授课题目§9.1二重积分的概念与性质
课时安排
2
教学目的、要求：
1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。
教学重点、难点：二重积分的几何意义
教学内容
一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义
引例：（1）.曲顶柱体的体积。
（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。
求总质量（或电荷）。
2．二重积分的几何意义
二、二重积分的性质
性质1、
，为非零常数；
(,)(,)D D
kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰
⎰⎰k 性质2、；
{(,)(,)}D
f x y
g x y d σ±⎰⎰
(,)(,)D
D
f x y d
g x y d σσ=±⎰⎰⎰⎰性质3、若，且（除边沿部分外），则
12D D D =+12D D φ= 12
(,)(,)(,)D
D D f x y d f x y d f x y d σσσ
=+⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
性质4、若，，则：
；
(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D
D
f x y d
g x y d σσ≥⎰⎰
⎰⎰性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使
),(y x f D D ),(ηξA
f d y x f D
⋅ηξ=
σ⎰⎰),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=
0=y =σ⎰⎰D
d π
2例2 求在区域：上的平均值
222),(y x R y x f --=
D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同
之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .⎰⎰
++=D
d y x I σ)94(22D 42
2≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）
授课类型： 理论课
教学方式：讲授
教学资源：多媒体
填表说明：每项页面大小可自行调整。
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石 家 庄 经 济 学 院
高等数学课程教案
授课题目
三重积分（1）
课时安排
2
教学目的、要求：
1.理解三重积分的概念，了解重积分的性质。
2.熟练掌握三重积分在直角坐标系下的计算方法。
教学重点、难点
重点：三重积分的概念与计算。
难点：三重积分的计算。
教学内容
一、三重积分的概念 1．定义 2 物理意义
二、三重积分的计算——利用直角坐标计算三重积分
1若，在面上的投影区域为
()()()(){
}
xy D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤=Ω,,,,,,21Ωxoy ,若，则三重积分可化为如下三次积分：xy D ()()(){
}b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=,,21()()()
()()
()
dz
z y x f dy dx dv z y x f y x z y x z x y x y b
a ⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰=Ω
,,2121,,,,例1 求，闭区域Ω由平面x +2y +z =1与三个坐标面围成。
⎰⎰⎰Ω
xdxdydz 2“先二后一法”设空间闭区域，其中是竖标
()(){}21,,,,c z c D
y x z y x z
≤≤∈=
Ωz D 为z 的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域，则有
Ω()()dxdy
z y x f dz dv z y x f z
D c c ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω
,,,,2
1 例
2 计算三重积分，其中 是由椭球面所成的空间闭区域.
dxdydz z ⎰⎰⎰Ω
2Ω122
2222=++c z b y a x 补例略
讨论、思考题、作业：
P106 1（1）（3），4，5，6，7
授课类型： 理论课
教学方式：讲授
教学资源：多媒体
高等数学课程教案
授课题目 三重积分（2）
课时安排
2
教学目的、要求：
1.理解柱坐标系、球坐标系的概念。
2.熟练掌握三重积分在柱坐标系、球坐标系下的计算方法。
教学重点、难点
1重点：三重积分在柱坐标系下的计算方法。
2难点：三重积分在球坐标系下的计算方法。
教学内容
1．利用直角坐标计算三重积分
2、利用柱面坐标计算三重积分
点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式为 ：M ⎪⎩
⎪
⎨⎧===z z y x θ
ρθρsin cos 三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式为
()()dz d d z f dxdydz z y x f θρρθρθρ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
=,sin ,cos ,,3、利用球面坐标计算三重积分点的直角坐标与球面坐标间的关系为 M ⎪⎩
⎪
⎨⎧===ϕθ
ϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
=θ
ϕϕϕθϕθϕd drd r
r r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2
例 1利用柱坐标计算三重积分
,其中是由曲面与平面z=4所围dxdydz z ⎰⎰⎰
Ω
Ω2
2y x z +=成的闭区域。
2求半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积。
a α讨论、思考题、作业：
P106 9，10（2），12（1）（2）
授课类型： 理论课
教学方式：讲授
教学资源：多媒体
高等数学课程教案
授课题目 重积分的应用
课时安排
2
教学目的、要求：
1. 掌握用重积分来表达一些几何量（如平面图形的面积、体积、曲面面积）的方法。
2 .理解、掌握用重积分表达一些物理量（如质量、质心坐标、转动惯量、引力等）的方法。
教学重点、难点
重点：重积分在几何上的应用。
难点：重积分在物理上的应用。
教学内容 一、曲面的面积
A z x z y dxdy D xy
=+⎛⎝ ⎫⎭
⎪
+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪⎰⎰
12
2
∂∂∂∂二、质心 ， ⎰⎰⎰⎰=
=
D D y
d y x d y x x M
M x σ
μσ
μ),(),(⎰⎰⎰⎰==
D
D x
d y x d y x y M
M y σ
μσ
μ),(),(三、转动惯量 ，()σμd y x y I D
x ⎰⎰=
,2
()σ
μd y x x I
D
y
⎰⎰=,2四、引力
()
()()()()()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩv d r z z z y x G dv r y y z y x G dv r x x z y x G F F F F z y x 303030,,,,,,,,,,ρρρ例1求球面x y z a 2222
++=含在柱面x
y ax 22+=(a >0) 内部的面积。
例2求位于两圆
和之间的均匀薄片的质心。
例3求由抛物线y x =2
及直线y =1所围成
θρsin 2=θρsin 4=的均匀薄片(面密度为常数)对于直线y
=-1的转动惯量。
例4设半径为的匀质球占有空
ρR 间闭区域，求它对位于 处的单位质量
(){
}2
22
2,,R
z y x z y x ≤++=Ω()a M
,0,00
()R a >的质点的引力。
讨论、思考题、作业：
P116 1，2，4（1）（3），7（1）
授课类型： 理论课
教学方式：讲授
教学资源：多媒体
高等数学课程教案
授课题目第九章总结习题课课时安排2
教学目的、要求：
通过对重积分的复习，使学生全面熟练掌握二重积分和三重积分的计算法，并会运用之
教学重点、难点
重积分转化成单积分的定序定限问题及应用
教学内容
一．二重积分的计算法
1．直角坐标系下2 极坐标系下
二．三重积分的计算法
1．直角坐标 2 柱面坐标 3 球面坐标
三．重积分的应用
例题
讨论、思考题、作业：
作业：P124 2（2）（4），3（2）7（3）8
授课类型：复习教学方式：讲练结合教学资源：多媒体
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石家庄经济学院。
