汽车断开式转向梯形机构的优化设计
1. 断开式转向梯形数学模型推导 理想的左右转向轮转角关系
图1为汽车前轮转向示意图。
为了避免在汽车转向时产生的路面对汽车行驶的附加阻力和轮胎磨损过快，要求转向系统即可能保证在汽车转向时，所有的车轮均作纯滚动。
显然，这只有在所有车轮的轴线都相交于一点时方能实现。
此交点被称为转向中心。
如图所示，汽车左转弯时，内侧转向轮转角α应大于外侧车轮的转角β。
当车轮被视为绝对刚体的假设条件下，左右转向轮转角α和β应满足Ackermann 转向几何学要求，如式（1）所示。
L
B
-
=βαcot cot (1)
其中：
α－内侧转向轮转角； β－外侧转向轮转角；
B －两侧主销轴线与地面相交点之间的距离； L －汽车前后轴距； R －转弯半径。
根据式（1）可得理想的右轮转角，如式（2）。
0
tan arctan 1tan B
L
αβα=+⨯
（2）
同理，当汽车右转向时，Ackermann 转角关系如式（3）所示。
L
B
+
=βαcot cot （3）
根据式（3）可得理想的右轮转角，如式4所示。
0tan arctan
1tan B
L
αβα=-⨯
（4）
实际的左右转向轮转角关系
图2是一种含有驱动滑块的常用断开式转向梯形机构。
轮齿条转向机构将方向盘的旋转运动转化成齿条（滑块）的直线运动，继而驱动转向梯形机构实现左右前轮转向。
v
α
β
β
α
B
L
R
图1 汽车转向示意图
图2 由齿轮齿条转向机驱动的断开式转向梯形机构
图中：
1L －转向机齿条左右球铰中心的距离; 2L －左右横拉杆的长度； 3L －左右转向节臂的长度； w L －车轮中心至转向主销的距离；
1S －转向齿条从中心位置向左的位移量； 2S －转向齿条从中心位置向左的位移量；
y －转向齿条左右球铰中心连线与左右转向主销中心连线之偏距，图示位置取正值，反之取负值； 0S －直线行驶时，转向齿条左球铰中心和左转向主销的水平距离；
0α－转向节臂与汽车纵轴线的夹角。
运用余弦定理和三角函数变换公式，经推导可得：
222
2
2
3cos cos()2()
Cy S A B C AOB BOY L S y α--+-=∠+∠=
+
A 点的坐标值为：
2222222222()2()C S y A B C B
Xa y S C y S A B C Ya y S ⎧⨯-⨯+-=⎪⎪⨯+⎨
⨯+⨯+-⎪
=⎪⨯+⎩
其中：
32A L S =-⨯，32B L y =-⨯，2
222
23C L L y S =---；
S －表示转向齿条左球铰中心和左转向主销中心的实际距离， 对于直线行驶时，0S S =；
转向时，对于左转向轮：0S S S =-
右转向轮：0S S S =+。
由此得到左转向轮转角随齿条运动的方程，如式（5）所示；右转向轮如式（6）所示。
当A 点位于O 点的左侧——即Xa>
B
时： 222
111102
32()
C y S A B C L y S απα⨯+⨯+-=+⨯⨯+
（5a ）
当A 点位于O 点的右侧——即Xa>
2
B
时：
02
3{2()
L y S απα=--⨯⨯+
（5b ）
当A 点位于O 点的左侧——即Xa>
B
时： 02
3{2()
L y S βαπ=-+⨯⨯+
（6a ）
当A 点位于O
点的右侧——即Xa>
B
时： 030{βαπ=--
（6b ）
2. 优化目标函数和约束条件的确定
优化目标函数的确定
由于现有的转向梯形机构并不能够完全满足Ackermann 转向几何学要求，实际上只能在一定的车轮转角范围内，使两侧车轮偏转角的关系大体上接近于理想关系。
同时，Matlab 软件中提供了非线性规划的相关优化函数，因此，本着最大限度地逼近理想的阿克曼转角的原则，我们采用离散化方法，给出了优化设计目标函数为：
201
()n
i F ββ==-∑
其中：
β－右侧转向轮的实际转角；
0β－右侧转向轮的理想转角；
n －取值次数。
当F 取得最小值时，即车轮实际转角与理想值最为接近，优化结果最为理想。
优化约束条件的确定
对于一般汽车，其方向盘最大行程大约为540︒
±（约三圈），轿车的转向系统传动比大约为12~20，转向轮最大转角约为27~45︒
︒。
依据该轿车设计要求，其转向轮最大转角设计为35︒
左右，而齿条的行程为70mm ±。
由于横拉杆和转向节臂之间主要是传递力的作用关系，因此，在传动过程中，两杆之间应该尽可能地保持小的压力角，以保证两杆间压力角在规定的范围内。
根据该轮边驱动电动车的布置尺寸和上述设计基本要求，确定各优化变量的取值范围为：
023[250,330];[300,390];[100,130];
[60,0]S L L y ====-
原车转向梯形尺寸设为设计变量的初值：
0280S mm =，2350L mm = ， 3120L mm =，50y mm =-
3. 优化结果及验证
优化结果分析
利用非线性最小二乘法对该转向梯形进行优化，优化结果如下：
023296.7;333.3;129.9;
52.7S L L y ====-
车辆优化前后的理想和实际的汽车内外车轮转角的关系曲线如图3所示。
从图中可以看出，对于原转向梯形机构，当左轮转角超出10
10︒
︒-（负号表示右转弯）范围后，实际转角与理想值既已产生偏
差，左侧车轮转角为20︒时的偏差已达0.81︒，而在最大转角处的偏差为0.875︒
，相对误差为2.84%；而
优化后的转向梯形机构，当左侧车轮转角在20
30︒
︒-范围内变化时，实际值与理想值能够很好地相吻
合，只有在较大转角时，二者之间才产生了微小偏差，当左侧车轮转角达到最大时（约40︒
），右侧车轮
的实际转角与理想转角之间的差值为0.867︒
，相对误差为2.8417%。
在转向轮转角范围内，选取30个点，
计算优化目标函数值，对于原转向梯形机构，其函数值为0.0043，而优化后下降为0.0020。
(a) (b)
图3 汽车内外侧车轮转角关系
由于压力角影响着转向过程中的动力传递效率，优化后的转向梯形的转向节臂与转向横拉杆之间的压力角1χ的变化曲线如图4所示。
从图中可以看出，该压力角在车轮转角的大部分变化范围内都保持较小值，即较高的传动效率，只有当左侧（或右侧）车轮达到或者接近于左转（或右转）时的极限转角时，压力角才比较大，由于汽车进行极限转向的频率比较低，因此，优化结果可行。
图41χ变化曲线 图52χ变化曲线 图6转向系传动比变化曲线
转向横拉杆与转向齿条之间的压力角2χ变化如图5所示。
从图中可以看出，在整个车轮转角范围内，该压力角都保持了很小的值，即很高的传动效率，因此，优化结果可行。
虚拟样机试验验证分析
建立该车辆转向系统的虚拟样机模型，系统尺寸、位置参数采用优化后的参数，虚拟仿真试验结果如图3～5中的虚拟样机试验。
虚拟样机试验验证了优化结果的有效性。
