第四章常微分方程
§4．1 基本概念和一阶微分方程
甲内容要点
一．基本概念
1．常微分方程
含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。
2．微分方程的阶
微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶
3．微分方程的解、通解和特解
满足微分方程的函数称为微分方程的解；
通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；
通解有时也称为一般解但不一定是全部解；
不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件
要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5．积分曲线和积分曲线族
微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6．线性微分方程
如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零
的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
二．变量可分离方程及其推广
1．变量可分离的方程
（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dx
dy
通解
()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）
（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解
()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221 ()()()0,012≠≠y N x M
2．变量可分离方程的推广形式
（1）齐次方程
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令u x y
=， 则()u f dx
du x u dx dy =+=
()c x c x
dx
u u f du +=+=-⎰⎰
||ln
（2）
()()0,0≠≠++=b a c by ax f dx
dy
令u c by ax =++， 则()u bf a dx
du
+=
()c x dx u bf a du
+==+⎰⎰
（3）
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy
①当022
1
1≠=
∆b a b a 情形，先求出⎩⎨⎧=++=++00
222111
c y b x a c y b x a 的解()βα, 令α-=x u ，β-=y v
则⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv 22112211属于齐次方程情形 ②当02
2
11==
∆b a b a 情形，
令
λ==1
2
12b b a a 则
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++=211111c y b x a c y b x a f dx dy
λ 令y b x a u 11+=， 则
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=+=211111c u c u f b a dx dy
b a dx du λ 属于变量可分离方程情形。
三．一阶线性方程及其推广
1．一阶线性齐次方程
()0=+y x P dx
dy
它也是变量可分离方程，通解公式()⎰-=dx
x P Ce y ，（c 为任意常数）
2．一阶线性非齐次方程
()()x Q y x P dx
dy
=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dx
x P e
x C y
代入方程求出()x C
则得()()()[]
⎰+=⎰⎰-C dx e
x Q e
y dx
x P dx
x P
3．贝努利方程
()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx
dy
令α
-=1y
z
把原方程化为
()()()()x Q z x P dx
dz
αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：
()()x
y P y Q dx dy -=1 可化为
()()y Q x y P dy
dx
=+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．全微分方程及其推广（数学一）
1．全微分方程
()()0,,=+dy y x Q dx y x P ，满足y
P
x Q ∂∂=∂∂ 通解：()C y x u =,，
其中()y x u ,满足()()()dy y x Q dx y x P y x du ,,,+= 求()y x u ,的常用方法。 第一种：凑全微分法
()()()y x du dy y x Q dx y x P ,,,==+
把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。
（1）⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+222y x d ydy xdx ；
