2019年上海市闵行区中考数学二模试卷(解析版)

上海市闵行区2019-2020学年中考数学二月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E.若60B ∠=︒，AC=3，则CD 的长为A ．6B ．23C ．3D ．32．如图，数轴上有M 、N 、P 、Q 四个点，其中点P 所表示的数为a ，则数-3a 所对应的点可能是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q3．计算(ab 2)3的结果是( )A ．ab 5B ．ab 6C ．a 3b 5D ．a 3b 64．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1是以点P 为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P 的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣3）B ．（﹣3，﹣4）C ．（﹣3，﹣3）D ．（﹣4，﹣4）5．如图1，点O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒，机器人到点A 的距离设为y ，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t ＝3时，机器人一定位于点O ；③机器人一定经过点D ；④机器人一定经过点E ；其中正确的有（ ）A ．①④B ．①③C ．①②③D ．②③④6．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是( )A ．B ．C ．D ．7．如图,在△ABC 中,点D 是AB 边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC 的面积为1,则△BCD 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知一元二次方程2310x x --= 的两个实数根分别是 x 1 、 x 2 则 x 12 x 2 + x 1 x 22 的值为（ ） A ．-6 B ．- 3 C ．3 D ．69．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．下列各式中计算正确的是A ．()222x y x y +=+B ．()236x x =C ．()2236x x = D ．224a a a += 11．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．一次函数y=kx ﹣1的图象经过点P ，且y 的值随x 值的增大而增大，则点P 的坐标可以为（ ） A ．（﹣5，3） B ．（1，﹣3） C ．（2，2） D ．（5，﹣1）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在△ABC 中，CA=CB ，∠ACB=90°，AB=4，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C ，以点D 为顶点，作90°的∠EDF ，与半圆交于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是____．14．计算：21m m ++112m m++=______． 15．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（m ，7），（3m ﹣1，7），若线段AB 与直线y ＝﹣2x ﹣1相交，则m 的取值范围为__．16．已知一个正六边形的边心距为3，则它的半径为______ ．17．大连市内与庄河两地之间的距离是160千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从大连市内开往庄河，则汽车距庄河的路程y(千米)与行驶的时间x(小时)之间的函数关系式为_____．18．如图，线段AB 两端点坐标分别为A （﹣1，5）、B （3，3），线段CD 两端点坐标分别为C （5，3）、D （3，﹣1）数学课外兴趣小组研究这两线段发现：其中一条线段绕着某点旋转一个角度可得到另一条线段，请写出旋转中心的坐标________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某校团委为研究该校学生的课余活动情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、其他等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制了如下的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列各题：（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？（2）“其他”在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？（3）补全频数分布直方图；（4）该校共有3200名学生，请你估计一下全校大约有多少学生课余爱好是阅读．20．（6分）x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与12x≤2－32x都成立？21．（6分）在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E是上的一点，∠DBC=∠BED．（1）请判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）已知AD=5，CD=4，求BC的长．23．（8分）体育老师为了解本校九年级女生1分钟“仰卧起坐”体育测试项目的达标情况，从该校九年级136名女生中，随机抽取了20名女生，进行了1分钟仰卧起坐测试，获得数据如下：收集数据：抽取20名女生的1分钟仰卧起坐测试成绩（个）如下：38 46 42 52 55 43 59 46 25 3835 45 51 48 57 49 47 53 58 49（1）整理、描述数据：请你按如下分组整理、描述样本数据，把下列表格补充完整：范围25≤x≤2930≤x≤3435≤x≤3940≤x≤4445≤x≤4950≤x≤5455≤x≤59人数（说明：每分钟仰卧起坐个数达到49个及以上时在中考体育测试中可以得到满分）（2）分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如下表所示：平均数中位数满分率46.8 47.5 45%得出结论：①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为；②该中心所在区县的九年级女生的1分钟“仰卧起坐”总体测试成绩如下：平均数中位数满分率45.3 49 51.2%请你结合该校样本测试成绩和该区县总体测试成绩，为该校九年级女生的1分钟“仰卧起坐”达标情况做一下评估，并提出相应建议．24．（10分）九（1）班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目)，并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图.根据以上信息解决下列问题:m=，n=;扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为°;从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.25．（10分）计算:2344 (1)11x xxx x++-+÷++.26．（12分）如图所示，点C在线段AB上，AC = 8 cm，CB = 6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点.求线段MN的长.若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=a(cm)，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由.若C在线段AB的延长线上，且满足AC-CB=b(cm)，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由. 27．（12分）AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E 是»AB 中点，连接CE ，BE ，若BE ＝2，求CE 的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【详解】解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，60B ∠=︒，所以在Rt △AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=12AB=32,所以CD=2CE=3， 故选D.【点睛】本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大.2．A【解析】解：∵点P 所表示的数为a ，点P 在数轴的右边，∴-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍，∴数-3a 所对应的点可能是M ，故选A ．点睛：本题考查了数轴，解决本题的关键是判断-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍．3．D【解析】试题分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．试题解析：（ab 2）3=a 3•（b 2）3=a 3b 1．故选D ．考点：幂的乘方与积的乘方．4．A【解析】【分析】延长A1A、B1B和C1C，从而得到P点位置，从而可得到P点坐标．【详解】如图，点P的坐标为（-4，-3）．故选A．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．5．C【解析】【分析】根据图象起始位置猜想点B或F为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确．【详解】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F或B点，则正六边形边长为1．故①正确；观察图象t在3－4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB或OF上，则当t＝3时，机器人距离点A距离为1个单位长度，机器人一定位于点O，故②正确；所有点中，只有点D到A距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F点或B点出发，当从B出发时，不经过点E，故④错误．故选：C．【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势．6．B【解析】试题分析：长方体的主视图为矩形，圆柱的主视图为矩形，根据立体图形可得：主视图的上面和下面各为一个矩形，且下面矩形的长比上面矩形的长要长一点，两个矩形的宽一样大小．考点：三视图．7．C【解析】【详解】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴12 AC ADAB AC==，∴2ACDABCS ADS ACVV⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2 112ABCSV⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△ABC=4，∴S△BCD= S△ABC- S△ACD=4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.8．B【解析】【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=﹣1，再把x12x2+x1x22变形为x1•x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】根据题意得：x1+x2=1，x1•x2=﹣1，所以原式=x1•x2（x1+x2）=﹣1×1=－1．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2ba =-，x1•x2ca =．9．B【解析】分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．解答：解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方体．故选B ．10．B【解析】【分析】根据完全平方公式对A 进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对B 、C 进行判断；根据合并同类项对D 进行判断．【详解】A. ()2222x y x xy y +=++，故错误.B. ()236x x =,正确.C. ()2239x x =，故错误.D. 2222a a a +=, 故错误.故选B.【点睛】考查完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键. 11．B【解析】分析：根据轴对称图形的概念求解．详解：A 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B 、是轴对称图形，故此选项符合题意；C 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选B ．点睛：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．12．C【解析】【分析】根据函数图象的性质判断系数k ＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y 轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．【详解】∵一次函数y=kx ﹣1的图象的y 的值随x 值的增大而增大，∴k ＞0，A、把点（﹣5，3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣45＜0，不符合题意；B、把点（1，﹣3）代入y=kx﹣1得到：k=﹣2＜0，不符合题意；C、把点（2，2）代入y=kx﹣1得到：k=32＞0，符合题意；D、把点（5，﹣1）代入y=kx﹣1得到：k=0，不符合题意，故选C．【点睛】考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．π﹣1．【解析】【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．【详解】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=12AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=2．则扇形FDE的面积是：2902360π⨯=π．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA．又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN．∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN．在△DMG和△DNH中，∵DMG DNHGDM HDNDM DN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=1．则阴影部分的面积是：π﹣1．故答案为π﹣1．【点睛】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH=S四边形DMCN是关键．14．1.【解析】【分析】利用同分母分式加法法则进行计算，分母不变，分子相加.【详解】解：原式=1211 2121m m mm m+++==++.【点睛】本题考查同分母分式的加法，掌握法则正确计算是本题的解题关键．15．﹣4≤m≤﹣1【解析】【分析】先求出直线y＝7与直线y＝﹣2x﹣1的交点为（﹣4，7），再分类讨论：当点B在点A的右侧，则m≤﹣4≤3m ﹣1，当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤﹣4≤m，然后分别解关于m的不等式组即可．【详解】解：当y＝7时，﹣2x﹣1＝7，解得x＝﹣4，所以直线y＝7与直线y＝﹣2x﹣1的交点为（﹣4，7），当点B在点A的右侧，则m≤﹣4≤3m﹣1，无解；当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤﹣4≤m，解得﹣4≤m≤﹣1，所以m的取值范围为﹣4≤m≤﹣1，故答案为﹣4≤m≤﹣1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据直线y＝﹣2x﹣1与线段AB有公共点找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．16．2【解析】试题分析：设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．解：如图所示,在Rt△AOG中3∠AOG=30°，∴OA=OG÷cos 30°3÷32=2；故答案为2.点睛：本题主要考查正多边形和圆的关系. 解题的关键在于利用正多边形的半径、边心距构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解.17．y＝160﹣80x(0≤x≤2)【解析】【分析】根据汽车距庄河的路程y（千米）＝原来两地的距离﹣汽车行驶的距离，解答即可.【详解】解：∵汽车的速度是平均每小时80千米，∴它行驶x小时走过的路程是80x，∴汽车距庄河的路程y＝160﹣80x（0≤x≤2），故答案为：y＝160﹣80x(0≤x≤2).【点睛】本题考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到所求量的等量关系是解题的关键．18．()1,1或()4,4【解析】【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心.此题得解．【详解】①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示：A Q 点的坐标为()1,5-，B 点的坐标为()3,3， E ∴点的坐标为()1,1；②当点A 的对应点为点D 时，连接AD 、BC ，分别作线段AD 、BC 的垂直平分线交于点M ，如图2所示：A Q 点的坐标为()1,5-，B 点的坐标为()3,3， M ∴点的坐标为()4,4．综上所述：这个旋转中心的坐标为()1,1或()4,4． 故答案为()1,1或()4,4． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）总调查人数是100人；（2）在扇形统计图中“其它”类的圆心角是36°；（3）补全频数分布直方图见解析；（4）估计一下全校课余爱好是阅读的学生约为960人． 【解析】 【分析】（1）利用参加运动的人数除以其所占的比例即可求得这次调查的总人数；（2）用360°乘以“其它”类的人数所占的百分比即可求解；（3）求得“其它”类的人数、“娱乐”类的人数，补全统计图即可；（4）用总人数乘以课余爱好是阅读的学生人数所占的百分比即可求解. 【详解】（1）从条形统计图中得出参加运动的人数为20人，所占的比例为20%， ∴总调查人数＝20÷20%＝100人；（2）参加娱乐的人数＝100×40%＝40人，从条形统计图中得出参加阅读的人数为30人，∴“其它”类的人数＝100﹣40﹣30﹣20＝10人，所占比例＝10÷100＝10%，在扇形统计图中“其它”类的圆心角＝360×10%＝36°；（3）如图（4）估计一下全校课余爱好是阅读的学生约为3200×30100＝960（人）．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图的应用，从条形统计图、扇形统计图中获取必要的信息是解决问题的关键．20．－2，－1，0，1【解析】【详解】解不等式5x＋2＞3(x－1)得：得x＞－2.5；解不等式12x≤2－32x得x≤1.则这两个不等式解集的公共部分为 2.51x-≤＜，因为x取整数，则x取－2，－1,0,1.故答案为－2，－1，0，1【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再求出它们的公共部分，最后确定公共的整数解（包括正整数，0，负整数）.21．这种测量方法可行，旗杆的高为21.1米．【解析】分析：根据已知得出过F作FG⊥AB于G，交CE于H，利用相似三角形的判定得出△AGF∽△EHF，再利用相似三角形的性质得出即可．详解：这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高AB=x．过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）．所以△AGF∽△EHF．因为FD=1.1，GF=27+3=30，HF=3，所以EH=3.1﹣1.1=2，AG=x﹣1.1．由△AGF∽△EHF，得AG GF EH HF=，即1.530 23x-=，所以x﹣1.1=20，解得x=21.1（米）答：旗杆的高为21.1米．点睛：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△AGF∽△EHF是解题关键．22．（1）BC与相切；理由见解析；（2）BC=6【解析】试题分析：（1）BC与相切；由已知可得∠BAD=∠BED又由∠DBC=∠BED可得∠BAD=∠DBC，由AB为直径可得∠ADB=90°，从而可得∠CBO=90°，继而可得BC与相切（2）由AB为直径可得∠ADB=90°，从而可得∠BDC=90°，由BC与相切，可得∠CBO=90°，从而可得∠BDC=∠CBO，可得，所以得，得，由可得AC=9，从而可得BC=6（BC="-6" 舍去）试题解析：（1）BC与相切；∵，∴∠BAD=∠BED ，∵∠DBC=∠BED，∴∠BAD=∠DBC，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠DBC+∠ABD=90°，∴∠CBO=90°，∴点B在上，∴BC与相切（2）∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∵BC与相切，∴∠CBO=90°，∴∠BDC=∠CBO，∴，∴，∴，∵，∴AC=9，∴，∴BC=6（BC="-6" 舍去）考点：1．切线的判定与性质；2．相似三角形的判定与性质；3．勾股定理．23．（1）补充表格见解析；（2）①61；②见解析.【解析】【分析】（1）根据所给数据分析补充表格即可.（2）①根据概率公式计算即可. ②根据平均数、中位数分别进行分析并根据分析结果给出建议即可.【详解】（1）补充表格如下：范围25≤x≤2930≤x≤3435≤x≤3940≤x≤4445≤x≤4950≤x≤5455≤x≤59人数 1 0 3 2 7 3 4（2）①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为136×20≈61，故答案为：61；②从平均数角度看，该校女生1分钟仰卧起坐的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；从中位数角度看，该校成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的满分率低于区县水平；建议：该校在保持学校整体水平的同事，多关注接近满分的学生，提高满分成绩的人数．【点睛】本题考查的是统计表的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.24．（1）8，3；（2）144；（3）2 3 .【解析】试题分析：（1）利用航模小组先求出数据总数，再求出n .（2）小组所占圆心角=；（3）列表格求概率.试题解析：（1）；(2)；(3)将选航模项目的名男生编上号码，将名女生编上号码. 用表格列出所有可能出现的结果：由表格可知，共有种可能出现的结果，并且它们都是第可能的，其中“名男生、名女生”有种可能.(名男生、名女生).(如用树状图，酌情相应给分)考点：统计与概率的综合运用. 25．22xx -+ 【解析】【分析】括号内先进行通分，进行分式的加减法运算，然后再与括号外的分式进行分式乘除法运算即可.【详解】原式=()22311112x x x x x ⎛⎫-+-⨯ ⎪+++⎝⎭ =()()()2x 22112x x x x +-+⨯++=22x x -+. 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握有关分式的运算法则是解题的关键.26．（1）7cm （2）若C 为线段AB 上任意一点，且满足AC+CB=a(cm)，其他条件不变，则MN=12a(cm);理由详见解析（3）12b(cm) 【解析】 【分析】（1）据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN=CM+CN 即可求出MN 的长度即可．（2）据题意画出图形即可得出答案． （3）据题意画出图形即可得出答案． 【详解】 （1）如图∵AC ＝8cm ，CB ＝6cm ， ∴AB ＝AC ＋CB ＝8＋6＝14cm ， 又∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，∴MC ＝12AC ，CN ＝12BC ， ∴MN ＝12AC ＋12BC ＝12( AC ＋BC)＝12AB ＝7cm ．答：MN 的长为7cm ．（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC ＋CB ＝acm ，其它条件不变，则MN ＝12a cm ，理由是：∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝12AC，CN＝12BC，∵AC＋CB＝acm，∴MN＝12AC＋12BC＝12(AC＋BC)＝12a cm．（3）解：如图，∵点M、N分别是AC、BC的中点，∴MC＝12AC，CN＝12BC，∵AC－CB＝bcm，∴MN＝12AC－12BC＝12(AC－BC)＝1b2cm．考点：两点间的距离．27．（2）见解析；（2）2+3．【解析】【分析】（2）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质得到∠ACO=∠DCB，根据CA=CD得到∠CAD=∠D，证明∠COB=∠CBO，根据等角对等边证明；（2）连接AE，过点B作BF⊥CE于点F，根据勾股定理计算即可．【详解】（2）证明：连接OC，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CD为⊙O切线∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＝∠DCB＝90°﹣∠OCB，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D．∴∠COB＝∠CBO．∴OC＝BC．∴OB＝BC；（2）连接AE，过点B作BF⊥CE于点F，∵E是AB中点，∴¼¼AE BE=，∴AE＝BE＝2．∵AB为⊙O直径，∴∠AEB＝90°．∴∠ECB＝∠BAE＝45°，22AB=，∴122CB AB==．∴CF＝BF＝2．∴3EF=∴13CE=+【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．。

上海市闵行区2019-2020学年中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．将一副三角板（∠A ＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB ∥EF ，则∠1等于（ ）A ．75°B ．90°C ．105°D ．115°2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，下列结论正确是( )A ．0abc >B ．20a b +<C ．30a c +<D ．230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根 3．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD ．下列结论一定正确的是（ ）A ．∠ABD ＝∠EB ．∠CBE ＝∠C C ．AD ∥BC D ．AD ＝BC 4．关于x 的分式方程230x x a +=-解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a = B ．2a = C ．4a = D ．10a =5．如图，在△ABC 中，AB=AC=10，CB=16，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（ ）A ．50π﹣48B ．25π﹣48C ．50π﹣24D ．6．一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( )A．平均数B．中位数C．众数D．方差7．如图，点ABC在⊙O上，OA∥BC，∠OAC=19°，则∠AOB的大小为（）A．19°B．29°C．38°D．52°8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x＝12，且经过点(2，0)，下列说法：①abc＜0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－2，y1)，(52，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.其中说法正确的有( )A．②③④B．①②③C．①④D．①②④9．某商品价格为a元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（）A．0.96a元B．0.972a元C．1.08a元D．a元10．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）A．B．C．D．11．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集（）A．53xx≥-⎧⎨>-⎩B．53xx>-⎧⎨≥-⎩C．53xx<⎧⎨<-⎩D．53xx<⎧⎨>-⎩12．已知一组数据2、x、8、1、1、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（）A．3.1；B．4；C．2；D．6.1．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．14．如图，将一对直角三角形卡片的斜边AC 重合摆放，直角顶点B ，D 在AC 的两侧，连接BD ，交AC 于点O ，取AC ，BD 的中点E ，F ，连接EF ．若AB ＝12，BC ＝5，且AD ＝CD ，则EF 的长为_____．15．平面直角坐标系中一点P （m ﹣3，1﹣2m ）在第三象限，则m 的取值范围是_____．16．如图，正方形ABCD 边长为3，以直线AB 为轴，将正方形旋转一周．所得圆柱的主视图（正视图）的周长是_____．17．已知m 、n 是一元二次方程x 2+4x ﹣1＝0的两实数根，则11m n+＝_____． 18．二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，且a≠0）的图象如图所示，则a+b+2c__________0（填“>”“=”或“<”）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB 的长为4米，点D ，B ，C 在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，2 1.414≈3 1.732≈6 2.449≈）20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，直线y x m =-+与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，与函数(0)k y x x=>的图象的一个交点为(3,)C n ． （1）求m ，n ，k 的值；（2）将线段AB 向右平移得到对应线段A B ''，当点B '落在函数(0)k y x x=>的图象上时，求线段AB 扫过的面积．21．（6分）画出二次函数y ＝(x ﹣1)2的图象．22．（8分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ．（1）依题意补全图形；（2）猜想AE 与CD 的数量关系，并证明．23．（8分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，求证：DE=DF ．24．（10分）校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．25．（10分）如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=23．（1）求∠A的度数．（2）求图中阴影部分的面积．26．（12分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，E为⊙O上的一点，连接DE，BE，DE与AB交于点F.求证：BC为⊙O的切线；若F为OA的中点,⊙O的半径为2，求BE 的长.27．（12分）如图，有6个质地和大小均相同的球，每个球只标有一个数字，将标有3,4,5的三个球放入甲箱中，标有4,5,6的三个球放入乙箱中．(1)小宇从甲箱中随机模出一个球，求“摸出标有数字是3的球”的概率；(2)小宇从甲箱中、小静从乙箱中各自随机摸出一个球，若小宇所摸球上的数字比小静所摸球上的数字大1，则称小宇“略胜一筹”．请你用列表法(或画树状图)求小宇“略胜一筹”的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】分析：依据AB ∥EF ，即可得∠BDE=∠E=45°，再根据∠A=30°，可得∠B=60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1=∠BDE+∠B=105°．详解：∵AB ∥EF ，∴∠BDE=∠E=45°，又∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴∠1=∠BDE+∠B=45°+60°=105°，故选C ．点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．2．C【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0；由对称轴为x=2b a-=1，可得2a+b=0；当x=-1时图象在x 轴下方得到y=a-b+c ＜0，结合b=-2a 可得 3a+c ＜0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.【详解】观察图象：开口向下得到a ＜0；对称轴在y 轴的右侧得到a 、b 异号，则b ＞0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c ＞0，所以abc ＜0，故A 选项错误；∵对称轴x=2b a-=1，∴b=-2a ，即2a+b=0，故B 选项错误； 当x=-1时， y=a-b+c ＜0，又∵b=-2a ，∴ 3a+c ＜0，故C 选项正确；∵抛物线的顶点为（1，3），∴230ax bx c ++-=的解为x 1=x 2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a -，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方；当△=b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点．3．C【解析】根据旋转的性质得，∠ABD ＝∠CBE=60°, ∠E ＝∠C, 则△ABD 为等边三角形，即 AD ＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD ＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD ，得AD ∥BC.故选C.4．D【解析】【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可．【详解】解：把x=4代入方程230x x a+=-，得 23044a+=-， 解得a=1．经检验，a=1是原方程的解故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为2．5．B【解析】【分析】【详解】设以AB 、AC 为直径作半圆交BC 于D 点，连AD ，如图，∴AD ⊥BC ，∴BD=DC=BC=8，而AB=AC=10，CB=16，∴AD===6，∴阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积，=π•52﹣•16•6，=25π﹣1．故选B．6．D【解析】【详解】解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；D．原来数据的方差=222 (12)2(22)(32)4-+⨯-+-=12，添加数字2后的方差=222 (12)3(22)(32)5-+⨯-+-=25，故方差发生了变化．故选D．7．C【解析】【分析】由AO∥BC，得到∠ACB=∠OAC=19°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=38°.【详解】∵AO∥BC，∴∠ACB=∠OAC，而∠OAC=19°，∴∠ACB=19°，∴∠AOB=2∠ACB=38°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键.8．D【解析】【分析】根据图象得出a<0, a+b=0,c>0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,根据(－2，y 1)，(52，y 2)到对称轴的距离即可判断④.【详解】∵二次函数的图象的开口向下,∴a<0,∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的正半轴上,∴c>0,∵二次函数图象的对称轴是直线x=12, ∴a=-b,∴b>0,∴abc<0,故①正确;∵a=-b, ∴a+b=0,故②正确;把x=2代入抛物线的解析式得，4a+2b+c=0,故③错误; ∵()151-2222->- , 12,y y <∴故④正确;故选D..【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力. 9．B【解析】【分析】提价后这种商品的价格=原价×（1-降低的百分比）（1-百分比）×（1+增长的百分比），把相关数值代入求值即可．【详解】第一次降价后的价格为a×（1-10%）=0.9a 元，第二次降价后的价格为0.9a×（1-10%）=0.81a元，∴提价20%的价格为0.81a×（1+20%）=0.972a元，故选B．【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商品的价格的等量关系是解决本题的关键．10．A【解析】【分析】由三视图的俯视图,从左到右依次找到最高层数,再由主视图和俯视图之间的关系可知,最高层高度即为主视图高度.【详解】解：几何体从左到右的最高层数依次为1,2,3,所以主视图从左到右的层数应该为1,2,3,故选A.【点睛】本题考查了三视图的简单性质,属于简单题,熟悉三视图的概念,主视图和俯视图之间的关系是解题关键. 11．B【解析】【分析】根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：由数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集为：x≥-3，A、不等式组53xx≥-⎧⎨>-⎩的解集为x＞-3，故A错误；B、不等式组53xx>-⎧⎨≥-⎩的解集为x≥-3，故B正确；C、不等式组53xx<⎧⎨<-⎩的解集为x＜-3，故C错误；D、不等式组53xx<⎧⎨>-⎩的解集为-3＜x＜5，故D错误．故选B．【点睛】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，根据题意得出数轴上不等式组的解集是解答此题的关键． 12．A【解析】∵数据组2、x 、8、1、1、2的众数是2， ∴x=2，∴这组数据按从小到大排列为：2、2、2、1、1、8， ∴这组数据的中位数是：(2+1)÷2=3.1. 故选A.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．30 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P 的度数. 【详解】∵BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACM 的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°， ∴∠PBC=20°，∠PCM=50°， ∵∠PBC+∠P=∠PCM ，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°， 故答案为：30 【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.14． 【解析】 【分析】先求出BE 的值，作DM ⊥AB ，DN ⊥BC 延长线，先证明△ADM ≌△CDN （AAS ），得出AM=CN ，DM=DN ，再根据正方形的性质得BM=BN ，设AM=CN=x ，BM=AB-AM=12-x=BN=5+x ，求出x=72，BN=172，根据BD 为正方形的对角线可得出BD=172， BF=12BD=174， =74.【详解】∵∠ABC=∠ADC ， ∴A,B,C,D 四点共圆， ∴AC 为直径， ∵E 为AC 的中点， ∴E 为此圆圆心， ∵F 为弦BD 中点， ∴EF ⊥BD ， 连接BE ，∴BE=12AC=1222AB BC +1222512+=132； 作DM ⊥AB ，DN ⊥BC 延长线，∠BAD=∠BCN, 在△ADM 和△CDN 中，AD DN BAD NCD AMD CND =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADM ≌△CDN （AAS ）， ∴AM=CN ，DM=DN ， ∵∠DMB=∠DNC=∠ABC=90°, ∴四边形BNDM 为矩形， 又∵DM=DN,∴矩形BNDM 为正方形， ∴BM=BN ，设AM=CN=x ，BM=AB-AM=12-x=BN=5+x ， ∴12-x=5+x ，x=72,BN=172， ∵BD 为正方形BNDM 的对角线， ∴2BN=1722，BF=12BD=1742，∴74.故答案为74【点睛】本题考查了正方形的性质与全等三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形与全等三角形的性质与应用.15．0.5＜m ＜3 【解析】 【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列式不等式组，然后求解即可． 【详解】∵点P(m−3,1−2m)在第三象限，∴30120m m -<⎧⎨-<⎩，解得：0.5<m<3. 故答案为：0.5<m<3. 【点睛】本题考查了解一元二次方程组与象限及点的坐标的有关性质，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程组与象限及点的坐标的有关性质. 16．1． 【解析】分析：所得圆柱的主视图是一个矩形，矩形的宽是3，长是2． 详解：矩形的周长=3+3+2+2=1.点睛：本题比较容易，考查三视图和学生的空间想象能力以及计算矩形的周长． 17．1 【解析】 【分析】先由根与系数的关系求出m•n 及m+n 的值，再把11m n+化为m+nmn 的形式代入进行计算即可．【详解】∵m 、n 是一元二次方程x 2+1x ﹣1＝0的两实数根， ∴m+n ＝﹣1，m•n ＝﹣1， ∴11m n+＝m+n mn ＝-4-1 ＝1．故答案为1． 【点睛】本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2＝﹣b a，x 1•x 2＝c a ．18．＜ 【解析】 【分析】由抛物线开口向下，则a ＜0，抛物线与y 轴交于y 轴负半轴，则c ＜0，对称轴在y 轴左侧，则b ＜0，因此可判断a+b+2c 与0的大小 【详解】 ∵抛物线开口向下 ∴a ＜0∵抛物线与y 轴交于y 轴负半轴， ∴c ＜0∵对称轴在y 轴左侧 ∴﹣2ba＜0 ∴b ＜0 ∴a+b+2c ＜0 故答案为＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正确利用图象得出正确信息是解题关键． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．改善后滑板会加长1.1米． 【解析】 【分析】在Rt △ABC 中，根据AB=4米，∠ABC=45°，求出AC 的长度，然后在Rt △ADC 中，解直角三角形求AD 的长度，用AD-AB 即可求出滑板加长的长度． 【详解】解：在Rt △ABC 中，=在Rt △ADC 中，AD=2AC=，AD-AB=4≈1.1．答：改善后滑板会加长1.1米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．20．（1）m=4, n=1,k=3.（2）3. 【解析】 【分析】（1） 把点(4,0)A ，分别代入直线y x m =-+中即可求出m=4，再把(3,)C n 代入直线y x m =-+即可求出n=1.把(3,1)C 代入函数(0)ky x x=>求出k 即可；（2）由（1）可求出点B 的坐标为（0，4），点B‘是由点B 向右平移得到，故点B’的纵坐标为4，把它代入反比例函数解析式即可求出它的横坐标，根据平移的知识可知四边形AA’B’B 是平行四边形，再根据平行四边形的面积计算公式计算即可. 【详解】解：（1）把点(4,0)A ，分别代入直线y x m =-+中得：-4+m=0, m=4,∴直线解析式为4y x =-+. 把(3,)C n 代入4y x =-+得： n=-3+4=1.∴点C 的坐标为（3，1）把（3，1）代入函数(0)ky x x=>得：13k =解得：k=3. ∴m=4, n=1,k=3.(2)如图，设点B 的坐标为（0，y ）则y=-0+4=4 ∴点B 的坐标是（0，4）当y=4时，34x = 解得，34x =∴点B’（34，4） ∵A’,B’是由A,B 向右平移得到，∴四边形AA’B’B是平行四边形，故四边形AA’B’B的面积=344=3.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题及函数的平移，利用数形结合思想作出图形是解题的关键. 21．见解析【解析】【分析】首先可得顶点坐标为（1，0），然后利用对称性列表，再描点，连线，即可作出该函数的图象．【详解】列表得：x …﹣1 0 1 2 3 …y … 4 1 0 1 4 …如图：．【点睛】此题考查了二次函数的图象．注意确定此二次函数的顶点坐标是关键．22．(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）利用等腰三角形的性质得∠A＝45∘．则∠ADE＝∠A＝45°，所以AE＝DE，再根据角平分线性质得CD＝DE，从而得到AE＝CD．【详解】解：（1）如图：（2）AE与CD的数量关系为AE＝CD．证明：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°．∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠A＝45°．∴AE＝DE，∵BD平分∠ABC，∴CD＝DE，∴AE＝CD．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题关键在于根据题意作辅助线.23．答案见解析【解析】由于AB=AC，那么∠B=∠C，而DE⊥AC，DF⊥AB可知∠BFD=∠CED=90°，又D是BC中点，可知BD=CD，利用AAS可证△BFD≌△CED，从而有DE=DF．24．（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（1）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到172m1．【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（31﹣1x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（1）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣1y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（31﹣1x）米，根据题意得：x(31﹣1x)=116，解得：x1=7，x1=9，∴31﹣1x=18或31﹣1x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（1）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣1y）米，根据题意得：y(36﹣1y)=172，整理得：y1﹣18y+85=2．∵△=(﹣18)1﹣4×1×85=﹣16＜2，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到172m1．25．(1) ∠A=30°;(2)2 3π-【解析】【分析】（1）连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，由OA=OC，推出∠A=∠ACO，由∠A=∠D，推出∠A=∠ACO=∠D再由∠A+∠ACD+∠D=180°﹣90°=90°即可得出.（2）先求∠COD度数及OC长度，即可求出图中阴影部分的面积．【详解】解：（1）连结OC∵CD为⊙O的切线∴OC⊥CD∴∠OCD=90°又∵OA=OC∴∠A=∠ACO又∵∠A=∠D∴∠A=∠ACO=∠D而∠A+∠ACD+∠D=180°﹣90°=90°∴∠A=30°（2）由（1）知：∠D=∠A=30°∴∠COD=60°又∵CD=2∴OC=2∴S阴影=．【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算及切线的性质，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算及切线的性质.26．（1）证明见解析；（2）610 5【解析】【分析】（1）连接BD，由圆周角性质定理和等腰三角形的性质以及已知条件证明∠ABC=90°即可；（2）连接OD，根据已知条件求得AD、DF的长，再证明△AFD∽△EFB，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求得.【详解】（1）连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，∵D是AC的中点，∴BC=AB，∴∠C=∠A＝45°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，由（1）可得∠AOD=90°，∵⊙O的半径为2，F为OA的中点，∴OF=1，BF=3，22AD222=+=∴DF ==，∵»»BDBD =， ∴∠E=∠A ， ∵∠AFD=∠EFB ， ∴△AFD ∽△EFB ，∴DF BFAD BE =3BE=，∴BE =【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线. 27．（1）13；（2）P(小宇“略胜一筹”)＝19.【解析】 分析：（1）由题意可知，小宇从甲箱中任意摸出一个球，共有3种等可能结果出现，其中结果为3的只有1种，由此可得小宇从甲箱中任取一个球，刚好摸到“标有数字3”的概率为13； （2）根据题意通过列表的方式列举出小宇和小静摸球的所有等可能结果，然后根据表中结果进行解答即可. 详解：(1)P (摸出标有数字是3的球)＝13. (2)小宇和小静摸球的所有结果如下表所示：从上表可知，一共有九种可能，其中小宇所摸球的数字比小静的大1的有一种，因此 P (小宇“略胜一筹”)＝19. 点睛：能正确通过列表的方式列举出小宇在甲箱中任摸一个球和小静在乙箱中任摸一个球的所有等可能结果，是正确解答本题第2小题的关键.。

上海市闵行区2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，则用科学记数法表示该数为（）A．1.239×10﹣3g/cm3B．1.239×10﹣2g/cm3C．0.1239×10﹣2g/cm3D．12.39×10﹣4g/cm33．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q4．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙5．若关于x，y的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y+=的解，则k的值为()A．34-B．34C．43D．43-6．如图是测量一物体体积的过程：步骤一：将180 mL的水装进一个容量为300 mL的杯子中；步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm3)(). A．10 cm3以上，20 cm3以下B．20 cm3以上，30 cm3以下C ．30 cm 3以上，40 cm 3以下D ．40 cm 3以上，50 cm 3以下7．根据下表中的二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（ ）．x…1-12…y…1-74-2-74-…A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点8．如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC=30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．39．若实数m 满足22210⎛⎫++= ⎪⎝⎭m m ，则下列对m 值的估计正确的是（ ） A ．﹣2＜m ＜﹣1B ．﹣1＜m ＜0C ．0＜m ＜1D ．1＜m ＜210112-的值在（ ） A ．0到l 之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间11．已知a,b 为两个连续的整数,且11则a+b 的值为( ) A ．7B ．8C ．9D ．1012．2018年春运，全国旅客发送量达29.8亿人次，用科学记数法表示29.8亿，正确的是（ ） A ．29.8×109B ．2.98×109C ．2.98×1010D ．0.298×1010二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cosB ＝23，则BC 的长为_____． 14．定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为P ，Q 的“实际距离”.如图，若()P 1,1-，()Q 2,3，则P ，Q 的“实际距离”为5，即PS SQ 5+=或PT TQ 5.+=环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具.设A ，B 两个小区的坐标分别为()A 3,1，()B 5,3-，若点()M 6,m 表示单车停放点，且满足M 到A ，B 的“实际距离”相等，则m =______．15．用一张扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝处不计），若这个扇形纸片的面积是90πcm 2，围成的圆锥的底面半径为15cm ，则这个圆锥的母线长为_____cm ．16．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为_______平方单位．17．分式方程34xx +=1的解为_________． 18．当x = __________时，二次函数226y x x =-+ 有最小值___________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）已知()()a bA b a b a a b =---.（1）化简A ；（2）如果a,b 是方程24120x x --=的两个根，求A 的值．20．（6分）已知，如图，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线；若DE=6cm ，AE=3cm ，求⊙O 的半径．21．（6分）将一个等边三角形纸片AOB 放置在平面直角坐标系中，点O （0，0），点B （6，0）．点C 、D 分别在OB 、AB 边上，DC ∥OA ，3（I ）如图①，将△DCB 沿射线CB 方向平移，得到△D′C′B′．当点C 平移到OB 的中点时，求点D′的坐标；（II ）如图②，若边D′C′与AB 的交点为M ，边D′B′与∠ABB′的角平分线交于点N ，当BB′多大时，四边形MBND′为菱形？并说明理由．（III ）若将△DCB 绕点B 顺时针旋转，得到△D′C′B ，连接AD′，边D′C′的中点为P ，连接AP ，当AP 最大时，求点P 的坐标及AD′的值．（直接写出结果即可）．22．（8分）有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？23．（8分）已知抛物线y ＝x 2﹣（2m+1）x+m 2+m ，其中m 是常数． （1）求证：不论m 为何值，该抛物线与z 轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线x ＝52，请求出该抛物线的顶点坐标． 24．（10分）如图所示，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数2(0)y x bx c b =-+>的图象与x轴交于(1,0)A -、B 两点，与y 轴交于点C ； （1）求c 与b 的函数关系式；（2）点D 为抛物线顶点，作抛物线对称轴DE 交x 轴于点E ，连接BC 交DE 于F ，若AE ＝DF ，求此二次函数解析式；（3）在（2）的条件下，点P 为第四象限抛物线上一点，过P 作DE 的垂线交抛物线于点M ，交DE 于H ，点Q 为第三象限抛物线上一点，作QN ED ⊥于N ，连接MN ，且180QMN QMP ∠+∠=︒，当:15:16QN DH =时，连接PC ，求tan PCF ∠的值．25．（10分）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP 的值．26．（12分）小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．27．（12分）先化简，再求值：（x﹣2﹣52x+）÷2(3)2xx++，其中x=3．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】试题分析：对于一元二次方程，当△=时方程有两个不相等的实数根，当△=时方程有两个相等的实数根，当△=时方程没有实数根.根据题意可得：△=，则方程有两个不相等的实数根.2．A【解析】试题分析：0.001219=1.219×10﹣1．故选A．考点：科学记数法—表示较小的数． 3．C 【解析】试题分析：∵点M ，N 表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．考点：有理数大小比较． 4．B 【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC 全等，甲与△ABC 不全等． 详解：乙和△ABC 全等；理由如下：在△ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS ， 所以乙和△ABC 全等；在△ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS ， 所以丙和△ABC 全等； 不能判定甲与△ABC 全等； 故选B ．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5．B 【解析】 【分析】将k 看做已知数求出用k 表示的x 与y ，代入2x+3y=6中计算即可得到k 的值． 【详解】解：59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：214x k =，即7x k =，将7x k =代入①得：75k y k +=，即2y k =-， 将7x k =，2y k =-代入236x y +=得：1466k k -=，解得：34k =．故选：B ．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值． 6．C 【解析】分析：本题可设玻璃球的体积为x ，再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可．详解：设玻璃球的体积为x ，则有33001804300180x x -⎧⎨-⎩＜＞ 解得30＜x ＜1．故一颗玻璃球的体积在30cm 3以上，1cm 3以下． 故选C ．点睛：此题考查一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要根据题意列出不等式组，再化简计算得出x 的取值范围． 7．B 【解析】 【分析】根据表中数据可得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上，再根据抛物线的对称性即可作出判断. 【详解】解：由题意得抛物线的对称轴为x=1，抛物线的开口方向向上 则该二次函数的图像与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 故选B. 【点睛】本题考查二次函数的性质，属于基础应用题，只需学生熟练掌握抛物线的对称性，即可完成. 8．A 【解析】 【分析】设AC=a ，由特殊角的三角函数值分别表示出BC 、AB 的长度，进而得出BD 、CD 的长度，由公式求出tan ∠DAC 的值即可. 【详解】 设AC=a ，则BC=30AC tan ︒，AB=30ACsin ︒=2a ，∴BD=BA=2a ， ∴CD=（）a ，∴tan∠DAC=2+3.故选A.【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值. 9．A【解析】试题解析：∵222(1)0mm++=，∴m2+2+4m=0，∴m2+2=-4m，∴方程的解可以看作是函数y=m2+2与函数y=-4m，作函数图象如图，在第二象限，函数y=m2+2的y值随m的增大而减小，函数y=-4m的y值随m的增大而增大，当m=-2时y=m2+2=4+2=6，y=-4m=-42-=2，∵6＞2，∴交点横坐标大于-2，当m=-1时，y=m2+2=1+2=3，y=-4m=-41-=4，∵3＜4，∴交点横坐标小于-1，∴-2＜m＜-1．故选A．考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象．10．B【解析】∵9<11<16,∴34<<,∴122<-<故选B.11．A【解析】∵9<11<16，<<，即34<<，∵a，b为两个连续的整数，且a b<<，∴a=3，b=4，∴a+b=7，故选A.12．B【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且为这个数的整数位数减1，由此即可解答．【详解】29.8亿用科学记数法表示为：29.8亿=2980000000＝2.98×1．故选B．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．4【解析】【分析】根据锐角的余弦值等于邻边比对边列式求解即可.【详解】∵∠C=90°，AB=6，∴2cos 3BC B AB==， ∴BC=23AB =4. 【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键.在Rt △ABC 中， sin A A ∠=的对边斜边， cos A A ∠=的邻边斜边， tan A A A ∠=∠的对边的邻边. 14．1． 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式可求m 的值. 【详解】依题意有2222(63)(m 1)(65)(m 3)-+-=-++， 解得m 0=， 故答案为：1． 【点睛】考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键． 15．1 【解析】 【分析】设这个圆锥的母线长为xcm ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•15•x=90π，然后解方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的母线长为xcm ， 根据题意得12•2π•15•x=90π， 解得x=1，即这个圆锥的母线长为1cm ． 故答案为1． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16．6﹣【解析】【分析】由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；设B′C′和CD 的交点是O ，连接OA ，构造全等三角形，用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′OD ，计算面积即可．【详解】解：设B′C′和CD 的交点是O ，连接OA ，∵AD=AB′，AO=AO ，∠D=∠B′=90°，∴Rt △ADO ≌Rt △AB′O ，∴∠OAD=∠OAB′=30°，∴OD=OB′=2 ， S 四边形AB′OD =2S △AOD =2×122×6=23， ∴S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′OD =6﹣23．【点睛】此题的重点是能够计算出四边形的面积．注意发现全等三角形．17．x=1【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．详解：两边都乘以x+4，得：3x=x+4，解得：x=1，检验：x=1时，x+4=6≠0，所以分式方程的解为x=1，故答案为：x=1．点睛：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．18．1 5【解析】二次函数配方，得：2(1)5y x =-+，所以，当x ＝1时，y 有最小值5，故答案为1，5.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）a b ab +；（2）-13. 【解析】【分析】 （1）先通分，再根据同分母的分式相加减求出即可；（2）根据根与系数的关系即可得出结论．【详解】（1）A=a b a b -（）﹣b a a b -（）=22a b ab a b --（）=a b ab+； （2）∵a ，b 是方程24120x x --=的两个根，∴a+b=4，ab=－12，∴41123a b A ab +===--． 【点睛】本题考查了分式的加减和根与系数的关系，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键． 20．解：（1）证明见解析；（2）⊙O 的半径是7.5cm ．【解析】【分析】（1）连接OD ，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D 在⊙O 上，故DE 是⊙O 的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD 的长，又有△ACD ∽△ADE ．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【详解】（1）证明：连接OD ．∵OA=OD ，∴∠OAD=∠ODA ．∵∠OAD=∠DAE ，∴∠ODA=∠DAE ．∴DO ∥MN ．∵DE ⊥MN ，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD ⊥DE ．∵D 在⊙O 上，OD 为⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD =连接CD ．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE ，∴△ACD ∽△ADE ． ∴AD AC AE AD=．∴3= 则AC=15（cm ）．∴⊙O 的半径是7.5cm ．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．21．（Ⅰ）D′（3）;（Ⅱ）当MBND'是菱形,理由见解析;（Ⅲ）P （15,2． 【解析】【分析】（Ⅰ）如图①中，作DH ⊥BC 于H ．首先求出点D 坐标，再求出CC′的长即可解决问题；（Ⅱ）当MBND'是菱形．首先证明四边形MBND′是平行四边形，再证明BB′=BC′即可解决问题；（Ⅲ）在△ABP 中，由三角形三边关系得，AP ＜AB+BP ，推出当点A ，B ，P 三点共线时，AP 最大.【详解】（Ⅰ）如图①中，作DH ⊥BC 于H ，∵△AOB是等边三角形，DC∥OA，∴∠DCB=∠AOB=60°，∠CDB=∠A=60°，∴△CDB是等边三角形，∵CB=23，DH⊥CB，∴CH=HB=3，DH=3，∴D（6﹣3，3），∵C′B=3，∴CC′=23﹣3，∴DD′=CC′=23﹣3，∴D′（3+3，3）．（Ⅱ）当BB'=3时，四边形MBND'是菱形，理由：如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABO=60°，∴∠ABB'=180°﹣∠ABO=120°，∵BN是∠ACC'的角平分线，∴∠NBB′'=12∠ABB'=60°=∠D′C′B，∴D'C'∥BN，∵AB∥B′D′∴四边形MBND'是平行四边形，∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，∴△MC′B'和△NBB'是等边三角形，∴MC=CE'，NC=CC'，∵B'C'=23，∵四边形MBND'是菱形，∴BN=BM ，∴BB'=12B'C'=3； （Ⅲ）如图连接BP ，在△ABP 中，由三角形三边关系得，AP ＜AB+BP ，∴当点A ，B ，P 三点共线时，AP 最大，如图③中，在△D'BE'中，由P 为D'E 的中点，得AP ⊥D'E'，3， ∴CP=3，∴AP=6+3=9，在Rt △APD'中，由勾股定理得，22AP PD +'21此时P （15233． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的性质，平移和旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解（2）的关键是四边形MCND'是平行四边形，解（3）的关键是判断出点A ，C ，P 三点共线时，AP 最大． 22．规定日期是6天．【解析】【分析】本题的等量关系为：甲工作2天完成的工作量+乙规定日期完成的工作量=1，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设工作总量为1，规定日期为x 天，则若单独做，甲队需x 天，乙队需x+3天，根据题意列方程得1122133x x x x -⎛⎫++= ⎪++⎝⎭解方程可得x=6，经检验x=6是分式方程的解．答：规定日期是6天．23． (1)见解析；(2)顶点为（52，﹣14） 【解析】【分析】（1）根据题意，由根的判别式△＝b 2﹣4ac ＞0得到答案；（2）结合题意，根据对称轴x ＝﹣2b a得到m ＝2，即可得到抛物线解析式为y ＝x 2﹣5x+6，再将抛物线解析式为y ＝x 2﹣5x+6变形为y ＝x 2﹣5x+6＝（x ﹣52）2﹣14，即可得到答案. 【详解】（1）证明：a ＝1，b ＝﹣（2m+1），c ＝m 2+m ， ∴△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m 2+m ）＝1＞0，∴抛物线与x 轴有两个不相同的交点．（2）解：∵y ＝x 2﹣（2m+1）x+m 2+m ，∴对称轴x ＝﹣2b a ＝(21)21m -+⨯＝212m +， ∵对称轴为直线x ＝52， ∴212m +＝52， 解得m ＝2，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣5x+6，∵y ＝x 2﹣5x+6＝（x ﹣52）2﹣14， ∴顶点为（52，﹣14 ）． 【点睛】 本题考查根的判别式、对称轴和顶点，解题的关键是掌握根的判别式、对称轴和顶点的计算和使用.24．（1）1c b =--；（2）223y x x =--；（3）12【解析】【分析】（1）把A （-1，0）代入y=x 2-bx+c ，即可得到结论；（2）由（1）得，y=x 2-bx-1-b ，求得EO=b 2，AE=b 2+1=BE ，于是得到OB=EO+BE=b 2+b 2+1=b+1，当x=0时，得到y=-b-1，根据等腰直角三角形的性质得到D （b 2，-b-2），将D （b 2，-b-2）代入y=x 2-bx-1-b 解方程即可得到结论；（3）连接QM ，DM ，根据平行线的判定得到QN ∥MH ，根据平行线的性质得到∠NMH=∠QNM ，根据已知条件得到∠QMN=∠MQN ，设QN=MN=t ，求得Q （1-t ，t 2-4），得到DN=t 2-4-（-4）=t 2，同理，设MH=s ，求得NH=t 2-s 2，根据勾股定理得到NH=1，根据三角函数的定义得到∠NMH=∠MDH 推出∠NMD=90°；根据三角函数的定义列方程得到t 1=53，t 2=-35（舍去），求得MN=53，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）把A （﹣1，0）代入2y x bx c =-+，∴1b c 0++=，∴c 1b =--；（2）由（1）得，2y x bx 1b =---，∵点D 为抛物线顶点， ∴b b EO AE 1BE 22==+=，， ∴b b OB EO BE 1b 122=+=++=+， 当x 0=时，y b 1=--，∴CO b 1BO =+=，∴OBC 45∠=︒，∴EFB 904545EBF ∠∠=︒-︒=︒=，∴EF BE AE DF ===，∴DE AB b 2==+， ∴b D ,b 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 将b D ,b 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入2y x bx 1b =---得，22b b b 2b 122⎛⎫--=--- ⎪⎝⎭， 解得：1b 2=，2b 2=-（舍去），∴二次函数解析式为：2y x 2x 3=--；（3）连接QM ，DM ，∵QN ED ⊥，MP ED ⊥，∴QNH MHD 90∠∠==︒，∴QN //MH ，∴NMH QNM ∠∠=，∵QMN QMP 180∠∠+=︒，∴QMN QMN NMH 180∠∠∠++=︒，∵QMN MQN NMH 180∠∠∠++=︒，∴QMN MQN ∠∠=，设QN MN t ==，则()2Q 1t,t 4--，∴()22DN t 44t =---=，同理， 设MN s =，则2HD s =，∴22NH t s =-，在Rt ΔMNH 中，222NH MN MH =-，∴()22222t s t s -=-，∴22t s 1-=，∴NH 1=， ∴NH 1tan NMH MH t∠==， ∵2MH t 1tan MDH DH t t ∠===， ∴NMH MDH ∠∠=，∵NMH MNH 90∠∠+=︒，∴MDH MNH 90∠∠+=︒，∴NMD 90∠=︒；∵QN :DH 15:16=，∴16DH t 15=，16DN t 115=+， ∵sin NMH sin MDN ∠∠=， ∴NH MN MN DN =，即1t 16t t 115=+， 解得：15t 3=，23t 5=-（舍去）， ∴5MN 3=， ∵222NH MN MH =-， ∴4MH PH 3==， ∴47PK PH KH 133=+=+=， 当7x 3=时，20y 9=-， ∴720P ,39⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴207CK 399=-=， ∴719tan KPC 733∠==， ∵PKC BOC 90∠∠==︒，∴KGC OBC 45∠∠==︒， ∴7KG CK 9==，CG =7714PG 399=-=， 过P 作PT BC ⊥于T ，∴PT GT PG CG ====， ∴CT 2PT =， ∴PT PT 1tan PCF CT 2PT 2∠===． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行线的性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．25．（1）PD 是⊙O 的切线．证明见解析.（2）1.【解析】试题分析：（1）连结OP ，根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°，然后计算出∠PAD 和∠D 的度数，进而可得∠OPD=90°，从而证明PD是⊙O的切线；（2）连结BC，首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，然后可得AC长，再证明△CAE∽△CPA，进而可得，然后可得CE•CP的值．试题解析：（1）如图，PD是⊙O的切线．证明如下：连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线．（2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=CA2=（）2=1．考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型．26．（1）13；（2）13.【解析】试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：1 3(2)、画树状图得：结果：（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是26=13.考点：概率的计算. 2732【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】 原式()2245223x x x x --+=⨯++， ()()()2+33223x x x x x -+=⨯++， 33x x -=+．当x ==2= 【点睛】 本题考查的知识点是分式的化简求值，解题关键是化简成最简再代入计算.。

上海闵行区2019学度第二学期初三质量调研考试数学数 学 试 卷〔考试时间100分钟，总分值150分〕考生注意：1、本试卷含三个大题，共25题、2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效、3、除第【一】二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤、【一】选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕【以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1、以下实数中，是无理数的是〔A 〕3.14； 〔B 〕237； 〔C 1+； 〔D 、2、以下运算一定正确的选项是〔A〔B 1；〔C 〕2a =； 〔D 2=-、3、不等式组21,10x x ->⎧⎨-<⎩的解集是〔A 〕12x >-； 〔B 〕12x <-； 〔C 〕1x <； 〔D 〕112x -<<、 4、用配方法解方程0142=+-x x 时，配方后所得的方程是〔A 〕2(2)3x -=； 〔B 〕2(2)3x +=； 〔C 〕2(2)1x -=； 〔D 〕2(2)1x -=-、5、在△ABC 与△A ′B ′C ′中，AB = A ′B ′，∠A =∠A ′，要使△ABC ≌△A ′B ′C ′，还需要增加一个条件，这个条件不正确的选项是〔A 〕AC = A ′C ′； 〔B 〕BC = B ′C ′；〔C 〕∠B =∠B ′； 〔D 〕∠C =∠C ′、〔A 〕矩形的两条对角线相等；〔B 〕菱形的两条对角线相等；〔C 〕等腰梯形的两条对角线互相垂直；〔D 〕平行四边形的两条对角线互相垂直、【二】填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7、计算：124=▲.8、因式分解：2x y x y -=▲.9x 的实数根是▲.10、如果关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，那么m 的取值范围是 ▲.11、一次函数2(1)5y x =-+的图像在y 轴上的截距为▲、12、反比例k y x=〔0k ≠〕的图像经过点〔2，-1〕，那么当0x >时，y 随x 的增大而▲〔填“增大”或“减小〕.13、抛物线22y a x b x =++经过点〔3，2〕，那么该抛物线的对称轴是直线▲.14、布袋中装有3个红球和3个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是▲.15、如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，如果AB a =，AD b =，那么OC =▲.16、：⊙O 1、⊙O 2的半径长分别为2、5，如果⊙O 1与⊙O 2相交，那么这两圆的圆心距d 的取值范围是▲、17、如图，在正方形ABCD 中，E 为边BC 的中点，EF ⊥AE ，与边CD 相交于点F ，如果△CEF 的面积等于1，那么△ABE 的面积等于▲、18、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =50°，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，点B 与点F 重合，如果∠ADF =45°，那么∠CEF =▲度、【三】解答题：〔本大题共7题，总分值78分〕19、〔此题总分值10分〕 先化简，再求值：21232()222x x x x x ++÷+-+，其中2x =、20、〔此题总分值10分〕解方程组：2223,44 1.x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩21、〔此题共2小题，总分值10分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分〕如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在边AB 上，以点A 为圆心，线段AD 的长为半径的⊙A 与边AC 相交于点E ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，AF 的延长线与边BC 相交于点G ，联结GE 、DE =10，cos BAG ∠求：〔〔22、6∶00至22∶9〔1〕户去年930天〕每天况基本相表中数计该用户9月总用电量约为多少千瓦时、〔2〕如果该用户今年3月份的分时电费为127.8元，而按照不实行分时用电的计费方法，其电费为146.4元，试问该用户今年3月份6∶00至22∶00与22∶00至次日6∶00两个时段的用电量各为多少千瓦时？〔注：以上统计是从每个月的第一天6∶00至下一个月的第一天6∶00止〕23、〔此题共2小题，每题6分，总分值12分〕：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，BC =2AD 、DE ⊥BC ，垂足为点F ，且F 是DE 的中点，联结AE ，交边BC 于点G 、〔1〕求证：四边形ABGD 是平行四边形； 〔2〕如果AD =，求证：四边形DGEC 是正方形、24、〔此题共3小题，总分值12分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题3分，第〔3〕小题5分〕 ：在平面直角坐标系中，一次函数3y x =+的图像与y 轴相交于点A ，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 、B 〔1，0〕，D 为顶点、〔1〕求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标； 〔2〕将上述二次函数的图像沿y 轴向上或向下平移，使点D 的对应点C 在一次函数3y x =+的图……………………………………C像上，求平移后所得图像的表达式；〔3〕设点P 在一次函数3y x =+的图像上，且2ABP ABC S S ∆∆=，求点P 的坐标、25、〔此题共3小题，总分值14分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕、〔3〕小题每题5分〕如图，在平行四边形ABCD 中，8AB =，tan 2B =，CE ⊥AB ，垂足为点E 〔点E 在边AB 上〕，F 为边AD 的中点，联结EF ，CD 、〔1〕如图1，当点E 是边AB 的中点时，求线段EF 的长；〔2〕如图2，设BC x =，△CEF 的面积等于y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数定义域； 〔3〕当16BC =时，∠EFD 与∠AEF 的度数满足数量关系：EFD k AEF ∠=∠，其中k ≥0，求k 的值、闵行区2018学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准【一】选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕1、C ；2、D ；3、B ；4、A ；5、B ；6、A 、【二】填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕7、2；8、(1)x y x -；9、2x =；10、1m ≤；11、3；12、增大；13、32x =；14、12； 15、1122a b +；16、37d <<；17、4；18、35、【三】解答题：〔本大题共7题，总分值78分〕19、解：原式32(2)(2)(2)32x x x x x x ++=⨯+-+……………………………………………〔4分〕 2x x =-、…………………………………………………………………〔2分〕当2x ====4分〕 20、解：由22441x x y y -+=，得21x y -=，21x y -=-、………………〔2分〕原方程组化为23,21x y x y +=⎧⎨-=⎩；23,2 1.x y x y +=⎧⎨-=-⎩……………………………………〔4分〕 解这两个方程组，得原方程组的解是 112,12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；221,1.x y =⎧⎨=⎩…………………………………………………〔4分〕 21、解：〔1〕在⊙A 中，∵AF ⊥DE ，DE =10， ∴1110522DF EF DE ===⨯=、…………………………………〔1分〕 在Rt △ADF 中，由12cos 13AF DAF AD ∠==， 得12AF k =，13AD k =、…………………………………………〔1分〕利用勾股定理，得222AF DF AD +=、∴222(12)5(13)k k +=、解得1k =、……………………………〔1分〕∴AD =13、…………………………………………………………〔1分〕〔2〕由〔1〕，可知1212AF k ==、………………………………………〔1分〕 ∵12AD DB =，∴13AD AB =、………………………………………〔1分〕 在⊙A 中，AD =AE 、又∵AB =AC ，∴AD AE AB AC=、∴DE //BC 、…………………〔1分〕 ∴13AF AD AG AB ==，EGC FEG ∠=∠、 ∴AG =36、∴24FG AG AF =-=、…………………………〔1分〕在Rt △EFG 中，5cot 24EF FEG FG ∠==、……………………………〔1分〕 即得5cot 24EGC ∠=、………………………………………………〔1分〕 22、解：〔1〕6∶00至22∶00用电量：4.5 4.4 4.6 4.6 4.3 4.6301356+++++⨯=、……………………………〔2分〕 22∶00至次日6∶00用电量：1.4 1.6 1.3 1.5 1.7 1.530456+++++⨯=、………………………………〔2分〕 所以135+45=180〔千瓦时〕、……………………………………〔1分〕 所以，估计该户居民去年9月总用电量为180千瓦时、〔2〕根据题意，得该户居民5月份总用电量为146.42400.61=〔千瓦时〕、〔1分〕 设该用户6月份6∶00至22∶00的用电量为x 千瓦时，那么22∶00至次日6∶00的用电量为〔240–x 〕千瓦时、根据题意，得0.610.30(240)127.8x x +-=、……………………〔2分〕 解得180x =、…………………………………………………………〔1分〕 所以24060x -=、…………………………………………………〔1分〕答：该用户6月份6∶00至22∶00与22∶00至次日6∶00两个时段的用电量分别为180、60千瓦时、23、证明：〔1〕∵DE ⊥BC ，且F 是DE 的中点，∴DC =EC 、即得∠DCF =∠ECF 、……………………………………………〔1分〕又∵AD //BC ，AB =CD ，∴∠B =∠DCF ，AB =EC 、∴∠B =∠ECF 、∴AB //EC 、…………………………………〔1分〕又∵AB =EC ，∴四边形ABEC 是平行四边形、……………〔1分〕 ∴12BG CG BC ==、………………………………………………〔1分〕 ∵BC =2AD ，∴AD =BG 、………………………………………〔1分〕又∵AD //BG ，∴四边形ABGD 是平行四边形、……………〔1分〕〔2〕∵四边形ABGD 是平行四边形，∴AB //DG ，AB =DG 、…………………………………………〔1分〕又∵AB //EC ，AB =EC ，∴DG //EC ，DG =EC 、∴四边形DGEC 是平行四边形、…………………………………〔1分〕 又∵DC =EC ，∴四边形DGEC 是菱形、……………………〔1分〕∴DG =DC 、由AD =，即得CG ==、………………〔1分〕 ∴222DG DC CG +=、∴90GDC ∠=︒、∴四边形DGEC 是正方形、……………………………………〔2分〕24、解：〔1〕由0x =，得3y =、∴点A 的坐标为A 〔0，3〕、………………………………………〔1分〕 ∵二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 〔0，3〕、B 〔1，0〕，∴3,10.c b c =⎧⎨-++=⎩……………………………………………………〔1分〕 解得2,3.b c =-⎧⎨=⎩∴所求二次函数的解析式为223y x x =--+、……………………〔1分〕 顶点D 的坐标为D 〔-1，4〕、…………………………………………〔1分〕 〔2〕设平移后的图像解析式为2(1)y x k =-++、根据题意，可知点C 〔-1，k 〕在一次函数3y x =+的图像上，∴13k -+=、…………………………………………………………〔1分〕 解得2k =、……………………………………………………………〔1分〕 ∴所求图像的表达式为2(1)2y x =-++或221y x x =--+、……〔1分〕 〔3〕设直线1x =-与x 轴交于点E 、由〔2〕得C 〔-1，2〕、又由A 〔0，3〕，得AC =根据题意，设点P 的坐标为P 〔m ，m +3〕、∵△ABP 与△ABC 同高，于是，当2ABP ABC S S ∆∆=时，得2AP AC ==1分〕 此时，有两种不同的情况：〔ⅰ〕当点P 在线段CA的延长线上时，得CP CA AP =+=0m >、过点P 作PQ 1垂直于x 轴，垂足为点Q 1、 易得1EO AP CA OQ =、解得2m =、即得35m +=、 ∴P 1〔2，5〕、………………………………………………………〔2分〕 〔ⅱ〕当点P 在线段AC的延长线上时，得CP AP AC =-0m <、过点P 作PQ 2垂直于x 轴，垂足为点Q 2、 易得2EQ OE AC PC =、解得2m =-、即得31m +=、 ∴P 2〔-2，1〕、………………………………………………………〔2分〕 综上所述，点P 的坐标为〔2，5〕或〔-2，1〕、另解：〔3〕由〔2〕得C 〔-1，2〕、又由A 〔0，3〕，得AC =根据题意，设点P 的坐标为P 〔m ，m +3〕、∵△ABP 与△ABC 同高，于是，当2ABP ABC S S ∆∆=时，得2AP AC ==1分〕 ∴28AP =、即得22(33)8m m ++-=、………………………………………〔1分〕 解得12m =，22m =-、………………………………………………〔1分〕 ∴m +3=5或1、……………………………………………………〔1分〕 ∴点P 的坐标为〔2，5〕或〔-2，1〕、……………………………〔1分〕25、解：〔1〕分别延长BA 、CF 相交于点P 、在平行四边形ABCD 中，AD //BC ，AD =BC 、……………………〔1分〕 又∵F 为边AD 的中点， ∴12PA AF PF PB BC PC ===、即得PA =AB =8、……………………〔1分〕 ∵点E 是边AB 的中点，AB =8，∴142AE BE AB ===、 即得12PE PA AE =+=、∵CE ⊥AB ，∴tan 428EC BE B =⋅=⨯=、∴PC ==1分〕 在Rt △PEC 中，90PEC ∠=︒，12PF PC =，∴12EF PC ==1分〕 〔2〕在Rt △PEC 中，tan 2EC B BE ==，∴12BE EC =、 由BC =x ，利用勾股定理222BE EC BC +=，得BE =、即得2EC BE ==、………………………〔1分〕∴8AE AB BE =-=、∴16PE PA AE =+=-、…〔1分〕于是，由12PF PC =，得111222EFC PEC y S S PE EC ∆∆===⨯⋅、∴1(16)4y x =、………………………………………〔1分〕∴2110y x =-，0x <≤、………………………………〔2分〕 〔3〕在平行四边形ABCD 中，AB //CD ，CD =AB =8，AD =BC =16、∵F 为边AD 的中点，∴182AF DF AD ===、………………〔1分〕 ∴FD =CD 、∴DFC DCF ∠=∠、………………………………〔1分〕 ∵AB //CD ，∴∠DCF =∠P 、∴∠DFC =∠P 、……………………………………………………〔1分〕在Rt △PEC 中，90PEC ∠=︒，12PF PC =， ∴EF =PF 、∴∠AEF =∠P =∠DFC 、又∵∠EFC =∠P +∠PEF =2∠PEF 、……………………………〔1分〕 ∴∠EFD =∠EFC +∠DFC =2∠AEF +∠AEF =3∠AEF 、即得k =3、……………………………………………………………〔1分〕。

专题18 图形的变化之解答题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共39小题）1．（2019•宝山区一模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF•CE＝AB2．【答案】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴AB：CE＝BF：AC，∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．2．（2019•青浦区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；（2）如果AC＝1，tan∠B，求∠CAD的正弦值．【答案】解：（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2∴∠DAB＝2∠CAD在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴∠DAB＝∠DBA∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°解得，∠CAD＝18°（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B，∴BC＝2由勾股定理得，AB∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E∴BE＝AE∵∠DAE＝∠DBE∴在Rt△ADE中tan∠B＝tan∠DAE∴DE∴由勾股定理得AD∴cos∠CAD∴sin∠CAD则∠CAD的正弦值为【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．3．（2019•青浦区二模）如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）【参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.5，sin22.8°＝0.39，cos22.8°＝092，tan22.8°＝0.42】【答案】解：∵AH⊥直线l，∴∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，tan∠ADH，∴DH，在Rt△BDH中，tan∠BDH，∴DH，∴，解得：AB≈5.3m，答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确的解直角三角形是解题的关键．4．（2019•浦东新区二模）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．【答案】解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin70°＝20×0.94＝18.8，∴AH＝20.8．答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得，解得，x1＝60，x2＝﹣40，经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．【点睛】本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用题，（1）题的关键是解直角三角形求出AC，（2）小题的关键是找出等量关系列出分式方程．5．（2019•长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF ⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：（1）∠ACE的正切值；（2）线段AE的长．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°，又∵CF⊥BD，∴∠CFB＝90°，∴∠BCE+∠CBD＝90°，∴∠ACE＝∠CBD，∵AC＝4且D是AC的中点，∴CD＝2，又∵BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°．∴tan∠BCD，∴tan∠ACE＝tan∠CBD；（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，在Rt△EHA中，∠EHA＝90°，∴tan A，∵BC＝3，AC＝4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴tan A，∴，设EH＝3k，AH＝4k，∵AE2＝EH2+AH2，∴AE＝5k，在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，∴tan∠ECA，∴CH k，∴AC＝AH+CH k＝4，解得：k，∴AE．【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．6．（2019•闵行区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cos∠，点D是边BC的中点，点E在边AC上，且，AD与BE相交于点F．求：（1）边AB的长；（2）的值．【答案】解：（1）∵AB＝AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝DC BC＝5，在Rt△ABD中，cos∠ABC，∴AB＝13；（2）过点E作EH∥BC，交AD与点H，∵EH∥BC，，∴，∵BD＝CD，∴，∵EH∥BC，∴．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理，掌握等腰三角形的三线合一、余弦的定义是解题的关键．7．（2019•金山区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，CE＝CB，CD＝5，sin∠．求：（1）BC的长．（2）tan E的值．【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是边AB的中点；∴CD AB，∵CD＝5，∴AB＝10，∵sin∠ABC，∴AC＝6∴；（2）作EH⊥BC，垂足为H，∴∠EHC＝∠EHB＝90°∵D是边AB的中点，∴BD＝CD AB，∠DCB＝∠ABC，∵∠ACB＝90°，∴∠EHC＝∠ACB，∴△EHC∽△ACB，∴由BC＝8，CE＝CB得CE＝8，∠CBE＝∠CEB，∴解得EH，CH，BH＝8∴tan∠CBE3，即tan E＝3．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练运用直角三角函以及三角形相似是解题的关键．8．（2019•徐汇区二模）如图，已知⊙O的弦AB长为8，延长AB至C，且BC AB，tan C．求：（1）⊙O的半径；（2）点C到直线AO的距离．【答案】解：（1）过O作OD⊥AB于D，则∠ODC＝90°，∵OD过O，∴AD＝BD，∵AB＝8，∴AD＝BD＝4，∵BC AB，∴BC＝4，∴DC＝4+4＝8，∵tan C，∴OD＝4，在Rt△ODA中，由勾股定理得：OA4，即⊙O的半径是4；（2）过C作CE⊥AO于E，则S△AOC，即，解得：CE＝6，即点C到直线AO的距离是6．【点睛】本题考查了垂径定理，三角形的面积公式，勾股定理，解直角三角形等知识点，能求出AD、OD的长度是解此题的关键．9．（2019•包头模拟）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．（1）求CF的长；（2）求∠D的正切值．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∵AD⊥AB，∴∠BAC+∠CAF＝90°，∴∠B＝∠CAF，∴△ABC∽△F AC，∴，即，解得CF；（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，则CH，∴AH，EH＝AE﹣AH，∴tan D＝tan∠ECH．【点睛】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造与∠D 相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．10．（2019•黄浦区一模）如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向（本题参考数据sin53°≈0.80，cos53°的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距海里．≈0.60，tan53°≈1.33．）（1）试问船B在灯塔P的什么方向？（2）求两船相距多少海里？（结果保留根号）【答案】解：（1）过P作PC⊥AB交AB于C，在Rt△APC中，∠C＝90°，∠APC＝53°，AP＝50海里，∴PC＝AP•cos53°＝50×0.60＝30海里，在Rt△PBC中，∵PB＝20，PC＝30，∴cos∠BPC，∴∠BPC＝30°，∴船B在灯塔P的南偏东30°的方向上；（2）∵AC＝AP•sin53°＝50×0.8＝40海里，BC PB＝10，∴AB＝AC﹣BC＝（40﹣10）海里，答：两船相距（40﹣10）海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三角函数值计算有关线段，难度一般．11．（2019•东阳市模拟）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架BF 所在直线相交于水箱横截面⊙O的圆心O，⊙O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB，垂足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．（1）求支架BF的长；（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°，tan32°，tan40°）【答案】解：：（1）∵∠OAC＝32°，OB⊥AD，∴tan∠OAB tan32°，∵AB＝2m，∴，∴OB＝1.24m，∵⊙O的半径为0.2m，∴BF＝1.04m；（2）∵∠AOD＝40°，OD⊥AD，∴∠OAD＝50°，∵∠OAC＝32°∴∠CAD＝18°，∴AB的坡度为tan18°，【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三角函数的知识即可求解，难度一般．12．（2019•松江区一模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．【答案】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE BP；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴，∴，∴，设CP＝k，则P A＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴P A＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，∴PD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2019•松江区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A．求底边BC的长．【答案】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cos A，∵cos A，AB＝5，∴AD＝AB•cos A＝53，∴BD4，∵AC＝AB＝5，∴DC＝2，∴BC2．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．（2019•靖江市一模）2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．（1）求道路AB段的长；（精确到1米）（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）【答案】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵tan∠ADC2，∵CD＝400，∴AC＝800，在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，∴AB1395 米；（2）∵AB＝1395，∴该车的速度55.8km/h＜60千米/时，故没有超速．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握三角函数定义．15．（2019•松江区一模）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）【答案】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP，设P A＝PN＝x，∵∠MAP＝58°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP，∵∠MBP＝31°，AB＝5，∴0.6，∴x＝3，∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．16．（2019•濉溪县二模）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】解：过点C作CG⊥AB于G，则四边形CFEG是矩形，∴EG＝CF＝0.45，设AD＝x，∴AE＝1.8﹣x，∴AC＝AB＝AE﹣BE＝1.6﹣x，AG＝AE﹣CF＝1.35﹣x，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，cos∠CAG0.8，解得：x＝0.35，∴AD＝0.35米，AB＝1.25米，答：AB和AD的长分别为1.25米，0.35米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．17．（2019•随县模拟）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【答案】解：（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得．即，∴B'C＝63cm．故BB'＝B'C﹣BC＝63﹣54＝9（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是9cm．【点睛】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．18．（2019•徐汇区校级一模）如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．（1）求楼间距MN；（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）【答案】解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，则四边形PEMN为矩形．∴EP＝MN由题意知：∠EPD＝55.7°∠EPC＝30°．在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP＝tan30°×EP EP≈0.58EP，在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP＝tan55.7°×EP≈1.47EP，∵CD＝ED﹣EC，∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5∴EP＝MN＝50（m）答：楼间距MN为50m．（2）∵EC＝0.58EP＝0.58×50＝29（m）∴CM＝90﹣29＝61（m）∵61÷3≈20.3≈21（层）答：点C位于第21层．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．19．（2019•浦东新区一模）“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， 1.4， 1.7）【答案】解：过点A作AM⊥BC，垂足为M．由题意知：AB＝2海里，∠NAC＝∠CAE＝45°，∠SAB＝37°，∠DBC＝23°，∵∠SAB＝37°，DB∥AS，∴∠DBA＝37°，∠EAB＝90°﹣∠SAB＝53°．∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°，∠CAB＝∠EAB+∠CAE＝53°+45°＝98°．∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣98°﹣60°＝22°．在Rt△AMB中，∵AB＝2海里，∠ABC＝60°，∴BM＝1海里，AM海里．在Rt△AMC中，tan C，∴CM 4.25（海里）∴CB＝CM+BM＝4.25+1＝5.25（海里）答：“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离为5.25海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解决本题的关键是作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角间关系求解．20．（2019•宝山区一模）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角为14°，求电梯AB的坡度与长度．参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．【答案】解：作BC⊥P A交P A的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，∵tan∠BQD，∴tan14°，即0.25，解得，ED＝18，∴AC＝ED＝18，∵BC＝7.5，∴tan∠BAC，即电梯AB的坡度是5：12，∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，∴AB．19.5，即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．21．（2019•青浦区一模）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°，cos67°，tan67°）【答案】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．在Rt△ABH中，∵sin B，∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12，∵cos B，∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16，在Rt△ACH中，∵tan∠ACH∠，∴CH5，∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．∵21÷25＜1，所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．22．（2019•寿光市模拟）某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．【答案】解：由题意可得，∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，CH＝DG＝EF＝1.5米，FG＝ED＝15米，∵∠ADC＝∠AED+∠EAD，∴∠EAD＝30°，∴∠EAD＝∠AED，∴ED＝AD，∴AD＝15米，∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴∠DAC＝30°，∴DC米，AC米，∴AH＝AC+CH米，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴∠DBC＝45°，∴∠BDC＝∠DBC，∴BC＝CD米，∴AB＝AC﹣BC米，即AH米，AB米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数和数形结合的思想解答．23．（2019•静安区一模）计算：【答案】解：原式＝3﹣2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．24．（2019•射阳县一模）“滑块铰链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链接装置（如图1）．图2是“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂AC＝20厘米，托臂BD＝40厘米，支点C，D之间的距离是10厘米，张角∠CAB＝60°．（1）求支点D到滑轨MN的距离（精确到1厘米）；（2）将滑块A向左侧移动到A′，（在移动过程中，托臂长度不变，即AC＝A′C′，BC＝BC′）当张角∠C′A'B＝45°时，求滑块A向左侧移动的距离（精确到1厘米）．（备用数据： 1.41， 1.73，2.45， 2.65）【答案】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，∵AC＝20，∠CAB＝60°，∴AG AC＝10，CG AG＝10，∵BC＝BD﹣CD＝30，∵CG⊥AB，DH⊥AB，∴CG∥DH，∴△BCG∽△BDH，∴，∴，∴DH23（厘米）；∴支点D到滑轨MN的距离为23厘米；（2）过C′作C′S⊥MN于S，∵A′C′＝AC＝20，∠C′A′S＝45°，∴A′S＝C′S＝10，∴BS10，∴A′B＝1010，∵BG10，∴AB＝10+10，∴AA′＝A′B﹣AB≈6（厘米），∴滑块A向左侧移动的距离是6厘米．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．（2019•闵行区一模）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249， 1.4142．【答案】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意，得HB＝CD＝3，EC＝15，HD＝BC，∠ABC＝∠AHD＝90°，∠ADH＝32°，设AB＝x，则AH＝x﹣3，在Rt△ABE中，由∠AEB＝45°，得tan∠AEB＝tan45°．∴EB＝AB＝x．∴HD＝BC＝BE+EC＝x+15，在Rt△AHD中，由∠AHD＝90°，得tan∠ADH，即得tan32°，解得：x32.99∴塔高AB约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．26．（2019•嘉定区一模）计算：2|1﹣sin60°|．【答案】解：2|1﹣sin60°|＝2（1）＝2＝2＝2．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．27．（2019•无锡一模）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）【答案】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i，设AB＝5x，则BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：这个车库的高度AB为5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．28．（2019•虹口区一模）计算：【答案】解：原式＝3+2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．29．（2019•金山区一模）计算：cos245°tan260°﹣cot45°•sin30°．【答案】解：原式＝（）2（）2﹣11+3＝2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．30．（2019•长宁区一模）计算：60°．【答案】解：原式（）2（）．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．31．（2019•崇明区一模）计算：cos245°cot30°•sin60°．【答案】解：原式＝（）2．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．32．（2019•普陀区一模）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【答案】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．33．（2019•长宁区一模）如图，小明站在江边某瞭望台DE的顶端D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°．若瞭望台DE垂直于江面，它的高度为3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，cot40°≈1.19）（1）求瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离；（2）求渔船A到迎水坡BC的底端B的距离．（结果保留一位小数）【答案】解：（1）延长DE交AB于点F，过点C作CG⊥AB，垂足为点G，由题意可知CE＝GF＝2，CG＝EF在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∴i，设CG＝4k，BG＝3k，则BC5k＝10，∴k＝2，∴BG＝6，∴CG＝EF＝8，∵DE＝3，∴DF＝DE+EF＝3+8＝11（米），答：瞭望台DE的顶端D到江面AB的距离为11米；（2）由题意得∠A＝40°，在Rt△ADF中，∠DF A＝90°，∴cot A，∴ 1.19，∴AF≈11×1.19＝13.09（m），∴AB＝AF﹣BG﹣GF＝5.09≈5.1（米），答：渔船A到迎水坡BC的底端B的距离为5.1米．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．34．（2019•黄浦区一模）计算：2cos245°tan45°．【答案】解：原式＝2×（）21＝21＝11＝46．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．35．（2019•宝山区一模）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．【答案】解：原式．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．36．（2019•金山区一模）如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2．求（1）背水坡AB的长度．（2）坝底BC的长度．【答案】解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为点M、N，根据题意，可知AM＝DN＝24（米），MN＝AD＝6（米），在Rt△ABM中，∵，∴BM＝72（米），∵AB2＝AM2+BM2，∴AB24（米），答：背水坡AB的长度为24米；（2）在Rt△DNC中，，∴CN＝48（米），∴BC＝72+6+48＝126（米），答：坝底BC的长度为126米．【点睛】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．37．（2019•普陀区一模）计算：4sin45°+cos230°．【答案】解：原式＝4（）2＝22（）．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38．（2019•杨浦区一模）如图，AD是△ABC的中线，tan B，cos C，AC．求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．【答案】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵cos C，AC，∴CH＝1，AH1，在Rt△ABH中，∵tan B，∴BH＝5，∴BC＝BH+CH＝6．（2）∵BD＝CD，∴CD＝3，DH＝2，AD在Rt△ADH中，sin∠ADH．∴∠ADC的正弦值为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考中考常考题型．39．（2019•杨浦区三模）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明你的理由．【答案】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD．∴△CDB∽△ADC．∴∵AB＝CB＝8∴BD＝4，AD＝12．。

上海市闵行区2019-2020学年中考第二次大联考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．小明和小亮按如图所示的规则玩一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列说法中正确的是（ ）A ．小明不是胜就是输，所以小明胜的概率为12B ．小明胜的概率是13，所以输的概率是23C ．两人出相同手势的概率为12 D ．小明胜的概率和小亮胜的概率一样 2．|﹣3|＝（ ）A ．13B ．﹣13C ．3D ．﹣3 3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a+b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b+c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在ABC V 中，30B ∠=︒，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ．如果8CE =，则ED 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．若直线y=kx+b 图象如图所示，则直线y=−bx+k 的图象大致是( )A．B．C．D．6．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是()A．70°B．60°C．55°D．50°9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（）A．6π B．4π C．8π D．410．反比例函数y=ax（a＞0，a为常数）和y=2x在第一象限内的图象如图所示，点M在y=ax的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=2x的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=2x的图象于点B，当点M在y=ax的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．2017年，全国参加汉语考试的人数约为6500000，将6500000用科学记数法表示为（）A．6.5×105B．6.5×106C．6.5×107D．65×10512．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD，反比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好经过点C和点D，则k的值为（）A．813B．81316C．813D．8134二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7 个单位长度到了+1，则点A 所表示的数是_____14．分解因式：8x²-8xy+2y²= _________________________ .15．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．16．在矩形ABCD中，AB=6CM，E为直线CD上一点，连接AC，BE，若AC与BE交与点F，DE=2，则EF：BE= ________ 。

考生注意：闵行区 2019 学年第二学期九年级质量监控考试数学试卷（考试时间 100 分钟，满分 150 分）1.本试卷含三个大题，共 25 题．2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.在下列各式中，与1xy2 是同类项的是3（A）2xy ；（B）-y2 x ；（C）xy2 +1；（D）x2 y ．32.方程x2 - 2 3x + 3 = 0 根的情况（A）有两个不相等的实数根；（B）有一个实数根；（C）无实数根；（D）有两个相等的实数根．3.在平面直角坐标系中，反比例函数y =k(k ≠ 0) 图像在每个象限内，y随着x的增大而增大，那么它的图像的x两个分支分别在（A）第一、三象限；（B）第二、四象限；（C）第一、二象限；（D）第三、四象限．4.某同学参加射击训练，共发射 8 发子弹，击中的环数分别为 5，3，7，5，6，4，5，5，则下列说法错误的是（A）其平均数为5；（B）其众数为5；（C）其方差为5；（D）其中位数为5．5.顺次联结四边形A B C D各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形A B C D是（A）平行四边形；（B）矩形；（C）菱形；（D）等腰梯形． 6．下列命题中正确的个数是① 过三点可以确定一个圆；②直角三角形的两条直角边长分别是5和12，那么它的外接圆半径为6.5；③ 如果两个半径为 2 厘米和 3 厘米的圆相切，那么圆心距为 5 厘米；④ 三角形的重心到三角形三边的距离相等．（A）1 个；（B）2 个；（C）3 个；（D）4 个．二、填空题：（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）7．计算：-5 + 22 = ．8．化简：1-1=．a 3a2 2 + 3⎨4 + x > 5x - 24 9．不等式组⎧2 ( x - 3 ) > 1⎩的解集是． 10. 方程 x - 2 ⋅ = 0 的解是．11. 为了考察闵行区 1 万名九年级学生数学知识与能力测试的成绩，从中抽取 50 本试卷，每本试卷 30 份，那么样本容量是 ．u u r uuur12. 如果向量 AB 与向量CD 方向相反，且 AB = CD = 5 ，那么 AB + CD = ．13. 在一张边长为 4c m 的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为 1c m 的圆形阴影区域，那么针头扎在阴影区域内的概率为 ．（结果保留π ）14. 把直线 y = -x + b 向左平移 2 个单位后，在y 轴上的截距为 5，那么原来的直线解析式为 ．15. 已知在梯形A B C D 中，A D ∥B C ，∠A B C = 90°，对角线A C 、B D 相交于点O ，且A C ⊥B D ，如果A D ︰B C=2︰3，那么D B ︰A C = ．16. 七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高 47 米，共 7 层．学校老师组织学生利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为 60°，塔底的俯角为45°，那么此时无人机距离地面的高度为米．（结果保留根号）17. 已知点（ -1 ，y ），（ ，y ），（2，y ）在函数 y = ax 2- 2ax + a - 2 （ a > 0 ）的图像上，那么y 、y 、y1 2 3 1 23按由小到大的顺序排列是 ．18. 如图，已知在△A B C 中，A B =A C =4，∠B A C =30°，将△A B C 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1 处，点C 落在点C 1 处，且B B 1⊥A C ．联结B 1C 和C 1C，那么 △B 1C 1C 的面积等于．三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分）BA（第 18 题图）-20201 3计算： (1 + 2)2- -1+ - 2 2 ．x - 1⎩20．（本题满分 10 分）⎧x - y = 2 ;解方程组： ⎨x 2- 2xy - 3y 2= 0 .21．（本题满分 10 分，其中每小题各 5 分）已知：如图，在△A B C 中，A B =A C =6，B C =4，A B 的垂直平分线交A B 于点E ，交B C 的延长线于点D ．（1） 求C D 的长； A（2） 求点C 到E D 的距离．C（第 21 题图）22．（本题满分 10 分，其中第（1）（2）小题各 3 分，第（3）小题 4 分）上海市为了增强居民的节水意识，避免水资源的浪费，全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量达到年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和价格见下表．仔细阅读上述材料，请解答下面的问题，并把答案写在答题纸上：（1）小静家2019 年上半年共计用水量100 立方米，应缴纳水费元；（2）小静家全年缴纳的水费共计1000.5元，那么2019年全年用水量为立方米；（3）如图所示是上海市“阶梯水价”y与用水量x的函数关系，那么第二阶梯（线段A B）的函数解析式为，定义域．1145.4y（元）BAO 220 300 x（立方米）（第22 题图）23．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）如图，已知在□A B C D 中，A E ⊥B C ，垂足为E ，C E =A B ，点F 为C E 的中点，点G 在线段C D 上，联结D F ，交 A G 于点M ，交E G 于点N ，且∠D F C =∠E G C ．（1） 求证：C G =D G ；（2） 求证： CG 2 = GM ⋅ AG ．B（第 23 题图）24．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分）在平面直角坐标系x O y 中，我们把以抛物线 y = x 2 上的动点A 为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．3如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为 2A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ．，且与y 轴交于点C ．设点A 的横坐标为m （m ＞0），过点（1） 当m =1 时，求这条“子抛物线”的解析式； （2） 用含m 的代数式表示∠A C B 的余切值； （3） 如果∠O A C =135°，求m 的值．（第 24 题图）AF HO GCDAF HO G CQDAFOC D25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）、（3）小题各 5 分）如图，已知圆O 是正六边形A B C D E F 外接圆，直径B E =8，点G 、H 分别在射线C D 、E F 上（点G 不与点C 、D 重合），且∠GBH=60°，设CG=x ，EH=y ．（1） 如图①，当直线B G 经过弧C D 的中点Q 时，求∠C B G 的度数； （2） 如图②，当点G 在边C D 上时，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3） 联结A H 、E G ，如果△A F H 与△D E G 相似，求C G 的长． BE（第 25 题图①BE（第 25 题图②BE（备用图）3 3 ⎨x - 3y = 0 ⎨x + y = 0 ⎨ y = 1 ⎨ y = -1 ⎨ y = 1 ⎨ y = -1 闵行区 2019 学年第二学期九年级质量监控考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．B ；2．D ；3．B ；4．C ；5．C ；6．A ．二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7． -1 ； 8． 2 ； 9． 7 < x < 7 ； 10． x = 2 ； 11．1500； 12． 0 ； 13． π；3a 2 1614． y = -x + 7 ； 15． 6 ； 16． 47 3 - 47； 17． y < y < y ； 18． 8 - 4 ．3 2 2 3 1三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）19．解：原式= 1 + 2 + 2 - 1 + 2 - 3 - 2 ………………………（2 分+2 分+2 分+2 分）= 4 - ． ............................................. （2 分）20．解：由②得： x - 3y = 0 ， x + y = 0 ........................................................................ （2 分）原方程组可化为⎧x - y = 2 ⎩， ⎧x - y = 2 ⎩ …………………………………（2 分）解得原方程组的解为⎧x = 3 ⎩， ⎧x = 1 ⎩ ……………………………………（5 分） ∴原方程组的解是⎧x = 3 ⎩， ⎧x = 1 ⎩ ………………………………………（1 分）21．解：（1）过A 点作A F ⊥B C 于点F ．∵A B =A C =6，B C =4，A F ⊥B C ，∴B F =F C =2，∠B F A =90°． .......................................................................（1 分） ∴在 R t △A B F 中， cos ∠B = BF = 1． ................................................... （1 分）AB 3∵A B 的垂直平分线交A B 于点E ，A B =6， ∴A E =B E =3，∠D E B =90°． ............................................................ （1 分）在 R t △D E B 中， cos ∠B = BE = 1，∴B D =9． ....................................（1 分）BD 3∴C D =5． ............................................................................ （1 分）（2）过C 点作C H ⊥E D 于点H ． ............................................. （1 分）∵C H ⊥E D ，A B ⊥E D ，∴∠D E B =∠D H C =90°， .............................................. （1 分）∴C H ∥A B ． ................................................................................... （1 分）∴ CH = CD ； ......................................... （1 分） BE BD∵B E =3，B D =9，C D =5，∴ CH = 5 ． .............................（1 分）∴点C 到E D 的距离C H 为 5．2 222．（1）345；................................................ （3 分）（2）270；.............................................. （3 分）（3）解析式：y = 4.83x - 303.6 ，定义域：220 <x ≤ 300 ．......... （3 分+1 分）23．证明：（1）∵□A B C D，C E=A B，∴A B=C D=E C；............................................................（1 分）又∵∠DFC=∠EGC，∠BCD=∠BCD，∴△ECG≌△DCF；……（1 分）∴C G=C F．....................................................................................................（1 分）1∵点F为C E的中点，∴C F=2C E；...........................................（1 分）1∴CG=2C D，即：C G=D G．........................................................................（1 分）（2）延长A G、B C交于点H．∵△E C G≌△D C F，∴∠C E G=∠C D F．...............................................（1 分）∵□ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAH=∠H，∠ADC=∠DCH．∴△A D G≌△H C G，∴A G=H G．....................................................................（1 分）∵A E⊥B C，∴∠A E C=90°，∴A G=H G=E G．.................................................（1 分）∴∠C E G=∠H，∴∠C D F=∠D A H．...............................................................（1 分）又∵∠A G D=∠D G A，∴△A D G∽△D M G．..............................................................（1 分）∴ MG=DG，∴ DG2 =GM ⋅AG .................................................... （1 分）DG AG又∵C G=D G，∴CG2 =GM ⋅AG ．............................... （1 分）24．解：（1）由题得，A（m，m2），当m=1时，A（1，1），..................................................................... （1分）∴这条“子抛物线”的解析式：y =3(x -1)2 +1 ． ............. （2 分）2（2）由A（m，m2），且A B⊥y轴，可得A B=m，O B=m2．......................... （1分）∴“子抛物线”的解析式为y =3(x -m)2 +m2 ．............... （1 分）2令x= 0，y =5m2 ，∴点C的坐标（0，5m2 ），OC =5m2 ，2 2 2∴BC =3m2 ．............................................. （1 分）23m2在R t△A B C中，cot∠ACB=BC=2AB m=3m ．............. （1 分）2（3）如图，过O点作O D⊥C A的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交B A的延长线于点E，交x轴于点F．...................................（1 分）∵∠OAC=135°，∴∠OAD=45°，又∵OD⊥CA，∴∠OAD=∠AOD=45°，∴AD=OD，∴△AED≌△DFO，∴A E=D F，D E=O F．................................................（1 分）设A E=n，那么D F=n，B E=m+n=O F=E D．又∵O B=E F，∴m2 =m + 2n ． ................... （1 分）AF HO G CQDAF HO M GCD又∵∠BCA=∠ADE ，∴ cot ∠ADE = DE = m + n = 3m ．……（1 分）AE n 2 ⎧m 2 = m + 2n解方程组⎪ ，得 m = 2 ， m = - 1 （舍去） ⎨ m + n = 3 m 1 2 3 ⎩⎪n 2∴m 的值为 2． ..................... （1 分）25．解：（1）如图①，联结O Q ．∵正六边形A B C D E F ，∴B C =D E ，∠A B C =120°．∴ B ≈C = D ≈E 1 ，∠EBC= 2∠ABC=60°．……（1 分） ∵点Q 是C ≈D 的中点， ∴ C ≈Q = D ⋯Q ． .......................................... （1 分） ∴ B ≈C + C ≈Q = Q ≈D + D ≈E ， 即 B ≈Q = E ≈Q ． .......................................... （1 分） ∴∠BOQ=∠EOQ ， 又∵∠BOQ+∠EOQ=180°， ∴∠BOQ=∠EOQ=90°．又∵BO=OQ ，∴∠OBQ=∠BQO=45°，∴∠C B G =60° - 45°=15°． ................. （1 分）（2） 如图②，在B E 上截取E M =H E ，联结H M ．∵正六边形A B C D E F ，直径B E =8，∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，1BE（第25 题图①）∴∠FEB= 2∠F E D =60°．BE∵E M =H E ，E H =y ， ∴E M =H E =H M =y ，∠H M E =60°，∴∠C =∠H M B =120°． ................................... （1 分） ∵∠EBC=∠GBH=60°， ∴∠EBC - ∠GBE=∠EBC - ∠GBE ，即∠H B E =∠G B C ． ..................................................（1 分）（第25 题图②）∴△BCG ∽△BMH ，∴ BC = CG． ............... （1 分）BM MH又∵C G =x ，B E =8，B C =4，∴ 4 = x，8 - y y∴y 与x 的函数关系式为 y =8xx + 4（ 0 < x < 4 ）． ......... （1 分+1 分） （3） 如图③，当点G 在边C D 上时．由于△AFH ∽△EDG ，且∠CDE=∠AFE=120°，① 当 AF = FH．∵AF=ED ，∴FH=DG ，ED DG即： x = y = 8xx + 4，解分式方程得 x = 4 ．A FHOGC D A FOC D G经检验x = 4 是原方程的解，但不符合题意舍去． ........... （1 分）② 当AF=FH．即：4=4 -y，解分式方程得x = 12 ．DG DE 4 -x 4经检验x =12 是原方程的解，但不符合题意舍去．......... （1 分）如图④，当点G在C D的延长线上时．由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，① 当AF=FH．∵AF=ED，∴FH=DG，ED DG即：x =y =8xx + 4，解分式方程得x = 4 ．经检验x = 4 是原方程的解，但不符合题意舍去． .............（1 分）② 当AF=FH．即：4=y - 4，解分式方程得x = 12 ．DG DE x - 4 4经检验x =12 是原方程的解，且符合题意．................. （1 分）∴综上所述，如果△A F H与△D E G相似，那么C G的长为 12．…（1 分）HB E B E（第25 题图③（第25 题图④。

2019年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ； 2．A ； 3．B ； 4．C ； 5．A ； 6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．5a ； 8．(9)x x -； 9．2； 10．x = 3； 11．41； 12．- 2； 13．113；14．8.5； 15．13b a -； 16．10； 17．- 18．56． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式221(2)22x x x x x x -=÷-+++ ……………………………………………（2分） 2221(2)2x x x x x x +-=⨯-++ ………………………………………………（2分） 122x x x x -=-++ …………………………………………………………（2分） 12x =+．………………………………………………………………（2分）当1x =时，1==． …………………………………………（2分）20．解：由②得 22x >-．…………………………………………………………（2分）解得 1x >-． ……………………………………………………………（1分） 由②得 231x x ≥-．…………………………………………………………（2分） 解得 1x ≤． ………………………………………………………………（1分） 所以，原不等式组的解集为11x -<≤． …………………………………（2分） 在数轴画解集略．正确2分．21．解：（1）∵ AB = AC ，AD ⊥BC ，∴ 152BD CD BC ===． ………………（2分） 在Rt △ABD 中，5cos 13BD ABC AB ∠==．∴ 131351355AB BD ==⨯=． ∴ AB = 13． …………………………………………………………（3分）（2）过点E 作EG // BC ，交AD 与点G ．∵ EG // BC ，23AE AC =，∴ 23EG AE CD AC ==．……………………（2分） ∵ BD = CD ，∴ 23EG BD =．………………………………………（1分） 又∵ EG // BC ，∴ 23EF EG BF BD ==． ………………………………（2分） 22．解：（1）由题意，得110y x =．………………………………………………………………（2分） 22575y x =-．…………………………………………………………（2分）（2）画函数图像略．…………………………………………………………（3分）（3）由题意，得 102575x x =-． ……………………………………（1分）解得 x = 5．……………………………………………………………（1分）1010550x =⨯=（千米）．……………………………………………（1分） 答：当x = 5小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．23．证明：（1）在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴ ∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．……………………………（1分）∵ AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴ ∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴ ∠G =∠DCA ．…………………………………………………（1分）∴ ∠G =∠DAC ．…………………………………………………（1分）∵ BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴ AC = OD ． ……………………（1分）在△ACG 和△DOA 中，∵ ∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴ △ACG ≌△DOA ． ……………………………………………（2分）（2）∵ AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴ ∠DOC =∠DEF = 90°．…………（1分） 又∵ ∠CDO =∠FDE ，∴ △CDO ∽△FDE ．…………………（1分）∴ CD OD DF DE=．即得 OD DF DE CD ⋅=⋅． ……………………（2分） ∵ △ACG ≌△DOA ，∴ AG = AD = CD ． ……………………（1分）又∵ 12OD BD =，∴ 2DF BD DE AG ⋅=⋅．…………………（1分）24．解：（1）由题意，得30,9330.a b a b +-=⎧⎨+-=⎩………………………………………………………（1分） 解得 1,4.a b =-⎧⎨=⎩…………………………………………………………（1分） 所以，所求抛物线的解析式为 243y x x =-+-． ………………（1分）由 x = 0，得 y = -3．∴ 点C 的坐标为（0，-3）．…………………………………………（1分）（2）联结AC 、BC ．过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵ B （3，0），C （0，3），∴ OB = OC = 3．BC =．……………………………………（1分）在Rt △BOC 和Rt △BHA 中，∠AHB =∠COB = 90°．∴ cos BH OB ABH AB BC ∠===．∴ BH 1分）即得 AH =CH =． ………………………………………（1分）在Rt △ACH 中，∠AHC = 90°，∴ 1tan 2AH ACB CH ∠==．……………………………………………（1分） （3）联结BE ．设EF = a ．由 14EF BF =，得 BF = 4a ．…………………（1分）又∵ 1tan 2EF ACB CF ∠==，∴ CF = 2a ．…………………………（1分） ∴ BC = BF +FC = 6a ．∴ 6a =解得 a =．即得 EF =．………………………………（1分）∴ 113222BCE S BC EF ∆=⋅==． ………………………（1分）25．（1）证明：∵ PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴ ∠PBA =∠PCA = 90°．…………（1分）在四边形ABPC 中，∠BAC +∠PCA +∠BPC +∠PBA = 360°， ………………………（1分）∴ ∠BAC +∠BPC = 180°． ………………………………………（1分）又∵ ∠BPD +∠BPC = 180°，∴ ∠BAC =∠BPD ． ………………………………………………（1分）（2）解：由 BE ⊥AP ，∠D = 90°，BE = BD ，得 ∠BPD =∠BPE ．即得 ∠BPE =∠BAC ． ……………………（1分）在Rt △ABP 中，由 ∠ABP = 90°，BE ⊥AP ，得 ∠APB =∠ABE ．即得 ∠BAC =∠ABE ．………………………………………………（1分）∴ sin sin AE BAC ABE AB ∠=∠=．又∵ AB =∴ 6AE ==．…………………………………………（1分）∴ 2BE =． ………………………（1分）∴ BD = 2． …………………………………………………………（1分）（3）解：过点B 作BG ⊥AC ，垂足为点G ．过点Q 作QH // BD ．设BD = 2a ，PC = 2b ，则 CD = 2a + 2b ．在Rt △ABG 和Rt △BDP 中，由 ∠BAC =∠BPD = 45°，得 BG = AG ，DP = BD ．∵ QH // BD ，点Q 为BP 的中点．∴ 1PH PQ DH BQ==．即得 PH = a ． ∴ 12QH BD a ==，CH = PH + PC = a + 2b ．……………………（1分） 又∵ BD // AC ，CD ⊥AC ，BG ⊥AC ，∴ BG = DC = 2a + 2b ．即得 AC = 4a +2b ．由 BE // QC ，BE ⊥AP ，得 ∠CQP =∠BEP = 90°．又由 ∠ACP = 90°，得 ∠QCH =∠P AC ．∴ △ACP ∽△QCH ．∴ PC AC QH HC =．即得 2422b a b a a b +=+． 解得 a = b ．……………………………………………………………（1分）∴ CH = 3a ．∴CQ =．……………………………………（1分） 又∵ ∠QHC =∠PFC = 90°，∠QCH =∠PCF ，∴ △QCH ∽△PFC ．∴ HC QC CF PC=． 即得3a FC =．解得FC =．…………………………（1分） ∴QF QC FC =-=． 又∵ BE // QC ，Q 是PB 的中点，∴ 1PF PQ EF BQ ==．即得 PE = EF ． 于是，△PQF 与△CEF 面积之比等于高之比，即 23PQF CEF S QF S FC ∆∆==．…………………………………………………（1分）。

2019年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列各数中是无理数的是( )A.B. C. 237 D. 4p【答案】D【解析】【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【详解】A. =34是分数，为有理数，此选项错误；B.是有理数，此选项错误；C.237是分数，为有理数，此选项错误；D.4p 是无理数，此选项正确.故选D 【点睛】本题考查了无理数的概念：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．熟练掌握概念是解题的关键.2. 下列方程中，没有实数根方程是( )A.1= B. 210x x +-=C. 1122x x -=+D. x=-【答案】A【解析】【分析】根据根的判别式△=b 2-4ac ，逐一分析四个选项中方程根的判别式的符号，由此即可得出结论．【详解】A. 1=可变形为：220x +=△=b 2−4ac =0−8=-8<0，的1=没有实数根；B. △=b 2−4ac =1+4=5>0∴方程210x x +-=有两个不相等的实数根；C.1122x x -=+可变形为：2x-x=2+2为一元一次方程，有一个实数根；D. x =-可变形为：220x x --=△=b 2−4ac =1+8=9>0x =-有两个不相等的实数根.故选A【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ¹0)的根的判别式△=b 2−4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.3. 若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】已知直线y =kx +b 经过第一、二、四象限，则得到k ＜0，b ＞0，那么直线y =bx +k 经过第一、三、四象限．即不经过第二象限．故选B ．【点睛】本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y =kx +b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b =0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．4. 下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是（ ）A. 平均数B. 众数C. 方差D. 频数【答案】C【解析】【分析】根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择．【详解】A. 平均数是表示一组数据集中趋势的量数，故本选项错误；B. 众数是表示在一组数据中，出现次数最多的数据，故本选项错误；C. 方差是表示一组数据离散程度的度量，故本选项正确；D. 频数表示某一项或某一组出现次数，是直观的数量，故本选项错误.故选C.【点睛】本题考查了离散程度的量，熟练掌握平均数，众数，方差，频数各自的含义是解题的关键.5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不一定成立的是（ ）A. AD ＝BDB. BD ＝CDC. ∠BAD ＝∠CADD. ∠B ＝∠C【答案】A【解析】【分析】根据已知和公共边科证明△ADB ≌△ACD ，则这两个三角形的对应角、对应边相等，据此即可解答．【详解】∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，AD ⊥BC ，∴Rt △ADB ≌Rt △ACD （HL ），∴BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C （全等三角形的对应角、对应边相等）故B 、C 、D 一定成立，A 不一定成立．故选A ．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定和性质，解决问题时注意利用已知隐含的条件AD 是公共边．6. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(3，4)为圆心，4为半径的圆一定A. 与x 轴和y 轴都相交B. 与x 轴和y 轴都相切C. 与x 轴相交、与y 轴相切D. 与x 轴相切、与y 轴相交．【答案】D【解析】【分析】根据点的坐标得到圆心到x 轴的距离是4，到Y 轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．【详解】圆心到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，4=4，3<4，∴圆与x 轴相切，与y 轴相交，的【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，正确写出与x ，y 轴的距离是解题的关键.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：a 2•a 3=_____．【答案】a 5．【解析】【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．【详解】a 2•a 3=a 2+3=a 5，故答案为a 5．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．8. 分解因式：3x 9x -=____.【答案】()()x x 3x 3+-【解析】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x 后继续应用平方差公式分解即可：()()()22x 9x x x 9x x 3x 3-=-=+-．9. 已知函数f （x ）＝1x x +，那么f （﹣2）＝_____．【答案】2【解析】【分析】把x ＝﹣2代入函数解析式即可求解．【详解】解：当x ＝﹣2时，f （﹣2）＝22+1-- ＝2．故答案是：2．【点睛】本题考查知识点是求函数的值，只要把x 的取值代入函数解析式即可．10. x =的解为_____．【答案】3【解析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可．【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2∴x2﹣2x﹣3＝0，解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．故答案为3．【点睛】此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则11. 一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于_____．【答案】41【解析】【分析】已知一元二次方程的根判别式为△＝b2﹣4ac，代入计算即可求解.【详解】依题意，一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4∴根的判别式为：△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41故答案为41【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式为△＝b2﹣4ac是解决问题的关键.12. 已知反比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1），则k＝_____．【答案】-2【解析】【分析】直接把点（2，﹣1）代入反比例函数y＝kx即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝2x，解得k＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13. 从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A 的概率是______．【答案】113【解析】【分析】一副52张（没有大小王）的扑克牌中A 有4张，利用概率计算公式能求出抽到的这张牌是A 的概率．【详解】一副52张(没有大小王)的扑克牌中任意抽取一张，基本事件总数n =52，一副52张(没有大小王)的扑克牌中有4四张A ，抽到的这张牌是A 的基本事件个数m =4，∴抽到的这张牌是A 的概率p =m n =452=113故答案为113【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.14. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数是_____．成绩（环）678910次数25364【答案】8.5【解析】分析】先利用表格中数据得出数据个数，再利用中位数的定义求出答案即可．【详解】由表格中数据可得射击次数为20，中位数是第10个和第11个数据的平均数，故这个射击运动员这次成绩的中位数是：12×（8+9）＝8.5．故答案为8.5．【点睛】本题考查了中位数的求法，正确利用中位数的定义求解是解决问题的关键．15. 如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD ＝2AD ．设AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，那么BD uuu r ＝_____．（结果用向量a r 、b r的式子表示）【【答案】13b a -r r 【解析】【分析】首先由向量的知识，得到AD uuu v 和AB uuu v 的值，即可得到BD uuu v的值.【详解】∵在△ABC 中，点D 在边AC 上，且CD =2AD ，∴13AD AC =uuu v uuu v =13b v ，又∵AB a=uuu v v ∴BD uuu v =AD uuu v -AB uuu v =13b v -a v 故答案为13b a -v v 【点睛】本题考查了平面向量，找到向量关系是解题的关键.16. 如图，已知在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ．如果CD=4，AB=16，那么OC =_____．【答案】10【解析】【分析】根据垂径定理求出AD 的长，设半径OC=OA=r ，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r 的方程，解出即可得出OC 的长．【详解】设半径OC=OA=r ，则OD=OC-CD=r-4Q 半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ，AB=16∴AD =12AB =8，在Rt △AOD 中,OD 2+AD 2=OA ）即（r-4）2+82=r 2解得：r=10故答案10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17. 如图，斜坡AB 的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD ，那么BD ＝_____米．（结果保留根号）【答案】-【解析】【分析】根据坡角为45°，求出AC ，再根据∠ADC=30°，由三角函数的概念可求得DC 的长,即可得到BC 的长.【详解】∵在直角三角形ACB 中，斜边AB =200米，坡角为45°∴AC，在直角三角形ACD 中,∠ADC =30°，∴tan30°=AC DC∴DC= (米)；∴BD=DC-BC=(米)；故答案为-【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用,关键是两个直角三角形有公共的直角边,先求出公共边是解决此类题目的基本出发点.18. 如图，在△ABC 中，AB = AC = 5，BC =，D 为边AC 上一点(点D 与点A 、C 不重合)．将△ABC 沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，联结CE ．如果CE // AB ，那么AD ︰CD =______．为【答案】5 6．【解析】【分析】作AG⊥BC,作BH⊥CE交EC的延长线于H,延长BD和CE交于点F,根据勾股定理求出BG和CG的值；易证△BCH∽△ABG，得出对应边成比例即可求出BH和CH的值；根据折叠可知AB=BE=5，得出EH及CE的值；根据FH// AB可求出FC；最后根据FC// AB即可求出答案.【详解】如图，作AG⊥BC,作BH⊥CE交EC的延长线于H,延长BD和CE交于点F,Q AC=AB=5,\Q FH// AB\AÐBG=BCHÐQÐH=AGBÐ=90°\△BCH∽△ABG\BHAG=BCAB=CHBG\\BH=4,CH=2由折叠得，AB=BE=5\=3,CE=3-2=1 Q FH// AB\ÐF=ABDÐ=ÐEBD\EF=BE=5\FC=5+1=6 Q FC// AB\ADCD=ABFC=56故答案为56.【点睛】本题考查了折叠的性质及相似三角形的判定及性质，作合适的辅助线是解题的关键.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 先化简，再求值：2214422x x xx x x x-¸-++++，其中x﹣1．1-．【解析】试题分析：试题解析：原式=2221 (2)2 x x xx x x+-´-++=122 x xx x--++=12 x+当1时，原式1=-.考点：分式的化简求值．20. 解不等式组：6244 2133x xx x->-ìïí³-ïî，，并把解集在数轴上表示出来．【答案】11x -<£；数轴表示见解析.【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，然后找出公共部分，并在数轴上表示即可.【详解】解：6x-2442133x x x >-ìïí³-ïî①② 由①得2x>-2解得1x >-．由②得2x ³3x-1解得1x £．所以，原不等式组的解集为11x -<£．在数轴画解集如下图：【点睛】本题考查了求不等式组的解集，熟练掌握不等式的求法是解题的关键.21. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，BC = 10，5cos 13ABC Ð=，点D 是边BC 的中点，点E 在边AC 上，且23AE AC =，AD 与BE 相交于点F ．(1)求：边AB 的长.(2)求：EF BF 的值．【答案】(1)AB=13；(2)23.【解析】【分析】(1) 根据AB = AC，AD⊥BC得出BD的长；在Rt△ABD中，根据三角函数即可得出AB的长；(2) 过点E作EG // BC，交AD与点G，得出23EG AECD AC===EGBD，再根据EG // BC即可解出.【详解】解：(1)∵AB = AC，AD⊥BC，∴152BD CD BC===．在Rt△ABD中，5 cos13BDABCABÐ==．∴131351355AB BD==´=．∴AB=13．(2)过点E作EG // BC，交AD与点G．∵EG // BC，23 AEAC=，∴23 EG AECD AC==．∵BD = CD，∴23 EGBD=．又∵EG // BC，∴23 EF EGBF BD==．【点睛】本题考查了平行线段成比例，正确作出平行线是解题的关键.22. 甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时．设甲出发后x小时，甲离开出发地的路程为y1千米，乙离开出发地的路程为y2千米．试回答下列问题：(1)求y1、y2关于x的函数解析式；(2)在同一直角坐标系中，画出(1)中两个函数的图像；(3)当x为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？【答案】(1)110y x =；22575y x =-；(2)见解析；(3)x =5小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．【解析】【分析】(1) 由题意，可直接写出两个函数的解析式及定义域；(2) 根据(1)中的两个解析式，在同一直角坐标系中画出两函数的图像；(3)根据题意可得到102575x x =-解出x 的值即可得出结论.【详解】解：(1)由题意，得110y x =．22575y x =-．(2)画函数图像如下：(3)由题意，得102575x x =-．解得x=5．1010550x =´=(千米)．答：当x =5小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，找出等量关系是解题的关键.23. 如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD = 2AC ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG ⊥AC ，与AE 的延长线相交于点G ．(1)求证：△ACG ≌△DOA ；(2)求证：2DF BD DE AG ×=×．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1) 根据菱形的性质得到∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°；根据垂直得出∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°从而得出∠G =∠DAC ；根据BD = 2AC ，BD = 2OD 得出AC = OD ；即可判断全等(2) 根据垂直易证△CDO ∽△FDE 得出OD DF DE CD ×=×；根据△ACG ≌△DOA 及12OD BD =即可得出结论.【详解】证明：(1)在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．∵AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴∠G =∠DCA ．∴∠G =∠DAC ．∵BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴AC = OD ．在△ACG 和△DOA 中，∵∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴△ACG ≌△DOA ．(2)∵AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴∠DOC =∠DEF = 90°．又∵∠CDO =∠FDE ，∴△CDO ∽△FDE ． ∴CD OD DF DE=．即得OD DF DE CD ×=×．∵△ACG ≌△DOA ，∴AG = AD = CD ．又∵12OD BD =，∴2DF BD DE AG ×=×．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质，熟练掌握性质和判定是解题的关键.24. 已知抛物线2y x b x c =-++经过点A(1，0)、B(3，0)，且与y 轴的公共点为点C ．(1)求抛物线的解析式，并求出点C 的坐标；(2)求∠ACB 的正切值；(3)点E 为线段AC 上一点，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为点F ．如果14EF BF =，求△BCE 的面积．【答案】(1)243y x x =-+-；C(0，-3)；(2)1tan 2ACB Ð=；(3)32.【解析】【分析】(1) 将A(1，0)、B(3，0)代入抛物线求出抛物线的解析式，令x=0即可得出点C 的坐标；(2) 连接AC 、BC ．过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D,根据题意可得出BC ；根据∠ADB =∠COB = 90°可得出BD ；在Rt △ACD 中即可得出tan ACB Ð的值.(3) 连接BE ．设EF = a. 由14EF BF =，得 BF = 4a ．根据三角函数值即可求出a 的值.从而求出△BCE的面积.【详解】解：(1)由题意，得309330a b a b +-=ìí+-=î解得14a b =-ìí=î所以，所求抛物线的解析式为243y x x =-+-．由x=0，得y=-3．∴点C 的坐标为(0，-3)．(2) 连接AC 、BC ．过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D ．∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB = OC = 3．BC ==在Rt △BOC 和Rt △BDA 中，∠ADB =∠COB = 90°．∴cos BD OB ABD AB BC Ð===．∴BD =．即得 AD =，CD =．在Rt △ACD 中，∠ADC = 90°，∴1tan 2AD ACB CD Ð==．(3)连接BE ．设EF = a ．由14EF BF =，得 BF = 4a ．又∵1tan 2EF ACB CF Ð==，∴CF = 2a ．∴BC = BF +FC = 6a ．∴6a =．解得a =．即得 EF =．∴113222BCE S BC EF =×==V ．【点睛】本题考查了二次函数的综合，以及三角函数的求值，解题的关键是找到直角三角形得出所需线段的值.25. 如图，点P 为∠MAN 的内部一点．过点P 分别作PB ⊥AM 、PC ⊥AN ，垂足分别为点B 、C ．过点B 作BD ⊥CP ，与CP 的延长线相交于点D ．BE ⊥AP ，垂足为点E ．(1)求证：∠BPD =∠MAN ；(2)如果sin MAN Ð=AB =，BE=BD ，求BD 长；(3)如图2，设点Q 是线段BP 的中点．联结QC 、CE ，QC 交AP 于点F ．如果∠MAN= 45°，且BE//QC ，求PQFCEF S S D D 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)BD=2；(3)23.【解析】的【分析】（1）根据垂直的定义得出∠PBA =∠PCA = 90°，根据四边形内角和为360°得∠BAC +∠BPC = 180°.根据平角∠BPD +∠BPC = 180°，等量代换得出∠BAC =∠BPD 即可得出结论.（2）根据BE ⊥AP ，∠D = 90°，BE = BD 可得∠BPD =∠BPE ，等量代换得∠BPE =∠BAC ；在Rt △ABP 中根据同角的余角相等得出∠BAC =∠ABE ，等角的正弦相等可求出AE 的值，根据勾股定理求出BD=BE=2（3）过点B 作BG ⊥AC ，垂足为点G ．过点Q 作QH // BD ．设BD = 2a ，PC = 2b ，则 CD = 2a + 2b ．可得出AC = 4a +2b.由BE // QC 易证△QCH ∽△PFC ，再根据△PQF 与△CEF 面积之比等于高之比即可求出.【详解】(1)证明：∵PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴∠PBA =∠PCA = 90°．在四边形ABPC 中，∠BAC +∠PCA +∠BPC +∠PBA = 360°，∴∠BAC +∠BPC = 180°．又∵∠BPD +∠BPC = 180°，∴∠BAC =∠BPD ．即∠MAN =∠BPD.(2)解：由BE ⊥AP ，∠D = 90°，BE = BD ，得 ∠BPD =∠BPE ．即得 ∠BPE =∠BAC ．在Rt △ABP 中，由 ∠ABP = 90°，BE ⊥AP ，得∠APB =∠ABE ．即得∠BAC =∠ABE ．∴sin sin AE BAC ABE AB Ð=Ð==．又∵AB =，∴6AE ==．∴2BE ===．∴BD=2．(3)解：过点B 作BG ⊥AC ，垂足为点G ．过点Q 作QH // BD ．设BD = 2a ，PC = 2b ，则 CD = 2a + 2b ．在Rt △ABG 和Rt △BDP 中，由 ∠BAC =∠BPD = 45°，得BG = AG ，DP = BD ．∵QH//BD ，点Q 为BP 的中点．∴1PH PQ DH BQ==．即得 PH = a ．∴12QH BD a ==，CH = PH + PC = a + 2b ．又∵BD //AC ，CD ⊥AC ，BG ⊥AC ，∴BG = DC = 2a + 2b ．即得AC = 4a +2b ．由BE // QC ，BE ⊥AP ，得 ∠CQP =∠BEP = 90°．又由∠ACP = 90°，得 ∠QCH =∠PAC ．∴△ACP ∽△QCH ．∴PC AC QH HC=．即得2422b a b a a b+=+．解得a = b ．∴CH = 3a ．∴CQ ==．又∵∠QHC =∠PFC = 90°，∠QCH =∠PCF ，∴△QCH ∽△PFC ．∴HC QC CF PC=．即得3a FC =解得FC =．∴QF QC FC =-==．又∵BE // QC ，Q 是PB 的中点，∴1PF PQ EF BQ==．即得PE=EF ．于是，△PQF 与△CEF 面积之比等于高之比，即23PQFCEF S QF S FC D D ==．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形以及三角函数的综合，作出合适的辅助线是解题的关键.。

2018~2019学年上海市闵行区九年级二模数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各数中是无理数的是（ ）（A （B ； （C ）237； （D ）4π． 2. 下列方程中，没有实数根的方程是（ ）（A 1；（B ）210x x +-=；（C ）1122x x -=+；（D x =-． 3. 已知直线y k x b =+经过第一、二、四象限，那么直线y b x k =+一定不经过（ ） （A ）第一象限； （B ）第二象限；（C ）第三象限； （D ）第四象限. 4. 下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是（ ）（A ）平均数； （B ）众数： （C ）方差； （D ）频数． 5. 已知在ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，那么下列结论不一定成立的是（ ）（A ）AD BD =； （B ）BD CD =； （C ）BAD CAD ∠=∠； （D ）∠B =∠C ．6. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆一定（ ）（A ）与x 轴和y 轴都相交； （B ）与x 轴和y 轴都相切；（C ）与x 轴相交、与y 轴相切；（D ）与x 轴相切、与y 轴相交．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：23a a ⋅= ．8. 在实数范围内分解因式：29x x -= ． 9. 已知函数()1xf x x =+，那么(2)f -= ．10. x 的解是 ．11. 一元二次方程22340x x --=根的判别式的值等于 ．12. 已知反比例函数ky x=的图像经过点(2,1)A -，那么k = ． 13. 从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A 的概率是 ． 14. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如右表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数是 ．成绩（环） 6 7 8 9 10 次数2 53 6 415. 如图，在ABC △中，点D 在边AC 上，且2CD AD =．设AB a =uu u r r ，AC b =uuu r r，那么BD =u u u r．（结果用向量a r 、b r 的式子表示） 16. 如图，已知在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点D ．如果4CD =，16AB =，那么OC = ．第15题图 第16题图 第17题图17. 如图，斜坡AB 的长为200米，其坡角为45︒．现把它改成坡角为30︒的斜坡AD ，那么BD = 米．（结果保留根号）18. 如图，在ABC △中，=5AB AC =，25BC =，D 为边AC 上一点（点D 与点A 、C 不重合）．将ABC △沿直线BD 翻折，使点A 落在点E 处，联结CE ．如果CE //AB ，那么:AD CD = ．第18题图三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）先化简，再求值：2214422x x x x x x x -÷-++++，其中21x =．20. （本题满分10分）解不等式组：62442133xx x x ->-⎧⎪⎨≥-⎪⎩，，并把解集在数轴上表示出来．21. （本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，在ABC △中，AB AC =，10BC =，5cos 13ABC ∠=，点D 是边BC 的中点，点E 在边AC 上，且23AE AC =，AD 与BE 相交于点F ． 求：（1）边AB 的长； （2）EFBF的值．22. （本题共3小题，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各3分，满分10分）甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时．设甲出发后x 小时，甲离开出发地的路程为1y 千米，乙离开出发地的路程为2y 千米．试回答下列问题： （1）求1y 、2y 关于x 的函数解析式；（2）在同一直角坐标系中，画出（1）中两个函数的图像；（3）当x 为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？23. （本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，2BD AC =．过点A 作AE CD ⊥，垂足为点E ，AE 与BD 相交于点F ．过点C 作CG AC ⊥，与AE 的延长线相交于点G ．求证：（1）ACG △≌DOA △；（2）2DF BD DE AG ⋅=⋅．24.（本题共3小题，每小题各4分，满分12分）已知抛物线2y x b x c=-++经过点(1,0)A、(3,0)B，且与y轴的公共点为点C．（1）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；（2）求ACB∠的正切值；（3）点E为线段AC上一点，过点E作EF BC⊥，垂足为点F．如果14EFBF=，求BCE△的面积．25.（本题共3小题，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分，满分14分）如图1，点P为MAN∠的内部一点．过点P分别作PB AM⊥、PC AN⊥，垂足分别为点B、C．过点B作BD CP⊥，与CP的延长线相交于点D．BE AP⊥，垂足为点E．（1）求证：BPD MAN∠=∠；（2）如果310 sinMAN∠=，210AB=，BE BD=，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果45MAN∠=︒，且BE//QC，求PQFCEFSS∆∆的值．图1 图22018~2019学年上海市闵行区九年级二模数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．D ； 2．A ； 3．B ； 4．C ； 5．A ； 6．D ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．5a ； 8．(9)x x -； 9．2； 10．x = 3； 11．41； 12．- 2； 13．113；14．8.5； 15．13b a -r r ； 16．10； 17． 18．56．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式221(2)22x x x x x x -=÷-+++ ……………………………………………（2分）2221(2)2x x x x x x +-=⨯-++ ………………………………………………（2分） 122x x x x -=-++ …………………………………………………………（2分） 12x =+．………………………………………………………………（2分）当1x =时，1==．…………………………………………（2分）20．解：由②得 22x >-．…………………………………………………………（2分）解得 1x >-． ……………………………………………………………（1分） 由②得 231x x ≥-．…………………………………………………………（2分） 解得 1x ≤． ………………………………………………………………（1分） 所以，原不等式组的解集为11x -<≤． …………………………………（2分） 在数轴画解集略．正确2分．21．解：（1）∵ AB = AC ，AD ⊥BC ，∴ 152BD CD BC ===． ………………（2分）在Rt △ABD 中，5cos 13BD ABC AB ∠==．∴ 131351355AB BD ==⨯=．∴ AB = 13． …………………………………………………………（3分）（2）过点E 作EG // BC ，交AD 与点G ．∵ EG // BC ，23AE AC =，∴ 23EG AE CD AC ==．……………………（2分）∵ BD = CD ，∴23EG BD =．………………………………………（1分）又∵ EG // BC ，∴ 23EF EG BF BD ==．………………………………（2分） 22．解：（1）由题意，得110y x =．………………………………………………………………（2分） 22575y x =-．…………………………………………………………（2分） （2）画函数图像略．…………………………………………………………（3分） （3）由题意，得 102575x x =-． ……………………………………（1分）解得 x = 5．……………………………………………………………（1分） 1010550x =⨯=（千米）．……………………………………………（1分） 答：当x = 5小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．23．证明：（1）在菱形ABCD 中，AD = CD ，AC ⊥BD ，OB = OD ．∴ ∠DAC =∠DCA ，∠AOD = 90°．……………………………（1分） ∵ AE ⊥CD ，CG ⊥AC ，∴ ∠DCA +∠GCE = 90°，∠G +∠GCE = 90°．∴ ∠G =∠DCA ．…………………………………………………（1分） ∴ ∠G =∠DAC ．…………………………………………………（1分） ∵ BD = 2AC ，BD = 2OD ，∴ AC = OD ． ……………………（1分） 在△ACG 和△DOA 中，∵ ∠ACG =∠AOD ，∠G =∠DAC ，AC = OD ，∴ △ACG ≌△DOA ． ……………………………………………（2分） （2）∵ AE ⊥CD ，BD ⊥AC ，∴ ∠DOC =∠DEF = 90°．…………（1分） 又∵ ∠CDO =∠FDE ，∴ △CDO ∽△FDE ．…………………（1分）∴CD ODDF DE=．即得 OD DF DE CD ⋅=⋅． ……………………（2分） ∵ △ACG ≌△DOA ，∴ AG = AD = CD ． ……………………（1分）又∵ 12OD BD =，∴ 2DF BD DE AG ⋅=⋅．…………………（1分）24．解：（1）由题意，得30,9330.a b a b +-=⎧⎨+-=⎩………………………………………………………（1分） 解得 1,4.a b =-⎧⎨=⎩…………………………………………………………（1分）所以，所求抛物线的解析式为 243y x x =-+-． ………………（1分） 由 x = 0，得 y = -3．∴ 点C 的坐标为（0，-3）．…………………………………………（1分）（2）联结AC 、BC ．过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵ B （3，0），C （0，3），∴ OB = OC = 3．BC =．……………………………………（1分） 在Rt △BOC 和Rt △BHA 中，∠AHB =∠COB = 90°．∴ cos BH OB ABH AB BC ∠===．∴ BH ………………（1分）即得 AH =CH =． ………………………………………（1分） 在Rt △ACH 中，∠AHC = 90°，∴ 1tan 2AH ACB CH ∠==．……………………………………………（1分）（3）联结BE ．设EF = a ．由 14EF BF =，得 BF = 4a ．…………………（1分）又∵ 1tan 2EF ACB CF ∠==，∴ CF = 2a ．…………………………（1分）∴ BC = BF +FC = 6a ．∴ 6a =解得 a =EF ．………………………………（1分）∴ 113222BCE S BC EF ∆=⋅=． ………………………（1分）25．（1）证明：∵ PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴ ∠PBA =∠PCA = 90°．…………（1分）在四边形ABPC 中，∠BAC +∠PCA +∠BPC +∠PBA = 360°， ………………………（1分） ∴ ∠BAC +∠BPC = 180°． ………………………………………（1分） 又∵ ∠BPD +∠BPC = 180°，∴ ∠BAC =∠BPD ． ………………………………………………（1分）（2）解：由 BE ⊥AP ，∠D = 90°，BE = BD ，得 ∠BPD =∠BPE ．即得 ∠BPE =∠BAC ． ……………………（1分） 在Rt △ABP 中，由 ∠ABP = 90°，BE ⊥AP ，得 ∠APB =∠ABE ． 即得 ∠BAC =∠ABE ．………………………………………………（1分）∴ sin sin AE BAC ABE AB ∠=∠==．又∵ AB =∴ 6AE ==．…………………………………………（1分）∴ 2BE =． ………………………（1分） ∴ BD = 2． …………………………………………………………（1分）（3）解：过点B 作BG ⊥AC ，垂足为点G ．过点Q 作QH // BD ．设BD = 2a ，PC = 2b ，则 CD = 2a + 2b ．在Rt △ABG 和Rt △BDP 中，由 ∠BAC =∠BPD = 45°， 得 BG = AG ，DP = BD ．∵ QH // BD ，点Q 为BP 的中点． ∴1PH PQDH BQ==．即得 PH = a ． ∴ 12QH BD a ==，CH = PH + PC = a + 2b ．……………………（1分）又∵ BD // AC ，CD ⊥AC ，BG ⊥AC ，∴ BG = DC = 2a + 2b ．即得 AC = 4a +2b ．由 BE // QC ，BE ⊥AP ，得 ∠CQP =∠BEP = 90°． 又由 ∠ACP = 90°，得 ∠QCH =∠P AC ． ∴ △ACP ∽△QCH ． ∴PC AC QH HC =．即得 2422b a ba a b+=+． 解得 a = b ．……………………………………………………………（1分） ∴ CH = 3a ．∴CQ =．……………………………………（1分） 又∵ ∠QHC =∠PFC = 90°，∠QCH =∠PCF ， ∴ △QCH ∽△PFC ．∴ HC QCCF PC=． 即得3a FC =．解得FC =．…………………………（1分）∴QF QC FC =-=． 又∵ BE // QC ，Q 是PB 的中点， ∴1PF PQEF BQ==．即得 PE = EF ． 于是，△PQF 与△CEF 面积之比等于高之比， 即23PQF CEFS QF S FC ∆∆==．…………………………………………………（1分）。

2019年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列各数中是无理数的是（）2.下列方程中，没有实数根的方程是（）A B.x+x-1=0d.177^3.己知直线y=kx^b经过第一、二、四象限，那么直线y=bx+k一定不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是（）A,平均数 B.众数 C.方差 D.频数5.如图，在△A3。

中，AB^AC,AD±B C于点则下列结论不一定成立的是（）A.AD=BDB.BD=CDC.ZBAD=ZCADD.ZB=ZC6.在平面直角坐标系xOy中，以点（3,4）为圆心，4为半径的圆一定（A.与x轴和y轴都相交B,与x轴和y轴都相切C.与x轴相交、与y轴相切D.与x轴相切、与y轴相交二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：a2,a i=.8.分解因式：J-9、=.9.已知函数/（x）=图,那么f（-2）=.10.方程l/x+S寻的解为•11.一元二次方程2x2_3x_4=0根的判别式的值等于13.从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A的概率是.14.一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数是.成绩（环）678910次数2536415.如图，在△A3C中，点D在边AC上，且CD=2AD.设同=口，思=同，那么同=•（结果用向量2、同的式子表示）16.如图，己知在。

中，半径OC垂直于弦AB,垂足为点D.如果CD=4,AB=16,那么OC=17.如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°.现把它改成坡角为30°的斜坡AQ,那么BQ=米.（结果保留根号）18.如图，在ZVIBC中，AB=AC=5,BC=2而D为边AC1.一点（点£）与点A、。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，数轴上有M 、N 、P 、Q 四个点，其中点P 所表示的数为a ，则数-3a 所对应的点可能是( )A ．MB ．NC ．PD ．Q【答案】A【解析】解：∵点P 所表示的数为a ，点P 在数轴的右边，∴-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍，∴数-3a 所对应的点可能是M ，故选A ．点睛：本题考查了数轴，解决本题的关键是判断-3a 一定在原点的左边，且到原点的距离是点P 到原点距离的3倍．2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ） A ．零上3℃ B ．零下3℃C ．零上7℃D ．零下7℃【答案】B【解析】试题分析：由题意知，“-”代表零下，因此-3℃表示气温为零下3℃. 故选B.考点：负数的意义3．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒【答案】C【解析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC 、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD ，计算即可．【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形 ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒ ∵CD CB = ∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒ ∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键． 4．要使分式有意义，则x 的取值应满足（ ）A ．x=﹣2B ．x≠2C ．x ＞﹣2D ．x≠﹣2【答案】D【解析】试题分析：∵分式有意义，∴x+1≠0，∴x≠﹣1，即x 的取值应满足：x≠﹣1．故选D ．考点：分式有意义的条件．5．如图，在⊙O 中，弦BC ＝1，点A 是圆上一点，且∠BAC ＝30°，则BC 的长是( )A ．πB ．13πC ．12πD ．16π【答案】B【解析】连接OB ，OC ．首先证明△OBC 是等边三角形，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：连接OB ，OC ．∵∠BOC ＝2∠BAC ＝60°， ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴OB ＝OC ＝BC ＝1， ∴BC 的长＝6011803ππ⋅⋅=， 故选B ． 【点睛】考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 6．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元． A ．140 B ．120C ．160D ．100【答案】B【解析】设商品进价为x元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即可．【详解】解：设商品的进价为x元，售价为每件0.8×200元，由题意得0.8×200=x+40解得：x=120答：商品进价为120元．故选：B．【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．7．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．50°【答案】D【解析】根据两直线平行，内错角相等计算即可.【详解】因为m∥n，所以∠2=∠1+30°，所以∠2=30°+20°=50°，故选D.【点睛】本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键.8．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（）A．8 B．6 C．12 D．10【答案】C【解析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．【详解】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，即△PCD的周长为12，故选：C．【点睛】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA ＝PB 、AC ＝CE 和BD ＝ED 是解题的关键．9．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（ ）A ．115°B ．120°C ．130°D ．140°【答案】A【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°．∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，故选A ．10．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD .若34B ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．112︒C ．124︒D ．146︒【答案】B【解析】根据题意可知DE 是AC 的垂直平分线，CD=DA ．即可得到∠DCE=∠A ，而∠A 和∠B 互余可求出∠A ，由三角形外角性质即可求出∠CDA 的度数. 【详解】解：∵DE 是AC 的垂直平分线， ∴DA=DC ， ∴∠DCE=∠A ，∵∠ACB=90°，∠B=34°， ∴∠A=56°，∴∠CDA=∠DCE+∠A=112°， 故选B ． 【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形有关角的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题（本题包括8个小题）11．一个圆锥的母线长为5cm ，底面半径为1cm ，那么这个圆锥的侧面积为_____cm 1． 【答案】10π【解析】分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．详解：∵圆锥的底面半径为5cm ，∴圆锥的底面圆的周长=1π•5=10π，∴圆锥的侧面积=12•10π•1=10π（cm 1）． 故答案为10π．点睛：本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=12•l•R ，（l 为弧长）． 12．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则a n ＝__________（用含n 的代数式表示）．所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 471013…a n【答案】3n+1．【解析】试题分析：从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n 次时，共有4+3（n-1）=3n+1．试题解析：故剪n 次时，共有4+3（n-1）=3n+1． 考点：规律型：图形的变化类．13．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】43【解析】试题分析：1204=2180r ππ⨯，解得r=43．考点：弧长的计算．14．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线21x y =（x≥0）与22x y 5=（x≥0）于B 、C 两点，过点C作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB=_．【答案】5【解析】试题分析：本题我们可以假设一个点的坐标，然后进行求解．设点C的坐标为（1，15），则点B的坐标为5，15），点D的坐标为（1，1），点E的坐标为51），则5，51，则DEAB=55．考点：二次函数的性质15．关于x的不等式组3515-12xx a->⎧⎨≤⎩有2个整数解，则a的取值范围是____________.【答案】8⩽a<13；【解析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解不等式3x−5>1，得：x>2，解不等式5x−a⩽12,得：x⩽125a+，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4⩽125a+<5，解得：8⩽a<13，故答案为：8⩽a<13【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键16．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两.牛二，羊五，值金八两。

上海市闵行区2019届高三二模数学试卷2019.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设全集{}4,3,2,1,0=U ，集合{}1,2A =， {}1,3B =，则U A B =ð ． 2．抛物线22y x =的准线方程为 ．3．已知函数2()log f x x =的反函数为1()f x -，则1(2)f -= ．4．已知等比数列{}n a 的首项为1，公比为12-，n S 表示{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞= ．5．若关于,x y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为 ．6．在ABC △中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，其面积)(31222b c a S -+=，则ta n B =______________．7．若2(2nx +的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 为 ． 8．设不等式组6020360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的可行域为Ω，若指数函数xy a =的图像与Ω有公共点，则a 的取值范围是 ．9．若函数()2sin cos f x x x x ωωω=的图像关于直线3x π=对称，则正数ω的最小值为 ．10．在正方体1111ABCD A B C D -的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为 ．11．若函数()2()4292918x x f x x x x =+-+-+有零点，则其所有零点的集合为 ．（用列举法表示）12．如图，A 是22:9O x y +=上的任意一点，B C 、是O 直径的两个端点，点D 在直径BC 上，3BD DC =，点P 在线段AC 上，若1+2AP PB PD λλ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则点P 的轨迹方程为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．已知l 、m 、n 是三条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是（ ） (A) 若l m ⊥，l n ⊥，则n m // (B ) 若m α，n β，//αβ，则n m //(C) 若m α，n α，mn A =，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥(D) 平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ14．过点()1,0与双曲线2214x y -=仅有一个公共点的直线有 （ ） (A) 1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条15．十七世纪，法国数学家费马提出猜想：“当整数2>n 时，关于z y x ,,的方程nnnzy x =+没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是 （ ）①对任意正整数n ，关于z y x ,,的方程nnnz y x =+都没有正整数解； ②当整数2>n 时，关于z y x ,,的方程nnnz y x =+至少存在一组正整数解； ③当正整数2n ≤时，关于z y x ,,的方程nnnz y x =+至少存在一组正整数解； ④若关于z y x ,,的方程nnnz y x =+至少存在一组正整数解，则正整数2n ≤. (A) ①② (B) ①③ (C) ②④ (D) ③④ 16．如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y x =±等分成八个区域(不含边界)．已知数列{}n a ，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，对任意的正整数n ，均有()12=-n n n a S a .当0n a >时，点()1,n n n P a a +（ ） (A)只能在区域② (B)只能在区域②或④ (C) 在区域①②③④均会出现(D) 当n 为奇数时，点n P 在区域②或④，当n 为偶数时，点n P 在区域①或③三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥底面ABCD ，1PD =.（1）求直线PB 与平面PCD 所成的角的大小； （2）求四棱锥P ABCD -的侧面积.xABPD18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知复数z满足z =2z 的虚部为2．（1）求复数z ；（2）设复数22z z z z -、、在复平面上对应的点分别为A B C 、、，求：()OA OB OC +⋅的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入．据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m 万元．现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名[]()*45,60x x ∈∈N 且，调整后研发人员的年人均投入增加%2x ，技术人员的年人均投入调整为3)50xma -（万元． （1）要使这100x -名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数．（2）是否存在这样的实数a ，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．把半椭圆()22122:10x y x a bΓ+=≥与圆弧()()2222:10x y a x Γ-+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中()1,0F 为1Γ的右焦点．如图所示，1A 、2A 、1B 、2B 分别是“曲圆”与x 轴、y 轴的交点，已知1223B FB π∠=，过点F 且倾斜角为θ的直线交“曲圆”于P Q 、两点（P 在x 轴的上方．．）． （1）求半椭圆1Γ和圆弧2Γ的方程；（2）当点P Q 、分别在第一、第三象限时，求1A PQ △的周长C 的取值范围；xyOA 1FA 2B 1B 2（3）若射线FP 绕点F 顺时针．．．旋转2π交“曲圆”于点R ，请用θ表示P R 、两点的坐标，并求FPR △的面积的最小值．21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足： n *∈N ，11,n n n n n n a b c b c a ++=-=-，1n n n c a b +=-，记{}max ,,n n n n d a b c = ({}max ,,n n n a b c 表示3个实数,,n n n a b c 中的最大数)．（1）若1118,4,2a b c ===，求数列{}n d 的前n 项和n S ；（2）若1111,1,,a b c x =-== 当x ∈R 时，求满足条件23d d =的x 的取值范围；（3）证明：对于任意正整数111,,a b c ，必存在正整数k ，使得1k k a a +=，11,k k k k b b c c ++==．上海市闵行区2019届高三二模数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．；8．；9．； 10．； 11．；12．. 二. 选择题 13．C ； 14．D ； 15．D ； 16．B ． 三. 解答题17．[解] （1）因为PD ⊥底面ABCD ， 所以PD ⊥BC ，又因为BC ⊥CD ， 所以BC ⊥平面PCD ，所以是直线PB 与平面PCD 所成的角， ………………3分 在中，BC ,PC所以直线PB 与平面PCD所成的角的大小 . ………………7分（2）四棱锥P-ABCD 的侧面积所以四棱锥P-ABCD 的侧面积为……………………14分18．[解] （1）设，则 ………………4分 .所以或 ………………………6分（2）当时，，， ……………………8分所以 ……………………10分 所以 ………………12分 当时，，， 所以.所以 ……………14分 19．[解] （1）解：, ……………4分 解得所以调整后的技术人员的人数为50． ……………………6分（2）因为，由恒成立得……8分 因为恒成立 …………………10分 {}212x =-4233435(]1,214255{}2,1,1,2--()2214x y -+=CPB ∠Rt PCB △2==tan arctan 55CPB CPB ∠=⇒∠=arctan 5=2S 2S 2122PCD PCB S CD PD BC PC +=⋅+⋅=⨯+=+△△侧2+(,)z x yi x y =+∈R 22222x y xy ⎧+=⎨=⎩11x y x y ⇒====-或1z i =+1z i =--1z i =+22z i =21z z i -=-()()()1,10,21,1A B C -、、()()()1,31,1132OA OB OC +⋅=⋅-=-=-1z i =--22z i =213z z i -=--()()()1,10,21,3A B C ----、、()()()1,11,3132OA OB OC +⋅=-⋅--=-=-100)(12%)100m x x m -+=（50=x []*45,60,x x ∈∈N 3)50x ma m -≥（235a ≥3()(100)(12%)50xx m a x m x ⋅-≤-+所以恒成立 因为当等号成立所以． ……………………………………12分所以存在实数满足条件． ……………………………………14分20．[解] (1) 解：（1）易得，：，……2分：. …………………4分（2）由题意可知，此时为腰长为2的等腰三角形，，故的周长.…8分所以周长的取值范围为. ……………10分 （3）不妨设， 由题意知,即 ………………………12分（其中， ，以下步骤未求出也给2分）①当时，将的坐标代入得： ，整理得，解得或（舍去），从而可得.令，则当即时，. ……………14分[]*1001,45,60,25x a x x x ≤++∈∈N 10015,25x x++≥50x =5≤a 23,55a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,1a c ==1Γ()221043x y x +=≥2Γ()()22140x y x -+=<0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1AQF △14sin 2AQ θ=1A PQ △11C QA QF PF A P =+++22sin2a a a θ=++()64sin 6,82θ=+∈C ()6,81||r FP =2||r FR =11(1cos ,sin )P r r θθ+221cos ,sin 22R r r ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()221sin ,cos R r r θθ+-132cos r θ=+232sin r θ=+12r r 、203θπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，P 13422=+y x 22113(1cos )4(sin )120r r θθ++-=2211(4cos )6cos 90r r θθ-+-=132cos r θ=+13cos 2r θ=-2332sin 2cos 2r πθθ==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()12113319222cos 2sin 2sin cos 2sin cos 4FPR S r r θθθθθθ==⋅⋅=⋅+++++△sin cos 4t πθθθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭2947FPR S t t =++△2=t ⎥⎦⎤ ⎝⎛∈=ππθ32,04()min FPR S =△OA 1 FA B 1B 2 QP②当时，综上可得:的面积的最小值为. …………………16分21．[解] （1）（1）可求；；；所以； …………………2分所以． …………………………4分（2）…………………………6分.………8分所以满足条件的的取值范围为.10分 （通过函数的图像（要画出），找出的表达式，最后得出正确结论，给6分） 解法2：如果，则， …………………………6分 所以时， …………………………8分 所以或所以满足条件的的取值范围为. ……………10分（3）证明：（I ）先证明“若中至少有一个为0，则另两个数相等” 不妨设，假设，因为，所以，23θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1211332222sin 2sin FPRS r r θθ==⋅⋅=>>++△PFR △2499+2222,6,4a b c ===3332,2,4a b c ===2,2,0(4)n n n a b c n ===≥1238,6,4,2(4)n d d d d n ====≥29,(4)212,(5)n n n n s n n ⎧-+≤=⎨+≥⎩2221,1,2a xb xc =-=+=21,12,111,1x xd x x x +≥⎧⎪⇒=-<<⎨⎪-+≤-⎩33312,12,11a xb xc x x =+-=--=--+⇒31,0132,31131,103x x xd x x x x x ⎧+≤≤≤-⎪=-<<-<<⎨⎪--≤≤≥⎩或或或23d d =x {}1,1-222()1,()1,()2a x x b x x c x =-=+=3()d x 2221,1,2a xb xc =-=+=220a b ⋅≠23d d >23d d =220a b ⋅=1x =-1x =23d d =x {}1,1-(),,2k k k a b c k ≥0k a =k k b c ≠0k a =11k k b c --=-1|b 2(所以与矛盾，所以……12分 所以有.所以此时必存在正整数，使得 ………14分(II)再证明：“若 都不为0，则：” 不妨设，则，所以…………………16分所以此时一定严格递减下去，直至存在正整数，使得，此时中有一个为0，由（I ）可知此时命题也成立. 所以对于任意正整数必存在正整数，使得：． ………………… 18分 证法2：因为 ① 当且仅当等号成立，②当且仅当等号成立，③当且仅当等号成立，所以. ……………………12分 （I ）若三个数至少有两个相等,不妨设 则 所以必存在正整数，使得.………14分(II) 若三个数互不相等,则……………16分所以此时一定严格递减下去，直至存在正整数，使得，此时中有两个相等，由（I ）可知此时命题也成立． 所以对于任意正整数必存在正整数，使得：．……………………18分1111k k k k k k b c a b a c ----=-=-=k k b c ≠k k b c =1110,k k k k k k a a b c b c +++=====k 111,,k k k k k k a a b b c c +++===(),,2k k k a b c k ≥1k k d d +<k k a d ={}1max ,,k k k k k k a b c b c a +=-<<11,k k k k k k k k b a c a c b a a ++=-<=-<{}1111max ,,k k k k k k d a b c a d ++++=<=k d m 1m m d d +=,,m m m a b c 111,,,a b c k 111,,k k k k k k a a b b c c +++===1111111k k k k k k k k k k c a b c b c a a b c +------=-=---≤-=()2k ≥()()11110k k k k c b c a ------≤11111k k k k k k k k a b c a c a b a +----=-=---≤()2k ≥()()11110k k k k a c a b ------≤11111k k k k k k k k b a c b c b a b +----=-=---≤()2k ≥()()11110k k k k b c b a ------≤1k k d d +≤()2k ≥111,,k k k a b c ---11,k k a b --=11110,k k k k k k k c a b c a c b ----==-=-=k 10,k k k c a b +=-=11k k k k k k k k a b c a c b a b ++=-=-===111,,k k k a b c ---()2k ≥1,k k d d -<k d m 1m m d d +=111,,m m m a b c ---111,,,a b c k 111,,k k k k k k a a b b c c +++===。