圆幂定理例题

《奥数群英会》圆幂定理的应用 20160517wed

班级________ 姓名_________ 学号__________

1. 已知：如图，△ABC内接于⊙O，P为⊙O外一点，作∠CPD=∠A，使PD交⊙O于D、E两点，并与AB、AC分别交于点M、N（1）求证DN·NE=MN·NP（2）若PD∥CB,求证PC为切线。

2. 如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，外公切线AB切⊙O1于点A，切⊙O2于点B，BC为直径，求证：从C到⊙O1的切线长等于BC

3. 如图，⊙O1与⊙O2相交，公共弦为MN，外公切线为AB,CD，直线MN交AB于点P，交CD于点Q，求证：PQ2=AB2+MN2

4. 如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，求BNNC

5. 如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC，一圆过点C，且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G，求证：AD⊥BF

6. 如图，圆内接四边形ABCD中，延长AB,DC交于F，延长AD,BC交于E，EM,FN为圆的切线，分别以E、F为圆心，EM、FN为半径作弧，两弧交于K。求证：EK⊥FK

圆幂定理是平面几何中的一个定理。所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

目录

1 基本定义

2 相关定理

1 基本定义编辑本段

圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一。圆幂=PO^2-R^2。

2 相关定理编辑本段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

比例中项

比例中项的概念

如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。

比例中项又称“等比中项”或“几何中项”。

它的性质：B的平方=A*C

若，a:b=b:c那么b的平方=ac，则把b叫做a，c的比例中项.

比例中项

如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c,或a/b=b/c，那么线段b叫

做线段a和c 的比例中项。

(数字的比例中项与几何的不一样,又分正与负.

即:b的平方=a*c

b=正负根号下（a*c）

把一条线段分割成两部分， 使其中一部分线段的长是全线段的长与另一部分线段的长的比例中项， 叫做把这条线段黄金分割

切割线定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。

几何语言：

∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）

推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

几何语言：

∵PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）

由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT的平方=PA·PB

证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)

∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT的平方=PB·PA

弦切角定理

弦切角定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角

∴∠PCA=∠PBC(PCA为弦切角） 弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明

一 知识再现

1. 圆幂定理

一般地，把相交弦定理、切割线定理、割线定理等统称为圆幂定理。它的基本内容是，在平面上经过；点P的直线与⊙O相交于A、B两点，有向线段PA、PB的乘积PA·PB是一个定值。 如下列图形，经过一定点P作圆的弦或割线或切线，设⊙O半径为R

在图(1)中，PA·PB＝PC·PD=PE·PF＝(R-OP)(R-OP)=R2 -OP2

在图(2)中，PA·PB＝PT2=OP2-OT2==OP2-R2

在图(3)中，PA·PB＝PC·PD= PT2==OP2-R2

可得PA·PB均等于，为一常数，所以叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.

2.角平分线定理

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。

■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

■逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，

如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC

3.平行线分线段定理

定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

二 例题讲解

例1如图4AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB = 10cm，PA : PB = 2 : 3，OP = 5cm，则⊙O的半径等于

．

解析：设⊙O的半径为R．

∵AB = 10cm，PA : PB = 2 : 3，∴PA = 4 cm，PB = 6 cm．