2020届江西省南昌市高考二模考试数学试卷分析及详解

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 复数z 1=a +2i ，z 2=−2+i ，若|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是 ( )A. (−1,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)2. 已知集合A ={−1,0,1,2,3}，B ={x||x |≤1}，则A ∩B = ( )A. {−1,0,1}B. {−1,1}C. [−1,1]D. {2,3}3. 设平面α与平面β相交于直线l ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥l ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数f(x)={3+log 2x,x >0,x 2−x −1,x ≤0,则不等式f(x)<5的解集为( )A. [−1,1]B. (−2,4)C. [2,4]D. (−∞,−2]∪[0,4]5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2=ac ，sinAsinB +sinBsinC =1−cos2B ，则角A =( )A. π4B. π3C. π6 D. 5π126. 设单位向量e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 的夹角为2π3，a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −3e 2⃗⃗⃗ ，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为( ) A. −3√32B. −√3C. √3D. 3√327. 函数f(x)=1−x 2e x的图象大致为( )A.B.C.D.8. 直线4x −3y =0被圆(x −1)2+(y −3)2=10所截得弦长为( )A. 3B. 3√2C. 6D. 6√29.已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)与g(x)=A2cosωx的部分图象如图所示，则()A. A=1，ω=3πB. A=2，ω=π3C. A=1，ω=π3D. A=2，ω=3π10.如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得的仰角分别为45°和30°，已知CD=100m，点C位于BD上，则山高AB等于()A. 50(√3+1)mB. 50√3mC. 50√2mD. 100m11.已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC=θ，若Γ的离心率为√2，则()A. θ∈(0,π2) B. θ=π2C. θ∈(3π4,π) D. θ=3π412.若函数f(x)=sinx+cosx−2sinxcosx+1−a有零点，则实数a的取值范围为()A. [√2,94] B. [−√2,2] C. [−2,√2] D. [−√2,94]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件{y≤x+1y≥2x−4x+2y≥2，则目标函数z=3x−2y的最大值为______ ．14.如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC上一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB=______ ．15.若x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+..+a5(x+1)5，则a4=______，a1+a3+a5=______．16.如图所示，四边形BCDE是一个正方形，AB⊥平面BCDE，则图中互相垂直的平面有______对．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在等差数列{a n}中，已知a1+a3+a8=9,a2+a5+a11=21．(I)求数列{a n}的通项a n；(II)若c n=2a n+3，求数列{a n·c n}的前n项和S n．18.如图，在△ABC中，∠ABC=π，O为AB边上一点，且3OB=3OC=2AB，已知PO⊥平面ABC，42DA=2AO=PO，且DA//PO．(1)求证：平面PBD⊥平面COD；(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值．19.已知椭圆与双曲线x22−y2=1有相同的焦点坐标，且点(√3,12)在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设A、B分别是椭圆的左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，垂足为B，连接AM交椭圆于点P(异于A)，则是否存在定点T，使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．20.已知f(x)=lnx−ax+a，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若g(x)=f(x)+12(x−1)2有三个不同的零点，求a的取值范围．21.在某次测试中，卷面满分为100分，考生得分为整数，规定60分及以上为及格．某调研课题小组为了调查午休对考生复习效果的影响，对午休和不午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如表：0.010的前提下认为成绩及格与午休有关”？(参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，曲线C)+1=0，曲线C与x轴的交点记为P．的极坐标方程为ρ2−2√2ρsin(θ+π4(1)求C的直角坐标方程并写出P点的直角坐标；(2)设过点M(−1,0)的直线l与C交于A，B两点，求证：|MA|·|MB|=|MP|2．23.设函数f(x)=|x−m|+|x−3m|，m∈N∗，存在实数x，使得f(x)<4成立．(1)求不等式f(x)<2x的解集；(2)若a≥3，b≥3，且满足f(a)+f(b)=12，求证：4a +1b≥910．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了复数的模.利用复数的模，结合题目条件计算得结论．【解答】解：由题意可得，|z1|=√4+a2，|z2|=√5，∵|z1|<|z2|，∴√4+a2<√5，∴解得−1<a<1．故选A．2.答案：A解析：【分析】本题考查交集运算，属于简单题．求出B集合，再进行交集的运算即可．【解答】解：A={−1,0,1,2,3}，B={x||x|≤1}={x|−1≤x≤1}，所以A∩B={−1,0,1}，故选A．3.答案：B解析：解：由题意可得α∩β=l，a⊂α，b⊂β，若再满足a⊥b，则不能推得α⊥β；但若满足α⊥β，由面面垂直的性质定理可得a⊥b故“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件．故选：B．分析题可知：在题目的前提下，由“a⊥b”不能推得“α⊥β”，由面面垂直的性质定理可由“α⊥β”推出“a⊥b”，从而可得答案．本题考查充要条件的判断，涉及空间中的线面位置关系，属基础题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查的是分段函数及分段不等式的求解，属于中档题．处理分段函数相关问题主要采用分类讨论思想，当x>0时，，解得：0<x<4，当x≤0时，x2−x−1<5，解得：−2<x<3，综合即可求解．【解答】解：当x>0时，有3+log2x<5，解得：0<x<4，当x≤0时，有x2−x−1<5，解得：−2<x<3且x≤0，综上不等式f(x)<5的解集是(−2,4)，故选B．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查二倍角公式、正弦定理的应用，考查了推理论证能力，属于基础题．由题意，可得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B，由正弦定理可得，ab+bc=2b2，可解得a=c=b，即可得出结果．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵sinAsinB+sinBsinC=1−cos2B，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin2B，由正弦定理可得，ab+bc=2b2，即a+c=2b，又b2=ac，所以(a+c)2=(2b)2=4ac，化简可得，(a−c)2=0，所以a=c=b，，所以A=π3故选B．6.答案：A。

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数，，，则A. B. 2 C. D. 42.集合，，则A. B. C. D.3.已知空间内两条不同的直线a，b，则“”是“a与b没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，则不等式的解集是A. B. C. D.5.已知函数的图象关于原点对称，则A. B. 1 C. D.6.已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角A等于A. B. C. D.7.已知为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则A. B. C. D.8.直线被圆截得最大弦长为A. B. C. 3 D.9.函数的图象大致为A. B.C. D.10.已知抛物线C：的焦点为F，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若，则A. 3B.C. 4D.11.春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆--桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为参考数据A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米12.已知函数在区间上有且仅有2个最小值点，下列判断：在上有2个最大值点；在上最少3个零点，最多4个零点；；在上单调递减．其中所有正确判断的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为______．14.已知函数，，则的最小值为______．15.已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若，则双曲线的离心率为______．16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则______，四边形EMBN的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽8甲8281797895889384乙9295807583809085用茎叶图表示这两组数据；求两位学生预赛成绩的平均数和方差；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18.已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足______从；，，成等比数列；，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题．Ⅰ求；Ⅱ若，求数列的前n项和．19.如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，D.Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ若，求三棱锥的体积．20.已知函数．Ⅰ讨论在区间上的单调性；Ⅱ若恒成立，求实数a的最大值．为自然对数的底21.已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．Ⅰ求以AB为直径的圆的方程；Ⅱ设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求抛物线E的极坐标方程；Ⅱ过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．23.已知，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由，，且，．故选：D．直接利用乘积的模等于模的乘积求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：“”“a与b没有公共点”，反之不成立，由a与b没有公共点，a，b可能平行、可能为异面直线．“”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件．故选：A．利用空间线线位置关系即可判断出关系．本题考查了空间线线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：已知，则不等式，即或．由可得；由可得，综上，，故选：A．不等式即或，分别求出的解集，再取并集，即得所求．本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，属于中档题．5.答案：A解析：解：由题意可知，为奇函数，故，所以，，则．由奇函数的性质可知，代入可求a，进而可求．本题主要考查了奇函数的性质在求解函数解析式中的应用，属于基础试题．6.答案：C解析：解：，由正弦定理可得，可得，，整理可得，解得，或舍去，，．故选：C．由已知利用正弦定理可得，利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得，解方程可得sin A的值，结合范围，可求A的值．本题主要考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了方程思想，属于基础题．7.答案：D解析：解：为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，故；则．故选：D．根据向量在向量的方向上投影的定义求出，进而求出即可．本题考查了平面向量的数量积的定义与几何意义及向量的数量积运算，属于基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，圆，即，其圆心为，半径，圆心到直线的距离，当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，而的最小值为1，则直线被圆截得最大弦长值为，根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得d的最小值，由直线与圆的位置关系可得当圆心到直线的距离最小时，直线被圆截得弦长最大，据此计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，故排除AD；，令，则，显然在上递减，且，当时，，在上递增，又，故存在，使得，且当，，，递减，，，，递增，可排除B．故选：C．利用极限思想及函数的单调性，运用排除法得解．本题主要考查函数图象的运用以及利用导数研究函数的单调性，考查极限思想及数形结合思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：抛物线C：的焦点为，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，若，可得，可得，所以，解得舍去，此时，所以．故选：D．画出图形，结合已知条件，利用，列出方程，求出A的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．11.答案：B解析：解：BC管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，因为A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；所以，解得，A点所在等高线值为20米，因此B点所在等高线值50米，故选：B．由题意，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离；BC 管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，在结合A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，从而求解x的值；本题考查解三角在实际生活中的应用，灵活利用夹角以及直角三角形中的正余弦定义即可求解．属于基础题．12.答案：A解析：解：令解得，由，可知满足题意的k值只有两个，而，所以或，即有，，，解得，，所以错误；当时，取，，此时只有当时取最大值，所以错误；当时，，，，，，有5个解，所以错误；当时，，而，所以在上单调递减，正确．故选：A．先求出函数的最小值点，再解不等式即可得到的范围，即可判断各选项的真假．本题主要考查正弦函数的性质应用，整体代换法的应用，以及求零点的方法，属于较难题．13.答案：3解析：解：作出变量x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大此时z最大，由，解得，此时，故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.答案：解析：解：因为，，所以，故，则，当且仅当时取等号，故答案为：由已知结合对数运算性质可求ab，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式求解最值，属于基础试题．15.答案：解析：解：双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，设点P的坐标为，不妨令，，，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，，即，，，，即，则，故答案为：．根据圆的有关性质和双曲线的渐近线方程可得P点的坐标，再根据即可求出，可得双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质．考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，，，∽，，，，，，平面PBD，平面PBD，，四边形EMBN的面积为．故答案为：；．过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，连结AC，BD，交于点O，过O作平面ABCD的垂线OF，交BE于F，过F作AC的平行线，分别与线段PA、PC交于点M，N，则平面EMBN就是平面，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．17.答案：解：作出茎叶图如下：派甲参赛比较合适，理由如下：，，，，，，结合甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．解析：根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据；根据所给的数据做出两个人的平均数和方差即可；把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加．对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度．18.答案：解：Ⅰ由，得，即；由，，成等比数列，得，，即；由，得，即；当选择时，有，，此时；当选择时，有，，解得，此时；当选择时，有且，解得，，此时；综合以上不管选择哪两个，均得、，即；Ⅱ，，两式相减得：，得．解析：Ⅰ先分别由首项与公差的关系式，然后选择、、条件组合，求出；Ⅱ利用错位相减法求其前n项和即可．本题主要考查数列基本量的运算及通项公式的求法，以及错位相减法在数列求和中的应用，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：中，，，，得，则，即，而，，平面，又面ABCD，平面平面ABCD；Ⅱ解：取BD的中点O，由于，，由Ⅰ可知平面面ABCD，故D面ABCD．，，，平面ABCD，．解析：Ⅰ中，由已知求解三角形可得，再由，由直线与平面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面ABCD；Ⅱ取BD的中点O，由于，得，结合Ⅰ可得面求得，再由平面ABCD，然后利用等体积法求三棱锥的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ，时，；时，．当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，上递增；当时，在的单调递减；分Ⅱ，即，由Ⅰ知：在上递减，在上递增，则，即，分令，，即在R单调递增，而，，所以，即a的最大值为分解析：Ⅰ求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ问题转化为，即，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：Ⅰ由已知，则，故AB方程：，联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，从而以AB为直径的圆方程为：，即；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，由，消去y得：，故，，从而，，而以CD为直径的圆方程为：，即，且以AB为直径的圆方程为，将两式相减得直线MN：，即，可得：，两条直线互异，则，即，令，解得，即直线MN过定点；当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，则以CD为直径的圆为，而以AB为直径的圆方程，两式相减得MN方程：，过点．综上所述，直线MN过定点．解析：Ⅰ由已知，求得AB所在直线当斜率，得到AB的方程，与椭圆方程联立求得B点坐标，则以AB为直径的圆方程可求；Ⅱ当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系写出以CD为直径的圆方程，与以AB为直径的圆的方程联立，求得MN的方程，利用直线系方程可得直线MN过定点；然后验证CD斜率不存在时即可．本题考查圆的方程的求法，考查直线与椭圆位置关系、圆与圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，考查运算求解能力，属难题．22.答案：解：Ⅰ由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，故极坐标方程为；Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，化简得，，，且．由，A在E内部，知，得或，所以，当时，解得，所以，当时，解得，所以或．解析：Ⅰ求出抛物线E的标准方程为，然后求解极坐标方程．Ⅱ设过点A的直线l参数方程为为参数，代入，利用韦达定理结合参数的几何意义，转化求解即可．本题考查抛物线的极坐标方程的求法，普通方程与极坐标方程的互化，直线的参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.答案：解：Ⅰ当时，不等式为，平方得，则，得，即或，所以，所求不等式的解集；Ⅱ证明：因为，又，所以，不等式得证．解析：Ⅰ将代入，把不等式两边平方后，解不等式即可；Ⅱ运用绝对值不等式的性质结合基本不等式可得，，由此得证．本题主要考查绝对值不等式的解法，及绝对值不等式的性质，基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。

NCS20200707项目第二次模拟测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12121,,z z i z z z ===⋅，则||z 等于（ ）A ．2B ．4CD ．2．集合{|},{}A y y x N B x N N ==∈=∈，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．2}D ．∅3．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线c ，,a b αβ⊂⊂，则“,a b 相交”是“,a c 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是（ ）A ．(1,)eB ．(2,)+∞C ．(2, )eD ．(,)e +∞5．已知ABC V 中角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin 2cos 2a c A C ==，则角A 等于（ ）A ．6π B ．2πC ．23πD ．56π6．已知,a b r r 为不共线的两个单位向量，且a r 在b r上的投影为12-，则|2|a b -=r r （ ）A B C D 7．函数ln ()xx xf x e =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆2220x y +-+=截得最大弦长为（ ）A ．B ．C ．3D ．9．函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．B ．C ．D ． 10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线y =交双曲线于A ，B 两点，若23AFB π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．212．已知函数3()sin cos (0)4f x x x a x a π⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭有且只有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则()32tan x x -属于（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若变量x ，y 满足约束条件||1310y x x y ≥-⎧⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为______________．14．已知梯形ABCD 中，//,4,60,45AD BC AD AB ABC ACB ︒︒==∠=∠=，则DC =_____________．15．已知6270127(1)(21)x x a a x a x a x --=++++L ，则2a 等于_______________．16．已知正四棱椎P ABCD -中，PAC V 是边长为3的等边三角形，点M 是PAC V 的重心，过点M 作与平面P AC 垂直的平面α，平面α与截面P AC 交线段的长度为2，则平面α与正四棱椎P ABCD -表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号．．填到横线上）①2； ② ③3； ④三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江西省南昌市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()1ln 1xf x x-=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果. 【详解】 函数()1ln1x f x x -=+的定义域为{|1}x x ≠±，当12x =时，1()ln 302f =-<，排除B 和C ； 当2x =-时，(2)ln 30f -=>，排除A. 故选：D. 【点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题. 2．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩„若()0f x ax a -+…恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]【答案】D 【解析】 【分析】由()0f x ax a-+…恒成立，等价于|()|y f x=的图像在(1)y a x=-的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.【详解】因为2ln(2),1,()1,1,x xf xx x-⎧=⎨->⎩„由()(1)f x a x-…恒成立，分别作出|()|y f x=及(1)y a x=-的图象，由图知，当0a<时，不符合题意，只须考虑0a…的情形，当(1)y a x=-与()(1)y f x x=…图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此时21(1)|2xa x'==-=，故02a剟.故选：D【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.3．若函数f(x)＝13x3＋x2－23在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)【答案】C【解析】【分析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.【详解】由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．令13x3＋x2－23＝－23，得x＝0或x＝－3，则结合图象可知，3050a a -≤<⎧⎨+>⎩解得a ∈[－3，0)，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型.4．已知平面向量a r ，b r满足()1,2a =-r ，()3,b t =-r ，且()a ab ⊥+r r r ，则b =r （ ）A ．3 B． C．D ．5【答案】B 【解析】 【分析】先求出a b +r r，再利用()0a a b ⋅+=r r r 求出t ，再求b r .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+r r由()a a b ⊥+r r r ，所以()0a a b ⋅+=r r r()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-r，=r b 故选：B 【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.5．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．17B ．27C ．13D ．1835【答案】A 【解析】 【分析】 利用An P n=计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】从7本作业本中任取两本共有27C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有23C 种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为232717C C =.故选：A. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.6．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF I 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可. 【详解】因为11A P AQ m ==,所以11//PQB D ,因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点,所以//EF BD ,所以//PQ EF ,因为面MEF I 面MPQ l =,所以PQ EF l ////.选项A 、D 显然成立；因为BD EF l ////,BD ⊥平面11ACC A ,所以l ⊥平面11ACC A ,因为MC ⊂平面11ACC A ,所以l MC ⊥,所以B 项成立；易知1AC ⊥平面MEF,1A C ⊥平面MPQ,而直线1AC 与1A C 不垂直,所以C 项不成立. 故选：C 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题. 7．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C. A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论. 【详解】因为()sin()f x x π=-223，又553()2sin(2)2sin 2121236f ππππ=⨯-==，所以①正确. ()2sin(2)2sin()0333f ππππ--=⨯-=-=，所以②正确.将2sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，得22sin[2()]2sin(2)33y x x ππ=-=-，所以③错误. 所以①②正确，③错误. 故选:B 【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题. 8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A 3236π+ B ．836πC 323163πD ．16833π+【答案】B 【解析】 【分析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯= 四棱锥体积为：21143238333V Sh ==⨯⨯⨯=原几何体体积为：12836V V V π=+=+ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.9．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．255-B ．55-C ．55D ．25-【答案】A 【解析】 【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β==+依题有OA OB ⊥,则90αβo=+，所以25cos cos(90)sin 5αββo =+=-=-，【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.10．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先把(1)21z i i ⋅+=+变形为211i z i+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)3311(1)(1)222i i i i z i i i i ++-+====+++-， 所以3122z i =-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限 故选：D 【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 11．已知i 为虚数单位，若复数12z i =+，15z z ⋅=，则||z = A ．1 BC ．5 D．【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由15z z ⋅=可得15z z =，所以155||2i ||||z z +====B ． 12．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断： ①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数； ②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数；④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数 ⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x …． 那么正确论断的编号是（ ） A ．③④ B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数()g x 的奇偶性并证明. 【详解】当()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 是奇函数时，则()()f x f x -=-，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=， 所以()g x 是偶函数；当()f x 为非奇非偶函数时，例如：()5f x x =+， 则()27f-=，()23f -=，此时(2)0g ->，故⑥错误；故③④正确. 故选：A 【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第二次模拟测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12121,,z z i z z z ===⋅，则||z 等于（ ）A ．2B ．4CD ．2．集合{|},{}A y y x N B x N N ==∈=∈，则A B ⋂=（ ）A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．2}D ．∅3．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线c ，,a b αβ⊂⊂，则“,a b 相交”是“,a c 相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()1f x >的解集是（ ）A ．(1,)eB ．(2,)+∞C ．(2, )eD ．(,)e +∞5．已知ABC V 中角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,sin 2cos 2a c A C ==，则角A 等于（ ）A ．6π B ．2πC ．23πD ．56π6．已知,a b r r 为不共线的两个单位向量，且a r 在b r上的投影为12-，则|2|a b -=r r （ ）A B C D 7．函数ln ()xx xf x e =的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．8．直线2sin 0x y θ⋅+=被圆2220x y +-+=截得最大弦长为（ ）A ．B ．C ．3D ．9．函数()sin()(0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则(0)f =（ ）A ．B ．C ．D ． 10．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据3sin 375︒=）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米11．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线y =交双曲线于A ，B 两点，若23AFB π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2+ D ．212．已知函数3()sin cos (0)4f x x x a x a π⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭有且只有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则()32tan x x -属于（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若变量x ，y 满足约束条件||1310y x x y ≥-⎧⎨-+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值为______________．14．已知梯形ABCD 中，//,4,60,45AD BC AD AB ABC ACB ︒︒==∠=∠=，则DC =_____________．15．已知6270127(1)(21)x x a a x a x a x --=++++L ，则2a 等于_______________．16．已知正四棱椎P ABCD -中，PAC V 是边长为3的等边三角形，点M 是PAC V 的重心，过点M 作与平面P AC 垂直的平面α，平面α与截面P AC 交线段的长度为2，则平面α与正四棱椎P ABCD -表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________．（请将可能的结果序号．．填到横线上）①2； ② ③3； ④三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|x2-x-2＞0}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B等于（）A. （-1，3）B. （0，3）C. （1，3）D. （2，3）2.已知a，b∈R，复数z=a-bi，则|z|2=（）A. a2+b2-2abiB. a2-b2-2abiC. a2-b2D. a2+b23.已知函数，命题，若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.4.己知角的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边过点P(2,－1)，则cos2等于（）A. -B. -C.D.5.已知抛物线y2=8x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影为点E，则|PF|-|PE|的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，有以下结论：①l：r=4：3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③7.某市教育局卫生健康所对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们身高都处于A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（）A. 样本中男生人数少于女生人数B. 样本中B层次身高人数最多C. 样本中D层次身高的男生多于女生D. 样本中E层次身高的女生有3人8.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上的所有点向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间是（）A. [kπ-，kπ-]（k∈Z）B. [kπ-，kπ]（k∈Z）C. [kπ-，kπ]（k∈Z）D. [kπ-，kπ]（k∈Z）9.已知正实数a，b，c满足log a2=2，log3b=，c6=，则a，b，c的大小关系是（）A. a＜b＜cB. a＜c＜bC. c＜b＜aD. b＜a＜c10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题--“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（2，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. -1B. 2C. 2D.11.已知一个四棱锥的三视图如图（网络中的小正方形边长为1），则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 412.已知双曲线E：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，圆C1：（x-c）2+y2=r2（r＞0）与圆C2：x2+（y-m）2=4r2（m∈R）外切，且E的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.已知平面向量与的夹角为，||=2，||=1，则•（）=______．14.已知实x，y满足，则2x+y的最小值是______．15.已知函数f（x）对于任意实数x都有f（-x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=e x-sin x，若实数a满足f（log2a）＜f（1），则a的取值范围是______．16.已知平行四边形ABCD中，AB=AC，BD=6，则此平行四边形面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2a n+1=λa n+4，n∈N+．（1）求λ的值及通项a n；（2）求数列{a}的前n项和S n．18.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，E、F是边DC的三等分点．现将△DAE、△CBF分别沿AE、BF折起，使得平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直．（1）若G为线段AB上一点，且AG=1，求证：DG∥平面CBF；（2）求多面体CDABFE的体积．19.已知椭圆C：=1（a＞b＞0），点M是C长轴上的一个动点，过点M的直线l与C交于P，Q两点，与y轴交于点N，弦PQ的中点为R．当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|=2．（1）求椭圆C的方程；（2）当M，N均与原点O不重合时，过点N且垂直于OR的直线l′与x轴交于点H．求证：为定值．20.某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额y （万元）的数据如下：加盟店个数x（个）12345单店日平均营业额y（万元）10.910.297.87.1（1）求单店日平均营业额y（万元）与所在地区加盟店个数x（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数m的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率．（参考数据及公式：x i y i=125，=55，线性回归方程=bx+a，其中b=，a=-b．）21.已知函数f(x)＝ln x＋ax，a∈R．(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)当时，证明：x3＞f(x)．22.已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2=0，点P的极坐标是（，）．（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．23.已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值为1，求的最小值.-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A={x|x＜-1，或x＞2}；∴A∩B=（2，3）．故选：D．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：因为复数z=a-bi，所以|z|=，故|z|2=a2+b2，故选：D．根据复数z=a-bi，先求出|z|，然后再求出|z|2．本题考查了复数模的问题，解决问题的关键对|z|2的正确理解．本题属于基础题．3.答案：C解析：解：因为p为假命题，所以￢p为真命题，即不存在x0∈R，使f（x0）=0，故△=1-4a2＜0，解得：，故选：C．直接利用命题p为假命题，即不存在x0∈R，使f（x0）=0，根据这个条件得出实数a的取值范围．本题考查的知识要点：命题的否定，解题的关键是要将假命题转化为真命题，从而来解决问题．4.答案：C解析：解：由题得点P到原点的距离为=，所以cosα==，所以cos2α=2cos2α-1=2×=．故选：C．先求出点P到原点的距离为，再利用三角函数的坐标定义求出cosα，再利用二倍角的余弦求cos2α的值．本题主要考查三角函数的定义和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．5.答案：B解析：解：因为抛物线y2=8x，所以抛物线的准线方程为x=-2，因为P在y轴上的投影为点E，所以|PE|即为点P到x=-2的距离减去2，因为点P在该抛物线上，故点P到x=-2的距离等于|PF|，所以，|PE|=|PF|-2，故|PF|-|PE|=2，故选：B．P在y轴上的投影为点E，由抛物线的定义可得，|PE|=|PF|-2，故可得结果．本题考查了抛物线的定义，解决问题的关键是要利用抛物线的定义将|PE|进行转化．6.答案：A解析：解：①，由题意得=，可得l：r=4：3，所以该结论正确；②，由题意得===，所以圆锥的侧面积与底面面积之比为4：3，所以该结论正确；③，由题得轴截面的三角形的三边长分别为，，2r，顶角最大，其余弦为=-＜0，所以顶角为钝角，所以轴截面三角形是钝角三角形，所以该结论错误．故选：A．利用圆锥的侧面展开图和圆锥的关系可判断①；由圆锥的侧面积和底面积计算可判断②；由余弦定理计算可判断③．本题主要考查圆锥的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．7.答案：C解析：解：A．样本中男生人数为4+12+10+8+6=40，女生人数为100-40=60，所以样本中男生人数少于女生人数，所以该选项是正确的；B．因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的比例最大，所以样本中B层次身高人数最多，所以该选项是正确的；C．样本中D层次身高的男生有8人，女生D层次的有60×15%=9，所以样本中D层次身高的男生少于女生，所以该选项是错误的；D．样本中E层次身高的女生有60×5%=3人，所以该选项是正确的．故选：C．结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解．本题主要考查统计图表，考查比例和样本频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8.答案：A解析：【分析】本题考查了求三角函数解析式问题、三角函数图象平移问题、三角函数单调性问题，解决问题的关键是要能由函数图象得出函数解析式，属于中档题.根据三角函数的图象得出函数f（x）解析式，然后根据平移规则得出函数g（x）的图象，从而得出函数g（x）的单调区间．【解答】解：由图可得故，解得ω=2，将点代入函数f（x）=A sin（2x+φ），即，因为|φ|＜，所以φ=，故函数f（x）=A sin（2x+），因为将f（x）图象上的所有点向左平移个单位得到函数g（x）的图象．所以，当（k∈Z）时,解得：（k∈Z），故当x∈[]（k∈Z）时，g（x）单调递增，故选：A．9.答案：B解析：解：由题得a2=2，；∴a6=8，b6=9，且；∵，a，b，c都是正数；∴a＜c＜b．故选：B．先求出a6=8，b6=9，从而得出a6＜c6＜b6，根据a，b，c为正数即可得出a，b，c的大小关系．考查对数的定义，对数式与指数式的互化，以及指数幂的运算，幂函数的单调性．10.答案：A解析：解：设点A关于直线x+y=3的对称点A'（a，b），AA'的中点为（，），故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点A'到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选：A．先求出点A关于直线x+y=3的对称点A'，点A'到圆心的距离减去半径即为最短．本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题．11.答案：C解析：解：由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD，在四个侧面中，有∠PBA=∠PCD=∠CPB=90°，△PAD是等边三角形．所以该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为：3．故选：C．先找到几何体原图，再确定侧面直角三角形的个数得解．本题主要考查三视图还原几何体，考查空间几何元素位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．12.答案：C解析：解：双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0，故C1（c，0）到渐近线的距离为=r，即b=r，设圆C1与圆C2的切点为M，则OM⊥C1C2，故Rt△OMC1∽Rt△C2OC1，于是=，即，故c=r，∴a=r，∴双曲线的离心率e===．故选：C．根据三角形相似和距离公式得出a，b，c与r的关系即可得出离心率．本题考查了双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．13.答案：3解析：解：由题平面向量与的夹角为，||=2，||=1，得•（）==4-2×=3．故答案为：3．直接利用数量积的运算法则求解．本题主要考查数量积的运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．14.答案：-4解析：解：先作出不等式组对应的可行域，如图所示，设z=2x+y，所以y=-2x+z，当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小，联立得A（-2，0），所以z最小=2×（-2）+0=-4．故答案为：-4．先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到2x+y的最小值．本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．15.答案：（，2）解析：解：∵任意实数x都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=e x-sin x，即f′（x）=e x-cos x＞0，即f（x）为增函数，则f（log2a）＜f（1），等价为f（|log2a|）＜f（1），即|log2a|＜1，即-1＜log2a＜1，得＜a＜2，即实数a的取值范围是（，2），故答案为：（，2）根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．16.答案：3解析：解：平行四边形ABCD中，AB=AC，BD=6，如图所示；则OB=3，设AB=2x，∠BAC=θ，θ∈（0，π），则AO=x；△AOB中，由余弦定理得32=4x2+x2-2•2x•x•cosθ，∴x2=，∴平行四边形的面积为：S=2S△ABC=2••2x•2x sinθ=4x2sinθ=4••sinθ====≤=3，当且仅当tanθ=时取“=”，∴平面四边形ABCD面积的最大值为3．故答案为：3．根据题意设AB=2x，∠BAC=θ，利用余弦定理求得x2，再计算平行四边形的面积与它的最大值．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．17.答案：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由存在实数λ满足2a n+1=λa n+4①，得2a n=λa n-1+4②，①-②得，2d=λd，又因为d≠0，解得λ=2；将λ=2代入①可得：a n+1-a n=2，即d=2，又因为a1=1，所以a n=2n-1．（2）由（1）可得：=2n+1-（2n+1），所以：，=，=2n+2-n2-2n-4解析：（1）设出等差数列的公差d，然后退位相减便可得结果；（2）求出数列{a}的通项公式，然后利用分组求和法解出数列的前n项和S n．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.答案：证明：（1）分别取AE，BF的中点M，N，连接DM，CN，MG，MN，因为AD=DE=1，∠ADE=90°，所以DM⊥AE，且DM=．因为BC=CF=1，∠BCF=90°，所以CN⊥BF，且CN=．因为面DAE、面CBF均与面ABFE垂直，所以DM⊥面ABFE，CN⊥面ABFE，所以DM∥CN，且DM=CN．因为AM=AG cos45°，所以∠AMG=90°，所以△AMG是以AG为斜边的等腰直角三角形，故∠MGA=45°，而∠FBA=45°，则MG∥FB，故面DMG∥面CBF，则DG∥面CBF．解：（2）如图，连接BE，DF，由（1）可知，DM∥CN，且DM=CN，则四边形DMNC为平行四边形，故DC=MN==2．因为V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF．所以V=+3×（）×1=．解析：（1）分别取AE，BF的中点M，N，连接DM，CN，MG，MN，先证明DM∥CN，再证明面DMG∥面CBF，即证DG∥面CBF．（2）连接BE，DF，利用割补法和体积变换V=V D-ABE+V B-EFCD=V D-ABE+3V B-DEF．求多面体CDABFE 的体积．本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．19.答案：（1）解：∵当M为C的右焦点，且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|=2．∴，又a2=b2+c2，解得b=1，c=，∴椭圆C的方程为；（2）证明：设直线l：y=kx+m（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），将y=kx+m代入得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，∴，，∴R（），则．∴直线l′的方程为y=4kx+m，点H的坐标为（-，0），又∵点M（，0），∴为定值．解析：（1）根据题意得到关于a，b，c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线和椭圆的方程得到R（），点H的坐标为（），再求为定值．本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．20.答案：解（1）由题可得，=3，=9，设所求线性回归方程为=x+a，则==-1，将=3，=9代入，得a=9-（-3）=12，故所求线性回归方程为=-x+12．（2）根据题意，m（12-m）≥35，解得：5≤m≤7，又m∈Z+，所以m的所有可能取值为5，6，7．（3）设其他5个地区分别为A，B，C，D，E，他们选择结果共有25种，具体如下：AA，AB，AC，AD，AE，BA，BB，BC，BD，BE，CA，CB，CC，CD，CE，DA，DB，DC，DD，DE，EA，EB．EC．ED，EE，其中他们在同一个地区的有5种，所以他们选取的地区相同的概率P==．解析：（1）利用最小二乘法求线性回归方程；（2）解不等式m（12-m）≥35得一个地区开设加盟店个数m的所有可能取值；（3）利用古典概型的概率求选取的地区相同的概率．本题主要考查线性回归方程的求法，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．21.答案：解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．由已知，f′（x）==，①当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）．上单调递增；②当a＜0时，令f′（x）＞0恒，得x，所以f（x）在（0，-）上单调递增，在（-）上单调递减．综上所述，当a≥0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（0，-），单调递减区间为（-）．（2）考虑到x＞0时x-1≥ln x，欲证x3＞ln x+，只要证明-1，令g（x）=，x＞0，则g′（x）=，令则g′（x）=0，可得x0=，且当x∈（0，x0）时g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时g′（x）＞0，所以g（x）在∈（0，x0）上单调递减，在x∈（x0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（x0）==1-，因为，所以，所以g（x）≥g（x0）＞0，即x3＞（x-1）+只恒成立，所以x3＞ln x+恒成立，即x3＞f（x）．解析：（1）对a分a≥0和a＜0讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）x＞0时，x-1≥ln x，欲证：x3＞ln x+只需证明-1，再构造函数g（x）=，x＞0，利用导数求函数的最小值g（x0），即得证．本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式和求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．22.答案：解（1）由消去t，得到y=，则ρsinθ=ρcosθ，∴θ=，所以直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．点P（，）到直线l的距离为d=×sin（-）=×=．（2）由，得，ρ2-ρ-2=0所以ρ1+ρ2=1，ρ1ρ2=-2所以，|MN|=|ρ1-ρ2|==3则△PMN的面积为．S△PMN=|MN|×d=×=．解析：（1）现将直线方程转化为普通方程，再利用公式求出直线的极坐标方程，进而可得点到直线的距离；（2）在极坐标下，利用韦达定理求出MN的长度，从而得出面积．本题考查了直线的极坐标方程与普通方程的互化以及在极坐标下求解直线与曲线的弦长问题，利用韦达定理是解题的关键．属中档题．23.答案：解：（1）因为f（x）=|x-a|-|x+2b|≤|（x-a）-（x+2b）|=a+2b．，所以函数f（x）的最大值为a+2b．（2）由（1）可知，a+2b=1，因为a2+4b2≥4ab，所以2（a2+4b2）≥a2+4b2+4ab=（a+2b）2=1，即a2+4b2≥，且当a=2b=时取“=”，所以a2+4b2的最小值为．解析：本题考查了基本不等式、绝对值不等式等知识，运用基本不等式时，要注意题意是否满足“一正、二定、三相等”的条件，熟练运用绝对值不等式也是解决本题的关键．（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）由（1）得a+2b=1，再根据基本不等式可得a2+4b2的最小值．。

2020届江西省南昌市二模考试数学试卷分析及详解一．整体解读试卷紧扣全国卷考试大纲和江西省考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，宽角度、多视点、有层次地考查了学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，对数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法都作了重点的考查，均具有较高的信度、效度和有效的区分度，达到了“考基础、考能力、考素质、考潜能”的考试目标。

试卷所涉及的知识内容限定在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，基本体现了“重点知识重点考查”的原则，这对基础不牢的学生影响较大。

在重基础的同时，注重知识综合性的考查，如文理第1题把集合与函数的值域、单调性结合在一起；文理第5题把函数的单调性、奇偶性与对数的变形放到一起考；文理第6题在框图中考查数列的求和；文理第17题考查三角的同时还涉及建系的思想方法；理科18题在分布列的题目中考查函数思想，题目不难，但难倒了不少学生。

综合来看，试卷的难度和考查范围接近近年来的高考真题，基本上可以反映学生的学习情况和成绩。

二．考点分布1、文科2、理科知识点复数、集合、命题函数数列向量、三角不等式立体几何推理、框图、统计、概率解析几何、极坐标与参数方程导数分值15 10 10 17 10 22 22 37 17三．试题及详解文科试题文科解析1.【解析】：C 因为[]1sin 1,1,3xy x y ⎛⎫=∈-= ⎪⎝⎭为递减数列，算到()(]1,2,1,1B B C=-⋂=-所以A 选2.【解析】：C 考察的是虚数的概念，对实数和纯虚数的区分,3.【解析】：D 考察的是存在量词和全称量词的逆否命题，对任意的否定是存在。

4.【解析】：C 组距为5，5-10的频率=0.04*5=0.2，而10-15的频率为0.5，则15-20的频率为1-0.2-0.5=0.3，频数=样本容量*频率=100*0.3=305.【解析】：D 考察函数的奇偶性和对数函数的基本公式，在比较大小的过程中，特别注意灵活运用1的大小比较，先比较括号里面的大小，再根据题目已知条件函数在()0+∞，单调递减可得出答案.6.【解析】：A 这是算法框图的问题，就跟路标一样，跟着走就不会走错回家的路了，错的同学不解释，你懂得7.【解析】：两条直线异面，且这两条直线分别垂直两个面，当然这两个面会相交，但是当这个，但是如果反过来，如果两个面垂直相交，则两条线垂直。

2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）.1．设全集为R ，集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩∁R B ＝（ ） A ．（﹣3，0）B ．（﹣3，﹣1]C ．（﹣3，﹣1）D ．（﹣3，3）2．已知复数z 满足（1+2i ）z ＝3﹣4i ，则|z|=（ ） A ．√55B ．1C ．√5D ．53．函数f(x)=(x−1x+1)e x的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设a ，b ，c 均为正数，且e a ＝﹣lna ，e ﹣b ＝﹣lnb ，e ﹣c ＝lnc ，则（ ） A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c5．在△ABC 中，AB →⋅BC →=0，|AB →|=|BC →|=3√2，AD →=2DC →，则BD →⋅CA →=（ ） A ．4B ．﹣6C ．6D ．−4√36．已知cos α=√55，sin （β﹣α）=−√1010，α，β均为锐角，则sin2β＝（ ）A ．12B ．√22C ．√32D ．17．已知某公司生产的一种产品的质量X （单位：千克）服从正态分布N （90，64）．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有附：若X ﹣N （u ，σ2），则P （u ﹣σ＜X ＜μ+σ）≈0.6826，P （u ﹣2σ＜X ＜u +2σ）≈0.9544．（ ） A ．8185件B ．6826件C ．4772件D ．2718件8．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为n （x ）≈xlnx 的结论（素数即质数，lge ≈0.43429）．根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n 的值为100，则输出k 的值应属于区间（ ）A ．（15，20]B ．（20，25]C ．（25，30]D ．（30，35]9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，过F 1的直线与圆x 2+y 2＝a 2相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F 1T →=TP →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．x ±y ＝0B ．2x ±3y ＝0C ．3x ±2y ＝0D ．x ±2y ＝010．已知函数f （x ）＝|cos x |（x ≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则(1+θ2)sin2θθ=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．211．在△ABC 中，G 为△ABC 的重心，AG =√2BG ，BC ＝4，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．16√2B ．12√2C ．3√2D ．8√212．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e．若不等式f（x）+f′（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，e﹣2]B．（﹣∞，e﹣1]C．（﹣∞，2e﹣3]D．（﹣∞，2e﹣1]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）.13．为响应党中央提出的“稳疆兴疆，富民固边”战略，2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师（不同姓）到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人．则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为．14．在数列{a n}中，a1＝1，a n+2+(−1)n a n=1，记S n是数列{a n}的前n项和，则S20＝．15．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P到两定点A，B的距离之满足|PA||PB|=t（t＞0且t≠1）为常数，则P点的轨迹为圆．已知圆O：x2+y2＝1和A(−12，0)，若定点B（b，0）（b≠−12）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则λ＝，△MAB面积的最大值为．16．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝5，AC=BD=√34，AD=BC=√41，O为其外接球球心，AO与AB，AC，AD所成的角分别为α，β，γ．有下列结论：①该四面体的外接球的表面积为50π，②该四面体的体积为10，③cos2α+cos2β+cos2γ＝1，④∠BAC+∠CAD+∠DAB＝180°，其中所有正确结论的编号为．三、解答题（本大题共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A=√3sin B且b＝c．（1）求角A的大小；（2）若a＝2√3，角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．18．某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量．当Z≥8时，产品为优等品；当6≤Z＜8时，产品为一等品；当2≤Z＜6时，产品为二等品．第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取4件，求至少有1件优等品的概率； （2）现某人决定购买80件该产品．已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X 元，求X 的分布列与数学期望．19．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB ⊥AC ，AC =12BC ，平面PAB ⊥平面PAC（1）求证：平面ABC ⊥平面PAC ；（2）若Q 是棱AB 上一点，PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为√217，求二面角Q ﹣MC﹣A 的正弦值．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于√5π，直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中直线l 不过原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2，其中k ＞0且k 2＝k 1k 2．记△OAB 的面积为S ．分别以OA ，OB 为直径的圆的面积依次为S 1，S 2，求S 1+S 2S的最小值．21．已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a ，（其中e 为自然对数的底数）．（1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）当a ∈[0，1）时，函数g(x)=f(x)x 2(x ＞0)有最小值h （a ），求函数h （a ）的值域． 请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =4t +a 2y =3t −1（t 为参数），圆C 的参数方程为{x =1+|a|cosθy =−2a 2+sinθ（θ为参数）（1）求l 和C 的普通方程；（2）设点P （5，2），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求2|PA|+2|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +m |+2|x ﹣1|（m ＞0）．（1）若不等式f （x ）＞4﹣2x 对任意的x ∈[﹣3，﹣1]恒成立，求m 的取值范围； （2）当m ＝2时，记f （x ）的最小值为M ，正实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝M ，证明：a 4+b 4+c 4≥3．参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．设全集为R，集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩∁R B＝（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1]C．（﹣3，﹣1）D．（﹣3，3）【分析】可以求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|﹣1＜x＜5}，∴∁R B＝{x|x≤﹣1或x≥5}，A∩∁R B＝（﹣3，﹣1]．故选：B．2．已知复数z满足（1+2i）z＝3﹣4i，则|z|=（）A．√55B．1C．√5D．5【分析】化简复数，即可求出|z|．解：∵（1+2i）z＝3﹣4i，∴z=3−4i1+2i=−1﹣2i，∴|z|＝﹣1+2i，∴|z|=|﹣1+2i|=√1+4=√5，故选：C．3．函数f(x)=(x−1x+1)e x的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用趋近性结合排除法即可得到答案．解：当x→﹣∞时，e x→0+，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f（x）→0+，排除C，D；因为x→+∞时，e x→+∞，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f（x）→+∞，因此排除B，故选：A ．4．设a ，b ，c 均为正数，且e a ＝﹣lna ，e ﹣b ＝﹣lnb ，e ﹣c ＝lnc ，则（ ） A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c【分析】在同一坐标系中分别画出y ＝e x ，y ＝e ﹣x ，y ＝lnx ，y ＝﹣lnx 的图象，数形结合能判断三个数的大小．解：在同一坐标系中分别画出y ＝e x ，y ＝e ﹣x ，y ＝lnx ，y ＝﹣lnx 的图象，y ＝e x 与y ＝﹣lnx 的交点的横坐标为a ， y ＝e ﹣x 与y ＝﹣lnx 的图象的交点的横坐标为b ， y ＝e ﹣x 与y ＝lnx 的图象的交点的横坐标为c ， 从图象可以看出a ＜b ＜c ． 故选：D ．5．在△ABC 中，AB →⋅BC →=0，|AB →|=|BC →|=3√2，AD →=2DC →，则BD →⋅CA →=（ ） A ．4B ．﹣6C ．6D ．−4√3【分析】可画出图形，根据AD →=2DC →即可得出BD →=23BC →+13BA →，并得出CA →=BA →−BC →，从而得出BD →⋅CA →=(23BC →+13BA →)⋅(BA →−BC →)，然后进行数量积的运算即可．解：如图，由AD →=2DC →得BD →=AD →−AB →=23AC →+BA →=23(BC →−BA →)+BA →=23BC →+13BA →，CA →=BA →−BC →， 又∵AB →⋅BC →=0，|AB →|=|BC →|=3√2，∴BD →⋅CA →=(23BC →+13BA →)⋅(BA →−BC →)=−23BC →2+13BA →2=−23×18+13×18 ＝﹣6． 故选：B ．6．已知cos α=√55，sin （β﹣α）=−√1010，α，β均为锐角，则sin2β＝（ ）A ．12B ．√22C ．√32D ．1【分析】因为α，β均为锐角，所以β﹣α∈(−π2，π2)，所以cos(β−α)=3√1010，sinα=2√55，由sin β＝sin[α+（β﹣α）]＝sin αcos （β﹣α）+cos αsin （β﹣α）求出sin β，再求出cos β，代入即可．解：因为α，β均为锐角，所以β﹣α∈(−π2，π2)，所以cos(β−α)=3√1010，sinα=2√55， 由sin β＝sin[α+（β﹣α）]＝sin αcos （β﹣α）+cos αsin （β﹣α） =2√55⋅3√1010+√55⋅(−√1010)=√22， 所以sinβ=√22，cosβ=√22，所以sin2β＝2sin βcos β＝1， 故选：D ．7．已知某公司生产的一种产品的质量X （单位：千克）服从正态分布N （90，64）．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间（82，106）内的产品估计有附：若X ﹣N （u ，σ2），则P （u ﹣σ＜X ＜μ+σ）≈0.6826，P （u ﹣2σ＜X ＜u +2σ）≈0.9544．（ ）A．8185件B．6826件C．4772件D．2718件【分析】产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64）．所以μ＝90，σ＝8，P（82≤X＜106）＝P（μ﹣σ≤X＜μ+2σ），代入计算即可．解：依题意，μ＝90，σ＝8，∴P（82≤X＜106）＝0.9544−0.9544−0.68262=0.8185，∴质量在区间（82，106）内的产品估计有10000×0.8185＝8185件，故选：A．8．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为n（x）≈xlnx的结论（素数即质数，lge≈0.43429）．根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n的值为100，则输出k的值应属于区间（）A．（15，20]B．（20，25]C．（25，30]D．（30，35]【分析】由流程图可知其作用为统计100以内素数的个数，将x ＝100代入n （x ）≈xlnx 可求得近似值，从而得到结果．解：该流程图是统计100以内素数的个数，由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为n （x ）≈xlnx ； 则100以内的素数个数为： n （100）≈100ln100=1002ln10=50lg10lge=50lge ≈22．故选：B ．9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，过F 1的直线与圆x 2+y 2＝a 2相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，若2F 1T →=TP →，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．x ±y ＝0B ．2x ±3y ＝0C ．3x ±2y ＝0D ．x ±2y ＝0【分析】连PF 2，过F 2作F 2Q ∥OT ，结合向量共线定理和三角形的中位线定理，双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a ，b 的关系，进而得到所求渐近线方程． 解：连PF 2，过F 2作F 2Q ∥OT ，若2F 1T →=TP →， 则易知|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，|TF 1|＝|TQ |＝|QP |＝b ， |QF 2|＝2a ，|PF 2|＝|PF 1|﹣2a ＝3b ﹣2a ，所以在Rt △PQF 2中，（3b ﹣2a ）2＝（2a ）2+b 2，整理得ba=32，所以渐近线方程为y =±32x ，即3x ±2y ＝0， 故选：C ．10．已知函数f （x ）＝|cos x |（x ≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则(1+θ2)sin2θθ=（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2【分析】依题意，过原点的直线与函数y ＝|cos x |（x ≥0）在区间（3π2，2π）内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得θ=−1tanθ，代入所求关系式即可求得答案．解：∵函数f （x ）＝|cos x |（x ≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点， ∴∴直线与函数y ＝|cos x |（x ≥0）在区间（3π2，2π）内的图象相切，在区间（3π2，2π）上，y 的解析式为y ＝cos x ，故由题意切点坐标为（θ，cos θ）， ∴切线斜率k ＝y ′＝﹣sin x |x ＝θ＝﹣sin θ，∴由点斜式得切线方程为：y ﹣cos θ＝﹣sin θ（x ﹣θ），即 y ＝﹣sin θx +θsin θ+cos θ， ∵直线过原点，∴θsin θ+cos θ＝0，得θ=−1tanθ， ∴则(1+θ2)sin2θθ=(1+tan 2θ)2−1tanθ⋅sin2θ=−（tan θ+1tanθ）•2sin θcos θ＝﹣（sinθcosθ+cosθsinθ）•2sin θcos θ＝﹣2（sin 2θ+cos 2θ）＝﹣2，故选：A ．11．在△ABC 中，G 为△ABC 的重心，AG =√2BG ，BC ＝4，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．16√2B ．12√2C ．3√2D ．8√2【分析】由题意建立平面直角坐标系，求出G 所满足的方程，可得三角形BGC 的面积的最大值，再由S △ABC ＝3S △BGC 的最大值．解：由重心的性质可得：因为AG =√2BG ，所以BG =2AG =√2GD ，如图建立平面直角坐标系，以BC 所在的直线为x 轴，以过BC 的中点D 垂直于BC 的直线为y 轴由题意可得B （﹣2，0），C （2，0），D （0，0），设G （x ，y ），由BG =√2GD 可得：√(x +2)2+y 2=√2√x 2+y 2，整理可得：（x ﹣2）2+y 2＝8，所以G 是以（2，0）为圆心，以2√2为半径的圆，所以G 到BC 的最大距离为2√2，所以△BGC 的面积的最大值为S △BGC =12×BC ×2√2=4√2，又S △ABC ＝3S △BGC ＝12√2，故选：B ．12．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e．若不等式f（x）+f′（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，e﹣2]B．（﹣∞，e﹣1]C．（﹣∞，2e﹣3]D．（﹣∞，2e﹣1]【分析】先利用换元法求出f（x）的解析式，然后再用分离变量法，借助函数的单调性来解决问题．解：设f（x）﹣e x+x＝t，则f（t）＝e，所以f（x）＝e x﹣x+t，令x＝t得f（t）＝e t﹣t+t＝e，解得t＝1，所以f（x）＝e x﹣x+1，由题意可知，e x﹣x+1+e x﹣1≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，即a≤2e xx−1对x∈（0，+∞）恒成立，令g(x)=2e xx−1，则g′(x)=2ex(x−1)2，易知g（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，所以g（x）min＝g（1）＝2e﹣1，则a≤2e﹣1，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）.13．为响应党中央提出的“稳疆兴疆，富民固边”战略，2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师（不同姓）到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人．则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为625．【分析】基本事件总数n=C53C21C11A22⋅A33+C52C32C11A22⋅A33=150，李老师与杨老师安排去同一个学校包含的基本事件个数m=C22C42C21C11A22⋅A33=36．由此能求出李老师与杨老师安排去同一个学校的概率．解：2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师（不同姓）到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人． 基本事件总数n =C 53C 21C 11A 22⋅A 33+C 52C 32C 11A 22⋅A 33=150，李老师与杨老师安排去同一个学校包含的基本事件个数m =C 22C 42C 21C 11A 22⋅A 33=36．∴李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为p =m n =36150=625． 故答案为：625．14．在数列{a n }中，a 1＝1，a n+2+(−1)n a n =1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 20＝ 60 ． 【分析】讨论n 为奇或偶，得出递推式，即可知道数列的项的特征，从而求出． 解：当n 为偶数时，a n +2+a n ＝1；当n 为奇数时，a n +2﹣a n ＝1，奇数项是公差为1的等差数列； ∴S 20＝（a 1+a 3+a 5+…+a 19）+[（a 2+a 4）+（a 6+a 8）+…+（a 18+a 20）] ＝1×10+10×92×1+5＝60 故答案为：60．15．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足|PA||PB|=t （t ＞0且t ≠1）为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆O ：x 2+y 2＝1和A(−12，0)，若定点B （b ，0）（b ≠−12）和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则λ＝ 2 ，△MAB 面积的最大值为34．【分析】画出图形，通过|MB |＝λ|MA |，求解轨迹方程，推出λ，然后求解三角形的面积． 解：设点M （x ，y ），由|MB |＝λ|MA |，得(x −b)2+y 2=λ2[(x +12)2+y 2]，整理得x 2+y 2−2b+λ21−λ2x +b 2−14λ21−λ2=0，所以{2b+λ21−λ2=0b 2−14λ21−λ2=−1解得λ＝2，b ＝﹣2如右图，当M （0，1）或M （0，﹣1）时，(S △MAB )max =34．故答案为：2；34．16．已知四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝5，AC =BD =√34，AD =BC =√41，O 为其外接球球心，AO 与AB ，AC ，AD 所成的角分别为α，β，γ．有下列结论： ①该四面体的外接球的表面积为50π， ②该四面体的体积为10， ③cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝1，④∠BAC +∠CAD +∠DAB ＝180°， 其中所有正确结论的编号为 ①④ ．【分析】直接利用三角形的面积公式的应用，线面夹角的应用，勾股定理的应用，球与四面体之间的关系的应用求出结果，解：由题意可得此四面体放在长方体中，如图所示，④∠BAC ，∠CAD ，∠DAB 是边长为5，√34，√41的三角形的三个内角，故∠BAC +∠CAD +∠DAB ＝180°，如图所示，故正确．可得{AE 2+CE 2=AC 2=(√34)2BE 2+CE 2=BC 2=(√41)2AE 2+BE 2=52，解得：AE ＝3，BE ＝4，CE ＝5，可得AF 2＝AE 2+BE 2+CE 2＝32+42+52＝50，可得O 为AF 与DE 的交点，因为AO 与AB ，AC ，AD 所成的角分别为α，β，γ，可得cos 2α=AB 2AF 2，cos 2β=AC 2AF2，cos 2γ=AD 2AF2，所以cos 2α+cos 2β+cos 2γ=AB 2+AC 2+AD 2AF 2=25+34+4150=2，即③错误；四面体外接球的直径的平方为4R 2＝32+42+52＝50，所以该四面体外接球的表面积为S ＝4πR 2＝50π，即①正确；四面体的体积等于长方体的体积减去4个三棱锥的体积，3×4×5﹣4×13×12（3×4×5）＝20，即②错误； 故答案为：①④． 三、解答题（本大题共70分）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A =√3sin B 且b ＝c ． （1）求角A 的大小；（2）若a ＝2√3，角B 的平分线交AC 于点D ，求△ABD 的面积． 【分析】（1）由正弦定理及其余弦定理，求出角A 即可； （2）由（1）求出B ，C ，再由AB sinD=AD sin∠ABD及∠ABD =π12，∠D =π4，求出AD ，再求出面积．解：（1）由sin A =√3sin B 及正弦定理知a =√3b ，又b ＝c ，由余弦定理得cos A =b 2+c 2−a 22bc =b 2+b 2−3b 22b2=−12， A ∈（0，π），A =2π3； （2）由（1）知B ＝C =π6，又a ＝2√3，在△ABC 中，由正弦定理知：AB ＝2， 在△ABD 中，由正弦定理ABsinD=AD sin∠ABD及∠ABD =π12，∠BDC =π4解得AD =√3−1，故S △ABD =12⋅AB ⋅AD ⋅sin 2π3=12⋅2⋅(√3−1)⋅√32=3−√32．18．某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z 来衡量产品的质量．当Z ≥8时，产品为优等品；当6≤Z ＜8时，产品为一等品；当2≤Z ＜6时，产品为二等品．第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z 的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率． （1）从该企业生产的所有产品中随机抽取4件，求至少有1件优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品．已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X 元，求X 的分布列与数学期望．【分析】（1）由条形图可知，优等品的数量为121+87+42＝250件，所以抽取一件产品属于优等品的概率为12，再结合对立事件的概率和独立重复事件的概率，可得随机抽取4件产品，至少有1件优等品的概率为P =1−C 40⋅(12)0⋅(12)4=1516； （2）当按每件1600元购买时，X ＝47000；当按每件1500元购买时，X ＝39000，再按独立重复事件的概率求出P （X ＝47000），所以P （X ＝39000）＝1﹣P （X ＝47000），从而可得X 的分布列，利用数学期望的公式即可求出E （X ）．解：（1）由条形图可知，500件中优等品有121+87+42＝250件，∴优等品的频率为250500=12，用频率估计概率，抽取一件产品属于优等品的概率为12，∴随机抽取4件产品，至少有1件优等品的概率为P =1−C 40⋅(12)0⋅(12)4=1516．（2）当按每件1600元购买时，X ＝1600×80﹣1000×80﹣250×4＝47000； 当按每件1500元购买时，X ＝1500×80﹣1000×80﹣250×4＝39000．∴P （X ＝47000）=C 43⋅(12)3⋅12+C 44⋅(12)4=516；P （X ＝39000）＝1﹣P （X ＝47000）=1116． ∴X 的分布列为X 47000 39000 P5161116数学期望E （X ）=47000×516+39000×1116=41500．19．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB ⊥AC ，AC =12BC ，平面PAB ⊥平面PAC（1）求证：平面ABC ⊥平面PAC ；（2）若Q 是棱AB 上一点，PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为√217，求二面角Q ﹣MC ﹣A 的正弦值．【分析】（1）证明CM ⊥PA ，推出CM ⊥平面PAB ，得到CM ⊥AB ，结合AB ⊥AC ，推出AB ⊥平面PAC ，然后证明平面ABC ⊥平面PAC ．（2）作AC 中点O ，连OP ，以O 为坐标原点，OA ，OP 分别为x ，z 轴，过O 且平行于AB 的方向为y 轴，如图，建立空间直角坐标系．求出平面ABC 的法向量，平面QMC 的法向量利用空间向量的数量积求解二面角Q ﹣MC ﹣A 的余弦值，然后求解正弦函数值即可．【解答】（1）证明：因为△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，所以CM ⊥PA ， 又平面PAB ⊥平面PAC ，且平面PAB ∩平面PAC ＝PA ， 所以CM ⊥平面PAB ，所以CM ⊥AB ，又AB ⊥AC ，且AC ∩CM ＝C ， 所以AB ⊥平面PAC ， 又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ABC ⊥平面PAC ．（2）作AC 中点O ，连OP ，由（1）及OP ⊥AC 可知OP ⊥平面ABC以O 为坐标原点，OA ，OP 分别为x ，z 轴，过O 且平行于AB 的方向为y 轴，如图，建立空间直角坐标系．设AC ＝2 则O(0，0，0)，P(0，0，√3)，A(1，0，0)，C(−1，0，0)，M(12，0，√32)，B(1，2√3，0)，设AQ →⊥λAB →，则Q(1，2√3λ，0)，PQ →=(1，2√3λ，−√3)， 设平面ABC 的法向量为n 1→=（0，0，1）， 因为PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为√217所以|n 1→⋅PQ →||n 1→||PQ →|=√217，即√3√12λ2+4=√217，解得λ=12 即Q 为AB 的中点，则Q(1，√3，0)，设平面QMC 的法向量为n 2→=（x ，y ，z ），则{n 2→⋅CQ →=0n 2→⋅CM →=0，即{(x ，y ，z)⋅(2，√3，0)=0(x ，y ，z)⋅(32，0，√32)=0，{2x +√3y =03x +√3z =0， 取n 2→=(√3，−2，−3)，设平面AMC 的法向量为n 3→，则n 3→=（0，1，0） 则二面角Q ﹣MC ﹣A 的余弦值为cos θ=−n 2→⋅n 3→|n 2→||n 3→|=12， 故sin θ=√32．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于√5π，直线l 与椭圆C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中直线l 不过原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2，其中k ＞0且k 2＝k 1k 2．记△OAB 的面积为S ．分别以OA ，OB 为直径的圆的面积依次为S 1，S 2，求S 1+S 2S的最小值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出{a =2b =1，然后求解椭圆C 的方程．（2）设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），由{y =kx +mx 24+y 2=1消去y 整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，利用判别式以及韦达定理，转化表示三角形的面积，通过基本不等式求解表达式的最值即可．解：（1）由题意知，{a =2b √a 2+b 2=√5，解得{a =2b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），由{y =kx +mx 24+y 2=1消去y 整理得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，根据题设有：△＝16（1+4k 2﹣m 2）＞0且x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k2．因为k 2＝k 1k 2，所以k 2=k 1k 2=y 1x 1⋅y 2x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2， 将x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k2代入，化简得：k 2=14，∵k ＞0，∴k =12．此时△＝16（2﹣m 2）＞0且m ≠0，解得0＜m 2＜2．故S =12⋅|AB|⋅d =12√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2⋅√1+k =|m|⋅√2−m 2，又S 1+S 2=π4⋅(x 12+y 12+x 22+y 22)=π4⋅(34x 12+34x 22+2)=3π16⋅[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+π2=5π4，为定值． ∴S 1+S 2S=5π4⋅|m|⋅√2−m 2=5π4⋅22≥5π4，当且仅当m 2＝1即m ＝±1时等号成立． 综上：S 1+S 2S的最小值为5π4．21．已知函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a ，（其中e 为自然对数的底数）． （1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）当a ∈[0，1）时，函数g(x)=f(x)x 2(x ＞0)有最小值h （a ），求函数h （a ）的值域．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数判断函数f （x ）的单调性即可； （2）从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域． 解：（Ⅰ）函数f （x ）＝e x ﹣ax ﹣a ， 所以f ′（x ）＝e x ﹣a ；①当a ≤0时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增； ②当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，得e x ＞0，解得x ＞lna ， 令f ′（x ）＜0，得e x ＜0，解得x ＜lna ，所以函数f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增； （Ⅱ）g′(x)=(x−2)e x +a(x+2)x 3=x+2x3(x−2x+2e x +a)，设m(x)=x−2x+2e x+a ，x ＞0， 则m′(x)=x 2e x(x+2)2＞0，故m （x ）在（0，+∞）上单调递增，对于a ∈[0，1），由m （0）＝a ﹣1＜0，m （2）＝a ≥0，故存在x 0∈（0，2]，使得m （x 0）＝0，即g ′（x 0）＝0，亦即x 0−2x 0+2e x 0+a =0，当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＜0，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，当x ∈（x 0，+∞）时，m （x ）＞0，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，则g （x ）min ＝g （x 0），即g(x 0)=e x 0−a(x 0+1)x 02=e x 0x 0+2，则h(a)=e x 0x 0+2， 而(e x x+2)′=(x+1)e x (x+2)2＞0，即y =e xx+2单调递增，又x 0∈（0，2]，故12＜h （a ）≤e 24．一、选择题22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =4t +a 2y =3t −1（t 为参数），圆C 的参数方程为{x =1+|a|cosθy =−2a 2+sinθ（θ为参数）（1）求l 和C 的普通方程；（2）设点P （5，2），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求2|PA|+2|PB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）圆C 的参数方程为{x =1+|a|cosθy =−2a 2+sinθ（θ为参数）：所以a ＝±1，转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝1．直线l 的参数方程为{x =4t +a 2y =3t −1（t 为参数），转换为{x =4t +1y =3t −1，转换为直角坐标方程为y +1=34(x −1)． （2）直线l 的参数方程为{x =5+45t y =2+35t代入（x ﹣1）2+（y +2）2＝1，得到：t 2+565t +31=0，所以t 1+t 2=−565，t 1t 2＝31． 故2|PA|+2|PB|=2(|PA|+|PB||PA||PB|)=2×565×131=112155[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +m |+2|x ﹣1|（m ＞0）．（1）若不等式f （x ）＞4﹣2x 对任意的x ∈[﹣3，﹣1]恒成立，求m 的取值范围；（2）当m ＝2时，记f （x ）的最小值为M ，正实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝M ，证明：a 4+b 4+c 4≥3．【分析】（1）由题意可得|x +m |＞2，即为x +m ＞2或x +m ＜﹣2恒成立，再由一次函数的单调性，可得所求范围；（2）由绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得f （x ）的最小值M ，再二次运用柯西不等式，即可得证．【解答】（1）解：不等式f （x ）＞4﹣2x 对任意的x ∈[﹣3，﹣1]恒成立，可得|x +m |+2|x ﹣1|＞4﹣2x ，由x ﹣1∈[﹣4，﹣2]，可得|x +m |＞4﹣2x +2x ﹣2＝2，即为x +m ＞2或x +m ＜﹣2恒成立，由﹣3+m ＞2或﹣1+m ＜﹣2，解得m ＞5或m ＜﹣1；（2）证明：由f （x ）＝|x +2|+2|x ﹣1|＝（|x +2|+|x ﹣1|）+|x ﹣1|≥|x +2﹣x +1|+|1﹣1|＝3，当且仅当x ＝1时，f （x ）取得最小值3，即M ＝3，则正实数a ，b ，c 满足a +b +c ＝3，可得（12+12+12）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +c ）2，即有a 2+b 2+c 2≥3，同样（12+12+12）（a4+b4+c4）≥（a2+b2+c2）2≥9，当且仅当a＝b＝c＝1取得等号，则a4+b4+c4≥3．。

2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={12,a 2+4a,a −2}，且−3∈A ，则a =( )A. −1B. −3或−1C. 3D. −32. 复数z =1−2i 1+i+i ，则|z|=( )A. 0B. √2C. 1D. √223. 双曲线x 2m−y 23+m =1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A. 12B. 1或3C. 1+√22D. √2−124. 已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1=12，且a 2+a 3=3，则a 4=( )A. 4B. 6C. 8D. 105. 如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( )A. −56B. −16C. 16D. 566. 如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记∠ABP =x(x ∈[0,π2])，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域(阴影部分)的面积为y =f(x)，则函数f(x)的图象是( )A.B.C.D.7.若两个正实数x，y满足1x +4y=2，且不等式x+y4<m2−m有解，则实数m的取值范围是()A. (−1,2)B.C. (−2,1)D.8.已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为()A. 514B. 914C. 59D. 499.已知函数f(x)=e|x|+|x|.若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是()A. (0,1)B. (1,+∞)C. (−1,0)D. (−∞,−1)10.已知函数f(x)=sin2ωx2+12sinωx−12(ω>0)，x∈R，若f(x)在区间(π,2π)内有零点，则ω的取值范围是()A. (14,58)∪(54,+∞) B. (0,14]∪[58,1)C. (18,14)∪(58,54) D. (18,14)∪(58,+∞)11.若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则平面B1CD1到平面A1BD的距离是()A. √32B. √22C. 2√23D. 2√3312.如图，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，A为双曲线C的右支上一点，且|AF1|=2c，AF1与y轴交于点B，若F2B是∠AF2F1的平分线，则双曲线C的离心率e=()A. √5−1B. 1+√52C. 3+√52D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=10，S4=36，则公差d为______ ．14.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了100人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，则估计这100人的月平均收入为______元．15.如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=√63，AB=6，BD=√6，则ADsin∠BAD=______ ．16.已知函数f(x)=x|x2−3|，若存在实数m，m∈(0,√5]，使得当x∈[0,m]时，f(x)的取值范围是[0,am]，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bsinC =√3b−csinB−sinA．(1)求角A的大小；(2)若等差数列{a n}的公差不为零，a1sinA=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{4a n a n+1}的前n项和S n．18.某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：x(公顷)2040506080y(°C)34445(1)请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x+â；(2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C？参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i ni=1y i −nx·y ∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y −b ̂x ．19. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =1，AA 1=2，点D 是侧棱AA 1的中点． (1)证明：DC 1⊥平面BCD ； (2)求三棱锥B 1−BCD 的体积．20. 已知抛物线的方程为y 2=−8x ，设过点N(2,0)的直线l 的斜率为k ，且与抛物线相交于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点E ，求点E 的横坐标的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx +2ax+1+bx(a ∈R,b ∈R)．(1)当a =0时，若函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点，求b 的取值范围；(2)当b =0时，是否存在a ∈R ，使得不等式f(x)≤a2(x +1)恒成立？若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x +y −2=0，曲线C 2：{x =1+cosθy =sinθ，(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)曲线C 3：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，t >0，0<α<π2)，分别交C 1，C 2于A ，B 两点，当α取何值时，|OB||OA|取得最大值．23.已知定义在R上的函数f(x)=|x−2m|−|x|，m∈N∗，且f(x)<4恒成立．(1)解关于x的不等式f(x)>1−3x；(2)若α∈(0,1),β∈(0,1),f(α)+f(β)=3,求证：4α+1β≥18．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了元素与集合的关系及元素的性质，属于基础题．由集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，可得a2+4a=−3或a−2=−3，解得a，再根据集合中元素的互异性确定a的值即可．解：由集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，可得a2+4a=−3或a−2=−3，解得a=−1或−3，当a=−1时，A={12,−3,−3}，不符合元素的互异性，舍去；当a=−3时，A={12,−3,−5}，符合题意，即a=−3．故选D．2.答案：D解析：解：∵z=1−2i1+i +i=(1−2i)⋅(1−i)(1+i)(1−i)+i=−12−32i+i=−12−12i，∴|z|=√22．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题．根据双曲线的焦点且c=2，可知m+3+m=4，进而得出m的值．解：∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c=2，∴m+3+m=c2=4．。

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 复数z 1=2−i ，z 2=12−i ，则|z 1z 2|=( ) A. 52 B. 5 C. 254 D. 252. 设集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =( )A. {−1,1}B. {0}C. {−1,0，1}D. [−1,1]3. 已知空间内两条不同的直线a ，b ，则“a // b ”是“a 与b 没有公共点”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数f(x)={2e x−1,(x <2)log 3(x 2−1),(x ≥2)，则不等式f(x)>2的解集为( ) A. (1,2)⋃(3,+∞)B. (√10,+∞)C. (1,2)⋃(√10,+∞)D. (1,2)5. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x =2对称，当0<x <2时，f(x)=2x+2−x ，则f(5)=( )A. 3B. −3C. 7D. −76. 已知▵ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2c ，sinA =2cos2C ，则角A 等于( )A. π6B. π2C. 2π3D. 5π6 7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 为单位．．向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√2|a ⃗ −b ⃗ |，则a ⃗ 在a ⃗ +b ⃗ 上的投影为( ) A. 13 B. −2√63 C. √63 D. 2√238. 直线4x −3y =0被圆(x −1)2+(y −3)2=10所截得弦长为( )A. 3B. 3√2C. 6D. 6√29. 函数f(x)=e x x 的图象大致为( )A. B. C. D.10. 已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过C 上一点M 作其准线的垂线，垂足为N ，若∠NMF =120°，则|MF|=( ) A. 23 B. 2√33 C. 43 D. 4√3311. 春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳，19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图的上垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为(参考数据sin37∘=35)A. 30米B. 50米C. 60米D. 70米 12. 已知函数f(x)=3sinωx 在区间[−π3,π4]上的最小值为−3，则ω的取值范围是( )A. (−∞,−92]∪[6,+∞)B. (−∞,−92]∪[32,+∞) C. (−∞,−2]∪[6,+∞)D. (−∞,−2]∪[32,+∞) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1，则x +y 的最大值为______．14. 已知a >0，b >0，且ab =1，则12a +12b +8a+b 的最小值为______．15. 设P 是双曲线x 2a 2−y 29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x −2y =0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|=3，则|PF 2|的值为______．16. 已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD =6，E 为PD中点，过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC // α，则PM PA =________.四边形EMBN 的面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82，81，79，78，95，88，93，84乙：92，95，80，75，83，80，90，85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18. 已知等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，前n 项和为S n ，且满足____________.(从①S 10=5(a 10+1))；②a 1,a 2,a 6成等比数列；③S 5=35，这三个条件中任选两个．．补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题)(Ⅰ)求a n ；(Ⅱ)若b n=1，求数列{a n b n}的前n项和T n．2n19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=2AD=2CD=2.E是PB的中点．(Ⅰ)求证：平面EAC⊥平面PBC；(Ⅱ)若PB=2，求三棱锥P−ACE的体积．20.已知函数f(x)=e x−ax，其中a∈R，e为自然对数的底数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在[0,a]上的最大值．21.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x24+y22=1，其左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．22.平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为(1,0).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求抛物线E的极坐标方程；(Ⅱ)过点A(3,2)倾斜角为α的直线l交E于M，N两点，若|AN|=2|AM|，求tanα．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤1．3-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查复数的模，属于基础题．根据复数模的性质可得结果．解：|z 1z 2|=|z 1||z 2|=√22+(−1)2⋅√(12)2+(−1)2=√5×√52=52． 故选A ．2.答案：C解析：本题考查了交集及其运算，是基础题．解：集合A ={x ∈Z|x 2⩽1}={−1,0,1}，B ={−1,0,1,2}，∴A ∩B ={−1,0，1}，故选C ．3.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线的位置关系是解决本题的关键，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．解：空间内两条不同的直线a ，b ，若，⇒与b 没有公共点，若“a 与b 没有公共点，不能推出“a // b ”因为a ，b 可能平行，也可能为异面，故空间内两条不同的直线a ，b ，则“a // b ”是“a 与b 没有公共点”的充分不必要条件，故选A ．4.答案：C解析：本题考查分段函数，不等式求解．根据已知函数解析式分段求解f(x)>2即可． 解：函数则不等式f(x)>2即为{2e x−1>2x <2或，解得1<x <2，或x >√10即原不等式的解集为．故选C ． 5.答案：D解析：解：由题意可得f(x +2)=f(−x +2)，所以f(5)=f(3+2)=f(−3+2)=f(−1)=−f(1)=−(23−1)=−7．故选：D ．由已知结合函数的对称性可得f(x +2)=f(−x +2)，从而可把f(5)转化到已知区间上，代入可求． 本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力．6.答案：B解析：本题考查了正弦定理及二倍角公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由正弦定理可得，sinA =2sinC ，进而利用二倍角公式求出sinC =12，则可得sin A ，结合A 的范围，可得角A 的大小．解：由正弦定理，得a sinA =c sinC ，又a =2c ，则sinA =2sinC ，∵sin A =2cos 2C ，。

2020年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．复数z1＝1+√??i，????=√??-??，z＝z1?z2，则|z|＝（）A．√B．2C．√??D．42．集合={??|??=√??-??}，??={??|??=√??-????}，则A∩B＝（）A．?B．[﹣2，2]C．[0，2]D．{2}3．已知空间内两条不同的直线a，b，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知??(??)={-??，??≤??，??＞??，则不等式f（x）＞1的解集是（）A．（e，+∞）B．（2，+∞）C．（1，e）D．（2，e）5．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）的图象关于原点对称，则f（a）＝（）A．1-??B．1C．??-1D．??+1??6．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2c，sin A＝2cos2C，则角A 等于（）A．6B．??3C．??2D．2??37．已知→，→为不共线的两个单位向量，且??→在??→上的投影为-12，则|→-??→|＝（）A．√??B．√??C．√??D．√?? 8．直线2x?sinθ+y＝0被圆x2+y2﹣2√??y+2＝0截得最大弦长为（）A．√??B．??√??C．3D．??√?? 9．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C ．D ．10．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A （x A ，y A ）是抛物线上一点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，若||=32||，则|y A |＝（）A ．3B ．√??C ．4D ．??√??11．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆﹣﹣桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A 处测得B 处的仰角为37度，在A 处测得C 处的仰角为45度，在B 处测得C 处的仰角为53度，A 点所在等高线值为20米，若BC 管道长为50米，则B 点所在等高线值为（参考数据°=35）（）A ．30米B ．50米C ．60米D ．70米12．已知函数f （x ）＝sin ω（x+6）（ω＞0）在区间（0，π）上有且仅有2个最小值点，下列判断：①f （x ）在（0，π）上有2个最大值点；②f （x ）在（0，π）上最少3个零点，最多4个零点；③∈(??，337)；④f （x ）在(??，5??33)上单调递减．其中所有正确判断的序号是（）A ．④B ．③④C ．②③④D ．①②③二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件{≥|??|-??-+??≥??，则目标函数z ＝x+y 的最大值为．14．已知函数f （x ）＝lnx ，f （a ）+f （b ）＝1，则a+b 的最小值为．15．已知F1，F2分别是双曲线??：22-??22=??(??＞??，??＞??)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为．16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝6，E为PD中点，过EB作平面α分别与线段PA、PC交于点M，N，且AC∥α，则=，四边形EMBN的面积为．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）求两位学生预赛成绩的平均数和方差；（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．18．已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），前n项和为S n，且满足______（从①S10＝5（a10+1）；②a1，a2，a6成等比数列；③S5＝35，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）若??=12，求数列{a n b n}的前n项和T n．19．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且AB＝2AD＝4，∠DAB＝60°，AD⊥D1D．（Ⅰ）求证：平面D1DBB1⊥平面ABCD；（Ⅱ）若D1D＝D1B＝2，求三棱锥D﹣CC1B的体积．20．已知函数f（X）＝e x（x﹣a﹣1）（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间[1，2]上的单调性；（Ⅱ）若()≥恒成立，求实数a的最大值．（e为自然对数的底）21．已知椭圆：212+??24=??，过点P（0，﹣2）的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆的方程；（Ⅱ）设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为（1，0）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；（Ⅱ）过点A（3，2）倾斜角为α的直线l交E于M，N两点，若|AN|＝2|AM|，求tanα．[选修4-5：不等式选讲]23．已知()=|-1|+|??-????|，g（x）＝|x﹣2a|﹣|x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＜g（x）+3的解集；（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z1＝1+√??i，????=√??-??，z＝z1?z2，则|z|＝（）A．√??B．2C．??√??D．4【分析】直接利用乘积的模等于模的乘积求解．解：由z1＝1+√??i，????=√??-??，且z＝z1?z2，∴|z|＝|z1z2|＝|z1||z2|＝|+√||√-??|＝2×2＝4．故选：D．2．集合={??|??=√??-??}，??={??|??=√??-????}，则A∩B＝（）A．?B．[﹣2，2]C．[0，2]D．{2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合={??|??=√??-??}={x|﹣2≤x≤2}，??={??|??=√??-????}={y|0≤x≤2}，∴A∩B＝[0，2]．故选：C．3．已知空间内两条不同的直线a，b，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用空间线线位置关系即可判断出关系．解：“a∥b”?“a与b没有公共点”，反之不成立，由a与b没有公共点，a，b可能平行、可能为异面直线．∴“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件．故选：A．4．已知??(??)={-??，??≤??，??＞??，则不等式f（x）＞1的解集是（）A．（e，+∞）B．（2，+∞）C．（1，e）D．（2，e）【分析】不等式即{≤??-??＞??①或{??＞??＞??②，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．解：∵已知??(??)={-??，??≤??，??＞??，则不等式f（x）＞1，即{≤??-??＞??①或{??＞??＞??②．由①可得x∈？；由②可得x＞e，综上，x＞e，故选：A．5．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x（a∈R）的图象关于原点对称，则f（a）＝（）A．1-??B．1C．??-1D．??+1??【分析】由奇函数的性质可知f（0）＝0，代入可求a，进而可求．解：由题意可知，f（x）为奇函数，故f（0）＝1+a＝0，所以a＝﹣1，f（x）＝e x﹣e﹣x，则f（a）＝f（﹣1）=1-??．故选：A．6．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2c，sin A＝2cos2C，则角A 等于（）A．6B．??3C．??2D．2??3【分析】由已知利用正弦定理可得sin C=12sin A，利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得sin2A+sin A﹣2＝0，解方程可得sin A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值．解：∵a＝2c，∴由正弦定理可得sin A＝2sin C，可得sin C=12sin A，∴sinA＝2cos2C＝2（1﹣2sin2C）＝2（1﹣2×2??4），整理可得sin2A+sin A﹣2＝0，∴解得sin A＝1，或﹣2（舍去），∵A∈（0，π），∴A=2．故选：C．7．已知→，→为不共线的两个单位向量，且→在??→上的投影为-12，则|→-??→|＝（）A．√??B．√??C．√??D．√??【分析】根据向量→在向量→的方向上投影的定义求出??→??→，进而求出|2??→-??→|即可．解：∵→，→为不共线的两个单位向量，且??→在??→上的投影为-12，故→→=|??→|?|??→|cosθ=-12；则|→-??→|=√(→-??→)??=√→??+??→??-→→=√??+??=√??．故选：D．8．直线2x?sinθ+y＝0被圆x2+y2﹣2√y+2＝0截得最大弦长为（）A．√??B．??√??C．3D．??√??【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心和半径，求出圆心到直线的距离d，分析可得d的最小值，由直线与圆的位置关系可得当圆心到直线的距离最小时，直线2x?sinθ+y＝0被圆x2+y2﹣2√??y+2＝0截得弦长最大，据此计算可得答案．解：根据题意，圆x2+y2﹣2√y+2＝0，即x2+（y-√??）2＝3，其圆心为（0，√??），半径r=√??，圆心到直线2x?sinθ+y＝0的距离d=|√5|√1+42??=√5√1+42??≥√5√5=1，当圆心到直线的距离最小时，直线2x?sinθ+y＝0被圆x2+y2﹣2√y+2＝0截得弦长最大，而d=√5√1+42??的最小值为1，则直线2x?sinθ+y＝0被圆x2+y2﹣2√??y+2＝0截得最大弦长值为2×√??-??=2√??，故选：D．9．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用极限思想及函数的单调性，运用排除法得解．解：当x →+∞时，f （x ）＞0，故排除AD ；′(??)=(+1)-??，令g （x ）＝lnx +1﹣xlnx ，则′(??)=1--??，显然g ′（x ）在（0，+∞）上递减，且g ′（1）＝0，∴当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，1）上递增，又??(??)=??＞??，??(12)=-??+2??2＜??，故存在??∈(12，??)，使得g （x 0）＝0，且当x ∈（0，x 0），g （x ）＜0，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，x ∈（x 0，1），g （x ）＞0，f ′（x ）＞0，f （x ）递增，可排除B ．故选：C ．10．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A （x A ，y A ）是抛物线上一点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，若||=32||，则|y A |＝（）A ．3B ．√??C ．4D ．??√??【分析】画出图形，结合已知条件，利用||=32||，列出方程，求出A 的横坐标，然后求解即可．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （1，0），A （x A ，y A ）是抛物线上一点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为B （﹣1，y A ），若||=32||，可得x A +1=32?√??+????，可得x A 2+2x A +1=94(??+??)=9（1+x A ），所以x A 2﹣7x A ﹣8＝0，解得x A ＝﹣1（舍去）x A ＝8，此时y A 2＝32，所以|y A |＝4√??．故选：D ．11．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆﹣﹣桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为20米，若BC管道长为50米，则B点所在等高线值为（参考数据°=35）（）A．30米B．50米C．60米D．70米【分析】由题意，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A 与B水平的距离；BC管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，在结合A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，从而求解x的值；解：BC管道长为50米，可得B点与点C等高线值差为40，C与B水平的距离为30，因为A处测得C处的仰角为45度，即A与C的水平距离等于A点与点C等高线值差，设B点与点A等高线值差为x，A处测得B处的仰角为37度，可得A与B水平的距离43；所以43+=+??，解得x＝30，A点所在等高线值为20米，因此B点所在等高线值50米，故选：B．12．已知函数f（x）＝sinω（x+6）（ω＞0）在区间（0，π）上有且仅有2个最小值点，下列判断：①f（x）在（0，π）上有2个最大值点；②f（x）在（0，π）上最少3个零点，最多4个零点；③∈(??，337)；④f（x）在(??，5??33)上单调递减．其中所有正确判断的序号是（）A．④B．③④C．②③④D．①②③【分析】先求出函数f（x）的最小值点，再解不等式即可得到ω的范围，即可判断各选项的真假．解：令ω（x+6）=-??2+2kπ．解得x=-2+2-6，由0＜-2+2-6＜π，可知满足题意的k值只有两个，而ω＞0，所以k＝1或k＝2，即有0＜3??2-6＜π，0＜7??2??-??6＜π，11??2-6≥π，解得，3＜ω≤337，所以③错误；当3＜ω≤337时，ω（x+6）∈（2，33??6]取ω＝3.1，ω（x+6）∈（3.1??6，21.7??6]，此时只有当ω（x+??6）=5??2时取最大值，所以①错误；当ω=337时，ω（x+6）＝π，2π，3π，4π，5π，有5个解，所以②错误；当x∈（0，5??33）时，ω（x+6）∈（2，3??2），而ω＞0，所以f（x）在x∈（0，5??33）上单调递减，④正确．故选：A．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x，y满足约束条件{≥|??|-??-+??≥??，则目标函数z＝x+y的最大值为3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解：作出变量x，y满足约束条件{≥|??|-??-+??≥??，对应的平面区域如图：由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线的截距最大此时z最大，由{-+??=??=??-??，解得A（2，1），此时z＝2+1＝3，故答案为：3．14．已知函数f（x）＝lnx，f（a）+f（b）＝1，则a+b的最小值为√??．【分析】由已知结合对数运算性质可求ab，然后结合基本不等式即可求解．解：因为f（x）＝lnx，f（a）+f（b）＝1，所以lna+lnb＝lnab＝1，故ab＝e，则a+b≥??√??，当且仅当a＝b时取等号，故答案为：√??15．已知F1，F2分别是双曲线??：22-??22=??(??＞??，??＞??)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为53．【分析】根据圆的有关性质和双曲线的渐近线方程可得P点的坐标，再根据|PF1|＝2|PF2|即可求出5a＝3c，可得双曲线的离心率．解：双曲线??：22-??22=??(??＞??，??＞??)的渐近线方程为y=??x，焦点坐标为F1（﹣c，0），F2（c，0），设点P 的坐标为（m ，m ），不妨令m ＞0，∴??→=（m ﹣c ，m ），??????→=（m+c ，????m ），∵以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P ，∴??→??????→=（m +c ，m ）?（m ﹣c ，????m ）＝m 2﹣c 2+22m 2＝0，即m ＝a ，∴P （a ，b ），∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴（a+c ）2+b 2＝4（a ﹣c ）2+4b 2，即5a ＝3c ，则e ==53，故答案为：53．16．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝6，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC ∥α，则=23，四边形EMBN 的面积为√??．【分析】过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC ∥α，连结AC ，BD ，交于点O ，过O 作平面ABCD 的垂线OF ，交BE 于F ，过F 作AC 的平行线，分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，则平面EMBN 就是平面α，由此能求出结果．解：四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝6，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，且AC ∥α，连结AC ，BD ，交于点O ，过O 作平面ABCD 的垂线OF ，交BE 于F ，过F 作AC 的平行线，分别与线段PA 、PC 交于点M ，N ，则平面EMBN 就是平面α，BE =√+??=√??+=3√??，∵MN ∥AC ，∴△PMN ∽△PAC ，∴==23，MN =23=2√，∵AC ⊥BD ，AC ⊥PD ，BD ∩PD ＝D ，∴AC ⊥平面PBD ，∴MN⊥平面PBD，∴MN⊥BE，∴四边形EMBN的面积为S=12××=12×??√??×??√??=3√??．故答案为：23；√??．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲8281797895889384乙9295807583809085（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）求两位学生预赛成绩的平均数和方差；（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．【分析】（1）根据所给的数据，以十位做茎，个位做叶，做出茎叶图，注意图形要做到美观，不要丢失数据；（2）根据所给的数据做出两个人的平均数和方差即可；（3）把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲参加．解：（1）作出茎叶图如下：（2）派甲参赛比较合适，理由如下：甲=18（70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5）＝85，乙=18（70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5）＝85，甲=18[（78﹣85）2+（79﹣85）2+（81﹣85）2+（82﹣85）2+（84﹣85）2+（88﹣85）2+（93﹣85）2+（95﹣85）2]＝35.5，乙=18[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（92﹣85）2+（95﹣85）2]＝41，∵??甲=??乙，甲＜??乙??，（3）结合（2）甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．18．已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），前n项和为S n，且满足______（从①S10＝5（a10+1）；②a1，a2，a6成等比数列；③S5＝35，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）若??=12??，求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）先分别由①②③首项与公差的关系式，然后选择①②、①③、②③条件组合，求出a n；（Ⅱ）利用错位相减法求其前n项和T n即可．解：（Ⅰ）由①S10＝5（a10+1），得+10×９2??=??(????++??)，即a1＝1；由②a1，a2，a6成等比数列，得=????????，??????+????+??=??????+????，即d＝3a1；由③S 5＝35，得5(??1+??5)2==，即a 3＝a 1+2d ＝7；当选择①②时，有a 1＝1，d ＝3a 1＝3，此时a n ＝3n ﹣2；当选择①③时，有a 1＝1，a 3＝a 1+2d ＝7，解得d ＝3，此时a n ＝3n ﹣2；当选择②③时，有d ＝3a 1且a 3＝a 1+2d ＝7，解得a 1＝1，d ＝3，此时a n ＝3n ﹣2；综合以上不管选择哪两个，均得a 1＝3、d ＝3，即a n ＝3n ﹣2；（Ⅱ）∵??=12+422+723+1024+?+3??-22，∴12=122+423+724+1025+?+3??-52+3??-22??+1，两式相减得：12=12+??(122+123+124+?+12??)-3??-22??+1，得??=??+??(12+122+123+?+12??-1)-3??-22=??+??(??-12??-1)-3??-22??=??-3??+42??．19．如图所示，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 是以AB ，CD 为底边的等腰梯形，且AB ＝2AD ＝4，∠DAB ＝60°，AD ⊥D 1D ．（Ⅰ）求证：平面D 1DBB 1⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若D 1D ＝D 1B ＝2，求三棱锥D ﹣CC 1B 的体积．【分析】（Ⅰ）△ABD 中，由已知求解三角形可得AD ⊥BD ，再由AD ⊥D 1D ，由直线与平面垂直的判定可得AD ⊥平面D 1DBB 1，进一步得到平面D 1DBB 1⊥平面ABCD ；（Ⅱ）取BD 的中点O ，由于D 1D ＝D 1B ，得D 1O ＝BD ，结合（Ⅰ）可得D 1O ⊥面ABCD ．求得D 1O ＝1，再由D 1C 1∥平面ABCD ，然后利用等体积法求三棱锥D ﹣CC 1B 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：△ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠DAB ＝60°，得=+??-??×??×??×12=，则AD 2+BD 2＝AB 2，即AD ⊥BD ，而AD ⊥D 1D ，DD 1∩BD ＝D ，∴AD ⊥平面D 1DBB 1，又AD ?面ABCD ，∴平面D 1DBB 1⊥平面ABCD ；（Ⅱ）解：取BD 的中点O ，由于D 1D ＝D 1B ，∴D 1O ＝BD ，由（Ⅰ）可知平面D 1DBB 1⊥面ABCD ，故D 1O ⊥面ABCD ．∵D 1D ＝2，=√??，∴D 1O ＝1，∵D 1C 1∥平面ABCD ，∴-??=??????-=??????-=13??△????=13×12∠=16×??×??×√32=√33．20．已知函数f （X ）＝e x（x ﹣a ﹣1）（a ∈一、选择题）．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间[1，2]上的单调性；（Ⅱ）若()≥恒成立，求实数a 的最大值．（e 为自然对数的底）【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为()=??(??-??-??)-≥??，即g （x ）min ≥0，根据函数的单调性求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围．解：（Ⅰ）f'（x ）＝e x （x ﹣a ），x ∈（﹣∞，a ）时，f'（x ）＜0；x ∈（a ，+∞）时，f'（x ）＞0．①当a ≤1时，f （x ）在[1，2]上单调递增；②当1＜a ＜2时，f （x ）在[1，a]上单调递减，（a ，2]上递增；③当a ≥2时，f （x ）在[1，2]的单调递减；（Ⅱ）??(??)=??(??-??-??)-≥??，即g （x ）min ≥0，由（Ⅰ）知：g （x ）在x ∈（﹣∞，a ）上递减，在x ∈（a ，+∞）上递增，则g （x ）min ＝g （a ）≥0，即e a+1+a ≤0，令h （x ）＝e x +1+x ，h'（x ）＝e x +1+1＞0，即h （x ）＝e x +1+x 在R 单调递增，而h （﹣1）＝e﹣1+1﹣1＝0，h （a ）＝e a +1+a ≤0＝h （﹣1），所以a ≤﹣1，即a 的最大值为﹣1．21．已知椭圆：212+??24=??，过点P （0，﹣2）的两条不同的直线与椭圆E 分别相交于A ，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．（Ⅰ）求以AB为直径的圆的方程；（Ⅱ）设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知A（2，0），求得AB所在直线当斜率，得到AB的方程，与椭圆方程联立求得B点坐标，则以AB为直径的圆方程可求；（Ⅱ）当CD斜率存在时，并设CD方程：y＝kx﹣2，设C（x1，y1），D（x2，y2）．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，结合根与系数的关系写出以CD 为直径的圆方程，与以AB为直径的圆的方程联立，求得MN的方程，利用直线系方程可得直线MN过定点；然后验证CD斜率不存在时即可．解：（Ⅰ）由已知A（2，0），则=0-(-2)2-0=??，故AB方程：y＝x﹣2，联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：4y2+12y＝0，得y B＝﹣3，即B（﹣1，﹣3），从而以AB为直径的圆方程为：（x﹣2）（x+1）+（y﹣0）（y+3）＝0，即x2+y2﹣x+3y﹣2＝0；（Ⅱ）（1）当CD斜率存在时，并设CD方程：y＝kx﹣2，设C（x1，y1），D（x2，y2）．由{212+??24=??=-??，消去y得：（3+k2）x2﹣4kx﹣8＝0，故+????=4??3+??2，??????=-83+??，从而??+????=??(????+????)-??=-123+??2，??????=(??-??)(??-??)=??????????-(????+????)+??=12(1-??2)3+??2，而以CD为直径的圆方程为：（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）＝0，即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y+x1x2+y1y2＝0，①且以AB为直径的圆方程为x2+y2﹣x+3y﹣2＝0，②将两式相减得直线MN：（x1+x2﹣1）x+（y1+y2+3）y﹣x1x2﹣y1y2﹣2＝0，即（﹣k2+4k﹣3）x+（3k2﹣3）y+10（k2﹣1）＝0，可得：（k﹣1）[（3﹣k）x+（3k+3）y+10（k+1）]＝0，两条直线互异，则k≠1，即（3x+3y+10）+（3y﹣x+10）k＝0，令{++=??-??+=??，解得{=????=-103，即直线MN过定点(??，-103)；（2）当CD斜率不存在时，CD方程：x＝0，知(，-??√??)，??(??，??√??)，则以CD为直径的圆为x2+y2＝12，而以AB为直径的圆方程x2+y2﹣x+3y﹣2＝0，两式相减得MN方程：x﹣3y﹣10＝0，过点(??，-103)．综上所述，直线MN过定点(??，-103)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为（1，0）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；（Ⅱ）过点A（3，2）倾斜角为α的直线l交E于M，N两点，若|AN|＝2|AM|，求tanα．【分析】（Ⅰ）求出抛物线E的标准方程为y2＝4x，然后求解极坐标方程．（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为{=??+=??+（t为参数），代入y2＝4x，利用韦达定理结合参数的几何意义，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题意抛物线E的焦点为（1，0），所以标准方程为y2＝4x，故极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ＝0；（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为{=??+=??+（t为参数），代入y2＝4x，化简得sin2αt2+（4sinα﹣4cosα）t﹣8＝0，????+????=-4+42??，??????=-8 2??，且△＝（4sinα﹣4cosα）2+32sin2α＞0．由|AN|＝2|AM|，A在E内部，知t2＝﹣2t1，??????=-=-8 2??得{?=2=-2或{??=-2????=4，所以，当??+????=-4+42??=-2时，解得tanα＝2，所以，当??+????=-4+42??=2时，解得=23，所以tan α＝2或=23．[选修4-5：不等式选讲]23．已知()=|-1|+|??-????|，g （x ）＝|x ﹣2a|﹣|x ﹣2|（a ∈R ）．（Ⅰ）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜g （x ）+3的解集；（Ⅱ）求证：f （x ）≥g （x ）．【分析】（Ⅰ）将a ＝1代入，把不等式两边平方后，解不等式即可；（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质结合基本不等式可得f （x ）≥2|a ﹣1|，g （x ）≤2|a ﹣1|，由此得证．解：（Ⅰ）当a ＝1时，不等式为|-1|＜??，平方得??-??+42＜??，则4x 4﹣17x 2+4＜0，得14＜??＜??，即-??＜??＜-12或12＜??＜??，所以，所求不等式的解集(-??，-12)∪(12，)；（Ⅱ）证明：因为()=|-1|+|??-????|≥|(-1??)-(??-????)|=|??-??||??+1??|=|??-??|(|??|+1|??|)≥??|??-??|，又g （x ）＝|x ﹣2a|﹣|x ﹣2|≤（x ﹣2a ）﹣（x ﹣2）＝2|a ﹣1|，所以，不等式f （x ）≥g （x ）得证．。

江西省南昌市2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A ．51- B ．51- C ．51+ D ．51+ 【答案】C【解析】【分析】由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以()()()22122cos 1sin 12sin 44162562551z z cos sin αααααϕ-=-+-=-+-+=-+≤+=+，其中tan φ2=，故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.2．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ． 3．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【分析】设i,(,)z a b a b R =+∈，由||23z z i =-，得222i=(a b z a b +--+，利用复数相等建立方程组即可.【详解】设i,(,)z a b a b R =+∈，则222i=(2)i=3a b z a b +--+，所以22320a b a b ⎧+⎪=⎨⎪+=⎩， 解得22a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩22i 2z =-，复数z 在复平面内对应的点为2(2)2-，在第四象限. 故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30°的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，则该双曲线的标准方程可能为（ ）A ．2212x y -= B ．2213x y -= C ．2214x y -= D ．22132x y -= 【答案】A【解析】【分析】直线l 的方程为)33y x c =+，令0x =，得33y =，得到a,b 的关系，结合选项求解即可 【详解】直线l 的方程为)3y x c =+，令0x =，得3y =.3b =，所以22222232a c b b b b =-=-=，只有选项A 满足条件.故选：A【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 【答案】C【解析】【分析】 利用诱导公式以及二倍角公式，将3sin 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为关于tan θ的形式，结合终边所在的直线可知tan θ的值，从而可求3sin 22πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为222222223sin cos tan 1sin 2cos 2sin cos 2sin cos tan 1πθθθθθθθθθθ--⎛⎫+=-=-== ⎪++⎝⎭，且tan 2θ=， 所以3413sin 22415πθ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解22sin cos m n θθ+值的两种方法：（1）分别求解出sin ,cos θθ的值，再求出结果；（2）将22sin cos m n θθ+变形为222222sin cos tan sin cos tan 1m n m n θθθθθθ++=++，利用tan θ的值求出结果. 6．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．16【答案】C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可.【详解】 ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)24ABC S bc A ===-V ,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.7．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必条件 【答案】B【解析】【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由|1|2x -<，得13x -<<，又由2x x <，得01x <<，因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<，所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.8．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】【分析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【详解】因为1 y ax'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a-=，即4a=.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题9．点(,)P x y为不等式组+4x yy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-yx的取值范围是（）A．()(),21,-∞-⋃+∞B．(][),11,-∞-+∞U C．()2,1-D．[]2,1-【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z的几何意义即可得到结论．【详解】不等式组4x yy xy+⎧⎪⎨⎪⎩………作出可行域如图：(4,0)A，(2,2)B，(0,0)O，22yzx+=-的几何意义是动点(,)P x y到(2,2)Q-的斜率，由图象可知QA的斜率为1，QO的斜率为：1-，则22yx+-的取值范围是：(-∞，1][1-U，)+∞．故选：B．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．32【答案】B【解析】【分析】 由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

2020年江西省南昌二中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合，，则A. B. C. D.2.已知复数z满足，则A. B. 1 C. D. 53.函数的部分图象大致是A. B. C. D.4.设a，b，c均为正数，且，，，则A. B. C. D.5.在中，，，则A. 4B.C. 6D.6.已知，，，均为锐角，则A. B. C. D. 17.已知某公司生产的一种产品的质量单位：千克服从正态分布现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间内的产品估计有附：若，则，A. 8185件B. 6826件C. 4772件D. 2718件8.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为论小于某值的素数个数的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为的结论素数即质数，根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入n的值为100，则输出k的值应属于区间A.B.C.D.9.已知，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与圆相切，切点T，且交双曲线右支于点P，若，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.10.已知函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，则A. B. C. 0 D. 211.在中，G为的重心，，，则面积的最大值为A. B. C. D.12.设函数在定义域上是单调函数，且，若不等式对恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.为响应党中央提出的“稳疆兴疆，富民固边”战略，2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师不同姓到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人．则李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为______．14.在数列中，，，记是数列的前n项和，则______．15.阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P到两定点A，B的距离之满足且为常数，则P点的轨迹为圆．已知圆O：和，若定点和常数满足：对圆O上任意一点M，都有，则______，面积的最大值为______．16.已知四面体ABCD中，，，，O为其外接球球心，AO与AB，AC，AD所成的角分别为，，有下列结论：该四面体的外接球的表面积为，该四面体的体积为10，，，其中所有正确结论的编号为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角A的大小；若，角B的平分线交AC于点D，求的面积．18.某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z来衡量产品的质量．当时，产品为优等品；当时，产品为一等品；当时，产品为二等品．第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z的条形图．用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率．从该企业生产的所有产品中随机抽取4件，求至少有1件优等品的概率；现某人决定购买80件该产品．已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测，买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担．记企业的收益为X元，求X 的分布列与数学期望．19.如图，在三棱锥中，为正三角形，M为棱PA的中点，，，平面平面PAC求证：平面平面PAC；若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为，求二面角的正弦值．20.已知椭圆C：的长轴是短轴的两倍，以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于，直线l与椭圆C交于，两点，其中直线l不过原点．求椭圆C的方程；设直线OA，l，OB的斜率分别为，k，，其中且记的面积为分别以OA，OB为直径的圆的面积依次为，，求的最小值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．讨论函数的单调性；当时，函数有最小值，求函数的值域．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，圆C的参数方程为为参数求l和C的普通方程；设点，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．23.已知函数．若不等式对任意的恒成立，求m的取值范围；当时，记的最小值为M，正实数a，b，c满足，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，或，．故选：B．可以求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：，，，，故选：C．化简复数，即可求出．本题考查复数的化简，考查复数的模，考查学生的计算能力，比较基础．3.答案：A解析：解：当时，，所以，排除C，D；因为时，，所以，因此排除B，故选：A．利用趋近性结合排除法即可得到答案．本题考查由函数解析式确定函数图象，解决这类题的方法一般是从单调性，奇偶性，特殊点及趋近性等角度，运用排除法求解，属于基础题．4.答案：D解析：【分析】在同一坐标系中分别画出，，，的图象，数形结合能判断三个数的大小．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：在同一坐标系中分别画出，，，的图象，与的交点的横坐标为a，与的图象的交点的横坐标为b，与的图象的交点的横坐标为c，从图象可以看出．故选：D．5.答案：B解析：解：如图，由得，，又，，．故选：B．可画出图形，根据即可得出，并得出，从而得出，然后进行数量积的运算即可．本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：因为，均为锐角，所以，所以，，由，所以，，所以，故选：D．因为，均为锐角，所以，所以，，由求出，再求出，代入即可．考查同角三角函数的基本关系式，两角和与差的公式的应用，中档题．7.答案：A解析：解：依题意，，，，质量在区间内的产品估计有件，故选：A．产品的质量单位：千克服从正态分布所以，，，代入计算即可．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.答案：B解析：解：该流程图是统计100以内素数的个数，由题可知小于数字x的素数个数大约可以表示为；则100以内的素数个数为：．故选：B．由流程图可知其作用为统计100以内素数的个数，将代入可求得近似值，从而得到结果．本题考查了判断新定义运算的应用问题，关键是能够明确流程图的具体作用．9.答案：C解析：解：连，过作，若，则易知，，，，，所以在中，，整理得，所以渐近线方程为，即，故选：C．连，过作，结合向量共线定理和三角形的中位线定理，双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，可得a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量共线定理和三角形的中位线定理的运用，考查化简运算能力，属于中档题．10.答案：A解析：解：函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，直线与函数在区间内的图象相切，在区间上，y的解析式为，故由题意切点坐标为，切线斜率，由点斜式得切线方程为：，即，直线过原点，，得，则，故选：A．依题意，过原点的直线与函数在区间内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得，代入所求关系式即可求得答案．本题考查直线与余弦曲线的交点，考查导数的几何意义，直线的点斜式方程的应用，求得是关键，考查三角函数间的关系的综合应用，属于难题．11.答案：B解析：解：由重心的性质可得：因为，所以，如图建立平面直角坐标系，以BC所在的直线为x轴，以过BC的中点D垂直于BC的直线为y轴由题意可得，，，设，由可得：，整理可得：，所以G是以为圆心，以为半径的圆，所以G到BC的最大距离为，所以的面积的最大值为，又，故选：B．由题意建立平面直角坐标系，求出G所满足的方程，可得三角形BGC的面积的最大值，再由的最大值．本题考查三角形的几何运算，及面积公式，属于中档题．12.答案：D解析：解：设，则，所以，令得，解得，所以，由题意可知，对恒成立，即对恒成立，令，则，易知在上为减函数，在上为增函数，所以，则，故选：D．先利用换元法求出的解析式，然后再用分离变量法，借助函数的单调性来解决问题．本题考查函数的单调性的应用问题，属于中档题目．13.答案：解析：解：2020年5月我市某教育集团选派5名高级教师不同姓到新疆克州的甲、乙、丙三所中学进行援疆支教，每所学校至少1人．基本事件总数，李老师与杨老师安排去同一个学校包含的基本事件个数．李老师与杨老师安排去同一个学校的概率为．故答案为：．基本事件总数，李老师与杨老师安排去同一个学校包含的基本事件个数由此能求出李老师与杨老师安排去同一个学校的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：60解析：解：当n为偶数时，；当n为奇数时，，奇数项是公差为1的等差数列；故答案为：60．讨论n为奇或偶，得出递推式，即可知道数列的项的特征，从而求出．本题主要考查分组求和法的应用，属于基础题．15.答案：2解析：解：设点，由，得，整理得，所以解得，如右图，当或时，．故答案为：2；．画出图形，通过，求解轨迹方程，推出，然后求解三角形的面积．本题考查轨迹方程的求法，考查圆的方程的应用，转化思想以及计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：由题意可得此四面体放在长方体中，如图所示，，，是边长为5，，的三角形的三个内角，故，如图所示，故正确．可得，解得：，，，可得，可得O为AF与DE的交点，因为AO与AB，AC，AD所成的角分别为，，，可得，，，所以，即错误；四面体外接球的直径的平方为，所以该四面体外接球的表面积为，即正确；四面体的体积等于长方体的体积减去4个三棱锥的体积，，即错误；故答案为：．直接利用三角形的面积公式的应用，线面夹角的应用，勾股定理的应用，球与四面体之间的关系的应用求出结果，本题考查的知识要点：三角形的面积公式的应用，线面夹角的应用，勾股定理的应用，球与四面体之间的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．17.答案：解：由及正弦定理知，又，由余弦定理得，，；由知，又，在中，由正弦定理知：，在中，由正弦定理及，解得，故．解析：由正弦定理及其余弦定理，求出角A即可；由求出B，C，再由及，，求出AD，再求出面积．考查正余弦定理的应用，中档题．18.答案：解：由条形图可知，500件中优等品有件，优等品的频率为，用频率估计概率，抽取一件产品属于优等品的概率为，随机抽取4件产品，至少有1件优等品的概率为．当按每件1600元购买时，；当按每件1500元购买时，．；．的分布列为X 47000 39000P数学期望．解析：由条形图可知，优等品的数量为件，所以抽取一件产品属于优等品的概率为，再结合对立事件的概率和独立重复事件的概率，可得随机抽取4件产品，至少有1件优等品的概率为；当按每件1600元购买时，；当按每件1500元购买时，，再按独立重复事件的概率求出，所以，从而可得X的分布列，利用数学期望的公式即可求出．本题考查对立事件的概率、独立重复事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：证明：因为为正三角形，M为棱PA的中点，所以，又平面平面PAC，且平面平面，所以平面PAB，所以，又，且，所以平面PAC，又平面ABC，所以平面平面PAC．作AC中点O，连OP，由及可知平面ABC以O为坐标原点，OA，OP分别为x，z轴，过O且平行于AB的方向为y轴，如图，建立空间直角坐标系．设则，，设，则，，设平面ABC的法向量为0，，因为PQ与平面ABC所成角的正弦值为所以，即，解得即Q为AB的中点，则，设平面QMC的法向量为y，，则，即，，取，设平面AMC的法向量为，则1，则二面角的余弦值为，故．解析：证明，推出平面PAB，得到，结合，推出平面PAC，然后证明平面平面PAC．作AC中点O，连OP，以O为坐标原点，OA，OP分别为x，z轴，过O且平行于AB的方向为y轴，如图，建立空间直角坐标系．求出平面ABC的法向量，平面QMC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值，然后求解正弦函数值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.答案：解：由题意知，，解得，所以椭圆C的方程为．设直线l的方程为，由消去y整理得，根据题设有：且，．因为，所以，将，代入，化简得：，，．此时且，解得故，又，为定值．，当且仅当即时等号成立．综上：的最小值为．解析：利用已知条件列出方程组，求出，然后求解椭圆C的方程．设直线l的方程为，由消去y整理得，利用判别式以及韦达定理，转化表示三角形的面积，通过基本不等式求解表达式的最值即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：Ⅰ函数，所以；当时，，函数在区间上单调递增；当时，令，得，解得，令，得，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增；Ⅱ，设，则，故在上单调递增，对于，由，，故存在，使得，即，亦即，当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，则，即，则，而，即单调递增，又，故．解析：求出函数的导数，利用导数判断函数的单调性即可；从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域．该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复杂函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，难度中等．22.答案：解：圆C的参数方程为为参数：所以，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为为参数，转换为，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为代入，得到：，所以，．故解析：直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：不等式对任意的恒成立，可得，由，可得，即为或恒成立，由或，解得或；证明：由，当且仅当时，取得最小值3，即，则正实数a，b，c满足，可得，即有，同样，当且仅当取得等号，则．解析：由题意可得，即为或恒成立，再由一次函数的单调性，可得所求范围；由绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得的最小值M，再二次运用柯西不等式，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020届江西省南昌市高三下学期二模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数12121,,z z i z z z ===⋅,则||z 等于( )A. 2B. 4 D. 【答案】B【解析】先利用复数的乘法运算得到12z z z =,再利用模的计算公式计算即可.【详解】由已知,21(1)2z z i i z ==-=,所以||4z ===. 故选：B2.集合{A x y ==,{B y y ==,则A B =（ ） A. ∅B. []22-,C. []0,2D. {}2【答案】C【解析】集合A 中元素为函数y =,集合B 中元素为函数y =因变量,化简集合,A B ,根据交集定义,即可求得A B .【详解】{A x y ==∴集合A 中元素为函数y =的自变量由240x -≥,即24x ≤解得：22x -≤≤∴[]2,2A =-{B y y ==∴集合B 中元素为函数y =因变量由02≤≤=∴[]0,2B =∴[][][]2,202=,2,0A B =-故选：C3.已知空间内两条不同的直线a ,b ,则“//a b ”是“a 与b 没有公共点”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件定义,即可求得答案. 【详解】空间内两条不同的直线a ,b由“//a b ”可以推出“a 与b 没有公共点”∴“//a b ”是“a 与b 没有公共点”充分条件在空间中“a 与b 没有公共点”, a 与b 可以是//a b 或异面直线故：“a 与b 没有公共点”不能推出“//a b ”∴“//a b ”是“a 与b 没有公共点”不必要条件∴“//a b ”是“a 与b 没有公共点”的充分不必要条件故选：A.4.已知1,1()ln ,1x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩,则不等式()1f x >的解集是( )A. (1,)eB. (2,)+∞C. (2, )eD. (,)e +∞ 【答案】D【解析】分1x ≤,1x >两种情况讨论,分别解不等式组,再求并集即可.【详解】当1x ≤时,()11f x x =->,解得2x >,所以x ∈∅；。

江西省南昌市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．63C ．33D ．13【答案】C 【解析】 【分析】利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD 所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD 所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz - 如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r所以3cos ,33AC BD AC BD AC BD⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.2．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．16481【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】34y x =-，1i =；34916y y x =-=-，2i =；342752y y x =-=-，3i =；3481160y y x =-=-，4i =；34243484y y x =-=-，此时不满足3i ≤，跳出循环，输出结果为243484x -，由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选:C 【点睛】本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.3．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ）A ．37B ．13C D【答案】D 【解析】 【分析】直接根据余弦定理求解即可． 【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，∴c = 故选：D ． 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．4．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．A ．12B ．CD ．5【答案】C 【解析】试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－12，b ＝－1所以|a ＋bi|=，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模5．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ） A ．2cos x - B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果. 【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题. 6．函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解.【详解】 由cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x xx xf x -∴=+＞，排除选项D ，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 7．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55C ．66D ．78【答案】D 【解析】 【分析】先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++121+122⨯=（）78= 故选：D 【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.8．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞U B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法设()t f x =，则等价为()0f t =有且只有一个实数根，分0,0,0a a a <=> 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围. 【详解】解：设()t f x = ，则()0f t =有且只有一个实数根.当0a < 时，当0x ≤ 时，()103xf x a ⎛⎫=⋅< ⎪⎝⎭，由()0f t =即13log 0t =，解得1t =，结合图象可知，此时当1t =时，得()1f x = ，则13x =是唯一解，满足题意； 当0a =时，此时当0x ≤时，()103xf x a ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，此时函数有无数个零点，不符合题意；当0a > 时，当0x ≤ 时，()[)1,3xf x a a ⎛⎫=⋅∈+∞ ⎪⎝⎭，此时()f x 最小值为a ，结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > . 综上所述：0a < 或1a >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键. 9．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图程序运算即可得. 【详解】 依程序运算可得：4602520460603460604046040，，，；，，，；，，，；r i m n r i m n r i m n ============205402006，，，；，r i m n r i ======，故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.10．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】 【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，//n α或n ⊂α；在C 中，由线面垂直的判定定理得n α⊥；在D 中，m 与β平行或m β⊂． 【详解】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则： 在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；在C 中，若m α⊥，//m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确； 在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 11．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A ．1ln 22+ B ．2e - C ．1ln 22-D 12【答案】A 【解析】分析：设()()f m g n t ==，则0t >，把,m n 用t 表示，然后令()h t m n =-，由导数求得()h t 的最小值．详解：设()()f m g n t ==，则0t >，1t m e -=，11lnln ln 2222t n t =+=-+， ∴11ln ln 22t m n e t --=-+-，令11()ln ln 22t h t e t -=-+-，则11'()t h t et -=-，121"()0t h t e t-=+>，∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数， 又'(1)0h =，∴当(0,1)t ∈时，'()0h t <，当(1,)t ∈+∞时，'()0h t >， 即()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()h 1是极小值也是最小值，1(1)ln 22h =+，∴m n -的最小值是1ln 22+．故选A ．点睛：本题易错选B ，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数()h t 的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错． 12．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省南昌市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =u u u r u u u r，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ）A ．6B ．9C．D．【答案】B 【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2px my =+，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，将直线AB 的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB . 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2AF FB =uu u r uu r Q ，122y y ∴-=，122y y ∴=-，221222y y y p ∴=-=-，可得22y p =，122y y ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫-⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为2122p p ⨯==4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988py y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 2．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．3．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为21322152πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.4．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =u u u v u u u v ，则DE DF ⋅u u u v u u u v的取值范围是（ ）A ．11[,]216- B ．1(,]16-∞ C ．1[,0]2-D ．(,0]-∞【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线:1)AB y x =+，:1)AC y x =-设出点(1)),(,1))E m m F n n +-，通过||2||AE CF =u u u r u u u r，找出m 与n 的关系．通过数量积的坐标表示，将DE DF ⋅u u u r u u u r表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ⋅u u u r u u u r的取值范围． 【详解】以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，设(1,0),(1,0)A B C -，则直线:1)AB y x =+ ，:1)AC y x =-设点(1)),(,1))E m m F n n +-，10,01m n -≤<<≤所以(),(1,1))AE m CF n n ==--u u u r u u u r由||2||AE CF =u u u r u u u r 得224(1)m n =- ，即2(1)m n =- ，所以22713(1)(1)4734()816DE DF mn m n n n n ⋅=-+-=-+-=--+u u u r u u u r ， 由12(1)0m n -≤=-<及01n <≤，解得112n ≤<，由二次函数2714()816y n =--+的图像知，11[,]216y ∈-，所以DE DF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是11[,]216-．故选A ．【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．5．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若AB =2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．3 B ．C ．3D 【答案】B 【解析】 【分析】首先由AB =的半径即可求解.【详解】由题意1b =将x c =-代入双曲线C 的方程,得1y a =±则22,2,3a c a===,由2121222AF AF BF BF a -=-==,得2ABF ∆的周长为2211||22||42||62AF BF AB a AF a BF AB a AB ++=++++=+=,设2ABF ∆的内切圆的半径为r ,则11362232,22r r ⨯=⨯⨯=, 故选：B【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题. 6．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数. 【详解】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，()()()12,0,0,0,2,2,2,1,2AC G ，()()()()()()10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0C E D B F B .①，()()112,2,2,1,1,0,2200AC EG AC EG =-=⋅=-++=u u u u r u u u r u u u u r u u u r，所以1AC EG ⊥，故①正确.②，()()2,1,2,1,0,2GC ED =--=--u u u r u u u r ，不存在实数λ使GC ED λ=u u u r u u u r，故//GC ED 不成立，故②错误. ③，()()()112,2,1,0,1,2,2,0,2B F BG BC =---=-=-u u u u r u u u r u u u u r ，1110,20B F BG B F BC ⋅=⋅=≠u u u u r u u u r u u u u r u u u u r，故1B F ⊥平面1BGC 不成立，故③错误.④，()()11,0,1,0,0,2EF BB =--=u u u r u u u r ，设EF 和1BB 成角为θ，则1122cos222EF BB EF BB θ⋅-===⨯⋅u u u r u u u ru u ur u u u r ，由于0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以4πθ=，故④正确.综上所述，正确的命题有2个. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题. 7．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．8．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m=>，320x y +=可化为32y x =-32=，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题. 9．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．2z =C ．z 的共轭复数为1i --D ．2z 为纯虚数【答案】D 【解析】 【分析】将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果. 【详解】()()()2121111i z i i i i -===-++-z 的虚部为1-，A 错误；z ，B 错误；1z i =+，C 错误；()2212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.10．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】求得定点M 的轨迹方程22251639a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭可得141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯=，解得a ，b 即可. 【详解】设A （-a ，0），B （a ，0），M （x ，y ）．∵动点M 满足MA MB=2，==2，化简得222516(x )y 39a a -+=. ∵△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，∴141128,212323a a b a ⨯⨯=⨯⨯= ，解得a b ==，2=． 故选D ． 【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．11．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ） A ．(1,2) B ．(2,3] C ．(1,3) D ．(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题. 12．以()3,1A -，()2,2B-为直径的圆的方程是A ．2280x y x y +---=B ．2290x y x y +---=C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=【答案】A 【解析】 【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程. 【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=， 由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==，又||2AB r ===，所以圆的标准方程为： 221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=，所以本题答案为A. 【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。