多元函数微分法及其应用总结
多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。而微分法是研究函数的变化率的一种方法。本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。
1. 多元函数微分法的基本概念
多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。
2. 多元函数的极值与最值
利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：
（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；
（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；
（3）求解方程组，得到x和y的解；
（4）将解代回原函数，求得z的值；
（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。
3. 多元函数的泰勒展开
多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：
f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)²
+ 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²) 这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。
4. 多元函数微分法的应用
多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。具体应用如下：
（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。
（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。
（3）在经济学中，多元函数微分法可以用于求解边际利润、边际成本等经济指标，从而分析经济现象。
第十章 多元函数微分学
一、 本章提要
１．基本概念
多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度． ２．基本方法
二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．
隐函数微分法：拉格朗日乘数法．
３．定理
混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件．
二、要点解析
问题１ 比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．
解析 (1)多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．
如果我们把自变量看成一点P，那么对于一元函数，点P在区间上变化；对于二元函数f(x,y)，点P(x,y)将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成
u=f(P)，
它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成
P→P0limf(P)=A,limf(P)=f(P0)． P→P0
（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限
limxy， x→0x2+y2
y→0
容易看出，如果先让x→0再让y→0，那么
lim(limy→0x→0xy)=lim0=0， 22y→0x+y
同样，先让y→0再让x→0，也得到
lim(limx→0y→0xy)=0， 22x+y
但是如果让(x,y)沿直线y=kx(k≠0)而趋于(0,0)，则有
多元函数微分法
第十章 多元函数微分学
一、学习要点
1。关于二元函数
会求二元函数的定义域和相应的函数值.求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。
2。关于二元函数微分
(1）熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f （x2－y2 ，exy)等的复合函数的偏导数.能熟练地求全微分.
偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时,将另一变量视为常数。如求函数32lnzyxu的偏导数
32121zyxxu（y,z为常数)，32221zyxyyu（x，z为常数)
复合函数求偏导数是难点.一般用链式法则，即z=f (u，v）,u=u（x，y)，v=v（x，y),有
yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz
具体情况有两种：
（一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2vuz，xyevyxu,22.
的偏导数yzxz,，可以把u，v代入z中，再求偏导数，即 z=ln(x2+y2+e2xy），求偏导数有
xyxyeyxyexxz222222 xyxyeyxxeyyz222222
（二)部分函数关系没有给出:此时只有用链式法则。如求函数z=f（xy，x2+y3)，的一阶偏导数,则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy，v=x2+y3，用链式法则
xvfyufxvvzxuuzxz2，23yvfxufyz 多元函数微分法
上例也可以用链式法则，有
xyxyxevuvyvuyzyevuvxvuxz2222221,221
求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用,方法仍然同一元隐函数的求导.
第2章 一元函数微分学
2.1 导数的概念
2.1.1 导数
2.1.2 右导数
2.1.3 左导数
2.1.4 函数在区间上的可导性
2.2 函数可导的条件
2.3 导数的几何意义与物理意义
2.3.1 导数的几何意义
2.3.2 导数的物理意义
2.4 导数的计算
2.4.1 基本初等函数的导数公式
2.4.2 导数的四则运算法则
2.4.3 复合函数的导数
2.4.4 反函数的导数
2.4.5 隐函数的导数
2.4.6 高阶导数
2.4.6.1 高阶导数的定义
2.4.6.2 高阶导数的运算法则
2.4.6.3 几个常见初等函数的n阶导数公式
2.4.7 由参数方程确定的函数的导数
2.5 微分的概念
2.5.1 微分的定义
2.5.2 微分的几何意义
2.5.3 可微与导数的关系
2.5.4 一阶微分形式的不变性
2.6 微分中值定理
2.6.1 罗尔定理
2.6.2 拉格朗日中值定理
2.6.3 柯西中值定理
2.6.4 泰勒定理
2.6.4.1 带拉格朗日余项的泰勒定理
2.6.4.2 带皮亚诺余项的泰勒定理
2.6.4.3 几个常用函数的带皮亚诺余项的麦克劳林展开式
2.7 洛必达法则
2.7.1 求“0/0”型未定式极限的洛必达法则
2.7.2 求“∞/∞”型未定式极限的洛必达法则
2.8 函数及其性态的研究
2.8.1 单调的判定定理
2.8.2 极值的概念
2.8.3 可导点处极值的必要条件
2.8.4 极值的充分条件
2.8.4.1 极值的第一充分条件
2.8.4.2 极值的第二充分条件
2.8.5 函数图形的凹凸性
2.8.6 凹凸性的判定定理
2.8.7 拐点的概念
2.8.8 二阶可导点处拐点的必要条件
2.8.9 拐点的充分条件
2.8.10 渐近线的概念
2.8.11 求斜渐近线
2.9 曲率、曲率半径、曲率圆
2.9.1 弧微分
