双曲线中的最值问题(201911整理)

双曲线最值问题、与双曲线有关的定点与定值问题一、双曲线的最值问题例1已知点M ( 一2,0) , N(2,0)，动点P满足条件| PM | 一| PN |= 2 2，记动点P的轨迹为W .(1)求W的方程；(2)若A、B是W上的不同两点, O是坐标原点，求OA OB的最小值.实战演练、x2 y2 2 21 - P是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆(x ■ 5) y 4和9 16(x—5)2+y2 =1上的点，贝U PM — PN的最大值为________________2 22.已知双曲线C的方程为 %-令=1(a 0 ,b 0)，离心率，顶点到渐近线a b5的距离为.5(1)求双曲线C的方程；(2)如图8-2-1 , P是双曲线C上一点，A, B两点在双曲线,C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP二■ PB ,图8-2-■[- ,2]，求AOB面积的取值范围.32 23.已知双曲线G：笃笃=1(a・0)，抛物线C2的顶点在原点O,又C2的焦点是a2 2a2C i的左焦点Fi .(1)求证：C i与C2总有两个不同的交点；(2)是否存在过C i的焦点F i的C2的弦AB，使■ AOB的面积有最大值或最小值？若有，求出AB所在直线方程与最值；若没有，请说明理由.二、与双曲线有关的定点与定值问题例题：已知双曲线x2 - y2 =2的左、右焦点分别为F i，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点. 十 | ”1(1)若动点M满足FM F i A F i B FQ (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程;(2)在x轴上是否存在定点C，使CA • CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.实战演练i.已知％( -2,0 ), F2 (2,0，点P满足PR - PF』=2,记点P的轨迹为E,.(1)求轨迹E的方程;(2)若直线I过点F2且法向量为n=(a ,)，直线与轨迹E交于P、Q两点.①过P、Q作y轴的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,记| PQ ■ | AB |，试确定•的取值范围；T —②在x轴上是否存在定点M无论直线I绕点F2怎样转动，使MP・MQ = 0恒成立？如果存在，求出定点M如果不存在，请说明理由.三、双曲线与直线例题：已知以原点0为中心，F(、..5,0)为右焦点的双曲线C的实轴与(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;⑵如图8-2-2,已知过点M (捲，yj的直线l1: x/ • 4%y = 4与过点N (x2, y2)(其中X2 = Xi)的直线I2: x2x • 4y2y = 4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求实战演练2 21.设直线I : y=kx・m (其中k,m为整数)与椭圆——=1交于不同的两点A、16 12X2 y2B，与双曲线1交于不同的两点C、D，问是否存在直线I，使得AC • BD = 04 12成立，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.2 22.已知双曲线笃一爲=1右支上任意一点E作抛物线y2=-2px(p 0)的两切线, a b两切点M , N所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于G , H两点，试问：(1)是否存在正实数p，使得OG OH为定值？(2)是否存在正实数p，使得一2为定值？|OG |2 |OH |223.已知双曲线C : — -y2 =1 .2(1)已知点M的坐标为(0,1) •设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记’二MPMQ •求•的取值范围；(2)已知点D、E、M的坐标分别为(—2 1)、(2 , -1)、(0,1), P为双曲线C上在第一象限内的点.记I为经过原点与点P的直线，s DEM截直线l所得线段的长.试将s表示为直线l的斜率k的函数.四、双曲线与圆2 2 _例题：已知双曲线C : —1(a 0 )的实轴长与焦距的比为1 : 3 .a 2(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l是圆O：x2y2 =2上动点P(X0 ,y0)(x°y0=0)处的切线，I与双曲线C交于不同的两点A, B，证明.AOB的大小为定值.为直径的圆经过双曲线的左焦点 F .若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由. 实战演练2 21 -从双曲线— y 1的左焦点F 引圆x y =9的切线，切点为T ,延长FT 交 9 16双曲线右支于点P •若M 为线段FP 的中点.0为坐标原点，贝U |MO|-|MT|二 __________________ .B(0 , - b)的直线为I ，原点到直线l 的距离是(1)求双曲线的方程； ⑵ 已知直线y = x ■ m 交双曲线于不同的两点 C, D,问是否存在实数 m ，使得以 CD 2.已知双曲线2 x 2 a2 二1的渐近线方程为 b 2 x ，左焦点为F ,过A(a , 0),3.若动圆P恒过定点B(2,0)，且和定圆C : (x 2)2y =4外切.(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程；(2)若过点B的直线I与曲线E交于M、N两点，试判断以MN为直径的圆与直线1x 是否相交，若相交，求出截得劣弧所对圆心角的弧度数，若不相交，请说明理由.2。

双曲线的最值问题及解决方法摘要：1.双曲线的基本概念及特点2.双曲线最值问题的提出3.解决双曲线最值问题的方法4.方法实例与应用5.总结与拓展正文：一、双曲线的基本概念及特点双曲线是一种常见的数学图形，其方程形式为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。

其中，a和b分别为双曲线的横轴半轴长度和纵轴半轴长度。

双曲线具有以下特点：1.有两个顶点，分别为（±a，0）和（0，±b）；2.有两条渐近线，分别为y = ±(b/a)x；3.离心率e = √(1 + b^2/a^2)；4.焦距为2c，其中c = √(a^2 + b^2)。

二、双曲线最值问题的提出在实际问题中，我们常常需要求解双曲线的最值问题。

最值问题可以分为两类：一类是在给定双曲线方程条件下，求解某函数的最大值或最小值；另一类是在给定函数条件下，求解双曲线与该函数的关系。

三、解决双曲线最值问题的方法为了解决双曲线最值问题，我们可以采用以下方法：1.利用双曲线方程特征：根据双曲线方程，分析其顶点、渐近线和离心率等特征，以确定最值问题的求解方向。

2.设参数法：将双曲线方程转化为参数方程，然后分析参数变化对函数的影响，从而求解最值问题。

3.利用数学工具：如导数、微积分等，求解双曲线与给定函数的关系，进而得到最值。

四、方法实例与应用以下以一个具体实例说明解决双曲线最值问题的方法：已知双曲线方程为x^2/4 - y^2/3 = 1，求该双曲线上的点到原点距离的最大值。

解：将双曲线方程转化为参数方程，得到x = 2cosθ，y = √(3)sinθ。

代入距离公式，得到距离d = √(4cos^2θ + 3sin^2θ)。

通过求导数，找到d的最大值点，即可得到最大距离。

五、总结与拓展本文介绍了双曲线的基本概念及特点，提出了双曲线最值问题，并阐述了解决方法。

在实际问题中，解决双曲线最值问题有助于优化工程、物理、经济等领域的相关问题。

双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)双曲线函数是数学中常见的一类函数，对于这类函数的最值问题，我们可以通过一些实际例子来加深理解。

下面提供了一些练题和相应的答案，帮助读者更好地掌握双曲线函数的最值问题。

练题1. 设函数 $f(x) = e^x - e^{-x}$，求函数 $f(x)$ 在定义域内的最小值和最大值。

2. 函数 $g(x) = \sinh(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上是增函数还是减函数？并求其最小值和最大值。

3. 对于任意正实数 $a$，函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 在定义域内的最大值是否存在？如果存在，是多少？答案1. 解答：首先求函数的一阶导数：$$f'(x) = e^x + e^{-x}$$然后求导数为零的点，即：$$e^x + e^{-x} = 0$$由于 $e^x$ 恒大于零，所以 $e^x + e^{-x}$ 恒大于零，即不存在导数为零的点。

因此函数 $f(x)$ 在定义域内没有极值点，也就是没有最小值和最大值。

2. 解答：首先求函数的一阶导数：$$g'(x) = \cosh(x)$$函数 $g(x)$ 的一阶导数为 $\cosh(x)$，根据双曲函数的性质可知 $\cosh(x) > 0$，即在定义域内函数 $g(x)$ 是增函数。

当 $x = 0$ 时，$\sinh(0) = 0$，所以函数 $g(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上最小值为 0。

当 $x = 1$ 时，$\sinh(1) \approx 1.1752$，所以函数 $g(x)$ 在$[-1, 1]$ 区间上最大值为约 1.1752。

3. 解答：函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 为双曲余弦函数，其定义域为实数集。

双曲余弦函数的最大值为 $\cosh(0) = 1$，当且仅当 $ax = 0$ 时取到最大值。

因此，函数 $h(x)$ 在定义域内的最大值为 1。

双曲线的最值问题引言双曲线是数学中常见的曲线形式，在很多应用领域中都有重要的作用。

双曲线的最值问题是指在给定的条件下，如何确定双曲线的最大值或最小值。

本文将介绍双曲线的基本定义及其最值问题的解决方法。

双曲线的定义双曲线可以通过以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中，a和b是常数，分别控制双曲线在x和y轴上的形状。

双曲线分为两支，分别朝向x轴正方向和x轴负方向。

双曲线的中心位于原点(0,0)。

双曲线的最值问题双曲线的最值问题是寻找给定条件下双曲线的最大值或最小值。

常见的最值问题包括求解双曲线上某点的最大值或最小值，或者找到满足特定条件的双曲线。

求解双曲线上某点最值要求解双曲线上某点的最值，可以通过以下步骤进行：1. 将双曲线方程表示成y的函数形式，如y = f(x)。

2. 求解f(x)的导数，得到f'(x)。

3. 令f'(x) = 0，解方程得到x的值。

4. 将x的值代入f(x)中，得到相应的y值。

5. 根据求得的坐标(x, y)可以确定双曲线上某点的最值。

满足特定条件的双曲线要找到满足特定条件的双曲线，可以通过以下步骤进行：1. 根据提供的条件确定a和b的取值范围。

2. 在取值范围内遍历a和b的组合。

3. 对于每个组合，计算双曲线的特点，如焦点、顶点等。

4. 检查双曲线是否满足给定的条件。

5. 找到满足条件的双曲线。

结论双曲线的最值问题是数学中的重要问题之一。

通过求解双曲线上某点的最值或找到满足特定条件的双曲线，可以应用到各种实际问题中。

研究双曲线的最值问题不仅有助于深入理解数学，也为解决实际问题提供了有效的工具。

参考文献。

第19讲 双曲线中的最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用焦半径范围求最值题型二：利用渐近线与双曲线位置关系求范围 题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值 【典型例题】题型一：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二）若P 是双曲线C ：2214x y m-=上一点，C 的一个焦点坐标为()4,0F ，则下列结论中正确的是（ ） A ．23m =B ．渐近线方程为3y x =± C ．PF 的最小值是2 D ．焦点到渐近线的距离是23【答案】BCD【分析】由焦点坐标可求得m 值，由双曲线方程可得渐近线方程，根据双曲线的性质可得双曲线上的点到焦点距离的最小值，由点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离判断各选项．【详解】依题意可知41612m m +=⇒=，所以A 答案错误；双曲线的方程为221412x y -=，所以渐近线的方程为3y x =±，min 2PF c a =-=，渐近线方程为30x y ±=，焦点到渐近线的距离是()22432313d ==+，故选：BCD ．【例2】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知1F ，2F 分别是双曲线22:1421x yC -=的左、右焦点，动点P 在双曲线C 的右支上，则()()1244PF PF -⋅-的最小值为（ ） A ．4- B ．3-C ．2-D ．1-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得124PF PF -=，所以124PF PF =+，再根据双曲线性质得2PF 的范围，则()()()1222444PFPF PF PF -⋅-=⋅-，再利用二次函数求值域即可.【详解】因为动点P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义可得：124PF PF -=， 所以124PF PF =+，因为24a =，221b =，所以2a =，225c a b =+， 所以2523PF c a ≥-=-=，将124PF PF =+代入()()1244PF PF -⋅-得： ()()222222244243PF PF PF PF PF ⋅-=-=--≥-.故选：B ．【例3】（2022·全国·高二课时练习）设P 是双曲线221916x y -=上一点，M ､N 分别是两圆22(5)4x y -+=和22(5)1x y ++=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．14【答案】B【分析】根据双曲线方程及其定义，求得,PM PN 的范围，再求PM PN -得最大值即可. 【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，故291625c =+=，则其焦点为()()125,0,5,0F F -， 根据题意，作图如下：则22PM PF ≤+，当且仅当2,,P M F 三点共线，且2F 在,P M 之间时取得等号；11PN PF ≥-，当且仅当1,,P N F 三点共线，且N 在1,P F 之间时取得等号；则11PN PF -≤-，故可得213369PM PN PF PF -≤+-=+=， 故PM PN -的最大值为：9. 故选：B. 【题型专练】1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P 是双曲线22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线上一点，F 是双曲线的右焦点，若|PF |的最小值为2a ，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C 5D 5【答案】D 【解析】 【分析】结合双曲线的概念和性质求双曲线的离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， |PF |的最小值即为焦点(),0F c 222bc a a b=+，即12a b =，∴()22221144a b c a ==-，5c e a ==.故选：D2．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）双曲线()2221016x y a a -=>的一条渐近线方程为43y x =，1F ，2F 分别为该双曲线的左右焦点，M 为双曲线上的一点，则2116MF MF +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B 【解析】 【分析】 求2116MF MF +最小值，则2MF 要尽可能小，1MF 要尽可能大,所以M 在双曲线的右支上,则2126MF MF a -==，所以216MF MF =-，消元转化为对勾函数求最值【详解】若求2116MF MF +最小值，则2MF 要尽可能小，1MF 要尽可能大 所以M 在双曲线的右支上渐近线 4433b b y x x a a ==⇒= 又因为4b = 所以3a = ∴ 221?916x y -=双曲线方程为： ()()212255,0,5,0c F F ∴=∴-由双曲线定义，当M 在双曲线的右支上，2126MF MF a -==216MF MF ∴=-2111111616166262462MF MF MF MF MF MF ∴+=+-⋅=⨯-= 当且仅当1116MF MF =，即14MF =时取等号 因为右支上的顶点()3,0到()15,0F 最小，最小为8 所以11166MF MF +-取不到等号，当18MF =时，取最小值 最小值为：168682648+-=+-= 故选：B3．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（ ） A ．1PQA △的周长 B ．1PFQ 的周长与2PQ 之差 C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅【答案】BD 【解析】 【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ． 【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PFQ 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ ++=+++=+所以1PFQ 的周长与2PQ 之差为4a ，故B 正确； 设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-， 由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确； 由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x a αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---为常量，故D 正确； 故选：BD题型二：渐近线与双曲线位置关系求范围【例1】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知()2,0A -，()2,0B ，若曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，则b a 的取值范围是___________. 【答案】()0,3【分析】曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，等价于b y x a =±与以A 、B 为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解． 【详解】若()2,0A -，()2,0B ，且24PA PB AB -=<=， 则点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上，且22a =，2c =， ∴1a =，413b =-=，∴双曲线方程为()22104y x x -=>，其渐近线方程为3y x =±，则曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，等价于b y x a =±与双曲线221(0)4y x x -=>相交，∴03b a <<． 故答案为：()0,3． 【题型专练】1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知()()2,0,2,0A B -，点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，且有2PA PB -=，则nm的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．3) C ．3) D ．(3,2)【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的双曲线C 的右支，进而求得双曲线的渐近线方程3y x =±，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，点()()2,0,2,0A B -且满足2PA PB -=，根据双曲线的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的双曲线C 的右支， 其中22,24a c ==，可得1,2a c ==，则223b c a - 可得双曲线C 的渐近线方程为3by x x a=±=， 又因为点P 满足方程0(0,0)nx my m n ±=>>，即ny x m=±，结合双曲线的几何性质，可得03nm<n m 的取值范围是3).故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知点(5A ，(0,5B -，若曲线()222200,0x y a b a b -=>>上存在点P 满足4PA PB -=，则下列正确的是（ ） A ．1b a <+ B ．2b a <C ．1b a >+D ．2b a >【答案】D 【解析】 【分析】由已知可判断点P 在双曲线221(0)4y x y -=<上，将已知转化为曲线b y x a =±与双曲线221(0)4y x y -=<相交，利用直线by x a=±与渐近线的位置关系可得解. 【详解】点(5A ，(0,5B ，且425PA PB -=<P 在双曲线的下支上. 所以双曲线的方程为221(0)4y x y -=<，其渐近线方程为2y x =±，又点P 在曲线()2222000x y a b a b-=>>，上，即点P 在曲线b y x a =±上，即曲线b y x a =±与双曲线221(0)4y x y -=<相交，2b a ∴>，即2b a >故选：D题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【例1】（2022·天津·二模）已知双曲线()222:109x y C b b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，若2MF MN +的最小值为9，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．32D ．53【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知3a =，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知21||||||6MF MN F N ++，当且仅当点1F ，M ，N 三点共线时，等号成立，从而得到2||||MF MN +的最小值为6b +，求出b 的值，得到双曲线的离心率． 【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线， 因为双曲线()222:109x y C b b-=>，3a ∴=，由双曲线的定义可知，21||||26MF MF a -==，211||||||||6||6MF MN MF MN F N ∴+=++≥+，当且仅当点1F ，M ，N 三点共线时，等号成立，渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，且1(,0)F c -， ∴此时122||bcF N b ca b ==+， 2||||MF MN ∴+的最小值为6b +，69b ∴+=，3b ∴=，所以2232c a b +=∴离心率2ce a=故选：A ．【例2】（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、有焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，离心率2e =，点Q 为双曲线右支上的一点，点(0,4)P ．当1||QF PQ +取最小值时，2QF 的值为（ ）A ．6(21)B ．6(21)C ．621D ．621【答案】B【分析】由题意求得a,b,c ,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当1||QF PQ +取最小值时Q 点的位置，利用方程组求得Q 点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案. 【详解】由题意可得24,2a a == ，又2e =，故4c = ， 所以22212b c a =-= ，则双曲线方程为221412x y -= ，结合双曲线定义可得221||4||||4QF PQ QF PQ QF PQ +=++=++， 如图示，连接2PF ,交双曲线右支于点M ，即当2,,P Q F 三点共线， 即Q 在M 位置时，1||QF PQ +取最小值，此时直线2PF 方程为4y x =-+ ，联立221412x y-=， 解得点Q 的坐标为(322,632)--,( Q 为双曲线右支上的一点)， 故222(3224)(632)6(21)QF =--+-=-， 故选：B【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22143x y -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆E ：()2231x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为______． 【答案】7【分析】求出双曲线的焦点坐标，应用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线时取得最值，即可得到2AB AF +的最小值.【详解】双曲线22143x y -=中2a =，3b =，437c =+=，()170F -，，()270F ，，圆E 半径为1r =，()03E ，－， 21124AF AF a AF ∴=+=+，1AB AE BE AE ≥=－－(当且仅当A E B ，，共线且B 在A E ，之间时取等号)，211143AB AF AE AF AF AE +≥++=++－2213(7)337EF ≥+=-++=，当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号．2AB AF ∴+的最小值是7．故答案为：7.【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知点P 在双曲线22145x y -=的右支上，()0,2A ，动点B 满足2AB =，F 是双曲线的右焦点，则PF PB -的最大值为___________.132##213-【分析】由题意可知B 的轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆，利用双曲线定义将PF PB -转化为14PF PA --，结合图形，利用几何性质可求得答案.【详解】动点B 满足2AB =，则点B 的轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆, 设双曲线的左焦点为1F ，由题知14PF PF -=，14PF PF =-则1144134PF PA PF PA AF -=--≤-=-， 当且仅当A ，P ，1F 三点共线时，等号成立，所以PF PB -的最大值为132-， 故答案为：132-【例5】（2022·全国·高二课时练习）设P 是双曲线221916x y -=上一点，M ､N 分别是两圆22(5)4x y -+=和22(5)1x y ++=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．14【答案】B【分析】根据双曲线方程及其定义，求得,PM PN 的范围，再求PM PN -得最大值即可. 【详解】因为双曲线方程为221916x y -=，故291625c =+=，则其焦点为()()125,0,5,0F F -， 根据题意，作图如下：则22PM PF ≤+，当且仅当2,,P M F 三点共线，且2F 在,P M 之间时取得等号；11PN PF ≥-，当且仅当1,,P N F 三点共线，且N 在1,P F 之间时取得等号；则11PN PF -≤-，故可得213369PM PN PF PF -≤+-=+=， 故PM PN -的最大值为：9. 故选：B.【例6】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为32，其左，右焦点分别为12,F F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若(||35,5,22AB M =，P 为双曲线右支上一点，则2PM PF +的最小值为（ ） A 171 B ．624C ．624D 171【答案】C【分析】由离心率及AB 的长先求出双曲线方程，把2PF 转化为1PF ，然后求出1F M 可得结论． 【详解】把x c =代入by x a =±得bc y a =±，所以235bc AB a ==，又32c a =，222+=a b c ，所以5b =，3,2c a ==1(3,0)F -，1224PF PF a -==，214PF PF =-，所以21144PM P PM P F MF F +=+-≥-，当且仅当1,,M P F 三点共线时等号成立， 221(53)(22)62MF =++=，所以2PM PF +的最小值为624-． 故选：C ．【例7】（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则22222169x y y x y x +-++-+ ）A 10 5+B ．27C ．510D ．5【答案】C【分析】代数式22222169x y y x y x +-+-+-+可化为()()222213x y x y +---+，表示点(,)P x y 到点(0,1)的距离与点(,)P x y 到点2(3,0)F 的距离之差，根据双曲线定义可得11|||2||2|PA PF a AF a -+-+，即可求解．【详解】代数式22222169x y y x y x +-+-+-+可化为()()222213x y x y +---+，表示点(,)P x y 到点(0,1)A 的距离与点(,)P x y 到点2(3,0)F 的距离之差，又双曲线22154x y -=的左右焦点分别为1(3,0)F -，2(3,0)F ，5a =，根据双曲线定义可得21||||2PF PF a =-，21||||||2||PA PF PA PF a ∴-=-+，(,)P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则2211||||||(30)(01)10PF PA AF -≤=--+-= ,当且仅当1,,P A F 共线时取等号，11|||2|22510||PA PF a AF a ∴-+-+=-，故选：C ．【题型专练】1．（2022·安徽蚌埠·三模（理））双曲线C ：2221(0)y x a a -=>10F 是C 的下焦点，若点P为C 上支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则d PF +的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B 【解析】 【分析】由离心率可得29a =，即知渐近线为3y x =±，若上焦点为F '，结合双曲线定义，将问题转化为求6d PF '++最小，若||d PH =应用数形结合思想判断,,P F H '的位置关系求最值. 【详解】由题设，221109a a +=，可得29a =，则双曲线渐近线方程为3y x =±，若上焦点为10)F '，则||||26PF PF a '-==，故||6||PF PF '=+， 所以6d PF d PF '+=++，如下图示：||d PH =，所以6||d PF PH PF '+=++，要使d PF +最小，只需,,P F H '共线，即F H '⊥一条渐近线，而F '221011(3)=+±，故min ()7d PF +=.故选：B2．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22AF BF +的最小值为______． 【答案】22【分析】由双曲线的定义可得218AF AF -=，218BF BF -=，据此2211()16AF BF AF BF +-+=，再由,A B 两点的位置特征可得AB 是双曲线的通径时，AB 最小，从而可得答案. 【详解】根据双曲线2211612x y -=，得4a =，23b =，由双曲线的定义可得：2128AF AF a ==－ ∴， 2128BF BF a ==－ ∴，∴+∴可得：()221116AF BF AF BF ++=－，由于过双曲线的左焦点1F 的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，可得11AF BF AB +=，即有()22112216AF BF AF BF AF BF AB ++=+=－－． 则2216BF AF AB +=+，当AB 是双曲线的通径时AB 最小， 故22222121616224b BF AF a ⨯+≥+=+=. 故答案为：223．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>520+=x y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为___________. 【答案】8【分析】根据双曲线的渐近线方程及双曲线的定义，再利用三点共线取得最小值，结合圆外一点到圆上的最小距离及两点间的距离公式即可求解.【详解】由双曲线221(0)5x y m m -=>的一条渐近线方程为520+=x y ， 可得552m m =，解得4m =. 所以22145x y -=，双曲线的左焦点坐标()3,0F -，右焦点坐标为()3,0F '， 由双曲线的定义，知4PF PF '-=，即4PF PF '=+， 由圆22(4)1x y +-=可得圆心()0,4C ，半径为1r =，||||4||||4PQ PF PF PQ QF ''+=++≥+，问题转化为求点F '到圆22(4)1x y +-=上的最小值， 即()()22min ||||130041514QF CF ''=-=-+--=-=，所以()min ||||448PQ PF +=+=. 所以||||PQ PF +的最小值为8. 故答案为：8.4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））已知F 是双曲线22:1C x y -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，2)A .当APF 周长最小时，该三角形的面积为___________. 【答案】32##1.5【分析】M 为左焦点，利用双曲线定义得到APF 周长为||||||||||4AF PF AP PM AP ++=++，判断其最小时,,A P M 的位置关系及∴AFM 的形状，进而求出∴APF 的面积.【详解】若M 为左焦点，则||||22PF PM a -==，而(2,0)F ，(0,2)A ，则||2AF =，由APF 周长为||||||||||||2||||4AF PF AP AF PM AP PM AP ++=+++=++， 当且仅当,,A P M 三点共线时APF 周长最小，此时||||||2AM PM AP =+=， 所以，此时∴AFM 为腰长为2的等腰直角三角形， 令||AP x =，则||2PM x =-，故||4PF x =-，而||2AF =， 在∴APF 中224(4)x x +=-，可得32x =，故三角形的面积为1332222⨯⨯=. 故答案为：325．（2022·湖北·高三阶段练习）已知双曲线C ：22133y x -=，F 是双曲线C 的右焦点，点A 是双曲线C 的左支上的一点，点B 为圆D ：(22323x y ++=上一点，则AB AF +的最小值为_____.【答案】263326【分析】结合双曲线的定义、点和圆的位置关系求得AB AF +的最小值. 【详解】双曲线C ：22133y x -=， 3,6a b c ===，设()16,0F -是双曲线的左焦点，圆()22323x y ++=的圆心为()0,32D -，半径为3r =.根据双曲线的定义有11223AB AF AB AF a AB AF +=++=++， 由于B 是圆()22323x y ++=的一点，()16,0F -为定点，所以当1,,,F A B D 共线时，1AB AF +最小，即1AB AF +最小值为16183263DF r -=+-=-， 所以AB AF +的最小值为26323263-+=+. 故答案为：263+6．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知双曲线2213x y -=的左右焦点分别为1F ､2F ，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为()2,3-，则1PQ PF +的最小值为___________. 【答案】523+35【分析】利用双曲线定义可将1PQ PF +转化为223PQ PF ++，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值223QF +，由此可计算得到结果.【详解】由双曲线方程知：3a =，1b =，2c =，则()12,0F -，()22,0F ，由双曲线定义知：12223PF PF a -==，1222323PQ PF PQ PF QF ≥∴+=+++（当且仅当P 在线段2QF 上时取等号）， 又()()22222305QF =--+-=，()1min 523PQ PF ∴+=+.故答案为：523+.7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，则当2MF MN +取最小值10时，12F NF △面积的最大值为___________ 【答案】252##12.5 【分析】利用双曲线定义可得到212MF MF a =+，将2MF MN +的最小值变为212MF MN MF a MN +=++的最小值问题，再结合基本不等式，利用三角形面积之间的关系即1212F NF F NOSS=，可求得答案.【详解】由题意得212MF MF a -=，故212MF MF a =+， 如图示：()1,0F c -到渐近线0bx ay +=的距离22bc bcd b ca b ===+, 则211222MF MN MF a MN F N a b a +=++≥+=+，当且仅当M ，1F ，N 三点共线时取等号， ∴2MF MN +的最小值为210b a +=，∴1022ab ≥，即252ab ≤， 当且仅当25b a ==时，等号成立， 又1||OF c =，故22||ON c b a =-=，∴12111252222F NF F NO S S NF NO ab ==⨯⋅=≤△△， 即12F NF △面积的最大值为252, 故答案为：2528．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C ：22197x y -=，1F ，2F 是其左右焦点.圆E ：22430x y y +-+=，点P 为双曲线C 右支上的动点，点Q 为圆E 上的动点，则1PQ PF +的最小值是________.【答案】55+255【分析】利用双曲线定义，将1PF PQ +的最小值问题转化为26PF PQ ++的最小值问题，然后结合图形可解.【详解】由题设知，()14,0F -，()24,0F ，()0,2E ，圆E 的半径1r = 由点P 为双曲线C 右支上的动点知 126PF PF =+∴126PF PQ PF PQ +=++∴()()122min min 662516525PF PQ PF PQ F E r +=++=-+=-+=+. 故答案为：525+9．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线221(0)5x y m m -=>520+=x y ，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆22(4)1x y +-=上运动，则||||PQ PF +的最小值为（ ） A ．224 B ．8C ．225D ．9【答案】B【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由55202x y y x +=⇒=-，所以有5542m m=⇒=， 设圆22(4)1x y +-=的圆心为(0,4)A ，半径为1，设该双曲线另一个焦点为1(3,0)F ，所以11||||24||||4PF PF m PF PF -=⨯=⇒=+， 求||||PQ PF +的最小值转化为求1||||4PQ PF ++的最小值， 因此当点1,,,A Q P F 依次共线时，1||||4PQ PF ++有最小值， 即221||143438AF -+=++=， 故选：B10．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知双曲线22:145x y C 的左焦点为1F ，M 为双曲线C 右支上任意一点，D 点的坐标为()3,1，则1MD MF -的最大值为（ ） A ．3 B ．1C ．3-D ．2-【答案】C【分析】由双曲线定义把1MF 转化为M 到右焦点的距离，然后由平面几何性质得结论．【详解】设双曲线C 的实半轴长为2a =，右焦点为()23,0F ， 所以()122MD MF MD MF a -=-+()()()222222331043MD MF a F D a =--≤-=-+--=-， 当且仅当M 为2DF 的延长线与双曲线交点时取等号. 故选：C ．11．（2023·全国·高三专题练习）已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4)A ，P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 【答案】A【分析】由双曲线方程求出a ，再根据点A 在双曲线的两支之间，结合5PA PF AF ''+≥=可求得答案【详解】由221412x y -=，得224,12a b ==，则222,23,4a b c a b ===+=， 所以左焦点为(4,0)F -，右焦点(4,0)F '，则由双曲线的定义得24PF PF a '-==，因为点(1,4)A 在双曲线的两支之间，所以22345PA PF AF ''+≥=+=，所以9PF PA +≥，当且仅当,,A P F '三点共线时取等号， 所以||||PF PA +的最小值为9，故选：A12．（2022·全国·高二专题练习）设F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,3A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（ ）A ．5B ．432+C ．543+D ．9【答案】B 【分析】由双曲线的的定义可得14PF PF =+，于是将问题转化为求14PA PF ++的最小值，由11PA PF AF +≥得出答案.【详解】设双曲线的由焦点为()14,0F ，且点A 在双曲线的两支之间. 由双曲线的定义可得124PF PF a -==,即14PF PF =+ 所以()2211441434432PF PA PA PF AF +=++≥+=-++=+ 当且仅当1,,A P F 三点共线时，取得等号. 故选：B。

双曲线最值的4种解法双曲线在高等数学中有着重要的位置，求解双曲线最值也是数学研究中的一个难点问题。

本文对双曲线最值的4种解法进行介绍。

解法一：参数方程法对于一条形如 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的双曲线，可以将其转化成参数方程的形式：$$\begin{cases}x=a\sec t \\y=b\tan t\end{cases}$$则双曲线上的任意一点 $(x,y)$ 都可以表示成参数 $t$ 的函数形式，即 $(a\sec t,b\tan t)$。

然后再求出该函数的导数，令其等于0，就可以得到双曲线的最值点。

解法二：直线法对于一条形如 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的双曲线，可以将其上下两段分别设为两条直线 $y=\pm \frac{b}{a}x$，然后求出这两条直线与双曲线的交点，即可得到双曲线的最值点。

但如果双曲线的焦点不在坐标原点上，则需要进行平移操作，使得焦点位于坐标原点上。

解法三：极限法对于一条形如 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的双曲线，可以将其转化成如下形式：$$y=b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}$$当 $x\rightarrow \pm \infty$ 时，$y$ 的取值无限趋近于零，因此双曲线的最值点必定出现在 $x$ 的有限范围内。

然后再对 $y$ 进行求导，利用导数的零点来求得最值点。

解法四：矩形法对于一条形如 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的双曲线，可以将其上下两段分别缩成两个长度分别为 $2b$ 和 $2c$ 的线段，然后对这个矩形进行分割，选择若干个具有代表性的点并求出这些点在双曲线上对应的 $y$ 值，从而得到最值点。

以上4种解法都可以解决双曲线最值问题，具体使用哪种解法需要根据具体情况而定。