下载文档原格式
等积变形专项练习
1。
在一个底面积是31.4平方厘米的长方体玻璃容器中，有一个底面半径是1厘米的圆锥形铝块完全浸在水中,当从水中取出铝块时,容器的水面下降了0。
2厘米。
这个圆锥形铝块高多少厘米？
2。
用半径10cm高7cm的圆柱形泥巴揉成半径一样大的圆锥形，圆锥的高是多少厘米呢？
3.一个圆柱形的水桶，内部的底面半径是20厘米，高是45厘米，里面盛有30厘米深的水。
将一个底面半径是15厘米的圆锥形铁块完全沉进水里，水不溢出，水面上升了3厘米，圆锥形铁块的高是多少？
4.有一段钢可做一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件.如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？
5。
一个圆柱形容器的底面半径是4分米,高6分米，里面盛满水,把水倒在棱长是8分米的正方体容器中，水深多少分米？
6.将一个底面直径是20厘米、高是9厘米的金属圆锥，全部浸没在直径是40厘米的圆柱形水槽中且水未溢出。
水槽中的水面会升高多少厘米?
7。
把一个长2米的圆柱截去4分米后,原来的表面积就减少了25.12平方分米，原来圆柱的体积是多少立方分米?
8。
在一个底面是边长为2分米的正方形的长方形水槽中，放入一块青铜（完全浸没在水中），水面上升1分米且水未溢出.(水槽厚度忽略不计）
（1)求这块青铜的体积.
(2)如果把这块青铜铸成一个底面直径是2分米的圆柱,它的高是多少？(得数保留一位小数）
9.(拓展)在一个圆柱形储水桶里，把一段半径是5cm的圆钢全部放入水中,水面就上升9cm；把圆钢竖着拉出水面8cm长后，水面就下降4cm。
求圆钢的体积。
第五讲等积变形答案方法与技巧：（1）等底等高的两个三角形面积相等。
（2）两个三角形如果有相等的底（或高），且其中一个三角形的高（或底）是另一个三角形高（或底）的若干倍，那么，这个三角形的面积是另一个三角形面积的若干倍。
【例1】如下图所示，四边形ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为4平方厘米和8平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。
（18）【练习1】如图所示，三角形ABO的面积为9平方厘米，线段BO的长度是OD的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？（48）【例2】如图所示，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D点，把它的另一条边AC延长2倍到点E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE面积是三角形ABC面积的多少倍？（6）【练习2】如图所示，AE=3AB，BD=2BC，△DEC的面积是△ABC面积的倍。
（4）【例3】已知三角形ABC面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（14）【例4】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米？（1.8）【例5】如图所示，点M、N、P、Q分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且PE//GM//CB，HN//QF//AB。
若平行四边形ABCD的面积为600平方厘米、阴影部分的面积为80平方厘米。
请问四边形MNPQ的面积为多少平方厘米？（340）【例6】如图所示，在正方形ABCD的BC边上取一动点E，以DE为边作矩形DEFG，且FG边通过点A。
在点E从点B移动到点C过程中，矩形DEFG的面积（）（E）（A）一直变大。
（B）一直变小。
（C）先变小后变大。
（D）先变大后变小。
（E）保持不变。
【练习1】如左下图，△ABC中，D、E分别为边BC、AB的中点。
若图中阴影部分面积为1，则△ABC的面积为多少？（4）【练习2】如右上图所示，图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（24）【练习3】如图，六角形的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点。
学科培优数学等积变换、切割、平移、旋转学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。
所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。
重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。
2．化未知图形为已知图形。
3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论： 1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么；反之,如果,则可知直线平行于。
4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。
五年级奥数三角形等积变形姓名：探究必备：三角形的面积=底×高÷2，这个公式虽然简单，但有很多“妙”用。
（1）底和高不变，那么它的面积就不变。
例如：下图中三角形Ⅰ和Ⅱ面积相等。
（2）高不变，底扩大（或缩小）多少倍，面积就扩大（或缩小）多少倍。
例如：下图中的两个三角形，高都是h，大三角形Ⅰ的底是小三角形Ⅱ的底的5倍，那么Ⅰ的面积=Ⅱ的面积的5倍（3）底不变，高扩大（或缩小）多少倍，面积就扩大（或缩小）多少倍。
例如：下图中的两个三角形，底都是a，大三角形Ⅰ的高是小三角形Ⅱ的高的4倍，那么Ⅰ的面积=Ⅱ的面积的4倍尝试练习：1、如图，是三条互相平行的直线，并且AB=CD，求证：图中的四边形的面积和三角形的面积相等。
2、用三种不同的方法把任意三角形分成5个面积相等的小三角形。
3、如果下图三角形的面积是20平方厘米，想办法把它分成三部分，使三部分的面积分别是10平方厘米、6平方厘米、4平方厘米。
4、如图，ABCD是一个长为6，宽为4的矩形，EF∥AB，求阴影部分的面积。
5、如图，在三角形ABC的三边BC、CA、AB上分别有三点D、E、F，且BC=4CD，AC=5AE，BA=6BF。
求：△ABC的面积是△DEF面积的几倍？6、如图，证明：梯形ABCD中，三角形AOB的面积与三角形DOC的面积相等。
7、如图，ABCD是一个长为9、宽为6的矩形，E在BC上，F在CD上，并且三角形ABE、三角形ADF、四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积。
8、如图，ABCD是平行四边形，直线CF与AB交于E，求证：△ADE与△BEF面积相等。
9、如图，四边形ABCD两对角线交于E，延长CA到F，使AF=CE；延长DB到G使BG=DE。
求证：四边形ABCD 的面积等于三角形EFG的面积。
10、如图，△ABC的面积为1。
延长AB到E，使BE=2AB；延长BC到D，使CD=BC。
求△BED的面积。
11、如图，AB=AD，BE=2BC，CF=3CA，△ABC的面积为1，求△DEF的面积。
第四讲水面高度变化和等积变换水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。
解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。
等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。
解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。
解：50厘米一5分米5÷(25X20)+15=O．25+15=15．25(分米)答：容器中水深15．25分米。
例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。
水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。
现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。
而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。
解：25×25×20÷(50×50)+20=5+20=25(厘米)答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。
例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
第四讲水面高度变化和等积变换水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。
解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。
等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。
解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。
解：50厘米一5分米5÷(25X20)+15=O．25+15=15．25(分米)答：容器中水深15．25分米。
例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。
水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。
现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。
而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。
解：25×25×20÷(50×50)+20=5+20=25(厘米)答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。
例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
一、填空题
1. 右图中，ABCD 是平行四边形，E 为 CD 的中点，AE 和 BD 的交点为 F ，AC 和
BE 的交点为 H ，AC 和 BD 的交点为 G ，四边形 EHGF 的面积是 15 平方厘米，则ABCD 的面积是__________平方厘米．
2. 如下图，四边形ABCD是正方形，ABGF和FGCD是长方形，点E在AB上，EC
交FG于点M，若AB＝6，△ECF的面积是12，则△BCM的面积是________________．3. 如图，有三个正方形ABCD，BEFG和CHIJ，其中正方形ABCD的边长是10，正
方形BEFG的边长是6，那么三角形DFI的面积是________．
4. 如图所示，,则阴影部分的面积=________．
5. 如图，△ABC中，点AD=CD，点E是BC上一点，且EC=2BE，BD与AE相交于点F，若△ABC的面积为12，则S△ADF-S△BEF=_______．
二、解答题
6. 如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，
厘米，求三角形的面积．
7. 如图，在三角形ABC中， BC＝8厘米，AD＝6厘米，E、F分别为AB和AC的中点。
那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
8. 图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面
积是多少平方厘米？
9. 如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？。
五年级等积变形题一、等积变形题目。
1. 一个长方体水箱，从里面量长6分米，宽5分米，高4分米。
先倒入82升水，再浸入一块棱长2分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米。
求水箱的容积是多少升？- 解析：正方体铁块体积为2×2×2 = 8立方分米，因为1立方分米= 1升，所以8立方分米= 8升。
倒入水的体积是82升，此时水和铁块总体积为82+8=90升。
水面离水箱口1分米，则此时水和铁块占水箱的高度是4 - 1=3分米。
水箱底面积为6×5 = 30平方分米，根据长方体体积公式V=Sh（S是底面积，h是高），那么3分米高的水和铁块的体积对应的水箱容积部分为30×3 = 90升，所以水箱容积为90÷3×4 = 120升。
2. 有一个底面积是300平方厘米、高10厘米的长方体，里面盛有5厘米深的水。
现在把一块石头浸没到水里，水面上升2厘米。
这块石头的体积是多少立方厘米？- 解析：因为石头浸没到水中，水面上升的体积就是石头的体积。
长方体底面积是300平方厘米，水面上升了2厘米，根据长方体体积公式V = Sh，石头体积为300×2=600立方厘米。
3. 一个正方体容器棱长为6分米，里面装满水。
现将水倒入一个长0.8米、宽0.6米的长方体容器中，水面高多少分米？- 解析：首先统一单位，0.8米= 8分米，0.6米= 6分米。
正方体容器棱长6分米，则水的体积为6×6×6 = 216立方分米。
将水倒入长方体容器中，长方体容器底面积为8×6 = 48平方分米，根据h=(V)/(S)（h是高，V是体积，S是底面积），水面高度为216÷48 = 4.5分米。
4. 把一块棱长12厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是144平方厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？- 解析：正方体铁块体积为12×12×12 = 1728立方厘米。
第3讲等积变形一、知识点等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：1.等底等高的两个三角形面积相等；2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等；3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等.二、例题精讲例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________.例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米.例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米.例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积.例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________.例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是________平方厘米.三、水平测试1、如图，梯形的下底长10厘米，高6厘米,则阴影部分的面积是________平方厘米.2、如图，AE=3AB,BD=2BC,三角形DBE的面积是三角形ABC面积的_______倍.3、如图，讲三角形ABC的AB边延长1倍，将BC边延长2倍，得三角形ADE,则三角形ADE 的面积是三角形ABC的_________倍.4、如图，平行四边形ABCD中，DO=2BO,AE和BO垂直，直角三角形AOB的面积为16平方厘米，则四边形OECD的面积是_____________.5、如图，BE=EC,CA=FA,三角形BDE的面积为5平方厘米，则三角形ADF的面积是_____平方厘米.6、矩形ABCD中三条线段长度如图所示，M 线段DE的中点，求阴影部分的面积.。
学生课程讲义课程名称五年级奥数上课时间任课老师沈老师第05 讲，本讲课题：等积变形内容概要熟知各种规则图形的面积求法，结合等积变形来求出不规则图形面积。
两个平面图形面积相等,称为这两个图形等积.解决平面图形面积问题的主要渠道是将欲求的图形的面积转化为已经学过的基本图形的面积问题.其中三角形的等积变形的技巧是各种等积变形的核心,都要运用到“等(同)底、等(同)高的两个三角形面积相等”这个基本规则,并由此衍生出因题而宜的种种精巧的等积变形的技巧。
【例1】计算：如图，5-1，ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为3平方厘米和6平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。
随堂练习1如图5-2，三角形ABO的面积为9平方厘米，线段BO的长度是OD的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【例2】如图5-3，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE的面积是三角形ABC面积的多少倍？随堂练习2如图5-5，AE=3AB，BD=2BC,△DBE面积是△ABC面积的多少倍？【例3】如图5-6，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，阴影部分的面积是多少平方厘米？随堂练习3如图5-8，△ABC面积=24平方厘米，M为AB中点，E 为AM上任意一点，MD与EC平行，求EBD的面积。
【例4】如图5-9所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米。
随堂练习4如图5-10，平行四边形ABCD中BF=2DF.E是BC中点。
三角形BEF的面积等于8平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。
【例5】如图5-11，梯形ABCD的面积是45平方厘米，高6厘米，AD∥BC，三角形AED的面积是5平方厘米，BC=10厘米。
求三角形BCE的面积。
五年级《等积变换专项练》等积变形专项练姓名学号1.有一个边长4厘米的立方体铜块。
熔化后，铸造一个长2厘米、宽4厘米的长方体。
长方体铜块铸造后的高度是多少厘米？（不包括损失）2、1立方米水重1吨，一个长方体水池能蓄水960吨，已知水池长20米，宽12米，深多少米？3.有一块边长为80厘米的立方体铁块。
现在我们需要将其熔化并铸造成横截面积为20平方厘米的长方体。
这个长方体的长度是多少厘米？4、一个长方体的药水箱里装了60升的药水，已知药水箱里面长5分米，宽3分米，它的深是多少分米？5.一块钢长2米，横截面为正方形，边长4厘米。
如果它被锻造成横截面为25平方厘米的长方体钢，它有多长？6、有两个棱长是6厘米的正方体铁块，要把它们熔铸成一个长方体铁块（假设没有损耗），这个长方体铁块的长是8厘米，高是9厘米，宽是多少厘米？7.在一个长40厘米、宽20厘米的玻璃罐中，放入一个边长10厘米的立方体铁块。
这是12厘米的水深（铁块浸入水中，水溢出）。
如果把这个铁块从罐子里拿出来，罐子里的水深会变成多少厘米？8、有一个长是50厘米，宽是10厘米，高是10厘米的全封闭的容器，里面装有8厘米高的水。
如果将这个容器竖放，水面的高度是多少厘米？9.立方体玻璃容器的边缘长度为2米。
将5L水放入容器中，然后将一块石头放入水中。
此时，容器中测得的水深为15厘米。
石头的体积是多少立方厘米？10、用一个底面是边长8厘米的正方形，高为16厘米的长方体容器，测量一个球形铁块的体积，容器中装的水距杯口还有2厘米。
当铁块放入容器中，有部分水溢出，当把铁块取出后，水面下降5厘米，求球形铁块的体积。
11.在一个120厘米长、60厘米宽的玻璃罐中加入一些水，放入一个矩形铁块（完全浸没）。
水面比原来上升了2厘米，没有水溢出。
已知铁块的长度和宽度为20厘米，因此请确定铁块的高度。
11、用一个长16分米、宽是8分米的长方形铁皮，做一个无盖的长方体形容器。
2022-2023学年五班级数学下册典型例题系列之期末典例专项练习五：等积转化问题（原卷版）1．明明在手工社团课上用橡皮泥捏各种造型。
他先捏了一个长8厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体。
后又把这块橡皮泥改造成了一个长10厘米，宽8厘米的长方体，改造后长方体的高是多少厘米？2．王官村乡村振兴改造大路，工人叔叔把3立方米的沥青混凝土铺在一条宽6米的大路上，铺了5厘米厚，这些混凝土能铺多少米长的大路？3．一个棱长是4分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个底面积32平方分米，高6分米的的长方体鱼缸里，鱼缸里水有多深？4．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。
齐国工匠将一块棱长是6分米的正方体铁块，锻造成了一个横截面积是4平方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？5．有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了8厘米的水。
假如把这个容器竖起来放，水的高度是多少？6．一个棱长为6分米的正方体容器，装满水后倒入另一个空的长方体容器中，长方体容器长9分米，宽4分米，高0.8米，这时长方体容器中水面高多少分米？（容器的厚度忽视不计）7．赵师傅把一块棱长20cm的正方体铁块锻造成长8cm、宽5cm、高10cm的长方体铁条，可以锻造出几根？8．把一个棱长30厘米的正方体钢坯熔铸成底面积是675平方厘米的长方体钢坯，长方体钢坯的高度是多少厘米？（损耗忽视不计）9．把一个长8厘米、宽4厘米、高2厘米的长方体橡皮泥，捏成一个棱长为4厘米的正方体，长方体和正方体哪个体积大？10．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是6米，用这堆沙在15米宽的大路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？11．一个正方体玻璃缸的棱长是6分米，将它装满水，再把水全部倒入一个底面积是30平方分米的长方体玻璃缸中，长方体玻璃缸的水面高度是多少分米？12．把一个长4分米，宽3分米，高2.5分米的长方体水槽装满水，把这些水倒入另一个棱长为5分米的正方体水槽中，水深多少分米？13．把一个棱长是9厘米的正方体橡皮泥捏成一个底面积是27平方厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？14．如图，一个密闭的长方体容器长15厘米，宽8厘米，高8厘米（容器厚度忽视不计）。
小学奥数~三角形等积变形
如图一，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H，连接BD、GD、GH、。
已知AB＝4厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
题目解析：
连接DF、FC；
因为BD、CF分别为正方形ABCD和正方形ECGF对角线，所以BD//CF；
根据等高模型；
又因为三角形DHG与三角形DHF为同底等高三角形，所以面积相等；
同理，因为BD//CF；三角形BDF与三角形BDC为同底等高三角形，所以面积相等；
所以阴影面积为4×4÷2=8平方厘米。
知识点——三角形等积变形
三角形面积公式：底×高÷2
对于两个三角形，如果它们对应的底和高相等（如同底等高、等底等高），那么它们的面积也相等。
方法：三角形钉住其中两点，构造底边平行线，沿平行线移动另外一点，所得三角形面积相等。
（必要时可构造平行线)。
再战
如下图，有三个正方形并排安置，并且它们的顶点D、G、K三点恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB边长是8厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？。
第二十一讲等积变换一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例题1：两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
解：因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
答：阴影部分的面积是17厘米2。
例题2：在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。
答：平行四边形ABCD的面积是50cm.例题3：在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
解：因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB 后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2），三角形ECB面积=36-18=18（厘米2），EC=18÷6×2=6（厘米），ED=6-4=2（厘米）。
等积变形问题—-一元一次方程的应用题
一知识点
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为：形状面积变了,周长没变；原料体积=成品体积。
二试试身手
1、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形,折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是45000.，求原来正方形铁皮的边长。
2、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0。
62kg的零件毛坯,如果这种钢每立方厘米重7。
8g，应截圆钢多长？
3、把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢。
求锻造后的圆钢的长.
4、直径为30厘米,高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。
5 现有直径为0。
8米的圆柱形钢坯长30米，可足够锻造直径为0.4米,长为3米的圆柱形机轴多少根?
6 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水），向一个由底面积为125＊125mm，内高为81mm的长方体铁盒倒满水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm?（结果保留整数，π=3。
14)
7 把内径为200mm，高为500mm的圆柱形铁桶，装满水后慢慢地向内径为160mm,高为400mm 的空木桶装满水后，铁桶内水位下降了多少?
8 要锻造一个直径为8cm高为4cm的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm。
第四讲水面高度变化和等积变换水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。
解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。
等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。
解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。
解：50厘米一5分米5÷(25X20)+15=O．25+15=15．25(分米)答：容器中水深15．25分米。
例2:一个长方体水箱，底面是一个边长为50厘米的正方形。
水箱里直立着一个高10分米，底面边长是25厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深6分米。
现在把铁块轻轻地向上提起20厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米?【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的部分包括向上提起的20厘米和铁块提起后水面下降的高度两部分。
而下降部分水的体积就等于提起的20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高20厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。
解：25×25×20÷(50×50)+20=5+20=25(厘米)答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米。
例3:把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
第3讲等积变形
一、知识点
等积变形一般指三角形的等积变形，就是三角形面积相等的变化，经常用到的结论有：
1.等底等高的两个三角形面积相等；
2.两个三角形的底在同一条直线上而且相等，底所对的角顶点是同一个，则面积相等；
3.如果两个三角形的底（高）相等，一个三角形的高（底）是另一个三角形的几倍，则这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍；
4.几个三角形的底相等，都在两条平行线的同一条直线上，且同样长度底边所对的顶点在两条平行线的另一条上，则这几个三角形的面积相等.
二、例题精讲
例1 两条对角线将梯形分成四个小三角形，已知图中两个三角形的面积，则另外两个三角形的面积分别为多少？
例2 如图，三角形ABC中D、E分别为各边中点.若阴影部分面积为1，则三角形ABC的面积为__________.
例3 如图，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE,三角形ADE的面积是三角形ABC面积的________倍.
例4 如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，三角形EBF的面积是____________平方厘米.
例5 如图，已知三角形ABC的面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC面积的2倍，则阴影部分的面积是______________平方厘米.
例6 如图，长方形ABCD中，AB=24厘米，BC=36厘米，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD 的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分的面积.
例7 在梯形ABCD中，若AB=8,DC=10,三角形AMD的面积是10，三角形BCM的面积是15，则梯形ABCD的面积是_____________.
例8 如图，三角形ABC的面积为10平方厘米，AE=ED,BD=2CD,则图中阴影部分的面积是
________平方厘米.
三、水平测试
1、如图，梯形的下底长10厘米，高6厘米,则阴影部分的面积是________平方厘米.
2、如图，AE=3AB,BD=2BC,三角形DBE的面积是三角形ABC面积的_______倍.
3、如图，讲三角形ABC的AB边延长1倍，将BC边延长2倍，得三角形ADE,则三角形ADE 的面积是三角形ABC的_________倍.
4、如图，平行四边形ABCD中，DO=2BO,AE和BO垂直，直角三角形AOB的面积为16平方厘米，则四边形OECD的面积是_____________.
5、如图，BE=EC,CA=FA,三角形BDE的面积为5平方厘米，则三角形ADF的面积是_____平方厘米.
6、矩形ABCD中三条线段长度如图所示，M 线段DE的中点，求阴影部分的面积.。
