上海市杨浦区2017届中考数学二模试卷(含解析)

- - - 1 -杨浦区2016学年度第二学期高三年级质量调研 数学学科试卷 2017.4考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 行列式123456789中, 元素5的代数余子式的值为_________.2. 设实数0ω>, 若函数()cos()sin()f x x x ωω=+的最小正周期为π, 则ω=_________.3. 已知圆锥的底面半径和高均为1, 则该圆锥的侧面积为_________.4. 设向量(2,3)a =r, 向量(6,)b t =r . 若a r 与b r 的夹角为钝角, 则实数t 的取值范围为 _________.5. 集合2{1,3,}A a =, 集合{1,2}B a a =++. 若B A A ⋃=, 则实数 a =_______.6. 设12,z z 是方程2230z z ++=的两根, 则12||z z -= _________.7. 设()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x >时, 3()2xf x =-. 则不等式()5f x <-的解为________.- - - 2 -8. 若变量,x y 满足约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z y x =-的最小值为_________.9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子, 两人相互独立地进行. 则小明掷出的点 数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为_________.10. 设A 是椭圆()22221 04x y a a a +=>-上的动点, 点F 的坐标为(2,0)-, 若满足||10AF =的点A 有且仅有两个, 则实数a 的取值范围为_________.11. 已知0a >, 0b >, 当21(4)a b ab++取到最小值时, b =_________. 12. 设函数()||||a f x x x a =+-. 当a 在实数范围内变化时, 在圆盘221x y +≤内,且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为_________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13. 设z ∈C 且0z ≠. “z 是纯虚数”是“2z ∈R ”的 ( )(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件14．设等差数列{}n a 的公差为d , 0d ≠. 若{}n a 的前10项之和大于其 前21项之和, 则 ()(A) 0d <(B) 0d > (C) 160a <(D) 160a >- - - 3 -S15．如图, N 、S 是球O 直径的两个端点. 圆1C 是经过N 和S 点的大圆, 圆2C 和圆3C 分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆. 圆1C 和2C 交于点A 、B , 圆1C 和3C 交于点C 、D .设a 、b 、c 分别表示圆1C 上劣弧CND 的弧长、圆2C 上半圆弧AB 的弧长、圆3C 上半圆弧CD 的弧长. 则,,a b c 的大小关系为 ()(A) b a c >= (B) b c a => (C) b a c >>(D) b c a >>16．对于定义在R 上的函数()f x , 若存在正常数,a b , 使得()()f x a f x b +≤+对一切x ∈R 均成立, 则称()f x 是“控制增长函数”。

初三数学质量调研试卷答案—1—杨浦区初三数学质量调研答案及评分建议2017.4一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． C ； 2．B ； 3． B ； 4． A ； 5． D ；6． D二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．略； 8．1x y-+； 9．(a a a -+； 10． 45x <<； 11． 2-2或； 12． 增大；13． 2(4)2y x =+-； 14． 54； 15． 15； 16． 30； 17． 1010cot tan αβ+； 18．3. 三、 解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式331(7-÷+--…………………………………………………（6分）=117-+-+2分）=7…………………………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分）解：去分母得3(1)(3)(1)(3)x x x x --+=-+. ………………………………………(3分) 整理得 2230x x --=. ………………………………………………………(3分) (1)(3)0x x +-=. ……………………………………………………(1分) 解得 11x =-，13x =. ……………………………………………………(2分) 经检验11x =-，13x =都是原方程的根.……………………………………………(1分)21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵tan A =34，∴设CH =3x ，那么AH =4x ． ……………………………………（1分） ∵∠ABC =45°，∴BH =CH =3x ． ………………………………………………（1分） ∵AB =14，∴3x +4x =14． ………………………………………………………（1分） ∴x =2，即CH =6． ………………………………………………………………（1分） ∴△ABC 的面积等于42． ………………………………………………………（1分）（2）设圆A 的半径为R A ，圆C 的半径为R C .∵以C 为圆心的的圆C 与直线AB 相切，∴R C =CH =6. ………………………………………………………………………（1分） ∵圆A 与圆C 相切，∴AC = R A + R C ，或AC = R A - R C . ………………………（2分） ∵CH =6，AH =8，∴AC =10.∴10= R A +6，或10= R A -6.∴R A =4或16. ………………………………………………………………………（2分） 即圆A 的半径为4或16.初三数学质量调研试卷答案—2—22．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各2分，第（3）小题6分）解:（1） x =20……………………………………………………………………………（2分）（2） 0<x <20 ……………………………………………………………………………（2分）（3） 因为射线OC 过点（20，200），所以射线OC 的表达式是y 2=10x ，…………（1分） 过点（30，0）作y 轴的平行线交OC 于点E ，交AB 于点F ，所以E （30，300），……………………………………………………………………（1分） 所以 F （30，250）……………………………………………………………………（1分） 设射线AB 的表达式为y 1=kx +b (k ≠0)所以25030,20020k b k b=+⎧⎨=+⎩……………………………………………………………………（1分）解得5,100.k b =⎧⎨=⎩所以射线AB 的表达式为5100(10)y x x =+≥………………（1分，1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）（1） 证明：∵BD ⊥BC ，∴∠DBE +∠EBC =90°.∵AB ⊥BE ，∴∠DBE +∠ABD =90°. ∴∠EBC =∠ABD. …………………（1分） ∵E 为边CD 的中点，∴12BE DC =，即BE =EC ，…………………（1分） ∴∠EBC =∠C. ∴∠C =∠ABD. …………………………………………（1分）∵BD 平分∠ADE ，∴∠ADB =∠BDC. ……………………………………（1分）∴△ABD ∽△BCD . ………………………………………………………（1分） ∴AD BD BD DC=.……………………………………………………………（1分） ∴2BD AD DC =⋅.………………………………………………………（1分）（2） 证明： ∵△ABD ∽△BCD ，∴∠A =∠DBC .∵BD ⊥BC ，∴∠DBC =90°. ∴∠A =90°.∵BD =BC ，E 为边CD 的中点，∴BE ⊥DC ，即∠BED =90°.∵AB ⊥BE ，即∠ABE =90°，∴ABED 为矩形.∵BD ⊥BC ，E 为边CD 的中点，∴1,2BE DC DE ==∴ABED 为正方形. …………………………………………………………（2分）∴AE ⊥BD ，且AE =BD .∵BD ⊥BC ，∴AE //BC .∵BD =BC ，∴AE =BC . ……………………………………………………（2分）∴ABCE 为平行四边形. ……………………………………………………（1分）初三数学质量调研试卷答案—3— 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）∵抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴12a =. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴32c =-. ∴抛物线的表达式为21322y x x =--.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）. …………………………………………………………………（1分） ∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）.设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0），则652k b k b=+⎧⎨-=+⎩，∴2,4.k b =⎧⎨=-⎩即BC 的表达式为y =2x -4.∴E （2,0）. ……………………………………………………………………………（1分）（2）作CH ⊥x 轴，垂足为H ，作BP ⊥x 轴，垂足为P ，∵C （5，6），A （-1，0），∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°.∵B （1，-2），A （-1，0），∴BP =2=AP . ∴∠BAP=45°.∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分） ∵CH =6=AH ，CH ⊥x轴，∴AC =∵BP =2=AP ，BP ⊥x轴，∴AB = ∴tan 3.AC B AB∠==…………………………………………………………………（2分） （3）∵∠CAB=90°，∴∠B +∠ACB =90°.∵GM ⊥BC ，∴∠CGM +∠ACB =90°. ∴∠CGM =∠B . ………………………………（1分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG .情况1：当∠BAE =∠CMG 时，∵∠BAE =45°，∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ，∴∠MCE =45°. ∴∠MCE =∠EAB .∵∠AEB =∠CEM ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………（1分） ∴BE AE EM CE =.即EM =∴EM =5. ∴M （7，0）. ……………………………（1分） 情况2：当∠BAE =∠MCG 时，∵∠BAE =∠CAM ，∴∠MCG =∠CAM . ∴MC =MA . ………………………………（1分） 设M （x ，0），∵C （5，6），A （-1，0），∴222(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分）初三数学质量调研试卷答案—4— 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）解：（1）∵AODE 为矩形，∴AD =OE ，且AD =2AC ，OE =2OC . ………………………（1分）∵点C 在AB 上，∴OA =OC . ……………………………………………………（1分） ∴OE =2OC =2OA . ∴AD =2OA . …………………………………………………（1分） ∵AODE 为矩形，∴AO ⊥OD .∴∠ADO =30°. …………………………………………………………………（1分）（2）作OH ⊥AC ，垂足为H .∵O 为圆心，∴AH =HC . ……………………………………………………………（1分）∵ AC =6，∴AH =3.∵∠AOB =90°，∴AO ⊥OD . ∵ED ⊥OD ，∴AO //ED .∴AC AO CD DE =. ∵AC =6，AO =5，CD =65DE . ………………………………………（1分） ∵AO ⊥OD ，OH ⊥AC ，∴cos AH AO A AO AD ==. 356565DE =+. ……………（1分） ∴DE =3518.………………………………………………………………………………（2分） （3）∠BCD 的大小不变. …………………………………………………………………（1分） 设∠A =α，∠OBC =β∵O 为圆心，点C 为AB 上，∴OA =OC =OB .∴∠ACO = ∠A =α，∠OCB =∠OBC =β. ……………………………………………（1分） ∴∠AOC =1802α︒-，∠BOC =1802β︒-.………………………………………（1分）∵∠AOB =90°，∴1802α︒-+1802β︒-=90°. ∴135αβ+=︒.………………（1分） ∴∠BCD=180()45αβ︒-+=︒.…………………………………………………（1分）。

2017年杨浦区初三模拟测试数 学 试 卷（满分150分，考试时间100分钟）2017.5.8考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．点A 是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ▲ ） （A ）点A 表示的数一定是整数； （B ）点A 表示的数一定是分数；（C ）点A 表示的数一定是有理数； （D ）点A 表示的数可能是无理数．2．下列关于x 的方程一定有实数解的是（ ▲ ） （A ）21011xx x++=--； （B1x =-；(第3题图)（C ）210x x --=； （D ）210x x -+=．3．某学校为了了解九年级学生体能情况，随机选取30名 学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了直方图（如图）， 学生仰卧起坐次数在25～30之间的频率为（ ▲ ） （A ）0.1； （B ）0.4；（C ）0.33；（D ）0.17．4．将抛物线22y x =-平移到抛物线222y x x =+-的位置，以下描述正确的是（ ▲ ）（A ）向左平移1个单位，向上平移1个单位；（B ）向右平移1个单位，向上平移1个单位；（C ）向左平移1个单位，向下平移1个单位；（D ）向右平移1个单位，向下平移1个单位． 5．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ▲ ）（A ）菱形； （B ）梯形； （C ）正三角形； （D ）正五边形．6．下列条件一定能推得△ABC 与△DEF 全等的是（ ▲ ） （A ）在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠B ，∠D =∠E ，AB =DE ； （B ）在△ABC 和△DEF 中，AB =AC ，∠A =∠F ， FD =FE ； （C ）在△ABC 和△DEF 中，1,AB DEB E BC EF==∠=∠； （D ）在△ABC 和△DEF 中，1,AB BCB E DE EF==∠=∠． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7= ▲ ． 8x =的解是 ▲ ． 9．如果反比例函数1ky x -=的图像在第二、四象限，那么k 的取值范围是 ▲ ．10．函数y kx b =+的大致图像如图所示，则当0x <范围是 ▲ ．11．黄老师在数学课上给出了6道习题，要求每位同学独立完成。

本解析由华东师范大学出版社《挑战压轴题》作者马学斌老师独家提供。

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轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点M 的坐标；（3）联结AC，求顶点D、E、F、G 在△ABC 各边上的矩形DEFG 面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 24”，拖动点D 在BC 上运动，可以体验到，当点D是BC 的中点时，矩形DEFG 的面积最大，最大值是△ABC 面积的一半．思路点拨1．第（2）题△ABM 和△ABC 相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C 关于抛物线的对称轴对称．2．第（3）题的矩形DEFG 存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．图文解析（1）由1y x 2 ，得B(4, 0)，C(0,－2)．2将点B(4, 0)代入y 1 x2 bx 2 ，得 8＋4b－2＝0．解得 3b ．2 2所以抛物线的解析式为 1 2 3 2 1 ( 1)( 4)y x x x x ．所以A(－1, 0)．2 2 2（2）如图 2，由A(－1, 0)、B(4, 0)、C(0,－2)，可得 tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．又因为∠CAO 与∠ACO 互余，所以∠BCO 与∠ACO 互余．所以△ABC 是直角三角形．过点A、B 分别作x 轴的垂线，不可能存在点M．所以只存在∠AMB＝90°的情况，此时点M 在x 轴的下方（如图 3 所示）．图 2 图 32如图 3，如果△ABM 和△ABC 相似，那么△ABM ≌△BAC ．所以点 M 与点 C 关于抛物线的对称轴对称，点 M 的坐标为(3,－2)．（3）矩形 DEFG 有两种情况：1①如图 4，在 AB 边上的顶点有两个，坐标分别为(2, 0)和( ,0) ．23②如图 5，在 AB 边上的顶点有一个，坐标为( ,0)．2考点伸展第（3）题的解题思路是这样的：在 Rt △ABC 中，AB ＝5，高 CO ＝2．情形一，如图 4，F 、G 两点在 AB 上．设 DE ＝m ，DG ＝n ．根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得 2 ．所以 5(2 )n m nm ． 2 52 所以 S ＝mn ＝ 5 2 n n ＝ 5 ( 1)2 5 (2 )n ． 2 2所以当 n ＝1 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面积 最大，最大值是△ABC 面积的一半．情形二，如图 5，点 G 在 AB 上．同样的，设 DE ＝m ，DG ＝n ．由 BD DG ，得 2 5．所以 2 5 n ． m n m BE EA 22 55 所以 S ＝m n ＝ (2 5 ) m m 2 ＝ 1 ( 5)2 5 m ．2 2所以当 m 5 时，矩形 DEFG 的面积最大．几何意义是 D 为 BC 的中点时，矩形的面 积最大，最大值也是△ABC 面积的一半．此时点 G 为 AB 的中点．图 4 图 53例2017年上海市宝山区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，∠ACB 为直角，AB＝10，∠A＝30°，半径为 1 的动圆Q 的圆心从点C 出发，沿着CB 方向以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P 从点B 出发，沿着BA 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t≤5），以P 为圆心、PB 为半径的⊙P 与AB、BC 的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．（1）判断并证明ED 与BC 的位置关系，并求当点Q 与点D 重合时t 的值；（2）当⊙P 和AC 相交时，设CQ 为x，⊙P 被AC 解得的弦长为y，求y 关于x 的函数解析式，并求当⊙Q 过点B 时⊙P 被AC 截得的弦长；（3）若⊙P 与⊙Q 相交，写出t 的取值范围．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 宝山 25”，拖动Q 由C 向B 运动，可以体验到，⊙P 与⊙Q 的位置关系依次为外离、外切和相交．思路点拨1．第（1）题Q、D 重合时，根据CQ＋BD＝BC 列关于t 的方程．2．第（2）题⊙Q 过点B 时，CQ＝5－1＝4．3．第（3）题求⊙P 与⊙Q 相交，先求临界位置外切时t 的值．图文解析（1）如图 2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．在 Rt△ABC 中，AB＝10，∠A＝30°，所以BC＝5．在 Rt△BDE 中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°，所以BD＝t，DE＝ 3 t．如图 3，当点Q 与点D 重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以 2t＝5．解得t＝2.5．图 2 图 3（2）如图 4，设⊙P 和AC 相交于M、N 两点．作PH⊥MN 于H，那么MH＝NH．在 Rt△PAH 中，PA＝10－t，∠A＝30°，所以PH＝12(10t)t．＝5 12在 Rt△PMH 中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝ 2 (5 1 )2t t ．2 于是得到y＝MN＝2MH＝3t2 20t 100 ．4如图 5，当⊙Q 过点B 时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316 20 4 100 ＝2 7 ．图 4 图 5＜t≤5．（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是17974考点伸展第（3）题的解题过程分三步：第一步，罗列三要素．对于圆P，r P＝t；对于圆Q，r Q＝1；圆心距PQ 需要求一下．如图 6，作PF⊥BC 于F．在Rt△PFQ 中，由勾股定理，得PQ＝( 3 )2 (5 3 )2t t ．2 2第二步，列方程．如图 7，当⊙P 与⊙Q 外切时，r P＋r Q＝PQ．所以t 1( 3 t)2 (5 3t)2 ．整理，得 2t2－17t＋24＝0．解得17 97t ．2 2 4第三步，写结论．图 6 图 75例2017年上海市崇明区中考模拟第 24题 如图 1，已知抛物线 y ＝ax 2－2x ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点 A (0, 1)，点 B (9, 10)，AC //x 轴． （1）求这条抛物线的解析式；（2）求 tan ∠ABC 的值；（3）若点 D 为抛物线的顶点，点 E 是直线 AC 上一点，当△CDE 与△ABC 相似时，求 点 E 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 24”，拖动点 E 在点 C 左侧运动，可以体验到，△CDE 与△ABC 相似存在两种情况．思路点拨1．求 tan ∠ABC 的值，首先要将∠ABC 放在某个直角三角形中．作 AB 边上的高 CH 以 后，有两种解法：一种解法是∠BAC ＝45°为特殊值；另一种解法是一般性的，已知三角形 的三边，作高不设高，设 AH ＝m ．2．探究△CDE 与△ABC 相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分 两种情况列方程．图文解析 c1,（1）将 A (0, 1)、B (9, 10)两点分别代入 y ＝ax 2－2x ＋c ，得81a 18 c 10.1 3 解得 a ＝ ，c ＝1．所以这条抛物线的解析式为 12 2 1y x x ． 3（2）由于 AC //x 轴，抛物线的对称轴为 x ＝3，所以 C (6, 1)．如图 2，作 BM ⊥AC ，垂足为 M ．作 CH ⊥AB 于 H ．由 A (0, 1)、B (9, 10)，可知 AM ＝BM ＝9，所以∠BAC ＝45°，AB ＝9 2 ．在 Rt △ACH 中，AC ＝6，所以 AH ＝CH ＝3 2 ．在 Rt △BCH 中，BH ＝AB －AH ＝6 2 ，所以 tan ∠ABC ＝ C H B H＝ 3 2 6 2 ＝ 1 2 ． 6（3）由 1 2 2 1 1 ( 3)2 2y x x x ，得顶点D 的坐标为(3,－2)．3 3由C(6, 1)、D(3,－2)，可知∠ACD＝45°，CD＝3 2 ．当点E 在点C 左侧时，∠DCE＝∠BAC．分两种情况讨论△CDE 与△ABC 相似：①当C E A B时，CE 9 2 ．解得CE＝9．此时E(－3, 1)（如图 3 所示）．C D A C32 6②CE AC 时，CE 6 ．解得CE＝2．此时E(4, 1)（如图 4 所示）．C D A B329 2图 2 图 3 图 4考点伸展第（2）题还有一般的解法：如图 2，△ABC 的三边长是确定的，那么作AB 边上的高CH，设AH＝m，就可以求得AH，进而求得CH、BH 的长．由A(0, 1)、B(9, 10)、C(6, 1)，可得AB＝9 2 ，BC＝3 10 ，AC＝6．由CH2＝CA2－AH2，CH2＝CB2－BH2，得CA2－AH2＝CB2－BH2．解方程62 m2 (3 10)2 (9 2 m)2 ，得m 3 2 ．于是得到BH＝6 2 ，CH＝3 2 ．7例 2017年上海市崇明区中考模拟第 25题如图，梯形 ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tan D ＝2，点 E 是射线 CD 上一动点（不与点 C 重合），将△BCE 沿着 BE 进行翻折，点 C 的对应点记为点 F ．（1）如图 1，当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线 MN 上时，求 CE 的长；S （2）如图 2，当点 E 在线段 CD 上时，设 CE ＝x ， △BFCS△E F C＝y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图 3，联结 AC ，线段 BF 与射线 CA 交于点 G ，当△CBG 是等腰三角形时，求 CE 的长．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 崇明 25”，拖动点 E 运动，可以体验到，等腰三角形 BCG 存在三种情况，每种情况的点 G 的位置都具有特殊性．思路点拨1．第（1）题点 F 到 AB 的距离等于 BF 的一半，得到∠FBA ＝30°．2．第（2）题△BFC 与△EFC 的面积比等于 BH 与 EH 的比，通过 Rt △BCH ∽Rt △CEH 得到 BH 与 EH 的比．3．第（3）题先求 CG 的长，再求 CE 的长．延长 BF 交 CD 的延长线于 K ，得到△KEF ∽△KBC ．图文解析（1）如图 4，在 Rt △FNB 中，BN ＝ 所以∠B F N ＝30°． 1 2 B C ＝ 1 2B F ，所以∠FBA ＝30°．所以∠FBC ＝60°． 所以∠FBE ＝∠CBE ＝30°．＝ 8 3 3所以 C E ＝B C t a n 30°＝83 3． 图 4（2）如图 5，设 BE 垂直平分 FC 于点 H ，那么∠CBH ＝∠ECH ． 所以△CBH ∽△ECH ．S 所以CBH△S△ECHBH ＝ ( )2EH＝ 64 x 2 S ．所以 y ＝ BFC △S△EFC＝ 2S △CBHC2S △ECH ＝ 64 x2． 定义域是 0＜x ≤10．8图 5图 6（3）①如图 6，当 CG ＝CB ＝8 时，AG ＝2．CK CG 延长 BF 交 CD 的延长线于 K ．由 4 ，得 CK ＝4AB ＝24．AB AG1 3在 Rt △KBC 中，BC ＝8，CK ＝24，所以 tan ∠K ＝．所以 sin ∠K ＝ 10 10． 在 Rt △KEF 中，FE ＝CE ＝x ，EK ＝CK －CE ＝24－x ．由 sin ∠K ＝F E E K ＝ 10 10，得10 x 24 x 10．解得 x ＝CE ＝ 8 10 83．②如图 7，当 GC ＝GB 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，此时四边形 ABCK 为矩形． 在 Rt △EKF 中，sin ∠EKF ＝B C B K ＝ 8 10 ＝ 4 5，FE ＝CE ＝x ，KE ＝CK －CE ＝6－x ．所以 4 x6 x 5．解得 x ＝CE ＝ 8 3．③如图 8，当 BG ＝BC ＝8 时，由于 BC ＝BF ，所以 F 、G 重合．此时 BE ⊥AC ．由 tan ∠CEB ＝tan ∠ACB ＝ 3 4 ，得B C C E 3 ．所以 CE ＝ 432 3．图 7 图 8考点伸展第（3）题的①、②两种情况，解 Rt △KEF ，可以用勾股定理列方程．9例 2017年上海市奉贤区中考模拟第 24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点 A (3, 0)和点 B (2, 3)，过点1 3A 的直线与 y 轴的负半轴相交于点 C ，且 tan ∠CAO ＝（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；． （2）联结 AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点 D 在 x 轴下方的对称轴上，当 S △ABC ＝S △ADC 时，求点 D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 24”，可以体验到，△ABC 是等腰直角三角形，B 、D 两点到直线 AC 的距离相等．思路点拨1．直觉告诉我们，△ABC 是直角三角形．2．第（3）题的意思可以表达为：B 、D 在直线 AC 的两侧，到直线 AC 的距离相等．于 是我们容易想到，平行线间的距离处处相等．图文解析（1）将 A (3, 0)、B (2, 3)两点分别代入 y ＝－x 2＋bx ＋c ，得93b c 0,4 2b c 3.解得 b ＝2，c ＝3．所以 y ＝－x 2＋2x ＋3．对称轴是直线 x ＝1．O C OA （2）由 t a n ∠C A O ＝＝ 1 3，OA ＝3，得 OC ＝1．所以 C (0,－1)． 由两点间的距离公式，得 AB 2＝12＋32＝10，AC 2＝32＋12＝10，BC 2＝22＋42＝20． 所以∠BAC ＝90°，且 AB ＝AC ．所以△ABC 是等腰直角三角形，tan ∠ABC ＝1．（3）因为△ABC 与△ADC 有公共底边 AC ，当 S △ABC ＝S △ADC 时，B 、D 到直线 AC 的距离相等．如图 2，因为点 B (2, 3)关于点 A (3, 0)的对称点为 E (4,－3)，那么过点 E 作 AC 的平行线 与抛物线的对称轴的交点即为所求的点 D ．由 A (3, 0)、C (0,－1)可得直线 AC 的解析式为1y x 1．3设直线 DE 的解析式为y x b ，代入点 E (4,－3)，得 13 1b ．3 3 10所以直线DE 的解析式为11 3 y x ．当x＝1 时，y＝－4．3 3所以点D 的坐标为(1,－4)．考点伸展第（2）题也可以构造 Rt△ABM 和 Rt△CAN（如图 3），用“边角边”证明△ABM≌△CAN，从而得到等腰直角三角形ABC．图 2 图 3第（3）题也可以这样思考：如图 4，过点B 与直线AC 平行的直线为y 1 x 7 ，与y 轴交于点F(0, 7)33 3．F、C 两点间的距离为710(1) ．3 3把直线AC：y 1 x 向下平移1013 3个单位，得到直线113y x ．3 3感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师第（3）题的解法：如图 5，如果把BL、KD 分别看作△ABC 和△ADC 的底边，那么它们的高都是A、C 两点间的水平距离，当△ABC 与△ADC 的面积相等时，BL＝KD．1 )，K(1,2 )．所以3 ( 1) ( 2) 由直线AC 的解析式可以求得L (y ．2,D3 3 3 3解得y D＝－4．所以D(1,－4)．图 4 图 511例2017年上海市奉贤区中考模拟第25题如图 1，线段AB＝4，以AB 为直径作半圆O，点C 为弧AB 的中点，点P 为直径AB 上一点，联结PC，过点C 作CD//AB，且CD＝PC，过点D 作DE//PC，交射线PB 于点E，PD 与CE 相交于点Q．（1）若点P 与点A 重合，求BE 的长；PD＝y，当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及定义域；C E（2）设P C＝x，（3）当点Q 在半圆O 上时，求PC 的长．图 1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 奉贤 25”，拖动点P 在AO 上运动，可以体验到，PD 与CE的比就是菱形的对角线的比，可以转化为PQ 与EQ 的比，进而转化为∠PEQ 的正切值．拖动点P 在OB 上运动，可以体验到，当点Q 落在圆上时，点Q 到AB 的距离等于圆的半径的一半．思路点拨1．四边形PCDE 是菱形，对角线互相垂直平分．2．第（2）题根据∠PEQ 和∠CEO 是同一个角，用正切值得到关系式．3．第（3）题画图的步骤是：点Q 在OC 的中垂线与圆的交点处，延长CQ 交AB 的延长线于点E，过点Q 作CE 的垂线得到点P、D．图文解析（1）如图 2，由CD//AB，DE//PC，得四边形PCDE 是平行四边形．又因为CD＝PC，所以四边形PCDE 是菱形．在等腰直角三角形AOC 中，AC＝ 2 OA＝2 2 ．当点P 与点A 重合，PE＝AC＝2 2 ．所以BE＝AB－PE＝4－2 2 ．图 2 图 3（2）如图 3，在 Rt△CPO 中，PC＝x，CO＝2，所以PO＝x 2 4 ．所以EO＝PE－PO＝PC－PO＝x x 2 4 ．12因为PD 与CE 互相垂直平分于Q，所以y＝P DC E＝PQE Q ＝tan∠PEQ＝tan∠CEO＝C OE O．所以y2x x 42x x2 442．定义域是2≤x≤22 ．（3）如图 4，作QH⊥AB 于H．因为菱形PCDE 的对边CD 与PE 间的距离保持不变，等于圆的半径CO＝2，当点Q在半圆O 上时，QH＝12OQ＝1．所以∠QOH＝30°．此时∠COQ＝60°，△COQ 是等边三角形．所以∠DCE＝30°．所以∠PCE＝30°．在 Rt△COP 中，∠OCP＝30°，CO＝2，所以PC＝C O＝ 2c o s3032＝4 33．图 4 图 5考点伸展在本题情境下，当点P 从A 运动到B 的过程中，求点Q 运动过的路径长．因为点Q 是CE 的中点，所以点Q 的运动轨迹与点E 的运动轨迹平行，点Q 的路径长等于点E 路径长的一半．如图 2，当点P 与点A 重合时，AE＝AC＝2 2 ．如图 5，当点P 与点B 重合时，BE＝BC＝2 2 ．所以点E 运动的路径长为 4，点Q 运动的路径长为 2．13例2017年上海市虹口区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线1y x bx c 经过点A(－2, 0)和原点，点B 在4抛物线上且 tan∠BAO＝12，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）点C 为抛物线上一点，若四边形AOBC为等腰梯形且AO//BC，求点C 的坐标；（3）点D 在AB 上，若△ADP 与△ABO 相似，求点D 的坐标．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 24”，拖动点D 在AB 上运动，可以体验到，△ADP与△ABO 相似存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（2）题”，可以体验到，以A、O、B、C 为顶点的等腰梯形存在三种情况，其中AO//BC 时，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称．思路点拨1．已知二次函数的二次项系数和抛物线与x 轴的两个交点，可以直接写出交点式．2．等腰梯形AOBC 当AO//BC 时，C、B 两点关于抛物线的对称轴对称．3．分两种情况讨论△ADP 与△ABO 相似．由于∠A 是公共角，根据夹∠A 的两边对应成比例，分两种情况列方程，先求AD 的长，再求点D 的坐标．图文解析（1）因为抛物线1y x bx c 与x 轴交于点A(－2, 0)和原点，所以411 1y x(x2)x x．244 2抛物线的对称轴是直线x＝－1，点P 的坐标为(－1, 0)．1（2）作BH⊥x 轴于H．设点B 的坐标为(x, x(x 2)) ．4由 tan∠BAO＝B HA H＝121，得AH＝2BH．所以(x 2) 2x(x 2) ．4解得x＝2，或x＝－2（B、A 重合，舍去）．所以B(2, 2)．若四边形AOBC 为等腰梯形且AO//BC，那么B、C 关于抛物线的对称轴x＝－1 对称．所以点C 的坐标为(－4, 2)．图 2 图 314（3）作DE⊥x 轴于E．在 Rt△ADE 中，已知 tan∠A＝12，所以DE＝55A D，AE＝2 55 A D．由于△ADP 与△ABO 有公共角∠A，分两种情况讨论相似：①当AD AB 时，AD 2 5 ．所以AD＝5 ．A P A O1 2此时DE＝1，AE＝2．所以点D 的坐标为(0, 1)．②当A D A O时，A D 2．所以A D＝ 5 A P A B125 5．此时DE＝15，AE＝25．所以OE＝OA－AE＝858 1(,)．5 5．所以点D的坐标为图 4 图 5考点伸展如果第（2）题改为以A、O、B、C 为顶点的四边形是等腰梯形，那么就要分三种情况：△AOB 的三边的垂直平分线都可以是等腰梯形的对称轴．第二种情况：如果OC//AB，那么点C 与点O 关于直线AB 的垂直平分线对称．点C 在直线1y x 上，设C(2m, m)．2由CB＝OA＝2，得CB2＝4．所以(2m－2)2＋(m－2)2＝4．解得m＝254 2 ，或m＝2（此时四边形AOCB 是平行四边形）．所以C( , )．5 5第三种情况：如果AC//OB，那么点C 与点A 关于直线OB 的垂直平分线对称．点C 在直线y＝x＋2 上，设C(n, n＋2)．由CB＝AO＝2，得CB2＝4．所以(n－2)2＋n2＝4．解得n＝2，或n＝0（舍去）．所以C(2, 4)．图 6 图 715例2017年上海市虹口区中考模拟第25题如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝5，cos B＝45，点P 为边BC 上一动点，过点P 作射线PE 交射线BA 于点D，∠BPD＝∠BAC．以点P 为圆心，PC 长为半径作⊙P 交射线PD 于点E，联结CE，设BD＝x，CE＝y．（1）当⊙P 与AB 相切时，求⊙P 的半径；（2）当点D 在BA 的延长线上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果⊙O 与⊙P 相交于点C、E，且⊙O 经过点B，当O P＝54时，求AD 的长．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 虹口 25”，拖动点P 运动，可以体验到，△BPD 与△BAC 保持相似，PN 与BD 保持平行．观察度量值，可以体验到，OP＝1.25 存在两种情况．思路点拨1．作圆P 的弦CE 对应的弦心距PN，把图形中与∠B 相等的角都标记出来．2．第（3）题的圆O 经过B、C、E 三点，事实上OP 与BD 是平行的．图文解析（1）如图 2，作AM⊥BC 于M，那么BM＝CM．在 Rt△ABM 中，AB＝5，cos B＝B MA B＝45，所以BM＝4，sin B＝35．如图 3，设⊙P 与AB 切于点H，那么 sin B＝PHBP＝35．所以r8 r 35＝．解得r＝3．图 2 图 3 图 4 （2）如图 4，由于∠B＝∠B，∠BPD＝∠BAC，所以△BPD∽△BAC．因为AB＝AC，所以PB＝PD．如图 5，设圆P 与BC 的另一个交点为F，因此所以F E//B D．所以∠E F C＝∠B．P F P E．P B P D在△PBD 中，B P B A 5，所以5 5BP BD x ．B D B C888在△EFC 中，由PC＝PE＝PF，可知∠FEC＝90°，所以 sin∠EFC＝C EC F3．516所以CF5 CE 5 y ．所以 PC ＝ 13 3 2 CF ＝ 5 6y ．由 BC ＝BP ＋PC ＝8，得5 x 5 y ．整理，得 48 3 y x ．定义域是 5＜x ＜ 64886545．（3）因为⊙O 经过 B 、C 、E 三点，所以圆心 O 是 BC 和 CE 的垂直平分线的交点． 如图 6，设 CE 的中点为 N ，那么 OP ⊥CE 于 N ． 所以 OP //FE //BA ．所以 cos ∠OPM ＝cos B ＝ 4 5 ．当 OP ＝ 5 4时，MP ＝1．①如图 6，当 P 在 M 右侧时，BP ＝4＋1＝5．此时 BD ＝ 所以 A D ＝B D －B A ＝8－5＝3．8 5BP ＝8．②如图 7，当 P 在 M 左侧时，BP ＝4－1＝3．此时 BD ＝ 8 5 B P ＝ 24 5．2 4 所以 AD ＝BA －BD ＝ 5 ＝ 51 5．图 5 图 6 图 7考点伸展第（2）题不证明 FE //BA 的话，可以证明∠CPN ＝∠B ．如图 8，由于∠CPE ＝∠B ＋∠D ＝2∠B ，∠CPE ＝2∠CPN ，所以∠CPN ＝∠B ．在 Rt △CPE 中， 1 2 3 5 C E ＝PC ．所以 PC ＝5 6 C E ＝ 5 6 5 y ．所以 BP ＝8 y ．6 在△BPD 中， 1 2 B D ＝ 4 5 BP ．所以 1 x 4 5 y ．整理，得 48 3 (8 ) y x ．2 5 6 5 4定义域中 x ＝ 64 5的几何意义如图 9 所示．图 8 图 917例 2017年上海市黄浦区中考模拟第 24题如图 1，点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上，过点 A 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函 x数 y 1的图像于点 B 、C ，直线 BC 与坐标轴的交点为 D 、E ． x（1）当点 C 的横坐标为 1 时，求点 B 的坐标；（2）试问：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变 x 化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点 A 在函数 y4（x ＞0）的图像上运动时，线段 BD 与 CE 的长始终 x相等．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 24”，拖动点 A 运动，可以体验到，△DBM 与△CEN 保持全等，MN 与 BC 保持平行．思路点拨1．设点 A 的横坐标为 m ，A 、C 两点的横坐标相等，A 、B 两点的纵坐标相等，用 m 表 示 A 、B 、C 三点的坐标和 AB 、AC 的长．2．证明 BD ＝CE ，因为四点共线，只要证明 B 、D 两点间的竖直距离等于 C 、E 两点间 的竖直距离就可以了．图文解析（1）当点 C 的横坐标为 1 时，C (1, 1)，A (1, 4)．由 1 x4 ，得x 1 ．所以点 B 的坐标为(1 ,4) 4 4 ． （2）△ABC 的面积为定值．计算如下：4 如图 2，设点 A 的坐标为(m , ) m 1 ，那么 C (m , ) mm 4 ，B ( , )． 4 m3m 所以 A B ＝ 4 ，AC ＝ 3 m ．所以 S △ABC ＝ 1 2 A B A C ＝ 1 3 3 ＝ m2 4 m9 8 ． （3）如图 3，延长 AB 交 y 轴于 M ，延长 AC 交 x 轴于 N ．在 Rt △DBM 中，tan ∠DBM ＝tan ∠ABC ＝ A C A B ＝ 3 3m ＝ m 44 m 2 ，BM ＝ m 4，所以DM＝BM tan∠DBM＝m44＝m21m．所以DM＝CN．18又因为 sin∠DBM＝sin∠CEN，所以DB＝CE．图 2 图 3考点伸展如图 4，第（2）题中，面积为定值的有：矩形AMON、△ABC、△BOM、△CON，所以△BOC 的面积也为定值．如图 5，联结MN，那么MN 与BC 保持平行，这是因为M B N C 1．M A N A 4还有一个有趣的结论，随着点A 的运动，直线MN 与双曲线y 1（x＞0）保持相切．x直线MN 的解析式为44，与y1y x 联立方程组，消去y，得m m x214 4x．x m m2整理，得(2x－m)2＝0．所以直线MN 与双曲线有一个交点，保持相切．感谢网友上海交大昂立教育张春莹老师提供的第（3）题的简练解法：如图 4，因为B D B M 1，C E C N 1，所以B D＝C E．B C B A3C B C A 3图 4 图 519例2017年上海市黄浦区中考模拟第25题已知 Rt△ABC 斜边AB 上的D、E 两点满足∠DCE＝45°．（1）如图 1，当AC＝1，BC＝ 3 ，且点D 与点A 重合时，求线段BE 的长；（2）如图 2，当△ABC 是等腰直角三角形时，求证：AD2＋BE2＝DE2；（3）如图 3，当AC＝3，BC＝4 时，设AD＝x，BE＝y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．图 1 图 2 图 3动感体验请打开几何画板文件名“17 黄浦 25”，可以体验到，四边形CMEN 是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（2）题”，可以体验到，直角三角形DEF 的边FD＝AD，FE＝BE．点击按钮“第（3）题”，可以体验到，△CDP∽△ECQ．思路点拨1．第（1）题过点E 向两条直角边作垂线段，围成一个正方形，然后根据对应线段成比例求正方形的边长，再得到BE 的长等于正方形边长的 2 倍．2．第（2）题的目标是把AD、BE 和DE 围成一个直角三角形．经典的解法有翻折和旋转两种．图文解析（1）当AC＝1，BC＝ 3 时，AB＝2，∠B＝30°．如图 4，作EM⊥BC 于M，作EN⊥AC 于N，那么四边形CMEN 是正方形．设正方形的边长为a．由EM BM，得a 3 a ．AC BC 1 3解得 3 3a ．2所以BE＝2EM＝3 3 ．图 4【解法二】如图 4，因为1C B E MS C B△C B E21S C A E N C A△C B E2S B E，△C B ES E A△C B E，所以C B B E．C A E A．解得BE＝3 3 ．所以3B E12B E20（2）如图5，以CE 为对称轴，构造△CFE≌△CBE，那么FE＝BE，∠CFE＝∠B＝45°．联结DF．由“边角边”证明△CFD≌△CAD，所以FD＝AD，∠CFD＝∠A＝45°．所以△DEF 是直角三角形，FD2＋FE2＝DE2．所以AD2＋BE2＝DE2．【解法二】如图 6，绕点C 将△CBE 逆时针旋转 90°得到△CAG，那么AG＝BE，CE ＝CG，∠CAG＝∠B＝45°．由“边角边”证明△CDG≌△CDE，所以DG＝DE．在 Rt△GDA 中，AD2＋AG2＝DG2．所以AD2＋BE2＝DE2．图 5 图 6（3）如图 7，作CH⊥AB 于H．在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．于是可得CH 12 ，BH 16 ，9AH ．5 5 5所以DH 9 x，16EH y ．5 5如图 8，以H 为旋转中心，将点D 逆时针旋转 90°得到点P，将点E 顺时针旋转 90°得到点Q．于是可得△CDP∽△ECQ．由PD QC，得PD QE PC QC ．PC QE所以2(9 x) 2(16 y ) 12 (9 x )12 (16 y )5 5 5 5 5 5．整理，得2860xy5x 21．157 定义域是0≤x≤15 7．当B、E 重合时x＝．图 7 图 821考点伸展第（3）题解法多样，再介绍三种解法：如图 9，过点C 作AB 的平行线KL．构造等腰直角三角形KDD′和LEE′．由△CDE∽△KCD，△CDE∽△LEC，得△KCD∽△LEC．所以KC DK，即KC CL=LE DK ．LE CL所以12 (9 )12 (16 ) 12 2 12 2x y55555 5．整理即可．如图 10，分别以CD、CE 为对称轴，作CH 的对应线段CK、CL，再围成正方形CKRL．在 Rt△DER 中，由DR2＋ER2＝DE2，得2 2129121 6(x)(y)(5x y)25555．整理即可．如图 11，类似第（2）题的第一种解法，在 Rt△A′B′T 中，A′B′＝CB－CA＝1，所以A′T＝35 ，B′T＝ 4 5．在 Rt△DET 中，DE＝5－x－y，TE＝y 4，T D＝ 3x ，由勾股定理，得5 52 4 23 2(5x y ) (y ) (x ) ．整理即可．5 5图 9 图 10 图 1122例2017年上海市嘉定区中考模拟第24题如图 1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(3, 1)，点B 的坐标为(6, 5)，点C 的坐标为(0, 5)，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该二次函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，请直接写出点Q 的坐标；（3）如果点P 在（1）中求出的二次函数的图像上，且 tan∠PCA＝12，求∠PCB 的正弦值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 24”，可以体验到，当AD⊥AC，且AC＝2AD 时，点D 的位置是确定的，射线CD 与抛物线的交点就是点P．思路点拨1．由B、C 两点的坐标可知抛物线的对称轴是直线x＝3，再由点A 的坐标可知点A 就是抛物线的顶点，因此设顶点式比较简便．2．分三种情况讨论等腰三角形ACQ：AQ＝AC，CQ＝CA，QA＝QC．3．第（3）题的解题策略是：根据 tan∠PCA＝12，过点A 作AC 的垂线，在垂线上截取AD＝12AC，那么点P 就是射线CD 与抛物线的交点，∠DCB 就是∠PCB．不用求点P的坐标，求点D 的坐标就好了．图文解析（1）由B(6, 5)、C(0, 5)，可知抛物线的对称轴是直线x＝3．由A(3, 1)，可知点A 是抛物线的顶点．设二次函数的解析式为y＝a(x－3)2＋1，代入点B(6, 5)，得 9a＋1＝5．4 4 4 8解得a ．所以y (x 3)2 1x 2 x 5．9 9 9 33 3（2）点Q 的坐标为(3, 6)，(3,－4)，(3, 9)或(3, )8．（3）如图 2，绕着点A 将线段AC 的中点旋转 90°得到点D，那么射线CD 与抛物线的交点就是要求的点P．当点D 在CA 左侧时，射线CD 与抛物线没有交点．如图 3，当点D 在CA 右侧时，作DE⊥x 轴于E，那么∠DCE 就是∠PCB．过点A 作x 轴的平行线交y 轴于M，过点D 作DN⊥AM 于N．CM MA AC由△CMA∽△AND，得 2 ．AN ND DA所以A N 1C M ，1 32N D M A ．22 223在 Rt△CDE 中，CE＝MA＋AN＝3＋2＝5，ED＝CM－ND＝3 5 4，2 2所以 tan∠DCE＝E DC E＝12．所以 sin∠DCE＝55，即 sin∠PCB＝55．图 2 图 3考点伸展第（2）题分三种情况讨论等腰三角形ACQ：①如图 4，当AQ＝AC＝5 时，以A 为圆心、以AC 为半径的圆与对称轴有两个交点，所以点Q 的坐标为(3, 6) 或(3,－4)．②如图 5，当CQ＝CA 时，点C 在AQ 的垂直平分线上，此时点Q 的坐标为(3, 9)．③如图 6，当QA＝QC 时，点Q 在AC 的垂直平分线上，此时1 4A C A Q．2 5所以AQ＝58AC ＝2583 3．此时点Q 的坐标为(3, )8．图 4 图 5 图 6 24例2017年上海市嘉定区中考模拟第25题已知AB＝8，⊙O 经过点A、B，以AB 为一边画平行四边形ABCD，另一边CD 经过点O（如图 1）．以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段OC 于点E（点E 不与点O、点C 重合）．（1）求证：OD＝OE；（2）如果⊙O 的半径长为 5（如图 2），设OD＝x，BC＝y，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果⊙O 的半径长为 5，联结AC，当BE⊥AC 时，求OD 的长．图 1 图 2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“17 嘉定 25”，拖动点D 运动，可以体验到，四边形ABED 保持等腰梯形的形状，△BCE 保持等腰三角形的形状，垂足H 的位置保持不变，MH 的位置保持不变．双击按钮“AC⊥BE”，可以体验到，点C 恰好落在圆上，MH 等于EC 与AB 和的一半．思路点拨1．根据等腰梯形是轴对称图形，很容易知道点O 是DE 的中点．2．第（2）题中，等腰三角形BCE 的高BH 为定值，先用x 表示EC，再用勾股定理就可以表示BC 了．3．第（3）题如何利用BE⊥AC，常规的方法是过点C 作BE 的平行线得到直角三角形．图文解析（1）如图 3，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD＝BC．又因为BE＝BC，所以AD＝BE．所以四边形ABED 是等腰梯形．因为圆心O 在弦AB 的垂直平分线上，所以点O 是上底DE 的中点，即OD＝OE．图 3 图 425例2017年上海市静安区中考模拟第24题如图 1，已知二次函数 1 2y x bx c 的图像与x 轴的正半轴交于点A(2, 0)和点B，2与y 轴交于点C，它的顶点为M，对称轴与x 轴相交于点N．（1）用b 的代数式表示点M 的坐标；（2）当 tan∠MAN＝2 时，求此二次函数的解析式及∠ACB 的正切值．图 1动感体验请打开几何画板文件名“17 静安 24”，拖动点N 运动，观察∠MAN 的正切值的度量值，可以体验到，当 tan∠MAN＝2 时，△OBC 是等腰直角三角形．思路点拨1．第（1）题分三步：根据抛物线的解析式写出对称轴x＝b；代入点A 的坐标，用b表示c；求x＝b 时y 的值，得到顶点的纵坐标．2．第（2）题先根据 tan∠MAN＝2 求b 的值，确定点B、C 的坐标，再作BC 边上的高AH，解直角三角形ABH 和直角三角形ACH．图文解析（1）由 1 2y x bx c ，得抛物线的对称轴为直线x＝b．2将点A(2, 0)代入 1 2y x bx c ，得－2＋2b＋c＝0．所以c＝2－2b．2当x＝b 时， 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ( 2)2y x bx b b b b ．2 2 2所以抛物线的顶点M 的坐标可以表示为( , 1 ( 2)2 )b b ．2MN（2）当 tan∠MAN＝2 时， 2 ，即MN＝2AN．AN解方程1 ( 2)2 2( 2)b b ，得b＝6，或b＝2（与A 重合，舍去）．2此时抛物线的解析式为 1 2 6 10y x x ，A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)．2所以AB＝8，OB＝OC＝10．所以BC＝10 2 ，∠B＝45°．27作AH⊥BC 于H，那么AH＝BH＝4 2 ．在 Rt△ACH 中，CH＝BC－BH＝6 2 ，所以 tan∠ACB＝A HC H＝23 ．图 2考点伸展第（2）题上面的解法是利用“边角边”，作高先求高．也可以利用“边边边”，作高不设高．由A(2, 0)，B(6, 0)，C(0,－10)，得AB＝8，BC＝10 2 ，AC＝104 ．设CH＝m，那么BH＝10 2 m．由AH2＝AC2－CH2，AH2＝AB2－BH2，得AC2－CH2＝AB2－BH2．解方程( 104)2 m2 82 (10 2 m)2 ，得m CH 6 2 ．所以AH2＝AC2－CH2＝( 104)2 (6 2)2 ＝32．所以AH＝4 2 ．28例2017年上海市静安区中考模拟第25题如图 1，已知⊙O 的半径OA 的长为 2，点B 是⊙O 上的动点，以AB 为半径的⊙A 与线段OB 相交于点C，AC 的延长线与⊙O 相交于点D．设线段AB 的长为x，线段OC 的长为y．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO 是梯形时，求线段OC 的长．图 1图文解析（1）如图 1，因为OA＝OB，所以∠OAB＝∠B．因为AC＝AB，所以∠ACB＝∠B．所以∠OAB＝∠ACB．所以△OAB∽△ACB．所以B O B A，即2xB A B Cx 2 y．整理，得 2 1 2y x ．定义域是 0≤x≤2．x＝2 的几何意义如图 2 所示．2图 1 图 2（2）梯形ABDO 存在两种情况：①如图 3，当AB//OD 时，A B C B，即x2y．整理，得(x＋2)y＝4．D O C O2y代入y 2 1 x2 ，得( 2)(2 1 2 ) 4x x ．整理，得x2＋2x－4＝0．2 2解得x＝ 5 1，或x＝ 5 1（舍去）．所以CO＝y＝2 1 2 ＝2 1 ( 5 1)2x＝ 5 1．事实上，此时点C 是线段OB 的黄2 2金分割点．。

杨浦区2014学年度第二学期初三质量调研数 学 试 卷 2015.4(完卷时间 100分钟 满分 150分)考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、 选择题（本大题每小题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果x =2是方程121-=+a x 的根，那么a 的值是 （ ▲ ） （A ）0； （B ）2； （C ）-2； （D ）-6．2．在同一直角坐标系中，若正比例函数1y k x =的图像与反比例函数2k y x=的图像没有公 共点，则 （ ▲ ）（A ）k 1k 2＜0； （B ）k 1k 2＞0； （C ）k 1+k 2＜0； （D ）k 1+k 2＞0．3．名队员的年龄如下表则这12名队员年龄的众数和中位数分别是 （ ▲ ）（A ）2, 19； （B ）18, 19； （C ）2, 19.5； （D ）18, 19.5．4．下列命题中，真命题是 （ ▲ ）（A ）周长相等的锐角三角形都全等； （B ）周长相等的直角三角形都全等；（C ）周长相等的钝角三角形都全等； （D ）周长相等的等腰直角三角形都全等．5．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 （ ▲ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）.6．设边长为3的正方形的对角线长为a ．下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a ＜4；④a 是18的一个平方根．其中，所有正确说法的序号是 （ ▲ ）（A ） ①④； （B ）②③； （C ）①②④； （D ）①③④．二、 填空题（本大题每小题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．分解因式：24xy x -= ▲ .8．不等式5x x -<的解集是 ▲ .9．x 的解为 ▲ .10．如果关于x 的方程23mx =有两个实数根，那么m 的取值范围是 ▲ .11．如果将抛物线24y x =-平移到抛物线24y x x =-的位置，那么平移的方向和距离分别是 ▲ .12．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 ▲ .13．如图，△ABC 中，如果AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为 ▲ .14．如图，在ABC ∆中，记b AC a AB ==,，点P 为BC 边的中点，则AP = ▲ （用向量、来表示）.15．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，BC =4cm ，AC =3cm ，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相内切，那么⊙A 的半径长为 ▲ cm.16．本市某校开展以“倡导绿色出行，关爱师生健康”为主题的教育活动．为了了解本校师生的出行方式，在本校范围内随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是 ▲ . 17．对于平面直角坐标系 x Oy 中的点P （a ，b ），若点P ＇的坐标为（b a ka b k ++，）（其中k 为常数，且0k ≠），则称点P ＇为点P 的“k 属派生点”．例如：P （1，4）的“2属派生 点”为P ＇（41+21+42⨯，），即P ＇（3，6）．若点P 的“k 属派生点”P '的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P 的坐标： ▲ .18．如图，钝角△ABC 中，tan ∠BAC =34，BC =4，将三角形绕着点 A 旋转，点C 落在直线AB 上的点C ，处，点B 落在点B ，处，若C 、B 、B ，恰好在一直线上，则AB 的长为 ▲ .三、 解答题（第19~22题每题10分，第23~24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．(本题满分10分) 计算：0111)2cos30()12--︒+．20．(本题满分10分) 解方程组：223240.xy x xy y =⎧⎨-+-=⎩ 21. (本题满分10分)如图，在一笔直的海岸线上有A 、B 两个观察站，A 在B 的正东方向，A 与B 相距2千米。

上海市杨浦区2016届初三二模数学试卷.选择题等腰梯形5.某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位 数是（）1. F 列等式成立的是（|a 2. 3. 4. A. 4222 B. 227C. .8 2^D.F 列关于x 的方程一定有实数解的是（A. 2x m F 列函数中, A. y 2xB. x 2 mC. 图像经过第二象限的是（ B. y - C. xD.D.x 2F 列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A.正五边形 B.正六边形 C. 等腰三角形 D.A. 2B. 3C. 8D. 96.圆O 是正n 边形A i A> A n 的外接圆，半径为18，若AA 2长为，那么边 数门为（）A.5B. 10C. 36D. 72填空题8.写出a b 的一个有理化因式： ______________ 9.如果关于x 的方程mx 2 mx 1 0有两个相等的实数根，那么实数m 的值 是 ________11.如果函数y x 2 m 的图像向左平移2个单位后经过原点，那么m7.计算:b a abba10.函数yx 的定义域是 _________12. 在分别写有数字1、0、2、3的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为 _______________13. 在△ ABC中，点M、N分别在边AB、AC 上，且uuu r ujur r 卄uuuu r AM : MB CN : NA 1:2，如果AB a，AC b，那么MN ________________ （用a、b表示）14. 某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进13米时，在铅垂方向上升了5米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度i 1: m，那么m __________15. 某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图（不完整），则图中m的值是___________16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2,写出一个函数y kx（k 0），使它的图像与正方形OABC的边有公共点，这个函数的解析式可以是____________为圆心，r为半径的圆与对角线BD 所在的直线相切，那么r 的值是 _________18.如图，将YABCD 绕点A 旋转到YAEFG 的位置，其中点 B 、C 、D 分 别落在点E 、F 、G 处，且点B 、E 、D 、F 在一直线上，如果点E 恰好是对角线BD 的中点，那么妲AD的值是 ________三.解答题19.计算：（、、3 2）°（1）1 6COS30 | .3 .27|； 17.在矩形 ABCD 中，AB 3,AD 4，点O 为边AD 的中点，如果以点 O2x 1 3(x 1)20.解不等式组： 5 x ，并写出它的所有非负整数解;x 5221. 已知在Rt ABC 中，ACB 90 ,A 30，点M、N分别是边ACAB的中点，点D是线段BM的中点；(1)求证：CN CD ;AB MB(2)求NCD的余切值；22. 某山山脚的M处到山顶的N处有一条长为600米的登山路，小李沿此路从M走到N，停留后再原路返回，其间小李离幵M处的路程y米与离幵M处的时间x分之间的函数关系如图中折线OABCD所示;13(1) 求上山时y 关于x 的函数解析式，并写出定义域;(2) 已知小李下山的时间共 26分钟，其中前18分钟内的平均速度与后 823. 如图，在直角梯形纸片 ABCD 中，DC // AB , AB CD AD , A 90 , 将纸片沿过点D 的直线翻折，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ， 联结EF 并展幵纸片；(1)求证：四边形 ADEF 为正方形；(2)取线段AF 的中点G ，联结GE ，当BG CD 时,求证：四边形GBCE 为等腰梯形;分钟内的平均速度之比为24.已知在直角坐标系中，抛物线 y ax 2 8ax 3(a 0)与y 轴交于点A , 顶点为D ，其对称轴交x 轴于点B ，点P 在抛物线上，且位于抛物线对称 轴的右侧；(1) 当AB BD 时(如图)，求抛物线的表达式；(2) 在第(1)小题的条件下，当DP // AB 时，求点P 的坐标；(3) 点G 在对称轴BD 上，且 AGB - ABD ，求△ ABG 的面积；25. 已知半圆0的直径AB 6，点C 在半圆0上，且tan ABC 2七，点D 为A C 上一点，联结DC ；(1) 求BC 的长；(2) 若射线DC 交射线AB 于点M ，且厶MBC 与厶MOC 相似，求CD 的长;(3) 联结OD ，当OD // BC 时，作 DOB 的平分线交线段DC 于点N，求ON 的长;参考答案一. 选择题1. C2. A3. D4. B5. D6. C二. 填空题7. 1 8. .a b 9. 4 10. x 2 11. 412.-42三. 解答题19. 4 .,3 ;20.5x 2，非负整数解0、1; 321. (1)略；(2);322. (1) y 30x (0 x 20) ; (2) 240 ;23. (1)略；(2)略；1 124. (1) y-x 2 x 3 ； (2) (10,-) ； (3) 10 或 22; 8 26- 6T—ra1-3rb -222od25. (1) BC 2 ； (2) CD 2 ； (3) ON。

杨浦区九年级模拟测试数 学 试 卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列式子属于分式的是 （ ▲ ）（A 2（B ）2x ； （C ）2x ； （D ）2．2．关于x 的方程21(1)104k x k x ---+=有两个实数根，则k 的取值范围是 （ ▲ ） （A ）k <1； （B ）k >1； （C ）k ≤1； （D ）k ≥1．3．将某班女生的身高分成三组，情况如右表所示。

则表中a 的值是 （ ▲ ）（A ）2； （B ）4；4．下列图形是中心对称图形的是）（A ）； （B ）； （C ）； （D ）．5．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 。

给出下列四组条件：①AB //CD ，AD //BC ；②AB =CD ，AD =BC ；③AO =CO ，BO =DO ；④AB //CD ，AD =BC 。

其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有 （ ▲ ） （A ）1组； （B ）2组； （C ）3组； （D ）4组． 6．下列命题正确的是 （ ▲ ） （A ）数轴上的点与有理数一一对应；（B ）若m 为有理数，则不论a 取何实数，等式22()m m a a =总成立； （C ）任何实数都有3次方根； （D ）任何合数都能被2整除．二、填空题：（本大题12题，每题4分，满分48分）第一组 第二组 第三组【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．当0a <时，化简：22a b= ▲ ．8．计算： ()()a a b b a b +-+= ▲ ．9．方程2x x +=的解是： ▲ ． 10．若反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过点（2，-1），则当0x >时，y 随x 的增大而 ▲ ．11．请写出一个二次函数解析式，使得它的图像的对称轴为直线x =2，这个解析式可以是 ▲ ．12．某校男子篮球队队员的年龄如右表所示，那么 他们的平均年龄是 ▲ 岁．13．从1、2、3、4中任取一个数作为十位上的数字，再从2、3、4中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是 ▲ ．14．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是 ▲ ．15．△ABC 的三边中点分别为D 、E 、F ，若△ABC 的面积为5，则△DEF 的面积为 ▲ ． 16．如图，□ABCD 中，点E 在边AD 上，ED =2AE ，设AB a =，BC b =，用,a b 表示AF ,则AF = ▲ ．17．如图，过A 、C 、D 三点的圆的圆心为E ，过B 、F 、E 三点的圆的圆心为D ，如果∠A =63°，那么∠θ= ▲ 度．18．如图，正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△ADE 沿AE 翻折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，若点E 是CD 中点，则BG :CG 的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题10分）设A 是含有根式的代数式，若存在另一个不恒等于零的代数式B ，使乘积AB 不含根式，则称B 为A 的共扼根式。

（长宁青浦）24.（本题满分12分）已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，∠AOB=30°.（1）求点A、B的坐标；等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；（3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知MN=P(m，2）（m>0),求m的值.第24题图（杨浦）24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图，已知抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点为A （-1，0），顶点为B . 点C （5，m ）在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E . （1） 求抛物线的表达式及点E 的坐标； （2） 联结AB ，求∠B 的正切值；（3） 点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标.x yA BE C O （第24题图）（徐汇）24．（本题满分12分）如图10，已知抛物线)0(42≠+=a ax y 与x 轴交于点A 和点)0,2(B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线在第一象限的点． （1）当ABD ∆的面积为4时，① 求点D 的坐标； （4分）② 联结OD ，点M 是该抛物线上的点，且BOD MDO ∠=∠，求点M 的坐标；（4分）（2）直线BD 、AD 分别交y 轴于点E 、F ，那么OF OE +的值是否变化，请说明理由． （4分）（松江）24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），P 是线段BC 上一点，过点P 作PN ∥y 轴交x 轴于点N ，交抛物线于点M ． （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为2，点Q 是第一象限抛物线上的一点，且△QMC 和△PMC 的面积相等，求点Q 的坐标； （3）如果PN PM 23=，求tan ∠CMN 的值．（第24题图）（普陀）24．（本题满分12分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y x x m =-+（m ＞0）的对称轴与比例系数为5的反比例函数图像交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线的图像与y 轴交于点C ，且3OC OB =． （1）求点A 的坐标；（2）求直线AC 的表达式；（3）点E 是直线AC 上一动点，点F 在x 轴上方的平面内，且使以A 、B 、E 、F 为顶点的四边形是菱形，直接写出点F 的坐标．图9（闵行）24．（本题共3小题，其中每小题各4分，满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2(1)3y x m x m=--+经过点A（1-，0），且与y轴相交于点B．（1）求这条抛物线的表达式及点B的坐标；（2）设点C是所求抛物线上一点，线段BC与x轴正半轴相交于点D．如果35BDCD=，求点C的坐标；（3）在（2）条件下，联结AB．求∠ABC的度数．O xy（第24题图）（静安）24．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知二次函数c bx x y ++-=221的图像与x 轴的正半轴相交于点A （2，0）和点B 、 与y 轴相交于点C ，它的顶点为M 、对称轴与x 轴相交于点N ． （1） 用b 的代数式表示顶点M 的坐标； （2） 当tan ∠MAN =2时，求此二次函数的解析式 及∠ACB 的正切值．（嘉定）24．（本题满分12分，每小题4分）在平面直角坐标系xOy （如图7）中，已知点A 的坐标为（3,1），点B 的坐标为（6，5），点C 的坐标为（0,5）；某二次函数的图像经过点A 、点B 与点C . （1）求这个二次函数的解析式；（2）假如点Q 在该函数图像的对称轴上，且△ACQ 是等腰三角形，直接．．写出点Q 的坐标； （3）如果第一象限内的点P 在（1）中求出的二次函数 的图像上，且21tan =∠PCA ，求PCB ∠的正弦值.图7（黄浦）24．（本题满分12分）如图，点A 在函数()40y x x =>图像上，过点A 作x 轴和y 轴的平行线分别交函数xy 1=图像于点B 、C ，直线BC 与坐标轴的交点为D 、E .（1）当点C 的横坐标为1时，求点B 的坐标； （2）试问：当点A 在函数()40y x x=>图像上运动时，△ABC 的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC 的面积；若变化，请说明理由；（3）试说明：当点A 在函数()40y x x=>图像上运动时，线段BD 与CE 的长始终相等.E BCA DxyO图8（奉贤）24．（本题满分12分，每小题4分）如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2经过点A (3，0)和点B (2，3)，过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且（1）求这条抛物线的表达式及对称轴； （2）联结AB 、BC ，求∠ABC 的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当ABC S ∆= 求点D 的坐标．（崇明）24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知抛物线22y ax x c =-+经过ABC ∆AC x ∥轴．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求tan ABC ∠的值；（3）若点D 为抛物线的顶点，点E 是直线AC 上一点，当CDE ∆与ABC ∆相似时，求点E 的坐标．（第24题图）（宝山）24. （本题满分12分，每小题满分各4分)如图7，已知直线221-=x y 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2212-+=bx x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是上述抛物线上一点，如果△ABM 和△ABC 相似，求点M 的坐标；（3）连接AC ，求顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上的矩形DEFC面积最大时，写出该矩形在AB 边上的顶点的坐标．图7（浦东）24.(本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分)已知抛物线23y ax bx =+-经过点(7,3)A -，与x 轴正半轴交于()(,0)6,0B m C m 、两点，与y 轴交于点D .（1）求m 的值；（2）求这条抛物线的表达式；（3）点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当90PQD ∠=,且2PQ DQ =时，求点P Q 、的坐标。

- 1 -杨浦区 2016 学年度第二学期高三年级质量调研数学学科试卷2017.4考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．2．本试卷共有 21 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．一．填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分．1 2 31. 行列式 4 5 6 中, 元素5 的代数余子式的值为.7 8 92. 设实数> 0 , 若函数 f (x ) = cos (x ) + sin(x ) 的最小正周期为, 则=.3. 已知圆锥的底面半径和高均为1, 则该圆锥的侧面积为 .a 4. 设向量 a = (2, 3) , 向量b = (6, t ) . 若与b 的夹角为钝角, 则实数t 的取值范围为.5. 集合 A = {1, 3, a 2} , 集合 B = {a +1, a + 2} . 若 B ⋃ A = A , 则实数a =.6. 设 z , z 是方程 z 2 + 2z + 3 = 0 的两根, 则| z - z |=.12127. 设 f (x ) 是定义在R 上的奇函数, 当 x > 0 时, f (x ) = 2x - 3 . 则不等式 f (x ) < -5的解为 .- 2 -⎨ ⎩a⎧x + y ≤ 12, 8. 若变量 x , y 满足约束条件⎪2x - y ≥ 0, ⎪x - 2 y ≤ 0,则 z = y - x 的最小值为.9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子, 两人相互独立地进行. 则小明掷出的点数不大于2 或小红掷出的点数不小于3 的概率为 .x 2y 2 10. 设 A 是椭圆a2+a 2- 4= 1(a > 0) 上的动点, 点 F 的坐标为(-2, 0) , 若满足| AF |= 10 的点 A 有且仅有两个, 则实数a 的取值范围为.11. 已知 a > 0 , b > 0 , 当(a + 4b )2 +取到最小值时, b =.ab12. 设函数 f (x ) =| x | + | x - a |. 当a 在实数范围内变化时, 在圆盘 x 2 + y 2 ≤ 1内, 且不在任一 f a (x ) 的图像上的点的全体组成的图形的面积为.二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分.13. 设 z ∈ C 且 z ≠ 0 . “ z 是纯虚数”是“ z 2 ∈ R ”的 ( )(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既非充分又非必要条件14. 设等差数列{a n }的公差为 d , d ≠ 0 . 若{a n }的前10 项之和大于其前21 项之和, 则()(A) d < 0(B) d > 0(C) a 16 < 0(D) a 16 > 01- 3 -15. 如图,N 、 S 是球O 直径的两个端点. 圆C 1 是经过 N 和 S 点的大圆, 圆C 2 和圆C 3 分别是所在平面与 NS 垂直的大圆和小圆. 圆C 1 和C 2 交于点 A 、 B , 圆C 1 和C 3交于点C 、 D .设 a 、b 、c 分别表示圆C 1 上劣弧CND 的弧长、圆C 2 上半圆弧 AB的弧长、圆C 3 上半圆弧CD 的弧长. 则 a , b , c 的大小关系为()N(A) b > a = c(B) b = c > a(C) b > a > c(D) b > c > a16. 对于定义在R 上的函数 f (x ) ,若存在正常数 a , b , 使得 f (x + a ) ≤ f (x ) + b 对一切 x ∈ R 均成立, 则称 f (x ) 是“控制增长函数”。

2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷一、填空题1．（4分）三阶行列式中，5的余子式的值是．2．（4分）若实数ω＞0，若函数f（x）=cos（ωx）+sin（ωx）的最小正周期为π，则ω=．3．（4分）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为．4．（4分）设向量=（2，3），向量=（6，t），若与夹角为钝角，则实数t的取值范围为．5．（4分）集合A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，若B∪A=A，则实数a=．6．（4分）设z1、z2是方程z2+2z+3=0的两根，则|z1﹣z2|=．7．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）＜﹣5的解为．8．若变量x、y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为．9．小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为．10．设A是椭圆+=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为（﹣2，0），若满足|AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为．11．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2+取到最小值时，b=．12．设函数f a（x）=|x|+|x﹣a|，当a在实数范围内变化时，在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为．二、选择题13．设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，若{a n}的前10项之和大于其前21项之和，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a16＜0 D．a16＞015．如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（）A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a16．对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f（x）是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f （x）=x2+x+1；②f（x）=；③f（x）=sin（x2）；④f（x）=x•sinx．是“控制增长函数”的有（）A．②③B．③④C．②③④D．①②④三、解答题17．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，P、Q分别是棱BC与B1C1的中点．（1）求异面直线D1P和A1Q所成角的大小；（2）求以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．18．（14分）已知函数f（x）=．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）若不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解，求c的取值范围．19．（14分）如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P 点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）20．（16分）设数列{a n}满足a n=A•4n+B•n，其中A、B是两个确定的实数，B≠0．（1）若A=B=1，求{a n}的前n项之和；（2）证明：{a n}不是等比数列；（3）若a1=a2，数列{a n}中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项？证明你的结论．21．（18分）设双曲线Γ的方程为x2﹣=1，过其右焦点F且斜率不为零的直线l1与双曲线交于A、B两点，直线l2的方程为x=t，A、B在直线l2上的射影分别为C、D．（1）当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积；（2）当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时，试比较和1的大小，并说明理由；（3）是否存在实数t∈（﹣1，1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．三阶行列式中，5的余子式的值是﹣12．【考点】OU：特征向量的意义．【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：=﹣12故答案为﹣12．【点评】本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．2．若实数ω＞0，若函数f（x）=cos（ωx）+sin（ωx）的最小正周期为π，则ω= 2．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得ω的值．【解答】解：实数ω＞0，若函数f（x）=cos（ωx）+sin（ωx）=sin（ωx+）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．3．已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为1，∴母线长l为：=，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×1×=π，故答案为：π．【点评】题考查了圆锥的侧面积的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．4．设向量=（2，3），向量=（6，t），若与夹角为钝角，则实数t的取值范围为（﹣∞，﹣4）．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意可得＜0，且、不共线，即，由此求得实数t的取值范围．【解答】解：若与夹角为钝角，向量=（2，3），向量=（6，t），则＜0，且、不共线，∴，求得t＜﹣4，故答案为：（﹣∞，﹣4）．【点评】本题主要考查两个向量的数量公式，两个向量共线的性质，属于基础题．5．集合A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，若B∪A=A，则实数a=2．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】根据并集的意义，由A∪B=A得到集合B中的元素都属于集合A，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值．【解答】解：由A∪B=A，得到B⊆A，∵A={1，3，a2}，集合B={a+1，a+2}，∴a+1=1，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=1，或a+1=3，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=3，解得：a=2．故答案为2．【点评】此题考查了并集的意义，以及集合中元素的特点．集合中元素有三个特点，即确定性，互异性，无序性．学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值．6．设z1、z2是方程z2+2z+3=0的两根，则|z1﹣z2|=2．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】求出z，即可求出|z1﹣z2|．【解答】解：由题意，z=﹣1±i，∴|z1﹣z2|=|2i|=2，故答案为2．【点评】本题考查复数的运算与球模，考查学生的计算能力，比较基础．7．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x）＜﹣5的解为（﹣∞，﹣3）．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0，解不等式即可．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x﹣3=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x+3，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）＜﹣5等价为2x﹣3＜﹣5即2x＜﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x）＜﹣5等价为﹣2﹣x+3＜﹣5即2﹣x＞8，得﹣x＞3，即x＜﹣3；当x=0时，f（0）=0，不等式f（x）＜﹣5不成立，综上，不等式的解为x＜﹣3．故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）．故答案为（﹣∞，﹣3）．【点评】本题主要考查不等式的解集的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．8．若变量x、y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为﹣4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（8，4），化目标函数z=y﹣x，得y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A（8，4）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数m=2×6+6×4﹣2×4=28，由此能求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率．【解答】解：小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，基本事件总数n=6×6=36，小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数：m=2×6+6×4﹣2×4=28，∴小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为：p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．设A是椭圆+=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为（﹣2，0），若满足|AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为8＜a＜12．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意，F是椭圆的焦点，满足|AF|=10的点A有且仅有两个，可得a ﹣2＜10＜a+2，即可得出结论．【解答】解：由题意，F是椭圆的焦点，∵满足|AF|=10的点A有且仅有两个，∴a﹣2＜10＜a+2，∴8＜a＜12，故答案为：8＜a＜12．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．11．已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2+取到最小值时，b=．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据基本不等式，，a=4b时取等号，进而得出，进一步可求出a=1，时，取到最小值，即求出了此时的b的值．【解答】解：∵a＞0，b＞0；∴，当a=4b时取“=”；∴（a+4b）2≥16ab；∴=8，当，即，a=1时取“=”；此时，b=．故答案为：．【点评】考查基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件，不等式的性质．12．设函数f a（x）=|x|+|x﹣a|，当a在实数范围内变化时，在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得函数f a（x）=|x|+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象，进而可得在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点单位圆的，由圆的面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f a（x）=|x|+|x﹣a|，当a变化时，其图象为在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点单位圆的，则其面积S=×π=；故答案为：．【点评】本题考查函数的图象，关键是分析函数f a（x）=|x|+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象．二、选择题13．设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．即可判断出结论．【解答】解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．∴“z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，若{a n}的前10项之和大于其前21项之和，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a16＜0 D．a16＞0【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由{a n}的前10项之和大于其前21项之和，得到a1＜﹣15d，由此得到a16=a1+15d＜0．【解答】解：等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵{a n}的前10项之和大于其前21项之和，∴10a1+＞21a1+d，∴11a1＜﹣165d，即a1＜﹣15d，∴a16=a1+15d＜0．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（）A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】分别计算a，b，c，即可得出结论．【解答】解：设球的半径为R，球心角∠COD=2α，则b=πR，a=2αR，∵CD＜AB，∴c＜b，∵CD=2Rsinα，∴c=2πRsinα，∵0＜α＜，∴=＞1，∴c＞a，∴b＞c＞a，故选D．【点评】本题考查球中弧长的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．16．对于定义在R上的函数f（x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f（x）是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f （x）=x2+x+1；②f（x）=；③f（x）=sin（x2）；④f（x）=x•sinx．是“控制增长函数”的有（）A．②③B．③④C．②③④D．①②④【考点】3T：函数的值．【分析】假设各函数为“控制增长函数”，根据定义推倒f（x+a）≤f（x）+b恒成立的条件，判断a，b的存在性即可得出答案．【解答】解：对于①，f（x+a）≤f（x）+b可化为：（x+a）2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤对一切x∈R均成立，由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b，故f（x）=x2+x+1不是“控制增长函数”；对于②，若f（x）=是“控制增长函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为：≤+b，∴|x+a|≤|x|+b2+2b恒成立，又|x+a|≤|x|+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b，∴≥，显然当a＜b2时式子恒成立，∴f（x）=是“控制增长函数”；对于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，∴当b≥2时，a为任意正数，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“控制增长函数”；对于④，若f（x）=xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，∵（x+a）sin（x+a）≤x+a，∴x+a≤xsinx+b≤x+b，即a≤b，∴f（x）=xsinx是“控制增长函数”．故选C．【点评】本题考查了新定义的理解，函数存在性与恒成立问题研究，属于中档题．三、解答题17．（14分）（2017•杨浦区二模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，P、Q分别是棱BC与B1C1的中点．（1）求异面直线D1P和A1Q所成角的大小；（2）求以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线D1P和A1Q所成角．（2）以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积V=．【解答】解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D1（0，0，4），P（2，4，0），A1（4，0，4），Q（2，4，4），=（2，4，﹣4），=（﹣2，4，0），设异面直线D1P和A1Q所成角为θ，则cosθ===，∴θ=arccoa．∴异面直线D1P和A1Q所成角为arccos．（2）∵==8，PQ⊥平面A1D1Q，且PQ=4，∴以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积：V===．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查四面体的体积的求法，是中档题，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想．18．（14分）（2017•杨浦区二模）已知函数f（x）=．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）若不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解，求c的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用奇函数的定义，即可得出结论；（2）f（x）===﹣+∈（﹣，），不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解，可得＞log9（2c﹣1），即可求c的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为R，f（x）==，f（﹣x）==﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数；（2）f（x）===﹣+∈（﹣，）∵不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解，∴＞log9（2c﹣1），∴0＜2c﹣1＜3，∴．【点评】本题考查奇函数的定义，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）（2017•杨浦区二模）如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）【考点】HU：解三角形的实际应用；HS：余弦定理的应用．【分析】（1）由P为于∠BAC的角平分线上，利用几何关系，分别表示丨PQ 丨，丨PR丨，丨RQ丨，即可求得三条街道的总长度；（2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°，根据三角函数关系及余弦定理，即可求得丨PQ 丨，丨PR丨，丨RQ丨，则总效益W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ丨×400，利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）由P位于弧BC的中点，在P位于∠BAC的角平分线上，则丨PQ丨=丨PR丨=丨PA丨sin∠PAB=2×sin30°=2×=1，丨AQ丨=丨PA丨cos∠PAB=2×=，由∠BAC=60°，且丨AQ丨=丨AR丨，∴△QAB为等边三角形，则丨RQ丨=丨AQ丨=，三条街道的总长度l=丨PQ丨+丨PR丨+丨RQ丨=1+1+=2+；（2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°，则丨PQ丨=丨AP丨sinθ=2sinθ，丨PR丨=丨AP丨sin（60°﹣θ）=2sin（60°﹣θ）=cosθ﹣sinθ，丨AQ丨=丨AP丨cosθ=2cosθ，丨AR丨=丨AP丨cos（60°﹣θ）=2cos（60°﹣θ）=cosθ+sinθ由余弦定理可知：丨RQ丨2=丨AQ丨2+丨AR丨2﹣2丨AQ丨丨AR丨cos60°，=（2cosθ）2+（cosθ+sinθ）2﹣2×2cosθ（cosθ+sinθ）cos60°，=3，则丨RQ丨=，三条街道每年能产生的经济总效益W，W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ 丨×400=300×2sinθ+（cosθ﹣sinθ）×200+400=400sinθ+200cosθ+400，=200（2sinθ+cosθ）+400，=200sin（θ+φ）+400，tanφ=，当sin（θ+φ）=1时，W取最大值，最大值为200+400≈1222，三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．【点评】本题考查三角函数的综合应用，考查余弦定理，正弦函数图象及性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．20．（16分）（2017•杨浦区二模）设数列{a n}满足a n=A•4n+B•n，其中A、B是两个确定的实数，B≠0．（1）若A=B=1，求{a n}的前n项之和；（2）证明：{a n}不是等比数列；（3）若a1=a2，数列{a n}中除去开始的两项之外，是否还有相等的两项？证明你的结论．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；（2）运用反证法，假设{a n}是等比数列，由定义，设公比为q，化简整理推出B=0与题意矛盾，即可得证；（3）数列{a n}中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，由题意可得B=﹣12A，构造函数f（x）=4x﹣12x，x＞0，求出导数和单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）由a n=4n+n，可得{a n}的前n项之和为（4+42+…+4n）+（1+2+…+n）=+n（n+1）=（4n﹣1）+（n2+n）；（2）证明：假设{a n}是等比数列，即有=q（q为公比），即为Aq•4n+Bq•n=A•4n+1+B•（n+1），即Aq=4A，Bq=B，B=0，解得q=4，B=0，这与B≠0矛盾，则{a n}不是等比数列；（3）若a1=a2，数列{a n}中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，设为a k=a m，（k，m不相等），由a1=a2，可得4A+B=16A+2B，即B=﹣12A．则a n=A•4n+B•n=A（4n﹣12•n），即有A（4k﹣12•k）=A（4m﹣12•m），即为4k﹣12•k=4m﹣12•m，构造函数f（x）=4x﹣12x，x＞0，f′（x）=4x ln4﹣12，由f′（x）=0可得x0=log4∈（1，2），当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）递增，故数列{a n}中除去开始的两项之外，再没有相等的两项．【点评】本题考查数列的求和方法：分组求和，考查等比数列和等差数列的求和公式，同时考查反证法的运用，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（18分）（2017•杨浦区二模）设双曲线Γ的方程为x2﹣=1，过其右焦点F且斜率不为零的直线l1与双曲线交于A、B两点，直线l2的方程为x=t，A、B在直线l2上的射影分别为C、D．（1）当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积；（2）当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时，试比较和1的大小，并说明理由；（3）是否存在实数t∈（﹣1，1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】（1）由双曲线Γ的方程为x2﹣=1，可得c==2，可得右焦点F（2，0）．当l1垂直于x轴，t=﹣2时，由双曲线的对称性可得：四边形ABDC 为矩形．即可得出面积．（2）作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN，垂足为M；BD⊥MN，垂足为N．利用双曲线的第二定义可得：=，==．（3）存在实数t∈（﹣1，1），t=时，定点．下面给出证明分析：设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），A（x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2））．则C（t，k（x1﹣2）），D（t，k（x2﹣2））．直线方程与双曲线方程联立化为：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，分别得出：直线AD与BC的方程，进而得出．【解答】解：（1）由双曲线Γ的方程为x2﹣=1，可得c==2，可得右焦点F（2，0）．当l1垂直于x轴，t=﹣2时，由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形．代入双曲线可得：22﹣=1，焦点y=±3．∴四边形ABDC的面积S=4×6=24．（2）作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN，垂足为M；BD⊥MN，垂足为N．则==+．===．∵|AF|＞|FB|，∴＜．∴＜1．（3）存在实数t∈（﹣1，1），t=时，定点．下面给出证明：设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），A（x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2））．则C（t，k（x1﹣2）），D（t，k（x2﹣2））．联立，化为：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，可得x1+x2=，x1•x2=．直线AD的方程为：y﹣k（x1﹣2）=（x﹣x1），令y=0，解得x=．直线BC的方程为：y﹣k（x2﹣2）=（x﹣x2），令y=0，解得x=．由=，可得：（2+t）（x1+x2）﹣2x1•x2﹣4t=0．∴（2+t）•﹣2•﹣4t=0．化为：t=，不妨取k=1，则2x2+4x﹣7=0，解得x=．不妨取x1=，x2=．定点的横坐标x===．∴定点坐标．【点评】本题考查了双曲线的第二定义、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

上海市杨浦区2017届高三二模数学试题一、填空题1、行列式987654321中，元素5的代数余子式2、设实数()()x x fx ωωωsin cos ,0+=>若函数的最小正周期为=ωπ，则3、已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为4、设向量()()t b a ,6,3,2==，若与的夹角为钝角，则实数t 的取值范围5、集合{}2,3,1a A =，集合{}2,1++=a a B a A A B 则实数若,=⋃＝6、设21221-032,z z z z z z 的两根，则是方程=++= 7、设()R x f 是定义在上的奇函数，当()()的解集则不等式时，5,320-<-=>x f x f x x8、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≤+020212y x y x y x ，则y x z -=的最小值为9、小明和小红各自扔一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立的进行，则小明扔出的点数不大于2或小红扔出的点数不小于3的概率为10、设）的坐标（上的动点，点是椭圆0,2-)0(142222F a a y a x A >=-+，若满足A AF 的点10=有且仅有两个，则实数a 的取值范围为11、已知()=++>>b abb a b a 取得最小值时，当14,0,02 12、设函数()1,22≤+-+=y x a a x x x f 在圆盘在实数范围内变化时，当α内，且不在任一()x f α的图像上的点的全体组成的图形面积二、选择题13、”的是纯虚数”是““且设R z z z C z ∈≠∈2,0 A,充分非必要 B 、必要非充分 C 、充要条件 D 、即非充分又非必要14、设等差数列{}n a 的公差为0,≠d d ，若{}n a 的前10项和大于其前21项和，则A 、0<dB 、0>dC 、016<aD 、016>a15、如图，S N C O S N 和是经过直径的两个端点，圆是球1,点的大圆，32C C 和圆圆分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆。

2017年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（）A．实数B．有理数C．有序实数对D．有序有理数对2．化简（a≠0）的结果是（）A．a B．﹣a C．﹣a D．a3．通常在频率分布直方图中，用每小组对应的小矩形的面积表示该小组的组频率．因此，频率分布直方图的纵轴表示（）A．B．C．D．4．如果用A表示事件“若a＞b，则a+c＞b+c”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（）A．P（A）=1 B．P（A）=0 C．0＜P（A）＜1 D．P（A）＞15．下列判断不正确的是（）A．如果=，那么||=||B． +=+C．如果非零向量=k•（k≠0），那么∥D． +=06．下列四个命题中真命题是（）A．矩形的对角线平分对角B．平行四边形的对角线相等C．梯形的对角线互相垂直D．菱形的对角线互相垂直平分二、填空题（本大题12小题，每小题4分，共48分）7．两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是．8．化简：=．9．在实数范围内分解因式：a3﹣2a=．10．不等式组的解集是．11．方程的解是：x=．12．已知点A（2，﹣1）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，那么当x＞0时，y随x的增大而．13．如果将抛物线y=x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，那么此时抛物线的表达式是．14．如表记录的是某班级女生在一次跳绳练习中跳绳的次数及相应的人数，则该班级女生本次练习中跳绳次数的平均数是次数40506070人数234115．如图，已知：△ABC中，∠C=90°，AC=40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC=5：3，则D点到AB的距离是．16．正十二边形的中心角是度．17．如图，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为α，在甲楼的顶部A 处测得乙楼的顶部D点的俯角为β，如果乙楼的高DC=10米，那么甲楼的高AB=米（用含α，β的代数式表示）18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，将△ABC翻折，使得点B与边AC的中点M重合，如果折痕与边AB的交点为E，那么BE的长为．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．（10分）计算：27﹣（）﹣1÷3+80﹣（﹣2）2．20．（10分）解方程：．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，tanA=，AB=14，（1）求：△ABC的面积；（2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆A的半径．22．（10分）水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x 千克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为y1元和y2元，已知y1、y2关于x的函数图象分别为如图所示的折线OAB和射线OC．（1）当x的取值为时，在甲乙两家店所花钱一样多？（2）当x的取值为时，在乙店批发比较便宜？（3）如果批发30千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜50元，求射线AB的表达式，并写出定义域．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD中，DB⊥BC，DB平分∠ADC，点E为边CD的中点，AB⊥BE．（1）求证：BD2=AD•DC；（2）连结AE，当BD=BC时，求证：ABCE为平行四边形．24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．25．（14分）已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，联结AE．（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；（2）当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长；（3）联结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．2017年上海市杨浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）1．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（）A．实数B．有理数C．有序实数对D．有序有理数对【考点】D1：点的坐标．【分析】根据平面直角坐标系与有序实数对的关系，可得答案．【解答】解：有序实数对与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系，故选：C【点评】本题考查了点的坐标，平面直角坐标系与有序实数对是一一对应关系．2．化简（a≠0）的结果是（）A．a B．﹣a C．﹣a D．a【考点】73：二次根式的性质与化简．【分析】二次根式有意义，则a＜0，根据二次根式的性质解答．【解答】解：有意义，则a＜0，﹣a＞0，原式=﹣a．故选C．【点评】本题考查了二次根式的化简，注意二次根式的结果为非负数及题目的隐含条件a＜0．二次根式的性质：=|a|．3．通常在频率分布直方图中，用每小组对应的小矩形的面积表示该小组的组频率．因此，频率分布直方图的纵轴表示（）A．B．C．D．【考点】V8：频数（率）分布直方图．【分析】根据频率分布直方图中纵横坐标的意义，易得长方形的面积为长乘宽，即组距×频率/组距=频率；即答案．【解答】解：在频率直方图中纵坐标表示频率/组距，横坐标表示组距，则小长方形的高表示频率/组距，小长方形的长表示组距，则长方形的面积为长乘宽，即组距×频率/组距=频率；故选：B．【点评】本题考查频率直方图中横纵坐标表示的意义．4．如果用A表示事件“若a＞b，则a+c＞b+c”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（）A．P（A）=1 B．P（A）=0 C．0＜P（A）＜1 D．P（A）＞1【考点】X3：概率的意义．【分析】根据不等式的基本性质1知事件A是必然事件，由概率的意义可得答案．【解答】解：若a＞b，根据不等式的基本性质知a+c＞b+c必然成立，∴事件A是必然事件，∴P（A）=1，故选：A．【点评】本题主要考查概率的意义及不等式的基本性质，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键．5．下列判断不正确的是（）A．如果=，那么||=||B． +=+C．如果非零向量=k•（k≠0），那么∥D． +=0【考点】LM：*平面向量．【分析】根据模的定义，可确定A正确；根据平面向量的交换律，可判定B正确，又由如果非零向量非零向量=k•（k≠0），那么∥或共线，可得C错误；利用相反向量的知识，可判定D正确．【解答】解：A、如果=，那么||=||，故此选项正确；B、+=+，故本选项正确；C、如果非零向量=k•（k≠0），那么∥或共线，故此选项错误；D、+=0，故此选项正确；故选：C．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意理解平面向量有关的定义是关键．6．下列四个命题中真命题是（）A．矩形的对角线平分对角B．平行四边形的对角线相等C．梯形的对角线互相垂直D．菱形的对角线互相垂直平分【考点】O1：命题与定理．【分析】由矩形、菱形、梯形和平行四边形对角线的性质作出判断，从而利用排除法得出答案．【解答】解：矩形的对角线不能平分对角，A错误；平行四边形的对角线平分，但不一定相等，B错误．梯形的对角线不一定互相垂直，C错误；根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，D正确；故选：D．【点评】本题考查了命题与定理；熟记矩形、菱形、梯形和平行四边形对角线的性质是解决问题的关键．二、填空题（本大题12小题，每小题4分，共48分）7．两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是和﹣（答案不唯一）．【考点】26：无理数．【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可求解【解答】解：∵两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是和﹣．（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了无理数的定义和性质，解题时注意无理数的积不一定是无理数．8．化简：=﹣．【考点】66：约分．【分析】先将分子与分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，将分子与分母的公因式约去，即可求解．【解答】解：==﹣，故答案为：﹣．【点评】此题考查了约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去．9．在实数范围内分解因式：a3﹣2a=a（a+）（a﹣）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解：a3﹣2a=a（a2﹣2）=a（a+）（a﹣）．故答案为：a（a+）（a﹣）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．10．不等式组的解集是4＜x＜5．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】根据不等式分别求出x的取值范围，画出坐标轴，在其上表示出来x．【解答】解：不等式组可以化为：，在坐标轴上表示为：∴不等式组的解集为：4＜x＜5．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x 介于两数之间．11．方程的解是：x=±2．【考点】AG：无理方程．【分析】对方程左右两边同时平方，可得x2+5=9，进而解可得x的值．【解答】解：根据题意，有，左右两边同时平方可得x2+5=9；解之，可得：x=±2．故答案为：±2．【点评】本题考查含二次根式的无理方程的解法，一般先化为一次或二次方程，再求解，答案注意根式有意义的条件．12．已知点A（2，﹣1）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，那么当x＞0时，y随x的增大而增大．【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】首先将点A的坐标代入解析式求得k值，然后根据反比例函数的性质确定其增减性即可．【解答】解：∵点A（2，﹣1）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=2×（﹣1）=﹣2＜0，∴在每一象限内y随着x的增大而增大，故答案为：增大．【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是利用待定系数法确定比例系数的值，难度不大．13．如果将抛物线y=x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，那么此时抛物线的表达式是y=（x+4）2﹣2．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【解答】解：函数y=x2向左平移4个单位，得：y=（x+4）2；再向下平移2个单位后，得：y=（x+4）2﹣2．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14．如表记录的是某班级女生在一次跳绳练习中跳绳的次数及相应的人数，则该班级女生本次练习中跳绳次数的平均数是54次数40506070人数2341【考点】W2：加权平均数．【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．【解答】解：该班级女生本次练习中跳绳次数的平均数是==54．故答案为54．【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求40，50，60，70这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．15．如图，已知：△ABC中，∠C=90°，AC=40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC=5：3，则D点到AB的距离是15．【考点】KF：角平分线的性质．【分析】先求出CD的长，再根据角平分线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AC=40，AD：DC=5：3，∴CD=40×=15．∵BD平分∠BAC交AC于D，∴D点到AB的距离是15．故答案为：15．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．16．正十二边形的中心角是30度．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】根据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：360°÷12=30°．【解答】解：正十二边形的中心角是：360°÷12=30°．故答案为：30．【点评】此题考查了正多边形的中心角．此题比较简单，注意准确掌握定义是关键．17．如图，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为α，在甲楼的顶部A 处测得乙楼的顶部D点的俯角为β，如果乙楼的高DC=10米，那么甲楼的高AB= +10米（用含α，β的代数式表示）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】作AH⊥CD交CD的延长线于H，根据正切的概念分别求出DC、DH，计算即可．【解答】解：作AH⊥CD交CD的延长线于H，在Rt△DBC中，tan∠DBC=，则AH=BC=，在Rt△AHD中，tan∠DAH=，DH=AH×tanβ=，∴AB=CH=CD+DH=+10，故答案为： +10．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，将△ABC翻折，使得点B与边AC的中点M重合，如果折痕与边AB的交点为E，那么BE的长为．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KW：等腰直角三角形．【分析】作DG⊥AE，先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△BEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠AED=CDF，设CF=x，则DF=FB=4﹣x，根据勾股定理求出CF，可知tan∠AED=tanCDF，在Rt△ADG和Rt△EDG分别求出DG、EG，然后根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：作DG⊥BE，∵△DEF是△BEF翻折而成，∴△DEF≌△BEF，∠B=∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠AED+45°，∴∠AED=∠CDF，∵CA=CB=4，CD=AD=2，设CF=x，∴DF=FB=4﹣x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+4=（4﹣x）2，解得x=，∵∠A=45°，AD=2，∴AG=DG=，∵tan∠AED=tanCDF==，∴=，∴=，∴EG=，∴DE=BE==．故答案为：．【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质以及锐角三角函数的综合运用，涉及面较广，但难易适中．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19．（10分）（2017•杨浦区二模）计算：27﹣（）﹣1÷3+80﹣（﹣2）2．【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【分析】原式利用分数指数幂，零指数幂、负整数指数幂法则，以及完全平方公式化简即可得到结果．【解答】解：原式=3﹣1+1﹣7+4=7﹣7．【点评】此题考查了实数的运算，分数指数幂，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）（2017•杨浦区二模）解方程：．【考点】B3：解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3（1﹣x）﹣（x+3）=（1﹣x）（x+3），整理得：x2﹣2x﹣3=0，即（x+1）（x﹣3）=0，解得：x1=﹣1，x1=3，经检验x1=﹣1，x1=3都是原方程的根．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．21．（10分）（2017•杨浦区二模）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，tanA=，AB=14，（1）求：△ABC的面积；（2）若以C为圆心的圆C与直线AB相切，以A为圆心的圆A与圆C相切，试求圆A的半径．【考点】MJ：圆与圆的位置关系；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）过C作CD⊥AB于D，解直角三角形得到CD=，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据圆C与直线AB相切，得到⊙C的半径=，根据勾股定理得到AC==，设⊙A的半径为r，当圆A与圆C内切时，当圆A与圆C外切时即可得到结论．【解答】解：（1）过C作CD⊥AB于D，∵tanA==，∴AD=，∵∠ABC=45°，∴BD=CD，∵AB=14，∴+CD=15，∴CD=，∴△ABC的面积=AB•CD=×15×=；（2）∵以C为圆心的圆C与直线AB相切，∴⊙C的半径=，∵AD=，∴AC==，设⊙A的半径为r，当圆A与圆C内切时，r﹣=，∴r=，当圆A与圆C外切时，r+=，∴r=，综上所述：以A为圆心的圆A与圆C相切，圆A的半径为：或．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积的计算，解直角三角形，注意分类讨论思想的应用．22．（10分）（2017•杨浦区二模）水果市场的甲、乙两家商店中都有批发某种水果，批发该种水果x千克时，在甲、乙两家商店所花的钱分别为y1元和y2元，已知y1、y2关于x的函数图象分别为如图所示的折线OAB和射线OC．（1）当x的取值为20千克时，在甲乙两家店所花钱一样多？（2）当x的取值为0＜x＜20时，在乙店批发比较便宜？（3）如果批发30千克该水果时，在甲店批发比在乙店批发便宜50元，求射线AB的表达式，并写出定义域．【考点】FH：一次函数的应用．【分析】（1）利用两个函数图象的交点坐标即可解决问题．（2）根据y2的图象在y1的下方，观察图象即可解决问题．（3）设AB的解析式为y=kx+b，由题意OC的函数解析式为y=10x，可得方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）由图象可知，x=20千克时，y1=y2，故答案为20千克．（2）由图象可知，0＜x＜20时，在乙店批发比较便宜．故答案为0＜x＜20．（3）设AB的解析式为y=kx+b，由题意OC的函数解析式为y=10x，∴，解得，∴射线AB的表达式y=5x+100（x≥10）．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵活运用一次函数的性质解决问题，学会利用图象解决实际问题，属于中考常考题型．23．（12分）（2017•杨浦区二模）已知：如图，四边形ABCD中，DB⊥BC，DB 平分∠ADC，点E为边CD的中点，AB⊥BE．（1）求证：BD2=AD•DC；（2）连结AE，当BD=BC时，求证：ABCE为平行四边形．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到BE=DE，由等腰三角形的性质得到∠DBE=∠BDE，根据角平分线的定义得到∠ADB=∠BDE，等量代换得到∠ADB=∠DBE，根据平行线的判定定理得到AD∥BE，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由已知条件得到△BDC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BDC=45°，求得∠ADE=90°，推出四边形ADEB是矩形，根据矩形的性质得到AB=DE，AE=BD，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，点E为边CD的中点，∴BE=DE，∴∠DBE=∠BDE，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDE，∴∠ADB=∠DBE，∴AD∥BE，∵AB⊥BE，∴∠A=∠ABE=90°，∵∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，∴△ADB∽△BDC，∴，∴BD2=AD•DC；（2）解：∵BD=BC，∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠BDC=45°，∴∠ADE=90°，∴四边形ADEB是矩形，∴AB=DE，AE=BD，∴AB=CE，AE=BC，∴四边形ABCE为平行四边形．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．24．（12分）（2017•杨浦区二模）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B．点C（5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由对称轴可求得a的值，再把A点坐标代入可求得c的值，则可求得抛物线表达式，则可求得B、C的坐标，由待定系数法可求得直线BC的解析式，可求得E点坐标；（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、AC和BC的长，可判定△ABC是以BC 为斜边的直角三角形，利用三角形的定义可求得答案；（3）设M（x，0），当∠GCM=∠BAE时，可知△AMC为等腰直角三角形，可求得M点的坐标；当∠CMG=∠BAE时，可证得△MEC∽△MCA，利用相似三角形的性质可求得x的值，可求得M点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为x=1，∴﹣=1，解得a=，把A点坐标代入可得+1+c=0，解得c=﹣，∴抛物线表达式为y=x2﹣x﹣，∵y=x2﹣x﹣=（x﹣1）2﹣2，∴B（1，﹣2），把C（5，m）代入抛物线解析式可得m=﹣5﹣=6，∴C（5，6），设直线BC解析式为y=kx+b，把B、C坐标代入可得，解得，∴直线BC解析式为y=2x﹣4，令y=2可得2x﹣4=0，解得x=2，∴E（2，0）；（2）∵A（﹣1，0），B（1，﹣2），C（5，6），∴AB=2，AC==6，BC==4，∴AB2+AC2=8+72=80=BC2，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形，∴tan∠B===3；（3）∵A（﹣1，0），B（1，﹣2），∴∠CAE=∠BAE=45°，∵GM⊥BC，∴∠CGM+∠GCB=∠GCB+∠ABC=90°，∴∠CGM=∠ABC，∴当△CGM与△ABE相似时有两种情况，设M（x，0），则C（x，2x﹣4），①当∠GCM=∠BAE=45°时，则∠AMC=90°，∴MC=AM，即2x﹣4=x+1，解得x=5，∴M（5，0）；②当∠GMC=∠BAE=∠MAC=45°时，∵∠MEC=∠AEB=∠MCG，∴△MEC∽△MCA，∴=，即=，∴MC2=（x﹣2）（x+1），∵C（5，6），∴MC2=（x﹣5）2+62=x2﹣10x+61，∴（x﹣2）（x+1）=x2﹣10x+61，解得x=7，∴M（7，0）；综上可知M点的坐标为（5，0）或（7，0）．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意利用对称轴求得a的值是解题的关键，在（2）中证得△ABC为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用相似三角形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．25．（14分）（2017•杨浦区二模）已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC 于点E，联结AE．（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；（2）当扇形的半径长为5，且AC=6时，求线段DE的长；（3）联结BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）利用矩形的性质，只要证明△OAC是等边三角形，即可解决问题．（2）如图2中，作OH⊥AD于H．由△AOH∽△ADO，推出=，推出=，可得AD=，CD=AD﹣AC=，由DE∥OA，可得=，求出DE即可．（3）如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°．连接AB、BC，由∠BCD=∠BAC+∠ABC，又∠BAC=∠BOC，∠ABC=∠AOC，即可推出∠BCD=∠BOC+∠AOC=（∠BCO+∠AOC）=×90°=45°．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=EC，AC=CD，OC=CE，∠AOD=90°∴AC=OC=OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠ADO=90°﹣∠OAD=30°．（2）如图2中，作OH⊥AD于H．∵OA=OC，OH⊥AC，∴AH=HC=3，∵∠OAH=∠OAD，∠AHO=∠AOD，∴△AOH∽△ADO，∴=，∴=，∴AD=，∴CD=AD﹣AC=，∵DE⊥OD，∴∠EDO=90°，∴∠AOD+∠EDO=180°，∴DE∥OA，∴=，∴=，∴DE=．（3）如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD=45°．理由：连接AB、BC．∵∠BCD=∠BAC+∠ABC，又∵∠BAC=∠BOC，∠ABC=∠AOC，∴∠BCD=∠BOC+∠AOC=（∠BCO+∠AOC）=×90°=45°．【点评】本题考查圆综合题、矩形的性质、圆周角定理、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．。