第9章多元函数微分法及其应用近年试题

0809 B

一、填空题（每小题3分，共18分）

2、设)ln(xyz，则其全微分dz ．

11dxdyxy

3、函数xyxyu2222的所有间断点是 .

2{(,)|2,,}xyyxxRyR

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、22),(yxxyyxf，则极限),(lim00yxfyx（ Ａ ）

（A）不存在 （B）1 （C）2 （D）0

A

当点(,)Pxy沿曲线ykx趋向(0,0)时，

222200lim(,)limxxykxkxfxyxkx21kk显然，当k取值不同是，极限也不相同。

所以 22(,)(0,0)limxyxyxy不存在．

2、在曲线32,,tztytx所有切线中，与平面433zyx平行的切线（ Ａ ）

（A）只有一条； （B） 只有两条； （C）至少有3条； （D） 不存在

曲线的切向量2((),(),())=(12,3)Tttttt，,平面的法向量(1,3,3)n

22(12,3)(1,3,3)1690tttt，,2(31)0t,1.3t得所以只有一条切线满足条件.

3、点0,0是函数xyz的（ Ｂ ）

（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对

分析: 令0,0xyzyzx,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是xyz的鞍点,不是极值点.

四、计算题（每小题8分，共32分）

1、设, , ,sinyxvxyuvezu求xz和yz

解 zffufvxxuxvxesinecose[sin()cos()]uuxyvyvyxyxy

esinecosuuzffufvvxvyyuyvye[sin()cos()]xyxxyxy

五、解答题（每小题分10，共20分）

1、要造一个容积为定数a的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？

解：设长方体的长宽高分别为,,,zyx则问题就是在条件(,,)0xyzxyza下

求函数 22Sxyxzyz )0,0,0(zyx

的最小值. 作拉格朗日函数

(,,)22(),Lxyzxyxzyzxyza

求其对,,,xyz的偏导数，并使之为零，得到 20,20,2()0,0.yzyzxzxzxyxyxyza

因为zyx,,都不等于零， 得 11,22zxy代入0xyza,得

33312,2,2,2xayaza这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得. 即长宽高为33312,2,22aaa时, 最小表面积233(2).Sa

0910B

一、填空题（每小题2分，共10分）

2、设函数),(yxfz是由方程zzyx4222给出，则全微分dz ．

2d224xxydyzdzdz,2xdxydydzz.

3、曲面14222zyx在点)3,2,1(P处的切平面方程为 .

切平面得法向量(1,2,3)(1,2,3)(2,2,2)nxyz(2,4,6),

切平面方程为2(1)+4(2)6(3)0,23140.xyzxyz或

二、选择题（每小题2分，共10分）

1、二元函数),(yxf在点),(00yx处可微是两个偏导数),(',),('0000yxfyxfyx都存在的 （ Ａ ）

（A）充分条件 （B）必要条件

（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件.

四、计算题（每小题10分，共40分）

1、设vuzln2，而yxu、yxv23，求:xz、yz．

解：22223323ln2yyxxyxyxxz，223223223ln2yyxxyxyxyz

1011B

一、填空题（每小题3分，共15分）

(1) 设二元函数)1ln()1(yxxezyx，则)0,1(|dz .

(1,0)(1,0)(1,0)1|(ln(1))|()|1xyxyxyxdzexeydxxedyy

(1,0)d2ed(e2)dzxy

(2) 旋转抛物面122yxz在点)4,1,2(处的法线方程是 .

法线的方向向量(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)sxy(4,2,1),

法线方程是214421xyz.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

(4) 设),(yxfz的全微分为ydyxdxdz 则点 )0,0( ( C )

.A 不是),(yxf的连续点；.B 不是),(yxf的极值点；

.C 是),(yxf的极小值点；.D 是),(yxf的极大值点.

分析:z,xyxzy,得z1,1,0xxyyxyzz,由210,10ACBA,则点 )0,0(是),(yxf的极小值点.

三、求偏导数（每小题10分，共20分）

（1）设),(3xyxyfxz，其中f具有二阶连续偏导数.求 yz；22yz；yxz2.

解: 231223(())zyxfxyffxx23123xfxyfxyf

3121(())zxxffyx 4212xfxf

242122()zxfxfyy421112212211(())(())xfxfxfxfxx

531112222xfxxfxf

yxz22zyx4212()xfxfx

3421111222122224(())2(())yyxfxfyfxfxfyfxx

3412112242.xfxfxyfyf

(2)设),(yxzz是方程)arctan(zyxxyz在)1,1,0(点确定的隐函数，求xz及)1,1,0(yz

解:令)arctan(),,(zyxxyzzyxF …1分

则 2)(11zyxxyFz

2)(11zyxyzFx2)(11zyxxzFy …6分

1])(1[1])(1[22zyxxyzyxyzFFxzzx； …8分

11])(1[1])(1[22)1,1,0(zyxxyzyxxzFFyzzy …10分

六、应用题（本题满分10分）

从斜边长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.

解：设另两边长分别为yx,，则 222lyx，周长 lyxC …2分

设拉格朗日函数 )(),,(222lyxlyxyxF …4分

令

0021021222lyxFyFxFyx …6分

解方程组得lyx22为唯一驻点，且最大周长一定存在 …8分

故当lyx22时，最大周长为lC)21( …10分

1112B

一、填空题（每小题2分，共10分）

1. yxz2在点)1,1(处的._______________dz

22,dzxydxxdy112.xydzdxdy

2. 设函数yxyaxxyxf22),(22在点)1,1(取得极值，则常数_____a.

211(1,1)(4)0xxyfxay,11(1,1)220yxyfxy,所以5.a

例36 设函数22(,)22fxyxaxxyy在(1,1)处取得极值，试求常数a，并确定极值的类型．

分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)fxy取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．

解 因为(,)fxy在(,)xy处的偏导数均存在，因此点(1,1)必为驻点， 则有

2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fxayxfxyy，

因此有410a，即5a．

因为

22(1,1)4fAx，2(1,1)(1,1)22fByxy， 22(1,1)(1,1)22fCxy，

2242(2)40ACB，40A，

所以，函数(,)fxy在(1,1)处取得极小值．

二、选择题（每小题2分，共10分）

3. 在点P处函数),(yxf的全微分df存在的充分条件为 （ Ｃ ）

(A) yxff,均存在 (B) f连续

(C) f的全部一阶偏导数均连续 (D) f连续且yxff,均存在

三、计算题（每小题8分，共40分）

1. 设),(yxzz是由方程zzyx2222所确定的隐函数，计算22,xzxz的值.

解:设 222(,,)2Fxyzxyzz，则2xFx，2yFy ，22,zFz

2,221zxxxzz22()1zxxxz21(1)xzxzz22231(1)1(1)(1)xzxzxzzz

4. 求函数zxyzxyu在点)3,1,2(沿着从该点到点)15,5,5(的方向导数.

解 方向(3,4,12)l 03412{,,}.13133l1312cos,134cos,133cos

3)3,1,2(,5)3,1,2(,4)3,1,2(zyxuuu,

1368coscoscoszyxuuulz.

五、证明题（每小题7分，共7分）