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高等数学下电子教案一、引言1.1 课程介绍本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科生和研究生，涵盖高等数学的基本概念、理论和方法。
1.2 教学目标通过本课程的学习，使学生掌握高等数学的基本知识，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、极限与连续2.1 极限的定义与性质2.1.1 极限的定义2.1.2 极限的性质2.1.3 极限的存在性定理2.2 无穷小与无穷大2.2.1 无穷小的概念2.2.2 无穷小的比较2.2.3 无穷大2.3 极限的运算法则2.3.1 极限的四则运算法则2.3.2 复合函数的极限2.4 极限的求解方法2.4.1 直接代入法2.4.2 因式分解法2.4.3 洛必达法则2.5 连续函数的性质2.5.1 连续函数的定义2.5.2 连续函数的性质2.5.3 连续函数的例子三、导数与微分3.1 导数的定义与性质3.1.1 导数的定义3.1.2 导数的性质3.1.3 导数的计算法则3.2 高阶导数3.2.1 二阶导数3.2.2 三阶导数及更高阶导数3.3 隐函数求导3.3.1 隐函数求导的基本方法3.3.2 隐函数求导的例子3.4 微分3.4.1 微分的定义3.4.2 微分的性质3.4.3 微分的计算四、微分中值定理与导数的应用4.1 微分中值定理4.1.1 罗尔定理4.1.2 拉格朗日中值定理4.1.3 柯西中值定理4.2 导数的应用4.2.1 函数的单调性4.2.2 函数的极值4.2.3 函数的凹凸性五、不定积分与定积分5.1 不定积分5.1.1 不定积分的概念5.1.2 不定积分的性质5.1.3 不定积分的计算方法5.2 定积分5.2.1 定积分的概念5.2.2 定积分的性质5.2.3 定积分的计算方法5.3 定积分的应用5.3.1 面积的计算5.3.2 弧长的计算5.3.3 质心、转动惯量的计算六、定积分的进一步应用6.1 定积分在几何中的应用6.1.1 计算平面区域的面积6.1.2 计算曲线围成的面积6.1.3 计算旋转体的体积6.2 定积分在物理中的应用6.2.1 计算物体的质量6.2.2 计算物体受到的力6.2.3 计算物体的动能和势能6.3 定积分在概率论中的应用6.3.1 概率密度函数的定义6.3.2 计算概率6.3.3 计算期望和方差七、微分方程7.1 微分方程的基本概念7.1.1 微分方程的定义7.1.2 微分方程的阶数7.1.3 微分方程的解7.2 一阶微分方程7.2.1 分离变量法7.2.2 积分因子法7.2.3 变量替换法7.3 高阶微分方程7.3.1 线性高阶微分方程7.3.2 非线性高阶微分方程7.3.3 常系数线性微分方程八、线性代数8.1 矩阵8.1.1 矩阵的定义8.1.2 矩阵的运算8.1.3 矩阵的性质8.2 线性方程组8.2.1 高斯消元法8.2.2 克莱姆法则8.2.3 矩阵的逆8.3 向量空间与线性变换8.3.1 向量空间的概念8.3.2 线性变换的概念8.3.3 特征值与特征向量九、概率论与数理统计9.1 概率论基本概念9.1.1 随机试验与样本空间9.1.2 事件与概率9.1.3 条件概率与独立性9.2 离散型随机变量9.2.1 离散型随机变量的定义9.2.2 离散型随机变量的分布律9.2.3 离散型随机变量的期望与方差9.3 连续型随机变量9.3.1 连续型随机变量的定义9.3.2 连续型随机变量的分布函数9.3.3 连续型随机变量的期望与方差9.4 数理统计的基本概念9.4.1 统计量与抽样分布9.4.2 估计理论9.4.3 假设检验十、复变函数10.1 复数的基本概念10.1.1 复数的定义10.1.2 复数的运算10.1.3 复数的性质10.2 复变函数的基本概念10.2.1 复变函数的定义10.2.2 复变函数的运算10.2.3 复变函数的性质10.3 复变函数的积分10.3.1 复变函数的积分公式10.3.2 复变函数的积分计算10.3.3 复变函数的line integral10.4 复变函数的应用10.4.1 复变函数在几何中的应用10.4.2 复变函数在物理中的应用10.4.3 复变函数在工程中的应用重点和难点解析一、极限与连续1.1 极限的定义与性质：理解极限的概念，特别是无穷小和无穷大的比较，以及极限的存在性定理。
2024年高等数学电子教案word一、教学内容本教案依据《高等数学》教材，涉及第三章“一元函数微分学”的3.1节至3.3节。
详细内容包括导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、微分中值定理及导数的应用等。
二、教学目标1. 理解并掌握导数的定义，能熟练运用导数求解实际问题。
2. 掌握求导法则，能对常见函数求导。
3. 了解导数与函数图形的关系，能运用导数分析函数的性质。
三、教学难点与重点重点：导数的定义及求导法则，导数的应用。
难点：高阶导数的求法，隐函数求导，微分中值定理的理解与应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、《高等数学》辅导书、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中的优化问题，如最短路径、最大利润等，引导学生思考如何解决这类问题，从而引出导数的概念。
2. 理论讲解（10分钟）详细讲解导数的定义、几何意义、物理意义等，让学生对导数有一个全面的认识。
3. 例题讲解（15分钟）讲解例题，涵盖求导法则、高阶导数、隐函数求导等，让学生掌握求导方法。
4. 随堂练习（10分钟）设计针对性强的练习题，让学生及时巩固所学知识。
5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 黑板左侧：导数的定义、求导法则、高阶导数公式。
2. 黑板右侧：例题及解答，随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列函数的导数：y=x^3, y=sin(x), y=e^x。
（2）已知函数f(x)=x^2+3x+1，求f(x)在x=2时的导数。
（3）求隐函数y=x^2+2x^3的导数。
2. 答案：（1）y'=3x^2, y'=cos(x), y'=e^x。
（2）f'(x)=2x+3，所以f'(2)=7。
（3）y'=2x+6x^2。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对导数的定义和求导法则掌握较好，但在高阶导数和隐函数求导方面存在一定困难，需要在课后加强练习。
高等数学电子教案（下）《高等数学》2008 ,2009 学年第二学期教师姓名: 李石涛授课对象:1.化学工程与工艺0801,0803，应用化学0801，08022.高分子材料工程0801，0802;环境工程0801，0802授课学时: 128/64选用教材《高等数学》史俊贤主编大连理工大学出版社 2006/2基础部数学教研室沈阳工业大学教案第 1 周授课日期 09.2.18授课章节:第六章 6.1 定积分元素法教学目的: 1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,平面图形的面积、平面曲线的弧长,教学重点:平面图形的面积、平面曲线的弧长教学难点:平面图形的面积教学内容纲要:一、定积分的元素法,二、平面图形的面积、教学三、平面曲线的弧长、实采用的教学形式:讲授施过教学方法:启发式教学程教学步骤: 设1、复习定积分的概念～引出定积分的元素法, 计2、举例讲解平面图形的面积3、举例讲解平面曲线的弧长课后复习及作业或思考题:1、复习定积分的元素法。
2、课后习题6-2 1、2、4、5。
教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 1 周授课日期 09.2.20授课章节:6.2 定积分在几何学上的应用教学目的:1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些几何量,旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积,教学重点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学难点:旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积教学内容纲要:一、旋转体的体积、二、平行截面面积为已知的立体体积, 教学采用的教学形式:讲授实教学方法:启发式教学施教学步骤: 过1、复习定积分的元素法, 程2、举例讲解旋转体的体积设3、举例讲解平行截面面积为已知的立体体积计课后复习及作业或思考题:3、复习定积分的概念。
4、习题1～ 1 4、5、7、8、10、13。
教学后记:时间:沈阳工业大学教案第 2 周授课日期 09.2.25授课章节:6.3 定积分在物理学上的应用教学目的:1、理解定积分元素法的基本思想,2、掌握用定积分表达和计算一些物理量,变力做功、压力,。
高等数学下电子教案一、引言1.1 课程简介本课程是高等数学下的电子教案，主要面向大学本科阶段的学生。
通过本课程的学习，学生将掌握高等数学的基本概念、方法和技巧，为后续专业课程的学习和科研工作打下坚实的基础。
1.2 教学目标（1）理解并掌握高等数学的基本概念和原理；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力；（3）提高学生的数学素养和科学研究的初步能力。
二、极限与连续2.1 极限的概念（1）极限的定义；（2）极限的性质；（3）极限的存在条件。
2.2 极限的计算（1）基础极限公式；（2）无穷小和无穷大的比较；（3）极限的运算法则。
2.3 连续性（1）连续性的定义；（2）连续函数的性质；（3）连续函数的判定定理。
三、导数与微分3.1 导数的概念（1）导数的定义；（2）导数的几何意义；（3）导数的物理意义。
3.2 导数的计算（1）基本导数公式；（2）导数的运算法则；（3）高阶导数。
3.3 微分（1）微分的定义；（2）微分的运算法则；（3）微分在近似计算中的应用。
四、积分与面积4.1 不定积分（1）不定积分的概念；（2）基本积分公式；（3）积分的换元法和分部法。
4.2 定积分（1）定积分的概念；（2）定积分的性质；4.3 面积计算（1）平面区域的面积计算；（2）曲线的面积计算；（3）旋转体的体积计算。
五、微分方程5.1 微分方程的基本概念（1）微分方程的定义；（2）微分方程的解法；（3）微分方程的应用。
5.2 线性微分方程（1）线性微分方程的定义；（2）线性微分方程的解法；（3）线性微分方程的解的存在性定理。
5.3 非线性微分方程（1）非线性微分方程的定义；（2）非线性微分方程的解法；（3）非线性微分方程的应用。
六、级数6.1 级数的基本概念（1）级数的定义；（2）级数的收敛性；6.2 幂级数（1）幂级数的概念；（2）幂级数的收敛半径；（3）幂级数的运算。
6.3 泰勒级数和麦克劳林级数（1）泰勒级数的概念；（2）泰勒级数的展开；（3）麦克劳林级数。
教学对象：大学本科一年级教学目标：1. 理解不定积分的概念，掌握不定积分的计算方法。
2. 熟练运用不定积分解决实际问题，如求解函数的微分方程、计算定积分等。
3. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点：1. 不定积分的概念和计算方法。
2. 不定积分在实际问题中的应用。
教学难点：1. 不定积分的计算方法。
2. 不定积分在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入1. 复习不定积分的定义和性质。
2. 引入不定积分在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 不定积分的概念- 引入不定积分的定义，解释不定积分的几何意义。
- 通过实例说明不定积分在几何中的应用。
2. 不定积分的计算方法- 介绍基本积分公式和积分技巧。
- 通过实例讲解不定积分的计算方法。
3. 不定积分在实际问题中的应用- 求解函数的微分方程。
- 计算定积分。
三、课堂练习1. 基本积分公式的应用。
2. 不定积分的计算。
3. 求解函数的微分方程。
4. 计算定积分。
四、课堂小结1. 总结本节课的重点内容。
2. 强调不定积分在实际问题中的应用。
五、课后作业1. 完成课后练习题。
2. 预习下一节课的内容。
教学评价：1. 课堂练习题的正确率。
2. 课后作业的完成情况。
3. 学生对不定积分的理解和应用能力。
教学反思：1. 本节课是否达到了教学目标。
2. 学生对不定积分的理解程度。
3. 教学过程中是否存在难点，如何改进。
教学资源：1. 教材：《高等数学》（下册）2. 多媒体课件3. 练习题集注：以上教案模板仅供参考，教师可根据实际情况进行调整。
《高等数学2》教案一、课程基本信息课程名称：高等数学 2课程类型：公共基础课授课对象：＿____专业大一学生学分：＿____学时：＿____二、课程目标1、使学生掌握多元函数微积分学的基本概念、基本理论和基本方法。
2、培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运算能力。
3、为学生学习后续课程以及解决实际问题提供必要的数学基础。
三、课程内容（一）多元函数的极限与连续1、多元函数的概念（1）通过实例引入多元函数的概念，如空间中温度的分布、物体的质量分布等。
（2）讲解二元函数的定义、定义域的确定方法。
2、多元函数的极限（1）介绍多元函数极限的定义，通过图形和实例帮助学生理解。
（2）分析多元函数极限的计算方法，与一元函数极限进行对比。
3、多元函数的连续性（1）讲解多元函数连续性的定义和判定方法。
（2）探讨连续函数的性质，如局部有界性、局部保号性等。
（二）偏导数与全微分1、偏导数的概念（1）通过实际问题引出偏导数的概念，如研究温度随地理位置的变化。
（2）讲解偏导数的定义和计算方法。
2、全微分（1）介绍全微分的概念和定义。
（2）讲解全微分存在的条件和计算方法。
（三）多元复合函数与隐函数求导法则1、多元复合函数求导法则（1）通过具体例子讲解多元复合函数的求导方法，如链式法则。
（2）强调求导过程中的注意事项。
2、隐函数求导法则（1）介绍隐函数的概念和存在定理。
（2）讲解隐函数求导的方法，通过实例进行巩固。
（四）多元函数的极值与最值1、多元函数的极值（1）讲解多元函数极值的定义和必要条件。
（2）介绍极值的充分条件，通过例题进行分析。
2、多元函数的最值（1）探讨在有界闭区域上求多元函数最值的方法。
（2）通过实际问题，如生产优化问题，进行应用。
（五）重积分1、二重积分的概念与性质（1）通过实例引入二重积分的概念，如求平面图形的面积。
（2）讲解二重积分的性质，如线性性、可加性等。
2、二重积分的计算（1）介绍直角坐标系下二重积分的计算方法。
高一下册数学教案全册高一下册数学教案电子版(三篇)高一下册数学教案全册高一下册数学教案电子版篇一1、结合实际问题情景，理解分层抽样的必要性和重要性；2、学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本；3、并对简单随机抽样、系统抽样及分层抽样方法进行比较，揭示其相互关系。
教学重点：通过实例理解分层抽样的方法。
教学难点：分层抽样的步骤。
教学过程：一、问题情境1、复习简单随机抽样、系统抽样的概念、特征以及适用范围。
2、实例：某校高一、高二和高三年级分别有学生名，为了了解全校学生的视力情况，从中抽取容量为的样本，怎样抽取较为合理？二、学生活动能否用简单随机抽样或系统抽样进行抽样，为什么？指出由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，用简单随机抽样或系统抽样进行抽样不能准确反映客观实际，在抽样时不仅要使每个个体被抽到的机会相等，还要注意总体中个体的层次性。
由于样本的容量与总体的个体数的比为100∶2500=1∶25，所以在各年级抽取的个体数依次是。
即40，32，28。
三、建构数学1、分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”。
说明：①分层抽样时，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，每一个个体被抽到的可能性都是相等的；②由于分层抽样充分利用了我们所掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用。
高一下册数学教案全册高一下册数学教案电子版篇二教学目标：1、知识与技能目标：理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程，能从圆的标准方程熟练地写出它的圆心坐标与半径。
2、过程与方法目标：通过对圆的标准方程的推导及应用，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力。
第四章常微分方程§4．1 基本概念和一阶微分方程甲内容要点一．基本概念1．常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。
2．微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3．微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。
4．微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。
5．积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。
6．线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。
不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。
二．变量可分离方程及其推广1．变量可分离的方程（1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221 ()()()0,012≠≠y N x M2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 令u x y=， 则()u f dxdu x u dx dy =+=()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln（2）()()0,0≠≠++=b a c by ax f dxdy令u c by ax =++， 则()u bf a dxdu+=()c x dx u bf a du+==+⎰⎰（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy①当02211≠=∆b a b a 情形，先求出⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解()βα, 令α-=x u ，β-=y v则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv 22112211属于齐次方程情形 ②当02211==∆b a b a 情形，令λ==1212b b a a 则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=211111c y b x a c y b x a f dx dyλ 令y b x a u 11+=， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+=211111c u c u f b a dx dyb a dx du λ 属于变量可分离方程情形。
三．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy它也是变量可分离方程，通解公式()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数）2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y代入方程求出()x C则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx ex Q ey dxx P dxx P3．贝努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1yz把原方程化为()()()()x Q z x P dxdzαα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()xy P y Q dx dy -=1 可化为()()y Q x y P dydx=+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．全微分方程及其推广（数学一）1．全微分方程()()0,,=+dy y x Q dx y x P ，满足yPx Q ∂∂=∂∂ 通解：()C y x u =,，其中()y x u ,满足()()()dy y x Q dx y x P y x du ,,,+= 求()y x u ,的常用方法。
第一种：凑全微分法()()()y x du dy y x Q dx y x P ,,,==+把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。
（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+222y x d ydy xdx ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-222y x d ydy xdx ；（3）()xy d xdy ydx =+； （4）()xy d xy xdyydx ln =+；（5）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++2222ln 21y x d y x ydy xdx ； （6）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--2222ln 21y x d y x ydy xdx ； （7）⎪⎭⎫⎝⎛=-x y d x ydx xdy 2； （8）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y x d y xdyydx 2； （9）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-y x d y x xdy ydx arctan 22； （10）⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-x y d y x ydx xdy arctan 22；（11）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--y x y x d y x xdyydx ln 2122； （12）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-y x y x d y x ydxxdy ln 2122； （13）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++22222121y x d y x ydyxdx ；（14）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--22222121y x d y xydyxdx ；（15）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++22222arctan 211y x d y x ydy xdx ；（16）()()⎪⎭⎫⎝⎛-=-+-22222arctan 211y x d yx ydy xdx ；第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）()()()()()()⎰++=y x y x dy y x Q dx y x P y x u y x u ,,0000,,,,()()()⎰⎰++=yy x x dy y x Q dx y x P y x u 0,,,000第三种：不定积分法 由()y x P xu,=∂∂得 ()()()⎰+=y C dx y x P y x u ,,对y 求导， 得()()[]()y C dx y x P yy u y x Q '+∂∂=∂∂=⎰,,，求出()y C '积分后求出()y C2．全微分方程的推广（约当因子法）设()()0,,=+dy y x Q dx y x P 不是全微分方程。
不满足yPx Q ∂∂=∂∂ 但是存在()y x R ,使得()()()()0,,,,=+dy y x Q y x R dx y x P y x R 为全微分方程， 也即满足[][]yRP x RQ ∂∂=∂∂ 则()y x R ,称为约当因子，按全微分方程解法仍可求出()()()()()y x du dy y x Q y x R dx y x P y x R ,,,,,=+通解()C y x u =,。
这种情形，求约当因子是关键。
乙 典型例题5432考研论坛（ ）友情提供下载 一．变量可分离方程及其推广例1．求下列微分方程的通解。
（1）()()022=-++dy y x y dx x xy（2）()()0=++-++dy e e dx e ey y x x yx例2．求下列微分方程的通解。
（1）x y e dx dy x y+= （2）dxdy xy dx dy x y =+22 （3）()x y y dx dy x ln ln -= （4）()214++=y x dxdy 解：（1）令u xy=，则dx du x u dx dy +=，原方程化为u e dx du x u u +=+，⎰⎰+=1C x dxedu uCx C x e uln ln 1=+=--Cx exy ln -=-（注：10,0<<∴>-Cx exy ）（2）()022=-+dxdy xy x y ；2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=x y x y x xy y dx dy 令u xy=，则12-=+u u dx du x u ()01=-+du u x udx⎰⎰=+-11C x dxdu u u1ln C u xu =- uuC Ce e xu ==+1，xyCe y =∴（3）x y x y dx dy ln =，令u xy=，则u u dx du x u ln =+()⎰⎰+=-11ln C x dxu u du Cx u ln 1ln ln =-Cx u +=1ln ，Cxeu +=1，Cxxey +=1（4）令u y x =++14，则dx u du =+142，⎰⎰+=+1214C dx u du()C y x C u x +++=+=142arctan 212arctan 21 例3．求微分方程22y x y dxdyx +=-的通解。
例4．求微分方程22yx x ydx dy +-=例5．求微分方程()()232211y dxdyx x y +=+-的通解。
例6．求微分方程2222yxy x xyy dx dy +--=的通解。
例7．求微分方程2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=y x y dx dy例8．求微分方程51+-+-=x y x y dx dy 的通解二．一阶线性方程及其推广例．求下列微分方程的通解（1）()25112+=+-x x y dx dy （2）x y dxdyx sin 2=+（3）4yx y dx dy += （4）()0tan sin =+-ydx dy y x 解：（1）直接用常数变易法对应的齐次线性方程为12+=x y dx dy ，通解()21+=x C y 令非齐次线性方程()25112+=+-x y x dx dy 的通解为()()21+⋅=x x C y代入方程得 ()()()25211+=+⋅'x x x C()()211+='x x C ，()()C x x C ++=23132故所求方程的通解为 ()()()()22722311321132+++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x C x x C x y（2）直接用通解公式（先化标准形式xx y x dx dy sin 2=+） ()x x P 2=，()xxx Q sin = 通解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x x e y dxx dx x 22sin []()C x x x x C xdx x x +-=+=⎰-cos sin 1sin 122（3）此题不是一阶线性方程，但把x 看作未知函数，y 看作自变量，所得微分方程 y y x dy dx 4++即31y x ydy dx =- 是一阶线性方程 ()yy P 1-=，()3y y Q = Cy y C dy ey e x dyy dy y +=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-413131 （4）此题把x 看作未知函数，y 看作自变量所得微分方程为()y x y dydxcos cot =+，()y y P cot =，()y y Q cos = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C y y C dy ye e x ydyydy 2cot cot sin 21sin 1cos§4．2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）甲 内容要点一．可降阶的高阶微分方程二．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
