圆幂定理讲义(带答案解析)

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’. 圆幂定理

STEP 1:进门考

理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。

2. 垂径定理典型例题的回顾检测。

3. 分析学生圆部分的薄弱环节。

（1）例题复习。

1. （2015•夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN= cm．

【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．

【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解．

【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．

在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm， 在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°，

∴CD=BC•sinB=4×=2（cm）， ∴OE=CD=2，

在△AOE中，AE=AB=4cm，

则OA===2（cm）， 则MN=2OA=4（cm）． 故答案是：4．

【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形． .

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2. （2017•阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）

A．2cm B．cm C．2cm D．2cm

【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．

【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，

∵OA=2OD=2cm， ∴AD===（cm），

∵OD⊥AB， ∴AB=2AD=2cm． 故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．

3. （2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）

A．4 B． C． D．

【考点】M2：垂径定理；F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ：勾股定理． .

’. 【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．

【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是（3，a）， ∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3， ∴D点坐标为（3，3）， ∴CD=3，

∴△OCD为等腰直角三角形， ∴△PED也为等腰直角三角形，

∵PE⊥AB， ∴AE=BE=AB=×4=2， 在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE=， ∴PD=PE=， ∴a=3+． 故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．

4. （2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ．

【考点】FI：一次函数综合题．

【专题】16 ：压轴题．

【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案． .

’. 【解答】解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4， ∴k（x﹣3）=y﹣4，

∵k有无数个值， ∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4，

∴直线必过点D（3，4）， ∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，

∵点D的坐标是（3，4）， ∴OD=5，

∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0）， ∴圆的半径为13，

∴OB=13， ∴BD=12， ∴BC的长的最小值为24； 故答案为：24．

【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．

STEP 2:新课讲解

1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。

2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。

3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。

4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。

一、相交弦定理

相交弦定理

（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．

几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD（相交弦定理）

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成

的两条线段的比例中项．

几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA•PB（相交弦定理推论）．

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’. ➢ 基本题型：

【例1】 （2014秋•江阴市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，BP=4，CP=2，则CD长为（ ）

A．6 B．12 C．8 D．不能确定

【考点】M7：相交弦定理．

【专题】11 ：计算题．

【分析】由相交线定理可得出AP•BP=CP•DP，再根据AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD的长，从而得出CD即可．

【解答】解：∵AP•BP=CP•DP，

∴PD=，

∵AP=3，BP=4，CP=2，

∴PD=6，

∴CD=PC+PD=2+6=8．

故选C．

【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

【练习1】 （2015•南长区一模）如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（ ）

A． B．5 C．+1 D．

【考点】M7：相交弦定理．

【分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长． .

’. 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴AE===，

∵BC=3，BE=1，∴CE=2，

由相交弦定理得：AE•EF=BE•CE，

∴EF==，

∴AF=AE+EF=；

故选：A．

【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

➢ 综合题型

【例2】 （2004•福州）如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP=∠MNQ，下面结论：①∠1=∠2；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN2=PN•QN．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①③⑤ C．④⑤ D．①②⑤

【考点】M7：相交弦定理；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质．

【专题】16 ：压轴题．

【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案．

【解答】解：延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF

∵∠PNM=∠QNM，MN⊥AB，

∴∠1=∠2（故①正确），

∵∠2与∠ANE是对顶角，

∴∠1=∠ANE，

∵AB是直径，

∴可得PN=EN，

同理NQ=NF， .

’. ∵点N是MW的中点，MN•NW=MN2=PN•NF=EN•NQ=PN•QN（故⑤正确），

∴MN：NQ=PN：MN，

∵∠PNM=∠QNM，

∴△NPM∽△NMQ，

∴∠Q=∠PMN（故③正确）．

故选B．

【点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解．

➢ 与代数结合的综合题

【例3】 （2016•中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP=QO，则的值为（ ）

A． B． C． D．

【考点】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理．

【专题】11 ：计算题．

【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．

【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，

QA=r﹣m．

在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC=QP•QD．

即（r﹣m）（r+m）=m•QD，所以QD=．

连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，

即，

解得 .

’. 所以，

故选D．

【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．

➢ 需要做辅助线的综合题

【例4】 （2008秋•苏州期末）如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB=8，BC=1，则AM= ．

【考点】M7：相交弦定理；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理．

【分析】根据相交弦定理可证AB•BC=EB•BF=（EM+MB）（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6．

【解答】解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，

则EM=MA=MF，

由相交弦定理知，AB•BC=EB•BF=（EM+MB）（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，

∵AB是圆O的直径，

∴∠AMB=90°，

由勾股定理得，AM2+MB2=AB2=64，

∴AM=6．

【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解．