2018届高中数学专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色训练新人教A版选修2_1

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．以椭圆 22221x y a b+=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△OAB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ▲ ．3．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错 评卷人得分三、解答题4．如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ， 过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点. ⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；[来源:Z|xx|] ⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. (江苏省苏州市汇编年1月高三调研) （本小题满分16分）5． 如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴AB 长为4，离心率32e =，O为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．AB xyM NQPH lOOyxMF1F26．设椭圆)22(18:222>=+a y ax M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q 是椭圆短轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;（II ）设A,B 是圆与()12:22=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，求PA PB ⋅的最大值.（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求证00P E P F ⋅为定值。

高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。

专题14 椭圆、双曲线、抛物线1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】C2．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 【答案】A【解析】由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上， ∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32.∴|PF 1||PF 2|＝73232＝7.故选A. 3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝() A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B4．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x2a2－y 2b2＝1的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率等于( )A.22 B. 2 C. 3 D.62【答案】B【解析】根据已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－12b2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫62＋c 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62－c 2＋12＝4c 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－1c 2－a 2＝2，c 2＝2，∴解得a ＝1，c ＝ 2.∴双曲线C 的离心率e ＝ca＝ 2.故选B.5．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( )A.23B.73C.53 D ．2 【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C的焦点为(1，0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝263或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝－263，∵P 为第一象限的点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263，∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝73，故选B.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5 C．4 3 D ．4 5 【答案】B7．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8 【答案】C【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.8．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||FA ＝2||FB ，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23 【答案】B【解析】设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2， 由||FA ＝2||FB 得y 1＝2y 2(如图)．9．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2外 C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间 【答案】D【解析】椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－c a，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b 2a ＋2ac a >a 2＋c 2a＝1＋e 2，因为0<e <1， 即0<e 2<1. 所以1<e 2＋1<2， 所以x 21＋x 22>1，又b 2a 2＋2ac a 2<b 2＋a 2＋c 2a 2＝2， 所以1<x 21＋x 22<2，即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于 ( )A.158B.415C.23D.12 【答案】D11．过曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作曲线C 2：x 2＋y 2＝a 2的切线，设切点为M ，直线F 1M交曲线C 3：y 2＝2px (p ＞0)于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若|MF 1|＝|MN |，则曲线C 1的离心率为( )A. 5B.5－1C.5＋1D.5＋12【答案】D12．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞) 【答案】D 【解析】如图所示，过点F 2(c ，0)且与渐近线y ＝b a x 平行的直线为y ＝b a (x －c )，与另一条渐近线y ＝－b ax 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba（x －c ），y ＝－ba x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c 2，y ＝－bc 2a，即点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc2a .∴|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外， ∴|OM |>c ，即c21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>c ， 得1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2. ∴双曲线离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>2.故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．故选D.13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【解析】方法一：由题意设F (c ，0)，相应的渐近线方程为y ＝ba x ，根据题意得k PF ＝－a b，设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，【答案】 214．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【答案】x ＝－2【解析】将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y23a2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，解得x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a解得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.15．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．【答案】23或3816．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【答案】1517．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M . (1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； (2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．解：(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)，①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4， 所以|y 1－y 2|＝42，所以S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.18．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 得 x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＝4(4－m 2)＞0，∴m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}，设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，∴k 1＋k 2＝0，则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ， ∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋m －1（x 2－2）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋m －1（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2） ＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0， 故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}．19．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |＝1|AM |＋1|AN |，求点Q 的轨迹方程．因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝ (1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32.20．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 23＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝61＋2k 21，y 21＝6k 211＋2k 21，所以x 21＋y 21＝6（1＋k 21）1＋2k 21，同理得x 22＋y 22＝6（1＋k 22）1＋2k 22，又因为k 1k 2＝－12，所以|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6（1＋k 22）1＋2k 22＝6（1＋k21）1＋2k21＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫－12k121＋2⎝⎛⎭⎪⎫－12k12。

十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点
一、选择题
．【年云南省第二次统一检测】已知，直线与曲线
只有一个公共点，则的取值范围为（）
. . . .
【答案】
【解析】直线化简为：，圆心到直线的距离为，整理为：，即，整理为，设，所以，解得
或（舍），即，解得：，故选.
．【届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点，（），若曲线上存在点，使得，则正实数的取值范围为（）. . . .
【答案】
．设，若直线与圆相切，则的取值范围是（）
. .
. .
【答案】
点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略
()与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
()与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．
．【届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线
上总存在点，使得过点作的圆：
的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（）
. 或 . . . 或
【答案】
【解析】
如图，设切点分别为，．连接，，，由及知，四边。

高中数学专题复习
《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》
单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于
（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12
，右焦点为F (c,0)，方程ax 2 －bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________．
①必在圆x 2＋y 2＝2上。

- 让每一个人同等地提高自我专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018 届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个极点.过点且斜率不为0 的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【分析】试题剖析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个极点，可求得，再依据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。

设x轴上的定点为，可得，由定值可得需知足，解得可得定点坐标。

- 让每一个人同等地提高自我∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去 y 整理得，设，，要使其为定值，需知足，解得.故定点的坐标为.点睛：分析几何中定点问题的常看法法(1)假定定点坐标，依据题意选择参数，成立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数没关，故获得一个对于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特别地点下手，找出定点，再证明该点切合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018 学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线 l 经过点1,0与抛物- 让每一个人同等地提高自我线 C : y2 2 px （ p 0, p 为常数）交于不一样的两点M , N ，当 k 1时，弦MN的长为 4 15. 2（ 1）求抛物线 C 的标准方程；（ 2）过点M的直线交抛物线于另一点Q ，且直线 MQ 经过点B 1, 1 ，判断直线NQ能否过定点？若过定点，求出该点坐标；若可是定点，请说明原因.【答案】（1）y24x ;（2）直线 NQ 过定点1, 4【分析】试题剖析：（ 1）依据弦长公式即可求出答案；（ 2）由（ 1）可设M t2 ,2 t, N t12 ,2 t1, Q t22 ,2 t 2，则 k MN 2 ，t t1则MN : 2x t t1y2tt10 ；同理：MQ : 2x t t2 y2tt 20NQ : 2x t1t2 y 2t1t20 .由1,0在直线 MN 上t 1（ 1）；t1由 1,1在直线 MQ 上2t t22tt20 将（1）代入t1t2 2 t1t 2 1 （2）将（ 2）代入NQ方程2x t1t2y4t1t 2 2 0，即可得出直线NQ 过定点．22,2 t12,2 t2，则 k MN =2t2t12，（ 2）设M t,2 t , N t1, Q t2t 22t t1 t1- 让每一个人同等地提高自我则 MN : y 2t2x t 2即 2x t t1 y 2tt1 0 ；t t1同理：MQ : 2x t t2y2tt 20 ；NQ : 2x t1 t2 y 2t1t20 .由 1,0 在直线 MN 由1, 1在直线MQ 上tt11，即 t1（1）；t1上 2 t t2 2tt20 将（1）代入t1t2 2 t1 t 2 1 （2）将（ 2）代入NQ方程2x t1t2y 4 t1 t 2 2 0 ，易得直线NQ过定点 1, 43 ．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线 C : y2mx m 0 过点1,2 ，P是 C 上一点，斜率为1的直线 l 交 C 于不一样两点A, B（ l 可是P点），且PAB 的重心的纵坐标为2. 3（ 1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标；（ 2）记直线PA, PB的斜率分别为k1 , k2，求 k1k2的值.【答案】（1）方程为y24x ;其焦点坐标为1,0（ 2）k1k20【分析】试题剖析 ; （ 1）将1, 2代入 y2mx，得 m 4，可得抛物线 C 的方程及其焦点坐标；（ 2）设直线l的方程为y x b ，将它代入 y24x 得 x22（ b2） x b20 ，利用韦达定理，联合斜率公式以及PAB 的重心的纵坐标2k1 k2的值；，化简可3- 让每一个人同等地提高自我由于 PAB 的重心的纵坐标为2，3所以 y 1 y 2 y p 2 ，所以 y p2 ，所以 x p 1，所以 k 1 k 2y 1 2 y 2 2y 1 2 x 2 1 y 22 x 1 1x 1 1 x 2 1x 1 1 x 21，又y 12 x 2 1y 2 2 x 1 1x 1b 2x 2 1x 2 b 2 x 1 12x 1x 2 b 1 x 1 x 2 2 b 22b 22 b 1 b 2 2 b 2 0 .所以 k 1 k 20 .224．已知椭圆 C : x2y 21(a b0) 的短轴端点到右焦点 F 1，0 的距离为 2．ab（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）过点 F 的直线交椭圆C 于 A ，B 两点，交直线 l ：x 4于点 P ，若 PA1AF ，PB 2 BF ，求证：12 为定值．【答案】 (1)x 2 y 2 1 ;(2) 详看法析 .43- 让每一个人同等地提高自我【分析】试题剖析：（Ⅰ）利用椭圆的几何因素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，获得关于 x 或y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点 F 1,0，且斜率存在，设方程为y k x 1 ,将 x4代人得 P 点坐标为4,3k ，y k x1由{ x2y2，消元得 3 4k2x28k 2 x 4k 212 0，431x18k 2 x24k2设A x1, y1，B x2 , y20 且{3，则4k 2，12x1 x24k23方法一：由于PA1AF ，所以1PA x14. AF1x1同理2PB x24，且x14与x24异号，BF1x21x11x2所以12x1 4x24233 1 x1 1 x2 1 x1 1 x22 3 x1x22x1x21x1 x223 8k 268k 2128k234k 24k 20 .所以，12为定值0.当 x11x2时，同理可得 1 2 0 .所以，12为定值 0.同理PB my23my13与my23异号，2，且my1my2BF my2所以12my1 3 my2323 y1y2 my1my2my1 y236m0 .29m又当直线 AB 与 x 轴重合时，120 ，所以，1 2 为定值0 .【点睛】此题考察直线和椭圆的地点关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成对于x 或 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，由于直线 AB 过点F 1,0，在设方程时，常常设为x my 1 m 0 ，可减少议论该直线能否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学 2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线 C ：y24x ， F 为C的焦点，过 F 的直线l与C订交于 A, B 两点.（ 1）设l的斜率为1，求AB；（ 2）求证：OA OB 是一个定值.【答案】 (1)AB8 （2）看法析【分析】试题剖析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（ 2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数目积即可得出；（ 2）证明：设直线l 的方程为x ky 1，由{xky1得y24ky40 y24x∴ y1y24k ， y1 y24OA x1 , y1 , OB x2 , y2，∵OA OB x1x2y1 y2kx1 1 ky2 1 y1 y2，k2 y1 y2k y1y2 1 y1 y2，4k24k2143∴ OA OB 是一个定值.点睛：娴熟掌握直线与抛物线的订交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数目积是解题的要点，考察计算能力, 直线方程设成x ky1也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017 学年高一放学期期末】已知椭圆:x2y21(a 0,b 0) 的C a2b2离心率为6, 右焦点为 ( 2 ,0).(1) 求椭圆C的方程 ;(2) 若过原点作两条相互垂直的射线, 与椭圆3交于 A, B 两点,求证:点 O到直线 AB的距离为定值.【答案】 (1)x2y 2 1 ,(2)O 到直线AB的距离为定值 3 .32【分析】试题剖析：（ 1）依据焦点和离心率列方程解出a， b， c；（ 2）对于AB有无斜率进行议论，设出A， B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有⊥知12+12=12+(k x 1+ )(k x2+ )=(1+2)12+(1+ 2)=0代入,得42=3k2+3 原点到直线ABOA OB x x y y x x m m k x x k m x x m的距离 dm3，当 AB的斜率不存在时,x1y1,可得, x13d 依旧成立.所以点O 1k222- 让每一个人同等地提高自我到直线的距离为定值3.2点睛： 此题考察了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的地点关系，分类议论思想，对于这种题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018 学年高二x 2 y 2 10 月月考】已知双曲线2b 21 b a 0 渐近线方a 程为 y3x ， O 为坐标原点，点 M3,3 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知 P, Q 为双曲线上不一样两点，点O 在以 PQ 为直径的圆上，求11OP 22 的值．OQ【答案】（Ⅰ）x 2y 2 1；（Ⅱ）1 2 1 21 .26OP OQ3【分析】试题剖析： （ 1）依据渐近线方程获得设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（ 2）由条件可得OPOQ ，可设出直线 OP,OQ 的方程，代入双曲线方程求得点 P,Q 的坐标可求得 11 1 。

专题能力训练16 椭圆、双曲线、抛物线一、能力突破训练1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,∴c=.又∵该双曲线的渐近线与直线2x+y=0垂直,∴渐近线方程为y=x.∴=,即a=2b.∴a2=4b2.∴c2-b2=4b2.∴c2=5b2.∴5=5b2.∴b2=1.∴a2=c2-b2=5-1=4.故所求双曲线的方程为-y2=1.2.(2017全国Ⅰ,文5)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为()A. B. C. D.c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=,故选D.3.已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A. B. C. D.,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令P,设l:x=my-a,∴M,E.∴直线BM:y=-(x-a).又直线BM经过OE的中点,∴=,解得a=3c.∴e==,故选A.4.(2017天津,文5)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-y2=1D.x2-=1双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.5.已知点P为双曲线-=1右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为△PF1F2的内心.若=+8,则△MF1F2的面积为()A.2B.10C.8D.6R,a=4,b=3,c=5.∵=+8,∴(|PF1|-|PF2|)R=8,即aR=8,∴R=2.故=·2c·R=10.6.设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A,B两点,与双曲线的一个交点为P,设O为坐标原点.若=m+n(m,n∈R),且mn=,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.y=±x中令x=c,得A,B,在双曲线-=1中令x=c得P.当点P的坐标为时,由=m+n,得则由得或(舍去),∴=,∴=,∴e=.同理,当点P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.AB=3,则BC=2.设AB,CD的中点分别为M,N,如图,则在Rt△BMN中,MN=2,故BN===.由双曲线的定义可得2a=BN-BM=-=1,而2c=MN=2,所以双曲线的离心率e==2.8.已知直线l1:x-y+5=0和l2:x+4=0,抛物线C:y2=16x,P是C上一动点,则点P到l1与l2距离之和的最小值为.l1,l2和曲线C如图.P是C上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=d2,∴d1+d2=d1+|PF|,显然当PF⊥l1,即d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.∵|FM|=,∴所求最小值为.9.如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称, 故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.10.如图,动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜率之积为4,设动点M 的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设直线y=x+m(m>0)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范围.设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.于是x≠1,且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有·=4.整理,得4x2-y2-4=0.故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.①对于方程①,其判别式Δ=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而当1或-1为方程①的根时,m的值为-1或1.结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1.设Q,R的坐标分别为(x Q,y Q),(x R,y R),则x Q,x R为方程①的两根,因为|PQ|<|PR|,所以|x Q|<|x R|.因为x Q=,x R=,且Q,R在同一条直线上,所以===1+.此时>1,且≠2,所以1<1+<3,且1+≠,所以1<=<3,且=≠.综上所述,的取值范围是∪.11.设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.设F(c,0).由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),=.由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+=+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=.所以,直线l的斜率为-或.二、思维提升训练12.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B. C. D.,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,∴|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.∴a=2.不妨设M(0,b),则≥,∴b≥1.∴e==≤=.又0<e<1,∴0<e≤.故选A.13.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16xM的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+=5,则x0=5-.因为点F的坐标为,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)·+(y-y0)y=0.将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,解得y0=4.由=2px0,得16=2p,解得p=2或p=8.所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.14.(2017江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.双曲线的右准线方程为x==,两条渐近线方程为y=±x,得P,Q,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2×=2.15.(2017山东,文15)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.xx2=2py的焦点F,准线方程为y=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1++y2+=y1+y2+p=4|OF|=4·=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2==p,所以=.所以该双曲线的渐近线方程为y=±x.16.已知圆C:(x+1)2+y2=20,点B(1,0),点A是圆C上的动点,线段AB的垂直平分线与线段AC 交于点P.(1)求动点P的轨迹C1的方程;(2)设M,N为抛物线C2:y=x2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交曲线C1于P,Q两点,求△MPQ面积的最大值.由已知可得,点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以动点P的轨迹C1是一个椭圆,其中2a=2,2c=2.动点P的轨迹C1的方程为+=1.(2)设N(t,t2),则PQ的方程为y-t2=2t(x-t)⇒y=2tx-t2.联立方程组消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=×|x1-x2|=×,点M到PQ的高为h=,由S△MPQ=|PQ|h代入化简,得S△MPQ=≤×=,当且仅当t2=10时,S△MPQ可取最大值.17.已知动点C是椭圆Ω:+y2=1(a>1)上的任意一点,AB是圆G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),·的最大值是.(1)求椭圆Ω的方程.(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点F1,F2,过点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P,Q两点.在线段OF2上是否存在点M(m,0),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.设点C的坐标为(x,y),则+y2=1.连接CG,由=+,=+=-,又G(0,2),=(-x,2-y),可得·=-=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y∈[-1,1].因为a>1,所以当y=≤-1,即1<a≤3时,取y=-1,得·有最大值-(a-1)+4+a+=,与条件矛盾;当y=>-1,即a>3时,·的最大值是,由条件得=,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).综上所述,椭圆Ω的方程是+y2=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足+=1,+=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线PQ的方程为y-y0=-(x-x0).又右焦点F2的坐标是(2,0),将点F2的坐标代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因为直线l与x轴不垂直,所以2x0-=5>0,从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段PQ的垂直平分线必过点M,而线段PQ的垂直平分线方程是y-y0=(x-x0),将点M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,从而m∈.。

专题 椭圆、双曲线、抛物线2018年高考数学（文）备考易错题分析及针对训练1.【2017课标1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D2.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B.C. (1D. (1,2) 【答案】C【解析】由题意222222111c a e a a a +===+，因为1a >，所以21112a <+<，则1e << C. 3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．59【答案】B【解析】33e ==，选B ．4.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为【答案】C【解析】由题意得 与抛物线方程 联立解得 ，因此,所以M 到直线NF 的距离为 ,选C.5.【2017课标1，文12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A6.【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ==故选A.7.【2017天津，文5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213x y -=（D ）2213y x -=【答案】D8.【2017北京，文10】若双曲线221y x m-=m =__________．【答案】2【解析】221,a b m == ，所以c a ==，解得2m = . 9.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x = 【解析】42A B A B AF BF OF y y p p y y p ∴+=∴++=⇒+=由抛物线方程与双曲线方程联立得222222210A B y py pb y y p a b a a -+-=∴+==⇒=因此该双曲线的渐近线方程为y x = 10.【2017课标3，文14】双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a = . 【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =. 名师点津易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) (2)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B ＝________.答案 (1)D (2)54【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 227＝1 B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1 D.y 224－x 212＝1 (2)抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和为8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 (1)B (2)3【名师点睛】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．易错起源2、圆锥曲线的几何性质例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x 答案 (1)3－1 (2)C解析 (1)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt△MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1.【变式探究】(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.33(2)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 (1)D (2)A解析 (1)因为PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°， 所以|PF 2|＝2c ²tan30°＝233c ，|PF 1|＝433c .又|PF 1|＋|PF 2|＝633c ＝2a ，所以c a ＝13＝33，即椭圆C 的离心率为33. (2)由题作出图象如图所示．由x 2a2－y 2b2＝1可知A (a,0)，F (c,0)．易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a，∴k CD ＝a a －cb 2. ∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a a －c，∴k BD ＝－a a －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb 2(x －c )，【名师点睛】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 【锦囊妙计，战胜自我】1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－ b a2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝1＋ b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．易错起源3、直线与圆锥曲线例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．(2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2，又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2 1＋k 21＋2k2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且|AB |＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2＝ 1＋k 2x 2－x 1 2＝22 1＋k 21＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2 ，从而|PC |＝2 3k 2＋1 1＋k2|k | 1＋2k 2. 因为|PC |＝2|AB |，所以2 3k 2＋1 1＋k 2|k | 1＋2k 2 ＝42 1＋k 21＋2k 2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【变式探究】(1)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A ．[－12，12]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4](2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是________． 答案 (1)C (2)[38，34](2)由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称，设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)，则有x 214＋y 213＝1，x 204＋y 203＝1，即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)，【名师点睛】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 【锦囊妙计，战胜自我】判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．针对训练1．已知k <4，则曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 24－k ＝1有( )A ．相同的准线B ．相同的焦点C ．相同的离心率D ．相同的长轴 解析：∵k <4，∴曲线x 29＋y 24＝1和x 29－k ＋y 24－k ＝1都是椭圆．又9－4＝9－k －(4－k )，∴两曲线的半焦距相等，故两个椭圆有相同的焦点． 答案：B2．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25 B.45 C.255 D.455解析：双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.答案：C3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝4 B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝24．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x解析：双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .答案：B5．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7 D.56或76．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A (x 1，x 1)、B (x 2，－x 2)，∴AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2，即x 1x 2＝2，∴S △AOB ＝12|OA |²|OB |＝12|2x 1|²|2x 2|＝x 1x 2＝2，故选C. 答案：C7．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，138．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( ) A.22 B.32C.2－12D.3－1答案 D解析 如图所示，设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限，由已知得直线OA 的斜率为k ＝tan60°＝3，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c .∵点A 在椭圆上，∴c 24a 2＋34c 2b2＝1，即c 24a 2＋3c 24b2＝1. ∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，又∵b 2＝a 2－c 2，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23， 又∵e ∈(0,1)，∴e ＝3－1.故选D.9．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞0)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1 D ．m ＜n 且e 1e 2＜1答案 A解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21²e 22＝m 2－1m 2²n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2²n 2＋1n2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1²e 2＞1. 10．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A.1633 B ．5 3 C.1433D ．4 311．设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，|MF |的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A (4,1)，则|PA |＋|PF |的最小值为( ) A ．4＋32B ．7C ．4＋2 3D ．1012．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．3答案 A解析 ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的坐标为(2,0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝4.①∵P 是两曲线的一个交点，且|PF |＝5， ∴x p ＋2＝5，∴x p ＝3，∴y 2p ＝24.∵P (x p ，y p )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴9a 2－24b2＝1.②联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b2＝1， 解得a 2＝1，b 2＝3.∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴点F (2,0)到渐近线的距离为 3.13．已知点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________． 答案 x 2－y 23＝1解析 ∵点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴16＝4p ，解得p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.又抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，∴c ＝2，又e ＝ca＝2，∴a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 14．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________．答案x 225＋y 216＝115．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB的面积为________． 答案 53解析 由已知得直线方程为y ＝2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，4x 2＋5y 2－20＝0，得3y 2＋2y －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－23，y 1y 2＝－83，∴|y 1－y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2＝49＋323＝103， ∴S △AOB ＝12³1³103＝53.16．已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →²OB →的取值范围．解 (1)由双曲线y 22－x 2＝1得其焦点为(0，±3)，∴b ＝ 3.又由e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，∴y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4) ＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2，∴OA →²OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)²64k 2－124k 2＋3－4k 2²32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3. ∵0≤k 2<14，∴－29≤－874k 2＋3<－874，∴OA →²OB →∈[－4，134)．故OA →²OB →的取值范围为[－4，134)．17.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(2)解 已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，tan ∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2， 又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2.因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan45°＝1，又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1，由m ＝2得T (－1,2)，由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3，所以N (3,2)．18．如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A 、B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程； (2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．解析：(1)由已知得抛物线的焦点为F (1,0)．因为线段AB 的中点在直线y ＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x22，y 0＝y 1＋y22.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4. 又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.19．已知椭圆与抛物线y 2＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)过点P (0,1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →，求△AOB 的面积．解析：(1)依题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可得c ＝2，又e ＝ca ＝22，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2 y 2－1.设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1²x 2＝－22k 2＋1. 将x 1＝－2x 2代入上式可得，(4k 2k 2＋1)2＝12k 2＋1， 解得k 2＝114.∴△AOB 的面积S ＝12|OP |²|x 1－x 2|＝ x 1＋x 2 2－4x 1x 22＝12²28k 2＋22k 2＋1＝3148. 20．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，O 为坐标原点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →²OB →>2，求k 的取值范围．(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点， 得⎩⎨⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝ －62k 2＋36 1－3k 2 ＝36 1－k 2 >0，∴k 2<1且k 2≠13.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1.。

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．（汇编陕西文数）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（）（A）12（B）1（C）2 （D）4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题2．已知121(0,0),m nm n+=>>当mn取得最小值时，直线22y x=-+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲3．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错 评卷人得分三、解答题4．已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程；（II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程； （III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．5．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在直线4y x =+上，半径为22的圆C 经过坐标原点O ，椭圆()222109x y a a +=>与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

(ⅰ）求圆C 的方程；(ⅱ）若F 为椭圆的右焦点，点P 在圆C 上，且满足4PF =，求点P 的坐标。

6．有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为ABOM P Qyxll 1200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A ．B.(1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积7．已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （汇编全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y x y x x x R R由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即xyy P 12= ③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.图8—25①③将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程（x －1）2+322y =1（x ＞0）.所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．C 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2＝2px （p >0）的准线方程为2p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，所以2,423==+p p法二：作图可知，抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切与点（-1,0） 所以2,12=-=-p p第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．23．由消去，得．故当，即当时，两曲线有且只有两个不同的公共点．分析：当时，圆的方程为，它与抛物线的公共点的个数为三个（如图1），而不是两个．，仅是其横坐标有两个不同的解的充要条件，而不是有两个公共点的解析：由222212210y x x y ax a ⎧=⎪⎨⎪+-+-=⎩，消去y ，得2212102x a x a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭． 故当22124(1)02a a ⎛⎫∆=---> ⎪⎝⎭，即当178a <时，两曲线有且只有两个不同的公共点．分析：当1a =时，圆的方程为22(1)1x y -+=，它与抛物线的公共点的个数为三个（如图1），而不是两个． 0∆>，仅是其横坐标有两个不同的解的充要条件，而不是有两个公共点的充要条件．正两曲线有且只有两个不同的公共点的充要条件是方程2212102x a x a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭有两个相等的正根或者有一个正根，一个负根，即22124(1)021202a a a ⎧⎛⎫∆=---=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪--> ⎪⎪⎝⎭⎩，，或222124(1)0210a a a ⎧⎛⎫∆=--->⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-<⎩，， 解得178a =或11a -<<． 综上可知，当178a =或11a -<<时，抛物线与圆有且只有两个不同的公共点．说明：“有且只有”、“当且仅当”等用语，都是指既有充分性，又有必要性． 评卷人得分三、解答题4．（I ）PQ 为圆周的1,.42POQ π∴∠= O ∴点到直线1l 的距离为2.2 设1l 的方程为22|2|21(2),,.271k y k x k k =+∴=∴=+ 1l ∴的方程为7(2).7y x =±+ （II ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则22.a c=椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，则1a =或 1.b =当1a =时，22213,,24c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=；当1b =时，222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+= ∴所求椭圆方程为22 1.2x y +=（III ）设切点为N ，则由题意得，椭圆方程为221,2x y +=在Rt MON ∆中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠=，2l ∴的方程为3(2)3y x =+，代入椭圆2212x y +=中，整理得25820.x x ++=设1122(,),(,)C x y D x y ，则121282,.55x x x x +=-=21212146484(1)[()4]() 2.332555CD x x x x ∴=++-=-=5．解：（1）由已知可设圆心坐标为(),4t t +，()2248t t ++=得2t =-，所以圆心坐标为()2,2-，所以圆的方程为()()22228x x ++-=………………………………6'(2）设(),P m n ，由已知得()4,0F ，则()()224016m n -+-=，………………8'()()22228m n ++-=……………………………10'解之得：4050125m m n n ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或 ……………………………………………14' 6．解：（1）设M 14),,(),(),)(,334(11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13311=+ty x ①……………………3分 同理可得13322=+ty x ②…………………………5分 由①②知AB 的方程为)1(3,133ty x ty x -==+即............6分 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3） (8)分(2）把AB 的方程0167,14)1(322=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+⋅+=AB ……………………12分 又M 到AB 的距离33231|334|=+=d ∴△ABM 的面积21316||21=⋅⋅=d AB S ……………………15分 7．。

2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线真题演练集训 理 新人教A 版1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程x 2m ＋n －y 23m －n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案：A解析：由题意，得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.2．[2016·天津卷]已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2答案：A解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a2，所以y ＝±b 2a.因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a2c＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24， 所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 4．[2016·浙江卷]已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案：A解析：由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A. 5．[2016·北京卷]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a ＝________. 答案：2解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.6．[2016·山东卷]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案：2解析： 如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2， 故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.课外拓展阅读 求双曲线离心率的易错点[典例] [2016·天津模拟]已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的一条渐近线方程为y ＝±43x ，则该双曲线的离心率为________．[易错分析] (1)未考虑m ，n 的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况； (2)易将ba弄错，从而导致失分． [解析] 当m >0，n >0时， 则有n m ＝43，所以n m ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋169＝53；当m <0，n <0时， 则有m n ＝43，所以m n ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋916＝54， 综上可知，该双曲线的离心率为53或54.[答案] 53或54温馨提醒(1)对于方程x 2m －y 2n＝1表示的曲线一定要视m ，n 的不同取值进行讨论，m ，n 的取值不同表示的曲线就不同．(2)对于双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的焦点位置不同，则ba的值就不一样，一定要注意区分．。

专题8.2 椭圆 双曲线 抛物线（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3，且离心率为2，则它的焦距为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】考点：双曲线的性质.2. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，()0F -，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255y x +=B ．2213010y x += C ．213616y x 2+= D ．2214525y x += 【答案】C【解析】试题分析：设'F 为椭圆的右焦点，由余弦定理，532cos 222=⋅-+=∠OF OP PF OF OP POF ，则8)c o s ('2''22=∠-⋅-+=P O F OF OP OF OP PF π，由椭圆定义，12842=+=a ，所以6=a ，又52=c ，所以162=b ．考点：余弦定理、椭圆的定义．3. 抛物线的准线方程是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】考点：求抛物线的准线方程．4. 已知椭圆2214x y +=的两个焦点为12,F F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 的值为（ ）A ．72D ．4 【答案】C ．【解析】试题分析：∵P 是椭圆上的点，∴12||||24PF PF a +==，又∵1PF x ⊥轴，∴211||2b PF a ==， ∴217||422PF =-=，故选C ． 考点：椭圆的标准方程及其性质．5. 【2018黑龙江齐齐哈尔一模】若抛物线24x y =上的点(),P m n 到其焦点的距离为5，则n =（ ） A. 194 B. 92C. 3D. 4 【答案】D【解析】抛物线24x y =的准线方程为y 1=-根据抛物线定义可知：5=n+1,即n=4故选：D6. 已知双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点分别是1F ，2F ，正三角形12AF F 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A 1+ BC ．13+ D ．13 【答案】D【解析】考点：1.平面向量的运算；2.余弦定理；3.双曲线的几何性质.【方法点睛】本题主要考查的是双曲线的几何性质，向量知识的运用，计算能力，属于中档题，分析题目可知，求出A F ,1的坐标，设B 的坐标，根据114AF BF =可得到B 的坐标，再将其代入到双曲线方程中，即可得到一个关于离心率e 的一元四次方程，用换元法即可求出离心率e 的值，因此解此类题目，正确的运用向量的坐标关系是解决此类问题的关键.7. 与双曲线2214y x -=有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线方程为（ ） A ．22128x y -= B ．221312x y -= C ．221312y x -= D ．22128y x -= 【答案】B【解析】 试题分析：设双曲线方程为22;4y x k -=双曲线过点（2，2），则2222,3;4k k -=∴=所以方程是：221312x y -=，故选B考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的性质．8. 【2018河南中原名校联考】椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点是1F ， 2F ，若P 为其上一点，且125PF PF =，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】122PF PF a +=， 125PF PF =，则125,33a a PF PF ==，则1212PF PF F F -≤， 423a c ≤， 23e ≥，又1e <，椭圆离心率的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，选C. 9. 设圆()22125x y ++=的圆心为C ，A （1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为 （ ） A 、224412521x y += B 、224412125x y += C 、224412521x y -= D 、224412125x y -= 【答案】A【解析】考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程．10. 已知椭圆的两个焦点为1(F ，2F ，P 是此椭圆上的一点，且12PF PF ⊥，12||||2PF PF ⋅=，则该椭圆的方程是（ ）A ．1622=+y xB ．1422=+y xC ．1622=+y xD ．1422=+y x【答案】A【解析】试题分析：因为12PF PF ⊥，所以20F F PF PF 2212221==+，又因12||||2PF PF ⋅=，所以12||+||PF PF =，16==∴b a ,．故椭圆方程为1622=+y x ．选A ． 考点：椭圆基本量运算求椭圆方程．11. 设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若160F PQ ∠=︒，1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．23CD【答案】D【解析】考点：1．椭圆定义；2．椭圆方程及性质12. 【2018华大新高考联盟联考】已知抛物线2:4C y x =，点()()2,0,4,0,D E M 是抛物线C 异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接,MD ND 并分别延长交拋物线C 于点,P Q ，连接PQ ，若直线,MN PQ 的斜率存在且分别为12,k k ，则21k k =（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】设()()()()11223344M ,,N ,,P ,,Q ,x y x y x y x y ，则直线MD 的方程为112y 2x x y -=+代入抛物线2:4C y x =，整理得2114(2)y 80x y y ---=，所以138y y =-,即318y y =-， 从而32116x y =,故211168P ,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得222168Q ,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为,,M E N 三点共线，所以121244y y x x =--，从而1216y y =-. 所以2122122218881616y y k y y y y -+==+-， 2121122122121444y y y y k y y x x y y --===-+-. 所以122k k =. 故选C.二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2,0是双曲线2221y x b -=（0b >）的一个焦点，则b = ．14. 已知M 为抛物线28y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若120MFO ∠=︒，(2,0)N -（O 为坐标原点），则△MNF 的面积为 ．【答案】【解析】试题分析：由题意得tan600MF M k y ==>o ，由抛物线定义得22,26,2M M M M M x MF x x x y +=+∴+=⇒==142MNF S ∆=⨯= 考点：抛物线定义。

高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内．3．若抛物线212y x =与圆222210x y ax a +-+-=有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为___错 评卷人得分三、解答题4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【汇编高考真题湖南理21】（本小题满分13分）5．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过点(m ,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．Oxy6．设椭圆)22(18:222>=+a y ax M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q 是椭圆短轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;（II ）设A,B 是圆与()12:22=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，求PA PB ⋅的最大值.（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任一条直径，求证00P E P F ⋅为定值。

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测

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2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得分
一、选择题

1．
1 ．（汇编年高考湖北卷（文））已知π04,则双曲线1C:22221sincosxy与
2
C
:22221cossinyx的 （ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
2．(汇编宁夏理)已知点P在抛物线24yx上，那么点P到点(21)Q，的距离与点P到抛
物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）

A．114， B．114， C．(12)， D．(12)，

3．(汇编重庆理)若动点（yx,）在曲线)0(14222bbyx上变化，则yx22的最大值
为 （ ）

十、圆、椭圆、抛物线的最值、范围、定值、定点一、选择题1．【2017年云南省第二次统一检测】已知2,2a b >>，直线()()22111x y -+-=只有一个公共点 ，则ab 的取值范围为（ ）【答案】C【解析】直线化简为：0bx ay ab +-= ，圆心()1,1到直线的距离为，整理为： ()()2222220a b ab a b ab ab a b +-=+⇔+--= ，即2220ab a b +--= ，，，所以2420t t -+≥，（舍），解得：，故选C.2．【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A. (]0,3B. []1,3C. []2,3D.[]1,2 【答案】B3．设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是 （ ）【答案】D点睛：与圆有关的最值或值域问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(),x y 有关代数式的最值的常见类型及解法．可转化为过点(),a b 和点(),x y 的直线的斜率的最值问题；②形如t ax by =+型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如()()22x a y b -+-型的最值问题，可转化为动点到定点(),a b 的距离平方的最值问题．4．【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下适应性月考卷七】已知直线()():21440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ： 222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1m ≤或2m ≥B. 28m ≤≤C. 210m -≤≤D. 2m ≤-或8m ≥ 【答案】C 【解析】如图，设切点分别为A ，B ．连接AC ，BC ，MC ，由90AMB MAC MBC ∠=∠=∠=︒及MA MB=知，四边形MACB 为正方形，故l 上总存在点M 使得过点M 的两条切线互相垂直，只需圆心()12-，到直线l 的距离28200m m --≤，∴210m -≤≤，故选C ．5．若方程的任意一组解都满足不等式，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D6．【2017的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）【答案】A【解析】设()()(),0,0,,,0F c A b B a -，且FAB ∆的外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()(),0,0,,,0F c A b B a -分别代入可得，由0m n +<可得，所以0b c -<，即应选答案A.7．【2017届山西省实验中学高三下模拟】已知圆C 的方程为()()223416x y -+-=，过直线l ： 6850x y a +-=（0a >）上的任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为直线l 在y 轴上的截距为（ ） A. 252-B. 252C. 554-D. 554【答案】D【解析】如图,由()()223416x y -+-=,得圆心坐标为(3,4)，要使切线长最小,即圆心到直线l: 6850x y a +-= (a>0)的距离最小，8．【2017届重庆市巴蜀中学高三三诊】设A 是双曲线(),0F c 是右焦点，若抛物线的准线l 上存在一点P ，使30APF ∠= ，则双曲线的离心率的范围是（ ）A. [)2,+∞B. (]1,2C. (]1,3D. [)3,+∞ 【答案】A正好是双曲的右准线.由于AF= c a -,所以AF 弦,圆心半径R c a =-圆上任取一点P, 30APF ∠=,现在转化为圆与准线相交问题.解得2e ≥.填A. 9．【2017年湖南省考前演练卷三】中心为原点O 的椭圆焦点在x 轴上， A 为该椭圆右顶点，P 为椭圆上一点， 090OPA ∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 （ ）【答案】B10．【2018届广西钦州市高三上第一次检测】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】解得：k 2x 2+（2k 2﹣4）x+k 2=0，所以△=（2k 2﹣4）2﹣4k 4=0，解得k=±1， 所以∠NPA=45°， =cos∠NPA=． 故选B ．11．【2017届河北省石家庄市高三二模】已知动点P 在椭圆上，若点A 的坐标为()3,0，点M 满足 0PM AM ⋅= ，则 ）D. 3 【答案】C 【解析】结合图形知，当P 点为椭圆的右顶点时，取最小值633a c -=-=，故选：C ．12．【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】设O 为坐标原点， P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点， M 是线段PF 上的点，，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）【答案】AA. 二、填空题13．【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】直线与抛物线交于两不同点，.其中，，若，则直线恒过点的坐标是__________．【答案】【解析】设直线为则得,,直线为，恒过故答案为.14．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知椭圆的方程为椭圆中心的直线交椭圆于,A B 两点， 2F 是椭圆右焦点，则2ABF ∆的周长的最小值为__________， 2ABF ∆的面积的最大值为__________． 【答案】15．【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】设圆2212x y +=与抛物线24x y =相交于,A B 两点，F 为抛物线的焦点，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为1234,,,P P P P ，则__________ ，若直线m 与抛物线相交于,M N 两点，且与圆相切，切点D 在劣弧AB 上，则__________.【答案】【解析】如图所示，联立圆与抛物线的方程可得交点坐标为：∵点F 坐标为(0,1),∴k FB ∴k l >k FB ， 所以直线l 与圆交于P 1、P 3两点,与抛物线交于P 2、P 4两点， 设()()()()111222333444,,,,,,,P x y P x y P x y P x y把直线l 方程：y=x+1代入x 2=4y,得x 2−4x −4=0,∴x 2+x 4=4； 把直线l 方程：y=x+1代入x 2+y 2=12,得2x 2+2x −11=0,∴x 1+x 3=−1∵直线m与该圆相切,又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1，∴分别过A. B∴k∈],∴0⩽k2⩽2,∵b>0,∴b∈所以|MF|+|NF|16．【2018届河南省中原名校高三上第一次联考】如图，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（－4，0）、F2（4，0）、E1（0，－4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y＝x、y＝－x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为________________．【答案】②③故答案为：②③．三、解答题17．【2018届南宁市高三摸底】已知抛物线上一点到焦点的距离为. （l）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。

2019-2020年高中数学专题05探索离心率问题特色训练新人教A 版选修一、选择题1．【山西实验中学、南海桂城中学xx 届高三上学期联考】已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（ ）A . 相交B . 相切C . 相离D . 不确定【答案】C【解析】因为一条渐近线方程为，又离心率为，所以，所以渐近线方程为，由知圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故选C .2．【黑龙江省哈尔滨市第六中学xx 学年高二上学期期中考】过双曲线右焦点作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心率的取值范围是A .B .C .D .【答案】B3．【天津市耀华中学xx 届高三第一次月考】已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离线率为 （ ）A .B .C .D .【答案】D【解析】由题意得222435a a e +=⇒=∴== ,选D . 4．【山西省山大附中等晋豫名校xx 届高三第四次调研诊断考试】已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上， ， ，则椭圆的离心率（ ）A .B .C .D .【答案】C5．设、分别为双曲线（， ）的左、右焦点， 为双曲线右支上任一点．若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）．A .B .C .D .【答案】B【解析】由定义知： 12122,2PF PF a PF a PF -=∴=+()2222122222448a PF PF a a PF a PF PF PF +∴==++≥ 当且仅当，设时取得等号，2 2PF c a c a a ≥-∴-≤ 即又双曲线的离心率, 故答案选点睛：根据双曲线的定义给出的数量关系，再依据条件结合基本不等式求得最小值时的取值，确定限制条件求得离心率，注意双曲线的离心率大于1.6．【北京市西城育才中学xx 学年高二上期中】椭圆的一个焦点与抛物线焦点重合，则椭圆的离心率是（ ）．A .B .C .D .【答案】C点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7．【河南省商丘市第一高级中学xx 学年高二10月月考】是双曲线的左、右焦点，过的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A .B .C .D .【答案】B【解析】为等边三角形，不妨设为双曲线上一点， 12112F A F A F A AB F B a -=-== 为双曲线上一点, 212122,4,2BF BF a BF a F F c -=== 由21260,120ABF F BF ∠=︒∴∠=︒ 在中运用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+-⨯⨯⨯︒,故答案选点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。

“椭圆、双曲线、抛物线”双基过关检测一、选择题1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝8x 2C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选D 设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知1＋p 2＝3，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .2．(2017·济南第一中学检测)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫116，0B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫0，116 D ．(0,1)解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝14y ，则p ＝18，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，116. 3．(2017·贵州七校联考)已知双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m 的值是( )A ．4B ．－14 C.14 D ．－4解析：选B 由双曲线的方程知a ＝1，b ＝ －1m ， 又b ＝2a ，所以 －1m ＝2，解得m ＝－14，故选B. 4．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( ) A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选B 由左焦点为F 1(－4,0)知c ＝4.又a ＝5，∴25－m 2＝16，解得m ＝3或－3.又m ＞0，故m ＝3.5．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选B 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A. 7．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则a b ＝( ) A.32 B.233C.932D.2327 解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，结合题意，由点差法得，y 2－y 1x 2－x 1＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·x 0y 0＝－a b ·23＝－1，∴a b ＝32. 8．已知双曲线x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.()－3，3 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.[]－3，3解析：选C 由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.二、填空题9．(2016·北京高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________，b ＝________.解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，即y ＝－2x ， 所以b a ＝2.①又双曲线的一个焦点为(5，0)，所以a 2＋b 2＝5.②由①②得a ＝1，b ＝2.答案：1 210．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b 2a，|BC |＝2c . 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：211．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x ＞0，所以x ＝152， ∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 12．(2017·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－1三、解答题13．(2017·揭阳一中期末)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程． 解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意；②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2. 所以y 1y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2. 因为OM ⊥ON ，所以OM ―→·ON ―→＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－21＋2k 2＝0， 所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．14.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 因为|AF |＝3，即2＋p 2＝3，解得p ＝2， 所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎨⎧ y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12， 从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223， k GB ＝－2－012－(－1)＝－223， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．。

高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编江苏)抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1617B ．1615C ．87D ．02．（汇编江西理）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( ) A ．22B ．33C ．12D ．13【解析】因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a=从而可得33c e a ==，故选B3． （汇编年高考福建卷）已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是（ ） A ．21 B ．23 C ．27 D ．54． （汇编）过双曲线1:222=-by x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是（ ）A ． 10B ．5C ．310 D ．25 5．（汇编福建理6）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=6．（汇编湖南卷文）抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0） 【解析】由28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，故选B.7．（汇编浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）D A ．32 B ．22 C ．13 D ．128．（汇编福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ．B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A A ．33 B ．32 C ．22 D ．239．若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 是第一象限内双曲线上的点。