第2章2.2.2第二课时知能优化训练

1．(2009年高考重庆卷)各可逆反应达平衡后，改变反应条件，其变化趋势正确的是()解析：选D。

本题考查化学平衡图象知识。

选项A，CH3COOH溶液中加入CH3COONa 晶体，增大了溶液中的c(CH3COO－)，CH3COOH电离平衡向左移动，溶液中的c(H＋)减小，pH增大，错误。

选项B，加入KCl对平衡无影响，c(Fe3＋)不变。

选项C，恒温恒压下加入稀有气体，平衡向着气体物质的量增大的方向(逆反应方向)移动，H2的转化率降低。

选项D，该可逆反应的正反应为吸热反应，升温平衡向正反应方向移动，CH3OCH3转化率增大，正确。

2．(2011年湖北华师一附中高二月考)某温度下在容积为2 L的密闭容器中，发生2X(g)＋Y(g)2W(g)的反应，当充入1 mol X和1 mol Y，经20 s达到平衡时生成了0.4 mol W。

下列说法正确的是()A．若升高温度，W的体积分数减小，则该反应ΔH＜0B．以Y的浓度变化表示的反应速率为0.01 mol·L－1·s－1C．在其他条件不变的情况下，增加1 mol X，则X和Y的转化率均提高D．增大压强正反应速率增大，逆反应速率减小，则平衡向正反应方向移动解析：选A。

若升高温度，化学平衡向吸热的方向移动，W的体积分数减小，说明逆反应为吸热反应，故正反应为放热反应，即ΔH＜0。

3.(2011年北京市京源学校高二期末)现有可逆反应A(g)＋2B(g)n C(g)ΔH<0，在相同温度、不同压强时，A的转化率跟反应时间(t)的关系如图，其中结论正确的是() A．p1>p2，n>3 B．p1<p2，n>3C．p1<p2，n<3 D．p1>p2，n＝3解析：选B。

当其他条件不变时，对于有气体参加的可逆反应，压强越大，到达平衡的时间越短，图象中曲线和横轴平行，表明反应已达平衡。

由图象知道，当压强为p2时，该反应到达平衡的时间较短，故p1<p2。

1．下列有四种说法，其中正确的说法是________． ①数列a ，a ，a ，…是无穷数列；②数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列；③数列{f (n )}可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数值； ④已知数列{a n }，则数列{a n ＋1－a n }也是一个数列．解析：题中①④显然正确，对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列，对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N *或它的有限子集{1,2，…，n }的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确． 答案：①②④2．(2011年徐州高二检测)已知数列12，23，34，45，…，n n ＋1，…，则0.96是该数列的第________项．解析：由nn ＋1＝0.96，得n ＝0.96n ＋0.96，即0.04n ＝0.96，解得n ＝24.答案：243．已知数列{a n }满足a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2009＝________，a 2014＝________. 解析：∵a 2009＝a 503×4－3＝1， a 2014＝a 2×1007＝a 1007＝a 4×252－1＝0. 答案：1 04．观察下面数的特点，用适当的数字填空，并写出每个数列的一个通项公式． (1)( )，4,9，( )，25,36，( )，….a n ＝________________________________________________________________________；(2)2,1，( )，12，….a n ＝________________.解析：(1)因为4＝22,9＝32,25＝52,36＝62，故数列中缺少的部分为1,16,49，数列的通项公式为a n ＝n 2；(2)因为2＝21，1＝22，12＝24，故所缺少的部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .答案：(1)1 16 49 n 2 (2)23 2n一、填空题1．下列说法中，正确的有________． ①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}②数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列③数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1k④数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }解析：①中，{1,3,5,7}表示集合，所以①不正确；数列中的各项是有次序的，所以②不正确；④中，数列应记为{2n－2}，所以④不正确；很明显③正确．答案：③2．观察数列各项的特点，用适当的数填空．1，2，________，2，5，________，7，…，则它的一个通项公式为________．解析：数列的已知项中含有根号，所以尝试着把各项写成根式的形式：1，2，________，4，5，________，7，…可观察出需填的两项分别是3，6，通项公式为a n＝n.答案：36a n＝n3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于________．解析：从第三项起，每一项都等于前连续两项的和，所以x＝5＋8＝13.答案：134．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n－1)，…，则9是这个数列的第________项．解析：数列可写为3，3×3，3×5，3×7，3×9，…，3(2n－1)，…∴a n＝3(2n－1)，令3(2n－1)＝9，∴n＝14.答案：145．数列{a n}中，已知a n＝(－1)n＋a(a为常数)，且a1＋a4＝3a2，则a100＝________.解析：∵a n＝(－1)n＋a，∴a1＝(－1)1＋a＝a－1，a4＝(－1)4＋a＝a＋1，a2＝(－1)2＋a＝a＋1，∴a－1＋a＋1＝3(a＋1)，∴a＝－3，∴a n＝(－1)n－3，∴a100＝(－1)100－3＝－2.答案：－26．在数列－1,0，19，18，…，n－2n2，…中，0.08是它的第____项．答案：107．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．解析：从(1)～(5)可以发现，第n个图形应有n个分支，每个分支有n个点，它们有一个公共点．(1)中有12－(1－1)个点，(2)中有22－(2－1)个点，(3)中有32－(3－1)个点，(4)中有42－(4－1)个点，(5)中有52－(5－1)个点．故第n个图中有n2－(n－1)个点，即n2－n＋1个点．答案：n2－n＋18．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：则第9解析：由数表知表中各行的第一个数依次为20,21,22,23，…，∴前8行数的个数共有28－1＝255个，故第9行中的第4个数是259. 答案：2599．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.解析：∵a p ＋a q ＝a p ＋q (p ，q ∈N *)，∴a 36＝a 18＋18＝2a 18＝4a 9＝4(a 1＋a 8)＝4a 1＋8a 4＝4a 1＋16a 2＝4a 1＋32a 1＝36a 1＝369＝4.答案：4二、解答题10．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)12，45，910，1617，…； (2)1，12，3，14，…；(3)a ，b ，a ，b ，…； (4)7,77,777,7777，…；(5)0，22－25，32－310，42－417，….解：(1)注意到各项分子全部为平方数，分母为相应的平方数加1，因而有a n ＝n2n 2＋1.(2)注意到各项当n 为奇数时a n ＝n ，当n 为偶数时a n ＝1n (或a n ＝n －1)，因而有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)1n (n 为偶数)(或a n ＝n (－1)n －1)． (3)注意到各项当n 为奇数时a n ＝a ，当n 为偶数时a n ＝b ，因而有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n 为奇数)b (n 为偶数)⎝⎛⎭⎫或a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1a －b 2.(4)把各项除以7，得1,11,111,1111，…，再乘9得9,99,999,9999….因而有a n ＝79(10n－1)．(5)各项分子为n 2－n ，分母为n 2＋1，因而有a n ＝n 2－n n 2＋1.11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， (1)若a n ＝9900，问a n 是第几项？ (2)56和28是否是这个数列中的项？ 解：(1)令(n ＋1)(n ＋2)＝9900， 解得n ＝98或n ＝－101(舍)． 即9900为数列{a n }中第98项．(2)令(n ＋1)(n ＋2)＝56，解得n ＝6或n ＝－9(舍)． 令(n ＋1)(n ＋2)＝28，无正整数解．∴56是这个数列{a n}中的项，28不是这个数列中的项．12．设函数f(x)＝log2x－log x4(0＜x＜1)，数列{a n}的通项a n满足f(2a n)＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{a n}有没有最小的项？若有最小项，试求出此项和相应的项数；若没有最小项，请说明理由．解：(1)由已知，得log22a n－log2a n4＝2n，即a n－2a n＝2n，解得a2n－2na n－2＝0，a n＝n±n2＋2.又0＜x＜1，∴0＜2a n＜1，故a n＜0(n∈N*)．∴a n＝n－n2＋2(n∈N*)．(2)∵a n＋1a n＝(n＋1)－(n＋1)2＋2n－n2＋2＝n＋n2＋2n＋1＋(n＋1)2＋2＜1，又a n＜0，∴a n＋1＞a n(n∈N*)，即a1＜a2＜a3＜…＜a n＜a n＋1＜….∴数列的最小项为第1项a1＝1－ 3.。

人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)； 第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种． 解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！， 其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法； 第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)． 二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)． 答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)． 答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种 解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法． 答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合． 解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法； 第二类是2男3女，有C 26C 34种选法； 第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4， 由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________． 解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。

1．已知等差数列的前三项依次是m,6m ，m ＋10，则这个等差数列的第10项是________．解析：因为6m 是m 和m ＋10的等差中项，所以6m ×2＝m ＋(m ＋10)，解得m ＝1， 所以首项a 1＝1，公差d ＝6m －m ＝5.则a 10＝1＋(10－1)×5＝46.答案：462．(2011年南通调研)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值为__________． 解析：在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝a 4＋a 12，∴a 12＝a 7＋a 9－a 4＝16－1＝15.答案：153．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 9－a 10的值为________． 解析：∵a 4＋a 12＝2a 8，a 6＋a 10＝2a 8，∴由已知5a 8＝120，∴a 8＝24，于是2a 9－a 10＝a 8＋a 10－a 10＝a 8＝24.答案：244．在等差数列{a n }中，若a 2，a 10是方程x 2＋12x －8＝0的两个根，那么a 6的值为________． 解析：由题意得a 2＋a 10＝－12，又a 2＋a 10＝2a 6，∴a 6＝－6.答案：－6一、填空题1．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.解析：{a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d ，∵a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)，∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝105.答案：1052．已知数列{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________.解析：根据题意得：a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－1，∴a 1＝1，又a 3＝a 1＋2d ＝0，∴d ＝－12. 答案：－123．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝12，∴a n ＝a 1＋(n －1)×12＝2＋(n －1)×12＝12n ＋32， ∴a 101＝12×101＋32＝52. 答案：524．已知数列{a n }是等差数列，a p ＝q ，a q ＝p ，且p ≠q ，则a p ＋q ＝________.解析：法一：⎩⎪⎨⎪⎧ a p ＝a 1＋(p －1)d ＝q ，a q ＝a 1＋(q －1)d ＝p ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝p ＋q －1，d ＝－1. 故a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝0.法二：∵a p ＝a q ＋(p －q )d ，∴q ＝p ＋(p －q )d .∴d ＝－1.∴a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝0.法三：设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ pk ＋b ＝q ，qk ＋b ＝p ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝p ＋q ， ∴a p ＋q ＝k (p ＋q )＋b ＝0.答案：05．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________.解析：∵a 1＝2，a 2＋a 3＝13，∴3a 2＝2＋13＝15，∴a 2＝5，∴d ＝3，a 5＝14，∴a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3×14＝42.答案：426．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ改编)如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.解析：∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，∴a 4＝4，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝7×4＝28.答案：287．(2011年苏州高二检测)如果f (n ＋1)＝2f (n )＋12(n ＝1,2,3…)且f (1)＝2，则f (2011)等于________．解析：∵f (n ＋1)＝2f (n )＋12＝f (n )＋12， ∴f (n ＋1)－f (n )＝12.即数列{f (n )}是首项为2，公差为12的等差数列． 所以通项公式为：f (n )＝2＋(n －1)×12＝12n ＋32， ∴f (2011)＝12×2011＋32＝1007. 答案：10078．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16，则a 2011＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0，由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16，①由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55，②由①②得(16－3d )(16＋3d )＝220，即256－9d 2＝220.∴d 2＝4，又d ＞0，∴d ＝2，代入①得a 1＝1.∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.所以a 2011＝4021.答案：40219．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________. 解析：因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19.答案：19二、解答题10．已知等差数列{a n }的公差是正数，并且a 3a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，求数列{a n }的通项公式．解：由等差数列{a n }的性质知：a 3＋a 7＝a 4＋a 6，从而a 3a 7＝－12，a 3＋a 7＝－4，故a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的两根，又d ＞0，解之，得a 3＝－6，a 7＝2.再解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝－6a 1＋6d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10d ＝2， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12，即a n ＝2n －12.11．夏季山上的温度从山脚起，每升高100米，降低0.7℃，已知山顶处的温度是14.8℃，山脚处的温度为26℃，问此山相对于山脚处的高度是多少米？解：∵每升高100米温度降低0.7℃，∴该处的温度变化是一个等差数列问题．山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，d ＝－0.7.∴26＋(n －1)(－0.7)＝14.8，解之可得n ＝17，故此山相对于山脚处的高度为(17－1)×100＝1600(米)．12．已知数列{a n }满足(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝16，且a 1＝1，a n ＞0，(1)求证：数列{a 2n }为等差数列；(2)求a n .解：(1)证明：由(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝16，得a 2n ＋1－a 2n ＝16，∴数列{a 2n }构成以a 21＝1为首项，以16为公差的等差数列．(2)由(1)知a 2n ＝1＋(n －1)×16＝16n －15，又a n＞0，∴a n＝16n－15(n∈N*)．。

1．下列数列：(1)0,0,0,0；(2)0,1,2,3,4；(3)1,3,5,7,9；(4)0,1,2,3，….其中一定是等差数列的有________个．解析：(1)(2)(3)是等差数列，(4)只能说明前4项成等差数列．答案：32．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于______．解析：∵三内角A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，∴B ＝60°.答案：60°3．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝－2，则它的公差为____．解析：a 4－a 2＝2d ＝(－2)－2＝－4，∴d ＝－2.答案：－24．(2011年泰州调研)等差数列的相邻4项是a ＋1，a ＋3，b ，a ＋b ，那么a ，b 的值分别是________．解析：设公差为d ，∴d ＝a ＋3－(a ＋1)＝2，∴a ＋b －b ＝a ＝2，b ＝7.答案：2,7一、填空题1．已知等差数列{a n }的前三项依次为2a －1，a ＋1,2a ＋3，则实数a 的值为________． 解析：∵等差数列{a n }的前三项依次为2a －1，a ＋1,2a ＋3，∴a ＋1－(2a －1)＝2a ＋3－(a ＋1)，∴a ＝0.答案：02．已知等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，…，ca n (c 为常数，且c ≠0)是公差为__________的等差数列．解析：ca n －ca n －1＝c (a n －a n －1)＝cd .答案：cd3．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为______． 解析：a ，b 的等差中项为a ＋b 2＝13＋2＋13－22＝ 3.答案： 34．在等差数列{a n }中，已知a 1＝3，a 5＝11，则a 3＝________.解析：由等差中项可知a 3＝a 1＋a 52＝142＝7. 答案：75．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1b 3－b 2＝________.解析：设两个等差数列的公差分别为d 1，d 2，∴a 2－a 1＝d 1，y －x ＝4d 1，∴a 2－a 1＝14(y －x )， 同理b 3－b 2＝15y －x )， ∴a 2－a 1b 3－b 2＝14(y －x )15(y －x )＝54. 答案：546．已知四个数m ，x ，n,2x (x ≠0)成等差数列，则m n＝______. 解析：∵m ，x ，n,2x 成等差数列．∴n ＝32x ，∴m ＝12x ，∴m n ＝13答案：137．设x 是a 与b 的等差中项，且x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a 、b 之间的关系是__________________．解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2x a 2－b 2＝2x 2， 消去x 即可得：a ＝－b 或a ＝3b .答案：a ＝－b 或a ＝3b8．若△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，并且a 2，b 2，c 2也成等差数列，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b a 2＋c 2＝2b 2，消去b ，知(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，从而2a ＝2b ，∴a ＝b ，即a ＝b ＝c .答案：a ＝b ＝c9．(2011年盐城高二检测)已知a ，b ，c 成等差数列，那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图象与x 轴的交点有________个．解析：由已知2b ＝a ＋c ，而ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式Δ＝(2b )2－4ac ＝4(b 2－ac )，＝4[(a ＋c )24－ac ]＝(a －c )2≥0.∴y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1个或2个．答案：1或2二、解答题10．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．p，q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？解：设数列{a n}是等差数列，则a n＋1－a n＝p(n＋1)2＋q(n＋1)－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，若2pn＋p＋q是一个与n无关的常数，则有2p＝0，即p＝0，所以p＝0，q∈R时，数列{a n}是等差数列．11．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为多少？解：由log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，得2log3(2x－1)＝log32＋log3(2x＋11)．∴(2x－1)2＝2·(2x＋11)，化简，得(2x)2－4·2x－21＝0.解得2x＝7或2x＝－3(舍去)，故x＝log27.12．若三个数a－4，a＋2,26－2a适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列．解：显然a－4＜a＋2，①若a－4，a＋2,26－2a成等差数列，则(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)∴a＝6，相应的等差数列为：2,8,14.②若a－4,26－2a，a＋2成等差数列，则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)∴a＝9，相应的等差数列为：5,8,11.③若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，则(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，∴a＝12，相应的等差数列为：2,8,14.。

1．下列式子成立的是( )A ．P (A |B )＝P (B |A )B ．0＜P (B |A )＜1C ．P (AB )＝P (A )·P (B |A )D ．P (A ∩B |A )＝P (B )解析：选C.由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB )＝P (B |A )·P (A )． 2．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝38，则P (A )等于( ) A.316B ．1316 C.34D ．14 解析：选C.由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝34. 3．甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女同学15名，则在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率为( )A.12B ．13C.14D ．15 解析：选A.设“碰到甲班同学”为事件A ，“碰到甲班女同学”为事件B ，则P (A )＝37，P (AB )＝37×12， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12，故选A. 4．若P (A )＝0.3，P (B )＝0.4，P (A ∩B )＝0.1，则P (A /B )＝________，P (B |A )＝________.解析：P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝14， P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝13. 答案：14 135．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________． 解析：设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则P (A )＝C 16C 27，P (AB )＝1C 27，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16.6一、选择题1．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( ) A.56B ．910 C.215D ．115解析：选C.本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故选C. 2．(2011年高考辽宁卷)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18 B ．14C.25 D ．12解析：选B ．P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. 3．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是( ) A.13B ．118 C.16D ．19解析：选A.设“至少有一枚出现6点”为事件A ，“两枚骰子的点数不同”为事件 B ．则n (B )＝6×5＝30，n (AB )＝10，所以P (A |B )＝n (AB )n (B )＝13. 4．抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于( )A.25 B ．125D ．45解析：选A.∵A ∩B ＝{2,5}，∴n (AB )＝2.又∵n (B )＝5，故P (A |B )＝n (AB )n (B )＝25. 5．盒中有10支螺丝钉，其中3支是坏的，现在从盒中不放回地依次抽取两支，那么在第一支抽取为好的条件下，第二支是坏的概率为( )A.112B ．13C.8384D ．184解析：选 B ．设事件A 为“第一支抽取为好的”，事件B 为“第二支是坏的”，则P (A )＝C 17C 19C 210，P (AB )＝C 17·C 13C 210，所以P (B |A )＝13. 6．盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，从中不放回地取产品，每次1个，连取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是( )A.310 B ．35C.12 D ．25解析：选C.设事件A 表示：“第一次取得的是二等品”，B 表示：“第二次取得一等品”．则P (AB )＝25×34＝310，P (B )＝35. 由条件概率公式P (A |B )＝P (AB )P (B )＝31035＝12. 二、填空题7．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出是正品的概率为________．解析：设“第一次抽出次品”为事件A ，“第二次抽出正品”为事件B ，则P (A )＝5100，P (AB )＝5×95100×99P (B |A )＝P (AB )P (A )＝9599. 答案：95998．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第一次抽到A ，则第二次也抽到A 的概率为________．解析：设“第一次抽到A ”为事件A ，“第二次抽到A ”为事件B ．则P (A )＝452，P (AB )＝452×351， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝351＝117. 答案：1179．袋中有大小相同的3个红球，5个白球，从中不放回地依次摸取2球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是________．解析：设事件A 为“第一次取白球”，事件B 为“第二次取红球”，则P (A )＝C 15C 178×7＝58，P (AB )＝C 15C 138×7＝1556，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝37. 答案：37三、解答题10．抛掷红、黄两枚骰子，当红色骰子的点数为4或6时，求两枚骰子的点数之积大于20的概率．解：设事件A ＝“红色骰子点数为4或6”，B ＝“两枚骰子点数之积大于20”．则P (A )＝1236，P (A ∩B )＝436， ∴P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝13. 11．袋中有2个白球，3个黑球(形状大小完全相同)，从中依次不放回地取出2个，求取出的两个都是白球的概率．解：法一：用古典概型方法．袋中有5个球，依次取出2个，包括A 25个基本事件．令A ＝{两次都取得白球}，包括2个基本事件，因此P (A )＝2A 25＝110. 法二：用概率乘法公式．令A i ＝{第i 次取得白球}(i ＝1,2)，A ＝{两次都取得白球}，则A ＝A 1A 2，由乘法公式P (A )＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2|A 1)＝25×14＝110. 12．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解：设A ＝“该考生6道题全答对”，B ＝“该考生答对了其中5道题而另1道题答错”，C ＝“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，D ＝“该考生在这次考试中通过”．E ＝“该考生在这次考试中获得优秀”．则A 、B 、C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620. P (A ∩D )＝P (A )，P (B ∩D )＝P (B )，P (E |D )＝P ((A ∪B )|D )＝P (A |D )＋P (B |D )＝P (A )P (D )＋P (B )P (D ) ＝210C 62012180C 620＋2520C 62012180C 620＝1358， 故所求概率为1358.。

1．演绎推理是( )A ．由部分到整体，由个别到一般的推理B ．特殊到特殊的推理C ．一般到特殊的推理D ．一般到一般的推理解析：选C.由演绎推理的定义可知． 2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理的错误是( ) A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误解析：选A.对于对数函数y ＝log a x ，当a ＞1时为增函数，而当0＜a ＜1时为减函数，所以大前提错误．3．三段论“①船只有准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的小前提是________．解析：由三段论的结论可知小前提应为步骤②.答案：②4．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是__________．解析：由大前提知，log 2x －2≥0，解得x ≥4.答案：y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)5．设f (x )定义如下数表，{x n }满足x 0＝5，且对任意自然数n 均有x n ＋1＝f (x n )，求：x 2011的值.解：由数表可知x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (x 1)＝f (2)＝1，x 3＝f (x 2)＝f (1)＝4，x 4＝f (x 3)＝f (4)＝5，x 5＝f (x 4)＝f (5)＝2，…∴{x n }的周期为4.∴x 2011＝x 3＝4.一、选择题1．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33等于( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6解析：选A.由a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3，a 4＝3－6＝－3，a 5＝－3－3＝－6，a6＝－6－(－3)＝－3，a7＝－3－(－6)＝3，a8＝3－(－3)＝6.显然数列具有周期性，周期为6，所以a33＝a3＝3.2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误解析：选D.应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．3．在三段论中，M、P、S的包含关系可表示为()解析：选A.三段论中，S是M的子集，M可能是P的子集，即具有这种性质，也可能不是P的子集，即不具有这种性质．4．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理()A．完全正确B．推理形式不正确C．错误，因为大小前提不一致D．错误，因为大前提错误解析：选A.大前提、小前提及推理形式都正确，所以推理也正确．5．已知p＝a＋1a－2(a＞2)，q＝2－a2＋4a－2(a＞2)，则()A．p＞q B．p＜q C．p≥q D．p≤q解析：选A.p＝(a－2)＋1a－2＋2≥21a－2(a－2)＋2＝4.q＝2－a2＋4a－2＝2－(a－2)2＋2＜4.∴p≥4＞q，即p＞q.6．用长度分别为2,3,4,5,6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连结，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为()A．8 5 cm2B．610 cm2C．355 cm2D．20 cm2解析：选B.周长一定的三角形越接近正三角形的面积越大．由题意知本题中可构成的三角形中最接近正三角形的是以7,7,6为边长和以8,6,6为边长的三角形，前者面积为610 cm2，后者面积为8 5 cm2，较大的为前者．故选B.二、填空题7．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝a n，n∈N*，则a2009＝__________；a2014＝__________.解析：依题意：a 2009＝a 4×503－3＝1，a 2014＝a 2×1007＝a 1007＝a 4×252－1＝0.答案：1 08．在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m ＋T ＝a m 对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期．已知数列{x n }满足x n ＋1＝|x n －x n －1|(n ≥2，n ∈N )，如果x 1＝1，x 2＝a (a ≠0，a ∈R )，当数列{x n }的周期T (T >0)最小时，该数列的前2008项的和为__________．解析：由于是求当数列{x n }的周期最小时，其前2008项之和，故可令T ＝1,2,3，…，寻求最小的T 满足题意即可．①当T ＝1时，则a ＝1，故由x n ＋1＝|x n －x n －1|(n ≥2，n ∈N )可得数列为1,1,0,1,1,0，与周期为1矛盾；②当T ＝2时，由递推式可得数列为1，a ，|a －1|，…，故|a －1|＝1，∵a ∈R 且a ≠0，∴a ＝2，因此数列为1,2,1,1,0,1,1,0，…，与周期为2矛盾；③当T ＝3时，同理可得数列为1，a ，|a －1|，||a －1|－a |，…，故||a －1|－a |＝1，即(|a －1|－a )2＝1，化简得|a －1|＝a －1，∴a ≥1，因此数列可化为1，a ，a －1,1，|2－a |，…，再由a ＝|2－a |解得a ＝1，故原数列可化为1,1,0,1,1,0，…，满足题意．综上可知该数列的最小周期T ＝3.故S 2008＝(1＋1＋0)×20073＋1＝1339. 答案：13399．如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD .证明：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，AC >BC ，①所以AD >BD ，②于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)解析：由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，而AD 与BD 不在同一三角形中，故③错误．答案：③三、解答题10．下面推理错在何处？如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖．解：推理规则不对，小前提与大前提不对应，大前提作出的判断是“不买彩票就不能中奖”，小前提应对应为“你没买彩票”，结论“你不可能中奖”．11．当a >0，b >0，a ＋b ＝1时，求证： a ＋12＋ b ＋12≤2. 证明：因为1＝a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤14. 所以12(a ＋b )＋ab ＋14≤1， 所以 (a ＋12)(b ＋12)≤1. 从而有2＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4， 即(a ＋12)＋(b ＋12)＋2(a ＋12)(b ＋12)≤4， 所以( a ＋12＋ b ＋12)2≤4.所以 a ＋12＋ b ＋12≤2. 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 12．写出三角形内角和定理的证明，指出每一步推理的大前提和小前提． 已知△ABC 中，求证：∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°.证明：延长BC 得∠ACB 的外角∠ACD ，过点C 在∠ACD 内作CE ∥AB (如图)．所以∠1＝∠B ，∠2＝∠A .又因为∠1＋∠2＋∠ACB ＝180°，所以∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°.第一步的大前提是：若两直线平行，则同位角、内错角相等， 小前提是：CE ∥AB .第二步的大前提是：平角是180°，小前提是：∠1＋∠2＋∠ACB ＝180°.。

1．直接证明中最基本的两种证明方法是( )A ．类比法与归纳法B ．综合法与分析法C ．反证法和二分法D ．换元法和配方法解析：选B.直接证明的方法包括综合法与分析法．2．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件是( ) A ．a ·b >0B ．a ·b <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0解析：选C.∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab≤－2.∵a 2＋b 2≥0， ∴ab <0，即a 、b 异号，故选C.3．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≤1时，f (x )＝(x ＋1)2－1，则当x >1时，f (x )的解析式为__________．解析：∵函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴有f (x )＝f (2－x )，当x >1时，有2－x <1，则f (2－x )＝[(2－x )＋1]2－1＝(3－x )2－1＝(x －3)2－1＝f (x )．答案：f (x )＝(x －3)2－14．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为________． 解析：由sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，得sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两式平方相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，∴cos(α－β)＝－12. 答案：－125．求证：3＋6<4＋ 5.证明：欲证不等式3＋6<4＋5成立，只需证3＋218＋6<4＋220＋5成立，即证18<20成立．即证18<20成立．由于18<20成立，因此3＋6<4＋ 5.一、选择题1．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a解析：选B.∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12. 而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12， 又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大，故选B. 2．下面四个不等式：(1)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；(2)a (1－a )≤14； (3)b a ＋a b≥2； (4)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 22＋a 2＋c 22＋b 2＋c 22≥ab ＋ac ＋bc ，a (1－a )≤⎝⎛⎭⎫a ＋1－a 22＝14；(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当b a <0时，b a ＋a b≥2不成立．3．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形解析：选D.∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．4．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解析：选C.对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．5．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( ) A ．2B.32C ．1D.12解析：选C.∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b 2)2＝1.故选C.6.函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )A ．a >0，b >0，c >0B ．a >0，b >0，c <0C ．a <0，b <0，c >0D ．a <0，b <0，c <0解析：选B.f (0)＝0⇒d ＝0，由f (1)＝0，f (－2)＝0得b ＝a ，c ＝－2a ，∴f (x )＝ax 3＋ax 2－2ax .＝a (x 3＋x 2－2x )由x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，得a >0，b >0，c <0.二、填空题7．函数f (x )＝x x ＋1的最大值为________． 解析：由f (x )＝x x ＋1知，x ≥0. ①当x ＝0时，f (x )＝0；②当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x. ∵x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取“＝”． ∴0＜1x ＋1x≤12. 即0＜f (x )≤12. 故0≤f (x )≤12综上，f (x )max ＝12. 答案：128．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________． 解析：f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)．故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且开口向下，画出图象，显然有f (4)>f (－1)>f (512)． 答案：f (4)>f (－1)>f (512) 9．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋b c ＋a＝__________.解析：∵∠C ＝60°，∴a 2＋b 2＝c 2＋ab .∴(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝c 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋c )(b ＋c )， ∴a b ＋c ＋b c ＋a ＝(a 2＋ac )＋(b 2＋bc )(b ＋c )(c ＋a )＝1.答案：1三、解答题 10.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点．求证：AF ∥平面PEC .证明：∵四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，∴ABCD .又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴CF AE .∴四边形AECF 为平行四边形．∴AF ∥EC .又AF ⊄平面PEC ，EC ⊆平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .11．已知a >b >0，求证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b. 证明：要证原不等式成立，只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )28b. 由已知得a >b >0， 即证(a ＋b )24a <1<(a ＋b )24b， 也就是证a ＋b 2a <1<a ＋b 2b， 即证a ＋b <2a 且2b <a ＋b ，即证b <a .因为a >b >0，所以b <a 成立．故原不等式成立．12.如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证直线EF 的斜率为定值．证明：设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ，∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0. 解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k 2. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2.∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2＝2k －4ky 0k 2＝－12y 0(定值)． ∴直线EF 的斜率为定值．。

1．(2010年高考天津卷)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c2．已知f (x )＝log a |x －1|在(0,1)上递减，那么f (x )在(1，＋∞)上( )A ．递增无最大值B ．递减无最小值C ．递增有最大值D ．递减有最小值3．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14C ．2D ．4 4．函数y ＝log 13(－x 2＋4x ＋12)的单调递减区间是________．1．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(0,1)∪(2，＋∞)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(0，12) 2．若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >13．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )A ．[22，2] B ．[－1,1] C ．[12，2] D ．(－∞，22]∪[2，＋∞) 4．若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．45．函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增6．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a ＝lge ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a7．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a log b (x －3)＜1，则x 的取值范围是________．8．f (x )＝log 21＋x a －x的图象关于原点对称，则实数a 的值为________． 9．函数y ＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|y |＞1，则a 取值范围是________．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(6－a )x －4a (x <1)log a x (x ≥1)是R 上的增函数，求a 的取值范围．11．解下列不等式．(1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)；(2)log x 12＞1.12．函数f(x)＝log12(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．。

2.2.2有理数的除法—七年级数学人教版（2024）上册课时优化训练A.34⎛⎫- ⎪⎝⎭3342⎫-⨯⎪⎭ C.3243⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.3342⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3.计算1(6)3⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭的结果是( )A.-18B.2C.18D.-2 4.计算(1)(6)(6)-÷-÷-的结果为( )A.8.如果1[(3)]603⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭△，那么△表示的数是( ) A.-3 B.3 C.0 D.163-12.0.63 2.1751787⎛⎫÷⨯--= ⎪⎝⎭_________. 13.计算：7111145(25)181547⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯-÷⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.阅读下列解题过程：计算115632⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭. 原式1566⎛⎫=-÷-⨯ ⎪⎝⎭第①步 5(1)=-÷-第②步5=第③步（1）上面的解题过程在第_________步出现错误；错误原因是_________.（2）请写出正确的解题过程.答案以及解析解析：除以一个数等于乘这个数的倒数，所以把3243⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭转化为乘法是3342⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.答案：C解析：1(6)(6)(3)183⎛⎫-÷-=-⨯-= ⎪⎝⎭. 4.答案：A解析：原式11166⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②若这个数不是0，则这个数与它的相反数绝对值相等， 所以，这两个数的商为1-，是负数；综上所述，商为1-或无意义.故选：A.7.答案：B解析：()()()()56028505055-⨯÷---=--=+=；故选：B.8.答案：A解析：因为1[(3)]603⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭△，所以(3)0--=△，所以3=-△.故选A.解析：111(2)6(2)666-÷⨯=-⨯⨯=故答案为：15.12.答案：5 解析：原式2220.6 1.2177=÷⨯- 22221775=⨯-=13.答案：-3300 解析：原式117845(254)33100133001587⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14.答案：（1）②，运算顺序错误（2）180解析：（1）解题过程在第②步出现错误；错误原因是运算顺序错误. 故答案为：②，运算顺序错误.（2）115632⎛⎫-÷-⨯ ⎪⎝⎭1566⎛⎫=-÷-⨯ ⎪⎝⎭()566=-⨯-⨯180=.。

1．坐标平面内到定点F (－1,0)的距离和到定直线l ：x ＝1的距离相等的点的轨迹方程是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝－2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选D.由抛物线的定义可知，所求轨迹方程是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．2．抛物线y ＝－12x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，18B.⎝⎛⎭⎫－18，0C.⎝⎛⎭⎫0，－12D.⎝⎛⎭⎫－12，0 解析：选C.把y ＝－12x 2化为标准方程得x 2＝－2y ，则2p ＝2，∴p 2＝12，即焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12.3．抛物线y 2＝2x 的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：选D.由y 2＝2x 知p 2＝12，∴准线方程x ＝－p 2＝－12.故选D.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|AB |的值为________．解析：∵y 2＝4x ，∴p ＝2.∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：8一、选择题1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0) D ．(－4,0)解析：选B.依题意，抛物线开口向左，焦点在x 轴的负半轴上，由2p ＝8得p2＝2.故焦点坐标为(－2,0)．2．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：选C.y 2＝8x 的焦点到准线的距离为p ＝4.3．(2011年高考辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74解析：选C.∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.4．(2010年高考福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析：选D.抛物线的焦点为F (1,0)，又圆过原点，所以圆的半径r ＝1，方程为(x －1)2＋y 2＝1⇒x 2－2x ＋y 2＝0.5．抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( )A ．(14a ，0)B ．(a 4，0)C ．(0，14a )D ．(0，a4)解析：选C.由y ＝ax 2，得x 2＝1ay ，于是抛物线以坐标原点为顶点，焦点在y 轴上，而开口方向与a 的正负有关．(1)当a >0时，抛物线开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，2p ＝1a ，p 2＝14a，即焦点坐标为(0，14a)；(2)当a <0时，抛物线开口向下，焦点在y 轴的负半轴上，2p ＝－1a ，－p 2＝14a，所以焦点坐标为(0，14a)．6．(2011年皖南八校高三联考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，点A (72，4)，则|P A |＋d 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5 解析：选D.设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P 到准线的距离为d ，所以d ＝|PF |，则|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5.故选D.二、填空题7．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________.解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py .由抛物线定义有2＋p2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.答案：±48．已知抛物线的焦点坐标为(2,1)，准线方程为2x ＋y ＝0，则其顶点坐标为________． 解析：过抛物线焦点F (2,1)且垂直于准线的直线l 的方程为x －2y ＝0.设l 与准线的交点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －2y ＝0，解得M (0,0)，而抛物线顶点为M 与F 的中点，故为(1，12)．答案：(1，12)9．(2010年高考浙江卷)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点坐标为F (p 2，0)，F A 中点B (p 4，1)在抛物线上，∴12＝2p ×p4，∴p＝2，∴B (24，1)，抛物线的准线方程为x ＝－22，∴点B 到该抛物线准线的距离为|24－(－22)|＝342. 答案：34 2三、解答题10．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2p 1y (p 1>0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43或2p 1＝92，故抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y . (2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点F (0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则由p2＝2，得2p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝－8y .②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 由p2＝4，得2p ＝16. ∴所求抛物线方程为y 2＝16x .11．河上有一座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽为8 m ，一条小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面的部分高34m ，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时，小船不能通航？解：如图，建立直角坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． 由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝1.6.∴x 2＝－3.2y .当船两侧和抛物线相接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )．由22＝－3.2y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面部分为34m ，∴h ＝|y A |＋34＝2(m)．故水面上涨到距抛物线拱顶2 m 时，小船开始不能通航．12．(2011年青州检测)已知点A (12,6)，点M 到F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1. (1)求点M 的轨迹方程G ； (2)在G 上是否存在一点P ，使点P 到点A 的距离与点P 到x 轴的距离之和取得最小值？若存在，求此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)点M 到点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，即“点M 到点F (0,1)的距离等于它到直线y ＝－1的距离”，所以点M 的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，此时，p ＝2，故所求抛物线方程G 为x 2＝4y . (2)如图，易判断知点A 在抛物线外侧，设P (x ，y )，则P 到x 轴的距离即y 值，设P 到准线y ＝－1的距离为d ，则y ＝d －1. 故|P A |＋y ＝|P A |＋d －1， 由抛物线定义知|PF |＝d . 于是|P A |＋d －1 ＝|P A |＋|PF |－1.由图可知，当A 、P 、F 三点共线时，|P A |＋|PF |取最小值13.此时直线AF 的方程为y ＝512x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝512x ＋1，得P 点坐标为(3，94)． ∴在抛物线G 上存在点P (3，94)，使得所求距离之和最小为13.高;考]试╔题╬库。

1．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)2．函数y ＝x |x |log 2|x |的大致图象是( )3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则ab ＝( )A ．1B ．2C.12 D.144．函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a ＞0且a ≠1)的图象过定点________．1．下列各组函数中，定义域相同的一组是( )A ．y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)B ．y ＝x 与y ＝xC ．y ＝lg x 与y ＝lg xD ．y ＝x 2与y ＝lg x 22．函数y ＝log 2x 与y ＝log 12x 的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是( )4．对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 4xB ．y ＝log 14xC ．y ＝log 12xD ．y ＝log 2x5．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( )A ．a 4＜a 3＜a 2＜a 1B ．a 3＜a 4＜a 1＜a 2C ．a 2＜a 1＜a 3＜a 4D ．a 3＜a 4＜a 2＜a 16．函数y ＝log 2x 在[1,2]上的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[0,1]7．函数y ＝log 12(x －1)的定义域是________． 8．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为________．9．已知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x x ≤0ln x x >0，则g [g (13)]＝________.10．求下列函数的定义域：(1)y ＝log 333x ＋4； (2)y ＝log (x －1)(3－x )．11．已知f (x )＝log 3x .(1)作出这个函数的图象；(2)当0＜a ＜2时，有f (a )＞f (2)，利用图象求a 的取值范围．12．函数f (x )＝log 2(32－x 2)的定义域为A ，值域为B .试求A ∩B .。

[学生用书 P 40]1．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率是( ) A ．0.33 B ．0.066 C ．0.5 D ．0.45解析：选A.由n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率公式可知这5棵树苗恰好成活4棵的概率为C 45×0.94×0.1≈0.33.2．已知随机变量ξ服从二项分布，ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (ξ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D.80243解析：选D.已知ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，当ξ＝2，n ＝6，p ＝13时，有P (ξ＝2)＝C 26×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫1－136－2＝C 26×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫234＝80243. 3．若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于( ) A ．0.665 B ．0.00856 C ．0.91854 D ．0.99144 解析：选D.P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 05×0.10×0.95＋C 15×0.1×0.94＋C 25×0.12×0.93＝0.99144.4．(2011年高考重庆卷)将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．解析：正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132. 答案：11325．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中发生的概率为________． 解析：设事件A 在1次试验中发生的概率为p .由题意知，1－(1－p )4＝6581，∴(1－p )4＝1681，故p ＝13.答案：13一、选择题1．设在一次试验中事件A 出现的概率为p ，在n 次独立重复试验中事件A 出现k 次的概率为p k ，则( )A ．p 1＋p 2＋…＋p n ＝1B ．p 0＋p 1＋p 2＋…＋p n ＝1C ．p 0＋p 1＋p 2＋…＋p n ＝0D ．p 1＋p 2＋…＋p n －1＝1解析：选B.由题意可知ξ～B (n ，p )，由分布列的性质可知∑nk ＝0p k ＝1.2．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( )A ．1－p kB ．(1－p )k p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k pn －k解析：选D.A 发生的概率为p ，则A 发生的概率为1－p ，n 次试验中A 发生k 次的概率为C k n (1－p )k pn －k. 3．(2011年江西九江检测)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.27125解析：选A.两次击中的概率P 1＝C 230.62(1－0.6)＝54125，三次击中的概率P 2＝0.63＝27125，至少两次击中目标的概率P ＝P 1＋P 2＝81125.故选A.4．将一枚质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( )A.5216B.25216C.31216D.91216解析：选D.P ＝1－5363＝91216.5．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.由C k 5⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫125－k ＝C k＋15⎝⎛⎭⎫12k ＋1·⎝⎛⎭⎫125－k －1，即C k 5＝C k ＋15，∴k ＋(k ＋1)＝5，k ＝2. 6．假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行．若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．(0，23)C ．(23，1)D ．(0，14)解析：选C.若4引擎飞机安全飞行，则至少2引擎无故障，其概率为P 4＝C 24p 2(1－p )2＋C 34p 3(1－p )＋C 44p 4.同理，2引擎飞机安全飞行的概率为P 2＝C 12p (1－p )＋C 22p 2.若4引擎飞机更安全，则有P 4＞P 2，即得23＜p ＜1.二、填空题7．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中概率P ＝C 34×0.93×0.1.故填①③. 答案：①③8．如果ξ～B (20，p )，当p ＝12且P (ξ＝k )取得最大值时，k ＝________.解析：当p ＝12时，P (ξ＝k )＝C k 20⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫1220－k ＝⎝⎛⎭⎫1220·C k 20，显然当k ＝10时，P (ξ＝k )取得最大值．答案：109．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．解析：如图，由题可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次独立重复试验向右恰好发生2次的概率．所求概率为P ＝C 25⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫123＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝516.答案：516三、解答题10．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求： (1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)求乙至少击中目标2次的概率．解：(1)设甲恰好击中目标2次的概率为C 23⎝⎛⎭⎫123＝38. (2)乙至少击中目标2次的概率为C 23⎝⎛⎭⎫232·13＋C 33⎝⎛⎭⎫233＝2027.11．某产品有3只次品，7只正品，每次取1只，取后不放回． (1)求恰好到第5次3只次品全部被取出的概率；(2)求恰好到第k 次3只次品全部被取出的概率P (k )的最大值与最小值．解：(1)设第5次3只次品全部被取出的概率为P 1，由题意，第5次取出的恰好是最后一只次品，前4次取出2只正品，2只次品，所以P 1＝C 13·A 24·A 27A 510＝120. (2)由(1)可得第k 次3只次品全部被取出的概率P (k )＝C 13·A 2k －1·A k －37A k10＝1240⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎫k －322－14(3≤k ≤10)．当k ＝3时，P (k )min ＝1120；当k ＝10时，P (k )max ＝310.12．某市图书馆有三部电梯，每位乘客选择哪部电梯到阅览室的概率都是13.现有5位乘客准备乘电梯到阅览室．(1)求5位乘客选择乘同一部电梯到阅览室的概率；(2)若记5位乘客中乘第一部电梯到阅览室的人数为ξ，求ξ的分布列．解：(1)因为每位乘客选择哪部电梯到阅览室的概率都是13，所以5位乘客选择同一部电梯的概率P ＝C 13⎝⎛⎭⎫135＝134＝181. (2)∵ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，所以 P (ξ＝0)＝C 05×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫235＝3235， P (ξ＝1)＝C 15×13×⎝⎛⎭⎫234＝8035， P (ξ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝8035， P (ξ＝3)＝C 35×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫232＝4035， P (ξ＝4)＝C 45×⎝⎛⎭⎫134×23＝1035， P (ξ＝5)＝C 55×⎝⎛⎭⎫135＝135，所以变量ξ。

1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，且a 1＝－1，d ＝－3，∴S n ＝－32n 2＋n 2. 答案：－32n 2＋n 22．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝________. 解析：(S 4－S 2)－S 2＝(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)＝4d＝(20－4)－4＝12，∴d ＝3.答案：33．若数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝9，a 6＝9，则这个数列的前6项的和等于__________． 解析：∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，∴a 3＝3，又a 6＝9，∴a 1＝－1.则这个数列的前6项的和等于6(a 1＋a 6)2＝24. 答案：244．在等差数列{a n }中，S 15＝90，则a 8＝__________.解析：∵在等差数列{a n }中，S 15＝90，∴15(a 1＋a 15)2＝15×2a 82＝15a 8＝90. ∴a 8＝6.答案：6一、填空题1．数列2,4,6，…，2n 的前n 项和S n 为________．解析：由题意知a 1＝2，a n ＝2n ，利用公式S n ＝n (a 1＋a n )2， ∴S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)． 答案：n (n ＋1)2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.解析：∵a m ＝a m －1＋a m ＋12，a m －1＋a m ＋1＝a 2m ， ∴a m ＝a 2m 2，∴a m ＝0或a m ＝2. ∵S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)·2a m 2＝38， ∴a m ≠0，即a m ＝2，∴2m －1＝19，m ＝10.答案：103．(2011年宿迁高二检测)已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝________.解析：由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，得99a 1＋99×98299. ∴a 1＝－48，∴a 3＝a 1＋2d ＝－46.又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列，∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝33a 3＋33×322×3＝66. 答案：664．已知等差数列{a n }中，S 8＝48，S 12＝168，则数列{a n }的公差d 等于________．解析：由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ， 得⎩⎨⎧8a 1＋8×72d ＝4812a 1＋12×112d ＝168，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8d ＝4. 答案：45．(2010年高考辽宁卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：设等差数列公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，① S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.② 联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 答案：156．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值时的自然数n 的值为________．解析：由题意得a 1＋2d ＝－a 1－8d ，∴a 1＝－5d ＞0，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5nd ＋n (n －1)2d ＝d 2(n －112)2－1218d ， 又∵d ＜0，n ∈N *，∴当n ＝5或6时，S n 取最大值．答案：5或67．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________. 解析：由a 5a 3＝59，得a 1＋4d a 1＋2d ＝59. ∴S 9S 5＝9a 1＋36d 5a 1＋10d ＝95×a 1＋4d a 1＋2d ＝95×59＝1. 答案：18．等差数列的前4项和为40，最后4项的和为80，所有各项的和为720，则这个数列一共有________项．解析：由题意得：S 4＝40，即a 1＋a 4＝20；S ′4＝80，即a n －3＋a n ＝40，∴a 1＋a 4＋a n －3＋a n ＝60，∵a 1＋a n ＝a 4＋a n －3，∴a 1＋a n ＝30，又∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝720，∴n ＝48. 答案：489．(2010年高考浙江卷)设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是________．解析：由S 5S 6＋15＝0，得⎝⎛⎭⎫5a 1＋5×42·⎝⎛⎭⎫6a 1＋6×52d ＋15＝0. 整理可得2a 21＋9a 1d ＋10d 2＋1＝0.∵a 1，d 为实数，∴Δ＝(9d )2－4×2×(10d 2＋1)≥0，解得d ≤－22或d ≥2 2.答案：d ≤－22或d ≥2 2二、解答题10．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝2， ∴通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242， 得242＝12n ＋n (n －1)2×2， 即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22∵n ∈N *，∴n ＝11.11．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n .(1)求出它的通项公式，并判断这个数列是等差数列吗？(2)求S n 最小值及序号n 的值．解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28也适合上式，所以这个数列的通项公式为a n ＝4n －32. 又因为a n －a n －1＝4n －32－[4(n －1)－32]＝4(n ≥2)，所以数列{a n }为等差数列．(2)S n ＝2n 2－30n ＝2(n －152)2－2252，因为n 为正整数，所以n ＝7或n ＝8时S n 最小，最小值为－112.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )(n ∈N *)均在y ＝3x －2的图象上．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列；(3)设T n 是数列{3a n a n ＋1}的前n 项和，求T n . 解：(1)∵点(n ，S n n)在y ＝3x －2的图象上， ∴S n n＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n .(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)] ＝6n －5，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，符合上式， ∴a n ＝6n －5.又∵a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6， ∴数列{a n }是首项为1，公差为6的等差数列．(3)由(2)可设b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12(16n －5－16n ＋1)． 故T n ＝12[(1－17＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)] ＝12(1－16n ＋1) ＝3n 6n ＋1.。