数学圆幂定理

圆幂定理是解决圆与直线之间的关系的重要定理，其三大结论证明如下：

两条相交的弦所对应的弧所构成的圆周幂相等。

证明：设两条相交的弦AB、CD所对应的弧为a、b，交点为E。则AE·EB=CE·ED，即AE·(AE+EB)=CE·(CE+ED)，化简得AE²-CE²=ED·CE-EB·AE，即(AE+CE)(AE-CE)=ED·CE-EB·AE，因为AE+CE=AD，所以AD·BD=ED·CE-EB·AE，即AD·BD=AB·EC，故得证。

一条切线与圆相交所得的切线段的平方等于这条切线外部点到圆的距离的平方。

证明：设切线与圆相交于点A、B，圆心为O，连接OA、OB，垂直于切线的直线与切线相交于点C，连接OC，过点B作圆的直径DE，则OC垂直于DE，且OC=OD，OE是半径，故OE²=OC·OD。因为OC²=OB²+BC²，所以OE²=OB²+BC²-OD²，即OB²=OE²-BC²，故得证。

直线段在圆内部或圆上所作的两条割线所对应的线段的乘积等于这条直线段与其所在圆的距离的平方减去圆的半径的平方。

证明：设直线段为AB，圆心为O，半径为r，与直线段相交于点C、D，连接OC、OD、OE，过点E作圆的直径EF，则OC·OD=(OE-CE)·(OE+DE)=OE²-CE·DE，因为CE·DE=AE·BE，所以OC·OD=OE²-AE·BE，故AE·BE=OB²- r²，即得证。

1 初中不学，高中不学，高考又必考的六个定理

现在的数学课本初高中知识衔接做的非常不好，有些知识初中不学，高中也不学，但高考又在考，所以无论是初中的学生，还是高中学生都应重视。

一、射影定理：

在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

即在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，则AD²=BD·CD，AB²=BC·BD，AC²=CD·BC（如下图）

2

二、相交弦定理

若圆内任意弦AB、弦CD交于点P则PA·PB=PC·PD

证明:连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。

∴△PAC∽△PDB∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD(如下图）

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三、圆幂定理：圆内接四边形对角互补

例3：如图圆内接四边形ABCD旳边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积.

【解析】连接AC，由圆内接四边形对角互补

四、合分比定理： 4

五、立方和、立方差公式

六、内角平分线定理： 5 三角形的内角平分线，分对边所成的比等于夹这个角的两边的边长的比。

证明：延长BA，在延长线上取一点E，使AE=AC，连接EC，如下图

∵AE=AC∴∠E=∠ACE

∵∠BAD=∠CAD，∠BAC=∠E+∠ACE

∴∠E=∠BAD∴AD∥CE

由平行线分线段成比例的性质得： 6

第九章.圆

模型（三十五）——圆幂定理模型

一、相交弦定理

【结论1】如图 ，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则

①AP·BP＝CP·DP, ②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.

【证明】①

②

二、切割线定理 模型讲解 【结论2】如图 ，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2

【证明】①

②

三、割线定理

【结论3】如图 ，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则

①PA·PB＝PC·PD, ②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2

【证明】

从两线交点处引出的共线

线段的乘积相等

口诀

典例1 ☆☆☆☆☆

如图，在⊙O中，弦 AB与半径 OC 相交于点M，且 OM=MC，若 AM=1.5，BM=4，则 OC的长为（ ）.

A.2 B. C.2 D.2

【答案】D

【解析】如图，延长 CO，交OO于D，则CD为OO的直径.

∵OM＝MC,∴OC＝2MC＝2OM,DM＝3OM＝3MC.

由相交弦定理得 DM·MC＝AM·BM，

即 3MC2＝1.5×4，解得 MC＝. ∴OC＝2MC=2.

故选 D.

典例2 ☆☆☆☆☆ 小试牛刀 如图，⊙O的弦AB，CD相交于点E，若 CE∶BE=2∶3，则 AE∶ DE 的值为（ A. B. C. D.

【答案】A

【解析】∶ ∵⊙O的弦AB，CD 相交于点E，根据相交弦定理得 AE·BE＝CE·DE，

∴AE: DE=CE: BE=2:3.

故选 A.

典例3 ☆☆☆☆☆

圆幂定理逆定理

一、什么是圆幂定理逆定理

圆幂定理是解决圆与直线之间的关系问题的重要定理，它描述了一个点与一个圆之间的幂的关系。而圆幂定理逆定理则是对圆幂定理的逆向描述，即给定一个点与一个圆的幂，可以确定该点在圆上的位置。

二、圆幂定理逆定理的表述

圆幂定理逆定理可以表述为：给定一个点P和一个圆O，若点P到圆O的距离等于该点P到圆心O的距离，那么点P一定在圆O上。

三、圆幂定理逆定理的证明

1. 证明思路

要证明圆幂定理逆定理，我们可以采用反证法。假设点P在圆O外，即P到圆心O的距离大于P到圆O的距离。然后我们可以通过构造辅助线段，利用圆幂定理进行推导，最终得出矛盾，证明假设错误。

2. 证明过程

步骤一：假设点P在圆O外

假设点P在圆O外，即P到圆心O的距离大于P到圆O的距离。

步骤二：构造辅助线段

构造线段PA和线段PB，使得线段PA与线段PB相交于点P，并且线段PA与圆O相切。 步骤三：利用圆幂定理推导

根据圆幂定理，可以得到以下关系：

• PA * PB = PO^2 - r^2

其中，PA表示线段PA的长度，PB表示线段PB的长度，PO表示点P到圆心O的距离，r表示圆O的半径。

步骤四：计算距离

根据题设条件，P到O的距离等于PO的距离，即PA = PO。

步骤五：代入计算

将步骤四的结果代入步骤三的等式中，得到：

• PA * PB = PO^2 - r^2

• PO * PB = PO^2 - r^2

• PB = PO - r^2 / PO

步骤六：化简计算

由于PO的长度大于r，所以PO - r^2 / PO的值大于0。而PB表示线段PB的长度，根据几何性质，PB的长度必须大于0。但根据步骤五的计算结果，PB的长度等于PO - r^2 / PO，这与PB的长度必须大于0相矛盾。

步骤七：得出矛盾

由于步骤六得出了矛盾，假设点P在圆O外的假设被推翻。因此，点P一定在圆O上。

3. 证明结论