四年级奥数讲义-等积变形二 通用版

奥数-教学教案
授课时间：年月日备课时间年月日年级五课程类别课时学生姓名
授课主题三角形等积变形授课教师
教学目标理解和掌握三角形形状变化但是面积不变
教学
重难点
理解三角形形状变化但是面积不变
教学方法讲练结合
教学过程1、课程导入/错题讲解：
点
拨
教学过程2.知识点讲解
学
习
札
记
教学过程
3、例题分析：
1、如图所示三角形ABC，D为AC上一点，CD=2AD。

问：三角形ABC的面积是三角形
ADB的几倍？方法与技巧
2.如图平行四边形ABCD，E为AB中点，F为DB中点。

已知三角形BEF面积为4平方厘米，问：平行四边形ABCD面积是多少平方厘米？
教学过程4、随堂练习
小
提
本课小结
及下节预告。

等积变形（1）姓名:如图在三角形ABC中，D是BC的中点，三角形ABD的面积是12,那么三角形ABC 的面积是多少？A: 12 B: 20 C： 24 D: 26（★★★）如图，在梯形ABCD中△刃游的面积为15cm：,求三角形DOC的面积.A: 45 B: 60 C: 75 D: 15（★★★★）如图，破;力为平行四边形，矽平行涉如果△血的面积为6平方厘米.求三角形建的面积•A: 4 B: 6 €： 5 D: 8（★★★★）如图，在平行四边形旭CD中，直线CF交旭于交DA延长线于若Sg =1,求3EF的面积.A: 1 B: 2 C： 3 D: 4（★★★★）如图：已知三角形ABC的面积是88平方厘米，是平行四边形Z）EFC的2倍, 求阴影部分的面积。

A: 44 B: 31 C： 22 D; 30（★★★）如图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的询长是占厘米，求三角形NBC 的面积.A: 4 B: 8 C： 16 D: 20（★★★）如图，与AEFG均为正方形，三角形如丑的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为•DA: 3 B: 6 C：9 D： 123 D等积变形（2） 姓名：BD 长4厘米，DC 长16厘米，B 、C 和D 在同一条直线上.则三角形ABC 的面积是三角 形ABD 面积的（ ）倍；三角形ADC 的面积是三角形ABD 面积的（ ）倍。

A; 3 , 4 B; 4 , 3 C ： 5 , 3 D; S , 4如图，在三角形ABC 中，BC=10厘米，高是6厘米，D 、E 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形DEB 的面积是（ ）平方厘米。

A: 6 B: 6, 5 ('： 7 D: 7. 5三角形.4SC 中，DC = 23D, CE = 3北，三角形如）E 的面积是20平方厘米，三角形.45（? 的面积是（ ）平方厘米。

A:90 B: 100 C; 120 D: 150A; 30B;40 C ： 50 D ： 60 如图, 的面积是（ 三角形ECD 的面积为3,其中CE=3AE, 3D = 4CD,三角形ABC)0 A: 10B; 12 C ： 15 P: 16 如图, X13C 的面积是10平方厘米，将一纺、BC 、 得到一个新的SDEF ，则少EF 的面积为（ 分别延长一倍到D 、E. F 且两两 ）平方厘米。

等积变形（二）【动手算一算】⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？(★★)⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。

求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。

求：三角形DEF的面积。

(★★★)1如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？(★★★)如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。

平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？(★★★)如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？(★★★★)如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形BDE的面积是多少？(★★★)2如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。

(★★★★)如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE的面积是多少？(★★★★★)【大海点睛】一、重要结论1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么S△ACD＝S△BCD2．结论㈡⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

奥数拓展：等积变形2【例1】重叠面积中的等积变形1.如图是有两个相同的直角梯形重叠而成（单位：厘米），阴影部分的面积是（）平方厘米．2.如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中阴影部分面积是（）平方厘米．A．90 B．75 C．52 D．30【例2】等积变形的灵活运用1.如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．2.将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于2，那么三角形DEF的面积是_____。

备用图1 备用图23.如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成两部分，阴影部分的面积是6 平方厘米，DB长厘米．EBA三．出门考1. 一个等腰三角形的两条边长分别是51米和21米，这个三角形的周长是（ ）米。

2. 如下图，ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，如果△BFC 的面积为4平方厘米，则△AEB 的面积是（ ）平方厘米．3. 如图是由两个相同的直角梯形重叠而成的，图中只标出三个数据（单位：厘米），图中阴影部分的面积是多少平方厘米？4*.如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)四．课后作业1. 计算，能简算的要简算。

435177-- 4847157+- 74512712⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4357910910+++ 41327373-+-2. 一根长2米的绳子，先用去41米，又用去21米，这根绳子短了多少米？3. 光明小学拥有一块公顷的菜地，其中青菜占菜地的，黄瓜占菜地的．剩下的种西红柿，西红柿占菜地的几分之几？4. 光明小学拥有一块公顷的菜地，其中种青菜的有公顷，种黄瓜的有公顷．剩下的种西红柿，西红柿有多少公顷？5. 如图将△ABC 的AB 边延长到D ，BC 边延长到E ，CA 边延长到F ，使DB=AB ，EC=2BC ，FA=2AC ，如果三角形ABC 的面积是5平方厘米，那么三角形DEF 的面积是平方厘米．6. 探索规律并计算=-4131 =-5131 =-6151 =-8151 =+4131 =+5131 =+6151 =+8151 我发现每日一练第一天：周天（5月20日）1. 三根电线共长87米，第一根和第二根共长43米，第二根和第三根共长31米。

年 级 四年级 学 科 奥数版 本通用版课程标题三角形的等积变形（二）上一讲我们学习了三角形的面积与底和高之间的关系，在这个基础上，这节课，我们再一起学习一下平行线间的等积变形。

夹在一组平行线间的等积变形：如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。

例1 如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形。

分析与解：本题有两点要求：一是把四边形改成一个三角形；二是改成的三角形与原四边形面积相等。

我们可以利用三角形等积变形的方法，如下图把顶点A 移到CB 的延长线上的点A ′处，△A ′BD 与△ABD 的面积相等，从而△A ′DC 的面积与原四边形ABCD 的面积相等。

这样就把四边形ABCD 等积地改成了△A ′DC 。

问题是A ′位置的选择是依据三角形的等积变形原则。

过A 作一条和DB 平行的直线与CB 的延长线交于A ′点。

具体做法：连接BD ，过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A ′。

连接A ′D ，则△A ′CD 与四边形ABCD 等积。

例2 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行于AC ，如果△ADE 的面积为4平方厘米。

求△CDF 的面积。

分析与解：连接AF 、CE 。

∴ADE S △＝ACE S △，CDF S △＝ACF S △。

又∵AC 与EF 平行，∴ACE S △＝ACF S △。

∴ ADE S △＝CDF S △＝4（平方厘米）。

例3 如图，已知正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 的边长为10厘米，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？分析与解：解法一 ：△BEF 的面积 ＝ BE ×EF ÷2，梯形EFDC 的面积＝（EF ＋CD ）×CE ÷2＝BE ×EF ÷2＝△BEF 的面积 ，而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以 △DHF 的面积＝△BCH 的面积，进而可得阴影部分△BDF 的面积＝△BCD 的面积＝10×10÷2＝50（平方厘米）。

第二讲 等积变形一、复习基本面积公式二、三角形如何找高 1、找底边对边的顶点 2、过顶点作底边的垂线锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 （以一直角边为底时， （以一钝角边为底时， 高是另一条直角边） 高在三角形外面）由三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2我们得到：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

（1）三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。

（2）当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。

（3）一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．三、常用结论1、等底等高的三角形面积相等。

2、平行线所夹的等底三角形面积相等。

如右图，ACD Δ和BCD Δ夹在一组平行线之间， 且有公共底边CD，那么BCD ACD S S ΔΔ=；反之，如果BCD ACD S S ΔΔ=，且A,B 在CD 的同侧，则可知直线AB 平行于CD。

S=ab3、梯形的两条对角线及两腰所夹的两个三角形面积相等。

由上一条结论，△ACD 与△BCD 的面积相等，同时减去 △OCD 的面积，余下的面积也应该相等，即BOD AOC S S ΔΔ=4、等高看底：若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．等底看高：若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．四、例题讲解 例1 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B，C，D 在同一条直线上。

（1）求三角形ABC 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ （2）求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 解析：（1）观察三角形ABC 与三角形ADC 有什么联系——同高！注意：怎样判断同高 ①有1个公共顶点②该顶点所对边共线根据“等高看底”，它俩的面积比其实就是底边的比，只是要注意底边的数据： 三角形ABC 的底边是BC=12+4=16(厘米)三角形ADC 的底边是DC=4厘米16÷4=4，三角形ABC 的面积是三角形ADC 面积的4倍（2）同理，三角形ABD 与三角形ADC 也是同高的，其面积比等于12÷4=3例2 如图，E 在AD 上，AD 垂直于BC,AD=12厘米，DE=3厘米，求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的多少倍？解析：显然，三角形ABC 与三角形EBC 有相同的底边BC。

第二讲 三角形的等积变形内容概述我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等．②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。

例题精讲【例1】 如右图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线长。

① 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ② 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？分析：因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

于是： 三角形ABD 的面积=12×高÷2=6×高三角形ABC 的面积=（12+4）×高÷2=8×高 三角形ADC 的面积=4×高÷2=2×高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4/3倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。

第十一讲等积变形讲义1、让学生在直观的情境中想到转化，并应用图形的平移和旋转知识进行图形的等积，等周长的变形。

2、在解决实际问题过程中体会转化的含义和应用的手段，感受转化在解决这个问题时的价值。

3、进一步积累解决问题的经验,增强解决问题的“转化”意识,提高学好数学的信心。

例1、（运用转化的策略巧算周长）求下面图形的周长。

（单位：厘米）分析与解：求这个图形的周长，就是求围成这个图形的所有线段的长度和。

图中有的线段的长度不知道，可以将其中的4条线段进行平移（如下图），平移之后形成一个长方形，长方形的周长和原来图形的周长是相等的。

因此求原来图形周长的问题就转化成了求下图这个长方形的周长。

例2、（将复杂的图形转化成简单的图形后计算面积）如图1是一块长方形草地，长方形的长是16米，宽是10米。

中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形。

草地部分的面积有多大？图1 图2分析与解：求草地部分的面积，可以用大长方形的面积减去两条道路的面积，但要考虑两条道路的重叠部分，因此计算比较复杂。

可以将图1转化成图2，两条道路转化到了长方形草地的边上，很明显，图2草地部分（阴影部分）的面积和图1相等，现在求草地的面积转化成了求长方形的面积，计算比较简单。

解答：（16 - 2 ）×（10 - 2） = 112（平方米）答：草地部分的面积是112平方米。

例三．一个底面半径是4厘米，高6厘米的圆柱，里面盛满水，现倒入一个长12厘米，宽6.28厘米的水槽内，求圆柱的高。

例四．两个底面半径是6厘米的圆锥高都是9厘米，现把它熔铸成一个底面半径是9厘米的圆柱，求圆柱的高。

等积变形(上)
例1
(★★)
⑴图中每个小正方形面积都是1平方厘米，那么下面的三角形面积各是多少？
⑵图中每个小正方形面积都是1平方厘米，那么下面的三角形面积各是多少？
⑶图中每个小正方形面积都是1平方厘米，那么下面的三角形面积各是多少？
例2
(★★★)
如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
例3
(★★★)
正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？
例4
(★★★)
下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。

例5
(★★★★)
如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积。

例6
(★★★)
在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE＝1，求△BEF的面积。

例7
(★★★★)
如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。

求三角形CDF的面积。

⑴夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，反之，如果S△ACD＝S△BCD，且A、B在CD同侧，则可知直线AB平行于CD。

⑵平行线藏在哪里？
——并列正方形的同方向对角线
【先睹为快】
(★★★★)
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。