2019数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 章末优化总结 Word版含解析

4. 当 q ≠ 1 时， S n =
−a1 n a q + 1 = aq n + b ，这里 a + b = 0 ，且 a ≠ 0, b ≠ 0 ，这是等比数 1−q 1−q 列前 n 项和公式的一个特征，据此很容易根据 S n ，判断数列 {an } 是否为等比数列．如若 {an } 是
等比数列，且 S n = 3 n + r ，则 r =
)
C．2 D．3
B．1
2. 从任何一个正整数 n 出发，若 n 是偶数就除以 2 ，若 n 是奇数就乘 3 再加 1 ，如此继续下去
⋯ ⋯，现在你从正整数 3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 (
A．1
答案： C 解析： 按照题中给出的规则：
)
B．2
C．3
D．4
10 = 5 ；得到的第三个数是 2 16 8 5 × 3 + 1 = 16 ；得到的第四个数是 = 8 ；得到的第五个数为 = 4 ； 2 2 4 2 得到的第六个数为 = 2 ；得到第七个数为 = 1 ；得到第八个数为 1 × 3 + 1 = 4． 2 2 所以后面的数是以 4、2、1 为一个周期的数．
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推据已知中的点
E, F 的位置，如图，可知入射角的正切值为 2 ，第一次碰撞点为 F ，在反射 的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点 G 在 DA 上 ，且 1 1 DG = , 第三次碰撞点 H 在 DC 上，且 DH = ，第四次碰撞点 M 在 CB 上，且 6 3 1 1 1 CM = ，第五次碰撞点为 N ，在 DA 上，且 AN = ，第六次回到 E 点， AE = . 3 6 3

姓名，年级：时间：习题课二错误!1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°"，故选B.2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( ）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定解析：选C 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似,故选C。

3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－错误!≤0C.错误!－1－a2b2≤0D．(a2－1)（b2－1）≥0解析：选D 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1）（b2－1）≥0.故选D.4．用反证法证明命题“设a，b为实数,则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外,每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语,当甲与丙交谈时,他能做翻译．针对他们懂的语言,正确的推理是（)A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项,由①知,丁不会说日语，排除B选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C选项，故选A.6．设a，b是两个实数,给出下列条件:①a＋b〉1；②a＋b＝2;③a＋b>2；④a2＋b2〉2;⑤ab〉1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1"的条件是（)A．②③B．①②③C．③D．③④⑤解析：选C 若a＝错误!，b＝错误!，则a＋b〉1,但a〈1，b<1,故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2〉2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法:假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b〉2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是。

章末检测(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理D ．非以上答案解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 答案：C2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理． 答案：C3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：A4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为( )A ．f (2n )＝n ＋22B ．f (2n )>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．f (n )>n2解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋22，故选B.答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，…，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85；……由S 1＝22＝2×11＋1，S 2＝43＝2×22＋1，S 3＝64＝2×33＋1，S 4＝85＝2×44＋1，…，可以猜想S n ＝2nn ＋1.答案：A6．如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C7．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2(n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 答案：B9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)．∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0. ∴c 2－a 2－ac ＝0.∴e 2－e －1＝0.∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.答案：A10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k )＝1(k ＋1)＋(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1.答案：C11．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列{a n }的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3……由此我们可以推断：a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝12×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)∴a 2 012－5＝12×[2＋(2 012＋2)]×(2 012＋1)－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 011，故选D.答案：D12．语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好．”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：假设A 、B 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的．同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的．因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于114．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x ，…，照此规律，则f n (x )＝________.解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，括号前是(－1)n ，括号里是x －n ， 故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 816．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，连接NE ，ME ，OF .∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝ (12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 23三、解答题(本大题共6小题，共74分，必要的解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 由此命题得证．18．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lga ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2) ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立， 只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证． 19. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.21．(本小题满分13分) 设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝a n ＋1－a 1da 1a n ＋1＝na 1a n ＋1. 再证充分性． (直接证法)依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)，④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )， 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，⑤又由①当n ＝2时，得等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，知a 3－a 2＝a 2－a 1，故⑤对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．(1)对于数对序列P ：(2,5)，(4,1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P ′：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T2 (P′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)．解析：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.。

1．观察下列图形中小正方形的个数，则第 n 个图形中有________个小正方形．
解析：设第 n 个图形中小正方形的个数为 Sn，观察图形，当 n＝1 时，S1＝2
＋1；当 n＝2 时，S2＝3＋2＋1；当 n＝3 时，S3＝4＋3＋2＋1；当 n＝4 时，
S4＝5＋4＋3＋2＋1；当 n＝5 时，S5＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…，
1－cos α>0，
当且仅当 cos α＝12，即 α＝π3时取等号，
所以 4cos α≤1－c1os α.
因为 α∈(0，π)，所以 sin α>0.
4sin
α
cos
α≤1－sincoαs
， α
所以 2sin 2α≤1－sincoαs α.
6．已知 a，b>0，且 a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4. 证明：∵a，b>0，且 a＋b＝1， ∴要证1a＋1b≥4，只要证(1a＋1b)ab≥4ab， 即证 a＋b≥4ab，也就是证 4ab≤1. 而又由已知，1＝a＋b≥2 ab，得 4ab≤1 成立． 故原不等式成立．
专题三 综合法与分析法 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常 用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执 果索因的思维方式． 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推， 二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综 合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成 分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．
即 ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2， 因为 a2>0，ab>0，b2>0， 所以－a2－ab－b2 ＝－(a2＋ab＋b2)<0， 即 ab＋bc＋ca<0， 这与已知 t;0，c>0 成立．

姓名，年级：时间：合情推理【例1】(1)观察下列等式：1－错误!＝错误!，1－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!,1－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋错误!，……，据此规律,第n个等式可为________．(2）类比三角形内角平分线定理：设△ABC的内角A的平分线交BC于点M,则错误!＝错误!.若在四面体P­ABC中，二面角B­PA。

C的平分面PAD交BC于点D，你可得到的结论是________．（1)1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!（2）错误!＝错误![(1)等式的左边的通项为错误!－错误!，前n项和为1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!;右边的每个式子的第一项为错误!，共有n项,故为错误!＋错误!＋…＋错误!.(2）画出相应图形，如图所示．由类比推理得所探索结论为错误!＝错误!.证明如下：由于平面PAD是二面角B。

PA。

C的平分面,所以点D到平面BPA与平面CPA的距离相等，所以错误!＝错误!。

①又因为错误!＝错误!＝错误!.②由①②知错误!＝错误!成立．］1．归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤1．(1）观察如图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点,第n个图案中圆点的总数是S n.按此规律，推出S n与n的关系式为________．（2)设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列｛b n｝的前n项积为T n，则T4，________，________，错误!成等比数列．（1）S n＝4n－4（n≥2，n∈N*) （2）错误!错误!［(1)依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4（正方形四个顶点重复计算一次,应减去）．……猜想：S n＝4n－4（n≥2,n∈N*)．（2)等差数列类比于等比数列时,和类比于积,减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列｛b n｝的前n项积为T n,则T4,错误!，错误! ,错误!成等比数列．］综合法与分析法错误!错误!错误!思路探究：根据在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立．［证明］要证明错误!＋错误!＞错误!，只需证明错误!＋错误!－错误!＞0即可．∵aa＋m＋错误!－错误!＝错误!，∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0,∴（a＋m)（b＋m）(c＋m）＞0，∵a(b＋m）（c＋m）＋b（a＋m)（c＋m）－c(a＋m）（b＋m）＝abc＋abm＋a cm＋am2＋abc＋abm＋b cm＋bm2－abc－b cm－a cm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm ＋abc＋（a＋b－c）m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴（a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋（a＋b－c）m2＞0，∴错误!＋错误!＞错误!.1。

答案： B
) 个．
C．4 D．5
B．3
2. 设 a ，b ，c 均为正实数，则三个数 a + A．都大于 2
答案： D
1 1 1 ，b + ，c + b a a
(
)
C．至少有一个不大于 2
B．都不大于 2
D．至少有一个不小于 2
3. 设 x ∈ (0, 1) ， a = 1 + x ， b = 2√x ， c =
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明
一、学习任务 了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点． 二、课后作业
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1. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证 法；⑤反证法是逆推法．其中正确的语句有 ( A．2
答案： 解析： 作差比较即可．
1 ，则 a 、 b 、 c 中最大的是 1−x
．
c
4. " x > 1 ，且 y > 1 "的充要条件是" x + y > 2 ，且
答案：
"．
(x − 1) (y − 1) > 0
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[课时作业][组基础巩固]．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＜α＋β解析：∵α、β为锐角，∴＜α＜α＋β＜π，∴α＞(α＋β)，又β＞，∴α＋β＞(α＋β)．答案：．在不等边三角形中，为最长边，要想得到∠为钝角的结论，三边，，应满足条件( )．＝＋．＜＋．≤＋．＞＋解析：由余弦定理得：＝＜，故＋－＜，∴＞＋.答案：．设＝＋，＝(＜)，则与大小关系为( )．＜．＞．≤．＝解析：＝＋＝，＝，当＜时，＜＜.∴＞.答案：．四面体中，棱、、两两垂直，则点在底面内的射影一定是△的( )．外心．内心．垂心．重心解析：如图，设点是点在底面内的射影，并连接，则⊥面.连接并延长交于点.由已知易得⊥.又∵⊥面，∴⊥.∴⊥面，∴⊥.∴在的高线上，同理在，的高线上．答案：．不相等的三个正数，，成等差数列，并且是，的等比中项，是，的等比中项，则，，三数( )．成等比数列而非等差数列．成等差数列而非等比数列．既成等差数列又成等比数列．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得②＝. ③))由②③得代入①，得＋＝，即＋＝.故，，成等差数列．又由①得＝>＝·所以>·，故，，不成等比数列．答案：．设、是两个不共线的向量，＝＋，＝＋，若、、三点共线，则＝.解析：∵、、三点共线，∴存在λ使＝λ，即＋＝λ(＋)．∴λ＝，＝.答案：．已知α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝.则(α－β)＝.解析：∵α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝，∴α＋β＝－γ α＋β＝－γ))，两式平方相加得：＋( αβ＋αβ)＝，∴(α－β)＝－.答案：－．设>，>，则下面两式的大小关系为(＋)[(＋)＋(＋)]．解析：∵(＋)－(＋)(＋)＝＋＋－－－－＝－(＋)＝－(－)≤，∴(＋)≤(＋)(＋)，∴(＋)≤[(＋)＋(＋)]．答案：≤。

章末检测(二)时间：分钟满分：分一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．根据偶函数定义可推得“函数()＝在上是偶函数”的推理过程是( )．类比推理．归纳推理．非以上答案．演绎推理解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选.答案：．下面四个推理不是合情推理的是( )．由圆的性质类比推出球的有关性质．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是°，归纳出所有三角形的内角和都是°．某次考试张军的成绩是分，由此推出全班同学的成绩都是分．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的解析：是类比推理，、是归纳推理，不是合情推理．答案：．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于，因为是实数，所以>”，你认为这个推理( )．小前提错误．大前提错误．是正确的．推理形式错误解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于”，小前提是“是实数”，结论是“>”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：．设为正整数，()＝＋＋＋…＋，计算得()＝，()>，()>，()>，()>，观察上述结果，可推测出一般结论为( )．()>．()＝．()>．()≥解析：观察所给不等式，不等式左边是()，右边是，故选.答案：．已知数列{}的前项和为，且＝，＝(∈*)，计算，，，，…，可归纳猜想出的表达式为( )解析：由＝，得＋＝，∴＝，＝；又＋＋＝，∴＝，＝＝；又＋＋＋＝，得＝，＝；……由＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，…，可以猜想＝.答案：．如果两个数之和为正数，则这两个数( )．一个是正数，一个是负数．两个都是正数．至少有一个是正数．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：．已知为正偶数，用数学归纳法证明－＋－＋…＋＝时，若已假设＝(≥为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝＋时等式成立．＝(＋)时等式成立解析：因为假设＝(≥为偶数)，故下一个偶数为＋，故选.答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋(－)＋＋(－)＋…＋＋＝时，从＝到＝＋时，等式左边应添加的式子是( )．(－)＋．(＋)＋．(＋)(＋)[(＋)＋]解析：当＝时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(－)…＋＋，当＝＋时，左边＝＋＋…＋(－)＋＋(＋)＋＋(－)＋…＋＋，∴从＝到＝＋，左边应添加的式子为(＋)＋.答案：.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于( )。

第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课时过关·能力提升基础巩固1数列5,9,17,33,x,…中x的值为()A.47B.65C.63D.128解析5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,猜想x=26+1=65.答案B2下列类比推理恰当的是()A.把a(b+c)与log a(x+y)类比,则有log a(x+y)=log a x+log a yB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b nD.把a(b+c)与a·(b+c)类比,则有a·(b+c)=a·b+a·c解析选项A,B,C没有从本质上类比,是简单类比,从而出现错误.答案D3下列关于归纳推理的说法错误的是()A.归纳推理是由一般到一般的推理过程B.归纳推理是由特殊到一般的推理过程C.由归纳推理得出的结论不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析由归纳推理的定义与特征可知选项A错误,选项B,C,D均正确,故选A.答案A4如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角.根据数组中数的构成规律,知a所表示的数是()A.2B.4C.6D.8解析经观察、分析杨辉三角形可以发现:从第3行开始,每行除1外,每个数都是它肩上的两数之和,如第6行的第2个数为5,它肩上的两数为1和4,且5=1+4.由此可推知a=3+3=6,故选C.答案C5若在数列{a n}中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,……,则a10=.解析前10项共使用了1+2+3+…+10=55个奇数,a10由第46个到第55个共10个奇数的和组成,即a10=(2×46-1)+(2×47-1)+…+(2×55-1)==1 000.答案1 0006观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,……根据上述规律,第四个等式为.答案13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)27对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题.解析利用类比推理可知,平面中的直线应类比空间中的平面.答案夹在两个平行平面间的平行线段相等8在平面△ABC中,角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比为△△,将这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中,平面DEC平分二面角A-CD-B,且与AB交于点E,则类比的结论为.解析平面中的面积类比到空间为体积,故△△ 类比成--.平面中的线段长类比到空间为面积, 故类比成△△.故有--△ △.答案--△△能力提升1下列说法正确的是()A.合情推理得到的结论是正确的B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理解析归纳推理和类比推理统称为合情推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理就是从特殊到特殊的推理,故选项D正确.答案D2定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的图形分别是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(1)(4)解析由已知的4个图形可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,所以表示A*D的是图形(2),表示A*C的是图形(4),故选C.答案C3已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,则此数列的第k项是()A.a k+a k+1+…+a2kB.a k-1+a k+…+a2k-1C.a k-1+a k+…+a2kD.a k-1+a k+…+a2k-2解析利用归纳推理可知,第k项中的第一个数为a k-1,且第k项中有k项,幂指数连续,故第k项为a k-1+a k+…+a2k-2,故选D.答案D4观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,……,52 017的末四位数字为()A.3 125B.5 625C.0 625D.8 125解析由观察易知55的末四位数字为3 125,56的末四位数字为5 625,57的末四位数字为8 125,58的末四位数字为0 625,59的末四位数字为3 125,故周期T=4.又由于2 017=504×4+1,因此52 017的末四位数字是3 125.答案A5观察下列等式1-1-1-……据此规律,第n个等式可为.解析经观察知,第n个等式的左侧是数列--的前2n项和,而右侧是数列的第n+1项到第+…+.2n项的和,故为1-+…+-+…+答案1-+…+-6一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*),其中x k(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算定义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,则利用上述校验方程组可判定k=.答案57图①是某届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由图②的一连串直角三角形演化而成的,其中|OA1|=|A1A2|=|A2A3|=…=|A7A8|=1.如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去,记OA1,OA2,…,OA n,…的长度构成数列{a n},那么推测数列{a n}的通项公式为a n=.解析根据|OA1|=|A1A2|=|A2A3|=…=|A7A8|=1和题图②中的各直角三角形,由勾股定理,可得a1=|OA1|=1,a2=|OA2|=,a3=|OA3|=,……故可归纳推测a n=.答案★8有一个雪花曲线序列,如图所示.其产生规则是:将正三角形P0的每一边三等分,而以其中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形,再擦去中间的那条线段,便得到第1条雪花曲线P1;再将P1的每条边三等分,按照上述规则,便得到第2条雪花曲线P2,……将P n-1的每条边三等分,按照上述规则,便得到第n条雪花曲线P n(n=1,2,3,4,…).(1)设P0的周长为L0,试猜想P n的周长L n;(2)设P0的面积为S0,试猜想P n的面积S n.解(1)在雪花曲线序列中,前后两条曲线之间的基本关系如图所示,易得L n=L n-1(n∈N*),故可猜想L n=L n-1=…=L0,n∈N*.(2)由雪花曲线的构造规则比较P0和P1,易得P1比P0的每边增加一个小等边三角形(缺少一边),其面积为,而P0有3条边,故有S1=S0+3·=S0+.再比较P2与P1,可知P2在P1的每条边上增加了一个小等边三角形(缺少一边),其面积为,而P1有3×4条边,故有S2=S1+3×4×=S0+.同理可得S3=S2+3×42×=S0+,故可猜想S n=S0++…+--=S0+--S0=-S0.。

数．以上推理( )
A．结论正确
B．大前提不பைடு நூலகம்确
C．小前提不正确
D．全不正确
解析：函数 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．故选 C.
答案：C
2．推理“①矩形是平行四边形，②正方形是矩形，③所以正方形是平行四边
形”中的小前提是( )
A．①
B．②
C．③
D．①和②
解析：∵三段论的形式是：①M 是 P，②S 是 M，③S 是 P，∴小前提为②.
[解析] (1)∵x＝π8是函数 y＝f(x)的图象的对称轴， ∴sin(2×π8＋φ)＝±1. ∴π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－34π. (2)由(1)知 φ＝－34π，因此 y＝sin(2x－34π)． 由题意，得 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2，k∈Z， ∴kπ＋π8≤x≤58π＋kπ，k∈Z.
小前提 结论
用符号表示为：△ABC≌△CDA⇒∠1＝∠2 且∠3＝∠4 且∠B＝∠D.
(4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 大前提
直线 AB、DC 被直线 AC 所截，内错角∠1＝∠2，小前提(已证)
则 AB∥DC.
结论
同理有：BC∥AD.
(5)如果四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，
大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论
用“三段论”表述演绎推理： 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．三段论中的大前提 提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结 合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可以省略小前 提，有时甚至也可以把大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可 找一个使结论成立的充分条件．

(3)再列表计算、对比： 再列表计算、对比： 再列表计算 n S1(n) S2(n) 1 1 1 2 3 5 3 6 4 5 6 7 28 8 36 … …
10 15 21
14 30 55 91 140 204 …
运用________推理； 推理； 运用 推理 (4)从上表的数据中没有看到明显的规律，再 从上表的数据中没有看到明显的规律， 从上表的数据中没有看到明显的规律 进一步列表计算： 进一步列表计算：
上式可变形为
1 4≤ ≤ ＋4(1－cosα)． － ． 1－cosα － ∵1－cosα>0， － ， 1 4(1 ∴ ＋ － 1－cosα － 1 cosα)≥2 ·4(1－cosα)＝4， ≥ ( － ) ， 1－cosα － 1 π 当且仅当 cosα＝ ，即 α＝ 时取等号． ＝ ＝ 时取等号． 2 3
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(1)首先列表计算观察： 首先列表计算观察： 首先列表计算观察 n S2(n) 1 1 2 5 3 4 5 6 7 8 … 14 30 55 91 140 204 …
运用________推理； 推理； 运用 推理 (2)从上表的数据中没有明显的发现，于是联 从上表的数据中没有明显的发现， 从上表的数据中没有明显的发现 想到正整数之和的公式 S1(n)＝1＋2＋3＋… ＝ ＋ ＋ ＋ 1 ＋n＝ n(n＋1)，二者能否有关系呢？ ＝ ＋ ，二者能否有关系呢？ 2 运用________推理； 推理； 运用 推理
1 . ∴4cosα≤ ≤ 1－cosα － ∵α∈(0，π)，∴sinα>0. ∈ ， ， sinα . ∴4sinαcosα≤ ≤ 1－cosα － sinα . ∴2sin2α≤ ≤ 1－cosα －

[课时作业][A 组 基础巩固]1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a 索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0解析：要证b 2－ac ＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2，只需证b 2－a (－b －a )＜3a 2，只需证2a 2－ab －b 2＞0，只需证(2a ＋b )(a －b )＞0，只需证(a －c )(a －b )＞0.故索的因应为C.答案：C2．证明命题“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下： ∵f (x )＝e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝e x －1e x . ∵x >0，∴e x >1,0<1e x <1， ∴e x －1e x >0，即f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是 解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.答案：A3．要使a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0成立的充要条件是( )A ．|a |≥1且|b |≥1B ．|a |≥1且|b |≤1C ．(|a |－1)(|b |－1)≥0D ．(|a |－1)(|b |－1)≤0解析：a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0⇔a 2(1－b 2)＋(b 2－1)≤0⇔(b 2－1)(1－a 2)≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0⇔(|a |－1)(|b |－1)≥0.答案：C 4.2＋6与3＋5的大小关系是( ) A.2＋6≥ 3＋ 5B.2＋6≤ 3＋ 5C.2＋6＞3＋ 5D.2＋6＜3＋ 5 解析：要想确定2＋6与3＋5的大小， 只需确定(2＋6)2与(3＋5)2的大小，只需确定8＋212与8＋215的大小，即确定12与15的大小，显然12＜15.∴2＋6＜3＋ 5.答案：D5．若x ，y ∈R ＋，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A ．2 2B. 2 C ．2D ．1 解析：原不等式可化为a ≥x ＋y x ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y ＝1＋2xy x ＋y要使不等式恒成立，只需a 不小于1＋2xy x ＋y 的最大值即可． ∵1＋2xy x ＋y≤2，当x ＝y 时取等号，∴a ≥2， ∴a 的最小值为 2.故选B.答案：B6．设n ∈N ，则n ＋4－n ＋3________ n ＋2－n ＋1(填＞、＜、＝)．解析：要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小．即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号，∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2) ]＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)＜0.∴n ＋4－n ＋3＜n ＋2－n ＋1.答案：＜7.如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .答案：AC ⊥BD (答案不唯一)8．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝________.解析：不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的一根，另一根为a ，则m ＝a ＋12，12a ＝2. 设x 2－nx ＋2＝0的两根为b ，c, 则n ＝b ＋c ，bc ＝2.由12，b ，c ，a 成等比数列及a ＝4可得b ＝1，c ＝2，从而m ＝92，n ＝3，|m －n |＝32. 答案：329．已知0＜a ≤1,0＜b ≤1,0＜c ≤1，求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1. 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1， 只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ，即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0.∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a )＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )，又a ≤1，b ≤1，c ≤1，∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0.∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立，即证明了1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1. 10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为π(l 2π)2，正方形的面积为(l 4)2， 因此本题只需证明π(l 2π)2＞(l 4)2. 为了证明上式成立，只需证明πl 24π2＞l 216，两边同乘以正数4l 2，得1π＞14，因此，只需证明4＞π.上式显然成立，故π(l 2π)2＞(l 4)2. [B 组 能力提升]1．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝(12)x ，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：因为函数f (x )＝(12)x 为减函数，所以要比较A ，B ，C 的大小，只需比较a ＋b 2，ab ，2ab a ＋b 的大小，因为a ＋b 2≥ab ，两边同乘ab 得：ab ·a ＋b 2≥ab ，即ab ≥2ab a ＋b，故a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，∴A ≤B ≤C . 答案：A2．设甲：函数f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，乙：函数g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对解析：对甲，要使f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，只需要Δ＝m 2－4n >0即可；对乙，要使g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，只需要u ＝x 2＋mx ＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m 2－4n ≥0，所以甲是乙的充分不必要条件．答案：A3．要证3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是________．解析：要证3a －3b <3a －b ，只需证(3a －3b )3<(3a －b )3，即a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ，即33a 2b －33ab 2>0，即3ab (3a －3b )>0.故所需条件为⎩⎨⎧ 3ab >0，3a －3b >0或⎩⎨⎧ 3ab ＜0，3a －3b <0，即ab >0且a >b 或ab <0且a <b .答案：ab >0且a >b 或ab <0且a <b4．如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值为________．解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2, 得2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y 的最小值为23－2.答案：23－25．在某两个正数m ，n 之间插入一个数x ，使m ，x ，n 成等差数列，插入两个数y ，z ，使m ，y ，z ，n 成等比数列，求证：(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．证明：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝m ＋n y 2＝mzz 2＝yn，所以m ＝y 2z ，n ＝z 2y. 即m ＋n ＝y 2z ＋z 2y ，从而2x ＝y 2z ＋z 2y. 要证(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)，只需证x ＋1≥(y ＋1)(z ＋1)成立．只需证x ＋1≥(y ＋1)＋(z ＋1)2即可． 也就是证2x ≥y ＋z ，而2x ＝y 2z ＋z 2y， 则只需证y 2z ＋z 2y≥y ＋z 即可． 即y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，只需证y 2－yz ＋z 2≥yz ，即证(y －z )2≥0成立，由于(y －z )2≥0显然成立，∴(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．6．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－a ，x ∈[0，＋∞)，设x 1＞0.记曲线y ＝f (x )在点M (x 1，f (x 1))处的切线为l .(1)求l 的方程；(2)设l 与x 轴的交点为(x 2,0)，求证：x 2≥a 13. 解析：(1)f ′(x )＝3x 2.故l 的方程为y －(x 31－a )＝3x 21(x －x 1)， 即y ＝3x 21x －2x 31－a .(2)证明：令y ＝3x 21x －2x 31－a ＝0， 得x ＝2x 31＋a 3x 21，∴x 2＝2x 31＋a 3x 21.欲证x2≥a 1 3，只需证2x31＋a≥3x21·a 1 3，即证(x1－a 13)2(2x1＋a13)≥0，显然成立，∴原不等式成立.。

＝
.
2k＋1 2 k＋1
要证当 n＝k＋1 时结论成立，
2k＋3
只需证
＞ k＋2成立，
2 k＋1
只需证：4k2＋12k＋9＞4k2＋12k＋8 成立，显然成立，
2＋1 4＋1 2k＋1 2k＋3
∴ 当 n＝ k＋ 1 时 ， · ·…· ·
＞ k＋1＋1成 立 ， 综 合 ① ② 可 知 不 等 式
进行证明.
题型一 归纳推理和类比推理
归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正
确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．
运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题
时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比
→ ∴MN＝(－1,1，－2)．
→ 又DA＝(0,0,2)为平面 DCEF 的法向量，
→→
→→
MN·DA
6
∴cos〈MN，DA〉＝
＝－ ，
3
→→ |MN||DA|
∴MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为
→→
6
|cos〈MN，DA〉|＝ .
3
(2)证明 假设直线 ME 与 BN 共面，则 AB⊂平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交
1
13 7
a3＝2a2＋1＝2·2＋1＝4，
1
1 7 15
a4＝2a3＋1＝2·4＋1＝ 8 .
2n－1 (2)法一 猜想 an＝ 2n－1 ，下面用数学归纳法证明．
21－1 证明 (1)当 n＝1 时，a1＝ 21－1 ＝1，满足上式，显然成立；

【证明】
如图所示,过点 A,B 分别作 AA′,BB′垂直准 线于点 A′,B′,取 AB 的中点 M,作 MM′垂直 准线于点 M′.
法一:(分析法)要证以 AB 为直径的圆与准线
相切,只需证|MM′|＝12|AB|. 由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|,|BB′|＝|BF|,
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|,因此只需证|MM′|＝12 (|AA′|＋|BB′|). 根据梯形的中位线原理可知上式是成立的. 所以以过抛物线 y2＝2px 焦点的弦为直径的
专题四 反证法 反证法是一种间接证明命题的方法,它从命题 结论的反面出发引出矛盾,从而肯定命题的结 论.反证法的理论基础是互为逆否命题的等价 性,从逻辑角度看,命题:“若p则q”的否定是“ 若p则¬q”,由此进行推理,如果发生矛盾,那么 就说明“若p则¬q”为假,从而可以导出“若p 则q”为真,从而达到证明的目的.
则当 n＝k＋1 时, ak＋1＝a3k＋ak3＝k3＋·3 k5＋ ＋3 53＝（k＋31）＋5, 所以当 n＝k＋1 时猜想也成立, 由①②知,对 n∈N*,an＝n＋3 5都成立.
【解析】 等差数列与等比数列之间的类比
主要体现在运算法则上 :和↔积;差 ↔商;乘 ↔
乘
方;….因此
由等差数
列中
a11＋a12＋…＋a20 10
＝
a1＋a2＋…＋a30可 30
以
得
到
:
在等
比
数
列
{bn}
中,有 10 b11b12b13…b20＝ 30 b1b2b3…b30. (2)第二列等式的右端分别是 1×1,3×3,6× 6,10×10,15×15,与第一列等式右端比较即可 得出.

[课时作业][组基础巩固]．命题“△中，若∠＞∠，则＞”的结论的否定应该是( )．≤．＜．＝．≥解析：“＞”的否定应为“＝或＜”，即≤.故应选.答案：．用反证法证明命题：“，，，∈，＋＝，＋＝，且＋＞，则，，，中至少有一个负数”时的假设为( )．，，，全都大于等于．，，，全为正数．，，，中至少有一个正数．，，，中至多有一个负数解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即，，，全都大于等于.答案：．“自然数，，中恰有一个偶数”的否定正确的为( )．，，都是奇数．，，都是偶数．，，中至少有两个偶数．，，中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数，，的奇偶性共有四种情形：()个都是奇数；()个奇数，个偶数；()个奇数，个偶数；()个都是偶数．所以否定正确的是，，中都是奇数或至少有两个偶数．答案：．给定一个命题“已知＞，≠且＋＝，证明对任意正整数都有＞＋”，当此题用反证法否定结论时应是( )．对任意正整数有≤＋．存在正整数使≤＋．存在正整数使＞＋．存在正整数使≥－且≥＋解析：“对任意正整数都有＞＋”的否定为“存在正整数使≤＋”．答案：．设，，∈(－∞，)，则三数＋，＋，＋中( )．都不大于－．都不小于－．至少有一个不大于－．至少有一个不小于－解析：＋＋＝＋＋∵，，∈(－∞，)，∴＋＝－≤－，＋＝－≤－，＋＝－≤－，∴＋＋≤－，∴三数＋、＋、＋中至少有一个不大于－，故应选.答案：．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．答案：没有一个是三角形或四边形或五边形．△中，若＝，是△内的一点，∠>∠，求证∠<∠.用反证法证明时的假设为．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠<∠的对立面是∠＝∠或∠>∠.答案：∠＝∠或∠>∠．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠＋∠＋∠＝°＋°＋∠>°，这与三角形内角和为°相矛盾，则∠＝∠＝°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠，∠，∠中有两个角是直角，不妨设∠＝∠＝°.正确顺序的序号排列为．解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②．已知≥－，求证以下三个方程：＋－＋＝，＋(－)＋＝，＋－＝中至少有一个方程有实数解．证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于，即：(\\(((－(－＋(＜,(－(－＜,((＋×＜))⇒⇒－＜＜－，这与已知≥－矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．．求证：不论，取何非零实数，等式＋＝总不成立．证明：假设存在非零实数，使得等式＋＝成立．于是有(＋)＋(＋)＝，即＋＋＝，即(＋)＋＝.由≠，得>.。