第9章多元函数微分法及其应用近年试题.
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0809 B
一、填空题（每小题3分，共18分）
2、设z=ln（xy）,则其全微分dz=
1 1
dx dy
x y
C …A y • 2x , _ …,一
3、函数u =1- ------ 的所有间断点是
y2 -2x
2
{( x, y)| y =2x, x R, y R}
、选择题（每小题3分，共15分）
1、f (x, y) = 2 xy 2 ,则极限 lim f (x, y) = ( A ) x y x 0
x y y「0
（A）不存在 (B) 1 (C) 2 (D) 0
A
当点P（x,y）沿曲y =kx趋向(0,0)时, 精品资料 欢迎下载
m f(x,y)叩0 y zkx kx2
x2 k2x2 k ....................
显然，当k取值不同是，极限也不相同。
1 k
所以（x,ym0,0）说y不存在•
2 3
2、在曲线x=t,y =—t ,z = t所有切线中，与平面 x + 3y+3z = 4平行的切线（ A ）
（A）只有一条； （B）只有两条； （C）至少有3条； （D）不存在
曲线的切向量T =(5'(t),5’(t), »(t))=(1,—2t,3t2),平面的法向量n = (1,3,3)
9 9 9 1 1 ...............
(1 -2t,3t2) (1,3,3) =1—6t +9t2 =0 ,(3t —1)2 = 0,彳#t =一.所以只有一条切线满足条
件.
3、点（0,0诞函数2=乂丫的（B ）
（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对
分析：令zx=y=0, zy=x = 0，得（0,0）是驻点，但点（0,0）是z = xy的鞍点，不是极值点.
四、计算题（每小题8分，共32分）
1、& z =eu sin v, u =xy, v = x + y,求三和必 ex t y
z f 二 f 二 u 二 f 二 v
解一=——■——■——■ — —
x 二 x 二 u 二 x v 二 x : eu sin v y , eu cosv = exy[ y sin( x y) cos( x y)] 精品资料 欢迎下载
u v u . u xy
— —— 一 —— —— =e sin v x e cosv =e [x sin(x y) cos(x y)] y .:u .:y .:v .:y
五、解答题(每小题分10,共20分)
1、要造一个容积为定数 a的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小?
此时最小表面积为多少？
解：设长方体的长宽高分别为 x, y, z,则问题就是在条件 中(x, y, z) = xyz — a =
0下
求函数 S = xy 2xz 2yz (x . 0, y . 0, z . 0)
的最小值.作拉格朗日函数
L(x, y, z)= xy 2xz 2yz——..(xyz - a),
y + 2z + 九 yz = 0 ,
x + 2z + ?一 xz = 0 ,
2 (x y ) - xy = 0 , xyz -a = 0.
，口 11..、 …
得 z = —x =-y,代入xyz—a = 0彳导
2 2
1 3 二
z = - J2a,这是唯一可能的极值点.由问题本身可知最小值一
2
定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得 .即长宽高为 疮 疡 工病时，最小
2
表面积 S =33(2a)2.
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一、填空题(每小题2分，共10分)
2、设函数z = f (x, y)是 由方程x2+y2 +z2 =4z给出，则 全微分 dz =.
一 一 一 xdx ydy
2xdx 2 ydy 2zdz =4dz , dz
2 z
3、曲面x2十y2+z2 =14在点P(1,2,3)处的切平面方程为 .
切平面得法向量 汗⑼)=(2x,2y,2z)(1,2,3)=(2,4,6),
切平面方程为 2(x—1)+4( y-2)+6(z — 3) = 0,或x + 2y + 3z —14 = 0.
二、选择题(每小题2分，共10分)
1、二元函数f(x,y)在点(x0,y。)处可微是两个偏导数fx'(x0,y0),fy'(x0,y0)都存 .z
求其对x, y, z, h的偏导数，并使之为零，得到
因为x, y, z都不等于零,
x =3/2a, y = 3/2a, 精品资料 欢迎下载
在的 (A ) 精品资料 欢迎下载
1011B
一、填空题(每小题3分，共15分)
⑴ 设二元函数 z =xex4y +(x+1)ln(1+y),则 dz |(1,0)=
dzhLQy xexy ln。y))1(1,0)dx (xexy ^^-y
4 2-1
、单项选择题(每小题3分，共15分)
(4) 设 z = f (x, y)的全微分为 dz = xdx + ydy 则点(0,0) ( C )
A.不是f(x, y)的连续点；B.不是f(x, y)的极值点;
C.是f(x, y)的极小值点；D.是f(x, y)的极大值点.
分析：zx =x,zy = y ,得 zxx =1,zyy = 1,zxy = 0 ,由 AC - B2 =1 > 0, A = 1 a 0 ,则点(0,0) 是f(x, y)的极小值点.
三、求偏导数(每小题10分，共20分)
(1)设z = x3f (xy,Y),其中f具有二阶连续偏导数.求 —; x 二 y (A充分条件 (B)必要条件
(C)充分必要条件
四、计算题(每小题10分，共40分) (D)既非充分又非必要条件.
解: 2 一 x
1、设 z = u ln v , M u > v = 3x—2y,
y z /
求：——、—— ；x ：.:z 2x 3x2
ln 3x-2y m丹一2 3x -2y y jz _
2y 2x2 ln 3x-2y -―2 3x-2y y
dz = 2edx (e 2)d y
(I,0)
(2)旋转抛物面 十y2 —1在点(2,1,4)处的法线方程是
法线的方向向量 (2,1,4) = (2x,2y,—1)(2,1,4) =(4, 2,-1),
法线方程是 x-2 y-1 z-4
. .2 .■ .2
z z 心z
-2, 精品资料 欢迎下载
豆―=_y41+(x+y*z)2]-1. …8 分
x Fz xy[1 (x y z)2] -1
zz. Fy xz[1+(x + y+ z)2]—1 分
21 10
勾(0,1,二) Fz xy[1 +(x+ y+ z) ] —1
六、应用题(本题满分10分)
从斜边长为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长
解：设另两边长分别为 x, y,则x2+y2=l2,周长 C=x+y+l分
设拉格朗日函数 F(x,y, ) =x y l - (x2 y2 -l2) 一 「Z 9 _ 2 _ _ y _2_ 3 _ , 一.
解：一 =3x f x (yf1 f2(--)) =3x f x yf，一xyf2 .x
.:z =x3(xf1 f2(—)) =x4f1 x2f2
x
.2
二
z =x4fi x2f2)=x4(fii x fi2(1)) x2f x f22(3)
.y x x
= x5f11 x 2x3 f12 xf22
-2 -2 -
Z - Z 4 2 \
—=—二 一 (x fl x f2)
x 二y 二 y 二 x ；x
= 4x3f;x4(fn y 兀(-工))2xf2 x2(f2iy f22(-』))
x x
=4x3 f1 2xf2 x4yf11 - yf22.
z .
(2)设z=z(x,y)是万程 xyz = arc tanx + y + z)在(0,1,-1)点确TE的隐函数，求 一及
；x
解:令 F(x, y, z) = xyz -arctan(x + y + z)
Fz = xy ----------- 2
1 (x y z)
Fx = yz - 2
1 (x y z) Fy =xz - 2
1 (x y z) 精品资料 欢迎下载
2
1 . z = x y 在点(1,1)处的 dz =
， 一 ， ，2 ， ,
dz =2xydx + x dy,
dz
2 2
2 .设函数f（x,y） = 2x +ax+xy +2y在点（1,—1）取得极值，则常数 a =
例36设函数f （x,y）=2x2+ax+xy2 +2y在（1,一1）处取得极值，试求常数 a,并确定极
值的类型.
分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道f（x,y）取得极值，只需要根据可导函数 取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题.
解 因为f （x, y）在（x, y）处的偏导数均存在，因此点 （1,-1）必为驻点， 则有
因此有 4+a+1=0 ,即 a =—5.
因为 解方程组得
故当x = y
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、填空题 Fx
tFy =1 2x =0
=1 2y =0
x = y = ——l为唯一■驻点，且最大周长一■定存在
.2 . 一 一 一 …
Jl时，最大周长为C=（1+d2）l
2 …10分
（每小题2分，共10分）
x4 = 2dx dy. y乡
fx(1「1)=(4x a y2) 祇 =0,fy(1,-1) = 2xy 2
y zz-1 =0,所以 a = —5.
fef
区 (1,口
f =4x .a —y2
■:y =2xy 2(I/)=o
(1,」)
(1,劣 (1, 4) =2 y (1 9 =
2 ；：2f
（1,」） = 2X(I,Q =2,
