高等数学下册(第10章)重积分及其应用教案

第10章 重积分（考点）本章讨论重积分，即在平面区域上的二元函数和空间区域上的三元函数的积分，分别称之为二重积分，三重积分．这章必需上册定积分的知识和定积分的计算。

请同学们务必认真复习。

加一个作业：默写求积分基本及全部法则公式。

第1节 重积分的概念和性质1.1 重积分的概念 1 实例背景【例1.1】 求曲顶柱体的体积．设D 为xOy 平面内的有界闭区域。

以D 的边界曲线D ¶为准线，母线平行于z 轴的柱面与平面0z =及曲面(,)z f x y =（(,)0f x y ³，且在D 上连续）围得的空间立体，称此立体为曲顶柱体．求此柱体的体积V ．解 我们用如下4步计算体积V ．(1) 分割：用一组曲线网将区域D 分割成n 个小区域：12,,,ns s s D D D L （同时i s D 也表示第i 个小区域i s D 的面积）（图1.2）．设i s D 为底的小的曲顶柱体i v D 体积为i v D ，则1ni i V v ==D å（i v D 是无法算得的）． (2) 近似：在(,)i i i x h s "蜠，把i v D 近似看作固定高(,)i i f x h 的柱体，则(,)i i i i v f x h s D 籇，(1,2,,)i n =L ．（图1.1） (3) 求和：11(,)nni i i i i i V v f x h s ===D 籇邋．(4) 求极限：记i s D 上两点间最大距离为i l ，令{}1max ,,n l l l =L 。

当0l ®时（此时每个0i l ®），1(,)ni i i i f x h s =D å与V 的误差趋于零。

所以，曲顶柱体的体积01lim (,)ni i i i V f l x h s ®==D å．y),i i ηξ图1.1 图1.2 【例1.2】 求非匀质平面薄板的质量．设xOy 面上有界闭区域D 是一块薄板，其面密度函数为(,)f x y （(,)0f x y ³且在D 上连续）．求此薄板的质量M 。

重积分教案讲义重积分教案讲义第一节二重积分的概念与性质与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.分布图示★曲顶柱体的体积★非均匀平面薄片的质量★二重积分的概念★二重积分的性质★二重积分的中值定理★例1★例2★例3★例4★例5★内容小结★课堂练习★习题9-1★返回内容要点一、二重积分的概念引例1 1 求曲顶柱体的体积；引例2 2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质性质1—性质6 二重积分与定积分有类似的性质. 性质1 1性质2 2 如果闭区域D 可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域和,则这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性. 性质3 3 如果在闭区域 D 上, 为 D 的面积,则这个性质的几何意义是:以D 为底、高为1 的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积. 性质 4 4 如果在闭区域 D 上,有则特别地,有性质5 5设分别是在闭区域D 上的最大值和最小值,为D 的面积,则这个不等式称为二重积分的估值不等式. . ) , ( ) , ( )] , ( ) , ( [D D Dd y x g d y x f d y x g y x f 1D2D. ) , ( ) , ( ) , (2 1 D D Dd y x f d y x f d y x f , 1 ) , ( y x f. 1 D Dd d), , ( ) , ( y x g y x f . ) , ( ) , ( D Dd y x g d y x f . | ) , ( | ) , ( D Dd y x f d y x f m M, ) , ( y x f . ) , ( M d y x f mD例题选讲二重积分的性质例例1 1 不作计算，估计的值，其中是椭圆闭区域：. 解区域D 的面积在上由性质6 知例例2 2 （E01 ）估计二重积分的值,其中积分区域为矩形闭区域 . 解积分区域面积在上的最大值最小值故例例3 3 判断的符号. 解当时，d e IDy x) (2 2D__byax) 0 ( a b , abD , 02 2 2a y x , 12 2 20 a y xe e e ,2 2 2) ( aDy xe d e .2 2 2) ( aDy xe ab d e abD xy y xdI16 22 2 D } 2 0 , 1 0 | ) , {( y x y x,16 ) (1) , (2y xy x f , 2 D ) , ( y x f ), 0 (41 y x M ), 2 , 1 (514 312 2 y x m4252 I . 5 . 0 4 . 0 I12 2) ln(y x rdxdy y x ) 1 ( r1 | | | | y x r , 1 |) | | (| 02 2 2y x y x故又当时，于是例例4 4 积分有怎样的符号,其中解例例5(E02)比较积分与的大小，其中区域D 是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0). 解三角形斜边方程在内有故于是因此课堂练习1.将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限; 0 ) ln(2 2 y x1 | | | | y x , 0 ) ln(2 2 y x. 0 ) ln(1 | | | |22 y x rdxdy y xdxdy y xD32 21 . 4 :2 2 y xD Ddxdy y x32 21 3 132 2132 22 2 2 21 1y x y xdxdy y x dxdy y x 4 332 22 21y xdxdy y x 3 __ 2 2 21 1 0 1y x y xdxdy dxdy) 2 1 ( ) 3 4 )( 2 (3 3Dd y x )ln(Dd y x 2)] [ln(, 2 y x D , 2 1 e y x , 1 ) ln( 0 y x, )] [ln( ) ln(2y x y x . )] [ln( ) ln(2 D Dd y x d y x .1lim1 1222 2ninjnj inen。

重积分【教学目标与要求】1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。

2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。

【教学重点】1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3.二、三重积分的几何应用及物理应用。

【教学难点】1.利用极坐标计算二重积分；2.利用球坐标计算三重积分；3.物理应用中的引力问题。

【教学课时分配】 (10学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社§10. 1 二重积分的概念与性质【回顾】定积分设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)分割：用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ). (2)代替：任取ξ i[x i -1, x i ] 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n )（3）作和：曲边梯形面积A 的近似值为 ∑=∆≈ni iix f A 1)(ξ.(4)取极限：记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为 ∑=→∆=ni iix f A 1)(lim ξλ.则§10. 1 二重积分的概念与性质一、引例1曲顶柱体的体积V设有一立体, 它的底面是xOy 面上的闭区域D , 其侧面为母线平行于z 轴的柱面, 其顶是曲面z =f (x , y )非负连续. 称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于xoy 面的平面。

第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。

尤其是在几何和物理两方面。

几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。

物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。

在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。

通过这一章节的学习，我们认为应到达如下要求：1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。

2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。

3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。

一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。

如图： y[错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S y Dσ[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。

问题在于区域D ，假设先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题假设先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。

[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰yyDdx dy dx dy d S σ 例 2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。

[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。

注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为22),(y x y x +=ρ，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。

时间---------月---------日 星期----------------- 课 题§10.4 重积分的应用教学目的 学习和掌握重积分的应用。

教学重点 掌握二重积分的应用：曲面的面积，平面薄片的质心、转动惯量等。

教学难点 三重积分的应用。

课 型 专业基础课 教学媒体教法选择讲 授教 学 过 程教法运用及板书要点把定积分的元素法推广到二重积分的应用中。

若要计算的某个量U 对于闭区域D 具有可加性(即当闭区域D 分成许多小闭区域时，所求量U 相应地分成许多部分量，且U 等于部分量之和)，并且在闭区域D 内任取一个直径很小的闭区域σd 时，相应地部分量可近似地表示为()σd y x f ,的形式，其中()y x ,在σd 内。

这个()σd y x f ,称为所求量U 的元素，记为dU ，所求量的积分表达式为()σd y x f U D⎰⎰=, 。

一、二重积分的应用1、曲面的面积设曲面S 由方程(,)z f x y =给出, xy D 为曲面S 在xoy 面上的投影区域,函数(,)z f x y =在xy D 上具有连续偏导数f x y x (,)和f x y y (,),现计算曲面的面积A 。

把xy D 分成n 个小区域i σ∆，小区域的面积也记作i σ∆，在i σ∆上任取一点(,)i i x y ,通过该点引垂直于xoy 面的直线，与曲面相交于点(,,)i i i x y z ，其中(,)i i i z f x y =，在点(,,)i i i x y z 作曲面S 的切平面T ，然后以每一个小区域i σ∆的边界为准线作母线平行于z 轴的柱面, 该柱面在曲面S 上截下一小片曲面,在切平面T 上截下一小片平面i A ∆,由于i σ∆的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页。

第10章重积分J--------------------------------------多元函数积分学是定积分概念的推广，包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分•它们所解决的问题的类型不同，但解决问题的思想和方法是一致的，都是以“分割、近似、求和、取极限”为其基本思想，它们的计算最终都归结为定积分•本章主要介绍二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法及其应用276奥斯特罗格拉茨基 (Octporpajickh h )对重积分的研究也作了许多工作，他在研究热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式.1828年，格林(Green )在其私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中，为了推动位势论的进一步发展，建立了著名的格林公式. 10.1二重积分的概念及性质10.1.1 二重积分的概念实例1设函数z f(x, y)在有界闭区域 D 上连续，且f(x, y) 0 .以函数z f(x, y) 所表示的曲面为顶， 以区域D 为底，且以区域D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱 面为侧面的立体叫做曲顶柱体，如图 10.1.1所示.求该曲顶柱体的体积 V .对于平顶柱体，它的体积就等于底面积乘高 .现在曲顶柱体的顶是曲面 ，当点(x,y)在 D 上变动时，其高度z f(x, y)是一个变量，因此不能直接用上述方法求其体积，但是可以 沿用求曲边梯形面积的方法和思路求其体积.具体步骤如下 第一步(分割).用一组曲线网将区域 D 任意分成n 个小区域 1, 2,… i ,…n ，其中记号 i (i = 1 , 2,…，n )也用来表示第i 个小区域的面积•分别以每个小 区域的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分割成 图10.1.1 图 10.1.2小曲顶柱体V , V…，V…，V，其中记号V i （i = 1, 2,…，n）也用来表示第i 个小曲顶柱体的体积.第二步（近似）•因为f（x,y）在区域D上连续，在每个小区域上其函数值变化很小，这个小曲顶柱体可以近似地看作平顶柱体（如图10.1.2）•分别在每个小区域i上任取一点（i, i），以f（i, i）为高，i为底的小平顶柱体的体积f（i, i）i作为第i个小曲顶柱体体积V i的近似值，即V f ( i, i) i(i 1,2, ,n).第三步（求和）.这n个小平顶柱体体积之和可作为原曲顶柱体体积V的近似值，即n nV V i f（i, i）i.i 1 i 1第四步（取极限）•对区域D分割越细，近似程度越高，当各小区域直径的最大值0（有界闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）时，若上述和式的极限存在，贝U 该极限值就是曲顶柱体的体积V，即有nV li叫f（i, i）i .i 1实例2设有一个质量非均匀分布的平面薄片，它在xOy平面上占有有界闭区域D , 此薄片在点（x,y） D处的面密度为（x, y），且（x, y）在D上连续•求该薄片的质量M .如果平面薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量就等于面密度与面积的乘积.现在薄片的面密度随着点（x, y）的位置而变化，我们仍然可以采用上述方法求薄片的质量•用一组曲线网将区域D任意分成n个小块1, 2…，n;由于（x,y）在D上连续，只要每个小块i （i = 1, 2,…，n）上任取一点（i,」，用点276的直径很小，这个小块就可以近似地看作均匀小薄片•在n（i , i ）i 1极限值就是所求平面薄片的质量,nlim 0i1（i ，i ）尽管上面两个问题的实际意义不同，但解决问题的方法是一样的，而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限•在数学上加以抽象，便得到二重积分的概念.（i ，i ）图 10.1.3 处的面密度 (i , i )近似代替区域 i 上各点处的面密度(如图10.1.3)，从而求得小薄片i 的质量的近似值（i ，i ） （i 1,2, ,n ）；整个薄片质量的近似值为 将薄片无限细分，当所有小区域i 的最大直径 0时，若上述和式的极限存在，这个根据二重积分的定义可知，例10.1.1中曲顶柱体的体积V是其曲顶函数f(x,y)在底面区域D上的二重积分，即V f(x, y)d ；D例10.1.2中平面薄片的质量M是其面密度函数(x, y)在其所占闭区域D上的二重积分，即M (x,y)d •D关于二重积分的几点说明.(1) 如果函数f (x,y)在区域D上的二重积分存在，则称函数 f (x, y)在D上可积.如果函数f (x, y)在有界闭区域D上连续，则f (x, y)在D上可积.(2) 当f(x, y)在有界闭区域D上可积时，积分值与区域D的分法及点(i, i)的取法无关.(3) 二重积分只与被积函数 f (x, y)和积分区域D有关.二重积分f(x,y)d 的几何意义.D(1) 若在闭区域D上f (x, y) 0 ,二重积分表示曲顶柱体的体积；(2) 若在闭区域D上f (x, y) 0 ,二重积分表示曲顶柱体体积的负值；(3) 若在闭区域D上f (x, y)有正有负，二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和.10.1.2 二重积分的性质二重积分有与定积分完全类似的性质，这里我们只列举这些性质，而将证明略去.性质1被积函数中的常数因子可以提到积分符号的外面，即kf(x, y)d k f (x, y)d ，其中k为常数.D D性质2有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和，即[f(x, y) g(x, y)]d f (x,y)d g(x, y)d .D D D282例10.1.1比较 (x y)d 与 (x y)3d 的大小，其中D 是由直线x D D0,y 0 及x y 1所围成的闭区域.解由于对任意的(x, y) D，有x y 1，故有(x y) x y，因此(x y)d (x y)3dD D例10.1.2估计(x y 1)d的值，其中D为矩形区域，0 x 1 , 0 y 2 .D解被积函数在区域D上的最大值与最小值分别为4和1, D的面积为2，于是2(x yD1)d8 .习题10.11.使用二重积分的几何意义说明I1 (x2D12\3」y ) d与I2 (x2y2)3d的之间关系，其中D2D1 是矩形域-1 <x <1, -1 <y <1, D2 是矩形域0 <x <1, 0 <y <1.2•比较下列积分的大小.(1) 1 (x y)2d与2 (x y)3d ，其中D由x轴、y轴及直线x y 1所围D D成；2(2) 1 In(x y)d 与 2 In x y d ，其中 D (x,y) 3 x 5,0 y 1 .D D3 .估计下列积分值的大小.(1) t xy(x y)d ，其中D: 0 W x <2, 0 w y <2;D2 2 2 2(2) (x 4y 9)d ，其中D: x y 4 .D4.一薄片(不考虑其厚度)位于xOy平面上，占有区域D，薄片上分布有面密度为u = u(x,284高等数学285 y)的电荷，且u(x, y)在D上连续，使用二重积分表示薄片的全部电荷Q.10.2二重积分的计算第10章重积分28010.2.1直角坐标系下二重积分的计算我们知道，如果函数 f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则 在区域D 上的二重积分存在，且它的值与区域 D 的分法和各小区域 i (i 1,2,, n)上点(i ,」的选取无关，故可采用一种便于计算的划分方式，即在直角坐标系下用两族平行于坐 标轴的直线将区域 D 分割成若干个小区域•则除去靠区域D边界的不规则的小区域外，其余的小区域全部是小矩形区域.设小矩形区域的边长分别为x 和y (如图10.2.1)，则小矩形区域的面积为x y .因此，在直角坐标系下，可以把面积元素记为d dxdy .则在直角坐标系下,重积分可表示成下面我们将利用平行截面法来求曲顶柱体的体积， 以获得利用直角坐标系计算二重积分的方法.设曲顶柱体的顶是曲面z f (x, y) ( f (x, y) 0 )，底是xOy 平面上的闭区域 D (如图10.2.2)，即区域D 可用不等式组表示为D (x,y) a x b,%(x) y y 2(x),其中函数z f (x,y)在区域D 上连续，函数 ydx)与y 2(x)在区间［a , b ］上连续，该区域的 特点是：穿过区域 D 内部且垂直于x 轴的直线与D 的边界的交点不多于两点.图 10.2.1OX JE十“◎高等数学 287图 10.2.2用过区间［a , b ］上任意一点x 且垂直于x 轴的平面去截曲顶柱体，所得到的截面是 个以［y i （x ）, y 2（x ）］为底，以z f （x,y ）为曲边的曲边梯形（如图10.2.3），其面积为y 2（x ）A （x ）M x ）f（x ，y ）dy -再利用平行截面面积为已知的立体的体积公式， 便得到曲顶柱体的体积为bb y 2（x ）V aA（X ）dX a ［ y i（x ）f （X ，y ）dy ］dX •根据二重积分的几何意义可知，这个体积也就是所求二重积 分的值，从而有b y 2（x ）by 2（x ）f （x,y ）d a ［y （x ）f（x,y ）dy ］dx 或 f （x,y ）d a dx y （x ） f （x, y ）dy .D1D1上式右端称为先对 y 后对x 的二次积分•由此看到，二重积分的计算可化成计算两次 单积分来进行，这种方法称为累次积分法•对y 积分时，把x 看作常数，把f （x,y ）只看作y 的函数，并对y 从y 1 （x ）到y 2 （x ）进行定积分；然后把算得的结果（关于x 的函数）再对x 在区间［a , b ］上进行定积分.在上述过程中，我们假定f （x, y ） 0,但实际上公式并不受此条件的限制.类似地，如果积分区域 D 如图10.2.4所示，则区域D 可表示为D （x,y ） %（y ） x X 2（y ）,c y d ,其中函数x,y ）与X 2（y ）在区间［c , d ］上连续，该区域的特点是：穿过区域 D 内部且垂直于yS图 10.2.3轴的直线与D的边界的交点不多于两点.1这时则有以下公式:dx2(y)d X 2(y) f (x, y)dxdy [ f (x, y)dx]dy 或 f(x, y)dxdy dy f (x, y)dx .C X i (y)CX i (y)DD上式右端称为先对 x 后对y 的二次积分•如果积分区域 D 不属于上述两种类型，如图10.2.5所示•即平行于x 轴或y 轴的直线与D 的边界的交点多于两点， 这时可以用平行于 x 轴或平行于y 轴的直线把D 分成若干个小区域，使每个小区域都属于上述类型之一，则可 利用性质3,将D 上的积分化成每个小区域上积分的和.如果先对x 积分，则有/Ji21i 1 II >1 1 1 iii图 10.2.6解作区域D 的图形（如图10.2.6），这是矩形区域•化成累次积分时，积分上下限均为常数•如果先对 y 积分，则把x 看作常数，得Ixy 2dxdyDdx:xy 2dy1y 3 27 1x[ ]1dx xdx 0 L 3 3 0图 10.2.4例10.2.1计算IDD:高等数学 290x 1将区域D 分成D 1和D 2两部分（如图10.2.7 b ）.则D 1和D ?可分别表示为D 1 (x, y) v x y <x ,0 x 1 ,D 2(x, y) x 2yV x, 1 x 4 ,由此得2I xy dxdyD212 22 x 1 1 2 2 71 dy 0x y dx1 y [-^bdy 刁 1 y dy 石例10.2.2计算2xy 2dxdy ，其中D 由抛物线Dx 及直线y x 2所围成.解画D 的图形（如图10.2.7 a ）.解方程组(1, -1), (4, 2).2从而若选择先对x 积分，这时 D 可表示为(x, y) y2,2xy 2dxdyD2 1dy22xy 2dx 2 2 y 2 .y [x 咋 dy 21(y 4 4y 3 4y 2 y 6)dy若先对y 积分后对x 积分,4 3 3y—]21 15§ . 735由于下方边界曲线在区间 ［0，1］与［1 ,4］上的表达式不一致,这时就必须用直线 科4J)图 10.2.7 ay = ^vx图 10.2.7 b，得交点坐标为显然，计算起来要比先对 x 后对y 积分麻烦，所以恰当地选择积分次序是化二重积分 为二次积分的关键•选择积分次序与积分区域的形状及被积函数的特点有关.解 根据对称性，所求体积 V 是图10.2.8 a 所画出的第一卦限中体积的 8倍•第一卦限的立体为一曲顶柱体，它以圆柱面z R 2 x 2为顶，底为xOy 面上的四分之一圆(如图10.2.8 b),用不等式组表示为D (x, y) 0 y J R 2 x 2,0 x R ,所求体积为. ________ R/ R 2 V 8 V R 2 x 2dxdy 8 0 dx 0 J R 2 x 2dyD虽然也能得到相同的结果，但计算要复杂的多.2 2 22xy dxdy 2xy dxdy 2xy dxdyDD iD 21厂 2 420dx _2xy dy 1 dx x 22xy dy •例10.2.3 求由两个圆柱面x 2 y 2 R 2和x 2 z 2 R 2相交所形成的立体的体积.x 2[y]°R2"dx以上我们采用的是先对 y 后对x 的积分次序，如果先对 x 后对y 积分，则有8 : R 2 x 2dxdyDR R 2 x 2 2 280dy 0 、Rxdx .I I I图 10.2.8 a10.2.2极坐标系下二重积分的计算前面讨论了在直角坐标系下计算二重积分的方法.但有些二重积分，其被积函数和积 分区域（如圆形、扇形、环形域等 ）用极坐标系表示时比较简单，这时可考虑利用极坐标计算二重积分.下面介绍在极坐标系下二重积分的计算方法.因为二重积分与积分区域D 的分法无关，所以可用极坐标系下以极点为中心的一族同心圆r 常数以及从极点发出的一族射线 常数来分割区域 D .不失一般性，我们考虑极径由r 变到r dr 和极角由变到 d 所得到的区域（如图10.2.10）.该小区域可近似地看作边长分别为dr 和rd 的小矩形，于是极坐标下的面积元素 d rdrd .再用坐标变换x r cos , y rsin 代替被积函数f （x, y ）中的x 和y ，于是得到二重积分在极坐标系 下的表达式f(x,y)df (r cos , r sin )rdrdDD例10.2.4计算二重积分i °dy丁 sin xdx •解 积分区域D 如图10.2.9所示，直接计算显然不行，因为 sin xdx 不能表示为初等 x函数.但被积函数与 y 无关，因此我们考虑交换积分次序后再计1 °dy1dx X 2s ^dy 0 x2x y1sinx x ,0=[y]x 2dX1 0(si nxxsin x)dxsin xdxxsin xdx(1 cos1) (cos1 si n1) 1 si n1 .高等数学 293实际计算时，与直角坐标情况类似，还是化二重积分为累次积分来进行计算，这里仅 介绍先r 后 的积分次序，积分的上下限则要根据极点与区域 D 的位置而定•下面分三种情况说明在极坐标系下，如何化二重积分为累次积分.（1）极点O 在积分区域D 之外（如图10.2.11）. 此时区域D 界于射线和之间（？这两条射线与 D 的边界的交点把区域边界曲线分为内边界曲线r 几（）和外边界曲线r “（）两个部分，则D （x,y ） 口（）r 匕（），,⑵极点0在积分区域 D 之内（如图10.2.12）.此时极角 从0变到2 ，如果D 的边界曲线方程是r r （），则D (x,y)0 r r( ),022r()f (r cos ,r sin )rdrd d f (r cos ,rsin )rdr .D⑶极点O 在积分区域 D 的边界上（如图10.2.13）此时极角 从 变到，设区域D 的边界曲线方程是r r （），则f(rcos ,rsin )rdrdD「2（）「1（）"「边，rS ^)rdr .图10.2.11第10章重积分294D (x,y) 0 r r(),f (r cos , rsin )rdrd 288 d r( f (r cos ,rsin )rdr .即为在定积分应用中用极坐标计算曲边扇形面积的公式.一般情况下，当二重积分的被积函数中自变量以x 2 y 2， xy ， y x ， x y 等形式出现且积分区域由圆弧与射线组成（如以原点为中心的圆域、扇形域、圆环域，以及过原点而 中心在坐标轴上的圆域等），利用极坐标计算往往更加简便. 用极坐标计算二重积分时， 需画出积分区域 D 的图形，并根据极点与区域D 的位置关系，选用上述公式.例10.2.5 将二重积分f （x,y ）d 化为极坐标系下的累次积分，其中D 表示为D2 2特别地，当 f(rcos , rsin )1 时， dD（为区域D 的面积），即图 10.2.12 图 10.2.13当 r 1( ) 0, r 2( ) r(),时,D （x,y） x y 2Rx, y 0 ,解画出D的图形（如图10.2.14），在极坐标系下，D可表示为D (x, y) 0 r 2Rcos ,0于是可得D于是可得体体积.解 如图10.2.16 a 所示，由于这个立体关于 xOy 面与xOz 面对称，所以只要计算它在2 2例10.2.6 计算 e x y dxdy ，其中D 是圆盘D解 画出D 的图形（如图10.2.15），在极坐标系下,D 可表示为(r, )0r a,02 2x 2 y 2e dxdy eDDr 2rdrda 2errdr2[2 2r]a d -(1 e a ).4例10.2.7求由球面z 2 4a 2与圆柱面2ax 所围且含于柱面内的立2R cosf(x,y)df (r cos ,r sin )rdr .图 10.2.14298第一卦限的部分.这是以球面 z4a 2 x 2 y 2为顶，以曲线y , 2ax x 2与x 轴所围成的半圆D 为底(如图10.2.16 b)的曲顶柱体，其体积为V 4. 4a 2 x 2 y 2D习题10.21.画出积分区域并计算下列二重积分. (1 x y)dxdy , D: x 0, y 0,xD(x 2 y 2)d ,其中D 是矩形闭区域：|x|D(1, 0), (1 , 1)为顶点的三角形区域;3•交换下列二次积分的积分次序.xcos(x Dy)d ,其中D 是顶点分别为(0,0),( ,0)和(,)的三角形闭区域.;ye xy dxdy ,2•将二重积分f (x, y)dxdy 化为二次积分，其中积分区域D 是:⑵由直线y x,x 2及双曲线1 (xx0)所围成的区域. 在极坐标下，D (r, )0 r 2acos,0，于是得到2a cosr 2dr 32)22a cos32a 3 32(1sin 3)d16 a 94) •(1) 1,|y| 1;;(1)以(0, 0),1 1 x(1)dx f (x,y)dy ；xa \ a x⑵ dx 0af (x,y)dy ;1 e⑶0d y e y f(x,y )dx ；1 x2(4) 0dx 0 f (x,y)dy 1 dx2 x0 f(x, y)dy.4•画出下列积分区域，并把二重积分f(x, y)dxdy化成极坐标系下的二次积分.D(1) D : a2 x2 y2 b2(0 a b);(2) D : x2 y2 2x.5.将积分dx f (x20 0 'y2)dy化成极坐标形式.6•利用极坐标计算下列积分.(1) (6 3x 2y)dxdy , D:Dx2R2⑵ sin . x2~y2dxdy , D :Dx2y2⑶D ,1 x^y2，D: x7•选择适当的坐标系计算下列积分.(1)y2dxdy , D 由x T, x , y D40, y cosx所围成;ln(1 x2y2)dxdy ；D: x D2 2y R , x 0, y 0 ;—_ dxdy , D: x2 y2 D x y8•求圆锥面z 1 -.x2y2与平面z = x, x = 0所围成的立体体积.9.求由平面x 0 , y 1及z 1 x y所围成的立体的体积.10.3二重积分30010.3.1 三重积分的概念将二重积分的概念推广，就得到三重积分的概念定义10.3.1设函数f(x, y,z)是空间有界闭域 上的有界函数•将 任意分割成n 个小闭区域其中M 表示第i 个小闭区域,也表示它的体积.在每个 V j 上任取—点f (x, y,z)在闭区域上的三重积分.记作 f(x, y,z)dv ，即nf(x, y,z)dv lim f( i , i , i ) V ii 1其中dv 叫做体积微元在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分 ，那么除了包含的边界点的一些不规则小闭区域外， 得到的小闭区域 v i 为长方体.设长方体小闭区域v i的边长为为、y k 、乙，则'V X j y k z l .因此在直角坐标系中，有时也把体积微元 dv 记作dxdydz ,而把三重积分记作f (x,y,z)dxdydz其中dxdydz 叫做直角坐标系中的体积微元 .当函数f(x, y,z)在闭区域上连续时，(10.3.1)式右端的和的极限必定存在，也就是函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分必定存在.以后我们总假定函数f(x ,y,z )在闭区域上是连续的.关于二重积分的一些术语，例如，被积函数、积分区域等，也可相应地用 到三重积分上•三重积分的性质也与二重积分的性质类似，这里不再重复了如果f (x, y, z)表示某物体在点(x, y, z)处的密度，是该物体所占有的空间闭区域，作乘积f( j , j)v(i1,2丄n ),并作和i) V imax{V i 直径},右极限lim f( i , i 0 i 1、、,总存在，则称此极限为函数 (10.3.1)nf(x,y,z)在上连续，贝U f( ., ., .) v是该物体的质量m的近似值，这个和当i 1时的极限就是该物体的质量m，所以m f (x, y, z)dv当f (x, y, z) 1时，dv积分值就等于积分区域的体积•10.3.2在直角坐标系下三重积分的计算1先一后二法设函数f (x,y, z)在空间有界闭区域上连续.设区域在xoy面上的投影区域为如果平行于z轴且穿过区域的直线与的边界曲面的交点不超过两个，此区域表示为(X, y,z)Z1(x,y) z Z2(x, y),(x, y) D .即过区域在xoy面上的投影区域D内任一点(x,y)，做平行于z轴的直线，穿进点总在曲面 1 :z z i(x, y)上，穿出的点总在曲面2 : z z2(x, y)上，z,x, y) Z2(x, y)(如图10.3.1).此时三重积分可化为z2(x,y)f(x,y, z)dv d f (x,y,z)dzz1(x,y)D即先对z积分再计算在D上的二重积分(先一后二法).302D {（x,y ）y i （x ） y y 2（x ）,a x b}把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式by 2（ x ）Z 2（x,y ）f （x,y,z ）dv a dx 『畑 dy ★』）f （x,y ,z ）dz ・即把三重积分化为先对 z ,再对y ,最后对x 的三次积分如果平行于x 轴或y 轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面S 相交不多于两点,也可把闭区域 投影到yoz 面上或xoz 面上，这样便可以把三重积分化为按其他顺序 的三次积分.因此，在直角坐标系下的三重积分可能有6种不同顺序的三次积分如果平行于坐标轴且穿过闭区域内部的直线与边界曲面 S 的交点多于两个，也可像处理二重积分那样，把 分成若干部分，使 上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积 分的和.xdxdydz ,其中积分区域为平面x 2y z 1及三个坐标面所围成的闭区域假如闭区域（ 10.3.2）例10.3.1计算三重积分I解积分区域是如图10.3.2所示的四面体,将投影在xoy面，投影区域D为1 xD {(x,y) 0 y 〒，0 x 1}在D内任取一点(x, y),过此点作平行于z轴的直线,该直线通过平面z 0穿入后通过平面z 1 x 2y穿出外,所以，积分区域表示为{(x, y, z) 0 1 x 2y，0 y —,0 x2 1}.是，由公式(10.3.2)得柱面z 10.3.2计算三重积分22 x所围成的闭区域.xdxd ydz dxdyDxdv，积分区域如图10.3.3所示,x 2yxdz1 x12dx dy0 0x 2yxdz积分区域表示为{( x, y,z) x2 2y2 z1 g2xdx (1 x0 0 '2y)dy1 1(x 2x2x3)dx —4 048其中积分区域为椭圆抛物面z在xoy坐标面上的投影区域为{(x, y) x22 x2, (x, y)2 2x 2y及抛物y21}.D}3042 x2xdv d 22xdzx 22y2D1 dx i i dxi2先二后一法1 x2 2 x 2 1 x 2 dy x 2 2y 2 xdz E 2 21 x 22x(1 x y )dy图 10.3.32x2^2x 2y+ y有时,我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间区域 如图10.3.4所示，则G Z C 2, Z （C|,C 2）,过z点作z轴的垂面，与区域 的截面为D z ,则 c 2f (x,y,z)dv dz f (x,y,z)d q Dz即先计算在 D z 上的二重积分，再对z 积分（先二后一法）.例10.3.3计算三重积分2 z dv ,其中 是椭球体 图 10.3.4 2 x {(x,y,z)—a 2 y_b 2 1}.解将投影到 z 轴上，则 z c ,对任意z （ c,c ）,过点（0,0,z ）的平面截椭 2 x 球体得到椭圆域为 D z : 2 a2 y b 2 c,c ）（如图10.3.5）,即空间闭区域 可表 示为 (x,y,z)2y_b22z2, c z c c于是(x,y)10.3.3柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算 1利用柱坐标系计算三重积分空间直角坐标系中，将 xoy 面用极坐标系表示所建立的坐标系就是 柱坐标系.设M (x, y,z)为空间直角坐标系中一点z 2dvdz dxdyD zcab 1c2Z 2 .2 z dz c4 15abc 3但是,若采用“先一后二法”投影到xoy 平面上得 z 2dva dxa任dyb 1x2c 1z 2dzc此积分很难完成•a dxa图 10.3.5306图 10.3.6此点在xoy 面上投影点P （x, y,0）表示成相应的极坐标形式为（r,），贝U M 点的柱坐标为（r, ,z ）（如图10.3.6）.这里规定r , , z 的变化范围为0 r , 02 , z在柱坐标系中：r r 0 （常数），表示以z 轴为中心的圆柱面；z z ° （常数）,表示平行于xoy 坐标面的平面空间直角坐标与柱坐标的关系为x r cosy rsi nz z.现在要把三重积分f （x , y , z ）dv中的变量变换为柱面坐标.为此，用r 常数， 常数，z 常数把 分成许多小闭区域，除了含 的边界点的一些不规则小闭区域外 ，这种小 闭区域都是柱体.考虑由r ，，z 各取得微小增量 dr ，d ，dz 所成的柱体的体积（如图1037）.这个体积等于高和底面积的乘积.现在高为dz 、底面积在不计高阶无穷小时为rdrd （即极坐标系中的面积元素），于是得dv rdrd dz ,这就是柱面坐标系中的体积元素 .0 （常数），表示通过z 轴的半平面，此半平面与zox 面的夹角为 0 ；( 10.3.2)(10.3.3).设空间区域 在xoy 面上的投影区域 D ｛（r , ） 1（） r 2（）,空间区域 {(r, ,z)z !(r, ) z z 2(r, ), (r, ) D}则柱坐标系下的三重积分化为三次积分为:f （r cos , rsin ,z ）rdrd dz2 ( ) §(r,)1()rdrz“)f(rcos ,rsin ,z)dzzdv ，其中 是由圆锥面z , x 2 y 2、圆柱面x 2 y 2 2x 与平面z 0所围成的闭区域图 10.3.7例10.3.4计算三重积分再注意到关系式（10.3.2）,就得到三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式解积分区域在xoy平面上的投影区域（如图10.3.8），308D {(x,y)x 2 y 22x},并且 0 z J X 2 — ,于是，{(r, , z) 0 z r, 0 r 2 cos ,—252cosrzdv zrdrd dz 2 d rdr zdz0 022利用球坐标系计算三重积分 除直角坐标系、柱坐标系之外，空间点还可以用球坐标系表示 .设M(x,y,z)为空间直角坐标系中一点，此点在xoy 面上投影点为P(x, y,0)，用r 表示点M 到原点o 的距离， 表示x 轴正向按逆时针到向量OP 的转角， 表示z 轴正向与向量 OM 的夹角，则坐标(r,,)称为点M 的球坐标(如图10.3.10).这里r，，的变化范围为10.3.5 计算三重积分dxdydz1 x2是由抛物面x 2y 2 4z 及平面z h (h 0)所围成的闭区域在柱坐标系下积分区域表示为 (如图 10.3.9){(r, ,z)「h,0 2 h ,0dxdydz 1 x 2y24[(14h)l n(1 4h) 4h].图 10.3.9图 10.3.83 4310点M 的球坐标（r,,）与直角坐标（x,y,z ）的关系:x r sin cos y r sin sinz r cosr ，，各取得微小增量dr ，d ，d 所成的六面体的体积（如图10.3.11）.不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方体 ，其经线方向的长为rd ，纬线方向的宽为rsin d ，向径方向的高为dr ，于是得2dv r sin drd d .这就是球面坐标系中的体积元素 .(10.3.4)在球坐标系下，r 常数，表示中心在原点的球面; 常数，表示原点为顶点，z 轴为中心轴的圆锥面. 常数,表示过z 轴的半平面;为了把三重积分中的变量从直角坐标系变换为球面坐标,设f （x, y,z ）定义在空间有 界闭区域 上的连续函数，用 r 常数， 常数, 常数，分割空间区域,考虑由再注意到关系式(1034),就得到三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式(10.3.5).f(x, y, z)dv f (r sin cos , rsin sin ,rcos )r2sin drd d (10.3.5)要计算变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化为对r 例10.3.6计算三重积分(x2y2z2)d xd yd zz , x2y2与球面z , 12 x2y2所围成的闭区域.解在球坐标系下，圆锥面z x2y2的方程为,4 球面z 12 x2y2的方程为z 2 3.如图10.3.12所示，表示为{(r, , ) 0 r 2 込，0 2 ，0于是2 2 2 2 2(x y z ) dxd ydz r r sin drd d 、对4}及对的三次积分.图10.3.11r 2 34图10.3.12中是由圆锥面312(2) (x 2 y 2)dxdyd 乙其中积分区域是由曲面.x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成的闭区域.5.选用适当的坐标计算下列三次积分1<i~x 2" 13 (1),dx 0 dy TP Z dz;1y(2)1 dx 0■：1 x 2 (4 x 2 y 20 dy 0 dz ；习题10.31. 化三重积分 f(xyz)dv 为三次积分，其中积分区域分别是：(1) 由曲面z x 2 y 2及平面z 1所围成的闭区域；2 2(2) 由圆柱面x y 1及平面z 1, z 0, x 0, y 0所围成的位于第一卦限内的 闭区域. 2.计算三重积分zdxdyd 乙其中积分区域 是由三个坐标面及平面x y z 1所围成的闭区域.3.利用柱面坐标计算下列积分 .(1) 2(x 2 y 2)dv,其中 是由圆柱体x 2 y 2 1、z 0及z 3所围成的闭区域.(2)x2y 2dxdydz ，其中 是由曲面z9 x 2 y 2与z 0所围成的闭区域；x 2dxdydz , 其中 是由曲面z 2j x 2 y 2,x 2 y 24. 利用球面坐标计算下列积分 .y 2dxdyd 乙其中积分区域 为介于两球面 x 2间的部分44sin2Jdr288. 3 5(2 ,2).1与z 0所围成的闭区域.2 2 2 2 2 1 2亠 z a 与 x y z b 之(1)2 2z x y 及平面z 1所围成，已知其任一点处的密度 与到z 轴距离成正比，求其质量m .10.4重积分的应用我们曾用元素法讨论了定积分的应用问题，该方法也可以推广到重积分的应用中.假设所求量U 对区域D 具有可加性，即当区域 D 分成若干小区域时，量 U 相应地分 成许多部分量，且量 U 等于所有部分量之和•在 D 内任取一直径很小的小区域 d ，设 (x,y)是d 上任一点，如果与d 相应的部分量可以近似地表示为f(x,y)d 的形式，那么所求量U 就可用二重积分表示为 u f(x,y)d ，其中f (x, y)d 称为所求量U 的元素或D微元，记为dU ，即dU f (x, y)d •10.4.1 立体体积和平面图形的面积设一立体 ，它在xOy 面上的投影为有界闭区域 D ，上顶与 下底分别为连续曲面 z Z 2(x, y)与z Z 1(x, y)，侧面是以D 的边界 曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，求此立体的体积 V (如图10.4.1) •在区域D 内任取一直径很小的小区域d ，设(x,y)是d图10.4.1上任一点，以d 的边界曲线为准线作母线平行于 z 轴的柱面，截立体得一个小柱形 (如图10.4.1)，因为d的直径很小，且z Z 2(x, y) , z Z 1(x, y)在D 上连续，所以可用高为 z Z 2(x,y) z Z 1(x,y)，底为d 的小平顶柱体的体积作为小柱形体积的近似值，得体积 元素为dV [ Z 2 (x, y) Z 1(x, y)]d将体积元素在D 上积分，即得立体的体积6•—个物体由旋转抛物面 I I n I I I I I ■ Udi314解设所求图形的面积为 A ，所占区域为10.4.2 曲面面积假设曲面S 的方程为z f (x, y) ,S 在xOy 面上的投影是有界闭区域 D xy ，函数f (x, y)在D xy 上具有连续偏导数，求曲面 S 的面积A .2 2例10.4.1求由曲面z x y 及z 2 y 所围成的立体的体积.解 如图10.4.2所示，立体的上顶曲面是 2 2 2 22 x y ，下底曲面是z x y ，在xOy 面上的投影区域D 的边界曲线方程为X 2 1 ,它是上顶曲面和下底曲面的交线在 xOy面上的投影，是从 z x 2 y 2与z 2 x 2y 2中消去z 而得出的•利用极坐标，可得2V [(2 xD2 2y ) (x2 2y )]d2 [1 (xD 2y )]d1 d 0(1r 2)rdr4[r r]17]0图 10.4.2例10.4.2求曲线r 2sin 与直线3围成平面图形的面积 (如图 1043).利用极坐标可将区域 D 表示为3 r 2sin3d62si nrdr3r 262 si n d2 3sin 263(1 cos 2 6)d6/x高等数学 315在闭区域D xy 内任取一直径很小的小区域 d ,设p(x,y)是d 内任一点，贝恤面S 上的对应点为M (x,y, f(x, y)).过点M 作曲面S 的切平面T ，并以小区域d 的边界曲线为 准线，作母线平行于z 轴的柱面，它在曲面S 和切平面T 上分别截得小块曲面 A 和小块切平面dA (如图1044).显然，A 与dA 在xOy 面上的投影都是d ，因为d 的直径很小，所以小块曲面的面积就可以用小块切平面的面积近似代替，即有A dA ，从而dA 为曲面S 的面积元素.设曲面s 在点M 处的法向量与z 轴正向的夹角为锐角 ，则切平面T 与xOy 面的夹角 也为(如图10.4.5)，于是d dA cos注意到切平面的法向量为n ={ f x (x,y), f y (y,z),1}，所以即得 dAcos dcos11 f x 2(x, y) f y 2(x,y) 1 f x2 (x, y)f y 2 (x, y)d ,这就是曲面 S 的面积元素，在 D xy 上积分得曲面 S 的面积为这就是计算曲面面积的公式.图 10.4.4图 10.4.5。