合肥市2019届高三调研性检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合{}12M x x =-<<，{}13N x x =≤≤，则M N =
(A)(]1,3- (B)(]1,2- (C)[)1,2 (D)(]2,3 (2)已知复数122i
z i
-=
-(i 为虚数单位)，则||z = (A)15 (B)35 (C)4
5
(D)1
(3)右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.已知图中直角三角形两条直角边的长分别为2和3.若从右图内随机取一点，则该点取自
阴影区域的概率为
(A)23 (B)8
9
(C)1213 (D)2425
(4)已知实数x y ，满足条件00220x y x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =-的取值范围是
(A)26 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， (B)20 3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， (C)[)6 -+∞，
(D)[)0 +∞， (5)已知直线:50l x y +-=与圆222:(2)(1)(0)C x y r r -+-=>相交所得的
弦长
为22，则圆C 的半径r =
(A)2 (B)2 (C)22 (D)4
(6)执行右面的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中的条件是 (A)4?i < (B)5?i < (C)6?i < (D)7?i <
(7)已知tan 3α=，则sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫
-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值为
(A)310 (B)310- (C)3
5
(D)35-
(8)已知双曲线22
22:1(00)x y M a b a b
-=>>，的焦距为4，两条渐近线
的夹角为60o ，则双曲线M 的标准方程是
(A)2213x y -= (B)2213x y -=或22
13y x -=
(C)221124x y -= (D)221124x y -=或22
1412
x y -=
(9)已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，则该几何体的表面积等于
(A)488π+ (B)484π+ (C)648π+ (D)644π+
(10)若将函数()()()2cos 1cos 1cos f x x x x =+-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递减区间为
(A)()2k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， (B)() 2k k k Z πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，
(C)()11 844k k k Z πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， (D)()1
1 4
84k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
(11)已知函数()2cos x x f x e e x -=++，其中e 为自然对数的底数，则对任意a R ∈，下列不等式一定成立的
是
(A)()()212f a f a +≥ (B)()()212f a f a +≤ (C)()()211f a f a +≥+ (D)()()21f a f a +≤ (12)在ABC ∆中，90o CAB ∠=，1AC =，3AB =.将ABC ∆绕BC 旋转至另一位置P (点A 转到点P )，
如图，D 为BC 的中点，E 为PC 的中点. 若3
2
AE =，则AB 与平面
ADE 所成角的正弦值是
(A)38 (B)36 (C)34
(D)3
3
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上相应的位置.
(13)若a 与b 的夹角为135o ，1a =，2b =，则a b +=__________.
(14)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*12n n S S n N +=∈，则10a = .
(15)将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入33⨯方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不同列，且不在33⨯方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有___________种.
(16)已知()241x x x a
f x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，，(其中0a <，e 为自然对数的底数)，若
()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦在R 上有三个不同的零点，则a 的取值范围是___________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分10分)
已知等比数列{}n a 各项都是正数，其中3234 a a a a +，，成等差数列，532a =.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)记数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
(18)(本小题满分12分)
已知：在ABC ∆中，a b c ，，分别是角A B C ，，所对的边长，
()0cos cos a b
A C A
+=+.
(Ⅰ)判断ABC ∆的形状；
(Ⅱ)若6
C π
=，62c =-，求ABC ∆的面积.
(19)(本小题满分12分)
统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较.环比是指本期统计数据与上期比较，如2017年7月与2017年6月相比.同比是指本期数据与历史同时期比较，如2017年7月与2016年7月相比.
