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从食堂香锅排队现象看排队论尹凯凯2012011109（清华大学电子工程系无37班）【摘要】在现实生活中，为了接受某种服务，排队等待是常见的现象，排队问题总是出现在各种各样的场合中，如车站排队买票、剧院排队入场等。
本文基于现实问题——食堂香锅排队问题，以此结合泊松分布及排队论等相关知识完成研究，并通过matlab仿真比较不同排队方式的效率高低。
【关键词】排队论 M/M/c M/M/1 泊松分布1．排队论1．1背景介绍排队论是研究排队现象的理论和应用的学科，是专门研究由于随机因素影响而产生的拥挤现象的科学。
20世纪初丹麦数学家、电气工程师爱尔朗把概率论应用于电话通话问题，从而开创了这门应用数学科学。
20世纪30年代中期，费勒引进了生灭过程，排队论才被数学界承认为一门重要的学科。
20世纪40年代排对论在运筹学这个新领域中成了一个重要的部分。
20世纪50年代初肯德尔对排对论作了系统的研究，他用马尔科夫链方法研究排队论，使排队论得到进一步发展。
20世纪60年代起排队论研究的课题日趋复杂，很多问题很难求得精确解，因此开始了近似方法的研究。
排队论应用范围很广，它适用于一切服务系统。
尤其在通信系统、交通系统、计算机存储系统和生产管理系统等方面应用的最多。
排队是日常生活和工作中常见的现象。
例如等公共汽车排队，到商店购物排队，交款排队，到医院看病等待排队，买火车票排队，托运行李排队，取货排队, 这是人的排队。
还有另一种排队，例如文件等待打印或发送，报告等首长批示，路口红红灯下的汽车、自行车等待通过路口，这是物或设备排队。
总之，凡是具有公共服务性质的事业和工作，凡是出现拥挤现象的领域，都是排队论的用武之地。
1．2排队系统描述排队系统又称为随机服务系统，是研究服务过程和拥挤现象的随机模型。
排队系统的共同特征：•请求服务的人或者物——顾客；•有为顾客服务的人或者物，即服务员或服务台；•顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供服务的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。
体菜品布置方式见图1。
图1窗口菜品布置图1.3食堂效率现状在不干扰食堂工作人员正常工作的前提下，通过对窗口的打饭和打菜流程进行视频拍摄，流程分析[7-8]，得出各流程所需的时间，平均完成一次打饭动作需要6秒，即打饭窗口的平均工作效率约为10人/分钟；平均完成一次打菜动作需要19秒，即打饭窗口的平均工作效率约为4人分钟，可见，打菜效率远远低于打饭效率，两者存在不平衡模型中其他参数为：窗口服务强度，窗口平均服务强度（1整个食堂窗口空闲的概率学生平均排队长学生平均等待时间2.3模型求解基于以上统计数据，选取一次排队入口总人数为但是食堂一共有衡问题。
图2食堂布局改善方案图3.2B食堂菜品窗口布局改善通过对食堂排队现状的观察，食堂菜品的价格是一定的，学生选择不同种类或不同价格的菜品需到不同窗口。
同时，学生们在打完一个窗口的菜品后，继续选择其他打菜窗口的随机性较大，从窗口1到窗口8，再返回至窗口1的情况也时常发生。
为了缩短学生在打菜通道的逗留时间，提出将窗口菜品进行套餐化。
进一步，通过对200位学生进行问卷调查，调查内容主要包括学生日常打菜的数量、打菜的总价以及对窗口菜品套餐化的支持程度，可以得出以下结论：①约有61%的学生每次打菜数目是3个及以上，越有37%的学生每次打菜数目是2个。
②打菜总价在7至8元之间的同学约占48%，总价是9个及以上约占22%。
③对于窗口菜品套餐化这一方案，学生的支持程度超学生利用排队打饭的等待时间来了解各窗口的菜品信息。
图3菜品窗口改善方案设置图4基于flexsim的改善效果分析基于以上改善方案，因为学生到达时间间隔和员工的. All Rights Reserved.服务时间并无变化，因此参数设置无需修改，但由于采用了回字型结构的打菜排队通道，故重新设置仿真布局图，见图4。
再次运用flexsim进行仿真，得表2，仿真结果为：一个150人的打菜排队系统从开始至结束一次运行的时间为976s，约为16分钟，对比改善前的28分钟，效果明显。
简析学校食堂排队现象 一．现象阐述在三味堂吃饭,总会有这样的打饭现象，我们发现只有在凉菜间和打白米饭处会排队，其他菜品地方都不会排队.针对以上现象，我将用经济学原理做一个简要分析。
为了便于未来阐述的方便，我们假设其他打菜处为A,窗口凉菜间为B 窗口打米饭处为C 窗口A 总特点：需求量大，不稳定，窗口多,打菜的劳动力少B 总特点:需求量不大,较稳定，窗口少，打菜劳动力少C 总特点：需求量大,较稳定，窗口少，大菜劳动力少 二．消费者（学生）角度分析解释一：运用博弈论的思想假设有两个参与者X ，Y他们面对同一个人气菜品a 有两种选择:排队或者不排队假设他们排队或不排队的效率图为下图根据占有均衡的原理，无论对方采取何种策略，“我”都有唯一的最佳策略，即选择不排队，最终虽然大家都不排队得到的效用最小,但是大家还是不约而同的选择了不排队。
解释二：根据供给需求理论来解释假设A 类窗口中的a 菜品需求曲线如下图需求量为Q 当a 菜品出现排队状况时，需求量增加,则有两种情况。
1． 需求量没有超过供给饱和线（Q1）2． 需求量超过供给饱和线（Q2)无论是哪种情况，我们可以发现，根据需求定理（在非价格因素不变的情况下，商品自身价格与需求量反向变动）,我们的均衡点按照理论应该移动到（P1，Q1）或者（P2，Q2）点.但是，由于学校食堂是定价销售，随着需求量的移动，价格却不会降低。
则，消费者就会承担阴影部分的损失。
所以无论消费者排不排队，实际上，都有一部分损失。
这个时候，消费者有两种选择1. 选择别的不需要排队的菜2. 打这个菜选择1的机会成本是失去打这个菜的效用选择2的机会成本是失去打别的菜的效用显性成本是打菜浪费的时间效用从基数效用的假设上来说，假设所有A 窗口菜品效用都是2，选择别的不排队的菜品应该是明智的选择。
但是由于个人偏好，主观感受等差异，实际不同菜品的效用没有办法衡量。
所以,我们也有可能选择打这个菜。
这个时候，我们又面临两种选择,是排队还是不排队？我们的菜品实际上每一份菜的效用是不同的。
排队论在餐厅排队管理中的应用餐厅作为人们日常生活中非常重要的一部分，其经营管理的效率和质量直接关系到顾客的用餐体验和餐厅的经济效益。
然而，由于顾客数量众多和服务过程中存在一定的不确定性，餐厅排队管理一直是一个具有挑战性的问题。
为了提高顾客满意度和经营效益，越来越多的餐厅开始应用排队论来优化其排队管理。
本文将探讨排队论在餐厅排队管理中的应用，并分析其对提高服务质量和经营效益所起到的作用。
首先，我们来了解一下什么是排队论。
排队论是运筹学中研究顾客到达过程、服务过程以及系统性能指标等问题所使用的数学工具。
它通过对系统各个要素进行建模，并运用概率统计方法进行分析，从而得出关于系统性能指标（如平均等待时间、平均逗留时间等）以及资源利用率、吞吐量等方面有关问题答案。
在餐厅中，顾客到达过程是指顾客从进入餐厅到排队的过程。
排队过程是指顾客在餐厅内等待的过程。
服务过程是指顾客点餐、制作、上菜等环节。
在这个过程中，排队论可以帮助餐厅管理者更好地理解和优化顾客到达和服务的规律，从而提高整个排队系统的效率。
首先，排队论可以帮助餐厅管理者预测和优化顾客到达过程。
通过对历史数据的分析和概率统计方法的运用，可以建立到达模型，预测不同时间段内顾客到达的数量和间隔时间。
这对于餐厅来说非常重要，因为它可以帮助餐厅管理者合理安排人员和资源，并提前做好准备工作，以应对高峰期的突发情况。
其次，排队论可以帮助餐厅管理者优化服务过程。
通过对服务环节进行建模，并运用概率统计方法进行分析，可以得出不同服务环节所需时间以及不同菜品制作所需时间等数据。
这些数据对于合理安排人员、提高工作效率非常重要。
例如，在高峰期增加点单窗口或者增加制作人员数量等措施都是根据排队论的分析结果进行的决策。
最后，排队论可以帮助餐厅管理者优化排队策略。
通过对排队模型进行建模，并运用概率统计方法进行分析，可以得出最优的排队策略。
例如，可以根据顾客到达的规律和服务环节所需时间等因素，确定最佳的服务窗口数量和顾客受理规则等。
浅析学校食堂排队现象学号：111054010149 姓名：叶伟鹏班级：营销11-1 指导老师：吴彤关键词：需求、供给、效用、竞争摘要：由于食堂与现今商业因素高等学校的特殊关系，使得高校食堂成为利润颇高的一个行业。
局限于现在本人知识不足，只能对食堂的一个细节问题做一个浅析。
食堂排队现象原因主要有以下两个：供不应求和寡头垄断。
一、供不应求是排队重要原因之一（一）供应方面的原因：1.由于广东石油化工学院的特殊性，人数与硬件配套比例的严重失调，导致供不应求的现象一直存在，时常看到很多消费者晚下课而只能被迫选择单一的菜种，即使排队也不得已而为之。
学校已知的食堂有4个，而又以一饭堂最大，但根据食堂的座位量和开放窗口的情况，在半饱和的容量下尚且不能完成正常的供应，更何况是饱和的情况，在此还不包括考虑食堂饮食质量的问题。
所以大部分消费者不得不在漫长的等待中排成长长的队伍，使得食堂人满为患，“等饭者”与“端饭者”往往摩肩接踪。
2.中国特色的市场经济体制下的大学加入了新的商业因素，所以利润也摆在了承包者的面前，所以，生产者会从利润出发尽量避免食物有剩余，而晚到者（由于课程时间与食堂时间的不协调，大部分为刚下课的学生）只能选择次一等的消费。
（二）需求方面的原因：广东石油化工学院总人数达到1.8万人，无可臵疑这是个巨大的消费市场，这表示其中有着同样巨大的日常饮食需求，而学校占地只有600多亩的，注定食堂的数量和容量都无法达到要求以供给如此多的需求，而现实也是如此，所有食堂的总量和容量不能满足校内学生的一半，所以需求旺盛形成卖方市场，消费者只能是争抢资源，而在大学的食堂只能通过排队的方法以求达到基本的生存需要。
二、某些窗口因为效用问题而排起了长队由于每个人的偏好不同，因此每一种菜对不同的人所产生的效用也是不同的。
一些人比较多的窗口，某些个窗口的菜可以给学生带来更大的效用，所以学生就宁愿排长点的队去打这个菜。
在某些窗口，比如北方面食窗口，会经常见到它的队伍比一般的窗口要长得多，除了窗口少的原因之外，它的效用也不可忽视。
针对食堂就餐排队等现象谈规划作文在学校或者单位的食堂里，就餐排队那可真是一道独特的“风景线”。
每天一到饭点，那队伍就像一条条蜿蜒的长龙，大家都眼巴巴地望着窗口里的美食，一边流口水，一边慢慢往前挪。
这排队过程中也存在不少问题，今天我就想跟大家唠唠，再谈谈我的一些规划。
咱们说说现在食堂排队存在的现象。
有时候那队伍排得乱七八糟的，你会发现有一些“插队小能手”就像灵活的泥鳅一样，悄悄地从旁边溜到前面去。
这可就惹恼了后面老老实实排队的人，本来排队等饭就已经让肚子里的小馋虫不耐烦了，再遇到这种插队的，那心里的小火苗“噌”地就起来了。
还有的时候，食堂工作人员打饭的速度就像蜗牛爬一样慢，不是他们故意的哈，可能是前面的人点的菜太复杂，或者设备有点小故障。
但是这就导致队伍越排越长，大家的耐心也一点点被消磨掉。
那针对这些情况，我有这么几个小规划。
第一，咱们得加强排队秩序的管理。
在食堂门口或者排队的地方，贴上超级醒目的标语，比如说“排队是美德，插队讨人嫌”“有序排队，快乐就餐”，字儿要大，颜色要鲜艳，最好再配上一些搞笑的小漫画，像画一个小人因为插队被大家用筷子追着打的画面，保证让大家看一眼就忘不了。
然后呢，安排几个“排队小卫士”，可以是食堂工作人员轮流值班，也可以找一些志愿者同学或者同事来帮忙。
他们就站在队伍旁边，一旦发现有人插队，就吹个小哨子，像足球裁判那样，然后让插队的人到队伍最后面重新排起。
要是插队的人不服气，“排队小卫士”就可以给他讲讲道理，比如说“大家都在排队，你这样插队是不公平的，就像大家都在遵守交通规则，你突然闯红灯一样危险哦。
”第二，提高食堂工作人员的打饭效率。
食堂可以定期对工作人员进行培训，就像运动员训练一样，让他们打饭的动作又快又准。
比如说练习怎么快速盛菜，还能保证分量均匀，这可是个技术活呢。
另外，食堂可以更新一些设备，如果那个打饭的勺子老是不听话，盛不起来菜，那就赶紧换个好使的勺子。
还有哦，食堂可以采用一些现代化的点餐系统，就像在快餐店里那样，大家可以提前在手机上或者食堂的自助点餐机上点好餐，然后到窗口直接取餐就可以了，这样就能大大减少排队等待的时间。
基于排队论的食堂排队问题的M/M/n模型作者：陈梦怡李媛媛王佩佩赵芬燕夏虎周鑫来源：《山东青年》2019年第06期摘 要：各高校中，学生食堂就餐排队难是一个非常严峻的问题。
本文主要研究工作日高校就餐高峰期的排队优化问题。
我们首先观察中午食堂人流量和食堂排队的窗口数以及打饭效率，然后搜集数据并进行分析，找出食堂拥挤的原因，最后针对问题进行合理的建模求解。
针对问题，我们主要运用排队论来建立并解决模型。
关键词：排队论;M/M/1;M/M/n一、问题背景大学校园里，学生们一下课就冲出教室跑去食堂就餐，食堂的窗口很快变得拥挤不堪，同学们怨声载道，因此解决食堂就餐拥挤问题令大家十分关心。
二、模型的初步探讨与分析针对上文提出的问题，我们实地调查了某校工作日就餐高峰期时食堂排队拥挤状况，并对食堂拥挤状况进行统计分析，结果如下表所示：通过调查发现，10个窗口平均28s服务一个同学。
我们初步的解决思路是：在不耽误学生正常饮食的前提下，对食堂的窗口进行优化。
三、模型假设1.假设就餐高峰期时学生数量无限，学生单独到来并且相互独立;2.假设每个窗口服务人员的工作效率是随机且服务时间符合指数分布;3.假设学生对窗口的选择随机;4.排队方式是单一的队列等待制;四、模型建立与求解由于高校的每个窗口服务效率不同，所以我们建立由单服务平台到多服务平台的排队模型，如下表所示：五、结果分析根据上述求解可知，如果学生都选择在中午放学后立马进餐的话，是没有空闲窗口的，且已经有27个同学处于排队买饭的状态，25名同学处于等待排队的状态，平均一个窗口2人。
根据调查发现，学生的平均等待时间和窗口数是有一定数量关系的，所以我们利用SPSS对数据进行S模型估计，如下图所示：从图中可以看出，学生平均等待时间随着窗口数的增加先趋于下降，之后当窗口数量处于13左右时逐渐平缓。
对于学生来说，排队等待时间越短越好，对于食堂来说，窗口数量的增加虽然缩短了学生的排队时间，但是同时也会增加成本，所以我们不仅需要有线下的窗口优化，更需要有线上的优化。
从食堂香锅排队现象看排队论尹凯凯2012011109（清华大学电子工程系无37班）【摘要】在现实生活中，为了接受某种服务，排队等待是常见的现象，排队问题总是出现在各种各样的场合中，如车站排队买票、剧院排队入场等。
本文基于现实问题——食堂香锅排队问题，以此结合泊松分布及排队论等相关知识完成研究，并通过matlab仿真比较不同排队方式的效率高低。
【关键词】排队论M/M/c M/M/1 泊松分布1．排队论1．1背景介绍排队论是研究排队现象的理论和应用的学科，是专门研究由于随机因素影响而产生的拥挤现象的科学。
20世纪初丹麦数学家、电气工程师爱尔朗把概率论应用于电话通话问题，从而开创了这门应用数学科学。
20世纪30年代中期，费勒引进了生灭过程，排队论才被数学界承认为一门重要的学科。
20世纪40年代排对论在运筹学这个新领域中成了一个重要的部分。
20世纪50年代初肯德尔对排对论作了系统的研究，他用马尔科夫链方法研究排队论，使排队论得到进一步发展。
20世纪60年代起排队论研究的课题日趋复杂，很多问题很难求得精确解，因此开始了近似方法的研究。
排队论应用范围很广，它适用于一切服务系统。
尤其在通信系统、交通系统、计算机存储系统和生产管理系统等方面应用的最多。
排队是日常生活和工作中常见的现象。
例如等公共汽车排队，到商店购物排队，交款排队，到医院看病等待排队，买火车票排队，托运行李排队，取货排队, 这是人的排队。
还有另一种排队，例如文件等待打印或发送，报告等首长批示，路口红红灯下的汽车、自行车等待通过路口，这是物或设备排队。
总之，凡是具有公共服务性质的事业和工作，凡是出现拥挤现象的领域，都是排队论的用武之地。
1．2排队系统描述排队系统又称为随机服务系统，是研究服务过程和拥挤现象的随机模型。
排队系统的共同特征：•请求服务的人或者物——顾客；•有为顾客服务的人或者物，即服务员或服务台；•顾客到达系统的时刻是随机的，为每一位顾客提供服务的时间是随机的，因而整个排队系统的状态也是随机的。
基本排队过程：从上图可知，每个顾客由顾客源按一定方式到达服务系统，首先加入队列排队等待接受服务，然后服务台按一定规则从队列中选择顾客进行服务，获得服务的顾客立即离开。
1．3基本组成部分典型排队系统模型排队系统的三个基本组成部分：输入过程(顾客按照怎样的规律到达);排队规则(顾客按照一定规则排队等待服务);服务机构(服务机构的设置,服务台的数量,服务的方式,服务时间分布等)1．3．1输入过程指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也把它称为顾客流。
一般可以从3个方面来描述—个输入过程。
(i) 顾客总体数。
又称顾客源、输入源。
这是指顾客的来源。
顾客源可以是有限的，也可以是无限的。
(ii) 顾客到达方式。
这是描述顾客是怎样来到系统的，是单个到达，还是成批到达。
(iii) 顾客流的概率分布。
或称相继顾客到达的时间间隔的分布。
这是求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标。
顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分布等若干种。
顾客到达的方式通常是一个一个到达的，也可能是成批的。
顾客的到达总是有一定规律，即到达过程或到达时间间隔符合一定的分布，称到达分布。
顾客的到达或到达时间通常假定为相互独立的且遵从同一分布的随机变量。
而常见的分布规律为泊松到达，其服从泊松分布。
泊松分布（Poisson）：P{X = k} = λk e-λ/ k! k=0,1,2,…，μx = σx = λ泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，也是表述随机现象的一种重要形式。
在实际系统模型中，一般都要假定任务（或顾客）的到来是泊松分布的。
实践也证明：这种假设有效。
如果顾客到达的人数是符合泊松分布，即在时间T内到达有k个顾客到达的概率为：p=（λT）k e-λT/ k! ，在时间T内顾客到达的平均顾客数= λT，平均到达速度（顾客数/秒）= λ服从泊松分布过程的到达被认为是随机到达，因为当顾客根据泊松过程到达时，顾客在各个时刻到达的可能性相同并与其它顾客的到达无关。
1．3．2排队规则对于一个有限大小的队列来说，顾客可能从队列中丢失。
有什么样的服务协议就有什么样的与之对应的排队方式。
一般可以分为损失制、等待制和混合制等3大类。
(i)损失制指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都被先到的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。
(ii)等待制指当顾客来到系统时，所有服务台都不空，顾客加入排队行列等待服务。
等待制中，服务台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则：a先到先服务按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。
b先到后服务c随机服务即当服务台空闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客接受服务。
d优先权服务(iii)混合制这是等待制与损失制相结合的一种服务规则，一般是指允许排队，但又不允许队列无限长下去。
具体说来，大致有三种：a队长有限。
当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时，后来的顾客就自动离去，另求服务，即系统的等待空间是有限的。
b等待时间有限。
即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T，当等待时间超过T 时，顾客将自动离去，并不再回来。
c逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限。
1．3．3服务机构(i)服务台数量及构成形式。
从数量上说，服务台有单服务台和多服务台之分。
从构成形式上看，服务台有：①单队一---单服务台式；②单队一---多服务台并联式；③多队一---多服务台并联式；④单队一---多服务台串联式；⑤单队一---多服务台并串联混合式，以及多队多服务台并串联混合式等等。
(ii)服务方式：这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和成批服务两种。
(iii)服务时间的分布：在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是一随机变量。
一般服务台对顾客是一个一个进行服务的，且对每一个顾客的服务时间长短不一。
将服务时间看作随机变量，那么它们是相互独立的且遵循同一分布。
因此描述服务规律时，采用服务时间的概率分布，即服务分布。
服务分布同到达分布一样，到底属于哪一种概率分布，要根据具体排队问题进行分析。
1．4排队系统的主要数量指标L-----平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；L q——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值；W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；W q——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。
s ——系统中并联服务台的数目；λ——平均到达率；1λ⁄——平均到达间隔；μ——平均服务率；⁄——平均服务时间；1μN ——稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数）；U ——任一顾客在稳态系统中的逗留时间；Q ——任一顾客在稳态系统中的等待时间；P n=P{N=n}:稳态系统任意时刻状态为n的概率；特别当n=0时(系统中顾客数为0)，P0即稳态系统所有服务台全部空闲的概率；ρ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，一般有ρ=λ/μs ，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度。
1．5两类排队论模型1．5．1 M/M/c 排队模型M/M/c 排队模型是指c 个服务员的排队系统，顾客到来间隔时间服从参数为λ的指数分布，服务时间服从参数为μ的负指数分布，且有隐含假定：• 顾客到来间隔时间是独立同分布的；• 服务时间也是独立同分布的；• 并且独立于输入过程；λk = λ， k=0,1,2, …μk = cμ k ≧ c基本构成(i) 顾客到达规律X(t)表示在（t,t +∆t ）时间到达的顾客数，称为排队系统的输入过程。
它服从参数为λt 的泊松分布，即：()(()),0,1,2!k λt λt P X t k e k k -===其平均值为λt ，即单位时间内到达的顾客数为λ，并称为平均到达率。
{S n |S n =τn+1−τn }表示顾客到达间隔时间序列，其中τn 表示第n 个顾客的到来时刻。
可以证明：X(t)服从参数λt 为的泊松分布的充要条件是到达间隔时间序列{S n }独立同分布且服从负指数分布。
(ii) 服务时间记Z 为服务时间，Z 服从参数为μ的负指数分布：01()00μtt e P Z t t -⎧≥-≤=⎨≤⎩则EZ =1μ⁄，即为每个顾客平均服务时间为1μ⁄，从而单位时间内被服务的顾客的平均数为μ，称为平均服务率 。
(iii) 排队规则按顾客的到达的先后顺序服务，即先到先服务。
满足以上三个条件的模型在排队论中记为模型M/M/c 模型，其中c 为服务员的个数。
M/M/c 模型系统运行指标系统的服务强度ρ，所有服务台是空的概率P 0, 所有服务台都在忙的概率 P ∞,，平均等待顾客数量L q , 系统中平均顾客数量L ，平均系统逗留时间W, 平均排队等候时间W q ,分别为：11000()(),!!(1)()!(1),111,n c c n c q q c c P c n c c P P c P P L L c L W W W λρρρμρρρρρρρρλμ--=∞∞∞⎧⎫⎡⎤⎡⎤==+⎨⎬⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎩⎭=-==+--==-∑ 等价地：系统中的平均顾客数量L =cρ+ ρP 0 (cρ)c /[c!(1−ρ)2]其中，平均等待顾客数量 L q =ρP 0 (cρ)c /[c!(1−ρ)2]令随机变量M 表示“忙”服务台的数量，E[M]=cρ= λ/μ所以，任意一个服务台的利用率ρ= λ/（cμ）在多服务台系统中的Little 公式：ρ= λ/（cμ）L =L q + ρc1．5．2 M/M/1排队模型顾客按照速率为λ的泊松过程到达，顾客的服务时间是独立同分布的随机变量，通常分布设为均值为1／μ的指数分布。
假设顾客按照到达的顺序接受服务，即FCFS 服务。
例如，如果“顾客”表示到达计算机系统的作业任务，那么“服务台” 代表计算机系统。
M/M/1 系统运行指标系统中平均顾客数： L =ρ1− ρ=λμ−λ,顾客在系统中平均等待时间： W =1[μ( 1−ρ)]=1μ−λ=L λ 顾客在队列中平均等待时间： W q= ρ[μ( 1−ρ)]=1μ−λ−1μ=λμ(μ−λ) 队列中平均顾客数： L q = ρ2 /( 1-ρ) (其中ρ = λ /μ，称为服务强度)在单服务台系统中的little 公式：ρ = λ /μ, L=L q + ρ通用的little 公式： L q =λW qL=λw =L q +λμW=W q + 1/μ2．问题介绍对买香锅的同学计数服从参数为λ的泊松分布，每人只许买一份，买完就走。
并行做香锅的厨师有r个，每位厨师任何时刻只能做一份香锅，不同厨师做菜时间长度独立，且都服从参数为μ的负指数分布。
