行列式的计算方法

参考文献 ［１】武汉大学数学系数学专业编．线性代数．北京：高
等教育出版社 ［２］北京大学数学力学系几何与代数教研室代数小
组编．高等代数．北京：人民教育出版社 ［３］同济大学数学教研室编．线性代数．北京：高等教
育出版社 ［４］彭玉芳、尹福源．线性代数．北京：高等教育出版
社
１ 万４ 方数据
行列式的计算方法
例２ 在平面上，以点 Ｍｉ（ｚ；一ｚ，，ｚｉ—ｚｉ），Ｍｊ（爰一Ｘ２，ｚ；一ｚｉ），
Ｍ３（叠一Ｘ３，蠢一ｚ；）为顶点的三角形面积Ｓ＝Ｉ
Ｄ
其中
Ｘ；一ｚ｝ ｚ；一Ｘｌ １
Ｕ ｒ、 ２
１ ｉ
Ｘｉ—ｚｉ
Ｘｉ—ｚ２
１
ｚｉ—ｘｌ Ｘ；一ｚ３ １
１
１
１
１
ｚ１（ｚ１—１） 恕（勉一１） 奶（奶一１）
一２
砖（ｚ１—１） 谚（恐一１） 霹（ｘ３—１）
口４Ｐ“ ６４Ｐｋ Ｃ４Ｐ“ ｄ４ｅｄ．ｚ
１
口 口２
口３
１ ｂ ６２ ６３
＝Ｐ“＋缸＋“＋如
１
ｃ
ｃ２
ｃ３
从（４）式得
１ ｄ ｄ２ ｄ３
１
ａ
口２
ａ３
１ ｂ ６２ ６３
，（ｚ）＝Ｐ“恤＋“十如
１
Ｃ
ｃ２
ｃ３
１ ｄ ｄ２ 矗３
＝ｅａ．ｚ＋ｈ＋“＋ｄ．ｚ（ａ—ｂ）（口一ｃ）（口
一ｄ）（ｂ—Ｃ）（ｂ—ｄ）（ｃ—ｄ）
在概述泛灰数的概念与泛灰行列式运算的基础上,介绍了泛灰线性方法程组的泛灰解法.由于泛灰行列式运算复杂,根据泛灰的性质,提出了泛灰线性 方程组的白化解法.理论证明这种求解方法的正确性.并给出了算例.
有时为了便于计算行列式，特意把行列 式加边升阶进行计算，这种方法称之为加边 升阶法。它的一般方法是：
口ｕ
口他
口ｎ
●● ●
４ｈ
口扎
口娩
口∞
●●●
口ｈ
Ｄ＝ 口 姐
口强
口∞
●●●
口孙
¨ ．
¨ ．
¨ ．
●●●
¨ ．
口订
口砣
口以
●●●
口彻
１
０
Ｏ
０
６ｌ
ａ１１口１２
ｂ２
ａ２１ ａ２２
口ｈ 口孙
¨ ．
（１）
巩ａｎｌ ａｎ２
Ｉ—Ｇｑ一１）＋ｚｌ—Ｇ乏一１）＋娩 一ｃ２．３—１）＋巧
＝丢ｌ筇矿１） 如一１） 《奶一１）
ｍ，一１） 锄一１） 承扔一１）
解 第１行拆为
１１ １
Ｄ一丢（ｚ。－１）（叠：＿１）（ｚ。－１）ｌ ｚ１ ｚｚ ｚ３｝ 旧ｚｉ ｚ；ｆ
１
１
１
＋丢ｚ。娩奶ｌ ｚ－一－
忱一－
奶一１
【ｚｌ（以一１）勉（娩一１）Ｘ３（劫一Ｄ
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
王娟 襄樊学院数学系,湖北,襄樊,441000
高等函授学报（自然科学版） JOURNAL OF HIGHER CORRESPONDENCE EDUCATION(NATURAL SCIENCES) 2002，15(3) 0次
参考文献(4条) 1.武汉大学数学系数学专业 线性代数 2.北京大学数学系几何与代数教研室室代数小组 高等代数 3.同济大学数学救研室 线性代数 4.彭玉芳.尹福源 线性代数
对上式厂（ｚ）求导 厂（ｚ）＝（口＋ｂ＋ｃ＋ｄ）ｅａ，ｚ＋ｈａ：＋“＋ｄ．ｚ ·（ａ—ｂ）（ａ—ｃ）（ａ—ｄ）（ｂ—
Ｃ）（ｂ—ｄ）（Ｃ—ｄ）
比较厂（２）的两个式子，得 Ｄ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）（ａ—ｂ）（口一Ｃ）（口
一ｄ）（ｂ—ｃ）（ｂ—ｄ）（Ｃ—ｄ） 这是一个通过问题的转化获得问题解答
的方法，它虽然是一个比较不易掌握的方法， 但对于一些计算复杂的行列式，这种辅助方 法可以简化过程，避免复杂的计算。
第１５卷第３期 ２００２年６月
高等函授学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）
Ｖｄ．１５ Ｎｏ．３ Ｊｕｎｅ ２００２
文章编号：１００６—７３５３（２００２）０３—００１１（０４）一０４
行列式的计算方法’
Ｖ０１．１５ Ｎｏ．３ Ｊｕｎｅ ２００２
知Ａ＝１，于是得出行列式Ｄ的值为：
Ｄ＝ｚ２ｙ２。
１
口
口２
口４
１ ｂ ｂ２ ｂ４
例８ 行列式Ｄ＝
１ｃ
ｃ２
ｃ４
解法１ 性方程组
Ｚ＋
１ ｄ ｄ２ ｄ４
设ｚ、扑ｚ、Ｈ为未知量，考察线
＋
Ｚ＋
让＝
ｚ＋
＋
Ｚ＋
乱 Ｉｌ
ｚ＋
＋
ｒ卜
＝ 酽小“
（３）
＾如＆成 ＾如＾如 ，●、●，【 ｚ ＋ 缈ｂ掣出 ＋
Ｖ０１．１５ Ｎｏ．３ Ｊｕｎｅ ２００２
ｃ：一２ １
１
＝——３ １
０
＝３ ｊ臻１ ｌ＝３
１
０ 碟碟ｃ ＿。。
这种升阶法只适应特殊结构的行列式，
其关键是公式（１）中ｂ１，ｂ２，…，ｂ。的选取，要 使得加边升阶后的行列式便于计算。 ２ 拆项法
这是计算行列式常用的方法。一般地，当 行列式的一列（行）或一列（行）以上的元素 能有规律地表示为两项或多项和的形式，就 可以考虑用拆为和的方法来进行计算。
换，所以有ｆ（一ｚ，了）＝ｆ（ｚ，ｙ），即ｆ（ｚ，Ｙ） 为ｚ的偶数，从而有ｚ２／，（ｚ，ｙ）。再由ｚ与Ｙ
的对称性，有ｙ２／，（ｚ，Ｙ），而ｆ（ｘ，Ｙ）的最高 次数是４，故ｆ（ｘ，Ｙ）＝Ａｚ２Ｙ２。比较系数可
】３
第１５卷第３期 ２００２年６月
高等函授学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｔｔｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）
第１列乘（一１）加到第２列，第１列加到
第３列，又由于Ｃ：十１＝Ｃ二＋Ｃ公１得
１
一
Ｃ
Ｃ
Ｄ＝
一
（
Ｃ
０
。曝艮暖艮 １暖：ＰＤ：暖”吨咆：时
十
Ｃ
Ｃ
１％殴‰‰ ＣＯ，ｒ吧“，什，卅 ＣＯ。时。时。时。卅
第４列乘以（一１）加到第３列，第２列乘
以（一１）加到第５列，并按第３列展开得
ｃ：一２ ｃ：一２ ｃ：一１ ３
：一丢（ｚ。一１）（ｚ２—１）（ｚ３—１）．
（Ｘ３一Ｘ２）（ｚ３一ｚ１）（Ｘ２一ｚ１）
万方数据
１ １ １｝
ｚ。ｚ：ｚ。Ｉ ＋ｉ１
ｚ１
Ｘ２ ｚ３
Ｘ；ｚｉ ｚ；ｆ
＝寺（ｚ３一ｚ２）（Ｘ３一ｚＩ）（ｚ２一ｚ１）·
［ｚｌｚ２２３一（ｚ１—１）（ｚ２—１）（Ｘ３—１）］ ３ 连加法
若行列式中某列（行）加上其余乘上某 因子的各列（行），使该列（行）元素均相等或 出现较多零，从而简化行列式计算的方法称 为连加法。
王娟
（襄樊学院数学系 澳北襄樊４４１０００）
摘要：本文主要讨论行列式计算的辅助方法，即加边法、拆项法、连加法、柬积法、对 称法、辅助法。并举例加以说明，对读者灵活运用辅助方法颇有启发性。
关键词：线性方程组；行列式；计算方法
中图分类号：Ｏ １５１．２２
文献标识码：Ａ
行列式产生于解线性方程组，然而其应 用现远远超出了解线性方程组的范围，成为 了许多学科相当重要的工具。大家熟知的行 列式的基本计算方法有：定义法、拉普拉斯展 开法、降价公式、三角形法、递推法、数学归纳 法等，下面介绍几种辅助的方法。 １ 加边法
即 Ｄ。一ａＤ。一１＝ｆｌ（Ｄ。一１一扣。一２）
由此递推，即得Ｄ。一ｕＤ。一１＝矿
因为Ｄ。中卢与口对称，又有
Ｄ。一ｐ。一１＝口”
当ａ≠卢时，从上两式中消去Ｄ。一１，得
Ｄ。＝（口“＋１一矿＋１）／（口一ｐ）
当口＝ｐ时，Ｄ。＝伊＋ｐ。一１＝矿＋
卢（旷一１＋犀Ｄ。一２）＝２矿＋卢２Ｄ。一２＝…＝（７ｚ
一１）矿＋旷～Ｄ１＝（咒一１）矿＋矿ｑ（口＋卢）
● ●
口
例３行列式Ｄ
●
●
●
●
口
～
●
●
ｚ
解 它的特点是各列元素之和都是Ｘ＋
（咒一１）ａ，先把第２行至第咒行元素同时加
到第１行，并提出公因式，得
１ １…１
口
Ｚ
…
口
Ｄ＝［ｚ＋（，ｌ一１）ａ］
Ｏ
０
７＝［ｚ＋（，ｚ一１）口］
ａ
０
… ｚ一口
＝［ｚ＋（扎一１）ａ］（Ｘ—ａ ｎ－Ｉ
４ 乘积法
根据拉普拉斯定理，所得行列式乘法运
口＂
任意选取ｂｌ，ｂ２，…６。。
例１ 行列式
ｃ：一１ ｃ：一２ ｃ：一ｌ ｃ：＋ｌ
ｃ： ｃ：一１ ｃ： ｃ：＋２
Ｄ＝
ｃ：＋１ ｃ： ｃ：＋ｌ ｃ：＋３
ｃ：＋２ ｃ：＋１ ｃ：＋２ ｃ：＋４
解 现将行列式Ｄ加边升阶得
Ｃ
Ｄ＝
Ｃ
】＾Ｚ
Ｃ ｛，
１暖：碟ｃ”暖：”叼ｈ：什
。弹殴艮咏
。艮 醴巴
０。，殴ｃ一醴哪“，时，时 Ｃ Ｏ。时。什，时。时 ｄ
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Ｃ ｑ－ｄ） 说明
例４亦可以将连加法与拆项法
结合使用，同样也较为简便。