基于广义S变换的x-f-k变换

石油天然气学报（江汉石油学院学报）　２０１　１年１　０月第３３卷第１０期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｏｉｌ　ａｎｄ　Ｇａｓ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｊ．ＪＰＩ）　Ｏｃｔ．２０　１　１　Ｖｏ１．３３　Ｎｏ．１０　

基于广义Ｓ变换的　ｆ－ｋ　

胥德平，郭　科　（数学地质四Ｊ　Ｉ　ｌ省重点实验室；成都理工大学管理科学学院，四』Ｉ　Ｉ成都６１　００５９）　

［摘要］对于在时频域上分散的噪声信号，很难在传统的频率一波数（ｆ－ｋ）平面上找到单一的合适的滤波　

区域。基于Ｓ变搀的空间～频率一波数（　ｆ　ｋ）变换（ＳＸＦＫ）是一种依据偏移距变换的严　域滤波，能　很好地解决该问题。然而，ＳＸＦＫ变换是基于Ｓ变换的固定的基本小波，使其在应用中会受到限制。提出　基于广义ｓ变换的ｒ　ｋ变换（ＧＳＸＦＫ），通过调节参数得到更加灵活的空域窗函数，使其更能适应于频　

率波数域滤波，推广了ＳＸＦＫ变换。　［关键词］广义ｓ变换ｉ频率波数域；滤波　［中图分类号］Ｐ６３１．４４　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１０００—９７５２（２０１１）１０—００７６—０３　

面波是地震资料中能量很强的规则干扰噪声，面波干扰会降低地震资料的信噪比，严重影响地震数　

据处理的质量。根据面波的特点，有许多消除面波的方法，如小波变换、，　走滤波、ｒ　滤波等，这些方法　

在不同地区的地震数据处理都有一定效果。在１９９６年，Ｓｔｏｃｋｗｅｌｌ等ｕ　提出了Ｓ变换，它采用尺度可以　

变化的局部高斯窗函数，其时频分辨率随着频率发生变化。利用Ｓ变换有良好的局部滤波性能，将Ｓ变　

换用于地震降噪具有较好的优势　］。但对于高度分散的面波，每道信号在ｓ变换的时频域会有一个很宽　

的面波时频区域，这时以局部滤波性好的Ｓ变换对面波的压制不再有突出的优势，同时对于在时频域上　

高度分散的面波，也很难在传统的　平面找到一个单一的合适的滤波区域。因而Ａｓｋａｒｉ和Ｓｉａｈｋｏｏｈｉ　

提出ｒ一种基于ｓ变换的ａ￣ｆ－ｋ变换（ＳＸＦＫ）［３３，它是一种依据偏移距变换的ｆ－ｋ域滤波。ＳＸＦＫ变换　

则可根据不同的偏移距在频率波数域找出依偏移距变化的滤波区域，取得了很好的效果。　

然而，ＳＸＦＫ变换是基于ｓ变换所使用固定形态的基本小波，使其在应用中受到限制。笔者对空间　

域的基本小波改造，将．ｒ，　是变换推广到基于广义Ｓ变换的　ｆ－ｋ变换（ＧＳＸＦＫ），通过调节参数得到　

更加灵活的窗函数，以便适应不同的地震数据，使其更加灵活地适应于频率空间波数域的分析。ＳＸＦＫ　

变换只是推广后的ＧＳＸＦＫ变换的特殊情形。　

ｌ基于广义Ｓ变换的　一ｋ变换（ＧＳＸＦＫ）　

对二维信号，、（ｔ，　），定义基于Ｓ变换的　ｆ－ｋ变换［３　为：　

ＳＸＦＫ（）［，／，是）一ｒ　ｒ　－，　刊　ｊＩ＿　ｅ　ｅ圳Ⅶｄ　ｄｊ、　（１）　～　＾Ｊ　２　

式ｆ｝１　、　表示空间变量；ｔ为时间变量；／、为频率；ｋ为波数；ｊ为虚数单位。　

埘式（１）中的空域窗函数进行改造，得到如下基于广义ｓ变换的ｒｆ－ｋ变换：　

ＧＳＸｂ’Ｋ（　一ｒ、ｆ¨　）ｅ　上　ｅ　ｅ　ｎｄ　ｄ　（２）　

一　、／　兀ｑ　式中，正数　、ｑ为空域窗函数调节因子。可以根据地震信号的特点以及对信号进行空间波数域分析的侧重　

点，灵活地调动式（２）中的参数　、ｑ，以便随时调整基本小波的变化趋势，进而克服了式（１）在实际应用中　

的局限性。　然，当　一１，ｑ一１时，式（２）即为基于Ｓ变换的￣－ｆ－ｋ变换。因此，式（１）为式（２）的特殊情形。　

［收稿日期］２Ｏ１１—０５　０９　［基金项目］国家自然科学青年基金项目（４０９０４０３４）；数学地质四川省重点实验室开放基金项目（ｓｃｓＸＩ）Ｚ２（）【］９ｏｌ　６）。　ＵｑＥ者简介］胥德平（１　９７５一），男，１　９９７年大学毕业，博士，讲师，现主要从事地球物理信号处理、储层识别等方面的研究工作。

　第３３卷第１Ｏ期　胥德平等：基于广义Ｓ变换的　ｆ－ｋ变换　

下面，利用傅里叶变换和卷积定理，推导出可以利用现有的快速傅里叶变换算法来实现式（２）。令：　

Ｆ（ｆ，　）一ｒ厂（ｔ，ｘ）ｅ－ＪＺ￣ｆｔｄ　，ｇ（ｚ，　’，是）一Ｆ（，ｚ）ｅ　ｊ２　ｒ￣ｆ　缸，　（　，志）一　ｅ一Ｌ－厂‘　√’　缸　，　一　。　。　Ｊ一∞　～ｔ。，　ｎ　

由式（２），有：　’　

ＧＳＸＦＫ（　，ｆ，愚）一ｌ　ｇ（ｘ，ｆ，ｋ）ｗ（Ｚ一３２，志）ｄｘ—ｇ（ｚ，ｆ，是）＊ｗ（Ｘ，是）　（３　

定义　一是　傅里叶变换：　

ｇ（ｚ，ｆ，愚）一Ｇ（尼　，ｆ，　）　叫（　，ｋ）＊－－＊Ｗ（ｋ　，志）　

ＧＳＸＦＫ（　，ｆ，ｋ）一ＧＳＸＦＫ（尼。，ｆ，忌）　

对式（３）作傅里叶变换：　‘　

ＧＳＸＦＫ（忌　，＿厂，愚）一Ｇ（尼　，ｆ，ｋ）Ｗ（ｋ　，尼）　・　（４）　

记Ｈ（ｆ，忌）一ｌ　Ｆ（ｆ，ｚ）ｅ　ｈｄｘ　

、Ｇ（ｋ　，ｆ，忌）一ｌ　Ｆ（ｆ，．ｚ）ｅ一　ｅ　ｎ　ｄｘ—Ｈ（ｆ，ｋ　＋是）　

Ｗ（ｋ　忌）一　１Ｌ　。等ｅ－Ｊ２ｎｋ　ｘ　ｄｚ一　一　３一　２ｎｑ　

故式（４）为：　

２　２口２　ｈ２　ＧＳＸＦＫ（忌　，ｆ，是）一Ｈ（．厂，ｋ。＋ｋ）ｅ一　（５）　

对式（５）应用傅里叶反变换ｋ　一　，有：　

ｒ＋。。　ｒ＋。。　２　‘口　：　ＩＧＳＸＦＫ　，ｆ，ｋ）ｄＺ—Ｉ　Ｈ（ｆ，ｋ　＋ｋ）ｅ　ｅ　Ｊ２￣ａ　ｄ尼　（６）　Ｊ。。　√∞　式（６）即为基于广义Ｓ变换的　ｆ－ｋ变换表达式。　

对ＧＳＸＦＫ（　，ｆ，忌）中的　求积分：　

ｆＧＳＸＦＫ　ｆ　ｄｚ一心　…　２　［　ｅ　ｄｚ］～ｄｔｄｘ　㈩　｛　，，是）一ｌ　Ｉ厂（ｆ，ｚ）ｅ～　Ｉ｝一　——　Ｉｅ一　ｂ　（７）　●一。。　Ｊ一∞０一　、　＾十　｝　ｃ１　、　

而仁　ｅ　１删式（７）可简化为：　

ｒ＋一　ｒ十一ｒ　一　‘ｌ　ＧＳＸＦＫ　，ｆ，忌）ｄ　—ｌ　ｆ　（　，ｚ）ｅ　ｄｔｄｘ　（８）　

由式（８）可知，对ＧＳＸＦＫ（）（，ｆ，忌）中的　求积分结果等价于原始信号的二维傅里叶变换　因此，　

ＧＳＸＦＫ（　，ｆ，是）是可逆变换，可以利用二维傅里叶反变换实现其完全无损的逆变换：　

ｒ＋。。ｒ十。。广ｒ＋。。　一　Ｊ

。。Ｌ　。。ＧＳＸＦＫ（Ｚ，ｆ，ｋ）ｄｚ］ｄ　ｄｋｄｆ　（９）　

由上面的分析可知，ＧＳＸＦＫ方法是ＳＸＦＫ方法的推广，通过调节参数得到更加灵活的窗函数，对各类　

地震数据更具有灵活性和普适性。首先，对地震资料调整合适的参数进行ＧＳＸＦＫ（　，ｆ，是）变换以便在频　

率空问波数域上得到依偏移距变化有较强聚集性的滤波区域；其次，设计出合适的滤波器；最后，对滤波后　

的数据用式（９）进行逆变换。　

２实际地震资料应用　

为了验证ＧＳＸＦＫ方法在实际地震资料中应用的有效性，笔者对某地实际地震资料剖面进行面波去　

噪处理。图１为实际地震剖面。ＧＳＸＦＫ方法去噪后的地震剖面图如图２所示。比较两图可知，图２中　

的面波得到很好的压制，反射波信号连续性增强，提高了信噪比。

　石油天然气学报（江汉石油学院学报）　２（）１１年】０月　

星　苔　Ｏ．５Ｏ　

１　００　

５０　

２　Ｏ０　

２　５０　

３‘结　语　道　

图ｌ原始地震剖面　１Ｏｌ　１　５１　厘　鲁　Ｏ　００　

Ｏ　５０　

１　５Ｏ　

２．００　

２　５Ｏ　５１　１０１　１　５ｌ　道　

图２、ＧＳＸＦＫ方法去噪剖面　

笔者提ｊ¨　于广义Ｓ变换的ｒ．，ｋ变换（ＧＳＸＦＫ），推广了基于Ｓ变换的　ｒ／　变换（ＳＸＦＫ）。　

换¨丁以根据地震信号的特点以及对信号进行频率空间波数域分析的侧重点，灵活地调动参数来凋整基本　

小波的变化趋势，在频率波数域找｝｛Ｊ依偏移距变化的良好聚集性的滤波区域，对各类地震数据更具有灵　

活性和普适性，从而克服ｒ　ＳＸＦＫ频率波数滤波在实际应用巾的局限性，改善了ＳＸＦＫ变换滤波的　

性能。　

［参考文献］　

１］Ｓｔｏｃｋｗ，Ｐ＿］Ｒ（　．Ｍａｎｓｉｎｈａ　１　．Ｉ．ｏｗＩ、Ｊ　ｌ’．Ｉ（１ｃ｝ｌｌｌｚ｝ｌ１ｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃ（ｍ￣ｐｌｅｘ　ｓｐｅｃｔｒｕｍ：ｔｈ　Ｓ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　Ｉｊ　１ＥＥＥ　Ｉ、Ｆ￣ＩｔｌＳ（Ｊｌｌ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐ　ｒ（）（（　ｓ　

ｉｎｇ，１　９【｛（、，Ｉ　７・　１９８一　１　Ｏ０【．　］Ｐｉｎｎｅｇａ　ｒ（’Ｔ　．Ｅａｔｏｎ　Ｉ）Ｗ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓ　Ｉ　ｒａｎｓｆｏｒｍ　１０　ｐｒｅｓｌａｃｋ　ｎｏｉｓｅ　ａｔｔｅｎｕａｔｉｏｉ１　ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ—Ｊ　．Ｊ（　ｅｏｐｈｙｓ　Ｒｅｓ．２００３・１０８（　）：　１～ｌ（）．　Ｒ（）Ｉ］ｈｏｌｌ　ｌｈ　Ａ．Ｈ　ｌｎｌｉｄ　Ｒ　Ｓ．（；ｒｏｕｎｄ　ｒｏｌｌ　ａｔｔ（、ｎｕａｔｉｏｎ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　Ｓ　ａｎｄ　ｚ—ｌ＇－ｋ　ｔｒａｎｓｆｏ　ｒｍｓ　１．Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｐｒｏｓｐｅｃｔｉｎｇ，２㈤８，５６：１　０５～　

ｌＩ　１．　［编辑］　

龙　舟