双曲线中的最值问题(2019年11月整理)

专题18高中解析几何-双曲线的问题【知识总结】 1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)符号表示：||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数)(0<2a <|F 1F 2|)． (3)焦点：两个定点F 1，F 2．(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F 1F 2|． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质F (－c ，0)，F (c ，0)F (0，－c )，F (0，c )【高考真题】1．(2022·北京) 已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =__________．2．(2022·全国甲理) 若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．3．(2022·全国甲文) 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．4．(2022·全国乙理) 双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为( )A B ．32 C D5．(2022·浙江) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a 的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【题型突破】题型一 双曲线的标准方程1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝12．(2016·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y 25＝1D ．3x 25－3y 220＝13．(2018·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝15．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A ．x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 23＝1 C ．x 24－y 24＝1 D ．x 24－y 212＝16．已知双曲线E 的中心为原点，(3, 0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中 点为(12, 15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -=7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A ．x 26－y 25＝1B ．x 28－y 212＝1C ．x 28－y 24＝1D ．x 24－y 26＝18．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ．若△FOM的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( )A ．x 2－4y 25＝1 B ．x 22－2y 25＝1 C ．x 24－y 25＝1 D ．x 216－y 220＝19．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐 标为－23，则此双曲线的方程是( )．A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 25－y 22＝1D ．x 22－y 25＝110．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的离心率为3，左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，∠F 1PF 2的角平分线为l ，点F 1关于l 的对称点为Q ，|F 2Q |＝2，则双曲线的方程为( ) A ．x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D ．x 23－y 2＝1题型二 双曲线中的求值11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |等于( )A ．32B ．3C ．23D ．412．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．22D ．3213．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交Γ于B ，C 两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为2，则( )A ．θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2B ．θ＝π2C ．θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，πD ．θ＝3π414．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________． 15．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ．若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．16．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4317．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则|AB |＝( )A ．22B ．23C ．33D ．4318．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为()A ．1B ．3C ．5D ．1219．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为( )A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 220．已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使 sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．－2 题型三 双曲线的离心率21．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．3或233D ．233或222．(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．24．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A ．2B ．32C ．3D ．225．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝ba x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．626．已知O 为坐标原点，点A ，B 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，且关于坐标原点O 对称．若双曲线C 上与点A ，B 横坐标不相同的任意一点P 满足k P A ·k PB ＝3，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．1027．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3，6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12，15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2B ．32C ．355D ．5228．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的右支交于不同两点A ，B ，若AF →＝3FB →，则该双曲线的离心率为( ) A ．52 B ．62 C ．233D ．3 29．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( ) A ．3＋72 B ．11＋332 C ．3＋396 D ．1＋17430．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2B ．7C ．3D ．10 题型四 双曲线的渐近线31．(2018·全国Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 32．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x 33．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (1，0)作x 轴的垂线，与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为83，则双曲线的渐近线方程为________．34．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)的右顶点A 和右焦点F 到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±3x35．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，F 为其一个焦点，若F 关于l 1的对称点在l 2上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x36．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为π6，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±22x D ．y ＝±2x37．已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±6x D ．y ＝±66x 38．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0 题型五 双曲线中的最值与范围39．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( ) A ．1 B ．2＋155 C ．4＋155D ．22＋1 40．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317 41．过双曲线x 2－y 215＝1的右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线， 切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( )A ．10B ．13C ．16D ．19 42．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上 的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．743．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．44．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．45．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．。

双曲线中的定点、定值问题1.如图，在平面直角坐标系中，F 1,F 2分别为等轴双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，若点A 为双曲线右支上一点，且|AF 1|-|AF 2|=42，直线AF 2交双曲线于B 点，点D 为线段F 1O 的中点，延长AD ，BD ，分别与双曲线Γ交于P ，Q 两点．(1)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，求证：x 1y 2-x 2y 1=4y 2-y 1 ；(2)若直线AB ，PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1,k 2，试判断k 2k 1是否为定值，如果是，请求出k 2k 1的值；如果不是，请说明理由．2.已知在△ABC 中，B -2,0 ，C 2,0 ，动点A 满足AB =23，∠BAC>90°，AC 的垂直平分线交直线AB 于点P ．(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)直线x =m m >3 交x 轴于D ，与曲线E 在第一象限的交点为Q ，过点D 的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，与直线x =3m交于点K ，记QM ，QN ，QK 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，①求证：k 1+k 2k 3是定值．②若直线l 的斜率为1，问是否存在m 的值，使k 1+k 2+k 3=6？若存在，求出所有满足条件的m 的值，若不存在，请说明理由．3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率是52，实轴长是8.(1)求双曲线C的方程；(2)过点P(0,3)的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l 上存在不同于点P的点D满足|PA|⋅|DB|=|PB|⋅|DA|成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值.4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左顶点为A-2,0，右焦点为F，点B在C上．当BF⊥AF时AF=BF．不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于P，Q两点．(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线PQ过点F，在x轴上是否存在点N，使得x轴平分∠PNQ？若存在，求出点的N的坐标；若不存在，说明理由．5.已知双曲线Γ:x2a2-y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点P x0,y0是Γ右支上一点，若I为△PF1F2的内心，且S△IPF1=S△IPF2+ 32S△IF1F2.(1)求Γ的方程；(2)点A是Γ在第一象限的渐近线上的一点，且AF2⊥x轴，Γ在点P处的切线l与直线AF2相交于点M，与直线x=32相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有NF2=32MF2 .6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，四点M 14,23 ，M 23,2 ，M 3-2,-33 ，M 42,33中恰有三点在C 上.(1)求C 的方程；(2)过点3,0 的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线x =1的垂线，垂足为A .证明：直线AQ 过定点.7.设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的右顶点为A，虚轴长为2，两准线间的距离为26 3.(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C交于P,Q两点，已知AP⊥AQ，设点A到动直线l 的距离为d，求d的最大值.8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线斜率为22，且双曲线C经过点M2,1．(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为-12的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，若k1+k2=1，求直线l的方程．9.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为4，且经过点5 4,3 2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)双曲线C的左、右顶点分别为A1,A2，过左顶点A1作实轴的垂线交一条渐近线l:y=-ba x于点T，过T作直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点，直线A2P,A2Q分别交l于M,N两点.证明：四边形A1MA2N为平行四边形.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为e ，且点(e ，3)，(2，b )都在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若A ，B 是双曲线C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1⎳BF 2.证明：1AF 1+1BF 2为定值.11.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的虚轴长为4，直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，求证：k1k2为定值．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b 为正常数)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．13.已知双曲线C ：x 24-y 25=1的左、右顶点分别为A ,B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ,Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若PF =3FQ ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ,BQ 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k1k 2为定值．14.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O :x 2+y 2=2上，且AF 1 ⋅AF 2=-2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，问△OMN (O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.15.平面直角坐标系xOy 中，点F 1(-3，0)，F 2(3，0)，点M 满足MF1- MF 2 =±2，点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知A (1，0)，过点A 的直线AP ，AQ 与曲线C 分别交于点P 和Q (点P 和Q 都异于点A )，若满足AP ⊥AQ ，求证：直线PQ 过定点.16.已知M ，N 为椭圆C 1:x 2a 2+y 2=1a >0 和双曲线C 2:x 2a2-y 2=1的公共顶点，e 1，e 2分别为C 1和C 2的离心率．(1)若e 1e 2=154．(ⅰ)求C 2的渐近线方程；(ⅱ)过点G 4,0 的直线l 交C 2的右支于A ，B 两点，直线MA ，MB 与直线x =1相交于A 1，B 1两点，记A ，B ，A 1，B 1的坐标分别为x 1,y 1 ，x 2,y 2 ，x 3,y 3 ，x 4,y 4 ，求证：1y 1+1y 2=1y 3+1y 4；(2)从C 2上的动点P x 0,y 0 x 0≠±a 引C 1的两条切线，经过两个切点的直线与C 2的两条渐近线围成三角形的面积为S ，试判断S 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．17.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F 2,0 ，O 为坐标原点，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，点F 在线段AB 上，且OA ⊥AB ，OA +OB =3AB .(1)求双曲线C 的方程；(2)过点F 作直线l 交C 于P ，Q 两点，问；在x 轴上是否存在定点M ，使MP 2+MQ 2-PQ 2为定值？若存在，求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.18.在平面直角坐标系xOy中，已知A1,A2两点的坐标分别是(-3,0),(3,0)，直线A1B,A2B相交于点B，且它们的斜率之积为13.(1)求点B的轨迹方程；(2)记点B的轨迹为曲线C，M,N,P,Q是曲线C上的点，若直线MN，PQ均过曲线C的右焦点F且互相垂直，线段MN的中点为R，线段PQ的中点为T. 是否存在点G，使直线RT恒过点G，若存在，求出点G的坐标，若不存在，说明理由.19.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，C 的右焦点F 与点M 0,2 的连线与C 的一条渐近线垂直．(1)求C 的标准方程．(2)经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ．①若O 为坐标原点，求OA ⋅OB的取值范围；②若D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点．20.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为32，A为C的左顶点，且AF1⋅AF2=-5．(1)求C的方程；(2)若动直线l与C恰有1个公共点，且与C的两条渐近线分别交于点M、N．求证：点M与点N的横坐标之积为定值．21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1-6,0，F26,0．且该双曲线过点P22,2．(1)求C的方程；(2)如图．过双曲线左支内一点T t,0作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线x=t相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．22.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右顶点分别为A -1,0 ，B 1,0 ，两条准线之间的距离为1．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若点P 为右准线上一点，直线PA 与C 交于A ，M ，直线PB 与C 交于B ，N ，求点B 到直线MN 的距离的最大值．23.设双曲线C :x 2-y 22=1，点A ，B 为双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线上异于顶点的一点，设直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB .(1)证明：k PA ⋅k PB =2；(2)若过点Q t ,0 作不与x 轴重合的直线l 与双曲线C 交于不同两点M ，N ，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数t 使k 1=-12k 2？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由.24.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，右顶点D 到一条渐近线的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，且OA ⋅OB=0,O 为坐标原点，点O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.25.在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右准线x=55与其两条渐近线的交点分别为A、B，且tan∠AOB=-43．(1)求双曲线C的方程；(2)设动直线l与双曲线C相交于点M、N，若OM⊥ON，求证：存在定圆与直线l相切，并求该定圆的方程．26.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的两条渐近线互相垂直，且过点D 2,1 ．(1)求双曲线C 的方程；(2)设P 为双曲线的左顶点，直线l 过坐标原点且斜率不为0，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线m 过x 轴上一点Q (异于点P )，且与直线l 的倾斜角互补，m 与直线PA ，PB 分别交于M ,N (M ,N 不在坐标轴上)两点，若直线OM ，ON 的斜率之积为定值，求点Q 的坐标．27.已知双曲线C的渐近线方程为y=±33x，且过点P(3,2).(1)求C的方程；(2)设Q(1,0)，直线x=t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，求证：直线AD过定点.28.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)经过点P (-2，1)，且C 的右顶点到一条渐近线的距离为63．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P 分别作两条直线l 1,l 2与C 交于A ，B 两点(A ，B 两点均不与点P 重合)，设直线l 1,l 2的斜率分别为k 1,k 2．若k 1+k 2=1，试问直线AB 是否经过定点?若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．29.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-17,0 、F 217,0 ，MF 1 -MF2 =2，点M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA ⋅TB =TP ⋅TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.30.如图，已知双曲线C :x 23-y 2=1，过P 1,1 向双曲线C 作两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，且x 1<0,x 2>0.(1)证明：直线PA 的方程为x 1x3-y 1y =1.(2)设F 为双曲线C 的左焦点，证明：∠AFP +∠BFP =π.。

双曲线的最值问题及解决方法摘要：1.双曲线的基本概念及特点2.双曲线最值问题的提出3.解决双曲线最值问题的方法4.方法实例与应用5.总结与拓展正文：一、双曲线的基本概念及特点双曲线是一种常见的数学图形，其方程形式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。

其中，a和b分别为双曲线的横轴半轴长度和纵轴半轴长度。

双曲线具有以下特点：1.有两个顶点，分别为（±a，0）和（0，±b）；2.有两条渐近线，分别为y = ±(b/a)x；3.离心率e = √(1 + b^2/a^2)；4.焦距为2c，其中c = √(a^2 + b^2)。

二、双曲线最值问题的提出在实际问题中，我们常常需要求解双曲线的最值问题。

最值问题可以分为两类：一类是在给定双曲线方程条件下，求解某函数的最大值或最小值；另一类是在给定函数条件下，求解双曲线与该函数的关系。

三、解决双曲线最值问题的方法为了解决双曲线最值问题，我们可以采用以下方法：1.利用双曲线方程特征：根据双曲线方程，分析其顶点、渐近线和离心率等特征，以确定最值问题的求解方向。

2.设参数法：将双曲线方程转化为参数方程，然后分析参数变化对函数的影响，从而求解最值问题。

3.利用数学工具：如导数、微积分等，求解双曲线与给定函数的关系，进而得到最值。

四、方法实例与应用以下以一个具体实例说明解决双曲线最值问题的方法：已知双曲线方程为x^2/4 - y^2/3 = 1，求该双曲线上的点到原点距离的最大值。

解：将双曲线方程转化为参数方程，得到x = 2cosθ，y = √(3)sinθ。

代入距离公式，得到距离d = √(4cos^2θ + 3sin^2θ)。

通过求导数，找到d的最大值点，即可得到最大距离。

五、总结与拓展本文介绍了双曲线的基本概念及特点，提出了双曲线最值问题，并阐述了解决方法。

在实际问题中，解决双曲线最值问题有助于优化工程、物理、经济等领域的相关问题。

双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)双曲线函数是数学中常见的一类函数，对于这类函数的最值问题，我们可以通过一些实际例子来加深理解。

下面提供了一些练题和相应的答案，帮助读者更好地掌握双曲线函数的最值问题。

练题1. 设函数 $f(x) = e^x - e^{-x}$，求函数 $f(x)$ 在定义域内的最小值和最大值。

2. 函数 $g(x) = \sinh(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上是增函数还是减函数？并求其最小值和最大值。

3. 对于任意正实数 $a$，函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 在定义域内的最大值是否存在？如果存在，是多少？答案1. 解答：首先求函数的一阶导数：$$f'(x) = e^x + e^{-x}$$然后求导数为零的点，即：$$e^x + e^{-x} = 0$$由于 $e^x$ 恒大于零，所以 $e^x + e^{-x}$ 恒大于零，即不存在导数为零的点。

因此函数 $f(x)$ 在定义域内没有极值点，也就是没有最小值和最大值。

2. 解答：首先求函数的一阶导数：$$g'(x) = \cosh(x)$$函数 $g(x)$ 的一阶导数为 $\cosh(x)$，根据双曲函数的性质可知 $\cosh(x) > 0$，即在定义域内函数 $g(x)$ 是增函数。

当 $x = 0$ 时，$\sinh(0) = 0$，所以函数 $g(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上最小值为 0。

当 $x = 1$ 时，$\sinh(1) \approx 1.1752$，所以函数 $g(x)$ 在$[-1, 1]$ 区间上最大值为约 1.1752。

3. 解答：函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 为双曲余弦函数，其定义域为实数集。

双曲余弦函数的最大值为 $\cosh(0) = 1$，当且仅当 $ax = 0$ 时取到最大值。

因此，函数 $h(x)$ 在定义域内的最大值为 1。

双曲线的最值问题引言双曲线是数学中常见的曲线形式，在很多应用领域中都有重要的作用。

双曲线的最值问题是指在给定的条件下，如何确定双曲线的最大值或最小值。

本文将介绍双曲线的基本定义及其最值问题的解决方法。

双曲线的定义双曲线可以通过以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中，a和b是常数，分别控制双曲线在x和y轴上的形状。

双曲线分为两支，分别朝向x轴正方向和x轴负方向。

双曲线的中心位于原点(0,0)。

双曲线的最值问题双曲线的最值问题是寻找给定条件下双曲线的最大值或最小值。

常见的最值问题包括求解双曲线上某点的最大值或最小值，或者找到满足特定条件的双曲线。

求解双曲线上某点最值要求解双曲线上某点的最值，可以通过以下步骤进行：1. 将双曲线方程表示成y的函数形式，如y = f(x)。

2. 求解f(x)的导数，得到f'(x)。

3. 令f'(x) = 0，解方程得到x的值。

4. 将x的值代入f(x)中，得到相应的y值。

5. 根据求得的坐标(x, y)可以确定双曲线上某点的最值。

满足特定条件的双曲线要找到满足特定条件的双曲线，可以通过以下步骤进行：1. 根据提供的条件确定a和b的取值范围。

2. 在取值范围内遍历a和b的组合。

3. 对于每个组合，计算双曲线的特点，如焦点、顶点等。

4. 检查双曲线是否满足给定的条件。

5. 找到满足条件的双曲线。

结论双曲线的最值问题是数学中的重要问题之一。

通过求解双曲线上某点的最值或找到满足特定条件的双曲线，可以应用到各种实际问题中。

研究双曲线的最值问题不仅有助于深入理解数学，也为解决实际问题提供了有效的工具。

参考文献。

双曲线面积及最值问题33题一．解答题（共26小题）1．双曲线C与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（4，）．（1）求双曲线的方程；（2）若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．2．已知曲线E上的任意一点到F1（0，﹣）和点F2（0，）的距离之和为4．（1）求曲线E的方程（2）已知点A（0，2），C（1，0），设直线y=kx（k＞0）与曲线E交于B，D两点（B在第一象限）．求四边形ABCD面积的最大值．3．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．4．如图，已知过点A（1，2）的抛物线C：y2=ax与过点T（3，﹣2）的动直线l相交于P、Q两点．（Ⅰ）求直线AP与直线AQ的斜率的乘积；（Ⅱ）若∠APQ=∠AQP，求证：△APQ的周长为定值．5．如图，若F1，F2是双曲线﹣=1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|=32，试求△F1PF2的面积．6．已知双曲线﹣=1的弦AB过以P（﹣8，﹣10）为中点，（1）求直线AB的方程．（2）若O为坐标原点，求三角形OAB的面积．7．如图，已知在抛物线y2=4x上有三个点A，B，C恰好构成等腰直角三角形，且点B为直角顶点，A，B，C按逆时针排列，设直线AB的斜率为a（a＞0）．（Ⅰ）求顶点B的坐标；（Ⅱ）当a变化时，求△ABC的面积的最小值．8．已知F1，F2分别是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．9．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．10．已知在平面内点P满足|PM|﹣|PN|=2，M（﹣2，0），N（2，0 ），O（0，0）（1）求点P的轨迹S；（2）（理）直线过点（2，0）与S交于点A，B，求△OAB的面积的最小值．11．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的与双曲线有公共渐近线，且过点A（1，0）．（1）求双曲线C1的标准方程；（2）设F1、F2分别是双曲线C1左、右焦点．若P是该双曲线左支上的一点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积S．12．已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．13．双曲线C的一条渐近线方程是：x﹣2y=0，且曲线C过点．（1）求双曲线C的方程；（2）设曲线C的左、右顶点分别是A1、A2，P为曲线C上任意一点，PA1、PA2分别与直线l：x=1交于M、N，求|MN|的最小值．14．双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，且经过点（3，﹣2）．（1）求双曲线的方程；（2）过右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．15．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．16．已知点（，）是等轴双曲线C：=1上一点，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合．（1）求抛物线的方程；（2）若点P是抛物线上的动点，点A，B在x轴上，圆x2+（y﹣1）2=1内切于△PAB，求△PAB面积的最小值．17．已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点（﹣2，0）是它的一个焦点，并且离心率为．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知点M（0，1），设P（x0，y0）是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求的取值范围．18．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，﹣）．点M（3，m）在双曲线上．（1）求双曲线方程；（2）求△F1MF2的面积．19．已知双曲线M：﹣=1与抛物线N：y2=2px（p＞0）的一个交点为A（4，m）．（1）求抛物线N的标准方程；（2）设双曲线M在实轴上的顶点为C、D，求•的值．20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，﹣），点M（3，m）在双曲线上．（1）求双曲线方程；（2）求证：MF1⊥MF2；（3）求△F1MF2的面积．21．已知抛物线x2=4y，直线l：y=x﹣2，F是抛物线的焦点．（Ⅰ）在抛物线上求一点P，使点P到直线l的距离最小；（Ⅱ）如图，过点F作直线交抛物线于A、B两点．①若直线AB的倾斜角为135°，求弦AB的长度；②若直线AO、BO分别交直线l于M，N两点，求|MN|的最小值．22．已知点A（0，1），点P在双曲线上．（1）当|PA|最小时，求点P的坐标；（2）过A点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M、N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为，求直线l的方程．23．若原点O和点F（﹣2，0）分别为双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求•的取值范围．24．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为．（1）求此双曲线的方程；（2）设点P为双曲线上一点，A、B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若=，求△AOP的面积．25．设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线a与双曲线C交于不同的两点S、T．（1）求直线A1S与直线A2T的交点H的轨迹E的方程；（2）设A，B是曲线E上的两个动点，线段AB的中垂线与曲线E交于P，Q两点，直线，线段AB的中点M在直线l上，若F（1，0），求的取值范围．26．已知双曲线的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又，•=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．（1）求双曲线的方程；（2）证明：B、P、N三点共线；（3）求△BMN面积的最小值．双曲线面积及最值问题33题参考答案与试题解析一．解答题（共26小题）1．（2015秋•合肥校级月考）双曲线C与椭圆+=1有相同焦点，且经过点（4，）．（1）求双曲线的方程；（2）若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．【分析】（1）求出椭圆的焦点，设出双曲线的方程，代入点的坐标，解方程即可得到双曲线的方程；（2）运用余弦定理和双曲线的定义及面积公式，即可计算得到所求面积．【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（﹣3，0），（3，0），设双曲线的方程为﹣=1，又因为双曲线过点（4，），则=1，即有a4﹣40a2+144=0，解得a2=4或a2=36（舍去）所以双曲线的方程为=1；（2）在△F1PF2中，由余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|•cos60°=（|PF1|﹣|PF2|）2+|PF1|•|PF2|又|F1F2|2=4c2=36，（|PF1|﹣|PF2|）2+|=4a2=16，则|PF1|•|PF2|=20，则=|PF1|•|PF2|•sin60°==5．2．（2015•湛江二模）已知曲线E上的任意一点到F1（0，﹣）和点F2（0，）的距离之和为4．（1）求曲线E的方程（2）已知点A（0，2），C（1，0），设直线y=kx（k＞0）与曲线E交于B，D两点（B在第一象限）．求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）运用椭圆的定义和a，b，c的关系，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）求出直线AC的方程，将直线y=kx（k＞0）与曲线E联立，求得B，D的坐标，运用点到直线的距离公式，求得B，D到直线AC的距离，再由三角形的面积公式结合基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积的最大值．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知，曲线E是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a=4，即a=2，c=，b===1，即有曲线E的方程为+x2=1；（2）连接AC，直线AC：x+=1，即2x+y﹣2=0，由y=kx代入椭圆方程可得，x=，即有B（，），D（﹣，﹣），B到AC的距离为d1==，D到AC的距离为d2=．则四边形ABCD面积S=|AC|•（d1+d2）=•==2≤2=2．当且仅当k=2取得等号．即四边形ABCD面积的最大值为2．3．（2015春•安溪县校级期末）已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF 的面积．【分析】（Ⅰ）利用C：的离心率e=，且b=，求出几何量，即可求双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q，•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12，由双曲线定义：|p﹣q|=2a两边平方，把p2+q2代入即可求得pq，从而求出△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．4．（2014•浙江二模）如图，已知过点A（1，2）的抛物线C：y2=ax与过点T（3，﹣2）的动直线l相交于P、Q两点．（Ⅰ）求直线AP与直线AQ的斜率的乘积；（Ⅱ）若∠APQ=∠AQP，求证：△APQ的周长为定值．【分析】（Ⅰ）设直线l的方程为x=m（y+2）+3代入抛物线方程，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求直线AP与直线AQ的斜率的乘积；（Ⅱ）求出PQ的中点坐标，可得=﹣m，即m3+m2+2m﹣1=0，构造函数，利用方程m3+m2+2m﹣1=0有唯一实根，即可证明结论．【解答】（I）解：由抛物线C：y2=ax过点A（1，2）知a=4…（1分）设直线l的方程为x=m（y+2）+3代入抛物线方程得y2﹣4my﹣8m﹣12=0 …（2分）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣8m﹣12 …（3分）∴k AP k AQ==﹣2 …（6分）（II）证明：PQ的中点坐标为（，），即（，），∴PQ的中点坐标为（2m2+2m+3，2m），…（8分）由已知得=﹣m，即m3+m2+2m﹣1=0．…（10分）设f（m）=m3+m2+2m﹣1，则f′（m）=3m2+2m+2＞0，∴f（m）在R上是增函数，又f（0）=﹣1，f′（1）=3，故f（m）在（0，1）内有一个零点，函数f（m）有且只有一个零点，即方程m3+m2+2m﹣1=0有唯一实根．∴满足条件的三角形唯一确定，从而△APQ的周长为定值．…（14分）5．（2015秋•海淀区校级月考）如图，若F1，F2是双曲线﹣=1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|=32，试求△F1PF2的面积．【分析】（1）根据双曲线的定义解答；（2）利用双曲线的方程求得|F1F2|和|PF1|﹣|PF2|，进而利用配方法求得|PF1|2+|PF2|2的值代入余弦定理求得cos∠F1PF2的值进而求得∠F1PF2．【解答】解：（1）由题意，设M到两个焦点的距离分别为m，16，则|16﹣n|=2×3，解得n=10或22；（2）根据双曲线的方程可知，a=3，b=4，c=5则|F1F2|=2c=10，|PF1|﹣|PF2|=2a=2×3=6∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=36，∴|PF1|2+|PF2|2=100=|F1F2|2，∴∠F1PF2=90°，∴△F1PF2的面积为|PF1|•|PF2|=32×=16．6．（2015春•宜城市校级期中）已知双曲线﹣=1的弦AB过以P（﹣8，﹣10）为中点，（1）求直线AB的方程．（2）若O为坐标原点，求三角形OAB的面积．【分析】（1）利用平方差法：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程．（2）直线代入双曲线方程，利用韦达定理求出|AB|，求出O点到AB的距离，即可求三角形OAB的面积．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣16，y1+y2=﹣20，A，B代入方程，两式相减得5（x1﹣x2）（x1+x2）﹣4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以k AB=1，…（4分）而直线过P，所以AB的方程为y=x﹣2，经检验此方程满足条件．，…（7分）（2）y=x﹣2代入﹣=1，可得x2+16x﹣36=0，∴x1+x2=﹣16，x1x2=﹣36，∴|AB|==20（9分）O点到AB的距离为=，…（11分）∴所求面积为=20…（13分）7．（2014•浙江模拟）如图，已知在抛物线y2=4x上有三个点A，B，C恰好构成等腰直角三角形，且点B为直角顶点，A，B，C按逆时针排列，设直线AB的斜率为a（a＞0）．（Ⅰ）求顶点B的坐标；（Ⅱ）当a变化时，求△ABC的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）设出A，B，C的坐标，代入抛物线发现，利用AB|=|BC|，即可求顶点B 的坐标；（Ⅱ）表示出△ABC的面积，利用基本不等式求△ABC的面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵a＞0，∴BC的斜率为﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）代入抛物线方程，整理可得y2+y3=﹣4a，y1+y2=，∴y3=﹣4a﹣y2，y1=﹣y2，∵|AB|=|BC|，∴（y1﹣y2）=（y2﹣y3），∴y2=，∴x2=，∴B（，）；（Ⅱ）根据对称性S=|CB|2=[4a+4×]2，∴=2××[a+]=2××≥2××=4，当且仅当a=1时取得最小值为4．8．（2014秋•天津校级月考）已知F1，F2分别是双曲线﹣=l（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若∠F1PF2=90°，且△F1PF2的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，短轴的一个端点到其右焦点的距离为，双曲线与该椭圆离心率之积为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．【分析】（1）设P为双曲线的右支上的点，运用双曲线的定义和等差数列的性质，以及勾股定理，得到a，c的关系，再由离心率公式得到双曲线的离心率为5，进而得到椭圆的离心率，由条件可得a=，再由离心率公式，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．分当AB⊥x轴时与AB与x轴不垂直时求出|AB|．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为可得=，化为m2=（k2+1），同时将直线方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出|AB|，再由基本不等式求得|AB|的最大值，运用三角形的面积公式，即可得到面积的最大值．【解答】解：（1）设P为双曲线的右支上的点，|PF1|﹣|PF2|=2a，①又PF2，PF1，F1F2成等差数列，则有|PF2|+|F1F2|=2|PF1|，即2|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|=2c，②由①②解得，|PF1|=2（c﹣a），|PF2|=2（c﹣2a），由于∠F1PF2=90°，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，则4（c﹣a）2+4（c﹣2a）2=4c2，化简得，c2﹣6ac+5a2=0，解得，c=5a，即有双曲线的离心率为5，则由双曲线与该椭圆离心率之积为，即有椭圆的离心率为，设椭圆的方程为=1（m＞n＞0），由于椭圆短轴的一个端点到其右焦点的距离为，即有m=，则=，解得，n=1，则有椭圆方程为+y2=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），①当AB⊥x轴时，∵坐标原点O到直线l的距离为，∴可取A（，y1），代入椭圆得+y12=1，解得y1=±．∴|AB|=；②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为，可得=，化为m2=（k2+1）．把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．∴|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）[（﹣）2﹣4•]===3+．当k≠0时，|AB|2=3+≤3+=4，当且仅当k2=时取等号，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=．综上可知：|AB|max=2．△OAB的面积最大值为=×2×=．9．（2015秋•黄浦区期末）已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【分析】（1）设Q（x，y），P（x′，y′），由=2，可得（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入曲线C1的方程可得曲线C2的方程．（2）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．利用数量积运算性质可得：=﹣6﹣，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k （x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，可得|MN|=，点Q到直线l的距离d．可得S△QMN=d|MN|，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x′，y′），∵=2，∴（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入+（y′）2=1，可得+=1，∴曲线C2的方程为+=1．（2）F1（﹣，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．则=（2cosθ+，sinθ）•（﹣4cosθ﹣，﹣2sinθ）=（2cosθ+）（﹣4cosθ﹣）+sinθ（﹣2sinθ）=﹣6﹣，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴∈．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|==，点Q到直线l的距离d==．∴S△QMN=d|MN|=6|sinθ﹣2kcosθ|．令|sinθ﹣2kcosθ|=|sinα|，则S△QMN=6|sinα|，令|sinα|=t∈[﹣1，1]，∴S△QMN=6t=f（t），令|sinα|=t∈[﹣1，1]，则f2（t）=﹣36t4+144t2=﹣36（t2﹣2）2+144，当且仅当t2=1时，f（t）取得最大值6．10．（2014•东湖区校级模拟）已知在平面内点P满足|PM|﹣|PN|=2，M（﹣2，0），N （2，0 ），O（0，0）（1）求点P的轨迹S；（2）（理）直线过点（2，0）与S交于点A，B，求△OAB的面积的最小值．【分析】（1）根据双曲线的定义，我们可以求点P的轨迹S；（2）分类讨论．当AB与x轴不垂直时，AB的方程为y=k（x﹣2），与x2﹣y2=2（x＞0）联立，利用韦达定理及弦长公式求出|AB|，再求出点O到直线AB的距离，可得面积，进而可以求出面积的最大值．【解答】解：（1）由题意，因为在平面内点P满足|PM|﹣|PN|=2，M（﹣2，0），N（2，0 ），所以点P的轨迹S是双曲线的右支：x2﹣y2=2（x＞0）（2）当AB与x轴不垂直时，AB的方程为y=k（x﹣2）因为直线y=k（x﹣2）与S交与点A，B，结合渐近线斜率可得k＞1或k＜﹣1联立y=k（x﹣2）与x2﹣y2=2（x＞0），消元，可得：，故弦长=又点O到直线AB的距离，故==因为=令，有S2△OAB=8（t+1）（2t+1）＞8，所以当AB⊥x轴时，，所以，当AB⊥x轴时，△OAB的面积最小，最小值是．11．（2013秋•黄州区校级期末）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的与双曲线有公共渐近线，且过点A（1，0）．（1）求双曲线C1的标准方程；（2）设F1、F2分别是双曲线C1左、右焦点．若P是该双曲线左支上的一点，且∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积S．【分析】（1）由已知条件设双曲线C1：3x2﹣y2=λ，λ≠0，把点A（1，0）代入，能求出双曲线C1的标准方程．（2）设|PF2|=m，|PF1|=n，由已知条件推导出|m﹣n|=2，由此利用余弦定理能求出mn=12，从而能求出△F1PF2的面积S．【解答】解：（1）∵双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的与双曲线有公共渐近线，∴设双曲线C1：3x2﹣y2=λ，λ≠0，∵双曲线C1过点A（1，0），∴3=λ，∴双曲线C1的标准方程为．（2）设|PF2|=m，|PF1|=n，则|m﹣n|=2，在△F1PF2中，由余弦定理有16=m2+n2﹣2mncos60°=|m﹣n|2+2mn﹣mn，∴mn=12，∴．12．（2006•北京）已知点M（﹣2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程．（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，此时A（x0，（2）），B（x0，﹣），=2，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程中，得（1﹣k2）x2﹣2kbx﹣b2﹣2=0．依题意可知方程有两个不相等的正数根，由此入手能求出的最小值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：（x＞0）（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，此时A（x0，），B（x0，﹣），=2当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程中，得：（1﹣k2）x2﹣2kbx﹣b2﹣2=01°依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，解得|k|＞1又=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=＞2综上可知的最小值为2．13．（2016•海南校级模拟）双曲线C的一条渐近线方程是：x﹣2y=0，且曲线C过点．（1）求双曲线C的方程；（2）设曲线C的左、右顶点分别是A1、A2，P为曲线C上任意一点，PA1、PA2分别与直线l：x=1交于M、N，求|MN|的最小值．【分析】（1）根据三角形的渐近线方程利用待定系数法进行求解即可．（2）联立方程组求出交点坐标，结合两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：（1）由渐近线方程可知，双曲线C的方程为x2﹣4y2=k，把代入可得k=4，所以双曲线方程为．（4分）（2）由双曲线的对称性可知，P在右支上时，|MN|取最小值．由上可得A1（﹣2，0），A2（2，0），根据双曲线方程可得，所以设直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2（k1、k2＞0），则．PA1的方程为y=k1（x+2），令x=1，解得M（1，3k1），PA2的方程为y=k2（x﹣2），令x=1，解得N（1，﹣k2），所以|MN|=．当且仅当3k1=k2，即时等号成立．（12分）14．（2015春•儋州校级期末）双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，且经过点（3，﹣2）．（1）求双曲线的方程；（2）过右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|．【分析】（1）首先根据双曲线的两条渐近线的方程为y=±x，可设双曲线的方程为2x2﹣y2=λ（λ≠0），然后根据双曲线过点（3，﹣2），代入求解即可；（2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），过F且倾斜角为60°的直线方程为y=，和双曲线的方程联立，根据韦达定理，求出|AB|的值即可．【解答】解：（1）∵双曲线的两条渐近线方程的方程为，∴可设双曲线的方程为2x2﹣y2=λ（λ≠0），又∵双曲线经过点（3，﹣2），代入方程可得λ=6，∴所求双曲线的方程为；（2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），过F且倾斜角为60°的直线方程为y=，联立，可得所以x2﹣18x+33=0，由韦达定理得x1+x2=18，x1x2=33，则弦长|AB|==2=16．15．（2016•赣州一模）在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C2，运用三角函数的恒等变换可得极坐标方程；设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），代入极坐标方程，化简整理可得所求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，可得最小值，解方程可得a的值．【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，即为ρ2﹣ρ（sinθ+cosθ）=0，可得C2的极坐标方程为，设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），则，由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ=4，从而，即有ρ（sinθ+cosθ）=4，故C3的直角坐标方程为x+y=4；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），则M到直线C3的距离，所以=，解得．16．（2016•烟台二模）已知点（，）是等轴双曲线C：=1上一点，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合．（1）求抛物线的方程；（2）若点P是抛物线上的动点，点A，B在x轴上，圆x2+（y﹣1）2=1内切于△PAB，求△PAB面积的最小值．【分析】（1）求出双曲线方程，可得焦点坐标，利用抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合，求出求抛物线的方程；（2）设P（x0，y0），A（m，0），B（n，0），n＞m．由圆心（1，0）到直线PB的距离是1，知（y0﹣2）n2+2nx0﹣y0=0，同理，（y0﹣2）m2+2mx0﹣y0=0，所以（m﹣n）2=，从而得到S=（n﹣m）y0，由此能求出△PBC面积的最小值．△PBC【解答】解：（1）∵点（，）是等轴双曲线C：=1上一点，∴﹣=1，∴a2=，∴c2=2a2=，∴c=，∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合，∴=，∴p=1，∴抛物线的方程为x2=2y；（2）设P（x0，y0），A（m，0），B（n，0），n＞m．直线PB的方程：y﹣0=（x﹣n），化简，得y0x+（n﹣x0）y﹣y0n=0，∵圆心（0，1）到直线PB的距离是1，∴=1，∴y02+（n﹣x0）2=（n﹣x0））2﹣2y0n（n﹣x0））+y02n2，∵y0＞2，上式化简后，得（y0﹣2）n2+2nx0﹣y0=0，同理，（y0﹣2）m2+2mx0﹣y0=0，∴m+n=，mn=，∴（m﹣n）2=，∵P（x0，y0）是抛物线上的一点，∴x02=2y0，∴（m﹣n）2=，n﹣m=，∴S△PBC=（n﹣m）y0=（y0﹣2）++4≥2+4=8．当且仅当y0﹣2=时，取等号．此时y0=4，x0=±2．∴△PBC面积的最小值为8．17．（2010秋•陵县校级期末）已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点（﹣2，0）是它的一个焦点，并且离心率为．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知点M（0，1），设P（x0，y0）是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求的取值范围．【分析】（I）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），依据题意，求出a、c、b的值，最后写出双曲线的标准方程和渐近线方程．（Ⅱ）依题意有：Q（﹣x0，﹣y0），根据向量的坐标运算写出，从而=﹣x02﹣y02+1再结合双曲线的范围得出x02≥3，从而求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），半焦距c，依题意得解得a=，b=1，∴所求双曲线C的方程为．（Ⅱ）依题意有：Q（﹣x0，﹣y0），∴，∴=﹣x02﹣y02+1，又，=，由可得，x02≥3，=≤﹣2故的取值范围x≤﹣2．18．（2016春•新余期末）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，﹣）．点M（3，m）在双曲线上．（1）求双曲线方程；（2）求△F1MF2的面积．【分析】（1）由离心率e==，解得a=b，设双曲线方程为x2﹣y2=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，（2）把点M（3，m）代入双曲线，可解得，可得其面积．【解答】解：（1）由离心率e==，解得a=b，设方程为x2﹣y2=λ，又双曲线过点，∴16﹣10=λ解得λ=6，∴双曲线方程为：，…（6分）（2）由点（3，m）在双曲线上，得=1，解得，又，所以△F1MF2的面积为．…（12分）19．（2015秋•河池期末）已知双曲线M：﹣=1与抛物线N：y2=2px（p＞0）的一个交点为A（4，m）．（1）求抛物线N的标准方程；（2）设双曲线M在实轴上的顶点为C、D，求•的值．【分析】（1）将A的坐标代入双曲线的方程，可得m，再将A的坐标代入抛物线的方程可得p，即可得到抛物线的方程；（2）求得双曲线的顶点C，D的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）将A（4，m）代入双曲线的方程可得﹣=1，解得m=±，再将A（4，±），代入抛物线的方程可得15=8p，解得p=，则y2=x；（2）双曲线M在实轴上的顶点为C（﹣2，0）、D（2，0），又A（4，m），则•=（﹣2﹣4，﹣m）•（2﹣4，﹣m）=（﹣6）×（﹣2）+m2=12+15=27．20．（2015秋•金昌校级期末）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，﹣），点M（3，m）在双曲线上．（1）求双曲线方程；（2）求证：MF1⊥MF2；（3）求△F1MF2的面积．【分析】（1）先求出a，b的关系，设出双曲线的方程，求出参数的值，从而求出双曲线方程即可；（2）先表示出MF1和MF2的斜率，从而求出m的值，进而求出斜率的乘积为﹣1，证出结论；（3）分别求出MF1和MF2的长度，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵，∴，∵c2=b2+a2∴a2=b2…（1分）∴可设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）．…（2分）∵双曲线过点，∴16﹣10=λ，即λ=6…（3分）∴双曲线方程为x2﹣y2=6．…（4分）（2）由（1）可知，在双曲线中，∴，∴．…（5分）∴，…（6分）又∵点M（3，m）在双曲线上，∴9﹣m2=6，m2=3．∴…（7分）∴MF1⊥MF2…（8分）（3）由（2）知MF1⊥MF2，∴△MF1F2为直角三角形．又，，或，由两点间距离公式得，，…（10分），=．即△F1MF2的面积为6．…（12分）．21．（2014春•宜城市校级期中）已知抛物线x2=4y，直线l：y=x﹣2，F是抛物线的焦点．（Ⅰ）在抛物线上求一点P，使点P到直线l的距离最小；（Ⅱ）如图，过点F作直线交抛物线于A、B两点．①若直线AB的倾斜角为135°，求弦AB的长度；②若直线AO、BO分别交直线l于M，N两点，求|MN|的最小值．【分析】（Ⅰ）求导数，利用P点的切线与直线l平行，即可求出P的坐标；（Ⅱ）①直线AB的方程为y=﹣x+1，代入抛物线方程，利用弦长公式，可求弦AB的长度；②求出M，N的横坐标，表示出弦长，利用换元、配方法，即可求出|MN|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），∵x2=4y，∴y=，∴y′=x，令x=1，则x=2，y=1，∴P（2，1）到直线l的距离最小；（Ⅱ）①由题意，直线AB的方程为y=﹣x+1，代入抛物线方程可得x2+4x﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，x1x2=﹣4∴|AB|=|x1﹣x2|=8；②设，∴，∴AO的方程是：，由，同理由…（9分）∴=①…（10分）设AB：y=kx+1，由，∴且，代入①得到：，…（12分）设，，∴此时|MN|的最小值是，此时，；…（13分）综上：|MN|的最小值是．…（14分）22．（2016春•上饶校级月考）已知点A（0，1），点P在双曲线上．（1）当|PA|最小时，求点P的坐标；（2）过A点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M、N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为，求直线l的方程．【分析】（1）设出P的坐标，得到|PA|，结合双曲线方程转化为关于y的函数，利用配方法求得|PA|的最小值，并求得点P的坐标；（2）由题意设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程，由三角形面积列式求得直线的斜率，则答案可求．【解答】解：（1）设P（x，y），则|PA|=．当y=时，|PA|最小，故所求点P的坐标为（）；（2）由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y=kx+1，与双曲线方程联立得（1﹣2k2）x2﹣4kx﹣4=0．则△=16（1﹣k2）＞0且，解得．∴，解得：或（舍）．∴l的方程为y=．23．（2013秋•兴庆区校级月考）若原点O和点F（﹣2，0）分别为双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求•的取值范围．【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F，O的坐标表示•，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得•的取值范围．【解答】解：设P（m，n），则•=（m，n）•（m+2，n）=m2+2m+n2．∵F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的左焦点，∴a2+1=4，∴a2=3，∴双曲线方程为，∵点P为双曲线右支上的任意一点，∴，∴n2=﹣1，∵•=（m，n）•（m+2，n）=m2+2m+n2，∴m2+2m+n2=m2+2m+﹣1=∵m≥，∴函数在[，+∞）上单调递增，∴m2+2m+n2≥3+2，∴•的取值范围为[3+2，+∞）．24．（2012秋•乐山期末）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为．（1）求此双曲线的方程；（2）设点P为双曲线上一点，A、B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、第二象限，若=，求△AOP的面积．【分析】（1）利用双曲线渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为，求出a，b，即可求此双曲线的方程；（2）由A（m，2m），B（﹣n，2n），根据=，得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n的关系式；设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，即可得出结论．【解答】解：（1）∵一条渐近线方程为2x+y=0，且顶点到渐近线的距离为，∴=，∴a=1，∵=2，∴b=2，∴双曲线的方程为；（2）由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x．设A（m，2m），B（﹣n，2n），m＞0，n＞0．∵=，∴P（，m+n），代入化简得，mn=1，设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=，又|OA|=m，|OB|=n，所以S△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn=2．25．（2013秋•沙坪坝区校级期中）设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线a与双曲线C交于不同的两点S、T．（1）求直线A1S与直线A2T的交点H的轨迹E的方程；（2）设A，B是曲线E上的两个动点，线段AB的中垂线与曲线E交于P，Q两点，直线，线段AB的中点M在直线l上，若F（1，0），求的取值范围．【分析】（1）利用三点共线建立方程，利用S（x0，y0）在双曲线上，即可求得轨迹方程；（2）利用点差法表示出斜率，可得直线PQ的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求的取值范围．【解答】解：（1）设直线A1S与直线A2T的交点H的坐标为（x，y），S（x0，y0），T（x0，﹣y0）由A1、H、S三点共线，得：…③由A2、H、T三点共线，得：…④联立③、④，解得．∵S（x0，y0）在双曲线上，∴．∴轨迹E的方程为：．（2）由（1）知直线AB不垂直于x轴，设直线AB的斜率为k，M（，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．由得（x1+x2）+2（y1+y2）=0，则1+4mk=0，得：k=﹣．此时，直线PQ斜率为k1=4m，PQ的直线方程为：．代入椭圆方程消去y，整理得（32m2+1）x2﹣16m2x+2m2﹣2=0．又设P（x3，y3），Q（x4，y4），则：，．∴=x3x4﹣（x3+x4）+1+（4mx3﹣m）（4mx4﹣m）===令t=1+32m2，∵点在椭圆内，∴，又∵m≠0，∴，∴1＜t＜29，则．∴，的取值范围为26．（2010•成都二模）已知双曲线的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又，•=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．（1）求双曲线的方程；（2）证明：B、P、N三点共线；（3）求△BMN面积的最小值．【分析】（I）由题意得A（a，0），B（，又⇒…①．，由题设知⇒联立①、②，得a=2，c=4．由此可得双曲线的方程．（II）由题设得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4，由⇒（3t2﹣1）y2+24ty+36=0，由此入手可证出B、P、N三点共线．（III）由题意知x1x2=（ty2+4）（ty2+4）=t2y1y2+4t（y1+y2）+16=，所以。

双曲线中线段之差的最值问题本内容主要研究双曲线中线段之差的最值.根据双曲线的第一定义和第二定义，利用三角形中两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.例：已知F 是双曲线的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |-|PA |的最221412x y -=大值为________.解：由双曲线的图象，连接F A 延长交双曲线于点P ,满足|PF |-|P A |最大.由两点间距离公式，A (1,4),F (-4,0)求得最大值为||AF =,.整理：根据双曲线第一定义和第二定义利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边，画出图形 利用几何图形的性质，三点共线线段之和取得最值.例如：设为平面内一动点，、为两定点，则P A B 当且仅当点在线段上时取得最小值；||||||PA PB AB +≥P ABBA图1 当且仅当点在线段（或）的延长线时取||||||||AB PA PB AB -≤-≤P AB BA 等号．B A P P图2再看一个例题：例：P 为双曲线x 2－＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝y 2151上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________．解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线x 2－＝1的两焦点． y 215如图：当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，同样|PN |最小＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.总结：1.在遇到双曲线中线段差的最值问题时，常利用双曲线上点的性质（）及三角形三边关系.12||2MF MF a -=2. 双曲线上到的双曲线内（不含焦点的区域）一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与双曲线的交点.3. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.练习：P 为双曲线右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋3)2＋y 2＝4和(x －3)2＋y 2＝12218-=y x 上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________．答案：解：已知两圆圆心(－3,0)和(3,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线2218y x -=的两焦点．当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，同样|PN |最小＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.。

第19讲 双曲线中的最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用焦半径范围求最值题型二：利用渐近线与双曲线位置关系求范围 题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值 【典型例题】题型一：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二）若P 是双曲线C ：2214x y m-=上一点，C 的一个焦点坐标为()4,0F ，则下列结论中正确的是（）A ．m =．渐近线方程为y =C ．PF 的最小值是2D ．焦点到渐近线的距离是【例2】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是双曲线22:1421x yC -=的左、右焦点，动点P 在双曲线C 的右支上，则()()1244PF PF -⋅-的最小值为（） A ．4-B ．3-C ．2-D ．1- 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得124PF PF -=，所以124PF PF =+，再根据双曲线性质得2PF 的范围，则()()()1222444PFPF PF PF -⋅-=⋅-，再利用二次函数求值域即可.【详解】因为动点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义可得：124PF PF -=，所以124PF PF =+，因为24a =，221b =，所以2a =，5c =， 所以2523PF c a ≥-=-=，将124PF PF =+代入()()1244PF PF -⋅-得： ()()222222244243PF PF PF PF PF ⋅-=-=--≥-.故选：B ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）设P 是双曲线221916x y -=上一点，M ､N 分别是两圆22(5)4x y -+=和22(5)1x y ++=上的点，则PM PN -的最大值为（）A ．6B ．9C ．12D ．14 【答案】B【分析】根据双曲线方程及其定义，求得,PM PN 的范围，再求PM PN -得最大值即可. 【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，故291625c =+=，则其焦点为()()125,0,5,0F F -， 根据题意，作图如下：则22PM PF ≤+，当且仅当2,,P M F 三点共线，且2F 在,P M 之间时取得等号；11PN PF ≥-，当且仅当1,,P N F 三点共线，且N 在1,P F 之间时取得等号；则11PN PF -≤-，故可得213369PM PN PF PF -≤+-=+=， 故PM PN -的最大值为：9. 故选：B. 【题型专练】1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P 是双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线上一点，F 是双曲线的右焦点，若|PF |的最小值为2a ，则该双曲线的离心率为（）ABD【答案】D 【解析】 【分析】结合双曲线的概念和性质求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， |PF |的最小值即为焦点(),0F c2a =，即12a b =，∴()22221144a b c a ==-，c e a ==.故选：D2．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）双曲线()2221016x y a a -=>的一条渐近线方程为43y x =，1F ，2F 分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（） A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】B 【解析】 【分析】 求2116MF MF +最小值，则2MF 要尽可能小，1MF 要尽可能大,所以M 在双曲线的右支上,则2126MF MF a -==，所以216MF MF =-，消元转化为对勾函数求最值【详解】 若求2116MF MF +最小值，则2MF 要尽可能小，1MF 要尽可能大 所以M 在双曲线的右支上渐近线 4433b b y x x a a ==⇒= 又因为4b =所以3a =由双曲线定义，当M 在双曲线的右支上，2126MF MF a -==当且仅当1116MF MF =，即14MF =时取等号 因为右支上的顶点()3,0到()15,0F 最小，最小为8 所以11166MF MF +-取不到等号，当18MF =时，取最小值 最小值为：168682648+-=+-= 故选：B3．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PFQ 的周长与2PQ 之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅ 【答案】BD 【解析】 【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a x x aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ． 【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PFQ 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ ++=+++=+所以1PFQ 的周长与2PQ 之差为4a ，故B 正确； 设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-， 由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确； 由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x a αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---为常量，故D 正确； 故选：BD题型二：渐近线与双曲线位置关系求范围【例1】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知()2,0A -，()2,0B ，若曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，则b a 的取值范围是___________.【题型专练】1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知()()2,0,2,0A B -，点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，且有2PA PB -=，则nm的取值范围是（）A ．(0,1)B ．C ．D ．2) 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的双曲线C 的右支，进而求得双曲线的渐近线方程y =，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，点()()2,0,2,0A B -且满足2PA PB -=，根据双曲线的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的双曲线C 的右支，其中22,24a c ==，可得1,2a c ==，则b可得双曲线C 的渐近线方程为by x a=±=， 又因为点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，即ny x m=±，结合双曲线的几何性质，可得0nm<n m 的取值范围是.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知点(A ，(0,B ，若曲线()222200,0x y a b a b -=>>上存在点P 满足4PA PB -=，则下列正确的是（） A ．1b a <+B ．2b a <C ．1b a >+D ．2b a > 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可判断点P 在双曲线221(0)4y x y -=<上，将已知转化为曲线b y x a =±与双曲线221(0)4y x y -=<相交，利用直线by x a=±与渐近线的位置关系可得解. 【详解】点(A ，(0,B ，且4PA PB -=<P 在双曲线的下支上. 所以双曲线的方程为221(0)4y x y -=<，其渐近线方程为2y x =±，又点P 在曲线()2222000x y a b a b-=>>，上，即点P 在曲线b y x a =±上，即曲线b y x a =±与双曲线221(0)4y x y -=<相交，2b a ∴>，即2b a >故选：D题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【例1】（2022·天津·二模）已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，若2MF MN +的最小值为9，则该双曲线的离心率为（）AB ．32D ．53【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知3a =，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知21||||||6MF MN F N ++，当且仅当点1F ，M ，N 三点共线时，等号成立，从而得到2||||MF MN +的最小值为6b +，求出b 的值，得到双曲线的离心率． 【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线， 因为双曲线()222:109x y C b b-=>，3a ∴=，由双曲线的定义可知，21||||26MF MF a -==，211||||||||6||6MF MN MF MN F N ∴+=++≥+，当且仅当点1F ，M ，N 三点共线时，等号成立， 渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，且1(,0)F c -， ∴此时1||bcF N b c==， 2||||MF MN ∴+的最小值为6b +，69b ∴+=，3b ∴=，所以c =∴离心率ce a=故选：A ．【例2】（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、有焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，离心率2e =，点Q 为双曲线右支上的一点，点(0,4)P ．当1||QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（）A．1)B ．1)C ．1D ．1【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22143x y -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆E ：()2231x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为______．【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知点P在双曲线22145x y-=的右支上，()0,2A，动点B满足2AB=，F是双曲线的右焦点，则PF PB-的最大值为___________.2##2-【例5】（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线221916x y-=上一点，M､N分别是两圆22(5)4x y-+=和22(5)1x y++=上的点，则PM PN-的最大值为（）A．6B．9C．12D．14故选：B.【例6】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，其左，右焦点分别为12,F F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若(||5,AB M =，P 为双曲线右支上一点，则2PM PF +的最小值为（）A 1B ．4C ．4D 1【例7】（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则A +．．．5 1||a AF -+2，(,)P x y 是双曲线则1||PF -1|||||PA PF a AF ∴--+故选：C 【题型专练】1．（2022·安徽蚌埠·三模（理））双曲线C ：2221(0)y x a a -=>F 是C 的下焦点，若点P为C 上支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d PF +的最小值为（） A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】由离心率可得29a =，即知渐近线为3y x =±，若上焦点为F '，结合双曲线定义，将问题转化为求6d PF '++最小，若||d PH =应用数形结合思想判断,,P F H '的位置关系求最值. 【详解】由题设，221109a a +=，可得29a =，则双曲线渐近线方程为3y x =±，若上焦点为F '，则||||26PF PF a '-==，故||6||PF PF '=+， 所以6d PF d PF '+=++，如下图示：||d PH =，所以6||d PF PH PF '+=++，要使d PF +最小，只需,,P F H '共线，即F H '⊥一条渐近线，而F '1=，故min ()7d PF +=.故选：B2．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22AF BF +的最小值为______．3．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>20+=y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为___________.4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））已知F 是双曲线22:1C x y -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，A .当APF 周长最小时，该三角形的面积为___________. 【答案】32##1.5【分析】M 为左焦点，利用双曲线定义得到APF 周长为||||||||||4AF PF AP PM AP ++=++，判断其最小由APF 周长为当且仅当,A 三点共线时APF 周长最小，此时所以，此时∴2的等腰直角三角形，||AP x =，则，故||PF =∴APF 中x ，可得32x =5．（2022·湖北·高三阶段练习）已知双曲线C ：22133y x -=，F 是双曲线C 的右焦点，点A 是双曲线C 的左支上的一点，点B 为圆D ：(223x y ++=上一点，则AB AF +的最小值为_____.【答案】6．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知双曲线2213x y -=的左右焦点分别为1F ､2F ，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为()2,3-，则1PQ PF +的最小值为___________.【答案】5+5【详解】7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为___________ 【答案】252##12.51212F NF F NOSS=，可求得答案【详解】由题意得MF (),0F c -到渐近线bx 8．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C ：22197x y -=，1F ，2F 是其左右焦点.圆E ：22430x y y +-+=，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则1PQ PF +的最小值是________.【答案】5+59．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>20+=y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为（）A ．4B ．8C ．5D ．910．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知双曲线22:145x y C 的左焦点为1F ，M 为双曲线C 右支上任意一点，D 点的坐标为()3,1，则1MD MF -的最大值为（） A ．3B ．1C ．3-D ．2-11．（2023·全国·高三专题练习）已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为（）A．9B．8C．7D．612．（2022·全国·高二专题练习）设F是双曲线221412x y-=的左焦点，()1,3A，P是双曲线右支上的动点，则PF PA+的最小值为（）A．5B．4+．5+．9。