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第八讲 几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。
下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式 定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。
[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。
[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++，得证。
[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ΛΛ求证 解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ΛΛ()22111n n =++≥43421Λ个 当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===Λ时等号成立即n a a a Λ==21，故原不等式得证。
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤u r rL L u r r u r r u r r L u r rQ L 令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
闵克夫斯基不等式的证明
闵克夫斯基不等式作为习题与柯西-施瓦茨不等式同时出现。
通过我自己的证明发现，闵克夫斯基不等式实际上是在柯西-施瓦茨不等式基础上推导而出的。
有了柯西-施瓦茨不等式的证明经历，证明闵克夫斯基不等式倒没废多大功夫。
不过，在不知道柯西-施瓦茨不等式的情况下，要证明它还是有一定难度的。
其实数学定理都是由浅入深，一环扣一环的。
相对复杂的定理或
公式，都是由简单的定理或公式推理得来的。
对于大学本科或更高阶段的数学学习，我觉得最重要的还是对基础定理、定义的理解。
像高中阶段去刷难题已经没有必要，学习的重点已经从技巧过度到深度和广度上。
PS：毕业十几年，作为一个文科生，最后悔的就是没有学过高等数学，没有建立微积分的思想体系，虽然孩子都能打酱油了，但还是捡起来，自己慢慢学。
学习目标是，以书本（同济第七版）为范围，书上的所有定理、定义和公式都要自己会推导，所有课后习题都要会做。
赫尔德不等式和闵科夫斯基不等式的证明设函数f和g是定义在[a,b]上的可积函数。
则对于任意实数p和q，满足1/p+1/q=1，赫尔德不等式可以表述为：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)，^p dx )^(1/p) * ( ∫(a→b) ，g(x)，^q dx )^(1/q)证明：1.当p=1或q=1时，不等式成立，因为此时不等式等价于普通积分的绝对值不等式。
2.当p>1和q>1且都不为无穷时，可以证明p和q可以写成以下形式：p=a/(a-1)和q=b/(b-1)其中a和b是任意正实数。
根据Young不等式，对于p' 和 q'，满足 1/p' + 1/q' = 1，有：∫(a→b) ，f(x)，^p dx ≤ ( 1/p' * ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p* ( 1/q' * ∫(a→b) 1 dx )^(p - 1) = ( ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p* (b - a)^(1 - p)同理，对于g(x)，有：∫(a→b) ，g(x)，^q dx ≤ ( ∫(a→b) ，g(x)， dx )^q * (b - a)^(1 - q)将以上两个不等式代入赫尔德不等式的左边得到：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p * ( ∫(a→b) ，g(x)， dx )^q * (b - a)^(1 - p) * (b - a)^(1 - q)由于1-p=-1/(a-1)和1-q=-1/(b-1)(b-a)^(1-p)=(b-a)^(-1/(a-1))=(b-a)^(-b/(a-1))(b-a)^(1-q)=(b-a)^(-1/(b-1))=(b-a)^(-a/(b-1))将以上两个结果代入得到：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)， dx )^p * ( ∫(a→b) ，g(x)， dx )^q * (b - a)^(-b/(a - 1)) * (b - a)^(-a/(b - 1))结合 (b - a)^(-b/(a - 1)) * (b - a)^(-a/(b - 1)) = (b -a)^(-(b/(a - 1) + a/(b - 1))) = (b - a)^(-ab/(a - 1)(b - 1)) = 1得到最终的赫尔德不等式：∫(a→b) ，f(x)g(x)，dx ≤ ( ∫(a→b) ，f(x)，^p dx )^(1/p) * ( ∫(a→b) ，g(x)，^q dx )^(1/q)。
闵可夫斯基不等式是数学分析中的一个重要不等式，它被广泛应用于测度论、泛函分析和概率论等各个领域。
这个不等式由俄罗斯数学家米哈ил·伊万诺维奇·闵可夫斯基在其研究中首次提出，之后被法国数学家奥图·霍尔德加以推广和深化。
闵可夫斯基不等式和霍尔德不等式一起构成了数学分析中的两大重要不等式定理。
在接下来的文章中，我们将以从简到繁、由浅入深的方式，深入探讨闵可夫斯基不等式和霍尔德不等式，并共享个人对这一重要数学定理的理解和观点。
1. 闵可夫斯基不等式让我们来了解一下闵可夫斯基不等式的基本形式。
在数学分析中，闵可夫斯基不等式通常用于测度论和概率论中的Lp空间。
这个不等式的基本形式可以表示为：对于任意两个具有有限Lp范数的实数或复数序列{x_n}和{y_n}，以及任意p大于等于1的实数，都有以下不等式成立：||x_n + y_n||_p ≤ ||x_n||_p + ||y_n||_p这个不等式表明了Lp范数下的向量加法满足三角不等式，从而在数学理论和实际应用中具有重要意义。
2. 霍尔德不等式接下来，我们将深入了解霍尔德不等式。
霍尔德不等式是对闵可夫斯基不等式的一种推广和深化，它被广泛应用于概率论、泛函分析和偏微分方程等领域。
霍尔德不等式在Lp空间中的形式可以表示为：对于任意具有有限Lp范数的函数f和g，以及任意p大于1和其共轭指数p'，都有以下不等式成立：|∫(fg)dx| ≤ ||f||_p * ||g||_p'这个不等式揭示了Lp空间中函数的乘法运算满足柯西-施瓦茨不等式，在数学分析和实际问题中具有重要作用。
3. 总结和回顾通过对闵可夫斯基不等式和霍尔德不等式的深入探讨，我们发现这两个重要不等式在测度论、概率论和泛函分析等领域具有重要的理论基础和应用价值。
闵可夫斯基不等式揭示了Lp范数下的向量加法满足三角不等式，而霍尔德不等式则深化了闵可夫斯基不等式并揭示了Lp空间中函数的乘法运算满足柯西-施瓦茨不等式。
6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式 若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即 訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸 函数，不等式③反向，从而，相应地有不等 式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不 等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引 用如下不等式：几何不等式 若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上 凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明 当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不 等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。
不等式是高等数学中的一个重要工具。
运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。
这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。
2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。
闵可夫斯基不等式在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski不等式）表明L p空间是一个赋范向量空间。
设是一个度量空间，，那么，我们有：如果，等号成立当且仅当，或者闵可夫斯基不等式是中的三角不等式。
它可以用赫尔德不等式来证明。
和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式：对所有实数，这里是的维数；改成复数同样成立，没有任何难处。
值得指出的是，如果，，则可以变为。
积分形式的证明我们考虑的次幂：（用三角形不等式展开）页脚内容1用赫尔德不等式（见下文）继续运算可得（利用，因为）现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项，除以最后那个表达式的后面那个因子，我们得到:因为，我们最终得出：这就是我们所要的结论。
页脚内容2页脚内容3对于序列的情况，证明是完全类似的。
赫尔德（Holder ）不等式设()n i b a ii ≤≤1,是2n 个正实数，,1,0,0=+>>βαβα则βαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i ni iib a b a111.[证明] 令∑∑====ni ini i b B a A 11,那么∑∑==--⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ni i i ni iiB b A a b aB A 11βαβαβαβαβαβαβαβα++≤++=+B b A a B b A a B b A a ii i i i i lg lg lg lg lg利用Jensen 不等式有B b A a B b A a i i i i βαβα+≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛成立1111=+=+≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===βαβαβαn i i ni n i i i i b B a A B b A a即βαβαβα⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=≤∑∑∑===niiniiniiibaBAba111,得证。
易知积分形式也成立页脚内容4。
6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式 若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即 訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸 函数，不等式③反向，从而，相应地有不等 式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不 等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引 用如下不等式：几何不等式 若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上 凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明 当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不 等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。
