推荐-天津一中2018-2018高三年级第二次月考数学(理)试卷 精品

天津一中、益中学校2017-2018高三年级四月考试卷数学（理）一、选择题：1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，，所以，因为且，所以，，故选D.2. 若实数，满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出表示的可行域如图，由，得，平行直线，当直线经过时，有最大值，故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3. 执行如图所示的程序框图，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：初始条件，；运行第一次，，；运行第二次，，；运行第三次，，；运行第四次，，；运行第五次，，．满足条件，停止运行，所以输出的，故选C．考点：程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．4. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，则角为（）A. B. 或 C. D.【答案】A【解析】由余弦定理可得，，解得，解得，，故选A.5. 已知正项．．等差数列中，若，若，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.【解析】正项等差数列中，，，构成等比数列，即构成等比数列，依题意，有，解得或（舍去），，故选A.6. 已知双曲线：的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意得双曲线的渐近线方程为∵点在双曲线的一条渐近线上∴∵焦距∴∴双曲线方程为故选D.7. 设是自然对数的底，，且，且，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，“”，推不出“”，充分性不成立，时，，必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B.8. 已知函数，若函数在定义域内有且只有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】函数在定义域内有且只有三个零点，等价于有且有三个根，当时，，不是方程的根，当时，，令，当时，在单调递增，当时，在单调递增，在单调递减，图象如图所示：其中可得时与图象有三个交点，方程有且有三个根，函数在定义域内有且只有三个零点，所以实数的取值范围是，故选A..二、填空题：9. 对于复数，若，则__________．【解析】，，故答案为.10. 若二项式的展开式中的常数项为，则__________．【答案】【解析】二项式的展开式的通项为，令所以常数项为二项式的展开式中的常数项为，则，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.11. 在极坐标系中，为曲线上的动点，是直线上的动点，则的最小值为__________．【答案】1【解析】由可得，即圆心为，半径为的圆，直线化为，的最小值为圆心到直线的距离与圆半径的差，，故答案为. 12. 已知一个公园的形状如图所示，现有种不同的植物要种在此公园的，，，，这五个区域内（四种植物均要使用），要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有__________种．【答案】【解析】可分两类：第一类，若A，E相同，D有2种种法，则有；第二类，若A，E不相同，D只有1种种法，则有；由分类计数原理可得所有种法种数为。

天津市耀华中学2018届高三二模考试试卷（理科数学）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( )A．B．C．D．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．37．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．168．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是__________．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为__________．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=__________．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为__________．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值范围是__________．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．17．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．天津市耀华中学2018届高三二模考试试卷（理科数学）答案一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形．分析：利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．解答：解：在△ABC中，“sinA＞”⇒“＞A＞”⇒“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能⇒“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，即sinA，即充分性不成立，∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a （x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．解答：解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x 的路线，确定选项．解答：解：∵y=sin（2x﹣）=cos=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( ) A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推关系式推出{}为等差数列，然后求出结果即可．解答：解：∵a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），∴a n a n﹣1+a n a n+1=2a n+1a n﹣1（n≥2），两边同除以a n﹣1a n a n+1得：=+，即﹣=﹣，即数列{}为等差数列，∵a1=1，a2=，∴数列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴a n=，即a2015=，故选：C．点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．解答：解：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，解得或，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△PAB的面积为﹣1，∴AB边上的高为h==．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，P到直线y=2x+2的距离d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；联立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．故选：D．点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．7．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（m ax（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16考点：函数最值的应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．解答：解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故选C．点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和解答：解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t （0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故选：B．点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为36（π+2）．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，分别计算底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，其底面面积S=×12×6+×62=18π+36，锥体的高h==6，故锥体的体积V==36（π+2），故答案为：36（π+2）点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：分别求出曲线的交点坐标，然后利用积分的应用求区域面积即可．解答：解：由解得，即A（1，1）．由，解得，即B（3，﹣1），∴曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为==+=，故答案为：；点评：本题主要考查定积分的应用，根据曲线方程求出曲线交点是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=±或±5．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：先根据ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，将圆C1的方程化成直角坐标方程，再利用同角三角函数关系消去θ，可得圆C2的直角坐标方程，最后根据圆C1与圆C2相切，分为外切的内切两种情况讨论，利用圆心距与半径之间的关系建立方程，求实数a的值．解答：解：∵圆C1的方程为ρ=4cos（），∴⊙C1的方程化为ρ=4cos θ+4sin θ，则ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ，由ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，得x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴圆心C1坐标为（2，2），半径r1=2，∵圆C2的参数方程是，∴其普通方程是（x+1）2+（y+1）2=a2，∴以C2的坐标是（﹣1，﹣1），r2=|a|，∵两圆相切，∴当外切时|C1C2|=|a|+2==3，解得a=±，内切时|C1C2|=|a|﹣2==3，解得a=±5∴a=±或±5．故答案为：±或±5．点评：本题考查参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程、圆与圆的位置关系及其应用．解题时要认真审题，把极坐标方程合理地转化为普通方程．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为（）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：原不等式为：2﹣x2＞|x﹣a|，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．解答：解：不等式等价为：2﹣x2＞|x﹣a|，且2﹣x2＞0，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=﹣2；将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2﹣x2（y≥0，x＞0）相切时，由，即x2﹣x+a﹣2=0，由△=0 解得a=．由数形结合可得，实数a的取值范围是（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值范围是∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使，过P作PQ⊥CD与点Q，∴PQ⊥平面ACD∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即所以二面角E﹣DF﹣C的余弦值为（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设∴所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE另解：设又∵把代入上式得，∴所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：（1）先由函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{a n}的通项公式；（2）用错位相减法求出T n的表达式即可求出对应的m的最小值；（3）先把原不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性求不等式右边的最小值即可求出最大实数p．解答：解：（1）由题意得，解得，∴f（x）=log3（2x﹣1）（2）由（1）得，∴①②①﹣②得=，∴，设，则由得随n的增大而减小，T n随n的增大而增大．∴当n→+∞时，T n→3又T n＜m（m∈Z）恒成立，∴m min=3（3）由题意得恒成立记，则∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为，∴，即点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的范围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的范围．解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则则故所以，椭圆方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）T（x）=e x（x+1﹣），求导T′（x）=e x（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=e x﹣2x；求导m′=e x﹣2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；（3）由题意，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+，故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为p（x）＞0恒成立；从而化为最值问题．解答：解：（Ⅰ）m=1﹣时，T（x）=e x（x+1﹣），n∈R，∴T′（x）=e x（x+1），①当n=0时，T′（x）=e x＞0，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；②当n＞0时，T′（x）=e x（x+）在（﹣，+∞）上为增函数，故T（x）在上为增函数，此时φ（n）=T（1）=e；③当n＜0时，T′（x）=e x（x+），T（x）在（﹣∞，﹣）上为增函数，在（﹣，+∞）上为减函数，若0＜﹣＜1，即n＜﹣2时，故T（x）在上为增函数，在上为减函数，此时φ（n）=T（﹣）=（﹣1+m）=﹣•，若﹣≥1﹣2≤n＜0时，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；∴综上所述：φ（n）=；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣m，∴F′（x）=e x﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；∴F（x）=e x﹣2x﹣m在上恰有两个相异实根，∴，解得2﹣2ln2＜m≤1，∴实数m的取值范围是{m|2﹣2ln2＜m≤1}；（Ⅲ）由题设：∀x∈R，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+＞0，（*），∵p′（x）=e x﹣，∴p（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；在（ln，+∞）上单调递增，∴（*）⇔p（x）min=p（ln）=﹣ln+=（n﹣nln+15）＞0，设h（x）=x﹣xln+15=x﹣x（lnx﹣ln2）+15，则h′（x）=1﹣ln﹣1=﹣ln，∴h（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，而h（2e2）=15﹣2e2＞0，且h（15）=15（lne2﹣ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使 h（x0）=0，且x∈。

耀华中学2018届高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】试题分析：由题，对应点坐标为：为第二象限的点。

考点：复数的运用及几何意义。

.2.已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x＋4y的最小值是( )A. 38B. 5C. －6D. －10【答案】C【解析】【分析】作出可行域，由z＝2x＋4y可得：，作直线，平移直线，当直线经过可行域且在y轴上截距最小时，z有最小值.【详解】作出可行域，如图所示，平移目标函数经过点A(3，－3)时，z＝2x＋4y取得最小值－6，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划及应用，意在考查学生数形结合的能力，属于中档题．3.“”是“x＋y>3”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】当时，根据不等式的性质可知x＋y>3成立，反之不成立，可知结论.【详解】若x>1，y>2，则x＋y>3，故充分性成立，反之，若x＝0，y＝5满足x＋y>3，显然不满足x>1且y>2，故必要性不成立，∴是x＋y>3的充分不必要条件，故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质和充要条件，意在考查学生的逻辑思维能力，属于中档题．4.某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是( )A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D【解析】【分析】根据框图，分析循环结构，模拟运算过程即可.【详解】第1次循环：S＝99，k＝1；第2次循环：S＝96，k＝2；第3次循环：S＝87，k＝3，第4次循环：S＝60，k＝4；第5次循环：S＝－21，k＝5不满足条件，退出循环，输出k＝5，故选D.【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，意在考查学生读图，识图能力,属于中档题．5.已知双曲线(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据渐近线与抛物线准线交点坐标，可知P的值，写出抛物线焦点坐标，可求双曲线中，再结合双曲线渐近线即可求出b,从而求出焦距.【详解】∵双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点(－2，－1)，∴＝－2，即p＝4，∴抛物线焦点F(2,0)，又双曲线左顶点(－a,0)到抛物线焦点距离为4，∴a＝2，又点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，∴渐近线方程为y＝x，∵a＝2，b＝1，∴c＝，∴双曲线的焦距为2c＝2，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线，抛物线的标准方程和几何性质，意在考查学生的运算求解能力,属于中档题．6.对于任意x∈R，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≥1时，函数f(x)＝lnx，若a＝f(2－0.3)，b＝f(log3π)，c＝f(－)，则a，b，c大小关系是( )A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．7.已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，若在区间(0，π)上有三个不同的x使得f(x)＝1，则ω的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简函数f(x)，要使在(0，π)上有三个不同的x使得f(x)＝1，即使得sin＝成立，需满足：3π－<＋ωπ≤4π＋即可.【详解】f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin，∵x∈(0，π)，∴ωx＋∈，要使在(0，π)上有三个不同的x使得f(x)＝1，即使得sin＝成立，需满足：3π－<＋ωπ≤4π＋，解得<ω≤，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象性质，意在考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题．8.已知函数，函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三个不同的零点，则k的取值范围是( )A. (－2－，0]∪B. (－2＋，0]∪C. (－2－，0]∪D. (－2＋，0]∪【答案】D【解析】【分析】g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三个不同的零点，即方程f(1－x)＝k(x－1)＋恰有3个不同实根，令1－x＝t，则方程f(t)＝－kt＋恰有三个不同实根，即函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，数形结合即可求解. 【详解】∵g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有3个不同零点，∴方程f(1－x)＝k(x－1)＋恰有3个不同实根，令1－x＝t，则方程f(t)＝－kt＋恰有三个不同实根，即函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，画出函数图象如下图：当－k＝0即k＝0时有三个交点，当y＝－kx＋与f(x)＝x2＋2x＋1(x<0)相切时可求得k＝－2＋，当y＝－kx＋与f(x)＝，x≥0相切时可求得k＝，故由图可得－2＋<k≤0或k＝时函数y＝f(x)与y＝－kx＋的图象恰有3个不同交点，即函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有3个不同零点，故选D.【点睛】本题主要考查分段函数的图象，性质和函数零点，意在考查学生的数形结合能力和转化、化归能力，属于中档题．二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)9.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为________．【答案】78【解析】【分析】由题意求出高三学生人数，再根据高一学生的抽样比计算高三抽样人数即可.【详解】设学校有高三学生x人，则高二学生x＋30人，∴x＋(x＋30)＋480＝1290，解得x＝390人，该样本中的高三人数为×390＝78人．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题．10.已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|<1}，则A∩B＝________.【答案】【解析】【分析】化简集合A，B，根据集合的交集运算即可.【详解】A＝{x|x2＋2x－3≤0}＝{x|－3≤x≤1},B＝{x||x－1|<1}＝{x|0<x<2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}．【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生基本的计算能力，属于中档题．11.已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ＋2sinθ上，点B在直线(t为参数)上，则|AB|的最小值为________．【答案】【解析】【详解】由ρ＝2cosθ＋2sinθ得x2＋y2＝2x＋2y，即(x－1)2＋(y－1)2＝2，故圆心M(1,1)，半径r＝，由(t为参数)得x－y－4＝0，∵A在圆M上，B在直线x－y－4＝0上，∴|AB|min＝d M－r＝.【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，意在考查学生数形结合的能力，属于中档题．12.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为________．【答案】【解析】试题分析：由已知中的三视图可得,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球,与以俯视图为底面,以为高的直三棱柱的外接球相同,如图所示，由底面边长为,高为,故底面为等腰直角三角形,可得底面外接圆的半径为:,由棱柱高为,可得球心距为,故外接球的半径为:,故外接球的表面积,故答案为.考点：1、几何体的三视图及空间想象能力；2、几何体外接球的性质及求表面积公式.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图及空间想象能力、几何体外接球的性质及求表面积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.13.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=6，BC=8，△ACD是等边三角形，则的值为_______________．【答案】14.【解析】【分析】根据三角形的边角关系，求得各个边长和角度；根据向量数量积求得的值。

天津耀华中学18-18年上学期高三数学月考(二)第二次月考数学（理科）试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1． 一个容量为20的样本数据，分组后，组据与频数如下：（10，20）］2个，（20，30）]3个，（30，40）]4个，（40，50）]5个，（50，60）]4个，（60，70）]2个，则样本在区间（-∞，50）]上的频率为（ ）A 5%B 25%C 50%D 70%2． 下列命题中正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则a+2i ＞b+2i （I 为虚数单位）B ．若│z │=1，则z=±1C ．若a+bi （a 、b ∈R ）的共轭复数为2+5i 则a=2、b=-5D ．若z 21+z 22=0，则z 1=z 2=03． 已知sin x =-41（π＜x ＜23π)则x 等于（ ） A arc sin （-41） B π-arc sin 41 C –π+arc sin 41 D π+arc sin 41 4． 已知图（1）表示函数y=f （x ）的图象，则（2），（3），（4）依次表示的函数是（ ）A y=│f （x ）│，y=-f （-x ），y=f （│x │）B y=│f （x ）│，y=f （│x │），y=-f （-x ）C y=f （│x │），y=-f （-x ），y=│f （x ）│D y=│f （x ）│，y=│f （x ）│，y=-f （-x ）5． 在△ABC 中，A ＞B 是sinA ＞sinB 成立的（ ）A 充分但不必要条件B 必要但不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件6． 平面内的n 条直线，每两条不平行每三条不交于一点，设这n 条直线把平面分成f （k ）个区域，则从k →k+1增加的区域为（ ）A k+1个B k 个C f （k ）+1个D f （k ）个7． 设首设为1，公比为q （q ＞0）的等比数列的前n 项和为S n ，又设T n =1+n n S S （n=1,2,3……）则∞→n lim T n 的值为（ ）A 1B q 1C 1或q1 D 以上都不对 8． 设f （x ）是定义域为R ，最小正周期为23π的函数，若f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-)0(sin )02(cos n x x x x π A 1 B 22 C 0 D -22 9． 若函数f （x ）=1---a x x a 的反函数f -1（x ）的图象的对称中心为（-1，3），则实数a 等于（ ）A 2B 3C –2D –410．任意函数y=（x ），在同一坐标系里，函数y=f （x+3）和y=f （1-x ）的图象（ ）A 关于直线x+1=0对称B 关于直线x+2=0对称C 关于直线x-1=0对称D 关于直线x-2=0对称11．K 为何值时，方程sinx-cosx+k=0（其中x ∈[ 0，π ]）有解，则k 的取值范围是（ ） A [ -2，-1 ] B [ -2，1 ] C [ -1，2] D [ -2，2]12．若f （x ）=1g 3421a x x ++，其中a ∈R 如果a ∈(-∞，1)]时，f （x ）有意义，则a 的取值范围是（ ）A a ≥-43B a ＞-43C a ＜-43D a ≤-43 二、填空题：（每小题4分；共16分）13．f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≥+--)0()0(11x bxa x x x 处处连续，则a= 。

天津市第一中学2017—2018学年度高三年级二月考试卷数学（文史类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. {0,1,2}B. {1,2}C. {0}D. {0,1}【答案】D【解析】集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣5x+4＜0}={x|1＜x＜4}，故选：B．点睛：本题考查集合的运算，主要是交集、补集的求法，考查真子集的求法，属于基础题．2. 是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因为，所以，两边同乘以得：，当时，可得，推不出，综上是的充分不必要条件，故选A.3. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】模拟执行程序，可得A=2，S=0，n=1不满足条件S>2，执行循环体，S=1，n=2不满足条件S>2,执行循环体,S=32，n=3不满足条件S>2,执行循环体,S=116，n=4不满足条件S>2,执行循环体,S=2512，n=5满足条件S>2，退出循环，输出n的值为5.故选：C点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4. 设为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确命题的序号是（）A. ②④B. ③④C. ①②D. ①③【答案】B【解析】对于①，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故①错误；对于②，若m∥α，m∥n则n可能在α内；故②错误；对于③，若m⊥α，m∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β；故③正确；对于④，若m⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m⊥β；故④正确；故选B．点睛：本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．5. 已知奇函数在上是增函数，．若，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，，所以，故选C．【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.6. 已知函数当时，，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵当x1≠x2时，＜0，∴f（x）是R上的单调减函数，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故选：A．7. 设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数f（x）=sin（ωx+φ），A＞0，ω＞0，若f（x）在区间[，]上单调，∴﹣≤==，即≤，∴0＜ω≤3．∵f（）=f（）=﹣f（），∴x==，为f（x）=sin（ωx+φ）的一条对称轴，且（，0）即（，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，∴=•=﹣=，解得ω=2∈（0，3]，∴T==π，故选：D．点睛：本题考查三角函数的周期性及其求法，确定x=与（，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．8. 已知均为正数，且，则的最小值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．则=+b2﹣1．∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．故选B.点睛：本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 已知是实数，是纯虚数，则___________.【答案】【解析】设=bi（b≠0），则a﹣i=（2+i）•bi=﹣b+2bi，∴，解得a=．故填：．10. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是【答案】【解析】，∴在点P（1，0）处的切线斜率为k=1，∴在点P（1，0）处的切线l为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，∵y=x﹣1与坐标轴交于（0，﹣1），（1，0）．∴切线y=x﹣1与坐标轴围成的三角形面积为S=×1×1=．故答案为：．点睛：本题考查了导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及三角形的面积计算，属于基础题．11. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________.【答案】【解析】根据三视图知几何体是组合体，中间是长宽高分别为1，2，2的长方体、两边是两个半圆锥，半径为1，高为2，∴该几何体的体积V=1×2×2+π•12•2=4+，故答案为4+．点睛：本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象能力，三视图正确复原几何体是解题的关键．12. 圆心在直线，且与直线相切于点的圆的标准方程为【答案】【解析】∵圆心在直线y=﹣4x上，设圆心C为（a，﹣4a），圆与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2），则k PC==1，∴a=1．即圆心为（1，﹣4）．r=|CP|==2，∴圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+4）=8．故答案为：（x﹣1）2+（y+4）=8．点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径．属于基础题．13. 在中，已知,若点满足,且,则实数的值为__________．【答案】1或【解析】中，，点满足，∴，∴，又，整理得，解得或，故答案为或.14. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】函数,若函数有三个零点，就是与有3个交点，，画出两个函数的图象如图：,当x<0时,，当且仅当x=−1时取等号，此时−b>6，可得b<−6；当时,当时取得最大值,满足条件的.综上,.给答案为：.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 在中，角所对的边分别为，且，已知,，.（I）求和的值（II）求的值【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由向量的数量积运算及三角形余弦定理可求得a,c的关系式，解方程可求得其值；由正弦定理可求得角B,C的正余弦值，代入公式可求得的值试题解析：（1）由，得：，又，所以.由余弦定理，得.又，所以.解，得或.因为，∴.（2）在中，.由正弦定理，得，又因为，所以为锐角，因此.于是.考点：正余弦定理解三角形及三角函数基本公式16. 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟.（Ⅰ）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?【答案】(1)详见解析(2) 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.【解析】试题分析：（I）根据广告费用和收益列出约束条件，作出可行域；（II）列出目标函数z=3000x+2000y，根据可行域判断最优解的位置，列方程组解出最优解得出最大收益．试题解析：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，则，满足的数学关系式为该二次元不等式组等价于做出二元一次不等式组所表示的平面区域（II）设公司的收益为元，则目标函数为：考虑，将它变形为.这是斜率为，随变化的一族平行直线，当截距最大，即最大.又因为满足约束条件，所以由图可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大.解方程组得,代入目标函数得.答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.17. 如图，边长为的正方形与梯形所在的平面互相垂直，其中的中点.（Ⅰ）证明:平面（Ⅱ）求二面角的正切值（Ⅲ）求与平面所成角的余弦值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）推导出OM∥AC，由此能证明OM||平面ABCD．（Ⅱ）取AB中点H，连接DH，则∠EHD为二面角D﹣AB﹣E的平面角，由此能求出二面角D﹣AB﹣E的正切值．（Ⅲ）推导出BD⊥DA，从而BD⊥平面ADEF，由此得到∠BFD的余弦值即为所求．试题解析：（I）分别为的中点平面平面平面（II）取中点，连接, 又为二面角的平面角又∵平面平面，平面平面平面平面的余弦值即为所求在中，与平面所成角的余弦值为点睛：本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18. 已知数列的前项和为，（Ⅰ）求数列的通项公式（II）设，为的前项和，求【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）当n为奇数时，b n==；当n为偶数时，b n==．分别利用“裂项求和”、“错位相减法”即可得出．试题解析：（1）又∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列由（1）知所以设，则，两式相减得，整理得，所以.点睛：本题考查了递推关系、等比数列的通项公式前n项和公式、“裂项求和”方法、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19. 已知数列中，（I）求证：数列是等比数列（II）求数列的通项公式（III）设，若，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）（3）【解析】试题分析：（I）由，变形为利用等比数列的定义即可证明．（II）由（I）可得：，利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．（III），可得．利用“裂项求和”方法可得S n，再利用数列的单调性、不等式的解法即可得出．试题解析：（I）证明：，.，，.∴数列是首项、公比均为2的等比数列（II）解：是等比数列，首项为2，通项，故，当时，符合上式，∴数列的通项公式为（III）解：，故若,使成立，由已知，有，解得，所以的取值范围为点睛：本题考查了递推关系、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法、“累加求和”方法、数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20. 已知函数，其中为自然对数的底数，（I）若，函数①求函数的单调区间②若函数的值域为,求实数的取值范围（II）若存在实数,使得，且，求证：【答案】（1）①详见解析②实数的取值范围是；（2）；【解析】试题分析：（1）①求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；②求出函数的导数，通过讨论m的范围得到函数的值域，从而确定m的具体范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，得到a＞0且f（x）在（﹣∞，]递减，在[，+∞）递增，设，则有，根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．试题解析：（1）当时，.①.由得，由得.所以函数的单调增区间为，单调减区间为.②当时，，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增.在上单调递减，值域为,因为的值域为，所以，即.由①可知当时，，故不成立.因为在上单调递减，在上单调递增，且所以当时，恒成立，因此.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上的值域为，即.在上单调递减，值域为.因为的值域为，所以，即.综合1°,2°可知，实数的取值范围是.（2）.若时，，此时在上单调递增.由可得，与相矛盾，同样不能有.不妨设，则有.因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，.由，且，可得故.又在单调递减，且，所以，所以，同理.即解得，所以.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。

天津一中 2017—2018 学年度高三年级二月考试卷数 学（文史类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时120 分钟． 第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页．答卷前，考生务必将自己的姓名填写在答题卡和答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡和答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题卡和答题纸交回． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（共60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}|{},{0452102<+-==x x x B A ，，，则)(B C A R （ ） A ．{0,1,2} B ．{1,2} C ．{0} D ．{0,1}2.”“2>x 是”“211<x 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3.执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为 2，则输出的n 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64.设n m ,为空间两条不同的直线，βα，为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若βα//,//m m ，则βα//； ②若n m m //,//α，则α//n ； ③若βα//,m m ⊥，则βα⊥； ④若βαα//,⊥m ，则β⊥m . 其中所有正确命题的序号是（ ）A ．②④B ．③④ C.①② D ．①③5.已知奇函数)(x f 在R 上是增函数，)()(x xf x g =．若).log (152-=g a ，)(),(.3280g c g b ==，则c b a ,,的大小关系为（ ）A ． c b a <<B ．a b c << C.c a b << D ．a c b <<6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤-=131121x x x a x f a x ,log ,)()(当21x x ≠时，02121<--x x x f x f )()(，则a 的取值范围是（ ） A ．],(310 B ．],[2131 C.），（210 D ．],[31417.设函数0>+=ωϕω),sin()(x x f ，若)(x f 在区间],[26ππ上单调，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．π2 C.π4 D ．π 8.已知b a ,均为正数，且02=--b a ab ，则bb a a 12422-+-的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C.8 D ．9第Ⅱ卷（共90分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 2．本卷共 12 小题，共 110 分．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.已知a 是实数，iia +-2是纯虚数，则=a ___________. 10.曲线()x x x f ln =在点)(01，P 处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是__________. 11.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________.12.圆心在直线x y 4-=，且与直线01=-+y x 相切于点)(23-，P 的圆的标准方程为__________.13.在ABC ∆中，已知6021=∠==A AC AB ，,,若点P 满足AC AB AP λ+=,且1=⋅CP BP ,则实数λ的值为 ．14.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=,,,,03042x xx x x x f 若函数b x x f x g +-=3|)(|)(有三个零点，则实数b 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且c a >，已知2=⋅BC BA ,31=B cos ，3=b . （I ）求a 和c 的值 （II ）求)cos(C B -的值16.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟. （Ⅰ）用y x ,列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少 17. 如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中,,//BC AB CD AB ⊥M O DF AE AB BC CD ,==== ，121EC 的中点. （Ⅰ）证明://OM 平面ABCD （Ⅱ）求二面角E AB D --的正切值 （Ⅲ）求BF 与平面ADEF 所成角的余弦值18. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，22-=n n a S （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式（II ）设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n a n n n n a b nnn 2222)(log ，n T 为}{n b 的前n 项和，求n T 219. 已知数列}{n a 中，)(,,232421121≥=+==-+n a a a a a n n n （I ）求证：数列}{n n a a -+1是等比数列 （II ）求数列}{n a 的通项公式 （III ）设13222111++++=-=n n n n n n b b a b b a b b a S a b ,，若*∈∃N n ，使m m S n 342-≥成立，求实数m 的取值范围.20.已知函数()1--=ax e x f x，其中e 为自然对数的底数，R a ∈②（I ）若e a =，函数x e x g )()(-=2 ①求函数)()()(x g x f x h -=的单调区间②若函数⎩⎨⎧>≤=m x x g mx x f x F ),(),()(的值域为R ,求实数m 的取值范围（II ）若存在实数],[,2021∈x x ,使得)()(21x f x f =，且121≥-||x x ，求证：e e a e -≤≤-21参考答案一、选择题1-5: DACBCA 6-8: ADB二、填空题9.21 10.21 11.324π+ 12.84122=++-)()(y x 13.1或41-14.],(,0416--∞- ）（ 三、解答题15. （I ）23==c a ,； （II ）2723【解析】试题分析：（I ）利用向量的数量积，化简2=⋅BC BA 得2=B ca cos ，故6=ac ，再结合余弦定理B ac b c a cos 2222+=+，可求得23==c a ,；（II ）由于三边都已经知道，故由余弦定理可以求出C B cos ,cos ，进而求得C B sin ,sin ，再利用两角差的余弦公式，可求得2723=-)cos(C B . 试题解析：（I ）由2=⋅BC BA 得：2=B ca cos ，又31=B cos ，所以6=ac . 由余弦定理，得B ac b c a cos 2222+=+，又3=b ，所以1322922=⨯+=+c a . 解⎩⎨⎧=+=13622c a ac ，得32==c a ,或23==c a ,.因为23==∴>c a c a ,,. （II ）在ABC ∆中，322311122=-=-=)(cos sin B B . 由正弦定理，得92432232=⨯==B b cC sin sin ，又因为c b a >=，所以C 为锐角， 因此979241122=-=-=)(sin cos C C . 于是27239243229731=⨯+⨯=+=-c B C B C B sin sin cos cos )cos( 16. 解：（I ）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，则x ，y 满足的数学关系式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,,,,0090000200500300y x y x y x 该二次元不等式组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,,,,0090025300y x y x y x做出二元一次不等式组所表示的平面区域（II ）设公司的收益为z 元，则目标函数为：y x z 20003000+=考虑y x z 20003000+=，将它变形为z x y 2000123+-=. 这是斜率为23-，随z 变化的一族平行直线，当截距z 20001最大，即z 最大. 又因为y x ,满足约束条件，所以由图可知， 当直线z x y 2000123+-=经过可行域上的点A 时，截距z 20001最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+，90025300y y y x ,得)(200100，A ,代入目标函数得70000020020001003000=⨯+⨯=min z .答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.17.解（I ）M O , 分别为EC EA ,的中点AC OM //∴ ⊄OM 平面ABCD ⊂AC 平面ABCD //OM ∴平面ABCD（II ）取AB 中点H ，连接EH DH ,DB DA = AB DH ⊥∴, 又EB EA = AB EH ⊥∴ EHD ∠∴为二面角E AB D --的平面角又1=DH 2==∠∴DHEDEHD tan（III ）∠=∠==Rt BCD BC DC ，1 2=∴BD22==AB AD ，∵平面⊥ADEF 平面ABCD ，平面 ADEF 平面⊂=BD AD ABCD ,平面ABCD⊥∴BD 平面ABCD BFD ∠∴的余弦值即为所求在BDF Rt ∆中，62==∠=∠BF DF Rt BDF ,, 3662===∠∴BF DF BFD cos BF ∴与平面⊥ADEF 所成角的余弦值为3618.解（1）22211-=≥--n n a S n , 1122---=-=n n n n n a a S S a12-=n n a a 又22111-==a S n , 21=a∴数列}{n a 是以2为首项，公比为2的等比数列（2）由（1）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-为偶数为奇数为偶数为奇数n n n n b n n n n n b n n n n n 1222n 212222)()(log所以n n b b b b T 23212++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+-=-1253122624221211215131311121n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=-12531226242212n n n n设125312262422-++++=n nA ， 则12753222624222+-++++=n nA ， 两式相减得1212753222222222143+--++++=n n nA ， 整理得122986916-⨯+-=n n A ，所以122986916122++⨯+-=-n n n T n n . 19.（I ）证明：)(23211≥=+-+n a a a n n n ，))((2211≥-=-∴-+n a a a a n n n n .0212≠=-a a ，)(201≥≠-∴-n a a n n ，)(2211≥=--∴-+n a a a a n n nn .∴数列}{n n a a -+1是首项、公比均为2的等比数列（II ）解：}{n n a a -+1 是等比数列，首项为2，通项n n n a a 21=-+， 故)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a an n 22222121=++++=- ，当1=n 时，112=a 符合上式，∴数列}{n a 的通项公式为n n a 2=（III ）解：1212-=-==n n n n n a b a , ，12112112122111---=--=∴+++n n n n n n n n b b a ))(( ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+12112112112112112113221n n n S故12111--=+n n S若*∈∃N n ,使m m S n 342-≥成立，由已知，有1342<-m m ，解得141<<-m ，所以m 的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-141, 20.解：（1）当e a =时，()1--=ex e x f x.①212-=--=-=xx e x h x e x g x f x h )(',)()()(.由0>)('x h 得2ln >x ，由0<)('x h 得2ln <x .所以函数)(x h 的单调增区间为),(ln +∞2，单调减区间为)ln ,(2-∞.②e e x f x-=)('当1<x 时，0<)('x f ，所以)(x f 在区间),(1-∞上单调递减； 当1>x 时，0>)('x f ，所以)(x f 在区间),(+∞1上单调递增.x e x g )()(-=2在),(+∞m 上单调递减，值域为))(,(m e --∞2,因为)(x F 的值域为R ，所以m e em e m)-≤--21，即012≤--m e m . ）（*由①可知当0<m 时，0012=>--=)()(h m e m h m，故）（*不成立.因为)(m h 在)ln ,(20上单调递减，在),(ln 12上单调递增，且03100<-==e h h )(,)( 所以当10≤≤m 时，0≤)(m h 恒成立，因此10≤≤m .2当1>m 时，)(x f 在),(1-∞上单调递减，在),(m 1上单调递增，所以函数1--=ex e x f x)(在),(m -∞上的值域为)),([+∞1f ，即),[+∞-1.x e x g )()(-=2在),(+∞m 上单调递减，值域为))(,(m e --∞2.因为()x F 的值域为R ，所以m e )(-≤-21，即211-≤<e m . 综合1°,2°可知，实数m 的取值范围是],[210-e . （2）a e x f x-=)('.若0≤a 时，0>)('x f ，此时()x f 在R 上单调递增.由()()21x f x f =可得21x x =，与121≥-||x x 相矛盾， 同样不能有),[ln ,+∞∈a x x 21.不妨设2021≤<≤x x ，则有2021≤<<≤x a x ln .因为()x f 在)ln ,(a x 1上单调递减，在),(ln 2x a 上单调递增，且()()21x f x f =， 所以当21x x x ≤≤时，()())(21x f x f x f =≤.由2021≤<≤x x ，且121≥-||x x ，可得],[211x x ∈ 故)()()(211x f x f f =≤.又()x f 在]ln ,(a -∞单调递减，且a x ln <≤10，所以()()01f x f ≤， 所以()()01f f ≤，同理()()21f f ≤.即⎩⎨⎧--≤--≤--，221012a e a e a e ,解得112--≤≤-e e a e ， 所以e e a e -≤≤-21.。

天津市耀华中学2018届高三年级第二次月考数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选择中，只有一项是符合题目要求的） 1．i 是虚数单位，复数13i12i-+=+（ ）．A ．55i --B ．1i +C ．55i +D ．1i --【答案】B 【解析】解13i (13i)(12i)55i1i 12i (12i)(12i)5-+-+-+===+++-． 故选B ．2．已知命题：1:p 函数22x x y -=-在R 上为增函数， 2:p 函数22x x y -=+在R 上为减函数，则在命题111:q p p ∨，212:q p p ∧，312:()q p p ⌝∨和412:()q p p ∧⌝中，真命题是（ ）．A ．1q ，3qB ．2q ，3qC ．1q ，4qD ．2q ，4q【答案】C【解析】解：令122x x y -=-，222x x y -=+，(22)ln20x x y -'=+>，故1y 在R 上单调递增，故1p 为真命题，2(22)ln2x x y -'=-，当(,0)x ∈-∞时，20y '<，2y 单调递减，当(0,)x ∈+∞时，20y '>，2y 单调递增，故2p 为假命题，故111:q p p ∨为真命题， 212:q p p ∧为假命题，312:()q p p ⌝∨为假命题，412:()q p p ∧⌝为真命题．故选C ．3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是（ ）．A ．3?n >B ．5?n >C ．7?n >D ．9?n >【答案】C【解析】解：框图首先赋值0s =，1n =，执行011s =+=，123n =+=， 判断框图中的条件不满足，执行134s =+=，325n =+=， 判断框图中的条件不满足，执行459s =+=，527n =+=， 判断框图中的条件不满足，执行9716s =+=，729n =+=， 此时判断框图中的条件不满足，执行“是”路径，输出结果为16． 故选C ．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．侧视图俯视图A ．18πB ．36πC ．72πD ．144π【答案】B【解析】解：根据三视图，可得出该几何体为一个球体的18，其中半径6r =，所以314π636π83V =⋅⋅=．故选B ．5．在ABC △中，如果边a ，b ，c 满足1()2a b c +≤，则A ∠（ ）．A ．一定是锐角B ．一定是钝角C ．一定是直角D ．以上情况都有可能 【答案】A【解析】解：已知不等式两边平方得：22()4b c a +≤，利用余弦定理得：22222222()3()26214cos 22882b c b c b c a b c bc bc bc A bc bc bc bc ++-+-+-===≥≥，∵A ∠为三角形的内角，∴060A <∠<︒，即A ∠一定是锐角．故选A ．6．设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）．A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>【答案】D【解析】解：33log 61log 2a ==+，55log 101log 2b ==+，77log 141log 2c ==+， ∵357log 2log 2log 2>>， ∴a b c >>． 故选D ．7．平面内，定点A ，B ，C ，D 满足||||||2DA DB DC ===，且2D AD B D BD C D CD A ⋅=⋅=⋅=-，动点P ，M 满足||1AP =，PM MC =，则2||BM 的最大值为（ ）．ABC ．434D ．494【答案】D【解析】解：由题可知||||||DA DB DC ==，则D 到A ，B ，C 三点的距离相等，D 是ABC △的外心，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，变形可得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=-=⋅= ， 所以DB AC ⊥，同理可得DA BC ⊥，DC AB ⊥， 所以D 是ABC △的垂心， 所以ABC △的外心与垂心重合，所以ABC △是正三角形，且D 是ABC△的中心，1||||cos ||||22DA DB DA DB ADB DA DB ⎛⎫⋅=∠=⋅-=- ⎪⎝⎭ ，解得||2DA = ，所以ABC △的边长为，如图，以A 为坐标原点建立直角坐标系：则(3,B，C =，(2,0)D ，||1AP =，可设(cos ,sin )P θθ，其中[0,2π]θ∈，而PM MC = ，即M 是PC的中点，则3cos 2M θ⎛+ ⎝⎭，222π3712sin cos 33712496||2444BM θθ⎛⎫+- ⎪-+⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭⎝⎭≤， 当2π3θ=时，2||BM 取得最大值494．故选D ．8．若函数3()3f x x x =-在区间2(12,)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）． A．(1-B ．(1,4)-C ．(1,2]-D ．(1,2)-【答案】C【解析】解：对函数()f x 进行求导，得2()33f x x '=-+，当11x -<<，()0f x '>， 当1x <-或1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在区间(,1)-∞-上单调递减， 在区间(1,1)-上单调递增， 在区间(1,)+∞上单调递减，在1x =-处函数()f x 取得极小值2-，因为函数在2(12,)a a -端点处的函数值无法取到，所以区间2(12,)a a -内必存在极小值点1x =-，且此极小值点为最小值， 因此2121a a -<-<，解得1a -<又因为(2)2f =-，即函数()f x 在2x =时的函数值与1x =-处的极小值相同， 为了保证在区间2(12,)a a -上最小值在1x =-取到， 所以2a ≤，综上12a -<≤． 故选C ．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．若集合{}||21|3A x x =-<，2103x B x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = __________．【答案】1|12x x -<<-【解析】解：因为集合||21|3A x x =-<，2103x B xx+=<-， 所以，集合|12A x x =-<<，1{|2B x x =<-或3}x >，∴1|12A B x x =-<<- ．10．曲线1y x =与直线y x =，2x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】3ln 22-【解析】解：利用记分方法求所围成图形的面积211d S x x x=-⎰，221113ln |2ln2ln2222x x -=--=-．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为__________．【答案】221927x y -=【解析】解：因为渐近线方程为y =，所以ba，抛物线224y x =的准线方程为6x =-，因此双曲线的一个焦点为(6,0)-，其半焦距6c =，由双曲线的性质22c a b 2=+， 所以29a =，227b =，故方程为221927x y -=．12．在极坐标系中，设P 是直线:(cos sin )4l ρθθ+=上任意一点，Q 是圆2:4cos 3C ρρθ=-上任意一点，则||PQ 的最小值为__________．1【解析】解：分析试题：化为直角坐标方程是:40l x y +-=，22:(2)1C x y -+=，则圆心C到直线l 的距离为d所以min ||1PQ ．13．已知等差数列{}n a ，若24236n a a a a a +++= ，132135n a a a a a -+++= ，且2200n S =，则公差d =__________． 【答案】0或6【解析】解：若24236n a a a a a +++= ①， 132135n a a a a a -+++= ②，②-①得，3nd a d =．（1）若0d =时，显然0n a >，则2361100a a a ⋅==，所以110a =，212002n S n a ==⋅，得10n =为整数，所以成立． （2）若0d ≠，则3n a =，所以56()200n a a ⋅+=，又212200()n n S n a a ==⋅+， ∴5612n a a a a +=+， ∴210n =，5n =，所以35a =，10355()200S a a =+=，得835a =， ∴8365a a d -==， 综上，0d =或6．14．两正数a ，b 满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为__________．【解析】解：22222222222()11(1)(1)1a b ab a a b b ab a b a ba b a b a b a b +++++++==+++++++， ∵4a b +=， ∴原式224(1)4(12)()2116(1)16ab ab ab ab ab +-+==-++-+，令ab t =，其中242a b ab t +⎛⎫== ⎪⎝⎭≤，则原式224(2)116164(2)t t t t +==+++ 21444124(2)t t t t =++-++1(2)4(2)204(2)t t t =+-+++125142t t =++-+，∵2542t t +++≥当且仅当2542t t +=+时，即2t =±时，取等号，∴原式，∴2211a ba b +++．三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）设函数2()2cos sin2()f x x x a a =++∈R ． （1）函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．（2）当π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为2，求a 的值，并求出()()y f x x =∈R 的对称轴方程．【答案】见解析．【解析】解：（1）2()2cos sin 2f x x x a =++1cos 2sin 2x x a =+++π214x a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期2π2ππ2T ω===， 且当πππ2π22π+()242k x k k -+∈Z ≤≤为()f x 的单调递增，即3πππ,π()88x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦Z 为()f x 的单调递增区间．（2）当π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时ππ7π24412x +≤≤，所以max ()121f x a a +=⇒=，ππππ2π+()4228k x k x k +=⇒=+∈Z 为()f x 的对称轴．16．（本小题满分13分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为23和12，且各株大树是否成活互不影响，求移栽的4株大树中： （1）两种大树各成活1株的概率． （2）成活的株数ξ的分布列与期望． 【答案】见解析．【解析】解：（1）所求概率为29． （2）ξ分布列：11130123436636393E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==，四棱锥11B AAC D -的体积为3．（1）求证：1AB ∥平面1BC D ．（2）求直线11AC 与平面1BDC 所成角的正弦值． （3）求二面角1C BC D --的正弦值．C 1B 1A 1CB AD【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD ， ∵四边形11BCC B 是平形四边形， ∴点O 为1B C 的中点， ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为ABC △的中位线， ∴OD AB ∥，∵OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， ∴1AB ∥平面1BC D ．（2）解：依题意知，12AB BB ==， ∵1AA ⊥平面ABC ，1AA⊂平面11AAC C ，∴平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =，作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， 设BC a =，在Rt ABC △中，AB BC BE AC ⋅=，∴四棱锥11B AAC D -体积11111()332V AC AD AA BE a =⨯+⋅⋅==，即3BC =， ∴AB ⊥平面11BB C C ，即11A B ⊥平面11BB C C ，以点1B 为坐标原点，分别以11B C ，1B B ，11B A 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系1B xyz -， 则(0,2,0)B ，1(3,0,0)C ，(0,2,2)A ，1(0,0,2)A ，3,2,12D ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1(3,2,0)BC =- ，3,0,12BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =，由10n BC ⋅= 及0n BD ⋅= ，得320302x y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2x =，得3y =，3z =-，故平面1BC D 的一个法向量为(2,3,3)n =-，又11(3,0,2)AC =-，111111cos ,||||AC n AC n AC n ⋅<>=．18．（本小题满分13分）中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆，下顶点(0,1)D -，且离心率e = （1）求椭圆的标准方程．（2）经过点(1,0)M 且斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，在x 轴上是否存在过定点P ，使得M PA M PB ∠=∠恒成立？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213x y +=．（2）(3,0)P ．【解析】解：（1）设椭圆方程为22221x y a b +=，由已知得1b =，c a =， 又222a b c =+， ∴23a =，21b =，即椭圆方程为2213x y +=．（2）假设x 轴上存在顶点(,0)P m ，满足条件，22(,)B x y ， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-，由213(1)x y y k x 2⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 整理得，2222(13)6330k x k x k +-+-=， 2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+， 由M PA M PB ∠=∠得，0PA PB k k +=，即1212110x x y y --+=， 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 即12121212(1)(1)x m x m x m x my y k x k x ----+=+--12122122(1)()20(1)(1)x x m x x mk x x -+++==--，22222336622(1)20131313k k m m m k k k --+⨯-++==-++， 即3m =，(3,0)P ，当直线l 的斜率不存在时，也满足条件， ∴定点P 坐标为(3,0)． 19．（本小题满分14分）已知曲线:4x C y =，:4(*)x n n C y n +=∈N ，从C 上的点(,)n n n Q x y 作x 轴的垂线，交C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点111(,)n n n Q x y +++，设11x =，1n n n a x x +=-，1n n ny b y +=． （1）求数列{}n x 的通项公式．（2）记2352(1)n n n n c b +⨯=⨯-，数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：212155138n n T --⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≤．（3）若已知3122321(*)2222n n d d d d n n ++++=-∈N ，记数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n d 的前n 项和为n B ，试比较n A 与24n B -的大小．【答案】见解析．【解析】解：（1）依题意点n P 的坐标为1(,)n n x y +， ∴1144n n x n x n y +++==， ∴1n n x x n +=+，∴121(1)1(2)(1)12(1)12n n n n n x x n x n n x n ---=+-=+-+-==++++-=+ ． （2）∵2352(41)n n n n c +⨯=⨯-，所以：154554558428488n n n n n n c c +⨯-⨯-=<<⨯-⨯-， ∴当2n ≥时，2112155558888n nn n n c c c c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2212121122155555188838n n n n T c c c ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≤（当1n =时取“=”）． （3）∵1n n n a x x n +=-=，∴(1)2n n n A +=， 由31223212222n n d d d d n ++++=- 知31122312(1)(2)2222n n d d d d n n --++++=- ≥， ∴2(2)2n ndn =≥，12d =，所以可得12,12,2n n n d n +=⎧=⎨⎩≥，于是34123411232222222224n n n n B d d d d ++=++++=++++=+++++- 122(21)42621n n ++-=-=--， ∴2224n n B -=-，当1n =，2时，2(1)2224nn n B n n A -+=>-=，当3n =时，2(1)2224n n n B n n A -+=>-=，当4n ≥时，012112122C C C C C 2C C C n n n n n n n n n n n n ---=+++++-=+++2(1)3(1)222n n n n n n n n -++>++=>，∴当4n ≥时，24n n B A -<．20．（本小题满分14分）设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ．（1）当1a =时，求()f x 在0x =处的切线方程． （2）求()f x 单调区间．（3）若()f x 图像与x 轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，求证：1212x x x x <+．【答案】见解析．【解析】解：（1）()e 1x f x x =-+，(0)2f =因此切点为(0,2)，()e 1x f x '=-，因此0(0)e 10f '=-=，因此切线为2y =．（2）()e x f x a '=-，a ≤0时()f x 在R 单增，0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单减，(ln ,)a +∞单增． （3）由（2）可知0a >，此时()f x 在(,ln )a -∞单减，(ln ,)a +∞单增， 设12x x <而(0)10f a =+>，因此120ln x a x <<<， 本题即证12(1)(1)1x x --<，而e (1)x a x =-， ∴11e 1x x a -=，22e 1x x a -=，即证122e x x a +<，即证122ln x x a +=，设2ln ()()(2ln )e e (2ln )x a x F x f x f a x ax a a x -=--=--+- 2e 22ln (0)e x x a ax a a x =--+>，2()e 20e x x aF x a '=-+≥因此()F x 在(0,)+∞单增，由于120ln x a x <<<，可得1()(ln )0F x F a <=，即11()(2ln )f x f a x <-，∵2x ，12ln ln a x a ->，()f x 在(ln ,)a +∞单增， ∴212ln x a x <-， ∴122ln x x a +<， ∴1212x x x x <+．。

它是偶数，后，0 0 0天津一中 2017‐2018 高三年级三月考数学试卷（理）本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟 考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!一、 选择题：1.已知集合 A {x | 12 x2}, B {x | l n ( x 1 ) 0} ，则 A (C B ) （）2 2RA ．B ． ( 1, 1]2C ．[ 1 ,1)2D ． ( 1,1]1 x2 2.已知 A (2,1), O (0, 0) ，点 M ( x , y ) 满足y 22x y 2，则 z OA A M 的最大值为（）A ． 5B ． 1C ． 0D ．13. 世界数学名题“ 3 x 1 问题”：任取一个自然数，如果 我们就把它除以 2，如果它是奇数，我们就把它乘 3 再加上 1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个 变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算最后结果为 1. 现根据此问题设计一个程序框图如图所示.执行该程序框图，输入的 N 5 ，则输出 i （）A ．3B ．5C ．6D ．74.下列四个命题：①在三角形 ABC 中，“ a b ”是“ sin A sin B ”的充要条件；第 3 题图②“ x R , x 2x 1 0 ”的否定是“ x R , x 2 x 1 0 ”；③若函数 y f ( x 1) 的图象关于 x 1对称，则函数 y f ( x ) 一定是偶函数；④数列 a n 是等差数列，且公差d 0 ，数列{b n}是等比数列，且公比q 1，则 a n ，{bn}均为递增数列.其中正确命题的个数有（）A.1 个B.2个C.3 个D.4 个x2 y25.设F1 、F2 分别是双曲线a2b21(a > 0,b> 0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使得(OP OF2 ) F2 P 0 ，其中O 为坐标原点，且PF 1线的离心率为（）2 PF 2 ，则该双曲A．3B 1C．2D．6．如图，网格纸上小正方形的边长为１，粗实数与虚线画出的是某四面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）A．B．C．6 D．7.设定义在R上的函数y f x 满足任意t R 都有f (t 2) 1，且x (0,4]时，f tf xf x ，则f (2016),4 f (2017),2 f (2018) 的大小关系（）xA．2f (2018) f (2016) 4 f (2017) B．2f (2018) f (2016) 4 f (2017)C．4f (2017) 2f (2018) f (2016) D．4f (2017) 2f (2018) f (2016)1 |x m|( 2), x 28. 已知函数f (x) mx, x 2(m 2) .若对任意x1[2, ) ，总存在4x 2 16x2( ,2) ，使得f (x1) f (x2) ，则实数m 的取值范围是（）A.[2,4]B.[3,4)C. [3,4]D. [2,4)2等分点，则 .二．填空题：9. 若复数 z 为纯虚数，且z 1 i（ i 为虚数单位），则 z = .210. 曲线 C 1 的极坐标方程 cos sin ，曲线 C 的参数方程为 x 3 t y 1 t，以极点为原点，极轴为 x 轴 正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 1 上的点与曲线 C 2 上的点最近的距离 为.11. (2 x 1)( 12 x )6 的展开式中含 x 7 的项的系数是.x12. 在 ABC 中，若| AB AC | | AB AC |, AB 2, AC 3, E , F 分别为 BC 边上的三AE AFa , ab 13.定义一种运算 a b b , a b，若 f x 2 x x 24 x 3 ，当 g x f x m有 5 个不同的零点时，则实数 m 的取值范围是 .14.设二次函数 f (x ) ax 2 bx c 的导函数为 f ( x ) ，若对任意 x R ，不等式b 2 f ( x ) f ( x ) 恒成立，则a 2 2c 2的最大值 .三．解答题：15.在 ABC 中，角 A , B ,C 、所对的边分别为 a , b , c ，已知 A，且23 s in A cos B 1b sin 2 A 3 s in C .2（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）若 A2，求 ABC 周长的最大值. 316. 一盒中装有9 张各写有一个数字的卡片，其中4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是3，从盒中任取 3 张卡片.（Ⅰ）求所取3 张卡片上的数字完全相同的概率;（Ⅱ）X 表示所取3 张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望.（注：若三个数a,b,c 满足a b c ，则称b 为这三个数的中位数）.17.如图所示，三棱柱ABC A1B1C1中，已知AB 侧面BB1C1C, AB BC 1,BB12, BCC160 .（I）求证：BC1 平面ABC ；（II）E 是棱长CC1 上的一点，若二面角A B1E B 的正弦值为1 ，求CE 的长.218. 数列{a n } 的前项和为 S n ，若 a 1 3, ， S n 和 S n 1 满足等式 S n 1 （I ）求 S 2 的值.（II ）求数列{a n } 的通项公式 ；n 1 nS nn 1 .（III ）若数列{b n } 满足 b n a n 2 an ，求数列{b }的前 n 项和.x 2 y 2 19. 已知椭圆 C 1 : a 2 b 2 P 作圆 2 2 21(a b 0) 的离心率为, P ( 2, 0) 是它的一个顶点，过点 2C 2 : x y r 的切线 PT ,T 为切点，且 PT（I ）求椭圆 C 1 及圆 C 2 的方程；（II ）过点 P 作互相垂直的两条直线 l 1 , l 2 ，其中 l 1 与椭圆的另一交点为 D ， l 2 与圆交于A ,B 两点，求 ABD 面积的最大值.20. 已知函数 f (x ) a (2 x )e x， g (x ) (x 1) 2，（I ）若曲线 y g ( x ) 的一条切线经过点 M (0, 3) 求这条切线的方程.（II ）若关于 x 的方程 f (x ) g ( x ) 有两个不相等的实数根 x 1，x 2。

2021-2021学年天津一中高三〔下〕第二次月考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一.选择题：〔共40分，每题5分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〕1．〔5分〕〔2021•蓝山县模拟〕计算复数〔1﹣i〕2﹣等于〔〕A．0B．2C．4i D．﹣4i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数代数形式的混合运算，吧要求的式子化为﹣2i﹣，进一步化简求得结果．解答：解：复数〔1﹣i〕2 ﹣=﹣2i﹣=﹣2i﹣=﹣4i，应选：D．点评：此题主要考查复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，属于根底题．2．〔5分〕〔2021•山东〕一空间几何体的三视图如以下列图，那么该几何体的体积为〔〕A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+考由三视图求面积、体积．点：专题：计算题．分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加既得组合体的体积．解答：解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2π+应选C点评：此题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据复原出实物图的数据，再根据相关的公式求外表积与体积，此题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规那么是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等〞．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．3．〔5分〕极坐标方程ρ=cosθ和参数方程〔t为参数〕所表示的图形分别是〔〕A．圆、直线B．直线、圆C．圆、圆D．直线、直线考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：极坐标方程ρ=cosθ 化为直角坐标方程为，表示一个圆，参数方程〔t为参数〕，消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，由此得出结论．解答：解：极坐标方程ρ=cosθ 即ρ2=ρcosθ，化为直角坐标方程为 x2+y2=x，即，表示一个圆．参数方程〔t为参数〕，消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，应选A．点评：此题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，直线的方程特征、圆的标准方程，属于根底题．4．〔5分〕假设△ABC的三个内角成等差数列，三边成等比数列，那么△ABC是〔〕A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：先确定三角形必有一内角为60°，再根据对应三边成等比数列，结合余弦定理，即可求得结论．解答：解：由题意不妨设A，B，C成等差数列那么2B=A+C∵A+B+C=π∴B=，A+C=∵a，b，c成等比数列∴b2=ac，∵b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac∴a2+c2﹣ac=ac∴〔a﹣c〕2=0∴a=c∵B=60°，∴三角形为等边三角形，应选C．点评：此题考查等差数列与等比数列，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．5．〔5分〕〔2021•汕头一模〕在△ABC中，tanA是以﹣4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，那么该三角形为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形考点：等比数列的通项公式；两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：首先，由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合可得tanA=2，tanB=3，然后利用两角和的正切公式可求出tan〔A+B〕=﹣1，从而求出∠C，再结合题意确定A、B的范围，从而确定△ABC的形状．解答：解：由题意可得，tanA==2，tanB==3，故tan〔A+B〕==﹣1，∵0＜A+B＜π，∴A+B=，∴∠C=；又∵tanA＞0，tanB＞0，0＜A＜π，0＜B＜π，∴0＜A＜，0＜B＜，故△ABC为锐角三角形．应选A．点评：此题通过解三角形问题，考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，综合性较强，难度中等．6．〔5分〕α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α〞是“m⊆β〞的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β〞⇒“m∥α〞，反之，假设“m∥α〞，那么“m⊆β〞不一定成立．由此能求出结果．解答：解：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β〞⇒“m∥α〞，反之，假设“m∥α〞，那么“m⊆β〞不一定成立．∴“m∥α〞是“m⊆β〞的必要非充分条件．应选B．点评：此题考查平面的性质定理及其推论，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答．7．〔5分〕函数f〔x〕=sin2x﹣2sin2x，〔0≤x≤〕那么函数f〔x〕的最小值为〔〕A．1B．﹣2 C．D．﹣考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专计算题；三角函数的图像与性质．题：分析：先利用二倍角公式、辅助角公式对函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求函数的最小值解答：解：∵f〔x〕=sin2x﹣2sin2x，==2sin〔2x+〕﹣1∵0≤x≤∴∴∴﹣2≤f〔x〕≤1那么函数f〔x〕的最小值为﹣2 应选B点评：此题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用及正弦函数性质的简单应用，属于根底试题8．〔5分〕函数，假设方程f〔x〕=x+a恰有两个不等的实根，那么a的取值范围为〔〕A．〔﹣∞，0〕B．[0，1〕C．〔﹣∞，1〕D．[0，+∞〕考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：由题意可得f〔x〕的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，结合图象，求出a的取值范围．解答：解：由题意可得f〔x〕的图象和函数y=x+a 有两个不同的交点，如以下列图：故有a＜1，应选C．点评：此题考查根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．二.填空题：〔共30分，每题5分〕9．〔5分〕〔2021•青浦区二模〕[文科]非负实数x、y满足，那么x+3y的最大值为9 ．考点：简单线性规划；简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过点A 〔0，3〕时，z最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域∵直线z=x+3y过点A〔0，3〕时，z最小值是9，故答案为9．点评：此题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于根底题．10．〔5分〕A〔，0〕，B〔0，1〕，坐标原点O在直线AB上的射影为点C，那么= ．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由中A〔，0〕，B〔0，1〕可求出直线AB的方程，结合坐标原点O在直线AB上的射影为点C，即OC⊥AB可求出直线OC的方程，进而得到点C即向量的坐标，代入向量数量积公式，可得答案．解答：解：∵坐标原点O在直线AB上的射影点为C∴直线OC⊥AB由A〔，0〕，B〔0，1〕可得，直线AB的斜率k AB=，AB的方程为y﹣1=〔x﹣〕…①∴k AC=∴OC直线方程为：y=x…②由①②和∴x=，y=∴=〔，〕∴=故答案为：点评：此题考查的知识点是平面向量数量积的运算，直线的方程，直线的交点，其中根据，求出点C即向量的坐标，是解答的关键．11．〔5分〕〔2021•佛山二模〕〔几何证明选做题〕如图，圆中两条弦AB与CD相交于点F，E 是AB延长线上一点，且，AF：FB：BE=4：2：1，假设CE与圆相切，那么线段CE的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：设出AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF求出k的值，利用切割定理求出CE．解答：解：设AF=4k，BF=2k，BE=k，由DF•FC=AF•BF，得2=8k2，即k=．∴AF=2，BF=1，BE=，AE=；由切割定理得CE2=BE•EA=×=．∴CE=．故答案为：．点评：此题是根底题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，根本知识掌握的情况，是常考题型．12．〔5分〕〔2021•长宁区一模〕直线m、n与平面α，β，给出以下三个命题：①假设m∥α，n∥α，那么m∥n；②假设m∥α，n⊥α，那么n⊥m；③假设m⊥α，m∥β，那么α⊥β．其中真命题的个数是2个．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题．分析：分别加以判断：假设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，那么m∥α，n∥α，但m不平行于n，故①不正确；假设m∥α，那么在α内可以找到直线m′，使m′∥m，再结合n⊥α，可得n⊥m′，最终得到n⊥m，故②正确；假设m∥β，那么在β内可以找到直线m′，使m′∥m，结合m⊥α，得m′⊥α，β经过α的垂线，所以α⊥β，故③正确．解答：解：对于①：设m、n是平面β内的相交直线，且β∥α，∵β∥α∴m∥α，n∥α，而m不平行于n，故①不正确；对于②：∵m∥α，∴在α内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵n⊥α，m′⊂α∴n⊥m′，结合m′∥m，得到n⊥m，故②正确；对于③：∵m∥β，∴在β内可以找到直线m′，使m′∥m，又∵m⊥α，得m′⊥α，∵β经过α的垂线，∴α⊥β，故③正确．故答案为：2个点评：此题考查了空间两直线、直线与平面位置关系等知识点，属于中档题．熟练掌握直线与平面平行垂直和平面与平面的平行与垂直的判定与性质，是解好此题的关键．13．〔5分〕等差数列{a n}中，a1=1，a7=4，在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3，那么满足b n a26＜1的最小正整数n是 6 ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：在等差数列{a n}中，由a1=1，a7=4求出a3和a26，在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3求出b n，代入b n a26＜1可求最小正整数n．解答：解：在等差数列{an}中，设其公差为d，由a1=1，a7=4，得，所以，，．又在等比数列{b n}中，b1=6，b2=a3=2，所以其公比q=，所以，，由，得：35﹣n＜1，那么n＞5．所以，满足b n a26＜1的最小正整数n是6．故答案为6．点评：此题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了指数不等式的解法，是根底题．14．〔5分〕设，那么m与n的大小关系为m＞n ．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：根据 e x，lnx的导数等于e x，，得到原函数是 e x，lnx，写出当自变量取两个不同的值时，对应的函数值，让两个数字相减进而比较即可得到结果．解答：解：∵e x，lnx的导数等于e x，，∴m=e x|=e1﹣e0=e﹣1；n=lnx|=lne﹣ln1=1．而e﹣1＞1∴m＞n．故答案为：m＞n．点评：此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于根底题．三.解答题：15．〔13分〕〔2021•孝感模拟〕在△ABC中，．〔1〕求的值；〔2〕当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．考点：向量的模；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：〔1〕．变形出的表达式，求值即可．〔2〕由面积公式表示出△ABC的面积，根据其形式用根本不等式求出等号成立的条件，即可．解答：解：〔1〕．得，﹣2•=4，故=2•+4，又•═2所以=8〔2〕由面积公式S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC又•=|AB||AC|cos∠BAC=2∴cos∠BAC=∴sin∠BAC═=∴S△ABC=|AB||AC|sin∠BAC=≤等号当且仅当|AB|=|AC|时成立，又由〔1〕|AB|=|AC|=2时，三角形面积取到最大值．cos∠BAC=，即∠BAC=60°答：当△ABC的面积最大时，求∠A的大小是600．点评：考查向量的夹角公式、三角形中同角三角函数的根本关系以及根本不等式求最值，综合性与知识性较强．16．〔13分〕某机构向民间招募防爆犬，首先进行入围测试，方案考察三个工程：体能，嗅觉和反响．这三个工程中只要有两个通过测试，就可以入围．某训犬基地有4只优质犬参加测试，它们通过体能测试的概率都是，通过嗅觉测试的概率都是，通过反响测试的概率都是．求：〔1〕每只优质犬能够入围的概率；〔2〕假设每入围1只犬给基地记10分，设基地的得分为随机变量ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：〔1〕利用相互独立事件的概率计算公式和互斥事件的概率计算公式即可得出；〔2〕利用〔1〕求出优质犬入围的只数的随机变量的数学期望，进而求出得分ξ的数学期望．解答：解：〔1〕每只优质犬入围概率相等：假设一只优质犬能够入围，那么包括三项测试都通过或其中的任意两项通过两类：因此每只优质犬能够入围的概率：P=++=．〔2〕设随机变量η表示优质犬入围的只数，那么η的取值为0，1，2，3，4．那么服从η～B〔4，〕，ξ=10η．∴Eη=，Eξ=10Eη=点评：熟练掌握相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率公式、离散型随机变量的期望计算公式是解题的关键．17．〔13分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．〔1〕求证：PB⊥DM；〔2〕求CD与平面ADMN所成角的正弦值；〔3〕在棱PD上是否存在点E，PE：ED=λ，使得二面角C﹣AN﹣E的平面角为60°．存在求出λ值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专空间位置关系与距离；空间角．题：分析：〔1〕建立空间直角坐标系，利用⇔即可证明；〔2〕先求出平面ADMN的法向量，利用斜线段CD的方向向量与平面的法向量的夹角即可得出；〔3〕利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．解答：解：〔1〕如图以A为原点建立空间直角坐标系，不妨设|AB|=2．那么A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔2，1，0〕，D〔0，2，0〕，M〔1，，1〕，N〔1，0，1〕，P〔0，0，2〕，∵=〔2，0，﹣2〕，=〔1，﹣，1〕，∴=0，∴PB⊥DM．〔2〕由〔1〕可得：=〔﹣2，1，0〕，=〔0，2，0〕，=〔1，0，1〕．设平面ADMN法向量=〔x，y，z〕，那么得到，令x=1，那么z=﹣1，y=0，∴=〔1，0，﹣1〕．设CD与平面ADMN所成角α，那么．〔3〕假设在棱PD上存在点E〔0，m，2﹣m〕，满足条件．设平面ACN法向量=〔x，y，z〕，由，，，可得，令x=1，那么y=﹣2，z=﹣1，∴=〔1，﹣2，﹣1〕．设平面AEN的法向量=〔x0，y0，z0〕，由，，，可得，令x0=1，那么z0=﹣1，，∴．∴cos60°=，得，化为，化为23m2﹣52m+20=0，又m∈[0，2]．解得，满足m∈[0，2]．∴λ=PE：ED=：=m：〔2﹣m〕=．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系，利用⇔、斜线的方向向量与平面的法向量的夹角求线面角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键．18．〔13分〕数列{a n}满足4a1=1，a n﹣1=[〔﹣1〕n a n﹣1﹣2]a n〔n≥2〕，〔1〕试判断数列{+〔﹣1〕n}是否为等比数列，并证明；〔2〕设a n2∙b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比关系确实定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：〔1〕由a n﹣1=[〔﹣1〕n a n﹣1﹣2]a n〔n≥2〕，两边取倒数，整理即可证明〔2〕由〔1〕及a n2∙b n=1可求b n，结合数列的通项的特点，考虑利用分组求和，结合等比数列与等差数列的求和公式即可求解解答：解：〔1〕数列{+〔﹣1〕n}是等比数列，证明如下由=即∵a1=∴=3另：∴是首项为3公比为﹣2的等比数列那么〔2〕由∴∴+6〔20+2+22+...+2n﹣1〕+〔1+1+ (1)∴=3•4n+6•2n+n﹣9〔n∈N*〕点评：此题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，等比数列的通项公式及求和公式的应用．19．〔13分〕设n∈N*，不等式组所表示的平面区域为D n，把D n内的整点〔横、纵坐标均为整数的点〕按其到原点的距离从近到远排列成点列：〔x1，y1〕，〔x2，y2〕，…，〔x n，y n〕〔1〕求〔x n，y n〕；〔2〕设数列{a n}满足，求证：n≥2时，；〔3〕在〔2〕的条件下，比较与4的大小．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：〔1〕由﹣nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1，从而x=1与y=﹣nx+2n 的交点为〔1，n〕，即所以D n内的整点〔x n，y n〕为〔1，n〕〔2〕先化简为，两式相减即可证得〔3〕先猜想：n∈N*时，，再利用〔2〕的结论可以证明．解答：解：〔1〕由﹣nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1又x=1与y=﹣nx+2n的交点为〔1，n〕，所以D n内的整点，按由近到远排列为：〔1，1〕，〔1，2〕，…，〔1，n〕﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔4分〕〔2〕证明：n≥2时，所以，两式相减得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔9分〕〔3〕n=1时，，n=2时，可猜想：n∈N*时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔11分〕事实上n≥3时，由〔2〕知所以====﹣﹣﹣﹣﹣〔15分〕点评：此题以线性规划为载体，考查数列、不等式的证明，应注意充分挖掘题目的条件，合理转化20．〔15分〕设函数f〔x〕=ax﹣〔a+1〕ln〔x+1〕，其中a＞0．〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕当x＞0时，证明不等式：；〔Ⅲ〕设f〔x〕的最小值为g〔a〕，证明不等式：﹣．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：〔Ⅰ〕由f〔x〕=ax﹣〔a+1〕ln〔x+1〕，其中a＞0，知函数f〔x〕的定义域为〔﹣1，+∞〕，且，由f′〔x〕=0，得x=．列表讨论，能求出f〔x〕的单调区间．〔Ⅱ〕设∅〔x〕=ln〔x+1〕﹣，x∈[0，+∞〕，那么∅′〔x〕==．由此能够证明．〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，，将代入，得，由此能够证明﹣．解答：〔Ⅰ〕解：∵f〔x〕=ax﹣〔a+1〕ln〔x+1〕，其中a＞0，∴函数f〔x〕的定义域为〔﹣1，+∞〕，且，由f′〔x〕=0，得x=．当x变化时，f′〔x〕，f〔x〕的变化情况如下表：x〔﹣1，〕〔，+∞〕f′〔x〕﹣ 0 +f〔x〕↓极小值↑由上表知，当x∈〔﹣1，〕时，f′〔x〕＜0，函数f〔x〕在〔﹣1，〕内单调递减；当x∈〔〕时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕在〔〕内单调递增．∴函数f〔x〕的增区间是〔〕，减区间是〔﹣1，〕．〔Ⅱ〕证明：设∅〔x〕=ln〔x+1〕﹣，x∈[0，+∞〕，对∅〔x〕求导，得∅′〔x〕==．当x≥0时，∅′〔x〕≥0，所以∅〔x〕在[0，+∞〕内是增函数．∴∅〔x〕＞∅〔0〕=0，即ln〔x+1〕﹣＞0，∴．同理可证ln〔x+1〕＜x，∴．〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，，将代入，得，即1，∴，故﹣．点评：此题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力，考查运算推导能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的综合应用．。

耀华中学2018届高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.在复平面内，复数2334ii-+-(i是虚数单位)所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】试题分析：由题23(23)(34)188134(34)(34)9162525i i i iii i i-+-++-+===-+--++，对应点坐标为：81(,)2525-为第二象限的点。

考点：复数的运用及几何意义。

.2.已知x，y满足线性约束条件53x yx yx-≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z＝2x＋4y的最小值是( )A. 38B. 5C. －6D. －10 【答案】C【解析】【分析】作出可行域，由z＝2x＋4y可得：124zy x=-+，作直线12y x=-，平移直线，当直线经过可行域且在y轴上截距最小时，z有最小值.【详解】作出可行域，如图所示，平移目标函数经过点A (3，－3)时，z ＝2x ＋4y 取得最小值－6， 故选C.【点睛】本题主要考查线性规划及应用，意在考查学生数形结合的能力，属于中档题． 3.“12x y >⎧⎨>⎩”是“x＋y>3”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 当12x y >⎧⎨>⎩时，根据不等式的性质可知x ＋y>3成立，反之不成立，可知结论. 【详解】若x >1，y >2，则x ＋y >3，故充分性成立，反之，若x ＝0，y ＝5满足x ＋y >3，显然不满足x >1且y >2，故必要性不成立，∴12x y >⎧⎨>⎩是x ＋y >3的充分不必要条件，故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质和充要条件，意在考查学生的逻辑思维能力，属于中档题． 4.某程序框图如图所示，运行该程序输出的k 值是( )A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D【解析】【分析】根据框图，分析循环结构，模拟运算过程即可.【详解】第1次循环：S＝99，k＝1；第2次循环：S＝96，k＝2；第3次循环：S＝87，k＝3，第4次循环：S＝60，k＝4；第5次循环：S＝－21，k＝5不满足条件，退出循环，输出k＝5，故选D.【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，意在考查学生读图，识图能力,属于中档题．5.已知双曲线22221x ya b-=(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )3525【答案】D【解析】【分析】根据渐近线与抛物线准线交点坐标，可知P的值，写出抛物线焦点坐标，可求双曲线中a，再结合双曲线渐近线即可求出b,从而求出焦距.【详解】∵双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点(－2，－1)，∴2p-＝－2，即p ＝4， ∴抛物线焦点F (2,0)，又双曲线左顶点(－a,0)到抛物线焦点距离为4， ∴a ＝2，又点(－2，－1)在双曲线的渐近线上， ∴渐近线方程为y ＝12x ， ∵a ＝2，b ＝1，∴c 5=，∴双曲线的焦距为2c ＝5 D.【点睛】本题主要考查双曲线，抛物线的标准方程和几何性质，意在考查学生的运算求解能力,属于中档题． 6.对于任意x∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≥1时，函数f(x)＝lnx ，若a ＝f(2－0.3)，b ＝f(log 3π)，c ＝f(，则a ，b ，c 大小关系是( )A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a【答案】A 【解析】 【分析】由2f x f x -=-（）（） 判断函数f x （）关于10（，）点对称，根据1x ≥时f x lnx =（） 是单调增函数，判断f x （）在定义域R 上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意x R ∈，函数f x （）满足2f x f x -=-（）（）， ∴函数f x （）关于10（，）点对称，当1x ≥ 时，f x lnx =（）是单调增函数， ∴f x （）在定义域R 上是单调增函数；由0.33021log π-＜＜＜，∴0.332f f f log （（）＜（），π- ∴b ＞a ＞c ． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．7.已知函数f(x)＝sin ωx ωx(ω>0)，若在区间(0，π)上有三个不同的x 使得f(x)＝1，则ω的取值范围是( )A. 523,26⎛⎤⎥⎝⎦ B. 523,26⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 316,29⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 316,29⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简函数f(x)，要使在(0，π)上有三个不同的x 使得f (x )＝1，即使得sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12成立，需满足：3π－6π <3π＋ωπ≤4π＋6π即可. 【详解】f (x )＝sin ωx 3cos ωx ＝2sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵x ∈(0，π)， ∴ωx ＋3π∈+33ππωπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，要使在(0，π)上有三个不同的x 使得f (x )＝1，即使得sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12成立，需满足： 3π－6π <3π＋ωπ≤4π＋6π，解得52<ω≤236，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象性质，意在考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题．8.已知函数()21,0121,0xx f x x x x x -⎧≥⎪=+⎨⎪++<⎩，函数g(x)＝f(1－x)－kx ＋k －12恰有三个不同的零点，则k 的取值范围是( )A. (－292⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B. (－22，0]∪92⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. (－2，0]∪12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D. (－22，0]∪12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】g(x)＝f(1－x)－kx ＋k －12恰有三个不同的零点，即方程f (1－x )＝k (x －1)＋12恰有3个不同实根，令1－x ＝t ，则方程f(t)＝－kt＋12恰有三个不同实根，即函数y＝f(x)与y＝－kx＋12的图象恰有3个不同交点，数形结合即可求解.【详解】∵g(x)＝f(1－x)－kx＋k－12恰有3个不同零点，∴方程f(1－x)＝k(x－1)＋12恰有3个不同实根，令1－x＝t，则方程f(t)＝－kt＋12恰有三个不同实根，即函数y＝f(x)与y＝－kx＋12的图象恰有3个不同交点，画出函数图象如下图：当－k＝0即k＝0时有三个交点，当y＝－kx＋12与f(x)＝x2＋2x＋1(x<0)相切时可求得k＝－22，当y＝－kx＋12与f(x)＝11xx-+，x≥0相切时可求得k＝12，故由图可得－22k≤0或k＝12时函数y＝f(x)与y＝－kx＋12的图象恰有3个不同交点，即函数g(x)＝f(1－x)－kx＋k－12恰有3个不同零点，故选D.【点睛】本题主要考查分段函数的图象，性质和函数零点，意在考查学生的数形结合能力和转化、化归能力，属于中档题．二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)9.某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为________．【答案】78【解析】【分析】由题意求出高三学生人数，再根据高一学生的抽样比计算高三抽样人数即可.【详解】设学校有高三学生x人，则高二学生x＋30人，∴x＋(x＋30)＋480＝1290，解得x＝390人，该样本中的高三人数为96480×390＝78人．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题．10.已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|<1}，则A∩B＝________. 【答案】(]0,1【解析】 【分析】化简集合A ，B ，根据集合的交集运算即可.【详解】A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}＝{x |－3≤x ≤1},B ＝{x ||x －1|<1}＝{x |0<x <2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生基本的计算能力，属于中档题．11.已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A 在圆ρ＝2cos θ＋2sin θ上，点B 在直线31x ty t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)上，则|AB|的最小值为________．【解析】 【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，将参数方程化为普通方程，转化为圆上的点到直线的最值即可得解.【详解】由ρ＝2cos θ＋2sin θ得x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2，故圆心M (1,1)，半径r，由31x ty t=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)得x －y －4＝0， ∵A 在圆M 上，B 在直线x －y －4＝0上， ∴|AB |min ＝d M －r ()222211-=+-【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，意在考查学生数形结合的能力，属于中档题．12.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为________．【答案】32π 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球,与以俯视图为底面,以4为高的直三棱柱的外接球相同,如图所示，由底面边长为4,高为2,故底面为等腰直角三角形,可得底面外接圆的半径为:2r =,由棱柱高为4,可得球心距为2,故外接球的半径为:222222R =+=故外接球的表面积2432S R ππ==,故答案为32π.考点：1、几何体的三视图及空间想象能力；2、几何体外接球的性质及求表面积公式.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图及空间想象能力、几何体外接球的性质及求表面积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.13.如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=8，△ACD 是等边三角形，则AC BD ⋅的值为_______________．【答案】14.【解析】 【分析】根据三角形的边角关系，求得各个边长和角度；根据向量数量积求得AC BD ⋅的值。