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四川省德阳市2022-2021学年高一下学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，3} B．{3，4} C．{3} D．{4}2．已知各项均不为0的数列{a n}满足：a n+1﹣3a n=0，则=（）A．B．3C．D．273．过点（1，﹣1）的直线l与直线：﹣5x+y=0平行，则l在纵轴上的截距是（）A．﹣4 B．4C．﹣6 D．64．设m＜0，﹣1＜n＜0，则m，mn，mn2三者的关系大小为（）A．m＜mn2＜mn B．m＜mn＜mn2C．m n2＜m＜mn D．mn2＜mn＜m5．指数函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值之差等于，则常数a的值是（）A．2B．C．2或D．2或6．要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D 由不等式组确定，若M（x，y）为D上的动点，则Z=x+y的最大值为（）A．4B．4C．3D．38．在△ABC中，sin2C=（sinA﹣sinB）2+sinAsinB，则C的值是（）A．B．C．D ．9．三角形ABC满足，||=||，点M为边BC的中点，且||=4，=0，则边AC的长度为（）A．4B．4C．8D．810．已知二次函数f（x）=x2﹣2x+ab（a≠b）有唯一的零点，则代数式||的最小值是（）A．8B．6C．4D．4二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卡的横线上）11．原点到直线3x﹣4y﹣5=0的距离为．12．设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为．13．已知等差数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a3=．14．已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的肯定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC面积的最小值为．15．有以下5个命题：①若P（a，b），Q（c，d）是直线y=kx+m上两个不同的点，则|PQ|可以表示为|c﹣a|；②若||=1．||=，且（）⊥，则与的夹角为45°；③三角形的三边分别是4，5，6，则该三角形的最大内角是最小内角的两倍；④在平面直角坐标系中全部直线都有倾斜角，但不是全部直线都有斜率，且倾斜角越大，则斜率越大；⑤若三角形ABC的重心为P ，则．其中正确的命题是．（写出全部正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知O（0，0），M（﹣1，﹣2），N（3，n）均在直线l上，（1）求n的值及直线l的斜率；（2）若点P为直线l上一个动点，A（1，5），B（7，1），求的最小值．17．已知向量=（1，1），=（x，3），，；（1）若，求x 的值，并推断与同向还是反向；（2）若向量在向量方向上的投影为，求x的值．18．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，（1）求ω的值与函数f（x）的图象的对称轴方程；（2）若角A为△ABC的最小内角，求f（A）的取值范围．19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+acosB=2ccosC，c=；（1）若A=，求边b的长；（2）求△ABC面积的最大值．20．已知数列{a n}是公比为d的等比数列，且a1与a2的算术平均数恰好是a3；（1）求d；（2）设{b n}是以2为首项，d为公差的递减等差数列，其前n项和为S n，比较S n与b n的大小．21．已知实数a＞0，定义域为（﹣1，1）的函数f（x）=+a；（1）当a=1时，用定义判定f（x）的奇偶性并求（x）的最小值．（2）用定义证明函数g（x）=x+（k＞0）在（0，）上单调递减，则（，+∞）上单调递增；（3）利用（2）的结论求实数a的取值范围，使得对于区间[0，]上的任意三个实数r，s，t，都存在以f（r），f（s），f（t）为边长的三角形．四川省德阳市2022-2021学年高一下学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{2，3} B．{3，4} C．{3} D．{4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={2，3，4}，∴（∁U A）∩B={3，4，5}∩{2，3，4}={3，4}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知各项均不为0的数列{a n}满足：a n+1﹣3a n=0，则=（）A．B．3C．D．27考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：依据条件a n+1﹣3a n=0，得到数列{a n}为等比数列，依据等比数列的通项公式进行求解即可．解答：解：a n+1﹣3a n=0，∴a n+1=3a n，则数列{a n}为等比数列，公比q=3，则=q3=33=27，故选：D．点评：本题主要考查等比数列的性质和通项公式的应用，推断数列是等比数列是解决本题的关键．3．过点（1，﹣1）的直线l与直线：﹣5x+y=0平行，则l在纵轴上的截距是（）A．﹣4 B．4C．﹣6 D．6考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由平行关系可得直线的斜率，可得直线的方程，令x=0解得y值即为截距．解答：解：由题意可得直线﹣5x+y=0的斜率为5，由平行关系可得直线l的斜率也为5，∴所求直线方程为y+1=5（x﹣1），令x=0可得y=﹣6，∴l在纵轴上的截距为﹣6故选：C．点评：本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．4．设m＜0，﹣1＜n＜0，则m，mn，mn2三者的关系大小为（）A．m＜mn2＜mn B．m＜mn＜mn2C．m n2＜m＜mn D．mn2＜mn＜m考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的基本性质即可得出．解答：解：∵m＜0，﹣1＜n＜0，∴n＜n2＜1，∴m＜mn2＜mn．故选：A．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5．指数函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值之差等于，则常数a的值是（）A．2B．C．2或D．2或考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：对底数a分类争辩，分别依据指数函数的单调性求出函数的最大、小值，由条件列出方程求出a的值．解答：解：①当a＞1时，y=a x在区间[﹣1，1]上的最大值是a ，最小值是，∴a ﹣=，则2a2﹣3a﹣2=0，解得a=2或（舍去），则a=2；②当a＞1时，y=a x在区间[﹣1，1]上的最小值是a ，最大值是，∴﹣a=，则2a2+3a﹣2=0，解得a=或﹣2（舍去），则a=，综上可得，a 的值是或2，故选：C．点评：本题考查指数函数的单调性，以及分类争辩思想，属于基础题．6．要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：依据平移的性质，，依据平移法则“左加右减”可知向右平移个单位．解答：解：∵故选：D点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．但要留意平移量是而不是，平移量是指x的变化量．7．已知平面直角坐标系xOy上的区域D 由不等式组确定，若M（x，y）为D上的动点，则Z=x+y的最大值为（）A．4B．4C．3D．3考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足已知不等式组确定的可行域，并求出各角点的坐标，代入目标函数中分别求出目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值解答：解：满足不等式组确定的可行域如下图中阴影部分所示：∵z=x+y，则y=﹣x+z，∴z O=0，z A=3，z B=4，z C=2，故z=的最大值为4；故选A．点评：本题考查的学问点是简洁的线性规划，娴熟把握角点法是快速精确的解答线性规划题的关键；考查了数形结合的思想．8．在△ABC中，sin2C=（sinA﹣sinB）2+sinAsinB，则C的值是（）A．B．C．D ．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：原式可化简为a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理知cosC==，即可求得C的值．解答：解：∵已知等式sin2C=（sinA﹣sinB）2+sinAsinB=sin2A+sin2B﹣sinAsinB，∴sin2C+sinAsinB=sin2A+sin2B，利用正弦定理化简得：c2+ab=a2+b2，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC==，又0＜C＜π，∴C=；故选：C．点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，属于中档题．9．三角形ABC满足，||=||，点M为边BC的中点，且||=4，=0，则边AC的长度为（）A．4B．4C．8D．8考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：依据平面对量的加减法的几何意义分析以AB，AC为邻边的平行四边形的外形，求AC．解答：解：由三角形ABC满足，||=||，依据平行四边形法则，可知以AB，AC为邻边的平行四边形对角线相等，所以是矩形，又点M为边BC的中点，且||=4，=0，所以得到对角线垂直，所以AC=AM=4；故选：A．点评：本题考查了平面对量的加法和减法的几何意义以及数量积为0的几何意义的运用．10．已知二次函数f（x）=x2﹣2x+ab（a≠b）有唯一的零点，则代数式||的最小值是（）A．8B．6C．4D．4考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由二次函数f（x）有唯一零点，便有△=0，这样便得到ab=1，从而2ab=2，从而有，依据基本不等式即可求出原代数式的最小值．解答：解：二次函数f（x）有唯一零点；∴△=4﹣4ab=0；∴ab=1；∴=；∴原代数式的最小值是4．故选：D．点评：考查函数零点的概念，二次函数有一个零点时的判别式△的取值状况，分别常数法的运用，基本不等式用于求最小值．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卡的横线上）11．原点到直线3x﹣4y﹣5=0的距离为1．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式解答．解答：解：原点到直线3x﹣4y﹣5=0的距离为：=1；故答案为：1．点评：本题考查了点到直线的距离公式的运用；熟记公式是关键．12．设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为﹣3．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解答：解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）==故答案为：﹣3点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，娴熟把握公式是解本题的关键．13．已知等差数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则a3=6．考点：等差数列的通项公式．专题：综合题；分类争辩．分析：依据等差数列的前n项和公式，分两种状况考虑：当n=1时，得到a1=S1；当n大于等于2时，利用a n=S n﹣S n﹣1即可得点a n的通项公式，把n=1代入也满足，进而得到数列的通项公式，然后令n=3代入通项公式即可求出a3的值．解答：解：当n=1时，得到a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，把n=1代入a n得：a1=2满足，所以等差数列{a n}的通项公式a n=2n，则a3=2×3=6．故答案为：6点评：此题考查同学机敏运用数列的递推式求出通项公式，机敏运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．求等差数列通项公式时留意把n=1代入检验．14．已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的肯定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC 面积的最小值为h 1•h2．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：过A 作l1、l 2的垂线，分别交l1、l2于E、F ．设∠FAC=θ，由直角三角形中三角函数的定义，算出AC=且AB=，从而得到△ABC面积S=AB•AC=，利用正弦函数的有界性，可得θ=时△ABC面积有最小值h1•h2．解答：解：过A作l1、l2的垂线，分别交l 1、l2于E、F，则AF=h1，AE=h2，设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC=，Rt△ABE中，∠ABE=θ，可得AB=，∴△ABC面积为S=AB•AC=，∵θ∈（0，）∴当且仅当θ=时，sin2θ=1达到最大值1，此时△ABC面积有最小值h1•h2，故答案为：h1•h2点评：此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．15．有以下5个命题：①若P（a，b），Q（c，d）是直线y=kx+m上两个不同的点，则|PQ|可以表示为|c﹣a|；②若||=1．||=，且（）⊥，则与的夹角为45°；③三角形的三边分别是4，5，6，则该三角形的最大内角是最小内角的两倍；④在平面直角坐标系中全部直线都有倾斜角，但不是全部直线都有斜率，且倾斜角越大，则斜率越大；⑤若三角形ABC的重心为P，则．其中正确的命题是①③⑤．（写出全部正确命题的序号）考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：由条件利用两点间的距离公式、两个向量的夹角公式、余弦定理、直线的倾斜角和斜率、三角形的重心的性质，逐一推断各个选项是否正确，从而得出结论．解答：解：∵P（a，b），Q（c，d）是直线y=kx+m上两个不同的点，则b=ka+m，d=kc+m，∴|PQ|===|c﹣a|，故①正确．②若||=1，||=，且（）⊥，则（）⊥=+•=1+1×2×cos＜，＞=0，求得cos＜，＞=﹣，可得与的夹角＜，＞=120°，故②不正确．③三角形的三边分别是4，5，6，则该三角形的最大内角为α，最小内角为β，则由余弦定理可得cosα==，cosβ==，2cos2β﹣1==cosα，∴α=2β，即该三角形的最大内角是最小内角的两倍，故③正确．在平面直角坐标系中全部直线都有倾斜角，但不是全部直线都有斜率，但不是倾斜角越大，则斜率越大，如倾斜角为60°的直线斜率为，而倾斜角为120°的直线的斜率为﹣，故④不正确．⑤若三角形ABC的重心为P，线段BC的中点为D，则由三角形的重心的性质可得PA=2PD，而=2，则有+=﹣，即，故⑤正确，故答案为：①③⑤．点评：本题主要考查命题的真假的推断，两点间的距离公式、两个向量的夹角公式、余弦定理、直线的倾斜角和斜率、三角形的重心的性质，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知O（0，0），M（﹣1，﹣2），N（3，n）均在直线l上，（1）求n的值及直线l的斜率；（2）若点P为直线l上一个动点，A（1，5），B（7，1），求的最小值．考点：平面对量数量积的运算；直线的斜率．专题：平面对量及应用；直线与圆．分析：（1）利用O，M两点求直线方程，再由N在直线l上求n；（2）由（1）设P（x，2x），利用坐标表示，依据表达式求最小值．解答：解：（1）由题意直线l 的方程为y=2x，所以n=6，直线l的斜率为2．（2）由（1）设p（x，2x），则=（1﹣x，5﹣2x）•（7﹣x，1﹣2x）=5x2﹣20x+12=5（x﹣2）2﹣8，所以当x=2时，即P（2，4）时，的最小值为﹣8．点评：本题考查了直线方程的求法以及平面对量的数量积、二次函数求最值；属于基础题．17．已知向量=（1，1），=（x，3），，；（1）若，求x 的值，并推断与同向还是反向；（2）若向量在向量方向上的投影为，求x的值．考点：平面对量数量积的运算；平面对量共线（平行）的坐标表示．专题：平面对量及应用．分析：（1）先写出向量的坐标，依据平行向量的坐标关系即可建立关于x的方程，解出x，从而便得到的坐标，依据坐标即可推断的方向；（2）依据投影的计算公式有，进行数量积的坐标运算即可解出x．解答：解：（1）=（1+2x，7），；∵∥；∴﹣（1+2x）﹣7（2﹣x）=0；∴x=3，此时；∴；∴与反向；（2）向量在方向上的投影为；∴解得x=﹣1．点评：考查向量坐标的加法、减法，及数乘运算，平行向量的坐标关系，数乘的几何意义，以及向量投影的计算公式，向量数量积的坐标运算．18．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，（1）求ω的值与函数f（x）的图象的对称轴方程；（2）若角A为△ABC的最小内角，求f（A）的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简可得f（x）=2sin（ωx+），利用周期公式可求ω，令2x+=k，则x=，即求得函数f（x）的图象的对称轴方程．（2）由题意可得0＜A，可得2A，求得2sin（2A+）∈[0，2]，即可得解．解答：解：（1）由题意可得f（x）=2sin（ωx+），∵，可得ω=2．即f（x）=2sin（2x+），令2x+=k，则x=，即函数f（x）的图象的对称轴方程为：x=（k∈Z）…6分（2）由题意可得0＜A，∴2A，∴sin（2A+）∈[0，1]，∴2sin（2A+）∈[0，2]，即f（A）的取值范围为[0，2]…12分点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本学问的考查．19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+acosB=2ccosC，c=；（1）若A=，求边b的长；（2）求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由正弦定理化简已知等式可得sinC=2sinCcosC，结合范围C∈（0，π），可求C，B的值，利用正弦定理即可求得B的值．（2）利用余弦定理及基本不等式的应用可得3=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取等号），利用三角形面积公式即可得解．解答：解：（1）由题意可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC，∴sin（A+B）=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，又sinC≠0，∴cosC=，又C∈（0，π），∴C=，∴B=，又c=，在△ABC中，∵，∴b=…6分（2）在△ABC中，∵c2=a2+b2﹣2abcosC，且c=，C=，∴3=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取等号），∴S△ABC =（当且仅当a=b时取等号），即当△ABC为正三角形时，△ABC 面积的最大值为…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于基本学问的考查．20．已知数列{a n}是公比为d的等比数列，且a1与a2的算术平均数恰好是a3；（1）求d；（2）设{b n}是以2为首项，d为公差的递减等差数列，其前n项和为S n，比较S n与b n的大小．考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）依据条件建立方程关系即可求d；（2）求出S n与b n的表达式，利用作差法进行比较即可．解答：解：（1）∵a1与a2的算术平均数恰好是a3；∴a1+a1d=2a1d2，∵a1≠0，∴2d2﹣d﹣1=0，解得d=1或d=﹣．（2）∵{b n}是以2为首项，d为公差的递减等差数列，∴d=﹣，则b n=2+（n﹣1）（）=+．前n项和为S n =2n+=，S n﹣b n =﹣（+）==，故当n=1或n=10时，S n=b n，当1＜n＜10时，S n＞b n，当n＞10，且n∈N时，S n＜b n．点评：本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查同学的运算力量．21．已知实数a＞0，定义域为（﹣1，1）的函数f（x）=+a；（1）当a=1时，用定义判定f（x）的奇偶性并求（x）的最小值．（2）用定义证明函数g（x）=x+（k＞0）在（0，）上单调递减，则（，+∞）上单调递增；（3）利用（2）的结论求实数a的取值范围，使得对于区间[0，]上的任意三个实数r，s，t，都存在以f（r），f（s），f（t）为边长的三角形．考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）依据函数奇偶性的定义进行推断函数的奇偶性，化简函数，即可求f（x）的最小值；（2）利用函数单调性的定义，利用定义法进行证明；（3）利用换元法将结合（2）的结论将问题转化为在区间上，恒有2y min＞y max．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=+，定义域为（﹣1，1），则f（﹣x）=+=f（x），则函数f（x）为偶函数，f（x）=+==，∵x∈（﹣1，1），∴1﹣x2∈（0，1]，∴∈（0，1]，∴当=1时，f（x）取得最小值为2；（2）设0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）=（x1﹣x2）•．由0＜x1＜x2＜，可得（x1﹣x2）＜0，0＜x1x2＜k，∴（x1﹣x2）•＞0，f（x1）＞f（x2），故函数在（0，）上单调递减．设＜x1＜x2，同理可得f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）•＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数在（，+∞））上单调递增．（3）设t=，则当x∈[0，]时，可得，∴从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间上，恒有2y min＞y max．①当时，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴，由2y min＞y max得，从而；③当时，在上单调递减，在上单调递增，∴y min=2，y max=a+1，由2y min＞y max得，从而；④当a≥1时，在上单调递减，∴，由2y min＞y max得，从而；综上，．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的推断，以及函数y=x+（k＞0）的单调性的证明和应用，利用定义法是解决本题的关键．考查同学分析转化问题的力量，运算量较大，属于难题．。
德阳市高中2015级“二诊”考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，实数，满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】，则故选D.2. 已知集合，集合，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】得到，故选A.3. 函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，即平移后得到的函数为奇函数，即为奇函数，对照选项可知选B.4. 实验测得四组数对的值为，，，，则与之间的回归直线方程是（）参考公式：，.A. B.C. D.【答案】A【解析】样本中心点为,计算得,代入验证可知选项正确.5. 如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为故这个几何体的外接球的表面积为．故选C．【点睛】本题考查了由三视图，求体积和表面积，其中根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．属于中档题．6. 《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中表示除以的余数，例如.若输入的值为8时，则输出的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得：满足条件，满足条件满足条件，不满足条件，，满足条件，满足条件，…，可得：2， 4， 8，∴共要循环3次，故．故选B.7. 已知，则、、的大小排序为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】为正实数，且，可得：即因为函数单调递增，∴.故选A.8. 以等腰直角三角形的斜边上的中线为折痕，将与折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①平面；②为等边三角形；③平面平面；④点在平面内的射影为的外接圆圆心.其中正确的有（）A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④【答案】C【解析】由于三角形为等腰直角三角形,故,所以平面,故①正确,排除选项.由于,且平面平面,故平面,所以,由此可知,三角形为等比三角形,故②正确,排除选项.由于,且为等边三角形,故点在平面内的射影为的外接圆圆心, ④正确,故选.9. 已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（）A. 3B. 1C.D. 2【答案】D【解析】双曲线的离心率为，则故其一条渐近线不妨为，圆的圆心，半径为2，双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，可得圆心到直线的距离为：故选D．10. 已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于,函数为增函数,且,函数为奇函数,故,即在上存在.画出的图象如下图所示,由图可知,,故选.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与奇偶性,考查利用导数研究函数的单调性,考查恒成立问题的解题思路.给定一个函数的解析式,首先要分析这个函数的定义域,单调性与奇偶性等等性质,这些对于解有关函数题目可以有个方向,根据基本初等函数的单调性要熟记.11. 如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于、、点，令，，则当时，的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】设，则又，可得同理可得，故选B.12. 已知、是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，当点、分别位于分段函数的两支上，且直线分别与函数图像相切时，最小，设当时，直线因为点在直线直线上，解得同理可得则，且函数在上单调递增，在上单调递见，故函数的最大值为. 故选B.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13. 已知实数，满足条件，则的最大值为__________．【答案】8【解析】画出可行域如图所示，则当目标函数y经过点时取代最大值，即答案为4.14. 为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．【答案】【解析】,解得,根据中位数为,可知,故.15. 如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为__________．【答案】【解析】不妨设为直角,且,以分别为轴,此时为点的坐标,表示到原点的距离,最短时为点到直线的距离,由于是中位线,故最短的等于点到距离的一半,即.16. 已知中，角、、所对的边分别是、、且，，，若为的内心，则的面积为__________．【答案】【解析】由于,所以,展开化简得.由正弦定理得,所以,解得.设,设外切圆半径为,根据海伦公式有,解得,故.【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查了三角形的面积公式,包括海伦公式及有关内切圆的面积公式.首先根据,及,得到,利用两角和与差的正弦公式和二倍角公式,化简这个式子可求得的值.利用海伦公式可求得面积.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列满足，.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【试题分析】(1)利用配凑法将已知配凑成等比数列的形式,由此证得为等比数列.(2)由(1)求得的通项公式,利用裂项求和法求得数列的前项和.【试题解析】（1）∵，∴.又，∴，.∴是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，∴,∴.18. 省环保厅对、、三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：城城城已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.（1）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在城中应抽取的数据的个数；（2）已知，，求在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.【答案】（1）9；（2）.【解析】【试题分析】(1)由计算出,再由总数计算出,按比例计算得应抽人数.(2)由（1）知，且，，利用列举法和古典概型计算公式计算得相应的概率.【试题解析】（1）由题意得，即.∴，∴在城中应抽取的数据个数为.（2）由（1）知，且，，∴满足条件的数对可能的结果有，，，，，，，共8种.其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有，，共3种.∴在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为.19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，点、分别为和的中点.（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【试题分析】(1)取的中点，连结、，通过证明四边形为平行四边形,得到,由此证得平面.(2)利用等体积法,通过建立方程,由此求得点到面的距离.【试题解析】（1）取的中点，连结、，由题意，且，且，故且，所以，四边形为平行四边形，所以，，又平面，平面，所以，平面.（2）设点到平面的距离为.由题意知在中，，在中，在中，故，，，，所以由得：，解得.20. 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点、，点，试探究：直线与的斜率之积是否为常数.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【试题分析】(1)根据三角形面积公式和离心率建立方程,解方程组可求得的值.(2)设出直线的方程联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,通过计算.化简后可得为常数. 【试题解析】（1）由题意得（其中椭圆的半焦距），解得.所以椭圆的方程为：.（2）由题意设直线的方程为：，，，由得：，所以，故，，（常数）.21. 已知函数.（1）若是的一个极值点，求的最大值；（2）若，，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【试题分析】(1)求出函数的导数,通过求得的值,根据单调区间求得函数的最大值.(2)将原不等式转化为,构造函数,对求导,对两者比较大小,分成两类,利用分离常数法求得的取值范围.【试题解析】（1），由题意得，即，所以，所以，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.（2）由题意得，都有，令函数，当时，在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以在上单调递减，故，所以实数的取值范围为.同理，当时，在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以在上单调递减，故.所以实数的取值范围为，综上，实数的取值范围为.【点睛】本小题主要考查函数导数与极值,考查函数导数与不等式恒成立问题. 与函数最值有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. 在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（2）记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值. 【答案】（1）直线的极坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：；（2）. 【解析】试题分析：（1）根据极坐标方程、参数方程与普通方程的对应关系即可得出答案；（2）由（1），，所以，即可得到的最大值.试题解析：（1）由题意得直线的普通方程为：，所以其极坐标方程为：.由得：，所以，所以曲线的直角坐标方程为：.（2）由题意，，所以，由于，所以当时，取得最大值：.23. 已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意或，由此可解不等式；（2）由于关于的不等式的解集非空，函数的最小值为-1，由此解得的范围．试题解析：（1）由题意或，所以或，即或，或或，故原不等式的解集为.（2），由于，所以当时，的最小值为-1.所以实数的取值范围为：.【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题。
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学(理工类)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共6页.满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 第Ⅰ卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤,集合B 为整数集,则A B = ( )A .{1,0,1,2}-B .{2,1,0,1}--C .{0,1}D .{1,0}- 2.在6(1)x x +的展开式中,含3x 项的系数为( )A .30B .20C .15D .103.为了得到函数sin(21)y x =+的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )A .向左平行移动12个单位长度B .向右平行移动12个单位长度C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度 4.若0a b >>,0c d <<,则一定有( )A .a bc d > B .a b c d < C .a b d c> D .a b d c<5.执行如图的程序框图,如果输入的x ,y ∈R ,那么输出的S 的最大值为( )A .0B .1C .2D .36.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A .192 种B .216 种C .240 种D .288 种7.平面向量a (1,2)=,b (4,2)=,c m =a +b ()m ∈R ,且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =( )A .2-B .1-C .1D .28.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上,直线OP 与平面1A BD 所成的角为α,则sin α的取值范围是 ( )A.B .C .[]33D .[39.已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--,(1,1)x ∈-.现有下列命题：①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x =+；③|()|2||f x x ≥.其中的所有正确命题的序号是( )A .①②③B .②③C .①③D .①②10.已知F 为抛物线2y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,2OA OB =（其中O 为坐标原点）,则ABO △与AFO △面积之和的最小值是( )A .2B .3CD 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效.第Ⅱ卷共11小题.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.复数22i1i-=+ . 12.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数,当[1,1)x ∈-时,242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-=⎨⎩≤＜≤＜则3()2f = .13.如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67,30,此时气球的高是46 m ,则河流的宽度BC 约等于m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin670.92≈,cos670.39≈,sin370.60≈,cos370.80≈ 1.73≈）14.设m ∈R ,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ,则||||PA PB 的最大值是 .15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ,存在一个正数M ,使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -.例如,当31()x x ϕ=,2()sin x x ϕ=时,1()x A ϕ∈,2()x B ϕ∈.现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ,则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ,a D ∃∈,()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ,()g x 的定义域相同,且()f x A ∈,()g x B ∈,则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)1xf x a x x =+++（2x >-,a ∈R ）有最大值,则()f xB ∈. 其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数π()sin(3)4f x x=+.（Ⅰ）求()f x的单调递增区间；（Ⅱ）若α是第二象限角,4π()cos()cos2354fααα=+,求cos sinαα-的值.17.（本小题满分12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立.（Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列；（Ⅱ）玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少？（Ⅲ）玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 18.（本小题满分12分）三棱锥A BCD-及其侧视图、俯视图如图所示.设M,N分别为线段AD,AB的中点,P为线段BC上的点,且MN NP⊥.（Ⅰ）证明：P为线段BC的中点；（Ⅱ）求二面角A NP M--的余弦值.19.（本小题满分12分）设等差数列{}na的公差为d,点(,)n na b在函数()2xf x=的图象上（n*∈N）.（Ⅰ）若12a=-,点87(,4)a b在函数()f x的图象上,求数列{}na的前n项和nS；（Ⅱ）若11a=,函数()f x的图象在点22(,)a b处的切线在x轴上的截距为12ln2-,求数列{}nnab的前n项和nT.20.（本小题满分13分）已知椭圆C：22221x ya b+=(0)a b>>的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点,T为直线3x=-上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ⅱ）当||||TFPQ最小时,求点T的坐标.21.（本小题满分14分）已知函数2()e1xf x ax bx=---,其中,a b∈R,e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数.（Ⅰ）设()g x是函数()f x的导函数,求函数()g x在区间[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若(1)0f=,函数()f x在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）101{A B-＝,【提示】由题意，可先化简集合【考点】交集及其运算32最大值，画出可行域如图：1x=⎧【解析】解：如图：31tan45tan30-︒-︒tan1560AD︒=，∴tan6060DC AD=︒=120(31)(m)-.数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）2OA OB =，∴12122x x y y +=，结合，B 位于x 轴的两侧，∴122y y =-，故不妨令点A 在轴上方，则0y >，又1123y y =. 面积之和的最小值是【提示】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及2OA OB =消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题【考点】直线与圆锥曲线的关系【答案】2【解析】(,2)c a b m m m =+=||||||||a c b ca cbc =，即2252051620525m m m =+++，即584m +=解得2m =.【提示】利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出.数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）4cos sin 5α（﹣是第二象限角，∴cos α-ABAC A =1BC AA AC A =，，11BC ACC A ⊥平面AB 的中点M 1DEA MC 平面1DE A MC 平面231142434(1)44n nn n -++++-+2341142434(1)44n n n n +++++-+114(13)4443n n n n ++----⋅=，∴1(31)449n n n T +-+=. 是平行四边形，∴OP QT =，∴(1=±.2122242|||242333m y y m m -⎛⎫-=-= ⎪++⎝⎭. 22(,)Q x y .直线方程与椭圆方程可得根与系可得OP QT =，即可解得21|||y y -. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）11ln 2x x ⎫=-⎪⎭上单调递增，在区间。
四川省德阳五中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={﹣2，1，2}，则A∪（∁U B）等于（）A．∅B．{1} C．{1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若a∈{﹣2，0，1，}，则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示的圆的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．（5分）已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3] C．（0，2）D．（0，2]6．（5分）已知在m、n、l1、l2表示直线，α、β表示平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2=M，则α∥β的一个充分条件是（）A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2 7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．32 C．D．+8．（5分）已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线L：与曲线仅有三个交点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）在平面直角坐标系中，A={（x，y）|x2+y2≤1}，B={（x，y）|x≤4，y≥0，3x ﹣4y≥0}则P={（x，y）|x=x1+x2，y=y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为（）A．6 B．6+πC．12+πD．18+π二、填空题（本大题共5小题，每小题5分）11．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．12．（5分）设等差数列{a n}的前9项和S9=18，则a1+a3+a11=．13．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为．14．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为．15．（5分）下列命题中，正确的是．①平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=②已知=（sinθ，），=（1，），其中θ∈，则⊥③O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：=+λ（+），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心④双曲线﹣=1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为内切或外切；⑤命题“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”．三、解答题（本大题共75分，其中16、17、18、19题各12分，20题13分，21题14分）16．（12分）已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBs in C的值．18．（12分）根据下列条件，分别求出相应椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；（2）已知一个焦点是F（1，0），且短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形．19．（12分）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n=2﹣2S n；数列{a n}为等差数列，且a5=14，a7=20．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n（n=1，2，3…），T n为数列{c n}的前n项和．求T n．20．（13分）如图所示，圆柱的高为2，底面半径为，AE、DF是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC．（1）求证：BC∥EF；（2）若四边形ABCD是正方形，求证B C⊥BE；（3）在（2）的条件下，求四棱锥A﹣BCE的体积．21．（14分）设椭圆C：的右、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2+=0．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M、N两点，点P（4，0），求△PM N面积的最大值．四川省德阳五中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={﹣2，1，2}，则A∪（∁U B）等于（）A．∅B．{1} C．{1，2} D．{﹣1，0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：先求出集合B的补集，再根据两个集合的并集的意义求解即可．解答：解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={﹣2，1，2}，∴C U B={﹣1，0}，A∪（C U B）={﹣1，0，1，2}，故选：D．点评：本题主要考查了交、并、补集的混合运算，是集合并集的基础题，也是2015届高考常会考的题型．2．（5分）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数奇偶性的判断．专题：简易逻辑．分析：直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可．解答：解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立；但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0．故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件．故选：A．点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（5分）若a∈{﹣2，0，1，}，则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0表示的圆的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：方程即（x﹣）2+（y+a）2=1﹣a﹣a2 ，把a的值逐一代入检验，可得结论．解答：解：方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a﹣1=0 即方程（x﹣）2+（y+a）2=1﹣a﹣a2 ，可以表示以（，﹣a）为圆心、半径为的圆．当a=﹣2时，圆心（1，2）、半径为0，不表示圆．当a=0时，圆心（0，0）、半径为1，表示一个圆．当a=1时，圆心（，﹣1）、1﹣a﹣a2＜0，不表示圆．当a=时，圆心（，﹣）、1﹣a﹣a2＜0，不表示圆．综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1，故选：B．点评：本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．4．（5分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先将EF平移到AB1，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到所成角，求之即可．解答：解：连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF．设AB=BC=AA1=a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH=HB=GB=a，故两直线所成的角即为∠HGB=60°．故选B点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3] C．（0，2）D．（0，2]考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由条件可得，a﹣3＜0①，2a＞0②，（a﹣3）×1+5≥2a③，求出它们的交集即可．解答：解：由于函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则x≤1时，是减函数，则a﹣3＜0①x＞1时，是减函数，则2a＞0②由单调递减的定义可得，（a﹣3）×1+5≥2a③由①②③解得，0＜a≤2．故选D．点评：本题考查分段函数的性质和运用，考查函数的单调性和运用，注意各段的单调性，以及分界点的情况，属于中档题和易错题．6．（5分）已知在m、n、l1、l2表示直线，α、β表示平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2=M，则α∥β的一个充分条件是（）A．m∥β且l1∥αB．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2D．m∥l1且n∥l2考点：平面与平面平行的判定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：根据题意，要使α∥β，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可．解答：解：由题意得，m、n 是平面α内的两条直线，l1、l2是平面β内的两条相交直线，要使α∥β，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可，故选 D．点评：本题考查两个平面平行的判定定理的应用，明确已知条件的含义是解题的关键．7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．32 C．D．+考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由几何体的三视图知，分析可得该几何体的形状，进而分为两个棱锥，分别求出其体积并相加就能求出该几何体的体积．解答：解：由几何体的三视图知，该几何体是如图所示的几何体，其体积V=V F﹣ABC+V A﹣CDEF，三棱锥F﹣ABC中底面是等腰直角三角形，FC⊥面ABCD，FC=4，∴该几何体的体积V==，同理四棱锥A﹣CDEF的体积V A﹣CDEF=×（×6×4）×4=16，几何体的体积为故选C．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是2015届高考的新增考点，不时出现在2015届高考试题中，应予以重视．8．（5分）已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；直线的斜率．专题：计算题．分析：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设出A，B和P的坐标，把A，B点坐标代入双曲线方程可求得直线PA和直线PB的斜率之积，进而求得a和b的关系，进而根据a，b和c的关系求得a和c的关系即双曲线的离心率．解答：解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x，y），则，，．故选D点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线的对称性质，考查了学生对双曲线基础知识的全面掌握．9．（5分）已知直线L：与曲线仅有三个交点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：数形结合．分析：分析曲线C的方程可得是椭圆的上半部分与双曲线的上半部分，由图形可得找出两个临界值即直线平移到（0，1）与直线和椭圆相切（△=16m2﹣8（4m2﹣4）=0）的时候，得到答案．解答：解：由题意得曲线∴即4y2=|4﹣x2|（y≥0）当4﹣x2≥0时得到4y2=4﹣x2即当4﹣x2＜0时得到由以上可得曲线C的图形为∵直线L：与双曲线的渐近线平行∴把直线向上平移平移到（0，1）点时有两个交点，此时m=1．继续向上平移则有3个交点．当直线与椭圆的上半部分相切时此时有两个交点．联立直线与椭圆的方程代入整理得2x2+4mx+4m2﹣4=0△=16m2﹣8（4m2﹣4）=0即（舍去）由图示可得由以上可得1＜m＜故答案为C．点评：解决此类问题的根据是灵活运用平面几何的相关知识与结论，结合图形解决问题，即数形结合的是想是高中数学的一个重点也是2015届高考必考的知识点．10．（5分）在平面直角坐标系中，A={（x，y）|x2+y2≤1}，B={（x，y）|x≤4，y≥0，3x ﹣4y≥0}则P={（x，y）|x=x1+x2，y=y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为（）A．6 B．6+πC．12+πD．18+π考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：把x=x1+x2，y=y1+y2，中的x1，y1代入x2+y2≤1，可得点集Q的轨迹方程，然后求出点Q所表示的区域的面积．解答：解：由x=x1+x2，y=y1+y2，得x1=x﹣x2，y1=y﹣y2，∵（x1，y1）∈A，∴把x1=x﹣x2，y1=y﹣y2，代入x2+y2≤1，∴（x﹣x2）2+（y﹣y2）2≤1点集Q所表示的区域是以集合B={（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，的区域的边界为圆心轨迹半径为1 的圆内部分，如图，其面积为：5+6+4+3+π=18+π故选：D．点评：本题考查二元一次不等式组与平面区域的关系问题，考查转化数学思想，作图能力，难度较大．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分）11．（5分）抛物线y=4x2的焦点坐标是．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．解答：解：由题意可知∴p=∴焦点坐标为故答案为点评：本题主要考查抛物线的性质．属基础题．12．（5分）设等差数列{a n}的前9项和S9=18，则a1+a3+a11=6．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由S9=18和求和公式以及性质可得a5=2，再由性质可得a1+a3+a11=3a5，代值计算可得．解答：解：∵等差数列{a n}的前9项和S9=18，∴S9=9•=9•=9a5=18，∴a5=2，∴a1+a3+a11=a3+（a1+a11）=a3+（a5+a7）=a5+（a3+a7）=a5+2a5=3a5=3×2=6故答案为：6点评：本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质，转化为a5是解决问题的关键，属中档题．13．（5分）已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：由题意画出图形，求出PA和PB的斜率，数形结合得答案．解答：解：如图，，．∴直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．点评：本题考查了直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题．分析：根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG，其中G、F为中点，根据中位线定理求出EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长．解答：解：由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，∴EF=BD=，GE=GF=SB=，∴轨迹的周长为+．答案：+点评：本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．15．（5分）下列命题中，正确的是①②③④⑤．．①平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=②已知=（sinθ，），=（1，），其中θ∈，则⊥③O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：=+λ（+），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心④双曲线﹣=1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为内切或外切；⑤命题“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①由模的计算公式|+|==，即可得出；②由=sinθ+=sinθ﹣sinθ=0，可得⊥；③O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：=+λ（+），λ∈（0，+∞），由正弦定理可得：，，可得与∠BAC的平分线共线；④双曲线﹣=1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，假设点P在双曲线上的左支，F2为双曲线的右焦点，线段PF1的中点为O1，连接OO1，可得|OO1|===a+，此时⊙O与⊙O1外切；同理当点P在双曲线的右支上，两圆内切时，即可判断出；⑤利用命题的否定定义即可判断出．解答：解：①平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|===，正确；②∵，=sinθ+=sinθ﹣sinθ=0，∴⊥，正确；③O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：=+λ（+），λ∈（0，+∞），∴=λ（+），由正弦定理可得：，∴，∴与∠BAC的平分线共线，则直线AP一定通过△ABC的内心，正确；④双曲线﹣=1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，假设点P在双曲线上的左支，F2为双曲线的右焦点，线段PF1的中点为O1，连接OO1，则|OO1|===a+，此时⊙O与⊙O1外切；同理当点P在双曲线的右支上，两圆内切时，因此分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为内切或外切，正确；⑤命题“∃x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”，正确．综上可得：①②③④⑤都正确．故答案为：①②③④⑤．点评：本题考查了简易逻辑的判定、向量的模的计算公式、向量垂直与数量积的关系、三角形的内心的向量表示、双曲线的性质、两圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（本大题共75分，其中16、17、18、19题各12分，20题13分，21题14分）16．（12分）已知a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．可得0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，可得，利用基本不等式即可得出．由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p，q中必然一个真命题一个为假命题．解出即可．解答：解：由a＞0，命题p：函数y=a x为减函数．∴0＜a＜1．命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，∴，∵x∈[，2]时，函数f（x）=x+=2，当且仅当x=1时取等号．∴，又a＞0，∴．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴p，q中必然一个真命题一个为假命题．①当p真q假时，，解得，a的取值范围是．②当q真p假时，，解得a≥1，a的取值范围是[1，+∞）．点评：本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的真假的判断等基础知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．解答：解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．点评：熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．18．（12分）根据下列条件，分别求出相应椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；（2）已知一个焦点是F（1，0），且短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：首先设出椭圆的方程然后根据题中的相关量的关系求出具体的a和b，进一步确定方程．解答：解（1）因椭圆的焦点在y轴上，设其方程为：（a＞b＞0）∵椭圆过点A（3，0）∴∴b=3又2a=3•2b∴a=9∴方程为（2）由△FMN为正三角形则c=|OF|=|MN|=×b=1∴b=a2=b2+c2=4故椭圆方程为：故答案为：（1）（2）点评：本题考查的知识点：椭圆的方程，椭圆中a、b、c的关系运算．19．（12分）设数列{b n}的前n项和为S n，且b n=2﹣2S n；数列{a n}为等差数列，且a5=14，a7=20．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=a n•b n（n=1，2，3…），T n为数列{c n}的前n项和．求T n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：（1）由已知条件b n=2﹣2S n；当n=1时先求出，再利用b n﹣b n﹣1=﹣2（S n﹣S n ﹣1）=﹣2bn得到{b n}是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出通项．（2）求出，是一个等差数列与一个等比数列的乘积，所以利用错位相减的方法求出和．解答：解：（1）由b n=2﹣2S n，令n=1，则b1=2﹣2S1，又S1=b1所以…（2分）当n≥2时，由b n=2﹣2S n，可得b n﹣b n﹣1=﹣2（S n﹣S n﹣1）=﹣2b n即…（4分）所以{b n}是以为首项，为公比的等比数列，于是…（6分）（2）数列{a n}为等差数列，公差，可得a n=3n﹣1…（7分）从而∴，∴…（11分）．…（12分）点评：求一个数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．20．（13分）如图所示，圆柱的高为2，底面半径为，AE、DF是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC．（1）求证：BC∥EF；（2）若四边形ABCD是正方形，求证BC⊥BE；（3）在（2）的条件下，求四棱锥A﹣BCE的体积．考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：计算题．分析：（1）在圆柱中：由上底面∥下底面，知BC∥AD，由AE、DF是圆柱的两条母线，知ADFE是平行四边形，由此能够证明BC∥EF．（2）由AE是圆柱的母线，知AE⊥下底面，由BC⊂下底面，知AE⊥B C．由此入手能够证明BC⊥BE．（3）因为母线AE垂直于底面，所以AE是三棱锥A﹣BCE的高，EO就是四棱锥E﹣ABCD的高．设正方形ABCD的边长为x，则AB=EF=x，，由此利用题设条件，能够求出四棱锥A﹣BCE的体积．解答：（本题满分14分）（1）证明：在圆柱中：∵上底面∥下底面，且上底面∩截面ABCD=AD，下底面∩截面ABCD=BC，∴BC∥AD…．（2分）又∵AE、DF是圆柱的两条母线，∴，∴ADFE是平行四边形，所以AD∥EF，又BC∥AD∴BC∥EF…．（5分）（2）∵AE是圆柱的母线，∴AE⊥下底面，又BC⊂下底面，∴AE⊥BC…．（7分）又∵截面ABCD是正方形，所以BC⊥AB，又AB∩AE=A，∴BC⊥面ABE，又BE⊂面ABE，∴BC⊥BE…（9分）（3）因为母线AE垂直于底面，所以AE是三棱锥A﹣BCE的高…（10分），EO就是四棱锥E﹣ABCD的高…（10分）设正方形ABCD的边长为x，则AB=EF=x，又∵BC∥EF，且BC⊥BE，∴EF⊥BE，∴BF为直径，即BF=在Rt△BEF中，BF2=BE2+EF2即，∴S ABCD=4×4=16，…（12分），∴．∴四棱锥A﹣BCE的体积===．…（14分）点评：本题考查直线平行和直线垂直的证明，考查棱锥的体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．21．（14分）设椭圆C：的右、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且2+=0．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F2三点的圆恰好与直线x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点F2的直线交椭圆于M、N两点，点P（4，0），求△PMN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）欲求椭圆C的离心率，只需得到关于a，c的齐次式，由，2+=0，以及b2=a2﹣c2，就可得到a，c的齐次式，求出椭圆C的离心率．（2）带着参数求出过A、Q、F2三点的圆的圆心坐标以及半径，再根据圆恰好与直线x﹣y ﹣3=0相切，求出参数的值，就可得到椭圆C的方程．（3）设直线MN的方程，欲（2）中求出的椭圆方程联立，求出y1+y2，y1y2的值，就可得到|y1﹣y2|，而△PMN的面积可用=|PF2|•|y1﹣y2|表示，再利用均值不等式求出最大值．解答：解：（1）设Q（x0，0）．∵F2（c，0），A（0，b），∴=（﹣c，b），=（x0，﹣b）∵，∴﹣cx0﹣b2=0，故 x0=﹣，又∵2+=0，∴F1为F2Q的中点，故﹣2c=﹣+c，即，b2=3c2=a2﹣c2，∴e==（2）∵e==，∴a=2c，b=c，则F2（c，0），Q（﹣3c，0），A（0，c）∴△AQF2的外接圆圆心（﹣c，0），半径r=|F2Q|=a=2c∴=2c，解得c=1，∴a=2，b=椭圆C的方程为（3）设直线MN：x=my+1，代入，得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0设M（x1，y1），n（x2，y2），∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，|y1﹣y2|==∴S△PMN=|PF2|•|y1﹣y2|=，令=λ≥，∴S△PMN==≤=∴△PMN面积的最大值为，此时，m=0点评：本题考查了椭圆离心率，方程的求法，以及直线与椭圆位置关系的判断，注意设而不求思想的应用．。
德阳市高中2015级“二诊”考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(2)x i i y i ，则xyi （）A ．1B ．2 C．3 D．52.已知集合2{|40}A x N x x，集合2{|20}B x xx a，若{1,2,3,3}A B ，则AB（）A ．{1}B ．{2} C．{3} D．3.函数()sin(2)f x x 的图象向右平移6个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（）A ．6B．3C ．4D ．234.实验测得四组数对(,)x y 的值为(1,2)，(2,5)，(4,7)，(5,10)，则y 与x 之间的回归直线方程是（）A ．1.80.6y x B．1.80.6y x C ．1.52.5y x D ．0.57.5y x 参考公式：121()()()nii i nii x x y y bx x ，ay bx .5.如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．12B．24C．36D．486.《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中(,)MOD m n 表示m 除以n 的余数，例如(7,3)1MOD .若输入m 的值为8时，则输出i 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．57.已知235log log log 0xy z，则2x、3y、5z 的大小排序为（）A ．235xyzB ．325yxzC ．523zxyD ．532zyx8.以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将ABD 与ACD 折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD平面ACD ；②ABC 为等边三角形；③平面ADC 平面ABC ；④点D 在平面ABC 内的射影为ABC 的外接圆圆心.其中正确的有（）A ．①②③B ．②③④ C．①②④ D ．①③④9. 已知双曲线22221(0,0)x y a b ab的离心率为2，其一条渐近线被圆22()4(0)x m ym截得的线段长为22，则实数m 的值为（）A ．3B ．1 C．2 D．210.已知函数()sin f x x x ，若[2,1]x，使得2()()0f xx f x k 成立，则实数k 的取值范围是（）A ．[1,3] B．[0,3] C ．(,3] D ．[0,)11. 如图，过抛物线24yx 的焦点F 作倾斜角为的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令1AF BF，2BC BF，则当3时，12的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．612. 已知A 、B 是函数2,()()(2),()x aex a f x f a x xa （其中常数0a ）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若PA PB 的最小值为0，则函数()f x 的最大值为（）A ．21eB ．1eC ．2e eD ．e e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.已知实数x ，y 满足条件2300xy x y x y，则3xy 的最大值为．14.为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则y x的值为．15.如图，在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且OR xOP yOQ (,)x yR ，则代数式22xy 的最小值为．16.已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且6a，4sin 5sin B C ，2A C ，若O 为ABC 的内心，则ABO 的面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足11a ，121nna a .（1）求证：数列{1}na 为等比数列；（2）求数列12nn na a 的前n 项和n T .18.省环保厅对A 、B 、C 三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：A 城B 城C 城优（个）28 xy良（个）3230z已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录B 城市空气质量为优的数据的概率为0.2.（1）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在C 城中应抽取的数据的个数；（2）已知23y ，24z ，求在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.19.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，60DAB ，PD 平面ABCD ，2PD AD ，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求点A 到平面PEC 的距离.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为23，且椭圆C 的离心率为32.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，点(22,0)T ，试探究：直线MT 与NT 的斜率之积是否为常数.21.已知函数2()ln f x x mxx .（1）若12x是()f x 的一个极值点，求()f x 的最大值；（2）若121,,x x e e，12x x ，都有2112()()x f x x f x 1221()x x x x ，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：22x t yt（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：2sin.（1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）记射线0,02与直线l 和曲线C 的交点分别为点M 和点N （异于点O ），求ON OM的最大值.23.已知函数()1f x x .（1）解关于x 的不等式2()1f x x ；（2）若关于x 的不等式2()1f x a xx 的解集非空，求实数a 的取值范围.德阳市高中2015级“二诊”试题数学参考答案（文史类）一、选择题1-5: DABAC 6-10: BACDA 11、12：CB二、填空题13. 8 14.3515.2416.7三、解答题17.解：（1）∵121nn a a ，∴112(1)nn a a .又11a ，∴1120a ，10n a .∴{1}na 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知21nna ，∴1122(21)(21)nnnnn na a 1112121nn ,∴22111212121nT 31111212121nn 11121n .18.解：（1）由题意得0.2180x ，即36x .∴1802832363054yz ，∴在C 城中应抽取的数据个数为30549180. （2）由（1）知54y z ，,y z N 且23y，24z，∴满足条件的数对(,)y z 可能的结果有(23,31)，(24,30)，(25,29)，(26,28)，(27,27)，(28,26)，(29,25)，(30,24)共8种.其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有(28,26)，(29,25)，(30,24)共3种.∴在C 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为38.19.解：（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且12FQ CD ，//AE CD 且12AECD ，故//AE FQ 且AEFQ ，所以，四边形AEQF 为平行四边形，所以，//AF EQ ，又EQ 平面PEC ，AF平面PEC ，所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC 中，222cos EC EB BCEB BC EBC11421272，在PDE 中227PE PD DE ，在PDC 中2222PCPDCD，故EQPC ，5EQ AF，1225102PECS，131322AECS，所以由APECPAECV V 得：113102332d，解得3010d.20.解：（1）由题意得2332bcc a（其中c 椭圆的半焦距），解得2282a b.所以椭圆C 的方程为：22182xy. （2）由题意设直线l 的方程为：4xmy，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由224182xmy x y得：22(4)880mymy ，所以1221222284846432(4)0m y y m y y mmm，故1212()8x x m y y 2324m，21212124()x x m y y m y y 22648164m m，MT NTk k 1212(22)(22)y y x x 12121222()8y y x x x x 3224（常数）.21.解：（1）1'()21(0)f x mx x x，由题意得1'02f ，即210m ，所以1m，所以1'()21f x x x(21)(1)x x x，当102x时，'()0f x ；当12x时，'()0f x ，所以()f x 在10,2上单调递增，在1,2上单调递减.所以max1()2f x f3ln 24.（2）由题意得121,,x x e e，12x x 都有2112()()x f x x f x 1221()x x x x 111()f x x x 222()f x x x ，令函数()()f xg x xx2ln x mx xxxln 1x mx x x ，当12x x 时，()g x 在1,e e上单调递增，所以21ln '()10x g x m x在1,e e上恒成立，即21ln 1x m x在1,e e上恒成立，令21ln ()x h x x，1,xe e，则332ln '()0x h x x，所以()h x 在1,e e上单调递减，故min()()0h x h e ，所以实数m 的取值范围为(,1]. 同理，当12x x 时，()g x 在1,e e上单调递减，所以21ln '()10x g x m x在1,ee上恒成立，即21ln 1x m x在1,e e上恒成立，令21ln ()x h x x，1,xe e，则332ln '()0x h x x，所以()h x 在1,e e上单调递减，故2max1()2h x h e e.所以实数m 的取值范围为2[21,)e ，综上，实数m 的取值范围为2(,1][21,)e .22.解：（1）由题意得直线l 的普通方程为：4x y ，所以其极坐标方程为：4sin cos . 由2sin 得：22sin ，所以222xy y ，所以曲线C 的直角坐标方程为：2220x y y .（2）由题意2sin ON，4sin cosOM ，所以2sin sin cos 2ONOM 21sin 2444，由于02，所以当38时，ON OM取得最大值：214. 23.解：（1）由题意2()1f x x 211x x 211x x 或211x x ，所以220xx 或20x x ，即2x 或1x ，或1x 或0x ，故原不等式的解集为{|01}x x x 或. （2）2()1f x a x x 211ax x x ，由于211x x x 2222,12,112,1x x x x x x x x ，所以当1x时，211x x x 的最小值为-1. 所以实数a 的取值范围为：(1,).。
德阳市高中2021级质量监测考试（二）数学试卷（理工农医类）说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，2.本试卷满分150分，120分钟完卷.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若1=+z ，则2zz =-（）A.12B.1C.D.22.已知集合{}260A x x x =--≤，10ln B xx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{}12x x <≤B.{}12x x ≤≤C.{}13x x <≤ D.{}13x x ≤≤3.若x ，y 满足约束条件2202201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则43z x y =+的最大值为（）A.19B.13C.9D.54.已知()9,A m 为抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，则p =（）A.2B.3C.6D.95.质数（prime number ）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A ，这两个数都是素数；事件B ：这两个数不是孪生素数，则()P B A =（）A.1115B.3745C.1315D.41456.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为（）A.32π12a B.32π24a C.33π12a D.3π24a 7.已知各项不相等的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若534S S -=，5678a a a =，则1a =（）A.116-B.116C.64- D.648.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()cos 222xxf x x ϕ-=++-，则“sin 1ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知平面向量a ，b ，c 满足1a b == ，2c = ，若b ，c共线，且a b c ++= ，则a b c +-=（）A.B.C.D.10.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，以F为圆心，OF 为半径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为A ，若OAF △的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）A.B.C.72D.211.若函数()13f x x m x x=++-在[)2,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.8,9∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C.38,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.83,94⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.已知三棱锥-P ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，O 是ABC 的垂心.若1OBC S =△，4ABC S = ，则PBC S =△（）A.85B.2C.52D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.在()()6311x x -+的展开式中，3x 的系数为______.14.已知数列{}n a 满足11a =，且对任意*n ∈N ，有()11nn n a a n +=+-⋅，则22a =______.15.已知函数()ln ln f x a x bx =⋅-在1x =处取得极大值，则ba的取值范围是______.16.已知正实数x ，y ，z 满足26x xy yz xz x z +++++=，则32x y z ++的最小值是______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin cos 32c BC =，3b =.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积范围.18.轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表.使用频数[)12,25[)25,38[)38,51[]51,64偶尔1次3015510每周1～3次40403050每周4～6次25404530每天1次及以上552010（1）若把年龄在[)12,38的消费者称为青少年，年龄在[]38,64的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[)25,38与[]51,64的人数分别为X ，Y ，X Y ξ=-.求ξ的分布列与期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为15，25，23，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附：()2P K k ≥0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82819.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，14A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD 、BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为49，求四面体ADPQ 的体积.20.已知圆C：22130x y ++-=，点P 是圆C上的动点，点)F是圆C 内一点，线段PF 的垂直平分线交CP 于点M ，当点P 在圆C 上运动时点M 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）T 为直线l ：4x =上的动点，A 、B 为曲线E 与x 轴的左右交点，TA 、TB 分别与曲线E 交于G 、D 两点.证明：GA DT GT DB⋅⋅为定值.21.()2cos 1f x x mx =+-（x ∈R ）.（1）当12m ≥时，证明：()0f x ≥；（2）证明：11112111tan1212tan 3tan tan23n n n n n+++⋅⋅⋅+>-+.请考生在22，23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⋅⎧⎨=+⋅⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()21cos 0ρθθ⋅--=.（1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点())0,1,P Q，直线l 过点Q 且与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB的中点为M ，求PM 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.已知关于x 的不等式2261x x m m +----≥有解.（1）求实数m 的取值范围.（2）若a 、b 、c 均为正数，n 为m 的最大值，且34a b c n ++=.求证：2221252a ab bc +++≥.德阳市高中2021级质量监测考试（二）数学试卷（理工农医类）说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回，2.本试卷满分150分，120分钟完卷.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若1=+z ，则2zz =-（）A.12B.1C.D.2【答案】B 【解析】【分析】运用复数的运算求出2zz -，再利用复数模的公式即可求解.【详解】由题，1113i 222z z +--==--，13=i 1222z z ∴-=-.故选：B.2.已知集合{}260A x x x =--≤，10ln B xx ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{}12x x <≤B.{}12x x ≤≤C.{}13x x <≤ D.{}13x x ≤≤【答案】C 【解析】【分析】解不等式求得集合,A B ，进而求得A B ⋂.【详解】()()26230x x x x --=+-≤，解得23x -≤≤，所以{}|23A x x =-≤≤.由10ln x≥得ln 0x >，解得1x >，所以{}|1B x x =>.所以{}|13A B x x ⋂=<≤.故选：C3.若x ，y 满足约束条件2202201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则43z x y =+的最大值为（）A.19B.13C.9D.5【答案】A 【解析】【分析】画出可行域，结合图形计算可得.【详解】根据线性约束条件，画出可行域如下所示：目标函数43z x y =+可转化为433zy x =-+，因此，当直线433zy x =-+在y 上的截距最大时，目标函数43z x y =+取得最大值，由图象可得当直线433zy x =-+过点()4,1A 时，在y 上的截距最大，所以43z x y =+得最大值为max 443119z =⨯+⨯=.故选：A.4.已知()9,A m 为抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，则p =（）A.2B.3C.6D.9【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的定义列方程来求得p 的值.【详解】根据抛物线的定义可知，912,62pp +==.故选：C5.质数（prime number ）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A ，这两个数都是素数；事件B ：这两个数不是孪生素数，则()P B A =（）A.1115B.3745C.1315D.4145【答案】D 【解析】【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.【详解】不超过30的自然数有30个，其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，共4组.所以()210230C 9C 87P A ==，()210230C 441C 435P AB -==，所以()()()41418741435943594587P AB P B A P A ===⨯=.故选：D6.一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为（）A.32π12a B.32π24a C.33π12a D.33π24a 【答案】B 【解析】【分析】将正四面体放置在正方体中，由正方体的内切球的体积来确定正确答案.【详解】如图所示，正四面体11A B CD -在正方体1111ABCD A B C D -中，一个球与正四面体11A B CD -的六条棱都相切，则该球与正方体1111ABCD A B C D -内切，正四面体的棱长为a，也即是球的直径222R a =，半径24R a =，所以体积为334π22ππ3224a a ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B7.已知各项不相等的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若534S S -=，5678a a a =，则1a =（）A.116-B.116C.64-D.64【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，以及等比数列的基本量运算求得1a .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，依题意，345345451135567661444,,822S S a a a a a q a q a a a a a a q -=+=+=⎧+=⎧⎧⎨⎨⎨====⎩⎩⎩，两式相除得()()3425212,212110q q q q q q q q q++==--=+-=，解得12q =-或1q =（舍去），所以15264a q ==-.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()cos 222xxf x x ϕ-=++-，则“sin 1ϕ=”是“()f x 是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、诱导公式、充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】依题意，()()cos 222xxf x x ϕ-=++-，①若sin 1ϕ=，则π2π,Z 2k k ϕ=+∈，所以()πcos 22π22222sin 2x x x x f x x k x --⎛⎫=+++-+- ⎪-⎭=⎝，此时()()sin 222xx f x x f x --=+-=-，()f x 是奇函数.②若()f x 是奇函数，则由于()f x 的定义域是R ，所以()π0cos 0,π2f k ϕϕ===+，此时()()sin 2πcos 2π22π222x x x xf x x x k k --⎛⎫=+++-+- =-⎝+⎪⎭为奇函数，符合题意，所以πsin sin πcos π12k k ϕ⎛⎫=+==± ⎪⎝⎭.所以“sin 1ϕ=”是“()f x 是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知平面向量a ，b ，c 满足1a b == ，2c = ，若b ，c共线，且a b c ++= ，则a b c +-=（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由b 与c共线，分共线同向和共线反向讨论，并结合向量模和数量积运算求解.【详解】因为b 与c共线，1a b == ，2c = ，当b 与c共线同向时，则2c b =r r，所以3a b c a b ++=+r r r r u u r，332a b c a b a b ∴++=+≥-=r r r r u u r r u u r，这与a b c ++=矛盾，所以b 与c 共线反向时，则2c b =- ，a b c a b ∴++=-=r r r r r，23a b ∴-=r r ，即2223a b a b +-⋅=r r r r ，解得12a b ⋅=- ，3a b c a b ∴+-=+=r r r r r故选：B.10.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，以F为圆心，OF 为半径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为A ，若OAF △的面积为22a ，则双曲线的离心率为（）A.2B.C.72D.2【答案】A 【解析】【分析】根据三角形OAF 的面积列方程，求得,a b 的关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线OA 的方程为by x a =，设其倾斜角为θ，θ为锐角，且tan b aθ=，由于FO FA c ==，所以()22211sin π2sin 2222OAFa S c θθ=-==，2222222222sin cos 2tan 2sin cos tan 11bab a a b c c a θθθθθθ====+++，所以12b a =，所以52ce a=====.故选：A11.若函数()13f x x m x x=++-在[)2,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围是（）A.3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.8,9∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C.38,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.83,94⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】化简函数()()()113,3113,23m x m x xf x m x m x x ⎧++-≥⎪⎪=⎨⎪-++≤<⎪⎩，分类讨论，结合()0f x '≥恒成立，即可求解.【详解】由函数()()()113,313113,23m x m x xf x x m x x m x m x x ⎧++-≥⎪⎪=++-=⎨⎪-++≤<⎪⎩，当3x ≥时，()()113f x m x m x =++-，可得()211f x m x'=+-，要使得()f x 在[3,)+∞为单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即2110m x +-≥在[3,)+∞恒成立，即211m x ≥-在[3,)+∞恒成立，可得89m ≥-；当23x ≤<时，()()113f x m x m x =-++，可得()211f x m x'=--，要使得()f x 在[2,3)为单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即2110m x --≥在[2,3)恒成立，即211m x ≤+在[2,3)恒成立，可得34m ≤，综上可得，实数m 的取值范围83,94⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D.12.已知三棱锥-P ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，O 是ABC 的垂心.若1OBC S =△，4ABC S = ，则PBC S =△（）A.85B.2C.52D.【答案】B【解析】【分析】先证明两个线面垂直“BC ⊥平面APE ”和“PO ⊥平面ABC ”，进而得到90APE POE ∠=∠=︒，得到等式2PE OE AE =⋅，并将其转化为关系式2()PBC S =△OBC ABC S S ⨯ △，求解即可.【详解】连接AO ，并延长AO 交BC 于点E ，连接PE ，连接,,OB OC OP ，由于三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，易得AP ⊥平面PBC ，又因为PE ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AP PE ⊥，⊥AP BC ，因为O 是ABC 的垂心，所以AE BC ⊥，因为AE BC ⊥，⊥AP BC ，且AE ⊂平面APE ，AP ⊂平面APE ，AE AP A =I ，所以BC ⊥平面APE ，且PO ⊂平面APE ，所以BC PO ⊥，同理可得AC PO ⊥，因为BC PO ⊥，AC PO ⊥，且BC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC AC C ⋂=，所以PO ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，所以PO AE ⊥，因为90,APE POE PEO AEP ∠=∠=︒∠=∠，所以APE POE ，PE OEAE PE=，即2PE OE AE =⋅，所以2111()()()222PE BC OE BC AE BC ⨯=⨯⋅⨯，由BC ⊥平面APE ，易得,BC PE BC AE ⊥⊥，所以2()PBC S =△144OBC ABC S S ⨯=⨯= △，所以2PBC S = .故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.在()()6311x x -+的展开式中，3x 的系数为______.【答案】25【解析】【分析】分别求解展开式()61x +中含2x ，3x 的项，再求出展开式()()6311x x -+中含3x 的项的系数即可.【详解】()61x +的展开式中2x 项为426C x ，3x 的项为363C x ，所以()()6311x x -+中含3x 的项的系数为43663C C 25-=.故答案为：25.14.已知数列{}n a 满足11a =，且对任意*n ∈N ，有()11nn n a a n +=+-⋅，则22a =______.【答案】10-【解析】【分析】利用累加法求得22a .【详解】依题意，211a a =-，322a a =+，433=-a a ，544a a =+，……212020a a =+，222121a a =-，上述21个式子相加得2211012111110a a =+⨯-=-=-.故答案为：10-15.已知函数()ln ln f x a x bx =⋅-在1x =处取得极大值，则ba的取值范围是______.【答案】10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由()10f '=以及导数、极大值等知识对问题进行分析，利用构造函数法，结合导数来求得ba的取值范围.【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，()ln ln a bx af x b x x-+'=-=，由于函数()ln ln f x a x bx =⋅-在1x =处取得极大值，所以()1ln 0,ln ,e bf b a a b a '=-+===，且()f x 在()0,1上()()0,f x f x '>单调递增，在()1,+∞上()()0,f x f x '<单调递减，所以ln y bx a =-+单调递减，所以0,0b b -<>，所以()0e b b bb a =>，构造函数()()0e x x g x x =>，显然()0g x >，()1ex xg x ='-，所以()g x 在区间()0,1上()()0,g x g x '>单调递增，在区间()1,+∞上()()0,g x g x '<单调递减，所以()11e g =是()g x 的极大值也即是最大值，所以()10,e g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，也即ba 的取值范围是10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦16.已知正实数x ，y ，z 满足26x xy yz xz x z +++++=，则32x y z ++的最小值是______.【答案】2-【解析】【分析】因式分解得到61x z x y +=++，变形后得到()13622x z y x y x y +=+++++，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为,,x y z 为正实数，故()()()2266xxy yz xz x z x xzxyyz x z +⇒，即()()()()()66161x x z y x z x z x y x z x z x y ++++=⇒+++=⇒+=+++，()()()132622x y z x y x x y y z x ++=+++++++=()6222121x y x y =-≥-=+++++，当且仅当()1261y y x x ++++=，即1x y +=-，此时61x z x y +==++，所以32x y z ++的最小值为2-.故答案为：2-三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin cos 32c BC =，3b =.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积范围.【答案】（1）π3（2）3393(,]24【解析】【分析】（1）根据sin cos 32c BC =，3b =，利用正弦定理得到sin sin sin cos 2B BC C =，再利用三角恒等变换求解；（2）设ABC 的外接圆半径为R ，得到2sin bR B==1sin 2ABC S ac B =△33π33sin 2264A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求解.【小问1详解】因为sin cos 32c BC =，3b =，所以sin sin sin cos 2BB C C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos 2B B =，则2sin cos cos 222B B B =，因为cos02B≠，所以1sin 22B =，又π0,22B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π26B =，所以π3B =.【小问2详解】设ABC 的外接圆半径为R ，则2sin bR B==所以112πsin 2sin 2sin sin sin 223ABC S ac B R A R C B A A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，1cos sin22A A A⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，2991cos2sin cos sin sin222422AA A A A-=+=+⋅，93333sin2cos2444A A=-+，πsin2264A⎛⎫=-+⎪⎝⎭，因为ABC为锐角三角形，所以π22ππ32AA⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A<<，则ππ5π2666A<-<，则1πsin2126A⎛⎫<-≤⎪⎝⎭，所以339324ABCS<≤，所以ABC的面积范围(24.18.轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表.使用频数[)12,25[)25,38[)38,51[]51,64偶尔1次3015510每周1～3次40403050每周4～6次25404530每天1次及以上552010（1）若把年龄在[)12,38的消费者称为青少年，年龄在[]38,64的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在[)25,38与[]51,64的人数分别为X ，Y ，X Y ξ=-.求ξ的分布列与期望；（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为15，25，23，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附：()2P K k ≥0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关，理由见解析（2）分布列见解析，数学期望为4156（3）1945【解析】【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；（2）先利用分层抽样得到[)12,25，[)25,38，[)38,51和[]51,64的抽取人数，得到X Y ξ=-的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望；（3）设出事件，结合全概率公式得到答案.【小问1详解】列联表如下：青少年中老年合计食用轻食频率低12595220食用轻食频率高75105180合计200200400故()()()()()()22240012510595759.091 6.635220180200200n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，故有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；【小问2详解】每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，[)12,25的抽取人数为581552010⨯=+++，[)25,38的抽取人数为581552010⨯=+++，[)38,51的抽取人数为2084552010⨯=+++，[]51,64的抽取人数为1082552010⨯=+++，X 的可能取值为0，1，此时Y 的取值为0，1，2，故X Y ξ=-的可能取值为0，1，2，其中0ξ=包含两种情况，即0X Y ==和1X Y ==，故()311151253388C C C C 50C C 14P ξ==+=，1ξ=包含三种情况，0,1X Y ==，1,0X Y ==和1,2X Y ==，故()012102120125125125333888C C C C C C C C C 311C C C 56P ξ==++=，2ξ=包含1种情况，即0,2X Y ==，故()02112538C C C 52C 56P ξ===，故ξ的分布列如下：ξ012P5143156556则数学期望为()53154101214565656E ξ=⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】记小李早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件,,A B C ，则()13P A =，()13P B =，()13P C =，小李晚餐选择低卡甜品为事件D ，则()15P D A =，()25P D B =，()23P D C =，故()()()()()()()1112121935353345P D P A P D A P B P D B P C P D C =++=⨯+⨯+⨯=，故小李晚餐选择低卡甜品的概率为1945.19.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，14A A =，且1A A ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD 、BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为49，求四面体ADPQ 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）83【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直；（2）求平面法向量，由二面角P QD A --的余弦值为49和//PQ 平面11ABB A ，解得P 点坐标，可求四面体ADPQ 的体积.【小问1详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，x轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()12,0,4B ，()0,4,0D ，()10,2,4D ，设()4,,0Q m ，其中m BQ =，04m ≤≤，若P 是1DD 的中点，则()0,3,2P ，()12,0,4AB = ，()4,3,2PQ m =--，于是1880AB PQ ⋅=-= ，∴1AB PQ ⊥，即1AB PQ ⊥.【小问2详解】由题设知，()4,4,0DQ m =- ，()10,2,4DD =-是平面PDQ 内的两个不共线向量.设()1,,n x y z =是平面PDQ 的一个法向量，则()111440,240,n DQ x m y n DD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取4y =，得()14,4,2n m =- .又平面AQD 的一个法向量是()20,0,1n =，∴121212cos ,n nn n n n ⋅==⋅，而二面角P QD A --的余弦值为4949=，解得72m =或92m =（舍去），此时74,,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭.设1DP DD λ=（01λ<≤），而()10,2,4DD =- ，由此得点()0,42,4P λλ-，14,2,42PQ λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵//PQ 平面11ABB A ，且平面11ABB A 的一个法向量是()30,1,0n =，∴30PQ n ⋅= ，即1202λ-=，解得14λ=，从而70,,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将四面体ADPQ 视为以ADQ △为底面的三棱锥P ADQ -，则其高1h =，故四面体ADPQ 的体积11184413323ADQ V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯= .20.已知圆C：22130x y ++-=，点P 是圆C上的动点，点)F是圆C 内一点，线段PF 的垂直平分线交CP 于点M ，当点P 在圆C 上运动时点M 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）T 为直线l ：4x =上的动点，A 、B 为曲线E 与x 轴的左右交点，TA 、TB 分别与曲线E 交于G 、D 两点.证明：GA DT GT DB⋅⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，结合椭圆的定义进行求解即可；（2）设出相应直线方程与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合两点间距离公式进行求解即可.【小问1详解】如图所示：连接MF ，由(222213016x y x y++-=⇒++=，所以该圆的圆心坐标为()C ，半径为4，因为线段PF 的垂直平分线交CP 于点M ，所以有MP MF =，由44MC MP PC MC MF CF +==⇒+=>，所以点M 的轨迹是以,C F 为焦点的椭圆，即24,22,1a c a c b =====，所以E 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()4,T m ，()()2,0,2,0A B -，因为直线TA 的斜率为6m ，所以直线TA 的方程为()26my x =+，代入椭圆方程中，得()2222944360m xm x m +++-=，显然有2222436182299G G m m x x m m ---=⇒=++，22218262699G m m m y m m ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭，即2221826,99m m G m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为直线TB 的斜率为2m ，所以直线TB 的方程为()22my x =-，代入椭圆方程中，得()222214440m xm x m +-+-=，显然有22224422211D D m m x x m m --=⇒=++，2222222211D m m m y m m ⎛⎫--=-= ⎪++⎝⎭，即222222,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，于是有29GA m ==+，(2239m GT m +==+，(2231m DT m +==+，2241DB m ==+，因此(2222236369132491m GA DT m m GT DB m m +⨯⋅==⋅++为常数.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系求出相关点的坐标.21.()2cos 1f x x mx =+-（x ∈R ）.（1）当12m ≥时，证明：()0f x ≥；（2）证明：11112111tan1212tan 3tan tan23n n n n n+++⋅⋅⋅+>-+.【答案】（1）证明过程见解析（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）放缩得到()221cos 1cos 12f x x mx x x =+≥+--，构造()21cos 12g x x x =+-，得到函数的奇偶性，二次求导，得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，证明出结论；（2）由（1）知21cos 12x x ≥-，令1x n =，1n ≥且n N *∈放缩得到21211cos 11412121n n n n ⎛⎫>-=-- ⎪--+⎝⎭，再由sin x x ≥得到11cos 1tan n n n >，从而得到111112121tan n n n n⎛⎫>-- ⎪-+⎝⎭，相加后得到结论.【小问1详解】当12m ≥时，()221cos 1cos 12f x x mx x x =+≥+--，令()21cos 12g x x x =+-，()()()()2211cos 1cos 122g x x x g x x x -=-++--==-，故()21cos 12g x x x =+-为偶函数，()sin g x x x '=-+，令()()sin h x g x x x '==-+，()()()()sin sin h x x x x x h x +-=---=-=-，故()()sin h x g x x x '==-+为奇函数，其中()1cos 0h x x '=-≥恒成立，故()()sin h x g x x x '==-+在[)0,∞+上单调递增，其中()00h =，故()0h x ≥在[)0,∞+恒成立，故()21cos 12g x x x =+-在[)0,∞+上单调递增，其中()cos00100g +=-=，故()0g x ≥在[)0,∞+上恒成立，结合()21cos 12g x x x =+-为偶函数，故()0g x ≥在R 上恒成立，故()2cos 10f x x mx =+-≥在R 上恒成立；【小问2详解】由（1）知，21cos 102x x +-≥，即21cos 12x x ≥-，当且仅当0x =时，等号成立，令1x n =，1n ≥且n N *∈，所以101n <≤，故211cos 12n n>-，即222112211cos111124412121n n n n n n ⎛⎫>-=->-=-- ⎪--+⎝⎭，由（1）可知，当0x ≥时，sin x x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，当1n ≥且n N *∈时，101n<≤，故1111sin cos tan n n n n >=，故11cos 1tan n n n>，即11cos 1tan n n n >，所以1111cos112121tann n n n n⎛⎫>>-- ⎪-+⎝⎭，故11111111111111tan133521212tan tan2n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111121335212121n n n n n n ⎛⎫=--+-++-=- ⎪-++⎝⎭.【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.请考生在22，23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⋅⎧⎨=+⋅⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()21cos 0ρθθ⋅--=.（1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点())0,1,P Q，直线l 过点Q 且与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB的中点为M ，求PM 的值.【答案】（1）sin cos cos 0x y ααα-+=；2y =.（2）8【解析】【分析】（1）根据已知方程即可求出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）求出直线l 的倾斜角，将l 的参数方程代入曲线C 的极坐标方程并化简，结合韦达定理即可求出PM 的值.【小问1详解】由题意，在cos :1sin x t l y t αα=⋅⎧⎨=+⋅⎩（t 为参数）中，cos 1sin x y αα=-，即：sin cos cos 0x y ααα-+=，在()21cos0ρθθ⋅--=中，()221cos cos 0ρθθ⋅--=，∵22sin cos 1,cos ,sin x y θθρθρθ+===∴()222221coscos sin cos 0y ρθθρθθ⋅--=⋅--==，∴曲线C的直角坐标方程为：2y =【小问2详解】由题意，())0,1,P Q，在:sin cos cos 0l x y ααα-+=中，直线l 过点Q ，cos 0αα+=，解得：3tan 3α=-，∴1sin ,cos 22αα==-，32:112x t l y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，将l 的参数方程代入曲线C 的极坐标方程，并化简得21640t t ++=，∴1216t t +=-设点,,A B M 对应的参数为120,,t t t ，∴12016822t t P t M +-====.[选修4-5：不等式选讲]23.已知关于x 的不等式2261x x m m +----≥有解.（1）求实数m 的取值范围.（2）若a 、b 、c 均为正数，n 为m 的最大值，且34a b c n ++=.求证：2221252a ab bc +++≥.【答案】（1）(,3]-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由绝对值不等式可得()max2265x x +--=，再将不等式有解转化为51m m ≥+-，即可得到结果；（2）根据题意，由（1）可知3n =，再由柯西不等式代入计算，即可证明.【小问1详解】由题意可得，2261x x m m +----≥，即2261x x m m+--≥+-令8,2()22634,238,3x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-+≥⎩，当(],2x ∞∈--时，()(],10f x ∞∈--，当()2,3x ∈-时，()()10,5f x ∈-，当[)3,x ∞∈+，()(],5f x ∞∈-所以()f x 的最大值为5，关于x 的不等式2261x x m m +--≥+-有解等价于()max 51f x m m =≥+-，当m 1≥时，不等式转化为51m m ≥+-，即521m ≥-，解得3m ≤，所以13m ≤≤，当1m <时，不等式转化为51m m ≥+-，即51≥，解集R ，所以1m <，综上所述，实数m 的取值范围为(,3]-∞.【小问2详解】由（1）可知，m 的取值范围为(3],-∞，且n 为m 的最大值，所以3n =，则343a b c ++=，即243a b b c +++=，由柯西不等式可得()()()()22222222114249a b b c a b b c ⎡⎤+++++≥+++=⎣⎦，当且仅当2114a b b c +==时，即12123,a b c ===时，等号成立，又()222222254a ab b c a b b c +++=+++，所以()22218259a ab b c +++≥，即2221252a ab bc +++≥.【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
四川省德阳市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
）1．复数（i为虚数单位）的共轭复数为( )A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数分母实数化，然后求出复数的共轭复数即可．解答：解：==1+i．∴所求复数的共轭复数为：1﹣i．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．已知集合P={x|y=lg（2﹣x）}，Q={x|x2﹣5x+4≤0}，则P∩Q=( )A．{x|1≤x＜2} B．{x|1＜x＜2} C．{x|0＜x＜4} D．{x|0≤x≤4}考点：一元二次不等式的解法；对数函数的定义域．专题：集合．分析：先求出集合P与集合Q，再进行交集运算即可．解答：解：∵2﹣x＞0，∴x＜2．∴P={x|x＜2}，解x2﹣5x+4≤0，得﹣4≤x≤﹣1，则Q={x|1≤x≤4}，∴P∩Q={x|1≤x＜2}．故选：A．点评：本题考查交集及其运算以及对数函数的定义域和不等式的解法，正确化简集合P和Q 是解题的关键．3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx②f（x）=cosx③f（x）=④f（x）=log2x则输出的函数是( )A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=log2x考点：余弦函数的奇偶性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由程序框图可得，本题输出的结果是存在零点的奇函数，再利用所给函数的奇偶性、零点，从而得出结论．解答：解：由程序框图可得，本题输出的结果是存在零点的奇函数，二所给的4个函数中，只有f（x）=sinx是存在零点的奇函数，其余的三个函数都不满足此条件，②f（x）=cosx是偶函数；③f（x）=是奇函数但它没有零点；④f（x）=log2x是非奇非偶函数，故选：A．点评：本题主要考查程序框图，三角函数的奇偶性、函数的零点的定义，术语基础题．4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图( )A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题；压轴题．分析：根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．解答：解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选D．点评：本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．5．以（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相交所得弦长为8的圆的标准方程为( ) A．（x﹣2）2+（y+1）2=9 B．（x+2）2+（y﹣1）2=9 C．（x﹣2）2+（y+1）2=25 D．（x+2）2+（y﹣1）2=25考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：设圆的半径为r，由题意可得弦心距d==，求得r的值，可得圆的标准方程．解答：解：设圆的半径为r，由于（2，﹣1）为圆心，弦长为8，可得弦心距d==，求得 r=5，可得圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+1）2=25，故选：C．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，术语中档题．6．已知a是实数，则＜1是a＞1的( )A．既不充分又不必要条件B．充要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：解出关于a的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．解答：解：解不等式＜1得：a＜0或a＞1，故＜1是a＞1的必要不充分条件，故选：D．点评：本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．7．将函数f （x）=sin2x （x∈R）的图象向右平移个单位，则所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，π）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；复合三角函数的单调性．专题：计算题．分析：将函数f （x）=sin2x （x∈R）的图象向右平移个单位，可得到g（x）=f （x﹣）=sin2（x﹣）=﹣cos2x （x∈R），求得其单调递增区间，再判断即可．解答：解：f （x）=sin2x （x∈R）g（x）=f （x﹣）=sin2（x ﹣）=﹣cos2x=cos（2x+π ）（x∈R），∵g（x）=cos（2x+π ）的单调递增区间由2kπ﹣π≤2x+π≤2kπ得：kπ﹣π≤x≤kπ﹣（k∈Z）．∴当k=1时，0≤x≤．而（0，）⊆[0，]，故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，关键在于掌握图象变换的规则（方向与单位），属于中档题．8．设b、c、m是空间色三条不同直线，α、β、γ是空间的三个不同平面，在下面给出的四个命题中，正确的命题是( )A．若b⊥m，c⊥m，则b∥c B．m∥a，α⊥β，则m⊥βC．若b⊥α，c∥α，则b⊥c D．若β⊥α，γ⊥β，则γ∥α考点：四种命题．专题：空间位置关系与距离．分析：①若b⊥m，c⊥m，则b∥c，由线线平行的条件判断；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β，由线面垂直的条件判断；③若b⊥α，c∥α，则b⊥c，由线面垂直的条件判断；④若β⊥α，γ⊥β，则γ∥α，由面面垂直的条件判断；解答：解：①若b⊥m，c⊥m，则b∥c，此命题不正确，因为垂直于同一条直线的两条直线可能相交，平行异面；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β，此命题不正确，在此条件下，m∥β也是可以的；③若b⊥α，c∥α，则b⊥c，此命题正确，因为垂直于同一平面的两条直线一定平行；④若β⊥α，γ⊥β，则γ∥α，此命题不正确，可能平行也可能相交；故选：C．点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较好的空间想像能力，以及对每个命题涉及的定理定义等熟练掌握并能灵活运用它们解题．9．直线4kx﹣4y﹣k=0与抛物线y2=x交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x=﹣的距离等于( )A．B．C．2 D．4考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标与准线方程，确定直线AB为过焦点的直线，根据抛物线的定义求得AB的中点到准线的距离，即可求得结论．解答：解：直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0）∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，∴直线AB为过焦点的直线，∴AB的中点到准线的距离==2，∴弦AB的中点到直线x=﹣的距离等于2+=．故选B．点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及抛物线的焦点弦的问题常需用抛物线的定义来解决．10．已知两个实数a、b（a≠b）满足ae a=be b，命题p：lna+a=lnb+b；命题q：（a+1）（b+1）＜0．则下面命题是真命题的是( )A．p∨（￢q）B．p∧（￢q）C．p∨q D．p∧q考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由已知ae a=be b可联想构造函数y=xe x，求导后由函数的单调性结合x＜﹣1时y恒小于0可得a，b均小于0而且一个比﹣1大一个比﹣1小，由此可以得到选项．解答：解：构造函数y=xe x，则y′=e x+xe x=（x+1）e x，∵e x＞0，∴当x＜﹣1时，y′＜0，函数y=xe x为减函数，当x＞﹣1时，y′＞0，函数y=xe x为增函数，要使ae a=be b，则a，b必须均小于0而且一个比﹣1大一个比﹣1小，∴命题p为假命题，命题q为真命题．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，训练了函数构造法，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1到160编号，按编号顺序平均分成20段（1～8号，9～16号，…，153～160号）．若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是5．考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n﹣1），即可得出结论．解答：解：由题意，可知系统抽样的组数为20，间隔为8，设第一组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则，可知第n组抽出个数的号码应为x+8（n﹣1），所以第16组应抽出的号码为x+8（16﹣1）=125，解得x=5．故答案为：5．点评：系统抽样形象地讲是等距抽样，系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，系统抽样属于等可能抽样．12．△ABC中，a=2，∠A=30°，∠C=45°，则△ABC的面积S的值是+1．考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得，求出c值，利用两角和正弦公式求出sinB的值，由S△ABC =acsinB 运算结果解答：解：B=180°﹣30°﹣45°=105°，由正弦定理可得，∴c=2．sinB=sin（60°+45°）==，则△ABC的面积S△ABC =acsinB=×2×2×=+1，故答案为：+1点评：本题考查两角和正弦公式，正弦定理的应用，求出sinB的值，是解题的关键．13．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，可得双曲线的左焦点为（﹣6，0），再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程是y=x，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．解答：解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，所以由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，①又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以a=b，②由①②解得a2=18，b2=18，所以双曲线的方程为．故答案为：．点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．14．在棱长都相等的四面体ABCD中，E、F分别是CD、BC的中点，则异面直线AE、DF所成角的余弦值是．考点：余弦定理的应用；异面直线及其所成的角．专题：解三角形；空间角．分析：画出四面体ABCD，并设BC=4，取CF的中点为M，则∠AEM或其补角便是异面直线AE、DF所成角，这时候可以求出CM，CE，ME，而由余弦定理可以求出AM，从而在△AEM中由余弦定理即可求出cos∠AEM，这便得到异面直线AE、DF所成角的余弦值．解答：解：如图，设BC=4，取CF中点M，连接AM，ME；∵E是CD中点；∴ME∥DF；∴∠AEM或其补角便是异面直线AE，DF所成角；则：，，，CE=2，CM=1；∴在△ACM中，由余弦定理得：AM2=CA2+CM2﹣2CA•CM•cos60°=16+1﹣4=13；∴在△AME中，由余弦定理得：cos∠AEM=；∴异面直线AE、DF所成角的余弦值是．故答案为：．点评：考查异面直线所成角的概念及其求法，清楚异面直线所成角的范围，等边三角形的中线也是高线，直角三角形边角的关系，以及余弦定理的应用．15．下列命题中正确的序号是②③①平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则在上的投影为．②有一底面积半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P，则点P到O点的距离大于1的概率为．③命题：“∀x∈（0，+∞），不等式cosx＞1﹣x2恒成立”是真命题．④在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最大值等于．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：①根据投影公式代入求出即可判断；②根据球和圆柱的体积公式求出即可；③构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调性，从而得到结论；④画出平面区域，结合基本不等式的性质从而求出代数式的最大值．解答：解：①则在上的投影为：||cos60°=2×=1，故①错误；②∵到点O的距离等于1的点构成一个球面，如图，，则点P到点O的距离大于1的概率为：P====，故②正确；③构造函数h（x）=cosx﹣1+x2，h′（x）=﹣sinx+x，h″（x）=﹣cosx+1≥0，∴h′（x）在（0，+∞）上单调增∴h′（x）＞h′（0）=0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调增，∴h（x）＞0，∴cosx＞1﹣x2，即不等式恒成立，故③正确；④：约束条件对应的平面区域如图3个顶点是（1，0），（1，2），（﹣1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值6，此时a+2b=6，∵a＞0，b＞0，∴由不等式知识可得：a+2b=6≥2，∴ab≤，当且仅当：a=2b即：a=3，b=时“=”成立，要求的最大值转化为求的最小值即可，而=+≥2=2≥2=，∴的最大值等于，故④错误，故答案为：②③．点评：本题考查了向量的运算，考查概率问题，考查函数恒成立问题，基本不等式性质的应用以及线性规划问题，是一道综合题．三、解答题（本大题共6小题，满分75分解答应写出文字说明及演算步骤。
德阳市高中2015级“二诊”考试数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知为虚数单位，实数，满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】，则故选D.2. 已知集合，集合，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】得到，故选A.3. 函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，即平移后得到的函数为奇函数，即为奇函数，对照选项可知选B.4. 实验测得四组数对的值为，，，，则与之间的回归直线方程是（）参考公式：，.A. B.C. D.【答案】A【解析】样本中心点为,计算得,代入验证可知选项正确.5. 如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为故这个几何体的外接球的表面积为．故选C．【点睛】本题考查了由三视图，求体积和表面积，其中根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．属于中档题．6. 《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中表示除以的余数，例如.若输入的值为8时，则输出的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得：满足条件，满足条件满足条件，不满足条件，，满足条件，满足条件，…，可得：2， 4， 8，∴共要循环3次，故．故选B.7. 已知，则、、的大小排序为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】为正实数，且，可得：即因为函数单调递增，∴.故选A.8. 以等腰直角三角形的斜边上的中线为折痕，将与折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①平面；②为等边三角形；③平面平面；④点在平面内的射影为的外接圆圆心.其中正确的有（）A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④【答案】C【解析】由于三角形为等腰直角三角形,故,所以平面,故①正确,排除选项.由于,且平面平面,故平面,所以,由此可知,三角形为等比三角形,故②正确,排除选项.由于,且为等边三角形,故点在平面内的射影为的外接圆圆心, ④正确,故选.9. 已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（）A. 3B. 1C.D. 2【答案】D【解析】双曲线的离心率为，则故其一条渐近线不妨为，圆的圆心，半径为2，双曲线的一条渐近线被圆截得的线段长为，可得圆心到直线的距离为：故选D．10. 已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于,函数为增函数,且,函数为奇函数,故,即在上存在.画出的图象如下图所示,由图可知, ,故选.【点睛】本小题主要考查函数的单调性与奇偶性,考查利用导数研究函数的单调性,考查恒成立问题的解题思路.给定一个函数的解析式,首先要分析这个函数的定义域,单调性与奇偶性等等性质,这些对于解有关函数题目可以有个方向,根据基本初等函数的单调性要熟记.11. 如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线及其准线从上到下依次交于、、点，令，，则当时，的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】设，则又，可得同理可得，故选B.12. 已知、是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，当点、分别位于分段函数的两支上，且直线分别与函数图像相切时，最小，设当时，直线因为点在直线直线上，解得同理可得则，且函数在上单调递增，在上单调递见，故函数的最大值为.故选B.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13. 已知实数，满足条件，则的最大值为__________．【答案】8【解析】画出可行域如图所示，则当目标函数y经过点时取代最大值，即答案为4.14. 为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．【答案】【解析】,解得,根据中位数为,可知,故.15. 如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为__________．【答案】【解析】不妨设为直角,且,以分别为轴,此时为点的坐标,表示到原点的距离,最短时为点到直线的距离,由于是中位线,故最短的等于点到距离的一半,即.16. 已知中，角、、所对的边分别是、、且，，，若为的内心，则的面积为__________．【答案】【解析】由于,所以,展开化简得.由正弦定理得,所以,解得.设,设外切圆半径为,根据海伦公式有,解得,故.【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查了三角形的面积公式,包括海伦公式及有关内切圆的面积公式.首先根据,及,得到,利用两角和与差的正弦公式和二倍角公式,化简这个式子可求得的值.利用海伦公式可求得面积.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列满足，.（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【试题分析】(1)利用配凑法将已知配凑成等比数列的形式,由此证得为等比数列.(2)由(1)求得的通项公式,利用裂项求和法求得数列的前项和.【试题解析】（1）∵，∴.又，∴，.∴是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，∴,∴.18. 省环保厅对、、三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：城城城优（个）28良（个）3230已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.（1）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在城中应抽取的数据的个数；（2）已知，，求在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.【答案】（1）9；（2）.【解析】【试题分析】(1)由计算出,再由总数计算出,按比例计算得应抽人数.(2) 由（1）知，且，，利用列举法和古典概型计算公式计算得相应的概率.【试题解析】（1）由题意得，即.∴，∴在城中应抽取的数据个数为.（2）由（1）知，且，，∴满足条件的数对可能的结果有，，，，，，，共8种.其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有，，共3种.∴在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为.19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，点、分别为和的中点.（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【试题分析】(1) 取的中点，连结、，通过证明四边形为平行四边形,得到,由此证得平面.(2)利用等体积法,通过建立方程,由此求得点到面的距离.【试题解析】（1）取的中点，连结、，由题意，且，且，故且，所以，四边形为平行四边形，所以，，又平面，平面，所以，平面.（2）设点到平面的距离为.由题意知在中，，在中，在中，故，，，，所以由得：，解得.20. 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点、，点，试探究：直线与的斜率之积是否为常数.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【试题分析】(1)根据三角形面积公式和离心率建立方程,解方程组可求得的值.(2)设出直线的方程联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,通过计算.化简后可得为常数...................【试题解析】（1）由题意得（其中椭圆的半焦距），解得.所以椭圆的方程为：.（2）由题意设直线的方程为：，，，由得：，所以，故，，（常数）.21. 已知函数.（1）若是的一个极值点，求的最大值；（2）若，，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【试题分析】(1)求出函数的导数,通过求得的值,根据单调区间求得函数的最大值.(2)将原不等式转化为,构造函数,对求导,对两者比较大小,分成两类,利用分离常数法求得的取值范围.【试题解析】（1），由题意得，即，所以，所以，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.（2）由题意得，都有，令函数，当时，在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以在上单调递减，故，所以实数的取值范围为.同理，当时，在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以在上单调递减，故.所以实数的取值范围为，综上，实数的取值范围为.【点睛】本小题主要考查函数导数与极值,考查函数导数与不等式恒成立问题. 与函数最值有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. 在平面直角坐标系中，直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：.（1）求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（2）记射线与直线和曲线的交点分别为点和点（异于点），求的最大值.【答案】（1）直线的极坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：；（2）.【解析】试题分析：（1）根据极坐标方程、参数方程与普通方程的对应关系即可得出答案；（2）由（1），，所以，即可得到的最大值.试题解析：（1）由题意得直线的普通方程为：，所以其极坐标方程为：.由得：，所以，所以曲线的直角坐标方程为：.（2）由题意，，所以，由于，所以当时，取得最大值：.23. 已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意或，由此可解不等式；（2）由于关于的不等式的解集非空，函数的最小值为-1，由此解得的范围．试题解析：（1）由题意或，所以或，即或，或或，故原不等式的解集为.（2），由于，所以当时，的最小值为-1.所以实数的取值范围为：.【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题。
