行列式计算方法小结

b 0 0 0
n1
( 1) 0 0 0 a b 0 0 0 0 a n-1阶
n n1
b
a b 0 0 0 0 a b
n-1阶
a ( 1)
b
n
5. 各行(列)总和相等的行列式 (赶鸭子法) 例 计算行列式(P.20 a 换为y)
x Dn y y y x y y y y y
(1)
x2 a
x1
x2
x3
x4
a 3 x1
0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a
另
1 1 1
x2 x2 x2
x3 x3 a x3
x4 x4 x4 x4 a
D x1
1 x2 a x3
1 0 0 xi l1 li 1 a 0 i 2,3,4 x1 1 0 a 1 0
因此有：
Dn xDn 1 a0 x ( xDn 2 a1 ) a0
x 2 Dn 2 xa1 a0 x 2 xDn 3 a2 xa1 a0
x 3 Dn 3 x 2a2 xa1 a0
x
n 2
D2 x
n 3
即得＝1或＝3时D 0.
附录1. 递推公式法
特征：某行（列）至多有两个非零元素。
方法：按此行（列）展开，可能会导出递推公式。
形式（）：Dn pDn1 q 1
形式（）：Dn pDn1 qDn 2 2
例1(另见A26)
x 1 0 Dn 0 a0
0
按第一列展开 x
0 0
ห้องสมุดไป่ตู้
3.降阶法
利用性质，将某行(列)的元尽可能化为0，然后按行(列)展开.
n阶
n 1阶 2阶
此法灵活多变，易于操作，是最常用的手法。
*4. 递推公式法 (见附录1) *5、数学归纳法 (见附录2) *6. 加边法（升阶）(见附录3)
二、特征
. 阶数不算高的数字行列式，可化为三角形行 列式或结合展开定理计算.
0 0 1 x a n 1
1 a0 ( 1)
n1
x 1 0 0 a1 0 x a2 an 2
0 0 1 x a n 1
按第一行展开好，还 是按第一列展开好？
n-1阶
x 1 0 x 0 0 a1 0 x a2 an 2
0 0
0 0 0
0 a
另外：见P.21例6, P.41—18题
4. 某行（列）至多有两个非零元素的行列式，可 用降 阶法或定义或递推公式法或归纳法 例 P.43 25题是x,y
D a b 0 0 0 0 a b 0 0 0 0 0 a b b 0 0 0 a
n阶
按第一列展开
a b 0 0 0 0 a b 0 0 a
. 非零元素很少的行列式，可直接用定义或降阶法。 一些特殊行列式的计算（包括一些重要结果） 1. 奇数阶反对称行列式 的值为零。
两种重要行列式
加到P.17
D | aij | 为对称行列式
例
1 0 0 2 2 3 是对称行列式
aij a ji
2 3 4
D | aij | 为反对称行列式 aij －a ji (必有 aii 0) 0 1 2 1 0 3 例 是反对称行列式 2 3 0 0 1 2 1 0 3 不是反对称行列式 2 3 0

( xn1 xn2 )( xn xn2 )
y x y
y y y

y y x
*
[ x (n 1) y] 1 ( x y)
1 0 [ x ( n 1) y ] 0 n1
y x y 0
y 0 0

y 0 x y
[ x (n 1) y]( x y)n1
an 3 xa1 a0
D2=?
x 而 D2 an 2
1 x 2 xan1 an 2 x a n 1
于是得： Dn x n x n1an1 x n 2an 2 xa1 a0
解法2：从最后一列开始每列乘以x加到前一列，再按第一列展开。
6
范德蒙(Vandermonde)行列式（重要结果）
1 x1
T 1
1 1x 1 x2 x 2 2 Vn V x1 1 x 2 x n 1 n 1
n
2
x 11 x 11 xx 22 xx 2n1 3 n
2
n 1
3
2 2 xx 2 xx n1 3 n
2. “箭形”行列式 化成三角形行列式 例
a0 c1 Dn1 c2 cn
ci l i 1 l1 ai
b1 a1 0 0
b2 0 0
b1 a1 0 0
bn1 0 0 0
b2 0
bn 0 0 an
bn1 0 0 0 bn 0 0 an
a2
(ai 0, i 1,2, , n)

( xn1 xn2 )( xn xn2 )
( xn xn1 )
例
计算行列式 1 1 1 1 1 3 9 27 V 1 4 16 64 1 2 4 8
( x2 x1 )( x3 x1 )( x4 x1 ) ( x3 x2 )( x4 x2 ) ( x4 x 3 )
a0 0 0 0
ci bi i 1 a i
n
a2 0
(a0
ci bi )a1 a n i 1 a i
n
如:练习册P.2
6(2)题
3. 除对角线以外各行元素对应相同,可化成三角形行 列式或箭形行列式 可化箭形行列式 例
x1 b x2 x1 x1 x1 x2 x2 x3 x3 x3 a x3 x4 x4 x4 x4 a
主要内容 1.定义
D a11 a 21 a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn

j1 j2 jn
(1)
N ( j1 j2 jn )
a1 j a2 j anj
1 2
n
2.性质 5条 3.展开定理
D, ( i s ) ai 1 As1 ai 2 As 2 ain Asn 0, ( i s )
例
为何值时,D=0?
2r2 r3
2 3 2 D 1 8 2 2 14 3 2 3 ( 1) 1 8 0 2
2 3 2 1 8 2 0 2 2 1
2 2 ( 1)( 3) 2 1
Vn 0
练习册P.6：
x1，x2， xn互不相同 .
若某 xi x j Vn 0.
x1 2 x2 3 x3 4 x4 x
1 1 f ( x) 1 1
2 3 4 x
4 9 16 x2
8 27 2,3,4 0的根x ____ 64 x3
12张
7. 部分对角线上含参数的行列式 将一不含λ的非零元化成零，某行可能会 出现公因子，提公因子，可降次。


3
x1
1
x2
x
n x 3 1 2





3
1 j i n
( xi x j )
( n 2).
n
x
n

n x n 1 n 1

n
x
( x2 x1 )( x3 x1 )( x4 x1 )( xn1 x1 )( xn x1 ) ( x3 x2 )( x4 x2 )( xn1 x2 )( xn x2 ) ( x4 x3 )( xn1 x3 )( xn x3 )
解 V是 x1 1, x2 3, x3 4, x4 2 的范德蒙行列式， 故
1 1 V 1 1
1 1 1 ( 3 1)(4 1)( 2 1) 3 9 27 (4 3)( 2 3) 12 4 16 64 ( 2 4) 2 4 8
注： 显然，范德蒙行列式
4.几个重要结果 三角形行列式的值等于对角元之乘积
Akk Okl C lk Bll
范德蒙行列式
| A || B |
P.17例2
行列式的计算方法小结
可从计算方法和行列式特征两个角度总结。
一.方法
1. 直接用定义（非零元素很少时可用） 2. 化三角形行列式法
此法特点： (1) 程序化明显，对阶数较低的数字行列式和一些较特殊的 字母行列式适用。 (2) 灵活性差，死板。
D2
2 1
1 2
3
D1 2 2
故 Dn Dn1 1 则 Dn n 1. 递推公式法的 步骤： 1. 降阶，得到递推公式；
2. 利用高中有关数列的知识，求出行列式 Dn 。
附录2、数学归纳法 例 证明范德蒙(Vandermonde)行列式
1 x1 Vn
2 x1
1 x2
例 （P.17） 证明奇数阶反对称行列式的值为零。
证
0 a12 D a13 a12 0 a23 a13 a1n a23 a2 n 0 0 a12 a12 0 a23 a13 a1n a23 a2 n 0 a1n a2 n a13 a1n a23 a2 n 0 a3 n
例2
2 1 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0
0 1 2 0 0 0

0 0 0 2 1 0
0 0 0 1 2 1
0 0 0
Dn 0 1 2
按第一行展开
1 0 0
n 1
1 2 1 0 0 0
0 1

0 0 0 2 1 0
0 0 0 1 2 1
*或 －y 乘第1列加到后面各列：
[ x ( n 1) y ] 1 1 1 0 x y 0 0 0 0 0 0 x y
例如 (P.39 12(6) 、(7)，P.40 15(3),P.44 27
1列(行)“1”的巧妙利用 如：P.41 18, P.42 19, 20(2)、(3)
li l1 ( i 2, 3,, n)
y x
x ( n 1) y x ( n 1) y x ( n 1) y
y x y
y y y y y x
1 1 [ x ( n 1) y ] 1
r1 ri ( i 2,3,...,n )
(1) n D
a3 n 转置 a13
a3 n 0
a1n a2 n a3 n 0 0
各行提－1
a3 n
a12 0 a23
a12 ( 1) n a13
a1n a2 n a3 n 0
当n为奇数时有
D D D 0
0 0 0 0 1 2
2 0 0 0
2D
0 0 0
按第一列展开 2 D n 1 Dn 2
由此可得递推公式：
Dn 2 Dn1 Dn 2
因此有
又因为
技巧！
Dn Dn1 Dn1 Dn 2 D2 D1
2 x2
1 x3
2 x3

1 xn
2 xn


n x1 1

n x 2 1

n x 3 1

n x n 1
1 j i n
( xi x j )
( n 2).
( x2 x1 )( x3 x1 )( x4 x1 )( xn1 x1 )( xn x1 ) ( x3 x2 )( x4 x2 )( xn1 x2 )( xn x2 ) ( x4 x3 )( xn1 x3 )( xn x3 )
0 0 1
x 1 0 0 0 x
xDn1 a0 ( 1)n1 ( 1)n1
xDn 1 a0
由此得递推公式：
x 1 0 0 Dn1 0 a1 x 0 0 x a2 an 2
0 0 1 x a n 1
Dn xDn 1 a0