【精品试卷】第二学期高三二模数学试卷分析

北京市海淀区2022届高三下学期二模数学试题一、单选题1．已知集合{}01A x x x =或，则A =R ð（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x ≤≤2．在()312x -的展开式中，x 的系数为（ ）A ．2-B ．2C ．6-D ．6【答案】C【分析】直接由二项展开式求含x 的项即可求解.【详解】由题意知：含x 的项为()13C 26x x ⋅-=-，故x 的系数为6-.故选：C.3．已知双曲线2222:1x y C a b -=的渐近线经过点()1,2，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D4．已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（ ）A ．11x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>5．若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-6．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点()(),1,2,3n n n P x y n =L ，在抛物线上.若11n n P F P F +-=，则（ ）A ．{}n x 是等差数列B ．{}n x 是等比数列C ．{}n y 是等差数列D ．{}n y 是等比数列【答案】A【分析】根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解.【详解】由题可知，抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为=1x -，点()(),1,2,3n n n P x y n =L ，在抛物线上，由抛物线的定义可知，，7．已知向量(1,0)a =r ，(b =-.若,,c a c b =，则c r可能是（ ）A ．2a b -r rB ．a b+rrC ．2a b+r r D b+r8．设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a fx +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.9．从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y 与时间t （单位：s ）的关系符合函数()()sin 100y A t ωϕω=+<.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片.已知连拍的间隔为0.01s ，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（ ）A ．9、15B ．6、18C ．4、11、18D ．6、12、1810．在正方体ABCD A B C D -''''中，E 为棱DC 上的动点，F 为线段B E '的中点.给出下列四个①B E AD ''⊥；②直线D F '与平面ABB A ''所成角不变；③点F 到直线AB 的距离不变；④点F 到,,A D D A '',四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（ ）A ．②③B ．③④C ．①③④D ．①②④【答案】C【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，行判断；(2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定；(3)根据定义作出线面角可用来解决运动型的问题二、填空题11．已知,a b 均为实数.若()i i i b a +=+，则a b +=_________．【答案】0【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】()i i i i 1b a a ==++-，故1,1a b ==-，0a b +=.故答案为：0.12．不等式112x⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________．13．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{}n a ，{}n b 分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：11(2,21,2)n n n n n n a a b b a b n ++=+=+=L ，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足11a b >，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：①*,n n n a b ∀∈>N ；②*11,,n n n n n a a b b ++∀∈>>N ；③*k ∃∈N ，使得当n k >时，总有10110nna b --<④*k ∃∈N ，使得当n k >时，总有101210n na a -+-<．其中，所有正确结论的序号是_________三、解答题14．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，点E 是PC 的中点.(1)求证：//DC 面ABE ；(2)求DC 到平面ABE 的距离.由（1）知//DC 面ABE ，故DC 到平面连接,AE AC ，取AC 中点F ，连接BF 易得EF PA ∥且1=12EF PA =，则EF 2,23AC BD ==，故12ABC ABCD S S =V 又113,122BF BD AF AC ====，故15．在ABC V 中，76cos a b B =．(1)若3sin 7A =，求B ∠；(2)若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在.求ABC V 的面积条件①：sin 47A =； 条件②：sin B16．PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测(1)现从制造业的10个观测组中任取一组，（ⅰ）求组内三个PMI 值至少有一个低于50．0的概率；（ii ）若当月的PMI 值大于上一个月的PMI 值，则称该月的经济向好.设X 表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI 值低于去年12月份的PMI 值），求X 的分布列与数学期望；(2)用1,2)1(2j b j =L ，，表示第j 月非制造业所对应的PMI 值，b 表示非制造业12个月PMI 值的平均数，请直接写出j b b -取得最大值所对应的月份．所以随机变量X 的数学期望()121301225105E X =⨯+⨯+⨯=.（2）8月份，理由如下由某年12个月的非制造业PMI 值趋势图中的数据，得52.451.456.354.955.253.553.347.553.252.452.352.752.912b +++++++++++=≈根据某年12个月的非制造业PMI 值趋势图，可知当8j =时，j b b -取得最大值为847.552.9 5.4b b -=-=.17．椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左顶点为()2,0A -(1)求椭圆M 的方程；(2)已知经过点⎛ ⎝的直线l 交椭圆M 于,B C 两点，D 是直线4x =-上一点.若四边形ABCD 为平行四边形，求直线l 的方程.2a ）11224,),(,),(,)t B x y C x y -，又(2,0)A -，故AD k =-18．已知函数1()ln 2x af x x -=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；(2)当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3)当0x <时，()12f x ≥恒成立，求a 的取值范围.19．已知有限数列{}n a 共M 项(4)M ≥，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列{}n a 的各项和记为S ．(1)若{1,2}(1,2,,)n a n M ∈=L ，直接写出,M S 的值；(2)若{}1,2,3,2,()1,n a n M ∈=L ，求M 的最大值；(3)若*(1,2,,),16n a n M M ∈==N L ，求S 的最小值【答案】(1)4,7M S ==；(2)8；(3)50【分析】（1）直接列举出数列{}n a ，即可求得,M S ；（2）先构造数列使8M =，再说明不同的等腰三角形只有6个，故628M ≤+=，即可求得M 的最大值；（3）先构造数列使50S =，再设T 为数列的每一组连续三项的和的和，得116215322S T a a a a =++++，列举出不同的等腰三角形，使T 和11621522a a a a +++最小，进而得到50S ≥，即可求解.【详解】（1）边长为1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2；若前三项为1，1，1，则该数列只有3项，不合题意；所以50S ≥.⑤由①④，S 的最小值为50.【点睛】本题关键点在于设T 为数列的每一组连续三项的和的和，得116215322S T a a a a =++++，将S 最小，转化为T 和11621522a a a a +++最小，列举出不同的等腰三角形，使T 和11621522a a a a +++最小，进而得到50S ≥，再构造数列使50S =即可求解.四、双空题20．已知圆22:20C x y x ++=，则圆C 的半径为_________；若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_________．21．已知()sin cos f x x x =+的图象向右平移()0a a >个单位后得到()g x 的图象，则函数()g x 的最大值为_________；若()()f x g x +的值域为{}0，则a 的最小值为_________．。

抚顺市德才高中2010—2011学年上学期高三第二次模拟考试试题高三数学文科抚顺市徳才高中2010-2011学年上学期高三数学二模考试题，是采用抚顺市六校联合体高三第二次模拟考试试题，由十二中老师出题，出题范围依据《新课程标准》、《2011年数学科高考考试人纲》及说明，选择高考，在遵循“考查基础知识的同时，注重考查能力”等原则的基础上，进一步加大了改革的力度，融入了新课改的理念。

试题立意新颖、选材紧扣教材，从数学知识、思想方法、学科能力岀发，多层次、多角度、多视点地考查了学生的数学索养。

检测出目前我校高三数学教学的现状和我校学生的数学水平，体现了高三上学期数学教学成果的重要意义。

对以后高三数学教师合理高效地组织数学教学、高三学生更有效的学习数学能起到正确的导向和指导作用。

全卷共22道题，满分150分，1〜12为选择题，13〜16为填空题，17〜22 为解答题。

本次期末测试试卷分析选取的样本班级是高三二班，有36人参加考试，最高分：80分，垠低分：10分，垠高垠低分井为70分，班级平均分：39.49 分，平均分以上有16人，平均分以下有20人，0人达到优秀，有0人及格，及格率为0. 0%,比上次成绩有所下降。

数学总成绩统计表一、统计数据分析及问题分析1 •客观题每题5分，共60分，学生作答情况:分析：1.集合求交集。

属简单问题，考试前讲过原题，所以正确率91.4属正常，说明此题所要求学生理解关于相关性的概念的识别不是很清晰，容易让学生混淆概念并判断失误。

2.考察复数概念，答对率85.7属正常，错谋的原因是由于有些学生对复数的计算能力不够扎实，并且复习时没有认真按照老师布置的作业完成，假期作业中有原题的练习，还有些同学还没有养成细心答题的习惯，最后要求回答出共辘复数来，可是由于粗心没能得分。

3.简易逻辑用语的考察。

一般具冇一些生活常识的人都可以答对。

要注意条件的完整应用.4.儿何体三视图应用，要先有空间想象能力，将儿何休进行还原，考试前讲过原题，但是止确率22.9,说明有部分同学平时上课就不够专心认真，学习上不够上进，对上课的基木训练也达不到要求。

高三二诊数学试卷分析一、考点分布：文科文科试题考点分布全面系统，和高考考点分布一致，但函数与导数的分值略为偏多。

二、试题得分情况三、试题分析6①选择题5题容易出错，直线210x ay +-=与210bx y ++=平行等价于4ab =，且2a ≠-，很容易忽略2a ≠-,导致选A 。

7题，若函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，平移变换出问题：()sin(2)6πϕ=++f x x ，6πϕ=-，()f x 在[0,]2π上的最小值为sin()6π-，三角函数值混淆：()f x 在[0,]2π上的最小值为1sin()32π-=-，容易选C 。

10选C 的很多，计算不准确，尤其三abc 关系搞错：222=-b a c理科选择题8题，有3个条件“生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻”的排列组合问题，直接法做分情况太多，不容易弄清楚，间接法做，不好列对立事件的情况。

10题，213=-≤≤p (a )，容易粗心搞成最大值D ，而题目是求最小值。

②填空题：文科：12题基本都会做；11题函数()ln(1)f x x =-(1,2]，学生出错在端点等号问题；14题计算出错的太多；15题基本不会做。

理科：11、12题学生基本都会做，13题不会把log 2log log 3a x x x a y ++=-转化为关于y 的函数；14题相似关系不会找；15题16题计算量太大，结果正确的很少。

③第一道大题文科16，数列题，学生对*11()2n n n S a a n N +=∈比较陌生，不会转化为22=-+n n a a ，或者转化后不能理解隔项成等差的式子22=-+n n a a ，其中计算出错的比较多。

理17，三角函数题，转化21()cos()cos sin ()22f x x x x ππ=----时诱导公式不熟悉，降幂公式符号用错，处理1(sin 2cos 2)2+x x 时辅助角公式不会用，或者计算三角函数值不管符号，甚至单调性记错。

2024届长宁区二模2024.04.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，则=a ______．【答案】2【解析】【分析】根据集合自己的概念即可求解．【详解】∵{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，∴集合A 里面的元素均可在集合B 里面找到，∴a =2．故答案为：22.不等式|21|3x -<的解集为________.【答案】{|12}x x -<<【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.【详解】∵|21|3x -<3213x ⇔-<-<12x ⇔-<<，∴不等式|21|3x -<的解集为{|12}x x -<<.故答案为：{|12}x x -<<.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_______．【答案】4【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】由二项式定理可知，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令422r -=，解得1r =，所以12224C 4T x x ==，所以二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为4.故答案为：4.4.在ABC ∆中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若222a b bc c =++，则A =_____________.【答案】120︒【解析】【分析】根据已知可化为余弦定理的形式，从而求出A 的余弦，进而求出A.【详解】由题意可知，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，所以120A =︒.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理公式求三角形的角，属于中档题.5.已知236a b ==，则11a b +=________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指数和对数互化得到2log 6a =，3log 6b =，再利用换底公式即可得到答案.【详解】由236a b ==可知2log 6a =，3log 6b =，所以66611log 2log 3log 61a b+=+==.故答案为：16.直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为_______．【答案】π4##45︒【解析】【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.7.收集数据，利用22⨯列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关）【答案】无关【解析】【分析】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果.【详解】零假设等价于两个变量相互独立，所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关.故答案为：无关8.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围为_______．【答案】{1|02a a -<<或}2a >【解析】【分析】由已知结合奇函数的定义可求出0x <及0x =时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式.【详解】因为函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()2log f x x =，当0x <时，0x ->，所以()()()2log f x x f x -=-=-，所以()()2log f x x =--，若()1f a >，当0a >时，可得2log 1a >，解得2a >，当a<0时，可得()2log 1a -->，解得102a -<<，当0a =时，可得01>，显然不成立，故a 的取值范围为{1|02a a -<<或}2a >.故答案为：{1|02a a -<<或}2a >.9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为π立方米，则至少需要_______平方米铁皮【答案】3π【解析】【分析】由柱体的体积公式可得21r h ⋅=，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可.【详解】设圆柱形容器的底面半径为r ，高为h ，所以圆柱形容器的体积为2ππV r h =⋅=，所以21r h ⋅=，所以圆柱形容器的表面积为：()22π2ππ3π3πS r rh r rh rh =+=++≥⋅,当且仅当2r rh =，又21r h ⋅=，即1r h ==时等号成立，故至少需要3π平方米铁皮.故答案为：3π.10.已知抛物线2Γ:4y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在Γ上，,30MN l NFM ⊥∠=︒，则点M 的横坐标为_______．【答案】13【解析】【分析】过点F 作FH NM ⊥于点H ，由抛物线定义以及三角函数可用含M 的横坐标M x 的式子表示,NM HM ，注意到()112MN MH NH +==--=，由此即可列方程求解.【详解】如图所示：过点F 作FH NM ⊥于点H ，显然抛物线2Γ:4y x =的焦点为()1,0F ，准线为:l =1x -，由抛物线定义有MF MN =，结合30NFM ∠=︒得180230120NMF ∠=︒-⨯︒=︒，而()11,cos 6012M M MF MN x MH MF x ==+=︒=+，所以()()111111223M M M MN MH x x x +=+++=--=⇔=.故答案为：13.11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t （单）783182258338油费s （元）107150110264110376平均每单里程k （公里）151515平均每公里油费a （元）0.70.70.7出租车空驶率=出租车没有载客行驶的里程出租车行驶的总里程；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型(),,,u f s t k a =，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%21.68%%x 、、，则x =_______（精确到0.01）【答案】20.68【解析】【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为s a，出租车有载客时行驶的里程为tk ，所以出租车空驶率1s tk tka a u s s a -==-，对于甲，7831150.710.232623.26%107150⨯⨯-≈=，满足题意；对于乙，8225150.710.216821.68%110264⨯⨯-≈=，满足题意；所以上述模型满足要求，则丙的空驶率为8338150.7%10.206820.68%110376x ⨯⨯=-≈=，即20.68x =.故答案为：20.68.12.已知平面向量,,a b c 满足：2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为_______．【答案】2【解析】【分析】先利用()2214a b a b a b ⋅=+-- 和()()2240a b a b ++-= 证明228a b --≤ ，再解不等式得到22824a b --≤ ，从而有2a b -≥ ，再验证()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c =时2a b -= ，即得到a b - 的最小值是2.【详解】由于()()()()()()()2222222211122444a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅-+-⋅=+--=+-- ，且()()()()()()222222222222101040a b a b a b a b a b a b a b ++-=++⋅++-⋅=+=+= ，故有()()0c a c b =-⋅- ()2c a b c a b =-+⋅+⋅ 2c a b c a b ≥-++⋅ 42a b a b =-++⋅ ()()()221424a b a b a b =-+++-- ()()21424024a b a b =-++-- ()2144024a b =-+--21142a b =--- ，所以228a b --≤ ，记228a b x --= ，则有x ≤，从而120x -≤≤或()21612x x ≤+，即120x -≤≤或824x ≤≤.总之有24x ≤，故22824a b --≤ ，即2a b -≥ .存在()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时条件满足，且此时2a b -= ，所以a b - 的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于a b - 的最小值问题，我们先证明2a b -≥ ，再给出一个使得2a b -= 的例子，即可说明a b - 的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13.设C z ∈，则“z z =”是“R z ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，由z z =可得0b =，所以R z a =∈，充分性成立，当R z ∈时，即z a =，则z a =，满足z z =，故“z z =”是“R z ∈”的充要条件.故选：C .14.已知直线,a b 和平面α，则下列判断中正确的是（）A.若//,//a b αα，则//a bB.若//,//a b b α，则//a αC.若//,a b αα⊥，则a b⊥ D.若,//a b b α⊥，则a α⊥【答案】C【解析】【分析】利用空间线线线面的位置关系判断A 错误；举反例判断B 错误；利用线面平行的性质定理和线面垂直性质得到C 正确；由线面平行和线线垂直的性质判断D 错误.【详解】A ：若//,//a b αα，则两直线平行或异面或相交，故A 错误；B ：若//,//a b b α，当直线a 在平面α内时，则直线a 不平行于平面α，故B 错误；C ：若//a α，设过a 的平面与α相交于c ，则//a c ，又因为b α⊥，c α⊂，所以b c ⊥，所以b a ⊥，所以a b ⊥ ，故C 正确；D ：若,//a b b α⊥，则a α⊥或//a α或a α⊂，故D 错误；故选：C.15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0；已知这组数据的第x 百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）A.65B.70C.75D.80【答案】D【解析】【分析】先利用古典概型分析m 的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解.【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0，因为从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，一共有8个数，所以比m 大的数有两个，则9.89.9m ≤<，对于A ，因为80.65 5.2⨯=，所以第65百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于B ，因为80.7 5.6⨯=，所以第70百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于C ，因为80.756⨯=，所以第75百分位为第6,7个数的平均数，即9.89.99.852+=，满足题意；对于D ，因为80.8 6.4⨯=，所以第80百分位为第7个数，即9.9，不满足题意.故选：D.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】B【解析】【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有2211n n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n为奇数时，2111n a ==+=+；n为偶数时，0111n a ==-+=+.这表明1n a =+恒成立，再令1c =就有n a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.三、解答（共78分）17.某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx ∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0（1）请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；（2）设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x fx x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】（1）补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）10,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【小问1详解】由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx π12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+0101-0【小问2详解】若1,0ωϕ==，则()22πsin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭1cos 212π1πsin 2sin 20,222422x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=+=-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数()y g x =的值域为10,2⎡⎤+⎢⎢⎥⎣⎦.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===；（1）求二面角1D AC D --的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ；【答案】（1）6arccos 3（2）见解析【解析】【分析】（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1ACD 和平面ACD 的一个法向量()1,1,2n =- 和()0,0,1m =，结合向量的夹角公式，即可求解.（2）设()11101A P A C λλ=≤≤ ，求出()2,2,1P λλ，则()22,2,1BP λλ=- ，再由0BP n ⋅=可证明直线//BP 平面1D AC .【小问1详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0A D B C ，()()()()11110,0,1,0,2,1,2,0,1,2,2,1A D B C ，因为()()12,2,0,0,2,1AC AD ==，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AC x y n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，可得1,2x z ==，所以()1,1,2n =-，设平面ACD 的法向量为()0,0,1m =所以6cos ,361m nn m n m ⋅===⨯，所以二面角1D AC D --的大小为6arccos3.【小问2详解】设(),,P x y z ，则设()11101A P A C λλ=≤≤ ，()()111,,1,2,2,0A P x y z A C =-=，所以2,2,1x y z λλ===，所以()2,2,1P λλ，()22,2,1BP λλ=-平面1ACD 的法向量为()1,1,2n =-，22220BP n λλ⋅=--+=，因为BP ⊄平面1D AC ，所以直线//BP 平面1D AC .19.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望与方差；【答案】（1）23（2）分布见解析，期望()()47,318E X D X ==【解析】【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得X 的分布，结合期望、方差计算公式即可求解.【小问1详解】第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342⨯=，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326⨯=，所有第二次取出的球是红球的概率为112263+=；【小问2详解】X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21123636222999C C C C 1150,12C 12C 2C 12P X P X P X =========，所以X 的分布为01211512212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的期望为()1154012122123E X =⨯+⨯+⨯=，它的方差为()22214145470121232312318D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.已知椭圆22Γ:1,63x y O +=为坐标原点；（1）求Γ的离心率e ；（2）设点()1,0N ，点M 在Γ上，求MN 的最大值和最小值；（3）点()2,1T ，点P 在直线3x y +=上，过点P 且与OT 平行的直线l 与Γ交于,A B 两点；试探究：是否存在常数λ，使得2PA PB PT λ⋅= 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；【答案】（1）22（2）MN 的最大值为1+（3）54λ=【解析】【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；（2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得2,,PT PA PB，再联立直线l 与椭圆方程得到1212,x x x x +关于a 的表达式，进而化简PA PB ⋅ 得到PA PB ⋅ 与2PT 的关系，由此得解.【小问1详解】设Γ的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，则a b ==，则c =22c e a ===.【小问2详解】依题意，设(,)M x y，则x ≤≤22163x y +=，故2232x y =-，则MN ==所以由二次函数的性质可知，当2x =时，MN取得最小值为，当x =时，MN1=+【小问3详解】设()()1122(,3),,,,P a a A x y B x y -，又()2,1T，易得12OT k =，则直线l 为()()132y a x a --=-，即13322y x a =+-，而()()22222312(2)PT a a a =-+--=- ，()111111131,3,33,2222a PA x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()222222131,3,33,2222a PB x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，联立2213322163y x a x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得222(2)3(2)40x a x a +-+--=则()222Δ4(2)43(2)48420a a a a ⎡⎤=--⨯--=--+>⎣⎦，得22a -<<+所以212122(2),3(2)4x x a x x a +=--=--，故()()()()121214PA PB x a x a x a x a ⋅=--+--()()()21212125544x a x a x x a x x a =--=-++()2253(2)4224a a a a =--+-+252(2)4a =-，所以25||||4PA PB PT ⋅= ，故存在54λ=，使得2||||PA PB PT λ⋅= 恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ∈，都有()f x k ≤，则称函数()y f x =有上界，实数k 的最小值为函数()y f x =的上确界；记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}；（1）求函数2(26)1y x x =<<-的上确界；（2）若()3212ln f x x hx x x M =-+∈，求h 的最大值；（3）设函数()y f x =一定义域为()0,∞+；若()2f x M ∈，且()y f x =有上界，求证：()0f x <，且存在函数()y f x =，它的上确界为0；【答案】（1）2（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得；（2）求出()f x y x=的表达式，求导，再利用()nf x y x=在()0,∞+上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；（3）假设存在，由单调性可得()()102210f x f x xx>>，再取21x x >，且2x >可得()()212221f x f x x x >，推出①②互相矛盾，然后令()1,0f x x x=->，根据题意求出值域最后确定上确界即可.【小问1详解】因为函数21y x =-在区间()2,6上严格递减，所以函数2(26)1y x x =<<-的值域为2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数2(26)1y x x =<<-的上确界为2.【小问2详解】()22ln f x y x hx x x==-+，22,0y x h x x'=-+>，因为记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}，所以0y '≥恒成立，因为224x h h h x -+≥=-，当且仅当1x =时取等号，所以4h ≤，所以h 的最大值为4.【小问3详解】证明：因为函数()y f x =有上界，设()f x k ≤，假设存在()00,x ∈+∞，使得()00f x ≥，设10x x >，因为()2y f x M =∈，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，进而()()102210f x f x xx>>，得()10,0f x k >>，取21x x >，且2x >，由于21x x >，得到()()212221f x f x xx>，①由2x >，得()()12222122f x f x k x x x >≥，②显然①②两式矛盾，所以假设不成立，即对任意()0,x ∈+∞，均有()0f x <，令()1,0f x x x =->，则()231f x y x x==-，因为当0x >时，430y x'=>，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，()2y f x M =∈，因为()1,0f x x x=->的值域为(),0∞-，所以函数()1f x x=-的上确界为零.【点睛】关键点点睛：（1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解；（2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取2x >，再得到()()12222122f x f x k x x x >≥与当21x x >，得到()()212221f x f x x x >矛盾.。

沈阳市高三质量监测（二）理科试卷分析二模整体比一模难度有所增加，主要体现在中等偏上的题目类型中。

知识点难易程度有所一些新变化，这些变化需要引起重视1-2题题目类型没有变化，难度也没有变化。

数学文化方面的考察以新算法理解为主，流程图部分要注意运算和判断语句的先后顺序。

对于数据的统计与分析部分，考察有所增加，相应内容需要提高重视程度，本次考试一个填空题一个大题，所考试内容与之前所考内容有所不同，完整的掌握数据统计部分的解题方法成为一个重要的内容。

向量部分问题，提高对向量问题本质的理解，运用好坐标运算，将不容易理解的几何部分运算，转化为算式运算。

数列考察重点增加，位于第17题，只需要提高计算的准确度即可得到这部分分数。

立体几何方面，一个选择题，一个大题，难度一般偏上，解题思路可以按照固定套路进行。

圆锥曲线部分，还是要提高运算能力，基本条件的理解和数学表达加上韦达定理成为解题基本套路，可以作为定式应用。

选择题解题时可以选择特殊位置解法，对应好相应概念，注意解题过程。

函数部分，三角函数考察度偏低，但是应该自己重视起来，因为去年考试考的就是三角函数，不能保证今年考题不选。

三角函数部分解题套路比较固定，第一问求角，第二问求面积或者周长。

对于函数性质和导数部分，毋庸置疑肯定是考察的重难点，题目位置一般位于12和21题。

12题解题时注意数形结合思想的应用，不能通过计算求的就马上转换思路把函数的性质拿来作为突破点。

第21题，解题时关键是对于导数对函数性质的判断来进行的，构造合理的函数能够方便解决问题。

构造函数是解决问题的关键。

构造函数的方法和方向一定是以函数的四则运算为基础，以问题形式为导向。

选做题部分，坐标系与参数方程宣讲部分难度不大，第二问形式比较新颖，与向量进行结合。

解题时还是按照一般解曲线方程的思路进行即可，全国二卷的选做题一般难度不大，而且与20题解题思路有一定的重合性，所以按照圆锥曲线的解题思路进行即可。

高三模考数学试卷分析与反思
一、试卷概况
高三模考数学试卷一共包括选择题和解答题两部分。

整份试卷共有5道选择题和3道解答题, 总分为150分。

试卷内容涵盖了高三教学的重点难点知识，并以综合能力测试为主。

二、选择题分析
选择题部分的设计主要考查了学生对基础知识的掌握和运用能力。

其中，有一部分题目侧重于考察学生对概念理解的深度，另一部分则注重检验学生解题的技巧和逻辑思维能力。

整体而言，选择题难度适中，符合高三学生的知识水平。

三、解答题分析
解答题部分主要考查了学生对知识点的深度理解和综合运用能力。

其中，第一题要求学生运用导数计算函数在某点的切线斜率，考验了学生的微积分知识掌握情况；第二题涉及到概率统计，考查了学生的数据分析能力；第三题是一道较为综合性的题目，要求学生结合几何知识进行证明，考验了学生的逻辑推理和证明能力。

整体来看，解答题难度适中，但对学生的综合能力提出了更高的要求。

四、试卷反思
通过对这份高三模考数学试卷的分析，我们发现试卷内容较为全面，既涵盖了基础知识的考查，也注重了综合能力的培养。

但同时，也有一些可以改进的地方。

例如，在选择题设计上，可以增加一定的拓展性题目，来引导学生进行更深层次的思考；在解答题部分，可以适当增加一些实际问题，帮助学生将数学知识与生活实际联系起来，提高学生的综合运用能力。

综合而言，高三模考数学试卷是一份比较全面的试卷，既考查了学生的基础知识掌握情况，也注重了学生的综合能力培养。

希望通过此次试卷分析与反思，可以为今后试卷的设计提供一定的参考，帮助学生更好地提升数学学科的学习兴趣和能力。

高三二模试卷分析一、试题分析：1、试题特征：试题分选择题、填空题和解答题三种，其中选择题12个，填空题4个，解答题6个，共计22道试题。

2、试题命制对知识的考察，重视对基础知识和基本理论的考察，同时又突出重点，体现了重点知识在数学科中的主干地位。

全部试题突出考察了集合、函数、不等式、数列，三角函数与向量，概率与统计、空间直线与平面，解析几何，极限导数等重点内容，使数学主干知识内容的试题成为数学试题的主题。

3、数学试题命制突出考察了数学思想方法。

4、数学试题命制重视对学生能力的考察，每道数学题都需要学生认真阅读，仔细分析，由题目条件和所需解决的问题联系理论，解决问题，因而试题首先要求学生有较强的逻辑思维能力，同时试题要求学生必须有一定的运算能力，如第3题，第10题，第12题，第22题，第21题，学生感到运算量有些大，但若真正掌握了基本运算方法，并能熟练进行运算，这些题也不难解决。

二、试卷分析：1、部分学生卷面不够整洁，字迹不够工整，写错后墨成一片，有的学生没有用黑色签字笔，答卷而用蓝颜色笔答卷，不符合高考答题要求。

2、部分学生对一些较简单的基础性问题的解答较差，如第17题第（五）问，反映了学生缺乏对基础知识和基本方法灵活运用的能力。

3、部分学生对一些问题的解答反映出学生扎实的基本功，如第19题，标准答案用空间向量理论给出，但仍有不少学生能用传统办法正确解答而得全分。

三、教学建议：1、重视基础知识和基本思想方法理论的教学。

2、抓落实，教学上一定要把学生的练落到实处，让学生多练，去体会如何答卷如何表达；让学生多练去体会如何思考，如何分析；让学生多练去体会如何最大限度地提高数学科成绩。

3、要做好题后反思与总结。

做题后，一定要认真反思，仔细分析，题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中是如何应用知识的。

题目是如何入手的，用到了哪些解题方法、技巧，自己是否能够熟练掌握和应用。

能不能把题解过程概括归纳成几个步骤。

第二次模拟考试试题分析数学（理科）乌兰浩特市第六中学陶峰高三第二次模拟考试数学（理）试题是全盟统一命题，试题对指导教师和学生进行普通高考备考，更好地把握高考命题的走向，及时调整复习策略起到了重要的作用。

对这次考试理科数学试卷作如下的分析。

一、试卷的基本情况分析1．试卷形式考试评价采用闭卷考试的形式。

整个试卷由选择、填空和解答三大部分组成，其中，选择题共12小题，60分；填空题共4小题，20分；解答题共6小题，70分；全卷满分150分，考试时间120分钟。

2．知识点分布3．得分情况二、选择题情况分析选择题第2题是简单题，送分题，考查集合的概念及其运算，学生应该是拿分的，但是还有个别的学生选错，造成学生失分的原因之一是还有部分学生概念不清楚，复习中好高骛远。

学生的审题不仔细，运算错误也是丢掉这5分原因。

第4题尽管学生看懂了三视图，但无法正确的算出，这说明学生在计算方面还存在问题。

第4、5、6、7、8、9、10题学生得分较高，这六题失分原因主要是不等式解法和计算错误。

第11题得分较高，说明本题学生在数形结合方面有了良好的基础。

第12题得分最低，说明学生没有掌握好圆锥曲线的定义和性质三、填空题情况分析选择题得分情况表第13、14、15题，公式记错或者运算错误。

第16题得分低，部分同学给出了一个答案，转化的能力有待提高！建议后面的复习需要经常加强学生规范书写的意识；强调填空题的结果必须是“最简结果”，要注意回归课本，对一些基础内容、基本知识点的复习。

四、解答题情况分析第17题是三角函数的题目。

主要考察的知识点有：考到了三角函数的公式的转化，运用到了倍角公式，降幂公式。

得分率不高，主要原因有，在三角形中，忽视角的范围，步骤不完整丢分，对三角的基本公式不熟悉。

角的化简、变形中都出现了错误；另外，在第二小题中，许多学生对三角函数性质的应用不熟练，所以学生的运算能力有待提高。

第18题．本题为概率问题，学生对题目分析不透彻，不能联系概率的基本知识和方法。

高三二模数学科试卷质量分析第一篇：高三二模数学科试卷质量分析高三二模数学科试卷质量分析选择题与填空题具有题小量大、适度、全面考查的特点。

呈现基础、全面、核心、人文、和谐的特征。

试题简约、凝练、直击核心，留有恰当的思维、探究、应用、操作空间，有一定的综合度、开放度和创新度。

呈现方式多样化，价值取向明确。

选择题是针对学生薄弱点设置干扰点，又适当设置提示项为学生灵活解题提供条件。

选择题中的大多数题具有多种解法。

为基础扎实、思维活跃的学生提供了充分发挥聪明才智、快速灵活解题的平台。

选择题这一题型在培养和发展学生的思维能力上有其独特和不可替代的教育功能和评价功能。

填空题作为基本题型,与选择题共同肩负起基础、全面、核心、简约、和谐评价功能的同时，从解题过程看，已兼具解答题的特征。

从某种意义上说，具有更大的思维空间和开放度。

关注填空题的命题特点及设计走向、分析解题思路、总结归纳常用的解法和技能很有必要。

其功能是比较全面地、高效地对学生基本核心的学段学习目标进行考查，同时，由试题的立意、定位、取材、背景、问题设置、呈现方式共同蕴含的题感，渲染着一种氛围，学生的心理情绪和思维状态都会渐入佳境，为顺利完成解答题做好了准备。

第11题，常规题，难度小，学生得分率高。

第12小题，难度较小，只是部分学生粗心大意，把把-写成了，导致失分。

第13小题也是一道常规题，学生得分率较高。

第14题是一个归纳推理题，部分学生的归纳总结能力较差，把1+ + +…+﹤弄成了1+ + +…+﹤，反映出他们没有明确对应关系。

第15小题，常规题，以考查学生的基础知识和基本技能为主。

学生失分率较小。

文科的填空题都是一些基础题，以考查学生的基础知识为主。

第16题，第一问得分较高，考查等差数列通项公式的简单运用，个别学生计算错误，大部分为全分6分。

第二小问考查分组组合法求数列和，部分学生与错位相减法和相混淆，且运算能力不太过关。

结论错误本题平均可达9分左右。

广东省二模数学试题分析一．考点分布及得分情况试卷符合全国卷大纲，与全国卷命题风格相近，总体难度中档偏下，大部分题目基本贴近高考卷难度。

本次考试注重基础知识与技能的考查，同时还考察数学思想和解法的灵活运用。

从试卷内容上看，选择填空题考查的知识点比较全面，同时还注重中国古代的数学思想和实际的场景，例如第7题就考查了利用数学家阿基米德的“逼近法”求椭圆方程；解答题考查解三角形、概率统计、立体几何线面关系与体积、圆锥曲线、函数导数、坐标系与参数方程等高中数学的主干知识,以常规题出现。

二．各班考情分析三．下一阶段复习备考建议1.查漏补缺、回归基础高考是选拔性的考试，所以题目难度是分阶梯性的，有些题型就是比较简单的，甚至有些“送分题”。

比如集合、复数的运算，这两个是最基础的题目，把概念了解清楚，再用到简单的计算就能解决。

还有向量的线性运算、数量积运算也是一个常考的基础题型，这部分是必须完全掌握的拿分点，包括它的垂直平行应用经常要用到圆锥曲线中。

因此，提醒学生今后的复习中要注重基础知识特别是定义的理解。

2．加强学生计算能力训练，提炼解题方法与技巧文科高考在某些题型上相对比较考核学生的计算能力，而大部分文科生普遍在计算能力上是比较薄弱的，提升计算能力和技巧不仅有助于活跃学生思维，提高学生思维敏锐性，也能在考试中提高做题速度，节省整体做题时间。

所以提高计算能力是二轮复习过程中一项自我突破至关重要的环节。

例如19题，求均值求概率算列联表，都是比较考验学生计算能力的，提高计算能力不仅可以更快解决此题，也能提高此题的准确性。

又如12题，善用排除法，代入特殊值可以很快得到答案，这是高三做选择题在区间选项上的排除，普遍比较提倡的一种方式。

所以后期复习要着重计算能力方面的提高，同时活用相应的解题技巧以提高做题速度。

3.提高学生做题时分析问题和思考问题的素养做题时如何去分析所给的每个已知条件，它想间接告诉我们什么以及如何去充分转化和使用它，这是我们教师需要帮助学生培养的能力，特别是在例题的讲解过程中,教师要多让学生想,不仅要告知学生怎么解,更要让学生知道为什么这样解;不要以解题方法为出发点,而是要以为什么想到这个方法为落脚点。

高三数学第二次模拟考试考试试卷分析高三第二次模拟考试数学试卷覆盖了整个高中知识，突出了基础知识和主干知识的考查。

纵观全卷，理科试卷难度比高考略高，文科难度跟高考难度一样，试题体现了“考查基础知识的同时，注重考查能力”的数学考试原则和全面检测数学素养的考试思想。

下面我对试卷进行以下的分析从阅卷中我看到除个别问题外，学生失分大多是在一些简单问题上、计算能力与问题处理能力上一些地方需要规范，再者知识的连贯性不好。

、1.继续加强基础知识的教学和基本技能的培养2.注意抓学生审题能力的培养3.加强学生运算能力及正确运算能力的培养(1)对于三角函数问题要求学生理解公式间的相互联系并在记忆的基础上强化其应用，使学生不犯低级错误。

(2)立体几何的教学中用综合法解决问题时要强化学生的规范，用向量方法解决问题时要训练学生准确运算的能力。

（3）概率主要考察古典概型的计算，涉及到计数问题，常用列举法。

统计重在考察抽样方法、总体分布估计、几何概型和图形统计等一些常用的统计方法等。

三、具体措施（1）选择题、填空题强化训练选择题和填空题的解答都有各自的特点，除了掌握相应的知识，方法的运用也很重要，很多题目都可以用方便快捷的方法解决，比如排除法、特殊值法等等；所以我们也要在更多在方法上加以指导，尽量地做到选择填空题精做巧做，不小题大做。

（2）解答题强化训练我们将解答题分为两种类型，前三题为“一定要拿下的”，后两题为“尽量多拿分的”。

对于后两题，对大部分学生来说，如果有时间的话要尽量的将第一小题解答，尽量地转化一些已知条件，向要求解或证明的结果靠拢，尽量地得分。

（3）模拟训练精选他新课程实验区地区性统考的试卷给学生做模拟训练，老师要做到及时批改、及时评讲；学生要做到多反思、多总结，重视自己在解题过程中存在的知识上的不足和思维上的不足，并与老师合力改进不足、努力提高知识点分布通过上表可以看出本次考试的重点是函数，三角函数，立体几何，解析几何，概率统计占110分。

2023—2024学年度下学期高三年级二调考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a b a b +=- ,()()1,2,,3a b m == ，则实数m =（）A ．6B ．6-C ．3D ．3-2．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（）A ．90B ．75C ．95D ．703．生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADE BCF -，其中四边形ABFE 与CDEF 都为等腰梯形，ABCD 为平行四边形，若AD ⊥面ABFE ，且222EF AB AE BF ===，记三棱锥D ABF -的体积为1V ，则该五面体的体积为（）A ．18V B ．15V C ．14V D ．13V 4．已知tan 2α=，则sin3sin cos ααα=+（）A ．215-B ．215C ．79-D ．795．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）A ．78B ．92C ．100D ．1226．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．3B CD ．27．已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A ．(4)2f =B ．()20g '=C ．(1)(3)f f -=-D ．(1)(3)4f f +=8．已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知,z z ∈C 是z 的共轭复数，则（）A ．若13i13i z +=-，则43i 5z --=B ．若z 为纯虚数，则20z <C ．若(2i)0z -+>，则2iz >+D ．若{||3i3}M z z =+≤∣，则集合M 所构成区域的面积为6π10．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．如图所示，有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AE 与PB 所成的角为π2B ．ABE 的周长最小值为4C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D ．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为25第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设集合{}2230,A x x x x =--<∈R ，{},0B x x a a =>>，则A B = R ，则实数a 的取值范围为.13．已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C的圆的方程为．14．已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解，则以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有个.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()()21sin 02f x x x ωωω=-+>的最小正周期为4π.(1)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()2cos cos ,a c B b C -=⋅求()f A 的取值范围.16．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，MB =MD =(1)证明：AB ⊥平面ADM ；(2)若23DC AB = ，2BE EM = ，求直线CE 与平面BDM 所成角的正弦值．17．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：到校时间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地铁0.10.150.350.20.150.05乘汽车0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X ，求()E X ；(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记n P 为王老师第n 天坐地铁去学校的概率，求{}n P 的通项公式.18．已知()2e 2e x xf x a x =-（其中e 2.71828= 为自然对数的底数）.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，(2)当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；(3)()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.19．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．1．B【分析】利用向量数量积坐标公式即可求解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b+=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅= ，因为()1,2a =r ，(),3b m = ，所以6a b m ⋅=+，所以60+=m ，解得6m =-.故选：B.2．A【分析】根据第p 百分位数定义计算判断即可.【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70，75，85，90，95，575% 3.75i =⨯=，5人成绩的上四分位数为第四个数:90.故选：A.3．C【分析】将五面体分割成三个三棱锥,,D AEF D ABF F BCD ---，通过选择适当定点可得其体积关系，然后可得五面体体积.【详解】因为ABCD 为平行四边形，所以ABD BCD S S =△△，所以1F BCD F ABD V V V --==.记梯形ABFE 的高为h ，因为2EF AB =，所以112222AEF ABF S EF h AB h S =⋅=⨯⋅= ，所以122D AEF D ABF V V V --==，所以该五面体的体积111124D AEF D ABF F BCD V V V V V V V V ---=++=++=.故选：C4．A【分析】利用两角和的正弦，二倍角余弦结合齐次式化简求值.【详解】sin3sin cos2cos sin2tan cos2sin2sin cos sin cos tan 1ααααααααααααα++==+++()()22222cos sin 2sin cos 2cos2sin233sin cos αααααααα-++==+()()2221tan 2tan 2153tan 1ααα-+==-+.故选：A 5．C【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有2343C A 36⋅=种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是143650+=.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是5050100+=.故选：C 6．C【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422a a a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．7．ABD【分析】根据复合函数的导数法则，结合偶函数的性质、函数的对称性逐一判断即可.【详解】对A ：∵()g x 为偶函数，则()()g x g x =-，两边求导可得()()g x g x ''=--，∴()g x '为奇函数，则()00g '=，令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B ：令=2x ，则可得()()(2)22(2)22f g f g ⎧+='-='⎪⎨⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f x g x '+++=，()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=，两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立，又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f x g x f x g x ''-+-=---=，()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-，∴()f x 以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立，故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知等式进行求导、利用偶函数的性质.8．D【分析】分别构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，利用导数研究其单调性，得到223111ln(1)223x x x x x x -<+<-+，(0)x >，再将a 看成3ln(10.1)+，c 看成ln(10.3)+，利用上述的不等式比较大小即可．【详解】解：由251030b b +-=解得1b =-，构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>-，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，3()1x g x x'=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<-+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<-⨯+⨯=，13ln1.13(0.10.01)0.2852a =>⨯-⨯=，所以22(1)(10.285) 1.651225a +>+=，28(1) 1.65b +==，22(1)(10.264) 1.597696c +=+=，故222(1)(1)(1)a b c +>+>+，由a ，b ，c 都是正数，故a b c >>．故选：D ．9．AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A ；z 为纯虚数，可设()i 0z b b =≠，根据复数的四则运算可判断B ；由()2i 0z -+>结合数大小比较只能在实数范围内可判断C ；设复数i z a b =+，根据复数模长定义计算可判断D.【详解】()()()213i 13i 43i13i 13i 13i 5z ++-+===--+，所以43i 5z --=，故A 正确；由z 为纯虚数，可设()i R,0z b b b =∈≠，所以222i z b =，因为2i 1=-且0b ≠，所以20z <，故B 正确；由()2i 0z -+>，得i(2)z a a =+>，因为i(2)z a a =+>与2i +均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C 错误；设复数i,,R z a b a b ∈=+，所以()3ia b ++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10．ACD【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．ACD【分析】A 选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一平面内，由余弦定理求出AE BE +的最小值，得到周长的最小值；C 选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D 选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C 选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值.【详解】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以PB ⊥CD ，PB ⊥AD ，又CD AD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB ⊥AE ，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于AD CD ==4AC =，22222241cos23CD AD ACADC CD AD+-+-∠===⋅，π1cos cos sin 23ADB ADC ADC ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭，所以(222222cos 22222163AB BD AD BD AD ADB ⎛=+-⋅∠=+-⨯⨯-=+ ⎝⎭故AB ==ABE 的周长最小值为4+B 错误；C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON ⊥PM 于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM =PM =，则133MF BM ==，故PF =设OF ON R ==，故OP PF OF R =-=，因为PNO ∽PFM △，所以ON OP FM PM =3R-=解得3R =，C正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG -，由C选项可知，其高为3r ，由C 选项可知，PF 是正四面体-P ABC 的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z ，则3QS r =，SF r =，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14得，如图正四面体P HJI -中，QZ r =，3QP r =，正四面体P ABC -高为34r r r +⨯，解得r =，D 正确.故选：ACD【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径12．()0,1【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可.【详解】由题意{}{}2230,|13A x x x x x x =--<∈=-<<R ，{}{,0B x x a a x x a =>>=或},0x a a -，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，又因为{}|B x a x a =-≤≤R ð，所以130a a a -<-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：()0,1.13．()(223328x y -+=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与圆的方程联立求出,A B 点坐标，设经过点A ，B ，C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入三点坐标解方程组可得答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由2216y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得121222x x y y ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩可得((2,,2,A B --，设经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以412204120640800D F Dx F D F ⎧++-+=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩，解得616D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即226160+---=x y x ，可得()(22328x y -+=.故答案为：()(22328x y -+=.14．502【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到250250240a b -≥，想要有实根，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，结合根的判别式与基本不等式得10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理得到20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，即可解决问题.【详解】由题意得，210031003410030S T -⨯≥，又因为1100310035021003()10032a a S a +==，1100310035021003()10032b b T b +==，代入得250250240a b -≥，要使方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 有实数解，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，显然第502个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程1003103200x a x b -+=的判别式分别为11003,∆∆，则22222110031100311100310031100311003502()(4)(4)4()422a a ab a b a a b b b +∆+∆=-+-=+-+≥-⨯即2250211003502502502(2)82(4)02a b a b ∆+∆≥-=-≥，等号成立的条件11003a a =，所以10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理可得20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少502个，故答案为：502.15．(1)2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)⎫⎪⎪⎝⎭.【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得ω的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可；（2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得π,3B =继而得到ππ,62A <<整体代入求函数值的范围即可.【详解】（1）()21sin 22f x x x ωω=-+11cos2sin2222x x ωω-=-1πcos2sin 2226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为2π4π,2T ω==所以1,4ω=故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π,,2262k x k k -+≤+≤+∈Z 解得4π2π4π4π,,33k x k k -≤≤+∈Z 当0k =时4π2π,,33x -≤≤又[]0,π,x ∈所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由()2cos cos ,a c B b C -=⋅得（2sin sin )cos sin cos ,A CB BC -=所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin =+=+=A B B C B C B C A .因为sin 0,A ≠所以1cos ,2B =又()0,π,B ∈所以π,3B =又三角形为锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，则ππ62A <<，所以ππ5π42612A <+<，又()26πsin A f A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5πππππππsin sin sin cos cos sin 12464646⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则πsin 2264A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以()f A的取值范围为⎝⎭.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据2AB AM ==，MB =利用勾股定理得到AB AM ⊥，再由AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明.（2）由2AM AD ==，MD =120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，再结合（1）以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得EC的坐标，平面BDM 的一个法向量n，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）为2AB AM ==，MB =，所以222AM AB MB +=，所以AB AM ⊥.又AB AD ⊥，且AM AD A = ，AM ⊂平面ADM ，AD ⊂平面ADM ，所以AB ⊥平面ADM .（2）因为2AM AD ==，MD =则44121cos 2222MAD +-∠==-⨯⨯，且0180MAD ︒<∠<︒，可知120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，又由（1）知AB ⊥平面ADM ，分别以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则)3,1,0D-，43,1,3C ⎫-⎪⎭，()0,0,2B ，()0,2,0M .因为2BE EM =，则420,,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得723,,33EC ⎫=-⎪⎭ ，()0,2,2BM =-，)3,1,2BD =-- ，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =，则·220·320BM n y z BD n y z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩ ，取1z =得)3,1,1n = ，设直线EC 与平面BDM 所成角为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则413sin cos ,54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯，所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为15.17．(1)0.15(2)()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭(3)1225757n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可求出数学期望；(3)由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，由递推关系求出数列的通项.【详解】（1）记事件A =“硬币正面向上”，事件B =“7：40-7：45到校”则由题有()0.5P A =，()0.2P B A =，()0.1P B A =，故()()()()()0.50.20.50.10.15P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（2）X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()2892232323312391055555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2891032323232331289105555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，以上两式相减得：()28922232323235555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()1028910313333553513555522515E X ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅++==-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-.所以()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.（3）由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，则1525757n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，这说明57n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为以15277P -=为首项，25-为公比的等比数列.故1522775n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以1225757n n P -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭.18．(1)4e 2ey x =-+(2)有一个极大值，一个极小值，理由见解析(3)()1⎡⎣【分析】（1）当0a =时，求得()()21e xf x x +'=-，结合导数的几何意义，即可求解；（2）当12a =时，求得()()e e 22x xf x x '=--，令()e 22x F x x =--，利用导数求得()F x 的单调性与min ()0F x <，得到存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，进而得到答案；（3）求得()()2e e 1x xf x a x '=--，根据题意，得到a<0，令()e 1xg x a x =--，得到()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，利用函数()f x 的单调性，求得002max 0()e 2e x x f x a x =-，再由max 1()0f x a +≤，求得01x ≤<-，再由001e x x a +=，设()1ex x h x +=，利用导数求得函数()h x 的单调性，即可求解.【详解】（1）解：当0a =时，()2e x f x x =-，可得()()21e xf x x +'=-，则()()14e,12e f f =-=-'，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 4e 1y x +=--，即4e 2e y x =-+.（2）解：当12a =时，()21e 2e 2x xf x x =-，定义域为R ，可得()()()2e 21e e e 22x x x xf x x x =-+=--'，令()e 22x F x x =--，则()e 2xF x '=-，当(),ln2x ∞∈-时，()0F x '<；当()ln2,x ∞∈+时，()0F x '>，所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，所以()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<，又由()()2110,2e 60eF F -=>=->，存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，当()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；当()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值.（3）解：由()2e 2e x x f x a x =-，可得()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x a x a x =-+=--'，由()1R,0x f x a ∀∈+≤，因为()211100a f a a a a++=+=≤，可得a<0，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，当0x <时，可得e (0,1)x ∈，则e (,0)x a a ∈，所以()e 11xg x a x a x =-->--，则()()1110g a a a ->---=，又因为()11e 0g a --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >，即()0f x '>；当()00,x x ∞∈+时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，所以()002max 00()e 2e x xf x f x a x ==-，由()000e 10xg x a x =--=，可得001e x x a +=，由max1()0f x a+≤，可得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+，即()()00011101x x x -++≤+，由010x +<，可得2011x -≤，所以01x ≤<-，因为001e x x a +=，设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0x xh x e-='>，可知()h x在)⎡⎣上递增，()((1e h x h ≥=-()()10h x h <-=，所以实数a的取值范围是()1⎡⎣.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②存在；2()2m n nλ+=【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m+=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112nAM BN m n +=-，结合由内切圆性质计算即可求解.【详解】（1）设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-，（ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=-，因为//AM BN=因此，,,M A M '三点共线，且BN AM =='=，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，则1313282y y y y t +==-+，由（1）可知1134,4AM x BN AM x ===='，所以131344222222112222x x ty ty AM BN AM BN AM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++=⋅--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313442221142t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪++==++，所以11AM BN+为定值1；（法二）设MAx θ∠=4=，解得AM =，4=，解得AM ='，所以111122144AM BN AM AM θθ=+'+=+=，所以11AM BN+为定值1；由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =--，8//,AM QM BQ AMAM BN BNBQBQ--∴==，解得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN -⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BNAM BN AM BNAQ BQ AM BNAM BNAM BN-⋅-⋅+-⋅+=+=+++2882611AM BN=-=-=+．因为AB =ABQ 的周长为定值6+．（ⅱ）当m n >时，曲线C 的方程为222221x yn m n-=-，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M '三点共线，且BN AM ='，（法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n ⎡⎤--+-+-=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n mn y y y y mn s nmn s n--∴+=-=----，（*）因为2113,m n m mAM x x n BN AM x n n m n n⎛⎫=-=-==- ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n nn n n ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n smy y n n m n ms m n m s y y y y n n n -++=--+++，将（*）代入上式，化简得22112nAM BN m n +=-，（法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMmn n m AM m θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ-=-，同理由cos AM mn n m AM m θ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ-+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m nAM BN AM AM m n m n m nθθ'-++=+=+=---．由双曲线的定义2BQ QM MA n +-=，得2QM n AM BQ =+-，根据AM QM BNBQ=，解得()2n AM BNBQ AM BN+⋅=+，同理根据AM AQ BNQN=，解得()2n BN AMAQ AM BN+⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BNAM BNAQ BQ n AM BNAM BNAM BN+⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n n AM BN-+=+=++，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅，当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n n λ++=++=+=（常数）．因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

江苏省南京市2024届高三第二次模拟考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量()1,2a = ，(),3b x x =+ ．若a b，则x =（）A ．6-B ．2-C ．3D ．62．“02r <<”是“过点(1,0)有两条直线与圆222:(0)C x y r r +=>相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要把函数sin 2y x =图象上所有的点（）A ．向左平移π6个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位4．我们把各项均为0或1的数列称为01-数列，01-数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列{}n P （10P =，21P =，212n n n P P P ++=+，*n ∈N ）中的奇数换成0，偶数换成1，得到01-数列{}n a ．记{}n a 的前n 项和为n S ，则20S =（）A ．16B ．12C ．10D ．85．已知3()5P A =，()15P AB =，1(|)2P A B =，则()P B =（）A ．15B ．25C ．35D ．456．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（）A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:107．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，直线1AF 交C 于另一点B ，2ABF △的内切圆与2BF 相切于点P ．若12BP F F =，则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．348．在斜ABC 中，若sin cos A B =，则3tan tan B C +的最小值为（）AB C D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高三二模数学分析张维雅高三刚刚进行了第二次模拟考试，90分以上2人70分以上11人过二本线14人与一模比提高一人，但同时我们也发现在复习中所存在的问题，经过一段时间的试验和思考，从以下三个方面谈谈自己的想法一.复习策略的调整旧的复习过程是按书本知识，按集合，函数，数列，三角，向量，不等式，解几，立几，概率统计，导数顺序组织复习，但经过实际的教学实践来看，战线拉的过长，冲淡了知识的横向纵向联系，在一模考试中成绩并不是很理想。

从一模后我及时调整了复习策略，以高考的试题大题的大致顺序从新安排复习内容，以教材上习题为纲，注重讲解试题中考察的知识点，抓住重点，从以下几点入手(1) 分块复习。

抓住学生成绩的增长点，避免教条框架训练，对高考中学生容易得分的知识版块加大投入力度，例如：高考的前四道大题，第一块三角函数与向量，第二块高次函数与求导，第三块排列组合与概率，第四块数列，反复强化训练，使学生真正能熟练掌握这几种类型题的方法。

这次考试学生在这几道大题处理上和得分率都有了较大提高。

(2) 回归教材。

教材应是高考复习的核心，必须高度重视教材，并且能很好的利用教材上的例题和习题，通过与高考题的类比，找出知识的联系。

由于高考题来源于教材，这就要求我们必须研究教材，利用教材。

(3) 合理利用高考题，模拟题。

鼓励学生分专题去做套题，对高考的前四道大题进行分组练习。

目前学生都备有很多的模拟题，我们在复习过程中，引导学生按老师所讲的类型分块去强化，如复习了概率，让学生将套题中所有的概率问题都找到并解决；复习了数列，让学生针对套题中数列问题进行训练。

通过这种复习方法，学生能清楚自己在复习中该做什么，那些题是自己必须掌握的，清楚了复习的路线和原则，同时也增强了答题的信心。

二.试卷存在的问题(1) 基础知识丢分。

对一些成绩好的同学，该得的分不能得到是迫切需要解决的。

在今后的复习中，要重视基础训练，并引导他们重视简单题的检查。

(2) 书写规范。

江都市2007-2008学年度第二学期高三二模数学试卷分析必修160分（120分钟）一、试卷的基本情况1、试卷形式考试评价采用闭卷考试的形式。

整个试卷由填空题、解答题两部分组成，共20题。

其中，填空题14小题，70分；解答题共6小题，90分；全卷满分160分，考试时间120分钟。

选理方向考生还需加试30分钟，加试4道解答题，共40分。

二、试卷总体评价本次数学试题,意在检测学生二轮复习效果,检测学生对基础知识、基本技能、基本方法和数学思想掌握的情况，检测学生灵活运用数学知识的能力和识别数学符号、阅读理解数学语言的能力，检查学生的运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力、分析问题解决问题的能力。

在这一思想的指导下，试题的命题特点注重基础，重通性、通法，重视对数学思想和方法的考查，重视考查学生的数学基本功和数学素质。

试卷在整体上的难度比较平缓，前面14道填空题注重基础，第13、14道有一定的难度，特别是14题很有新意，考查学生对信息的分析处理能力；解答题的设计既重基础又注重考查学生的各种能力，区分度明显。

16题考查了直线与圆的位置关系，很具基础性；17题空间几何题设计得很好，部分学生对正三棱柱图形的放置很不适应；18题是一道与三角有关的应用题，很好地考查了学生的分析问题解决问题的能力，对信息数据的处理能力，建立函数模型的能力，用导数方法求函数的最值问题。

第19题的设计难度比较适中，考查了零点极值的概念。

第20题考查了数列问题及恒成立问题，难度控制得很好，有一定的坡度。

该试卷考查的知识点全面，重基础，对考试说明中C级要求的知识考查比较到位。

三、试卷各题具体分析 填空题1-141、考查基础知识与基本技能（1）复数的加法及复数的模（2）三角函数单调性（3）逻辑用语中的命题（4）解几中的双曲线（5）算法（6）空间几何的球的体积（7）三角函数求值（8）向量及求三角面积（9）统计中线性回归方程（10）概率（11）推理证明与不等式（12）函数及基本不等式（13）解几中的椭圆（14）不等式及最值问题2、考查数学思想、方法及能力考查的数学思想、方法及能力有：数形结合、分类讨论、等价转化、函数与方程及算法的思想。

2024年合肥市高三第二次教学质量检测数学（答案在最后）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}{}220,1A x x x B x x =-->=≥，则()UB A ⋂=ð（）A.{}12x x ≤≤ B.{}12x x <≤ C.{}2x x > D.{}12x x ≤<【答案】A 【解析】【分析】解不等式得到A ，进而根据补集和交集求出答案.【详解】{}{2202A x x x x x =-->=>或}1x <-，{}12U A x x =-≤≤ð，故(){}{}{}12112U A B x x x x x x ⋂=-≤≤⋂≥=≤≤ð.故选：A 2.已知i2i z z-=+，则z =（）A.12B.2C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】由复数的运算和模长计算求出即可.【详解】i i i12i =1iz z z z -=-=+⇒--，所以()()()i 1i i 111i 1i 1i 222z ----===--+-，所以2z ==，故选：B.3.设,αβ是两个平面，,a b 是两条直线，则αβ∥的一个充分条件是（）A.,,a b a b αβ∥∥∥B.,,a b a b αβ⊥⊥⊥C.,,a b a b αβ⊥⊥∥D.,,a b a αβ∥∥与b 相交【答案】C 【解析】【分析】通过举反例可判定ABD ，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C.【详解】选项A ：当满足,,a b a b αβ∥∥∥时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故A 错误；选项B ：当满足,,a b a b αβ⊥⊥⊥时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故B 错误；选项C ：因为,a a b b αα⊥⇒⊥∥，又b β⊥，所以αβ∥，故,,a b a b αβ⊥⊥∥是αβ∥的一个充分条件，故C 正确；当满足,,a b a αβ∥∥与b 相交时，,αβ可能相交，如图：用四边形ABCD 代表平面α，用四边形AEFD 代表平面β，故D 错误；故选：C.4.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为12，则甲以4比2获胜的概率为（）A.164B.332 C.532D.1564【答案】C 【解析】【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解．【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以4比2获胜的概率为33251115C ()()22232⋅⋅⨯=．故选：C ．5.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为12,T T ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则12,T T 满足的关系式为（）A.125125122T T -+= B.125125122T T +=C.22125125122log log T T -+= D.22125125122log log T T +=【答案】B 【解析】【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：15121()2T ，乙的质量为：25121()2T ，由题意可得21151251251221111()()()2422T T T +=⋅=，所以125125122T T +=．故选：B ．6.已知函数()22,113,1x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()10f x f a --=至少有两个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A.(]),4-∞-+∞B.[]1,1-C.(-D.⎡-⎣【答案】D 【解析】【分析】作出函数的图象，由题意可得()y f x =的图象与(1)y f a =-至少有两个不同的交点，从而得1(1)1f a -≤-≤，结合图象可得115a ≤-≤，求解即可．【详解】因为222,12,1()2,131|3,14,3x x x x x x f x x x x x x x ⎧-≤⎧-≤⎪⎪==-<<⎨⎨--⎪⎩⎪-+≥⎩，作出函数的图象，如图所示：由此可知函数()y f x =在(,1)-∞和(3,)+∞上单调递减，在(1,3)上单调递增，且()1f 1=-，()3f 1=，又因为关于x 的方程()(1)0f x f a --=至少有两个不同的实数根，所以()(1)f x f a =-至少有两个不同的实数根，即()y f x =的图象与(1)y f a =-至少有两个不同的交点，所以1(1)1f a -≤-≤，又因为当1x ≤时，2()2f x x x =-，令221x x -=，可得1x =-；当3x ≥时，()4f x x =-，令41x -=-，解得5x =，又因为1(1)1f a -≤-≤，所以115a -≤-≤，解得4a -≤≤．故选:D ．7.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1112,1tan tan tan tan c A B A B=++=．则ABC 面积的最大值为（）A.1B.1C.D.【答案】A 【解析】【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角C 的大小，再由余弦定理及基本不等式可得ab 的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值．【详解】因为1111tan tan tan tan A B A B++=，可得tan tan 1tan tan A B A B ++=，即sin sin sin sin 1cos cos cos cos A B A BA B A B++=，整理可得sin cos cos sin cos cos sin sin A B A B A B A B ++=，即sin()cos()A B A B +=-+，在三角形中sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，即sin cos C C =，()0,πC ∈,可得π4C =；由余弦定理可得222π2cos 24c b a ab ab =+-≥，当且仅当a b =时取等号，而2c =，所以2(2ab ≤=+，所以11sin 2(21222ABC S ab C =≤⨯+⨯= ．即该三角形的面积的最大值为1．故选：A ．8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线左支上，线段2PF 交y 轴于点E ，且23PF PE = ．设O 为坐标原点，点G 满足：213,0PO GO GF PF =⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A.12B.1C.1+D.2+【答案】D 【解析】【分析】设000(,)(0)P x y x <，根据题设条件得到02c x =-，22074c y =，再利用00(,)P x y 在椭圆上，得到42241240c a c a -+=，即可求出结果.【详解】如图，设000(,)(0)P x y x <，12(,0),(,0)F c F c -，则直线2PF 的方程为00()y y x c x c=--，令0x =，得到00cy y x c -=-，所以0(0,)cy E x c--，0200000(,),(,)cy PF c x y PE x y x c-=--=--- ，因为23PF PE = ，所以003c x x -=-，得到02cx =-，故0(,)2c P y -，又3PO GO = ，所以0(,)63y c G -，得到02107(,))263cG y c F PF y ==--- ，又210GF PF ⋅= ，所以22070123y c -+=，得到22074c y =①，又因为0(,)2c P y -在双曲线上，所以2202241c y a b -=②，又222b c a =-③，由①②③得到42241240c a c a -+=，所以421240e e -+=，解得26e =+或26e =-，又1e >，所以226(2e =+=+，得到2e =+，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆22:1O x y +=，圆22:()(1)4,R C x a y a -+-=∈，则（）A.两圆的圆心距OC 的最小值为1B.若圆O 与圆C 相切，则a =±C.若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则a -<<D.若圆O 与圆C 相交，则公共弦长的最大值为2【答案】AD 【解析】【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距1d ≥，从而判断出A 项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出a 的取值范围，判断出B,C 两项的正误；当圆O 的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D 项的正误．【详解】根据题意，可得圆22:1O x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，圆22:()(1)4C x a y -+-=的圆心为(,1)C a ，半径2R =．对于A ，因为两圆的圆心距1d OC ==≥，所以A 项正确；对于B ，两圆内切时，圆心距||1d OC R r ==-=1=，解得0a =．两圆外切时，圆心距||3d OC R r ==+=3=，解得a =±．综上所述，若两圆相切，则0a =或a =±，故B 项不正确；对于C ，若圆O 与圆C 恰有两条公切线，则两圆相交，||(,)d OC R r R r =∈-+，(1,3)，可得13<<，解得a -<<0a ≠，故C 项不正确；对于D ，若圆O 与圆C 相交，则当圆22:1O x y +=的圆心O 在公共弦上时，公共弦长等于22r =，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D 项正确．故选：AD ．10.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A.11n nS S qS +=+B.对任意*232,,,n n n n n n S S S S S ∈--N 成等比数列C.对任意*n ∈N ，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列D.若10a <，则数列{}21n S -递增的充要条件是10q -<<【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：分1q =，1q ≠两种情况计算可判断A ；对于B ：1q =-可说明不成立判断B ；，分1q =，1q ≠两种情况计算可判断C ；根据2121211(1)n n n S S a q q -+--=+，若21{}n S -是递增数列，可求q 判断D.【详解】对于A ：当1q =时，11(1)n S n a +=+，1111(1)n S qS a na n a +=+=+，故成立，当1q ≠时，1111)1n n a q S q ++-=-（，11111(1)(1)11n n n a q a q S qS a q q q+--+=+⨯=--，所以11+=+n n S a qS 成立，故A 正确；对于B ：当1q =-时，20S =，所以232,,n n n n n S S S S S --不成等比数列，故B 错误；对于C ：当1q =时，12131,24,39n n n S na S na S na ===，故23,2,3n n n S S S 不成等差数列，当1q ≠时，若存在q ，使23,2,3n n n S S S 成等差数列，则23223n n n S S S ⨯=+，则23111(1)(1)(1)43111n n n a q a q a q q q q---⨯=+⨯---，整理得24(1)13(1)n n n q q q +=+++，所以230n n q q -=，所以13nq =，所以对任意*N n ∈，都存在q ，使得23,2,3n n n S S S 成等差数列，故C 正确；对于D ：2121212211(1)n n n n n S S a a a q q -+-+-=+=+，若21{}n S -是递增数列，则可得211(1)0n a q q-+>，因为10a <，所以21(1)0n q q -+<，可解得10q -<<，所以若10a <，则数列21{}n S -递增的充要条件是10q -<<，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()ππsin sin sin 66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则（）A.函数()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数C.当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()41y f x =+恰有两个零点D.设数列{}n a 是首项为π6，公差为π6的等差数列，则()2024120272i i f a ===-∑【答案】BCD 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，再利用正弦函数单调性奇偶性判断ABC ，利用裂项相消及累加求和判断D.【详解】易知7πππ1sinsin 123422224⎛⎫=+=+⋅= ⎪⎝⎭，同理π7πsincos 12124==，()ππsin sin sin66f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭211sin cos 222x x -=+-7π1sin 2122x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭对A,π7π13π19π,π,,,2121212x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()f x 先减后增，故A 错误；对B,5π1122y f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin 2x =-为奇函数，故B 正确；对C,ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,7ππ13π,,121212t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦则sin t 在ππ,122⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π13π,212⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即()f x 在ππ,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在ππ,122⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，又π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭)12144-->-，ππ111sin 2412244244f -⎛⎫-=-==-- ⎪⎝⎭，故函数()41y f x =+恰有两个零点，故C 正确；对D ,易知π6n n a =，令()πsin sin 6g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()12f x g x =-，()1ππsinsin 36g a =-，()2ππsin sin 23g a =-,……………………..()20242024ππ2023ππsin sin 6666g a ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()120242024ππππ13sin sin sin 337π666222i i g a =⎛⎫⎛⎫∑=+-=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()112024202412027202422i i i i f a g a ==∑==∑-⨯=-，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质及数列求和应用，关键是利用利用裂项相消及累加求和判断D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在6x ⎛- ⎝的展开式中，3x 的系数为_________．【答案】15【解析】【分析】利用6x ⎛- ⎝的通项公式36216(1)C (06,N)r r r r T x r r -+=-≤≤∈，即可求出结果.【详解】因为6x ⎛- ⎝的展开式的通项公为3662166C ((1)C (06,N)rr r r r rr T x x r r --+==-≤≤∈，由3632r -=，得到2r =，所以3x 的系数为226(1)C 15-=，故答案为：15.13.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为,l A 为C 上一点，以点F 为圆心，以AF 为半径的圆与l 交于点,B D ，与x 轴交于点,M N ，若AB FM =，则AM = _________．【答案】【解析】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设准线与x 轴交于点E ，根据圆的性质及抛物线的定义可得ABF △为等边三角形，即可求出BF ，再在AFM △中利用余弦定理计算可得.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，准线l ：=1x -，设准线与x 轴交于点E ，则()1,0E -，依题意B 、D 均在y 轴的左侧，又AB FM =，所以M 也在y 轴的左侧且B 点在x 轴上方，又AD 为圆F 的直径，所以π2ABD ∠=，即AB BD ⊥，由抛物线的定义可知AB AF =，又BF AF =，所以ABF △为等边三角形，所以π3BAF AFB ∠=∠=，则π3BFM AFN ∠=∠=，所以4cos EF BF BFM==∠，所以4BF AF MF ===，2π3AFM ∠=，在AFM △中AM ===故答案为：14.已知实数,,x y z ，满足20y z +-=，则+++_________．【答案】+【解析】【分析】建立空间直角坐标系，将所求转化为距离和的最小值，利用几何关系求得最值.【详解】如图，设正方体的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，设(),,P x y z 为空间任意一点，因为20y z +-=，则P 在平面11ABC D 所在的平面内运动，表示P 与点()10,0,0A 和点()12,0,0B 的距离之和，因为1A 关于平面11ABC D 的对称点为D ，故111PA PB DB +≥=，当且仅当P 为1DB 中点即P 为正方体中心时等号成立；表示P 与点()1,0,2M 和点()1,2,0N 的距离之和，则PM PN MN +≥=，当且仅当P 在MN 所在直线上时等号成立，++的最小值为+，当且仅当P 为正方体中心时等号成立故答案为：+【点睛】关键点点睛：本题考查空间中距离最值问题，关键是利用空间坐标系将所求转化为距离和，并注意等号成立条件.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,BAD M ∠=︒是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．（1）求三棱锥M ABC -的体积；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）12（2）11．【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M 到平面ABCD 的距离为2，进而由锥体体积公式求出答案；（2）证明出BO AD ⊥，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.【小问1详解】如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥．又因为平面PAD ⊥底面,ABCD PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD ，且PO =．又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD 的距离为2，12π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=△所以三棱锥M ABC -的体积为131322=．【小问2详解】连接,BO BD ，因为π3BAD ∠=，所以ABD △为等边三角形，所以BO AD ⊥，以O 为原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(()()(),1,0,0,0,,2,P A B C -，所以(()1,,,2,,,,2,0,02222M AM PB BC ⎛⎫⎛⎫-=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则00PB n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x =-=⎪⎩，解得0x =，取1z =，则1y =，所以()0,1,1n =．设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,11AM n AM n AM nθ⋅===⋅．即AM 与平面PBC 所成角的正弦值为11．16.已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，短轴长为，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l （不与x 轴重合）与C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =的交点分别为,M N ，记直线,MF NF 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k ⋅为定值．【答案】（1）22143x y+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意得b =，将点3(1,)2代入椭圆的方程可求得2a 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设:1l x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立直线l 和椭圆的方程，可得122634ty y t +=-+，122934y y t =-+，直线PA 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得116(4,)2y M x +，同理226(4,2y N x +，由斜率公式计算即可．【小问1详解】因为2b =，所以b =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22213x y a +=得21314a +=，解得24a =，故椭圆C 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由题意可设()()1122:1,,,,l x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=，易知0∆>恒成立，所以12122269,3434t y y y y t t +=-=-++，又因为()2,0A -，所以直线PA 的方程为()1122y y x x =++，令4x =，则1162=+y y x ，故1164,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，从而()()111212126266,413333y x y y k k ty ty +===-++，故()()()212121222212121222363643419189333993434y y y y t k k t t ty ty t y y t y y t t -+====-+++++--+++为定值．17.树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为123,,,,n x x x x ，其平均数记为x ，方差记为21s ；把第二层样本记为123,,,,m y y y y ，其平均数记为y ，方差记为22s ；把总样本数据的平均数记为z ，方差记为2s ．（1）证明：()(){}22222121x s n s z m y m n z s ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+；（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布()2,N μσ，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为μ和σ的估计值．如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为,,,A B C D 四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）．附：()18,19P X μσμσ-≤≤+≈．【答案】（1）证明见解析；（2）平均数为96分，标准差为18分；（3）将114X ≥定为A 等级，96114X ≤<定为B 等级，7896X ≤<定为C 等级，78X <定为D 等级．【解析】【分析】（1）利用平均数及方差公式即可求解；（2）利用平均数及方差公式，结合标准差公式即可求解；（3）根据（2）的结论及正态分布的特点即可求解.【小问1详解】()()222111n mi i i i s x z y z m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()22111n mi i i i x x x z y y y z m n ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()()()2222111()2()()2()n mi i i i i i x x x z x x x z y y y z y y y z m n ==⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+-+--+-+-+--⎨⎬⎣⎦⎣⎦+⎩⎭∑∑()()()123112(2(2()0nni i n i i x x x z x z x x x z x x x x nx ==--=--=-++++-=⎡⎤⎣⎦∑∑ ，同理()12()0nii yy y z =--=⎡⎤⎣⎦∑．所以{}222221()(x y s n s x z m s y z m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+.【小问2详解】将该班参加考试学生成绩的平均数记为z ，方差记为2s ，则()13010020909650z =⨯+⨯=，所以{}222130256(10096)20361(9096)32250s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦18≈，所以18s ≈．即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分．【小问3详解】由（2）知96,18μσ==，所以全年级学生的考试成绩X 服从正态分布()296,18N ，所以()()961896180.68,960.5P X P X -≤≤+≈≥=．()(7896)(96114)0.34,114(78)0.16P X P X P X P X ≤<=≤<≈≥=<≈．故可将114X ≥定为A 等级，96114X ≤<定为B 等级，7896X ≤<定为C 等级，78X <定为D 等级．18.已知曲线():e e xxC f x x =-在点()()1,1A f 处的切线为l ．（1）求直线l 的方程；（2）证明：除点A 外，曲线C 在直线l 的下方；（3）设()()1212,f x f x t x x ==≠，求证：1221etx x t +<--．【答案】（1）e e y x =-+；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，得到()()10,1e f f '==-，利用导数的几何意义写出切线方程；（2）令()e e e e xxg x x x =-+-+，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =等号成立，得到证明；（3）求导得到()f x 的单调性，结合函数图象得到01t <<，不妨令120,01x x <<<，结合曲线C 在()1,0点的切线方程为()e e x x ϕ=-+，得到231etx x <=-+，转化为证明122x t <-，又111e e x x t x =-，只要证11112e 2e 2x xx x <--，令()2e 2e 2,0xxF x x x x =---<，求导得到函数单调性，结合特殊点函数值得到答案.【小问1详解】因为()e e xxf x x =-，所以()()()10,e ,1e xf f x x f =-''==-，所以直线l 的方程为：()e 1y x =--，即e ey x =-+【小问2详解】令()e e e e xxg x x x =-+-+，则()e e e e e e xxxxg x x x =--++=-+'，令()()h x g x ='，则()()1e xh x x +'=，由()0h x '>，解得1x >-，由()0h x '<，解得1x <-，所以()h x 在(),1∞--上单调递减，在()1,∞-+上单调递增，当x →-∞时，()()e,10h x h →-=，所以()g x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =等号成立，所以除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．【小问3详解】由()e 0xf x x '=->，解得()0,e 0xx f x x <=-<'，解得0x >，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，()()max ()01,10f x f f ===，当x →-∞时，()0f x →．因为()()1212,f x f x t x x ==≠，则01t <<，不妨令120,01x x <<<．因为曲线C 在()1,0点的切线方程为()e e x x ϕ=-+，设点()3,x t 在切线上，有()3e 1t x =--，故31etx =-+，由（1）知()0,1x ∈时，()()x f x ϕ>，则()()()223x f x t x ϕϕ>==，即231etx x <=-+，要证：1221etx x t +<--，只要证：121121e et tx x x t +<+-<--，只要证：122x t <-，又111e e xxt x =-，只要证：11112e 2e 2x xx x <--，令()2e 2e 2,0xxF x x x x =---<，则()2e 1xF x x '=--，易证()F x '在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以()()2110eF x F ≤-=-'<'，所以()F x 在(),0∞-上单调递减，所以()()00F x F >=成立，所以原命题成立．【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数在零点处的切线方程，得到31e t x =-+，且231etx x <=-+，从而只需证明122x t <-，再勾股函数进行求解.19.在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11tx x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．（1）计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；（2）设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；（3）证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．【答案】（1）23；（2）4；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据所给定义直接计算即可；（2）依题意可得1max ,112xy x y⎧⎫⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩⎭，再分类讨论，从而确定“t -圆”的图形，即可求出其面积；（3）首先利用导数说明函数()()01tf t t t=≥+的单调性，结合绝对值三角不等式证明即可.【小问1详解】由定义知，1224122||max ,max ,112124233t PQ ⎧⎫--⎪⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎬+-+-⎩⎭⎪⎪⎩⎭；【小问2详解】设(),P x y 是以原点O 为圆心，以12为半径的t -圆上任一点，则1max ,112xy x y ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬++⎪⎪⎩⎭．第21页/共21页若1112y x yx ≤=++，则11x y ⎧=⎪⎨≤⎪⎩；若1112xy x y ≤=++，则有11y x ⎧=⎪⎨≤⎪⎩．由此可知，以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的图形如下所示：则“t -圆”的面积为224⨯=.【小问3详解】考虑函数()()01t f t t t =≥+．因为()210(1)f t t ='>+，所以()f t 在[)0,∞+上单调递增．又131223x x x x x x -≤-+-，于是1312231223131223122312231111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+---≤=++-+-+-+-+-+-+-1223122311x x x x x x x x --≤++-+-，同理，131223131223111y y y y y y y y y y y y ---≤++-+-+-．不妨设1313131311y y x x y y x x --≤+-+-，则13122313131223111t x x x x x x PP x x x x x x ---=≤++-+-+-1212232312122323max ,max ,1111x x y y x x y y x x y y x x y y ⎧⎫⎧⎫----⎪⎪⎪⎪≤+⎨⎬⎨⎬+-+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭1223t t PP P P =+.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“t -距离”的定义，再结合不等式及导数的知识解答.。

高三数学二练试卷分析一．命题的指导思想高三一练数学试卷以新课程《课程标准》、《高考考试大纲》及《考试说明》为命题依据,按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确定以能力立意命题的指导思想，继续贯彻“立足现行高中数学教材，重视数学基础，突出考查数学核心能力”的精神，将知识、能力和素质融为一体，全面检测学生的数学素养。

二．试卷结构在题型设置与分值分配上与新课标高考试卷相同.具体来说，试卷的Ⅰ卷共12个选择题，每题5分，满分60分.试卷的第Ⅱ卷，4个填空题，每个5分，满分20分；6个解答题，第17-21题,每题12分，第22、23、24是三选一的选做题，10分，第Ⅱ卷满分90分。

三．试卷特点1.继续加大对双基考查高三数学一轮复习以教材的知识体系作为复习的主要线索，以回忆、回顾以前学习过的知识为主，对知识面进行全方位的覆盖，并对基本方法、基本题型进行总结。

二练前,一轮复习基本上都已接近尾声,所以,二练是检验一轮复习成效如何的一次重要考试.故此,此次考试在基础知识与技能方面继续加大考查力度. 试卷中将近半数的题目属于常规试题，起点低、入手容易，如理科的1、2、4、6、7、14题分别对复数、集合、等比数列、正余弦定理、二项式定理、和差角公式等基本概念、公式和基本运算进行了考查.2.强化思想方法数学思想与方法是数学的灵魂,要熟练掌握通性通法，才是决胜高考的关键，几乎所有的高考试题都可以用基本思想方法求解，二练试题延续前面几次考试的做法，在部分考题中渗透了对数学思想方法、学生基本的数学素养的考查.考查数形结合思想的试题有：理科的10、16，考查转化与化归思想的有：理科的8、17、23，考查分类讨论思想的试题有：理科的4、13，考查函数与方程思想的试题有：理科的5、15、16、19、21等等。

若学生能够在解题的过程中渗透这些数学思想与方法的使用，将能较好地优化解题思路，降低题目难度。

3.突出能力立意，解题方法多样，鼓励学生发散思维试题突出能力立意，综合考查学生的各种能力，运算能力、空间想象能力、推理论证能力、抽象概括能力以及综合分析解决问题的能力等在试题中都有考查。