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A B
3. 互不相容(互斥)事件 • 若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称事件 A 与 B 互不相容(互 斥)， 即 AB = Ø ，或说 A 与 B 没有公共的样本点 . 例5中， A 与 F ，A 与 D 都是互不相容的. 推广： 若 A1, A2, … , An中的任意两个事件都互不相容，则称事件 A1, A2, … , An 两两互不相容 . 即 Ai A j Φ ( i j , i , j 1, 2,, n ) .
不可能事件 . Ø： { 出现奇数点 } = {1}∪{3}∪{5} { 多于10 次报警 } = {11}∪{12}∪{13}∪… 掷出点数小于 7 * 两个极端事件 每次实验都发生的事件 —— 必然事件， 记为 . 每次实验都不发生的事件 ——不可能事件， 记为Ø .
掷出点数 8
“天有不测风云” 和 “天气可以预报” 矛盾吗?
1.1.3 随机事件
可用集合的语言及运算符号来描述
随机现象的某些样本点组成的集合 —— 随机事件. 简称事件，常用大写字母 A、B、C 表示. 基本事件 复合事件
由多于一个的 基本事件构成
设边长为1个单位 的正方形 表示样本空间
相对于实验 目的不能再分解
Ａ
封闭曲线所围点的 集合表示事件 A
基本事件； 由一个样本点构成的单点集： 必然事件； ：
第一章 随机事件与概率
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
• 确定现象 —— 一定条件下必然发生的现象； 例如:太阳从东方升起；上抛物体下落等. • 随机现象 —— 在一定的条件下并不总是出现相同结果的现象. 例如：掷一颗骰子出现的点数；某种型号电视机的寿命. 带有随机性、偶然性的现象 随机实验 ---- 在相同条件下可重复的随机现象 也有许多随机现象是不能重复的. 例如：某场足球赛的输 赢；某些经济现象（如失业，经济增长速度）等 . 概率论与数理统计主要是研究能大量重复的随机现象. 但 也十分注意研究不能重复的随机现象.
随机事件有什么特点?
首先，随机事件的发生具有偶然性，在一次试验中，可能发 生，也可能不发生； 其次，在大量重复试验中，随机事件的发生 具有某种规律性.
圆周率 = 3.1415926…… 是一个无限不循环小数， 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后 7 位， 这个记录保了1000 多年！ 1873年，英国学者Shanks(尚克斯)公布了一个 的 数值，它在小数点后共有 707 位之多! 但是，几十年后，曼彻斯特的费格森统计了 的611位小 数后，得到下面的表，从而对它的正确性) (6,1) (6,6)
记 X 与 Y 分别为第一与第二颗骰子出现的点数，则X 与 Y 可取值 均为：1,2,…,6. “X Y 5” { (1,4), (2,3), (3,2) (4,1) }. 事件 “点数之和等于5” 可表示成 用随机变量表示事件往往比较简洁. 现在事件有三种表示的方法： ① 用集合； ② 用语言； ③ 用随机变量.
3. 事件的差 • 称事件“ A 发生且 B 不发生” 为事件 A 与 B 事件的差， 记作A - B . 即 A - B ={ | A 且 B }. B AA -B 4.互逆事件(对立事件) • 若事件 A 与事件 B 必有一个、且仅有一个发生， 则称事件 A 与 B 互为逆事件(对立事件). 即 A∪B = ，AB = Ø ，记 B = A .
概率论与数理统计
——数学科学学院
概率论与数理统计序言
《概率论与数理统计》
Probabiliti theory and mathematical statisties
———
研究随机现象的统计规律性
《概率论与数理统计》的基本内容
—— 概率论、 数理统计与回归分析
起源 —— 博弈
• 16 世纪, 意大利的学者 • 17 世纪中叶, Pascal(帕斯卡, 法), Fermat(费玛)和Huygens(惠更斯,荷) • 18世纪初(1713),奠基人 Bernoulli(柏努利，法) — 大数定律 Gauss(德)，De. Moivre (棣莫费,法) • 1812年, Laplace(拉普拉斯，法) —《概率的分析理论》 • 19世纪(1866), Chebyhev(切比雪夫，俄) — 中心极限理论 • 20世纪(1933), kolmogorov (柯尔莫哥洛夫，俄) — 概率公理化定义
你能说出一组两两不相容的事件吗？ 基本事件组
注 AB = Ø 时，A∪B 可记为 A+ B .
1.1.6 事件的运算
1. 事件的和(并) • 称事件 “ A 与 B 至少有一个发生 ” 为事件 A 与 B 事件的和(并)， 记作A∪B . 即 A∪B ={ | A 或 B }. B A 例5中， A∪B { 0, 1, 2， 3 }. 推广：称 “ A1, A2, … , An 中至少有一个发生 ” 为事件 A1, A2, … , n , A或 A An 的和(并) ， A1 ∪ A2 ∪ … ∪ 记作 或 i .A n ， i 1 i1 i . B AB A 2. 事件的积(交) • 称事件“A 与 B 同时发生” 为事件 A 与 B 的积(交)，记作 A∩B ， 也简记为 AB . 即 A∩B ={ | A 且 B }. 例5中， AB { 2, 3 } . 例5中， A - C { 0 , 1 } . 推广 称 “ A1, A2, … , An 同时发生 ” 为事件 A1, A2, … , An 的积(交) n 记作 A1∩A2∩… ∩ , A 或 或 A i . A i . ， n ， i 1 i1
A A ，
AA Ø ，
A
A A,
A A.
互逆事件
？ \
A
例5中， A 与 D 互为逆事件.
互不相容
5. 事件的运算性质 不能将事件与数完全等同起来！ B B A , A B BA; 10 交换律 A 集合 20 结合律 A ( B C ) ( A B ) C , A ( B C ) ( A B ) C ; 30 分配律 A ( BC ) ( A B ) ( A C ) , A ( B C ) A B AC ; 40 对偶律 A B A B , A B A B . De Mogen A B A AB A B ; A B A A B . 例6 (P7 例6 ) 设 A, B, C 为三个事件， 用 A, B, C 表示下列事件: (1) A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生； A( B∪ C ) ABC (2) A 与 B 发生，而 C 不发生； (3) A , B, C 中恰有一个发生； AB C A BC A B C AB BC AC (4) A , B, C 中至少有两个发生； (5) A , B, C 中至多有两个发生； ABC ABC 不发生； (6) A , B, C 中不多于一个发生. AB BC AC A B C AB C A BC A B C
60
1
62
2
67
3
68
4
64
5
56
6
7 7
8
58
9
67
62 44 44
你能猜出他怀疑的理由吗 ? 出现的次数过少！ 各数码出现次数应该近似相等，或者说，它 们出现的的频率应该都接近于0.1.
1.1.4 随机变量
用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 随机变量通常用 大写字母 X, Y, Z 或希腊字母 ,η 等表示. 例 掷一颗骰子所出现的点数就是一个随机变量，记为X, 则事件 “出现3点” 可用随机变量 X 表示为 “X=3” ， 则事件 “出现的点数不小于3” 可用随机变量 X 表示为 “X 3” ， 掷两颗骰子的样本空间为 (1,1) (1,2) (1,6) 共有36个样本点
随机现象的统计性规律
——相同条件下进行大量重复试验，随机现象所呈现的规律性.
随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，这正是概率 论与数理统计所研究的对象. 为了用数学方法对这种统计规律进行研究，我们首先要对 随机现象给出规范的数学描述，或说为其建立一个数学模型：
1.1.2 样本空间
用现代集合论这个简单的工具表述随机试验
我们的生活和随机现象结下了不解之缘.
随机现象是不是没有规律可言?
否！
在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性 例如: 一门火炮在一定条件下进行射 击，个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有 随机性的误差，但大量炮弹的弹着点则会 表现出一定的规律性， 如一定的命中率， 一定的分布规律等等.
从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是随机的， 但多次观察某个随机现象，便可以发现，在大量的偶然之 中又存在着必然的规律. 也就是说，随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面， 这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现 出的固有规律性， 称为
“天有不测风云” 指的是随机现象一次实现的偶然性. “天气可以预报” 指的是研究者从大量的气象资料来探索这 些偶然现象的规律性.
随机事件发生的可能性大小是人为的吗?
随机事件发生的可能性大小是不以人们的意志为转移的, 就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样 . 我们的工作目 标就是度量随机事件发生可能性大小的方法.
要明白无误
1.1.5 事件的关系
1. 事件的包含 • 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ， 记作A B 或 B A . 即 A 中的每个样本点必在 B 中. 2. 事件的相等 • 若事件 A 与 B 满足：A B 且 B A ， 则称事件 A 与事件 B 相等 (或等价)，记作 A = B . 即 A 的每个样本点必在 B 中，且 B 中的每 个样本点必在 A 中 . 例5 (P4 例5 ) 在某公路随机抽查 8 辆汽车考察其中违章车的辆数. ， 样本空间 { 0, 1, 2, , 8 } A: “违章车不超过 3 辆 ”， A { 0, 1, 2, 3 }. 显然， B: “有 2 或 3 辆违章”， B { 2， 3 }. , C E. F D { } 3， 4， 5 . C: “有 2 至 5 辆违章”， C 2， D: “有 4 至 8 辆违章”，D { 4, 5, 6, 7, 8 } . E: “违章车不少于2 辆且不多于 5 辆 ”，E { 2， 3， 4， 5 }. F: “违章车多于 4 辆 ”， F { 5， 6， 7， 8 }.
