'F ∶AB=FC ∶AC ,即BF ∶6=(8-BF )∶6,解得BF=4.综上所述,BF 的长为247或4.。

27.3.3相似三角形应用举例---------视线遮挡问题一、教学目标：1、进一步巩固相似三角形的相关知识。

2、能够使用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度或高度等实际问题（视线遮挡问题）二、数学思考与问题解决：通过探究活动，使用所学的相似三角形知识解决实际问题，培养学生的观察、归纳、建模、应用水平，进一步积累数学活动经验。

三、重点难点：重点：使用相似三角形的判定、性质解决实际问题。

难点：灵活使用三角形相似的知识解决实际问题，如何把实际问题抽象为数学问题。

四、教学过程一、复习旧知：（1）三角形相似的判定方法？（2）相似三角形有哪些性质？设计意图：通过复习三角形的相似的判定和性质巩固了旧知，有利于同学们利用三角形相似建立数学模型，解决实际问题。

二、情景引入如图，小强在幕布后活动，你认为小强应在什么区域活动，才能不被小明（在幕布的前面）看见？请在图中画出小强的活动范围，并用阴影部分表示.设计意图：通过情景的引入，引起学生的兴趣，让同学们充分体会生活中的数学。

二、讲授新知我们用点O表示小明眼睛的位置，人在观察目标时，眼睛所在的位置叫做视点。

从视点到目标的的射线叫做视线。

有公共视点的两条视线所成的角叫做视角。

由于幕布的遮挡，视线不能到达的区域，叫做盲区。

小试牛刀：如示意图，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路记为BC，一辆以９０km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，先找出B，C两点再求出小华家到公路的距离．设计意图：通过对实际问题的分析，让学生体会在实际问题中构造三角形相似，在构造的三角形中，找到已知的线段，利用性质列比例求解。

例1 已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m 和CD=12m ，两树的根部的距离BD=5m 。

一个身高1.6m 的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C ？分析：假设观察者从左向右走到点E 时，他的眼睛的位置点F 与两棵树的顶端点A 、C 恰在一条直线上,如果观察者继续前进，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C 在观察者的盲区之内，观察者看不到它。