最新春季五年制小学奥数四年级三角形等积变形(上)资料

小学奥数精讲：等积变形求面积“三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”．另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。

图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转换成易求面积的图形．利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键．进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。

例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积?例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=31 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积．例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角基本概念例题分析三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少?例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积．练习提高1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米?2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？3、如图，四边形ABCD 是平行四边形，DC ＝CE ，如果△BCE 的面积是15平方厘米，那么梯形ABED 的面积是多少平方厘米？4、正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍，三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？5、如图，在平行四边形ABCD 中，AE ＝ED ，BF ＝FC ，CG ＝GD ，平行四边形ABCD 的面积是阴影三角形EFG 的多少倍？（4）6、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个面积分别是20平方米，25平方米和30平方米，阴影部分的面积是多少平方米？7、如右图，平行四边形ABCD 的面积是240平方厘米，如果平行四边形内任取一点0，连接AO 、BO 、CO 、DO ，三角形AOD 与三角形BOC 的面积和的21，加上三角形AOB 与三角形DOC 的面积和的31，结果是多少?8、图8-17中，三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC的中点，AE的长是ED的2倍，求三角形CDE的面积．9、如图，正方形的边长为10厘米，用一根铁丝弯成直角，把这根铁丝放到正方形上，使直角顶点与正方形的中心O重合，问正方形在直角内部的部分有多大面积？答案：【例题分析】例1． 4例2．三角形ABD=10平方厘米三角形ACE=15平方厘米例3. 13例4. 27【练习提高】1. 22.52. 1203. 454. 三角形DEF=24平方厘米 CF=6厘米5. 4倍6. 37.57. 1008. 59. 25。

奥数-教学教案
授课时间：年月日备课时间年月日年级五课程类别课时学生姓名
授课主题三角形等积变形授课教师
教学目标理解和掌握三角形形状变化但是面积不变
教学
重难点
理解三角形形状变化但是面积不变
教学方法讲练结合
教学过程1、课程导入/错题讲解：
点
拨
教学过程2.知识点讲解
学
习
札
记
教学过程
3、例题分析：
1、如图所示三角形ABC，D为AC上一点，CD=2AD。

问：三角形ABC的面积是三角形
ADB的几倍？方法与技巧
2.如图平行四边形ABCD，E为AB中点，F为DB中点。

已知三角形BEF面积为4平方厘米，问：平行四边形ABCD面积是多少平方厘米？
教学过程4、随堂练习
小
提
本课小结
及下节预告。

小学四年级奥数题三角形的等积变形及答案【三篇】【第一篇】1. 三角形把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.分析分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，然后再把每一个三角形分成一半，得到如下左图所示的图形.分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右图所示的符合条件的图形.2.比较比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.【第二篇】如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积．三角形面积答案：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求．直接找三角形HDC 与三角形AFH 的关系还很难，而且也没有利用"四边形ABCD和四边形DEFG 是正方形"这一条件．我们不妨将它们都补上梯形DEFH 这一块．寻找新得到大三角形CEF 和大直角梯形DEFA 之间的关系．经过验算，可以知道它们的面积是相等的．从而得到三角形 HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米．【第三篇】如下图，BE=2AB，BC=CD。

五年级奥数
等积变形
两个平面图形面积相等,称为这两个图形等积.解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积问题.其中三角形的等积变形的技巧是各种等积变形的核心,都要运用到“等(同)底、等(同)高的两个三角形面积相等”这个基本规则,并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧.
例1：
（1）如左下图,ABCD是直角梯形,两条对角线把梯形分为4个三角形.已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米,求直角梯形ABCD的面积.
（2）如右下图,把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D,把它的另一边AC延长2倍到E,得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的多少倍？
随堂练习1
1、（1）如下图（左）,三角形ABO的面积为9平方厘线,段段BO的长度是OD的3倍,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?
（2）如下图（中）,AE=3AB,BD=2BC,△DBE面积是△ABC面积的几倍？
（3）如下图（右），平行四边形中，A、M、N分别为对应线段的中点，且三角形ABN的面积为15平方厘米，求平行四边形BCDE的面积。

等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。

例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。

例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。

第二十一讲等积变形三角形和平行四边形的关系非常紧密．回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图：除了上面这种情形外，下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、高都相同，所以面积也是平行四边形的一半．（注意：长方形也是平行四边形）底底底底如图，已知平行四边形ABCD 的面积是100平方厘米，E 是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米？「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关系呢？练习1如图，E 是平行四边形ABCD 中的任意一点，已知△AED 与△EBC 的面积和是40平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形OAB 、三角形P AB 、三角形MAB 和三角形NAB ，它们的底相同，都是AB ；高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形的面积是相等的．进一步，我们可以在直线ON 上任取若干个点，这些点分别与A 、B 两点形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的．我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高”．“同底等高”是我们最早碰到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等．利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形．ADAD底AB如图，平行四边形ABCD 的底边AD 长20厘米，高CH 为9厘米；E 是底边BC 上任意的一点，那么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？ 「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变成一个三角形呢？ 练习2如图，平行四边形ABCD 的面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？例题3如图所示，ABFE 和CDEF 都是长方形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米．那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形分别变成一个三角形呢？ 练习3如图，ABCD 和CDEF 都是平行四边形，四边形ABFE 面积为60平方厘米．请问：阴影部分面积是多少平方厘米？在利用同底等高三角形计算面积的题目中，最重要的一步就是去寻找其中的平行线，进 而寻找同底等高．．．．、面积相等．．．．的三角形． BEFDEABD例题4如图，梯形ABCD 中，E 是对角线AC 上的一点，已知DE 和AB 平行，那么与△ADC 面积相等的三角形一共有哪几个？「分析」要找同底等高面积相等的三角形，首先必须找到平行线哦！练习4如图，梯形ABCD 中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？画辅助线是解决几何问题最常用、最重要的方法之一，一条好的辅助线，往往能把无从下手的复杂题目变得非常简单．一般我们习惯把辅助线画成虚线．在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目，在利用同底等高三角形计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线．．．．．去构造、寻找同底等高的三角形进而进行面积转化． 例题5如图，大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米．求阴影部分的面积．「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦！ABCDEADBO如右图，梯形ABCD 中，对角线相交于O 点，由于AD 与BC 平行，那么就有△ABC 与△DBC 同底等高、面积相等，△ABD 与△ACD 同底等高、面积相等．那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？我们观察一下，△ABC 与△BCD 都包含有△OBC ，而△ABC 与△BCD 面积相等，那么就有△ABO 与△CDO 面积相等．我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等”，因为△ABO 与△CDO 恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型”．“蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后，而且，应用蝴蝶模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异常简单． 例题6如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，AB =8，AD =15，四边形EFGO 的面积是多少？「分析」能否应用“蝴蝶模型”，使得三块分离的三角形合并呢？课堂内外蝴蝶定理蝴蝶定理（Butterfly theorem ），是古典欧式平面几何中最精彩的结果之一． 这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开．这个定理最基本的叙述为：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD ，设AD 和BC 分别相交PQ 于点X 和Y ，则M 是XY 的中点．从图中可以看出题目的图形像一只蝴蝶，该定理名字由此而得．实际上，在椭圆中，依然存在蝴蝶定理，把上图“压扁”即可．ABCDOA BC DOEGF这个定理的证法多的不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在高考等考试中时有出现各种变形，有人曾戏称“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花”．混沌论中的“蝴蝶定理”：数学的一门分支是混沌论．混沌理论其实是人们对一系列残酷运动的名词描述：初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别．混沌理论最为人知的表述就是“蝴蝶效应”：一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风．西方流传的一首民谣形象的代表了“蝴蝶效应”：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国．作业1. 如图所示，梯形ABCE 是由正方形ABCD 和等腰直角三角形CDE 构成的，已知等腰直角三角形的斜边是10厘米，那么△BCE 的面积是多少平方厘米？2. 如图，长方形ABCD 的面积为6，平行四边形BECF的面积为多少？ABCEDD3. 如图所示，一个长方形被分成4个不同的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？4. 如图，长方形的长为16，宽为5．阴影三角形的面积和为多少？5. 如图，直角梯形ABCD 中，，，BD 和CD 垂直．那么三角形ABC 的面积是多少？40BD = 30CD =ABC第二十一讲等积变形1.例题1答案：50平方厘米详解：根据图中的辅助线，左边阴影面积为左边平行四边形的一半，右边阴影面积为右边平行四边形的一半，所以阴影总面积等于大平行四边形的一半，为50平方厘米．2.例题2答案：90平方厘米详解：平行四边形面积是180平方厘米．狗牙模型，通过同底等高可以将F拉到A点，把两个三角形合并成一个大三角形，即平行四边形的一半，面积为90平方厘米．3.例题3答案：6平方厘米详解：双层犬牙模型，可以把ABFE中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABFE面积的一半；CDEF中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF面积的一半．所以阴影部分的面积是长方形ABCD面积的一半，即6平方厘米．4.例题4答案：△ABD和△ABE详解：观察图中哪些线段平行，AD平行于BC，AB平行于DE．根据AD平行于BC，可以知道△ADC的面积等于△ABD；根据AB平行于DE，可以知道△ABD的面积等于△ABE．所以与△ADC 面积相等的三角形有△ABD和△ABE．5.例题5答案：50平方厘米；32平方厘米详解：（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为50平方厘米．（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为32平方厘米．6. 例题6 答案：10详解：梯形ADCF 中，阴影CDG 与AFG 面积相等，所以阴影总面积可以转换为△ABD 与四边形OEFG ，其中△ABD 面积为长方形一半60，所以四边形OEFG 面积为706010-=． 7. 练习1答案：40平方厘米详解：平行四边形中任意一点，与四个顶点连线，分成的四个小三角形面积关系：+=+上下左右． 8.练习2答案：50平方厘米详解：单层犬牙模型，通过同底等高可以将阴影部分的面积转化成一个大的三角形．这个三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积是50平方厘米． 9.练习3答案：30平方厘米简答：双层犬牙模型，可以把ABCD 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是ABCD 面积的一半；CDEF 中的阴影面积转化成一个大的三角形，是CDEF 面积的一半．所以阴影部分的面积是平行四边形ABFE 面积的一半，即30平方厘米． 10. 练习4答案：共8个三角形；△ABC 与△DBC 、△ABD 与△ACD 、△ABO 与△CDO简答：这是一个经典的梯形模型，共有三对三角形面积相等．根据AD 平行于BC ，可以知道△ABC 的面积等于△BCD 的面积；△ABD 的面积等于△ACD 的面积．△ABD 和△ACD 有一个共同的△AOD ，所以△ABO 和△OCD 的面积相等，我们称梯形的两翼面积相等． 11. 作业1答案：25平方厘米简答：根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是25平方厘米和50平方厘米．方法一：△BCE 的面积是正方形面积的一半，所以△BCE 的面积是25平方厘米；方法二：连接BD ，△BCE 和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，则△BCE 的面积也是25平方厘米． 12. 作业2答案：6简答：三角形BCF的面积为长方形的一半，同时也是平行四边形的一半，所以平行四边形面积就等于长方形的面积，为6．13.作业3答案：22平方厘米简答：红蓝面积之和等于黄绿面积之和，都是长方形的一半．所以蓝色面积为：2110922+-=平方厘米．14.作业4答案：40简答：“狗牙”模型，阴影部分多个三角形根据同底等高三角形的转化可以转变为一个大三角形，面积为长方形的一半，面积为：165240⨯÷=．15.作业5答案：600简答：△ABC与△BCD同底等高，所以两个三角形面积相等，△BCD底CD长30、高BD长40，面积为30402600⨯÷=．。

本讲主线
1.平行线性质：夹在平行线间的等底三角形
面积相等
面积相等.2.定点A在平行线上的移动并不改变三角形的
面积
面积.【例1】(★★)
如图，BC＝CD,AF∥BE,请比较△ABC、F
E A 如图，BC CD,AF∥BE,请比较△ABC、△BCE、△BCF，△CDF的大小。

1.平行线性质：夹在平行线间的等底三角形面积相等.
2.定点A在平行线上的移动并不改变三角形的面积.
3.同底等高的三角形面积相等.
【例2】(★★★)
如图在梯形如图，在梯形其中面积相等的三角形共有哪几对？
D F
G H
B
C
A C
B
E
1.平行线性质：夹在平行线间的等底三角形面积相等.
2梯形蝴蝶模型：任意等积变形(上)
2.梯形蝴蝶模型：任意一个梯形中，都可以找到三对面积相等的三角形.
A
D
B
C
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第二讲 三角形的等积变形内容概述我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等．②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。

例题精讲【例1】 如右图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线长。

① 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ② 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？分析：因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

于是： 三角形ABD 的面积=12×高÷2=6×高三角形ABC 的面积=（12+4）×高÷2=8×高 三角形ADC 的面积=4×高÷2=2×高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4/3倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。

最新小学奥数三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC 高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．课后练习：1、如图，BDA长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

知识要点三角形的等积变形我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。

但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。

比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。

同时也告诉我们：面积相同三角形有无数多个不同的形状。

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等。

② 若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么ACD BCD S S ∆∆=；反之，如果ACD BCD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。

ACDB等底等高【例 1】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE ∆等积的三角形一共有哪几个三角形？EABDC【分析】 3个，AEC ∆、BED ∆、DEC ∆ 。

【例 2】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。

HFFD H【分析】 连接BH 、CH ，AEH BEH AE EB S S ∆∆=∴=同理，BFH CFH CGH DGH S S S S ∆∆∆∆==，，256228阴影长ABCD S S ∴=÷=÷=（平方厘米）【例 3】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC ∆等积的三角形一共有哪几个三角形？ABCEDF【分析】 AEC ∆、AFC ∆、ABF ∆。