高中赫尔德不等式

赫尔德不等式在高中数学中的应用(一)赫尔德不等式在高中数学中的应用在高中数学中，赫尔德不等式是一个重要的不等式，它在许多数学问题中都有应用。

以下是一些赫尔德不等式在高中数学中的应用：求函数的最小值如果需要求函数f(x)在[a, b]上的最小值，而且f(x)在这个区间上是凸函数。

我们可以用赫尔德不等式来求解。

1.将f(x)分解成f(x) = g(x) + h(x)，其中g(x)是f(x)的一个下凸包，h(x)是f(x)与g(x)之间的距离。

2.根据赫尔德不等式得出：g(x) ≤ f(x) - λ_1(x-a) h(x) ≤λ_2(b-x)3.对于任意的x∈[a,b]，f(x)≥ g(x) + λ_1(x-a) - λ_2(b-x)4.最小值等于g(x_0) + λ_1(x_0-a) - λ_2(b-x_0)，其中x_0是f(x)的极小值点。

证明不等式在证明不等式时，可以使用赫尔德不等式来简化计算。

1.将不等式的两边分别表示为函数f(x)和g(x)2.选择一个区间，使得f(x)和g(x)在该区间上均为凸函数3.让λ_1和λ_2趋近于0，应用赫尔德不等式，证明不等式的正确性。

例如，我们要证明两个正实数a、b之间的几何平均值不小于它们的算术平均值，即a^2 + b^2 ≥ 2ab。

1.定义函数f(x) = x^2，g(x) = 2ab/x2.f(x)和g(x)在区间[ab, 2ab]上均为凸函数3.应用赫尔德不等式，得出x^2 + 2ab/x ≥ 2√(2a3b3)4.代入x = √(ab)，得出a^2 + b^2 ≥ 2ab，证明不等式成立。

数学建模在数学问题中，可以使用赫尔德不等式来建立数学模型。

例如，在分析数据时，我们可以用赫尔德不等式来估计误差限和可靠性。

1.将数据分解为一个均值和一个余项2.根据赫尔德不等式，计算余项的大小，以估计数据的误差限3.利用误差限，确定数据的可靠性和稳定性。

例如，我们要估计某项调查数据的可靠性。

赫尔德不等式及其应用
阿赫尔德不等式(Hölder Inequality)是一种常用的数学方法，它紧密地关联了向量空间的重要性质，且在各种学科领域有着广泛的应用。

它可以用来证明多种重要概念，如Both-Ends抗边界条件，等腰三角形定理等。

具体来说，阿赫尔德不等式指出一个界定布尔函数和向量空间度量函数之间存在着一种关系：当布尔函数的次幂小于1时，若两者的积大于0，则认为布尔函数和向量空间度量函数是统一的。

这一不等式描述了实数函数在。

自变量取非0值时的增长情况，因此它可以用来检验函数的收敛程度, 体现函数的趋势，以及探索函数的变化规律。

除了适用于数学分析之外，阿赫尔德不等式也有许多应用到其他学科领域。

例如，在护理、社会学、教育学等领域，其可以被用来证明这些领域内的研究假设，以及比较不同过程中的结果数据；在生物医学领域，阿赫尔德不等式能够用来分析病理学指标的极端值，帮助医疗工作者进行诊断和判断；在经济学领域，该不等式可以应用于定价的实际策略、投资风险的控制等方面；在物理学领域，阿赫尔德不等式能够描述一定流体的特性和原动力，并以此来解释流体的运动轨迹，例如激波等。

可见，阿赫尔德不等式是一个广泛运用且重要的数学方法，它蕴含着信息量较多，可以证明多项概念，其应用可见高校及高等教育领域。

高中赫尔德不等式（最新版）目录1.赫尔德不等式的定义与表达式2.赫尔德不等式与柯西不等式的关系3.赫尔德不等式的证明4.赫尔德不等式在数学中的应用5.赫尔德不等式的意义与价值正文一、赫尔德不等式的定义与表达式赫尔德不等式，又称为柯西 - 布尼亚科夫斯基 - 许瓦尔兹不等式，是一种在数学中广泛应用的不等式。

其表达式如下：设 a_1, a_2,..., a_n 和 b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么：(a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2二、赫尔德不等式与柯西不等式的关系赫尔德不等式其实是柯西不等式的一种推广。

柯西不等式表达式如下：设 a_1, a_2,..., a_n 和 b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么：(a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2可以看出，赫尔德不等式是柯西不等式在多维空间的推广，它的表达式更加复杂。

三、赫尔德不等式的证明赫尔德不等式的证明比较复杂，需要涉及到多元函数的微积分知识。

这里我们简单介绍一下它的证明思路：首先，我们将赫尔德不等式转化为一个关于矩阵的不等式，然后通过求导、配方等方法，最终证明出赫尔德不等式成立。

四、赫尔德不等式在数学中的应用赫尔德不等式在数学中有广泛的应用，例如在概率论、线性代数、微积分等领域都有重要的应用。

在概率论中，赫尔德不等式可以用来求解随机变量的期望；在线性代数中，赫尔德不等式可以用来求解矩阵的特征值和特征向量；在微积分中，赫尔德不等式可以用来求解多元函数的最值问题。

五、赫尔德不等式的意义与价值赫尔德不等式在数学中的意义和价值非常重要，它为我们解决许多实际问题提供了有力的工具和方法。

高中竞赛不等式公式大全摘要：一、前言二、高中竞赛不等式公式简介1.基本不等式2.柯西不等式3.排序不等式4.切比雪夫不等式5.赫尔德不等式6.闵可夫斯基不等式7.伯努利不等式8.拉格朗日不等式9.詹森不等式10.其他不等式三、高中竞赛不等式公式应用举例1.基本不等式应用2.柯西不等式应用3.排序不等式应用4.切比雪夫不等式应用5.赫尔德不等式应用6.闵可夫斯基不等式应用7.伯努利不等式应用8.拉格朗日不等式应用9.詹森不等式应用10.其他不等式应用四、结论正文：一、前言在高中数学竞赛中，不等式问题常常出现在各个章节中，解决不等式问题需要掌握一定的技巧和方法。

为了更好地应对这类问题，我们整理了高中竞赛中常见的不等式公式大全，希望能为同学们提供帮助。

二、高中竞赛不等式公式简介1.基本不等式基本不等式（Fundamental Inequality）是最常见的不等式之一，形式为：(a^2 + b^2) / 2 >= ab。

当且仅当a = b 时，等号成立。

2.柯西不等式柯西不等式（Cauchy Inequality）是一种特殊的平方和不等式，形式为：(a_1^2 + a_2^2 + ...+ a_n^2) * (b_1^2 + b_2^2 + ...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 + ...+ a_nb_n)^2。

当且仅当存在一个标量k 使得a_i = kb_i 时，等号成立。

3.排序不等式排序不等式（Sorting Inequality）是一种关于排序的数学不等式，形式为：对于任意的实数a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1 + a_n) * n / 2 >= (a_2 +a_(n-1)) * n / 2 >= ...>= (a_n + a_1) * n / 2。

4.切比雪夫不等式切比雪夫不等式（Chebyshev"s Inequality）是一种概率论中的不等式，形式为：对于任意的实数k > 0，有P(|X - μ| >= k) <= 1 / k^2。

赫尔德不等式推广咱们来聊聊数学里一个挺有意思的东西，叫赫尔德不等式。

别一听这名字就头大，其实它就像是数学王国里的一把神奇钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。

咱们用大白话，轻松愉快地聊聊它的推广和应用，保证你听完能拍着大腿说：“嘿，原来这东西挺有意思的嘛！”首先，咱们得知道赫尔德不等式是啥。

简单来说，它就像是数学里的一条规则，告诉我们两组数之间怎么比较大小。

想象一下，你有两堆苹果，一堆红的，一堆绿的，赫尔德不等式就能告诉你，这两堆苹果按某种方式搭配起来，总的搭配方式有多少种，而且这种方式还特别公平，不偏不倚。

### 一、赫尔德不等式的起源话说这个不等式啊，可不是凭空冒出来的。

它有个“老前辈”，叫柯西-施瓦茨不等式，那可是数学界的老牌明星了。

赫尔德不等式就像是柯西-施瓦茨的升级版，适用范围更广，功能更强大。

想象一下，你手里有个旧手机，突然换成了最新款的智能手机，那感觉，爽歪歪！### 1.1 柯西-施瓦茨不等式的影子赫尔德不等式和柯西-施瓦茨不等式，就像是兄弟俩。

柯西-施瓦茨不等式就像是哥哥，稳重可靠，在二维空间里混得风生水起；而赫尔德不等式就像是弟弟，活泼好动，能跑到三维、四维甚至更高维的空间里去闯荡。

弟弟继承了哥哥的优良基因，但又有自己的独特之处，这就是赫尔德不等式的魅力所在。

### 1.2 赫尔德不等式的独特之处赫尔德不等式的独特之处在于它的灵活性。

它不仅仅适用于二维空间，还能在更复杂的空间里发挥作用。

就像是你学会了骑自行车，不仅能在大马路上骑，还能在山地、沙滩甚至雪地里骑，那感觉，别提多带劲了！### 二、赫尔德不等式的推广既然赫尔德不等式这么牛，那它肯定得有个推广版吧？没错，赫尔德不等式的推广就像是给它插上了一双翅膀，让它飞得更高更远。

### 2.1 推广到更高维度就像前面说的，赫尔德不等式原本就能在多维空间里发挥作用，但它的推广版更是将这一特性发挥到了极致。

无论是在三维、四维还是更高维的空间里，赫尔德不等式的推广版都能游刃有余地应对各种复杂情况。

不等式是高等数学中的一个重要工具。

运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。

这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。

几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。

2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。

3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。

4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。

柯西不等式赫尔德卡尔松柯西不等式、赫尔德不等式和卡尔松不等式是数学中的重要概念，它们在分析、几何和概率论等领域都有着广泛的应用。

本文将从深度和广度两个方面对这三个不等式进行全面评估，并撰写有价值的文章来帮助您更好地理解这些重要的数学概念。

一、柯西不等式柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它是用来衡量两个向量内积的大小关系的不等式。

具体来说，对于两个n维实数向量a和b，它们的内积可以表示为a·b=∑(a_i * b_i)，而柯西不等式则可以表示为|a·b|<=||a||*||b||，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的模长。

柯西不等式在几何学、泛函分析和概率论中都有广泛的应用，它可以帮助我们理解向量之间的相对位置关系，以及在求解最优解或估计问题中的重要作用。

在柯西不等式的证明和推广过程中，我们可以利用欧几里德空间的内积和范数的性质，结合线性代数的知识，展开严谨的数学推导和分析。

柯西不等式还可以推广到希尔伯特空间以及一般的内积空间中，有着深刻而广泛的数学意义。

二、赫尔德不等式赫尔德不等式是另一个重要的不等式定理，它是用来衡量函数间积分的大小关系的不等式。

具体来说，对于两个可积函数f和g以及两个常数p和q，赫尔德不等式可以表示为||∫(f*g)dx||<=||f||_p*||g||_q，其中||f||_p和||g||_q分别表示函数f和g在L^p和L^q范数下的大小，而f*g表示f和g的卷积或乘积运算。

赫尔德不等式在数学分析、数学物理和信号处理等领域有着重要的应用，它可以帮助我们理解积分函数之间的大小关系，以及在估计和逼近问题中的关键作用。

赫尔德不等式的证明和推广过程中，我们需要利用Lebesgue积分和Lebesgue测度的性质，结合实变函数和泛函分析的理论，展开严密的数学推导和分析。

赫尔德不等式还可以推广到广义的Lebesgue空间以及一般的测度空间中，有着深刻而广泛的数学意义。

第1章不等式拓展1.1赫尔德不等式一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：赫尔德不等式高中常用形式:（其中,,(1,2,,)i i i a b c i n = 非负）一:()()()3112233a b a b a b +++≥二:()()()3111222333a b c a b c a b c ++++++≥三:()()()111121212,n n n a b z m a a a b b b z z z +++++++++共个字母m≥+ ，取等条件：111::::::(2,,)i i i a b z a b z i n == ，2m =时,赫尔德不等式即柯西不等式.二、【典型例题】1．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y+最小值．2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．1.2柯西不等式1.2.1整式类型一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：1.二维柯西不等式：设a ，b ，c ，d 均为实数，有22222()()()a b c d ac bd ++≥+当且仅当a bc d=时等号成立；向量法证明：()()22222,,,,cos 1cos ()()()m a b n c d m n m n m n ac bd a b c d ac bd θθ⎧==≤⎪⎪⇒=≤⎪⎨⎪⇒+≤⎪⎪⇒++≥+⎩；取等时向量共线，即a b c d =；代数法证明：()()()2222222222222222222222()22()0a b c d ac bd a c a d b c b d a c acbd b d a d b c acbd ad bc ⎧⎪⎪⎨⎪⎪++-+=+++-++=+-=⎩-≥易知取等条件是ad bc =，解答题用到柯西不等式，即可证明；2.n 维柯西不等式：222222222123123112233(......)(......)(......)n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++≥++++，其中字母值域均为R ，当且仅当312123......n na a a ab b b b ====时等号成立，n 维向量证明（不作要求）;二、【典型例题】1．（福建·高考真题）设,a b R ∈，2226a b +=，则a b +的最小值是（）A．-B．3-C．3-D．72-2．（江苏·高考真题）若,,x y z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值为．3．（湖南·高考真题）设,x y R ∈,则222211(4)x y y x++的最小值为．4．（全国·高三专题）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=+的最大值为（）C．D．5．（全国·高三专题）设,a b R ∈，且2210a b +=，则a b -的取值范围为______.6．（全国·高三专题）已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=，的最大值为（）A．3B．C．18D．97．（湖北·高考真题）设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b c x y z++=++（）A．14B．13C．12D．34三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知1,1x y >->-，且(1)(1)4x y ++=，则xy 的最大值是．2．（全国·高三专题）已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是．3．（陕西·高考真题）设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，的最小值为．4．（浙江湖州·高三期末）已知x ，y ∈R ，且3x y +=，+的最小值是．5．（全国·高三专题）已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为．6．（重庆卷）已知正数,x y 满足5x y +=的最大值为．7．（全国·高三专题）对于0c >，当非零实数a ，b 满足2222a ab b c -+=且使||a b +最大时，345a b c-+的最小值为．8.（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，当且仅当a bc d=时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数()f x =的最大值为（）A．B．C．12D．209.（2024·浙江·模拟预测）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=值为（）C．D．10．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．1.2.2分式类型一、【题型总结】▲适用题型：一般出现变量和以及变量的倒数和等类型可以考虑；▲方法原理：模型一：2222222()()()m n a b m n a b++≥+；例如：211()()a b a b ++≥=4；模型二：2[()(1)]()1a b a bx x x x x x+=+-+≥--1二、【典型例题】1．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A．245B．285C．5D．62．（陕西·高考真题）设,x y 为正数，则14()()x y x y++的最小值为（）A．6B．9C．12D．153．（河南开封·高二阶段）已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c ++的最小值为（）A．9B．8C．3D．134．（全国·高三专题）已知1a b c ++=，且,,0a b c >，则222a b b c a c+++++的最小值为()A．1B．3C．6D．95．（天津·耀华中学一模）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121aa b ++的最小值为．6．（浙江台州·高三期末）已知正实数,a b 满足21a b +=，则4432a b b a+的最小值为．三、【习题检测】1．（山东·高考真题）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为．2．（全国·高三专题）已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为．3．（全国·高三专题）设x ，y ，z的最大值是．4．（全国·高三专题）已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是．5．（天津·耀华中学模拟预测）已知实数0a >，0b >，121a b +=，则4312a ba b +--的最小值是．6．（全国·高三专题）已知正数,,x y z 满足321x y z ++=，则24242x y y z x y++++的最小值为．7．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121a ab ++的最小值为．1.2.3待定系数类型一、【题型总结】▲适用题型：直接使用柯西发现系数不匹配则可以考虑；▲方法原理：待定系数：()()()2222222101a b m m a b ma m ⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎣⎦⎣⎦比如已知正数,a b 满足1381a b +=，则2a 解题思路：()()()()()()()()()222222241401112222131333138188511213855343255552138155a b m m a b ma m m a b a m a a b a b m a a b a a b a b b ⎧⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎨⎪=⎪⎩+≥++++=⇒⇒=+≥+=⎧=⎫⎪=⎪⎪⇒⎬⎨⎪⎪+==⎭⎪⎩柯西待定系数化简结果对比中，系数为计算答案时125a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒+⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩最小值为取等二、【典型例题】1．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足341ab +=，则a +的最小值为．2．设a ，b ，c 为正数，且2221a b c ++=，则()a a b c ++的最大值为（）A．312+B．212+C．32D．223.（2024·浙江·一模）若()2s s in i c n os x y y x +++=，则sin x 的最小值是（）A．0B．2C．3-D．12三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知实数0x >，0y >，3x y +=，+的最小值是．2．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足8a +=，则32a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若a ，b 是正实数，且121a b+=，则a b ++的最小值为．4．若实数a ，b ，c ，d 满足1ab bc cd da +++=，则2222234a b c d +++的最小值为（）A．1B．2C．3D．以上答案都不对1.3权方和不等式1.3.1分式类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有22a b x y +和x y +时，也就是柯西不等式中分式类型的题目可以考虑；▲方法原理：由柯西不等式可知222()()()a b x y a b x y++≥+，则,,,0a b x y >时，222()a b a b x y x y ++≥+当a bx y =时，等号成立．同理2222(),a b c a b c x y z x y z ++++≥++当a b cx y z ==时，等号成立．二、【典型例题】1．（山东·高考真题）若直线1x ya b+=()0,0a b >>过点12（，），则2a b +的最小值为．2．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则43y x +的最小值是（）A．245B．285C．5D．6三、【习题检测】1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足()222a b a b x y x y++≥+，当且仅当a b x y =时，等号成立．则函数()31610133f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（）A．16B．25C．36D．492．已知x >0，y >0，且11121x y y +=++，则x +2y 的最小值为．3．已知1,1a b >>，则2211a b b a +--的最小值是．1.3.2合理配凑类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接用权方和时系数不匹配需要进行配凑，或者需要先进行变形处理；▲方法原理：1.考虑分式上下同时扩大或者缩小；比如：()2,,,0p q a b p qa b ma nb=⎧⎪+>⎪+⎨⎪=⎪⎩2.考虑分子分母同除以相同字母构造目标结构；比如：()()2221111114,,11111112112111111a bm a ba b a b ma b a ba b⎧++=>+=+≥=⎪---⎛⎫⎪---+⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪--⎪⎩若,则当且仅当时取等3.系数不匹配时还可以考虑待定系数法处理；比如已知()min119233,0345a b a ba b a b⎛⎫+=>+⎪++⎝⎭求（1）待定系数：令()()()()923345345a b m a b n a b m n a m n b+=+++=+++（2）对比,a b系数，计算,m n：()()39292323435345233m n ma b a b a bm n n+==⎧⎧⇒⇒+=+++=⎨⎨+==⎩⎩（3）权方和公式计算答案：()()211252634523435333a b a b a b a b++=+≥=++++，()()234359233a b a ba b⎧=⎪++⎨⎪+=⎩当且仅当时取等；二、【典型例题】1．（全国·高三专题）若,x y R+∈，且21x y+=，则22212x yx y+++的最小值为．2．（全国·高三专题）已知正数,,x y z满足321x y z++=，则24242x yy z x y++++的最小值为．3．（全国·高三专题）若正数a，b满足111a b+=，则411a ba b+--的最小值为．三、【习题检测】1．（天津联考）已知实数0x>，1y>-，且1x y+=，则2231x yx y+++的最小值为．2．（天津南开·三模）已知0a >，0b >，1a b +=，则1132a b a b+++的最小值为．3．（全国·高三专题）已知1a >，1b >，则2211a b b a --+的最小值为．4．（金太阳百校联考）已知正数,x y 满足434x y +=，则11321y xy xy ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭的最小值为．1.3.3构造指数差1类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接权方和不等式发现指数不匹配；▲方法原理：权方和不等式拓展：若0,0,0.i i a b m >>>则()()111112121212()()()()()()m m m m n n mm m m n n a a a a a a b b b b b b ++++++++++≥+++ ，当仅当1212n na a ab b b === 时，等号成立.它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.常见变形比如：()()()()33322211122222222211111111x y x y x y x y ⎧+⎪+=+≥⎪⎪+⎨⎪⎪=⎪⎩当且仅当时取等二、【典型例题】1.（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设0,0,,0n n a b n m >>∈>N *，则()()11111123312123123m m m m m n n m m m m mn n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++≥++++ ，当且仅当312123n na a a ab b b b ==== 时，等号成立．根据权方和不等式，若0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，当1x x +sin cos 取得最小值时，x 的值为（）A．12πB．6πC．3πD．512π2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y +最小值．3．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．4．已知122,0,1x y x y>+=的最小值是．5．求()f x =的最大值为．。

卡尔松不等式和赫尔德不等式卡尔松不等式和赫尔德不等式是数学中的两个重要的不等式。

下面我们将分别介绍这两个不等式的定义、证明以及应用。

一、卡尔松不等式1.定义卡尔松不等式是指对于任意非负实数$x_1,x_2,...,x_n$和任意正整数$p$，有以下不等式成立：$$(x_1^p+x_2^p+...+x_n^p)^{\frac{1}{p}}\leqslant(x_1^{p+1}+x_2^{p+1}+...+x_n^{p+1})^{\frac{1}{p+1}}$$其中$p\neq-1$。

2.证明卡尔松不等式的证明可以采用数学归纳法。

当$p=1$时，左右两边都是$n$个数的算术平均数，显然成立。

假设当$p=k$时不等式成立，则当$p=k+1$时，有：$$\begin{aligned}&(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})^{\frac{1}{k+1}}\\=&[(x_1^k+x_2^k+...+x_n^k)x_1+(x_1^k+x_2^k+...+x_n^k)x_2+...+(x_1^ k+x_2^k+...+x_n^k)x_n]^{\frac{1}{k+1}}\\=&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})+(x_1^kx_2+x_1^kx_3+ (x)1^kx_n+x_2^kx_1+x_2^kx_3+...+x_2^kx_n+...+x_n^kx_1+x_n^kx_2+...+x _n^kx_{n-1})]^{\frac{1}{k+1}}\\\geqslant&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})]^{\frac{1}{k+1}}+\lef t|\frac{x_1^kx_2+x_1^kx_3+...+x_1^kx_n+x_2^kx_1+x_2^kx_3+...+x_2^k x_n+...+x_n^kx_1+x_n^kx_2+...+x_n^kx_{n-1}}{(k+1)(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})^{\frac{k}{k+1}}}\right| ^{\frac{1}{k+1}}\\=&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})]^{\frac{1}{k+1}}+\left[\frac{ \sum_{i<j}x_i^kx_j^k}{(k+1)(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})^{\fr ac{k}{k+1}}}\right]^{\frac{1}{k+1}}\\\geqslant&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})]^{\frac{1}{k+1}}\\ \end{aligned}$$其中，最后一步应用了均值不等式和幂平均不等式。

高中赫尔德不等式摘要：1.简介赫尔德不等式的背景和意义2.赫尔德不等式的数学表达式及条件3.赫尔德不等式的证明思路和方法4.赫尔德不等式在实际问题中的应用5.赫尔德不等式与其他不等式关系的对比6.结论与展望正文：赫尔德不等式（Holder"s Inequality）是数学领域中一个重要的不等式，广泛应用于不等式分析、概率论、数值分析等领域。

本文将对赫尔德不等式进行详细的阐述，包括其数学表达式、证明方法以及在实际问题中的应用。

赫尔德不等式是由德国数学家赫尔德（Holder）于19世纪末提出，其目的是为了研究函数的积分和不等式之间的关系。

赫尔德不等式的数学表达式如下：设函数f(x)在区间[a, b]上可积，函数g(x)在区间[a, b]上连续，则有：∫[a, b]f(x)g(x)dx ≥ μ∫[a, b]f(x)dx × ∫[a, b]g(x)dx其中，μ为常数，且μ> 0。

要证明赫尔德不等式，我们可以采用数学分析的方法。

首先，我们将赫尔德不等式的左右两边分别看作两个函数的乘积，然后通过积分区间分割、放缩法等手段，将问题转化为比较两个积分的大小。

具体证明过程较为复杂，这里不再详细展开。

赫尔德不等式在实际问题中具有广泛的应用，例如在概率论中，它可以用来估计随机变量的不确定性；在数值分析中，它可以用于求解偏微分方程的解。

此外，赫尔德不等式还与其他著名的不等式（如柯西不等式、闵可夫斯基不等式等）有密切关系，通过对比研究，我们可以更深入地理解这些不等式的本质。

总之，赫尔德不等式是数学领域中一道亮丽的风景线，它不仅丰富了不等式理论，还在诸多实际问题中发挥着重要作用。

对赫尔德不等式的深入研究，有助于我们更好地把握不等式的应用范围，提高解决问题的效率。

6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式 若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即 訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸 函数，不等式③反向，从而，相应地有不等 式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不 等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引 用如下不等式：几何不等式 若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上 凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明 当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不 等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。

赫尔德不等式在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：以及如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。

在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。

把a > 0乘以∞，则得出∞。

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f ||p = 0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。

如果||g||q = 0也是这样。

因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。

因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p= ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。

对于p = 1和q= ∞，情况也类似。

因此，我们还可以假设p, q∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：我们现在使用杨氏不等式：对于所有非负的a和b，当且仅当a = b时等式成立。

因此：两边积分，得：这便证明了赫尔德不等式。

在p∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。

更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q 且β = ||f ||p），使得：μ-几乎处处 (*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。

||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。

高中数学竞赛所使用的不等式是holder不等式，其形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$1.概述holder不等式是数学分析中的一种常见不等式，广泛应用于数学竞赛和实际问题中。

它可以用于证明其他数学不等式和定理，也有着重要的理论和实际意义。

2.起源holder不等式最早由德国数学家奥托·霍尔德（Otto Hölder）于1889年提出。

霍尔德不等式最初是为了研究勒让德多项式的正性而引入的，随后得到了广泛的推广和应用。

霍尔德不等式实际上是一类不等式的统称，其中包括了多种形式和变种。

3.一般形式holder不等式的一般形式为：$$\sum a_i b_i \leq \left( \sum a_i^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum b_i^q \right)^{1/q}$$其中，$$a_i$$和$$b_i$$为实数，$$p$$和$$q$$为正实数，满足$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$。

4.特殊情况当$$p=q=2$$时，holder不等式退化为柯西-施瓦茨不等式。

当$$p=q=1$$时，holder不等式变为积分柯西不等式。

当$$p=\infty$$，$$q=1$$时，holder不等式为min-max不等式。

5.证明（1）利用幂平均不等式证明我们可以利用幂平均不等式来证明霍尔德不等式。

根据幂平均不等式，对于任意非负实数$$x_1, x_2, ..., x_n$$和正实数$$p$$，有$$\left( \frac{1}{n} \sum x_i^p \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sumx_i$$对于任意非负实数$$y_1, y_2, ..., y_n$$和正实数$$q$$，同样有$$\left( \frac{1}{n} \sum y_i^q \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sumy_i$$将$$x_i=\lambda a_i^p$$和$$y_i=\frac{1}{\lambda} b_i^q$$代入上述不等式，得到$$\left( \frac{1}{n} \sum (\lambda a_i^p)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i^p$$$$\left( \frac{1}{n} \sum \left(\frac{1}{\lambda} b_i^q\right)^q\right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i^q $$整理得$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum a_i^p \right)^{p} \right)^{1/p} \geq \frac{1}{n} \sum \lambda a_i$$$$\left( \left( \frac{1}{n} \sum b_i^q \right)^{q} \right)^{1/q} \geq \frac{1}{n} \sum \frac{1}{\lambda} b_i$$将上述两式相乘，并取$$\lambda^{1/p}$$次方和$$\frac{1}{\lambda^{1/q}}$$次方可得霍尔德不等式，证毕。

高中赫尔德不等式1. 引言赫尔德不等式（Hölder inequality）是数学中的一种重要不等式，由德国数学家奥托·赫尔德（Otto Hölder）于1889年提出。

它是数学分析中的基本工具，广泛应用于概率论、统计学、函数分析等领域。

在高中数学中，赫尔德不等式是一种常见的数学工具，用于证明各种数学定理和解决各种问题。

本文将详细介绍高中赫尔德不等式的定义、证明及应用，帮助读者更好地理解和运用这一重要的数学工具。

2. 定义高中赫尔德不等式是指对于给定的两个正实数序列 {a i } 和 {b i }，以及实数 p 和 q ，满足以下条件： 1. p >1 和 q >1； 2.1p+1q =1。

则有不等式：∑a i ni=1b i ≤(∑a i pni=1)1p(∑b i q ni=1)1q其中，∑n i=1 表示对序列中的元素求和，a i 和 b i 分别表示两个序列中的第 i 个元素。

3. 证明高中赫尔德不等式可以通过数学归纳法证明。

首先，我们可以通过引入一个辅助函数来简化不等式的证明。

定义函数 f (x )=e x ，则根据函数 f (x ) 的性质，我们有 f″(x )=e x >0，即函数 f (x ) 是凸函数。

对于任意的正实数 a i 和 b i ，根据凸函数的性质，我们有：f (a i∑a i n i=1)≤1∑a i n i=1∑a i ni=1f (a i∑a in i=1)f (b i∑b i n i=1)≤1∑b i n i=1∑b i ni=1f (b i∑b in i=1) 将上述两个不等式分别对 i 从 1 到 n 求和，得到：∑f ni=1(a i∑a i n i=1)≤∑1∑a i n i=1ni=1∑a i ni=1f (a i∑a in i=1) ∑f ni=1(b i∑b i n i=1)≤∑1∑b i n i=1ni=1∑b i ni=1f (b i∑b in i=1) 接下来，我们对上述两个不等式应用赫尔德不等式的定义，即令 p =1q =1p−1，得到：∑f ni=1(a i ∑a i n i=1)≤(∑[1∑a in i=1]p−1ni=1)1p(∑a i ni=1f (a i∑a in i=1)p )1p∑f ni=1(b i ∑b i n i=1)≤(∑[1∑b in i=1]p−1ni=1)1p(∑b i ni=1f (b i∑b in i=1)p )1p由于函数 f (x )=e x 是递增的，所以上述不等式可以进一步简化为：∑a i∑a in i=1ni=1≤(1n )1p(∑a i p ni=1)1p∑b i∑b in i=1ni=1≤(1n )1p(∑b i p ni=1)1p将上述两个不等式相乘，得到：(∑a i ∑a in i=1ni=1)(∑b i∑b in i=1ni=1)≤(1n )2p(∑a i p ni=1)1p(∑b i pni=1)1p由于 a i∑a ini=1=a ip∑a ipni=1 和 b i∑b ini=1=b ip ∑b ip ni=1，所以上述不等式可以进一步简化为： ∑a i p∑a i p n i=1ni=1∑b i p∑b ipn i=1n i=1≤(1n)2p(∑a i p ni=1)1p(∑b i p ni=1)1p对上述不等式两边同时乘以 ∑a i p n i=1∑b i pn i=1，得到：(∑a ip∑a i p n i=1ni=1)(∑b i p∑b ip n i=1ni=1)≤(1n )2p(∑a i p ni=1)1p(∑b i p ni=1)1p ∑a i pni=1∑b i p ni=1由于 a ip∑a ipni=1=a ip ∑a ipni=1=1，所以上述不等式可以进一步简化为：∑a i p ni=1∑b i p ni=1≤(1n)2p(∑a i p ni=1)1p(∑b i p ni=1)1p ∑a i pni=1∑b i p ni=1将上述不等式整理，得到：∑a i p ni=1∑b i p ni=1≤(1n)2p(∑a i pni=1)1p(∑b i p ni=1)1p由于 p >1，所以上述不等式成立。

赫尔德不等式在高中数学中的应用什么是赫尔德不等式？
赫尔德不等式，又称赫尔德积分不等式，是数学分析中的一种重要不等式。

它描述了两个函数的乘积在某些条件下的上界。

赫尔德不等式的一般形式为：
若函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续且非负，则有：
∫[a,b] f(x) * g(x) dx ≤ (∫[a,b] f(x)^p dx)^(1/p) * (∫[a,b] g(x)^q dx)^(1/q)
其中，p和q是满足1/p + 1/q = 1的正实数。

赫尔德不等式在高中数学中的应用
赫尔德不等式在高中数学中有广泛的应用，特别是与积分相关的问题。

下面列举了一些常见的应用场景：
•证明两个函数的乘积的积分上界；
•证明柯西-施瓦茨不等式、柯西不等式等其他重要不等式；
•求解函数极值问题；
•计算特定曲线下的面积。

示例：证明两个函数的乘积的积分上界
假设我们要证明函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上的乘积的积分上界。

我们可以利用赫尔德不等式进行推导：
∫[a,b] f(x) * g(x) dx ≤ (∫[a,b] f(x)^2 dx)^(1/2) * (∫[a,b] g(x)^2 dx)^(1/2)
通过选择合适的函数f(x)和g(x)，我们可以得到具体问题的解答。

小结
赫尔德不等式是高中数学中的重要内容，它在解决函数乘积的积分上界、证明其他不等式以及求解函数极值等问题中有广泛的应用。

熟练掌握赫尔德不等式的使用方法，对于理解数学知识和解决实际问题都具有重要意义。

三元赫尔德不等式你知道“三元赫尔德不等式”吗？乍一听，名字是不是有点拗口，像是数学家开的一个秘密俱乐部的名字？它就是数学中的一种不等式，听起来很复杂，但一旦搞懂了，感觉就像解开了一个小谜团，豁然开朗。

今天我就跟你聊聊这个赫尔德不等式，保证让你既学到了知识，又能笑出声来。

首先呢，“赫尔德不等式”听起来像是个超级严肃的数学理论，像是一个大牛逼的数学大神发明的东西，结果其实它只是数学里的一种“约定俗成”的规则。

就是说，给你几个数，你可以根据这个规则，知道他们之间的一些“关系”。

简单点说，就像你告诉别人“今天下雨了，我带了伞”，别人听了就知道你今天带伞是为了防雨，而不是为了去打伞舞。

好了，接着说“三元赫尔德不等式”。

乍一看，名字里的“赫尔德”让人觉得很有深度。

就好像，赫尔德是某个很神秘的数学家，他弄出来的这个不等式简直可以颠覆一切。

其实呢，这个不等式就是在告诉你，当你有三个数的时候，这三者之间的某种关系有多么神奇。

要是用简单的说法来说，它其实就是通过某种方式把这三个数放到一起，让它们的乘积或者某种“算数”的东西，不会比你单独取其中一个数还要大。

就是说，整体不可能比局部更强大。

听起来是不是有点像那个什么“大于部分”之类的道理？就是整体虽然很有气势，但有时候局部的能量反而能限制它。

你可能会想，“哎，那不就是简单的比较大小吗？有啥了不起的？”嘿，别急！事情没那么简单。

这个不等式，实际上是帮助你在一些复杂的计算和推导中，能够确保“安全边际”。

你就想像你在玩游戏的时候，那个提示框总是告诉你“安全距离”有多远一样。

赫尔德不等式就是给你一个计算过程中的“安全距离”，告诉你，嘿，你可以放心了，不会超出预期的范围。

你也许会问，三元赫尔德不等式具体是怎么操作的？别着急，咱们慢慢聊。

三元呢，顾名思义，就是有三个数。

想象一下，你手里有三个数，比如说3、4、5。

赫尔德不等式告诉你，这三者之间有一个“关系”可以用来比较。

它的形式大概就是，这三个数按一定方式组合在一起后，乘积或者某种加和的结果，它是不会比你分别计算每个数的“特定操作”后的结果还要大。

holeder不等式Holeder不等式是概率论与数理统计中一项重要的不等式，由丹麦数学家奥托·松·霍尔德（Otto Ludwig Hölder）于1889年提出。

该不等式被广泛应用于概率分布、函数论、实分析等领域，具有着重要的理论和实际意义。

Holeder不等式的表述如下：对于非负实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn和正实数p和q，满足 1/p + 1/q = 1，有∑(ai * bi) ≤ (∑ai^p)^(1/p) * (∑bi^q)^(1/q)这个不等式被广泛用于证明其它更为复杂的数学不等式，例如，扩展到多个变量的情况、应用于概率论中的随机变量等。

它的证明需要使用到泛函分析、实分析的相关知识。

Holeder不等式的证明思路如下：对于没有加大一般性的实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn以及0 < p < 1。

我们考虑随机变量X和Y，各自服从[0, 1]上的均匀分布，并记它们的概率密度函数为f(x)和g(x)，以及其相应的累积分布函数为F(x)和G(x)。

由于0 < p < 1，我们可以定义随机变量Z为Z = (X^p / Y^(1-p))。

由于X和Y服从均匀分布，Z的期望为E(Z) = (∫Zf(x)dx) = (∫(x^p / y^(1-p))f(x)dxdx) = ∫∫(x^p / y^(1-p))f(x)g(y)dxdy。

我们可以观察到，Z的期望E(Z)等于右边的Holeder不等式中的p-次幂和。

因此，我们的目标是证明E(Z) ≤ (∑ai^p)^(1/p) * (∑bi^q)^(1/q)。

首先，我们注意到，Z的期望在p固定的情况下关于ai和bi的选择是单调递增的。

因此，我们可以将ai和bi按照递减次序重新排列，使得∑ai^p ≤ ∑bi^q。

然后，我们通过逐次近似的方法，得到Z的期望的下界和上界，并证明它们是递增的。