世界数学史上的十个著名不等式

第八讲 几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。

下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式 定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。

[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。

[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++，得证。

[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ΛΛ求证 解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ΛΛ()22111n n =++≥43421Λ个 当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===Λ时等号成立即n a a a Λ==21，故原不等式得证。

⼏个著名的不等式公式在数学领域⾥，不等式知识占有⼴阔的天地，⽽⼀个个的重要不等式⼜把这⽚天地装点得更加丰富多彩．下⾯择要介绍⼀些著名的不等式。

三⾓形内⾓的嵌⼊不等式三⾓形内⾓的嵌⼊不等式，在不⾄于引起歧义的情况下简称嵌⼊不等式。

该不等式指出，若A、B、C是⼀个三⾓形的三个内⾓，则对任意实数 x、y、z，有：算术-⼏何平均值不等式在数学中，算术-⼏何平均值不等式是⼀个常见⽽基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和⼏何平均数之间恒定的不等关系。

设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的⼏何平均数是。

算术-⼏何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成⽴当且仅当。

算术-⼏何平均值不等式仅适⽤于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、⾃然科学、⼯程科学以及经济学等其它学科都有应⽤。

算术-⼏何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是⼀组包括它的不等式的合称。

例⼦在 n = 4 的情况，设: ，那么可见。

历史上，算术-⼏何平均值不等式拥有众多证明。

n = 2的情况很早就为⼈所知，但对于⼀般的 n，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了⼀般情况的证明，⽤的是调整法，然⽽这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了⼀个使⽤逆向归纳法的证明：命题P n：对任意的 n 个正实数，1. 当 n=2 时，P2显然成⽴。

2. 假设Pn成⽴，那么P2n成⽴。

证明：对于2n 个正实数，3. 假设P n成⽴，那么P n-1成⽴。

证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成⽴，。

但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的⾃然数，命题P n都成⽴。

这是因为由前两条可以得到：对任意的⾃然数 k，命题都成⽴。

因此对任意的，可以先找 k 使得，再结合第三条就可以得到命题P n成⽴了。

归纳法的证明使⽤常规数学归纳法的证明则有乔治·克⾥斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第⼆卷中给出的：由对称性不妨设xn+1是中最⼤的，由于，设，则，并且有。

几个著名不等式1 著名不等式柯西不等式对于任意两组实数和有上述不等式只有当时，等号才能成立．证明因为对任意x，有将上式展开得上述二次三项式对任意x均大于等于0，故其判别式不能大于0，所以当判别式等于0时，上述方程有重根，设重根为x=k，则这时所以上述不等式只有当时等号才能成立。

如令，则得柯西不等式在高等代数中的意义是：两个向量的数积不大于两个向量长度的乘积．若则其中例１若都是正数，求证证明构造两个实数列则由柯西不等式得即*赫勒德尔不等式由柯西不等式可得但所以有同理有一般地有现在证明上述不等式对任意不等于2m的正整数也成立（假定所有数列均为正数列）．设共k个实数列设共k个再令则有但所以所以即该不等式对任意不等于2m的整数k也成立．上述不等式的证明有些麻烦，不好记，现用反归纳法给出一个简洁的证明．由证明知，不等式对无穷多个自然数k=2m成立．现在假设不等式对m=k成立．（是k个数列）≤但是左边所以即不等式对m=k-1也成立。

由反归纳法知，不等式对任意整数k均成立．例２设非负实数满足求证．证明当n=1时，结论显然正确．假设命题在n=k时正确，非负实数满足则成立．现设为k+1个非负实数，满足+要证令，则由归纳假设但是，因为，所以所以证毕如果令．这里均为正实数，则得现在证明下面不等式其中均为正有理数，且证明上面的不等式称为赫勒德尔不等式．当为正无理数且满足条件时，上述不等式当然也成立，只要根据“每一无理数都有理数的极限”，便可证明．最后，再应用“算术平均值大于几何平均值”来证明赫勒德尔不等式．对于，得即于是有所以上式是两个实数列的赫勒德尔不等式．对三个实数列情况，即令这时即赫勒德尔不等式对三个实数列也成立．同理可得赫勒德尔不等式又四个…实数列也成立。

令这里．则得当时，上式就是柯西不等式．由上述不等式可得其中，所以即上述不等式称为明可夫斯基不等式．当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和．2 凸函数下面我们给出凸函数定义及其性质．定义2.1如果函数f(x)满足以下条件：对任意x1和x2，有其中，则称f(x)为下凸函数．如果函数f(x)满足下面条件，对任意的x1和x2有其中，则称f(x)为上凸函数．凸函数的几何意义分别用图２－１和图２－２表示．下凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在相应弦的下方，而上凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在弦的上方．显然，当时，即是x1与x2中间的点．反之，当x是x1与x2中间的点时，即x1<x< x2，令有，且，有所以闭区间中所有点均为的形式．反之，也是区间中的点．定理2.1若f(x)是下凸函数，则下面不等式成立：其中证明当n=2时，上式即为下凸函数定义，所以定理成立．现假设k=n时定理成立．当k=n+1时，令这时所以所以定理对k=n+1也成立．同理，对上凸函数f(x)也有其中例３由图形知是上凸函数．所以令，则有除去对数符号，得如果令，上式的意义即为算术平均值大于几何平均值．例４设这时（以后说明为什么下凸函数，所以是下凸函数消去，得除去对数符号，得令，则得即几何平均值大于等于的调和值．例５求证圆内接n边形中，以正n边形面积为最大．证明设圆的半径为Ｒ，内接n边形的面积为Ｓ，n边形各边所对应的圆心角为．则因为都区间是上凸函数．所以上式只有在时等号才能成立，也就是说正n边形面积最大．最后我们给出一些与分析有关的不等式．例６若，求证证明因为，令，所以在上式中，如果令，则令，得另一方面，因为所以当，有令，得当时，．练习2.21.设求证．提示2.已知为实数，，求的极大值．3.利用为凸函数性质，证明算术平均值大于等于几何平均值．。

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

5．3几个重要的不等式具备了不等式的基本知识和技能之后，就可以进一步欣赏一些优美而又魅力无限的重要结果。

正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。

这里要介绍的一些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常象变戏法似的神秘莫测。

除了前面已经介绍的贝努利不等式之外，本节将讨论的一些重要不等式包括：柯西不等式，排序不等式，平均不等式等。

这些重要的不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具。

1． 柯西（Cauchy ）不等式在上一节，我们已经粗略地了解了形如22222)())((bd ac d c b a +≥++的不等式，因其是由大数学家柯西（Canchy ）发现的，故而一般称之为柯西不等式。

柯西不等式有着丰富的几何背景。

可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解。

请同学们回忆一下我们曾经学过的余弦定理的内容？我们将利用它来解释柯西不等式。

如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理2222⋅-+=OP OQ OP PQ2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.讨论：借助图形分析，柯西不等式中等号成立的条件是什么?柯西不等式应用相当广泛，我们先通过一些简单的例子加以体会。

例1．已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax （1） 证明：由柯西不等式，.1))(()(22222=++≤+y x b a by ax 所以（1）成立。

吴文俊的几个不等式引言吴文俊（1919年-2014年）是中国著名的数学家和科学家，被誉为中国现代数学的奠基人之一。

他在数学领域做出了许多重要贡献，其中包括一些著名的不等式。

本文将介绍吴文俊提出的几个重要不等式，并对其背景、内容和应用进行详细阐述。

1. 吴文俊不等式吴文俊不等式是吴文俊在1962年提出的一组重要不等式，它们被广泛应用于数学、物理和工程领域。

这些不等式在优化问题、泛函分析、非线性偏微分方程等方面具有重要意义。

1.1 不等式一第一个吴文俊不等式是关于函数的凸性质的一个刻画。

设f(x)是定义在[a,b]上的连续函数，如果对于任意x1,x2∈[a,b]及任意λ∈[0,1]都有：f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)则称f(x)为[a,b]上的凸函数。

1.2 不等式二第二个吴文俊不等式是关于矩阵特征值的一个重要结果。

设A为n×n的实对称矩阵，其特征值按非降序排列为λ1≤λ2≤...≤λn，则对于任意正整数k≤n，有：|λ1λ2...λk|≤|λ1||λ2|...|λk|1.3 不等式三第三个吴文俊不等式是关于泛函的一个重要结果。

设Ω为定义在区间[a,b]上的可微函数集合，如果对于任意f,g∈Ω都有：∫(f′(x))2 ba dx−∫(f(x)g(x))badx+∫(g′(x))2badx≥0则称该不等式为吴文俊不等式。

2. 吴文俊不等式的应用吴文俊提出的这些不等式在科学研究和工程实践中具有广泛应用。

2.1 凸函数在优化问题中的应用凸函数的性质在优化领域中具有重要作用。

通过利用吴文俊提出的凸函数判定条件，可以判断一个函数是否是凸函数。

在数学规划、最优化理论和算法中，凸函数的性质被广泛应用于求解各种优化问题，如线性规划、二次规划和非线性规划等。

2.2 矩阵特征值在物理和工程中的应用矩阵特征值在物理和工程领域中具有重要意义。

通过吴文俊提出的不等式，我们可以对实对称矩阵的特征值进行估计和分析。

三角形内角的嵌入不等式三角形内角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。

该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个内角，则对任意实数x、y、z，有：算术-几何平均值不等式在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。

设为n个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。

算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。

算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子在n = 4 的情况，设: ，那么.可见。

历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。

n = 2的情况很早就为人所知，但对于一般的n，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题P n：对任意的n个正实数，1. 当n=2 时，P2显然成立。

2. 假设P n成立，那么P2n成立。

证明：对于2n个正实数，3. 假设Pn成立，那么P n− 1成立。

证明：对于n- 1 个正实数，设，，那么由于P n成立，。

但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数，命题P n都成立。

这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数k，命题都成立。

因此对任意的，可以先找k使得，再结合第三条就可以得到命题P n成立了。

归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设xn + 1是中最大的，由于，设，则，并且有。

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。