4.2-两样本Wilcoxon秩和检验

第二十八课 Wilcoxon 秩和检验一、 两样本的Wilcoxon 秩和检验由Mann ，Whitney 和Wilcoxon 三人共同设计的一种检验，有时也称为Wilcoxon 秩和检验，用来决定两个独立样本是否来自相同的或相等的总体。

如果这两个独立样本来自正态分布和具有相同方差时，我们可以采用t 检验比较均值。

但当这两个条件都不能确定时，我们常替换t 检验法为Wilcoxon 秩和检验。

Wilcoxon 秩和检验是基于样本数据秩和。

先将两样本看成是单一样本（混合样本）然后由小到大排列观察值统一编秩。

如果原假设两个独立样本来自相同的总体为真，那么秩将大约均匀分布在两个样本中，即小的、中等的、大的秩值应该大约均匀被分在两个样本中。

如果备选假设两个独立样本来自不相同的总体为真，那么其中一个样本将会有更多的小秩值，这样就会得到一个较小的秩和；另一个样本将会有更多的大秩值，因此就会得到一个较大的秩和。

设两个独立样本为：第一个x 的样本容量为1n ，第二个y 样本容量为2n ，在容量为21n n n +=的混合样本（第一个和第二个）中，x 样本的秩和为x W ，y 样本的秩和为y W ，且有2)1(21+=+++=+n n n W W y x (28.1)我们定义2)1(111+-=n n W W x (28.2)2)1(222+-=n n W W y (28.3)以x 样本为例，若它们在混合样本中享有最小的1n 个秩，于是2)1(11+=n n W x ，也是x W 可能取的最小值；同样y W 可能取的最小值为2)1(22+n n 。

那么，x W 的最大取值等于混合样本的总秩和减去y W 的最小值，即2)1(2)1(22+-+n n n n ；同样，y W 的最大取值等于2)1(2)1(11+-+n n n n 。

所以，(28.2)和(28.3)式中的1W 和2W 均为取值在0与2122112)1(2)1(2)1(n n n n n n n n =+-+-+的变量。

wilcoxon符号秩检验步骤
Wilcoxon符号秩检验是一种非参数检验方法，用于比较两个相关样本的中位数是否有显著差异。

以下是Wilcoxon符号秩检验的步骤：
1. 收集相关样本数据，并将其按照一定顺序排列。

2. 对每个样本数据，计算其差值（样本数据之间的差异）。

3. 对差值进行绝对值处理，并按照绝对值大小将差值从小到大进行排序。

4. 为每个排序后的差值分配一个秩次（按照排序后的顺序，从1开始）。

5. 计算正差值的秩次和负差值的秩次总和。

6. 根据正差值与负差值的秩次总和，计算出符号检验统计量W值。

7. 根据样本容量以及显著性水平的临界值表，确定临界值。

8. 比较W值与临界值，判断是否有显著差异。

9. 如果W值小于临界值，则认为两个样本的中位数之间没有显著差异；如果W值大于或等于临界值，则认为两个样本的中位数之间存在显著差异。

需要注意的是，Wilcoxon符号秩检验是一种针对配对样本的检验方法，适用于样本容量较小、数据非正态分布或存在异常值情况下的检验分析。

Wilcoxon 秩和检验Wilcoxon 符号秩检验是由威尔科克森（F·Wilcoxon)于1945年提出的.该方法是在成对观测数据的符号检验基础上发展起来的,比传统的单独用正负号的检验更加有效。

1947年，Mann 和Whitney 对Wilcoxon 秩和检验进行补充，得到Wilcoxon —Mann-Whitney 检验，由后续的Mann-Whitney 检验又继而得到Mann —Whitney-U 检验。

一、 两样本的Wilcoxon 秩和检验由Mann ，Whitney 和Wilcoxon 三人共同设计的一种检验，有时也称为Wilcoxon 秩和检验,用来决定两个独立样本是否来自相同的或相等的总体.如果这两个独立样本来自正态分布和具有相同方差时,我们可以采用t 检验比较均值。

但当这两个条件都不能确定时，我们常替换t 检验法为Wilcoxon 秩和检验。

Wilcoxon 秩和检验是基于样本数据秩和。

先将两样本看成是单一样本(混合样本）然后由小到大排列观察值统一编秩.如果原假设两个独立样本来自相同的总体为真，那么秩将大约均匀分布在两个样本中，即小的、中等的、大的秩值应该大约均匀被分在两个样本中。

如果备选假设两个独立样本来自不相同的总体为真,那么其中一个样本将会有更多的小秩值,这样就会得到一个较小的秩和；另一个样本将会有更多的大秩值，因此就会得到一个较大的秩和。

设两个独立样本为:第一个x 的样本容量为1n ,第二个y 样本容量为2n ，在容量为21n n n +=的混合样本（第一个和第二个)中，x 样本的秩和为x W ，y 样本的秩和为y W ，且有2)1(21+=+++=+n n n W W y x (1）我们定义 2)1(111+-=n n W W x (2） 2)1(222+-=n n W W y (3)以x 样本为例，若它们在混合样本中享有最小的1n 个秩，于是2)1(11+=n n W x ，也是x W 可能取的最小值；同样y W 可能取的最小值为2)1(22+n n 。

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同一总体中抽得的独立随机样本， x i 和 y i 构成可分辨的排列情况，可看成一排 n 个球随机地 指定 n1 个为 x 球另 n 2 个为 y 球，共有 Cn 1 种可能，而且它们是等可能的。基于这样分析，在 原假设为真的条件下不难求出 W1 和 W2 的概率分布，显然它们的分布还是相同的，这个分布 称为样本大小为 n1 和 n 2 的 Mann-Whitney-Wilcoxon 分布。 一个具有实际价值的方法是，对于每个样本中的观察数大于等于 8 的大样本来说，我们 可以采用标准正态分布 z 来近似检验。 由于 W1 的中心点为 为
(28.3)
以 x 样本为例，若它们在混合样本中享有最小的 n1 个秩，于是 W x
n1 (n1 1) ，也是 W x 可 2
能取的最小值；同样 W y 可能取的最小值为
n 2 (n 2 1) 。那么， W x 的最大取值等于混合样本 2
的 总 秩 和 减 去 Wy 的 最 小 值 ， 即
2
n1n2 ( 3 n1n2 (n1 n2 1) j j ) 12 12(n1 n2 )(n1 n2 1)
(28.6)
其中 j 第 j 个结值的个数。结值的存在将使原方差变小，这是一个显然正确的事实。标准化 后Wx 为
z
W x 0. 5


统一编秩 7 8 3.5 1 10 2 11 14
Wx
Wy
56.5
如果假定放弃预定座位旅客人数的总体是正态分布且有相等的方差，我们可以采用两样 本比较的 t 检验。但航空公司的 CEO 认为这两个假设条件不能满足，因此采用非参数的 Wilcoxon 秩和检验。将 x 组与 y 组看成是单一样本进行编秩，见表 28.1 中的第 3 列和第 5 列 所示。 ，最小值是 8 秩值为 1，最大值是 25 秩值为 17，有两个结值 10 和 11，两个 10 平均分 享秩值 3 和 4 为 3.5，两个 11 平均分享秩值 5 和 6 为 5.5。如果两组放弃预定座位的旅客人数 是相同的，那么我们期望的两组秩和 W x 和 W y 大约是相同的；如果两组放弃预定座位的旅客 人数是不相同的，那么我们期望的两组秩和 W x 和 W y 也是非常不相同的。 注意到 n1 9， n2 8， W x =96.5， W y =56.5， H 0 : 两组放弃预定座位旅客人数的分布 是相同的。标准正态分布 z 值的计算结果为