第四章常微分方程§4．1 基本概念和一阶微分方程甲内容要点一．基本概念1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。
2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。
不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
二．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221 ()()()0,012≠≠y N x M2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令u x y=， 则()u f dxdu x u dx dy =+=()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln（2）()()0,0≠≠++=b a c by ax f dxdy令u c by ax =++， 则()u bf a dxdu+=()c x dx u bf a du+==+⎰⎰（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy①当02211≠=∆b a b a 情形，先求出⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解()βα, 令α-=x u ，β-=y v则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv 22112211属于齐次方程情形 ②当02211==∆b a b a 情形，令λ==1212b b a a 则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=211111c y b x a c y b x a f dx dyλ 令y b x a u 11+=， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+=211111c u c u f b a dx dyb a dx du λ 属于变量可分离方程情形。
三．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy它也是变量可分离方程，通解公式()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数）2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y代入方程求出()x C则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx ex Q ey dxx P dxx P3．贝努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1yz把原方程化为()()()()x Q z x P dxdzαα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()xy P y Q dx dy -=1 可化为()()y Q x y P dydx=+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．全微分方程及其推广（数学一）1．全微分方程()()0,,=+dy y x Q dx y x P ，满足yPx Q ∂∂=∂∂ 通解：()C y x u =,，其中()y x u ,满足()()()dy y x Q dx y x P y x du ,,,+= 求()y x u ,的常用方法。
第一种：凑全微分法()()()y x du dy y x Q dx y x P ,,,==+把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。
（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+222y x d ydy xdx ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-222y x d ydy xdx ；（3）()xy d xdy ydx =+； （4）()xy d xy xdyydx ln =+；（5）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++2222ln 21y x d y x ydy xdx ； （6）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--2222ln 21y x d y x ydy xdx ； （7）⎪⎭⎫⎝⎛=-x y d x ydx xdy 2； （8）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y x d y xdyydx 2； （9）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-y x d y x xdy ydx arctan 22； （10）⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-x y d y x ydx xdy arctan 22；（11）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--y x y x d y x xdyydx ln 2122； （12）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-y x y x d y x ydxxdy ln 2122； （13）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++22222121y x d y x ydyxdx ；（14）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--22222121y x d y xydyxdx ；（15）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++22222arctan 211y x d y x ydy xdx ；（16）()()⎪⎭⎫⎝⎛-=-+-22222arctan 211y x d yx ydy xdx ；第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）()()()()()()⎰++=y x y x dy y x Q dx y x P y x u y x u ,,0000,,,,()()()⎰⎰++=yy x x dy y x Q dx y x P y x u 0,,,000第三种：不定积分法 由()y x P xu,=∂∂得 ()()()⎰+=y C dx y x P y x u ,,对y 求导， 得()()[]()y C dx y x P yy u y x Q '+∂∂=∂∂=⎰,,，求出()y C '积分后求出()y C2．全微分方程的推广（约当因子法）设()()0,,=+dy y x Q dx y x P 不是全微分方程。
不满足yPx Q ∂∂=∂∂ 但是存在()y x R ,使得()()()()0,,,,=+dy y x Q y x R dx y x P y x R 为全微分方程， 也即满足[][]yRP x RQ ∂∂=∂∂ 则()y x R ,称为约当因子，按全微分方程解法仍可求出()()()()()y x du dy y x Q y x R dx y x P y x R ,,,,,=+通解()C y x u =,。
这种情形，求约当因子是关键。
乙 典型例题5432考研论坛（ ）友情提供下载 一．变量可分离方程及其推广例1．求下列微分方程的通解。
（1）()()022=-++dy y x y dx x xy（2）()()0=++-++dy e e dx e ey y x x yx例2．求下列微分方程的通解。
（1）x y e dx dy x y+= （2）dxdy xy dx dy x y =+22 （3）()x y y dx dy x ln ln -= （4）()214++=y x dxdy 解：（1）令u xy=，则dx du x u dx dy +=，原方程化为u e dx du x u u +=+，⎰⎰+=1C x dxedu uCx C x e uln ln 1=+=--Cx exy ln -=-（注：10,0<<∴>-Cx exy ）（2）()022=-+dxdy xy x y ；2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=x y x y x xy y dx dy 令u xy=，则12-=+u u dx du x u ()01=-+du u x udx⎰⎰=+-11C x dxdu u u1ln C u xu =- uuC Ce e xu ==+1，xyCe y =∴（3）x y x y dx dy ln =，令u xy=，则u u dx du x u ln =+()⎰⎰+=-11ln C x dxu u du Cx u ln 1ln ln =-Cx u +=1ln ，Cxeu +=1，Cxxey +=1（4）令u y x =++14，则dx u du =+142，⎰⎰+=+1214C dx u du()C y x C u x +++=+=142arctan 212arctan 21 例3．求微分方程22y x y dxdyx +=-的通解。
例4．求微分方程22yx x ydx dy +-=例5．求微分方程()()232211y dxdyx x y +=+-的通解。
例6．求微分方程2222yxy x xyy dx dy +--=的通解。
例7．求微分方程2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=y x y dx dy例8．求微分方程51+-+-=x y x y dx dy 的通解二．一阶线性方程及其推广例．求下列微分方程的通解（1）()25112+=+-x x y dx dy （2）x y dxdyx sin 2=+（3）4yx y dx dy += （4）()0tan sin =+-ydx dy y x 解：（1）直接用常数变易法对应的齐次线性方程为12+=x y dx dy ，通解()21+=x C y 令非齐次线性方程()25112+=+-x y x dx dy 的通解为()()21+⋅=x x C y代入方程得 ()()()25211+=+⋅'x x x C()()211+='x x C ，()()C x x C ++=23132故所求方程的通解为 ()()()()22722311321132+++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x C x x C x y（2）直接用通解公式（先化标准形式xx y x dx dy sin 2=+） ()x x P 2=，()xxx Q sin = 通解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x x e y dxx dx x 22sin []()C x x x x C xdx x x +-=+=⎰-cos sin 1sin 122（3）此题不是一阶线性方程，但把x 看作未知函数，y 看作自变量，所得微分方程 y y x dy dx 4++即31y x ydy dx =- 是一阶线性方程 ()yy P 1-=，()3y y Q = Cy y C dy ey e x dyy dy y +=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-413131 （4）此题把x 看作未知函数，y 看作自变量所得微分方程为()y x y dydxcos cot =+，()y y P cot =，()y y Q cos = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C y y C dy ye e x ydyydy 2cot cot sin 21sin 1cos§4．2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）甲 内容要点一．可降阶的高阶微分方程二．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
