高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 变化的快慢与变化率 第一课时参考教案

课题：1.变化的快慢与变化率教材：普通高中课程标准实验教科书〔北师大版〕〔选修2-2〕第25-27页[教材分析]1、本节教材的地位与作用：变化率对理解导数概念与其几何意义有着重要作用.是导数概念产生的根底.充分掌握好变化率这个概念,为顺利过渡瞬时变化率,体会导数思想与涵做好准备工作.通过对大量实例的分析，引导学生经历由物理学中的平均速度到其它事例的平均变化率过程.所以变化率是一个重要的过渡性概念.对变化率概念意义的建构对导数概念的学习有重要影响.2、教学重点：平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解.3、教学难点：平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释.4、教学关键：[教学目标]基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：〔1〕知识与技能目标:通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义与其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.〔2〕过程与方法目标:体会平均变化率的思想与涵，培养学生观察、分析、比拟和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.〔3〕情感态度与价值观:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.使学生拥有豁达的科学态度，互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神.领悟到具体到抽象，特殊到一般的逻辑关系.感受到数学的应用价值.[教学过程]⒈情境创设，激发热情导言:2.由学生列举一些变化快慢的事例.(如果事例适当,教师引导学生设置数据,建构平均变化率计算程序)⒉过程感知，意义建构 实例分析1银杏树1500米，树龄1000年，雨后春笋两天后长高15厘米. 实便分析2物体从某一时刻开场运动，设s 表示此物体经过时间t 走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如下表.实便分析3这是我市今年3月18日至4月20日其中三天最高气温表和每天最高气温的变化图〔以3月18日为第一天,曲线图〕．⒊归纳概括，建立概念1.如果将上述气温曲线看成是函数)(x f y =的图像，那么函数)(x f y =在区间［1,34］上的平均变化率是多少？2.)(x f 在区间],1[1x 上的平均变化率为多少？3.)(x f 在区间]34,[2x 上的平均变化率为多少？4.你能否归纳出“函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率〞的一般性定义吗？ 平均变化率的定义：一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为通常把自变量的变化12x x -称作自变量的改变量，记作x ∆，函数值的变化)()(12x f x f -称作函数值的改变量，记作y ∆．这样，函数的平均变化率就可以表示为：函数值的改变量与自变量的改变量之比，即1212)()(x x x f x f x y --=∆∆ 它的几何意义是曲线上经过Ａ、Ｂ两点的直线的斜率．我们用直线的斜率来刻画直线的倾斜程度，同样，我们用平均变化率来近似地量化曲线在某一个区间上的“陡峭〞程度，具体地说：曲线越“陡峭〞，说明变量变化越快；曲线越“平缓〞，说明变量变化越慢． ⒋例题讲解，尝试应用(d )1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如下图，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.该婴儿体重的平均变化率的实际意义？2.某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比拟时间x 从0min 到20min 和从20min 到30min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？这里出现了“负号〞，你怎样理解“—〞号？它表示体温下降了，绝对值越大，下降得越快，所以，体温从20min 到30min 这段时间下降得比从0min 到20min 这段时间要快. 5.变式练习，巩固提炼○1假设函数f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[-1,1]和[0,5]上的平均变化率 函数f (x )在这两个区间上的平均变化率都是2.○2变式一：求f (x )=2x +1,试求函数f (x )在区间[m,n ](m<n )上的平均变化率 还是2，丨③变式二：求f (x )=kx +b ,试求函数f(x)在区间[m,n ](m<n )上的平均变化率是k .一般地，一次函数f(x)=kx+b 〔k 0≠〕在任意区间[m,n ](m<n )上的平均变化率等于k . ○4变式三：求2)(x x f =在区间[-1，1]上的平均变化率. 是0. 提出问题:变化率为0是不是说明没有变化呢?⑤变式四：求2)(x x f =在区间[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.01]，[1，1.001]上的 平均变化率.函数)(x f 在这5个区间上的平均变化率分别是4、3、2.1、2.01、2.001.从上面计算的结果，你发现了什么？当区间的右端点逐渐接近1时，平均变化率逐渐接近2.6.回忆反思，设问结课 1.平均变化率的定义 2.平均变化率的几何意义3.如果闭区间固定左端点，让右端点逐渐接近左端点，平均变化率有什么变化？这个变化有什么重大意义？我们下节课再讲.大家!§1变化的快慢与变化率·教案说明一．【授课容的数学本质与教学目标定位】基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标：〔1〕知识与技能目标:通过实例的分析，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，理解平均变化率的意义与其几何意义，能够解释生活中的现象并会求函数的平均变化率，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.〔2〕过程与方法目标:体会平均变化率的思想与涵，培养学生观察、分析、比拟和归纳能力；通过问题的探究体会类比、以探求未知、从特殊到一般的数学思想方法.〔3〕情感态度与价值观:经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。

课题 变化的快慢与变化率学习目标1．理解“变化率问题”，课本中的问题1,2。

2. 知道平均变化率的定义.学习过程一：教材梳理阅读课本26P 页平均变化率的概念回答下面的问题：1.（1)x ∆是相对于1x 的一个___________，它可以是_______，也可以是_________，可以用________ 代替2x 。

(2) 变化率是一个_________ ，分母x ∆可以很小，但不能为_____________。

2. 由平均变化率的概念可得求函数()y f x =的平均变化率的步骤：（1）求自变量的增量______________；（2）求函数的增量________________;（3)求平均变化率______________________.注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘;②Δf=Δy=y 2-y 1；二。

效果检测1。

函数()y f x =的自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量Δy 为（ ） A 。

()0f x x +∆ B 。

()0f x x +∆ C 。

()0f x x ⋅∆ D. ()()00f x x f x +∆-2．质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．3. 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy . 三、合作探究在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m)与起跳后的时间t （单位:s ）存在105.69.4)(2++-=t t t h 的函数关系，如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t≤0。

5，1≤t≤2,1.8≤t≤2,2≤t≤2。

2，时间段里的平均速度. h to思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，___________.； 在21≤≤t 这段时间里，___________。

教学准备1. 教学目标1、理解函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。

2. 教学重点/难点教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。

教学难点：对平均速度的数学意义的认识3. 教学用具4. 标签教学过程(二)、探析新课问题1：物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数，表示为s=s(t)在运动的过程中测得了一些数据，如下表：物体在0～2s和10～13s这两段时间内，那一段时间运动得快？分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢。

在0～2s这段时间内，物体的平均速度为；在10～13s这段时间内，物体的平均速度。

显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快。

问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如下图所示：比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？分析：根据图像可以看出：当时间x从0min到20min时，体温y从39℃变为38.5℃，下降了0.5℃；当时间x从20min到30min时，体温y从38.5℃变为38℃，下降了0.5℃。

两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段时间短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快。

我们也可以比较在这两段时间中，单位时间内体温的平均变化量，于是当时间x从0min到20min时，体温y相对于时间x的平均变化率为（℃/min）当时间x从20min到30min时，体温y相对于时间x的平均变化率为（℃/min）这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降的越快，这里体温从20min到30min这段时间下降的比0min到20min这段时间要快。

（四）、练习：P27页练习1，2，3，4题；习题2-1中 1（五）作业布置：1、已知曲线上两点的横坐标是和，求过两点的直线斜率。

§1 变化的快慢与变化率1．函数的平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？[提示] 不一定．当x 0取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值，x 0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定．2．函数的瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． (2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．1．如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1．]2．一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.2 [Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴ΔsΔt＝2Δt ＋(Δt )2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于2．]3．一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)从x 1到x 2的平均变化率为________．a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a .]A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．思路探究：(1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔxB [(1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2．1)－f (2)＝2．12－22＝0.41．] (2)[解] 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1． 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2C [∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx ，故选C.]12速度哪个快？思路探究：比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果． [解] 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1(t 0－Δt )>s 2(t 0－Δt )， 故s 1(t 0)－s 1(t 0－Δt )Δt <s 2(t 0)－s 2(t 0－Δt )Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．平均变化率的意义1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．2．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s (单位：个)与时间t (单位：天)的关系如图所示，则接近t 0天时，下列结论中正确的是( )A ．甲的日生产量大于乙的日生产量B ．甲的日生产量小于乙的日生产量C ．甲的日生产量等于乙的日生产量D ．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小B [由平均变化率的几何意义可知，当接近于t 0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．]1．高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t＋10，求运动员在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，6549时间内的平均速度为多少？ [提示] 易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h (0)6549－0＝0.2．物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？[提示] 不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．3．如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示] 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度．【例3】 一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ；位移单位：m)思路探究：先求时间从3到3＋Δt 时的平均速度，再由Δt 趋于0求得瞬时速度． [解] 当时间从3变到3＋Δt 时， v －＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝3(3＋Δt )2＋1－(3×32＋1)Δt＝3Δt ＋18，当Δt 趋于0时，v －趋于常数18.∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤1．求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；2．计算ΔyΔx ，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止；3．将Δx ＝0代入化简后的ΔyΔx即得瞬时变化率．3．求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率． [解] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(3＋1)＝7Δx ＋3(Δx )2．∴Δy Δx ＝7Δx ＋3(Δx )2Δx＝7＋3Δx . ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝7＋3Δx 趋于7＋3×0＝7.∴函数y ＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率为7.1．平均变化率与瞬时变化率之间的联系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”，当平均变化率ΔyΔx中Δx →0时，平均变化率变为瞬时变化率．2．瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．(2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6D ．－3Δt －6D [Δs Δt ＝5－3(1＋Δt )2－(5－3)Δt＝－6－3Δt .]3．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．1912 [ΔC Δx ＝C (1 000)－C (900)1 000－900＝1912.] 4．在F1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时Δs 与Δs Δt ；(2)t ＝20时的瞬时速度．[解] (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21．05(m)， Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)∵Δs Δt＝10(20＋Δt )＋5(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于210，所以在t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.。

1变化的快慢与变化率第一课时变化的快慢与变化率——平均变化率一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。

二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。

教学难点：对平均速度的数学意义的认识三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。

微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。

十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。

为微积分的创立做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

课题 变化的快慢与变化率
学习目标
1.理解瞬时变化率的概念;
2. 会求函数在某点处附近的平均变化率.
学习过程
一：教材梳理
阅读课本30P 页瞬时变化率的概念回答下面的问题：
1. 如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系？
求瞬时速度的步骤
（1） 设非匀速直线运动的规律为()s s t =;
（2） 设时间的改变量t ∆，求位移的改变量
_____________________;
（3） 求平均速度_______________;
（4） 求瞬时速度____________________.
二．效果检测
1. 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

2.已知质点M 按规律2()3s t t =-作直线运动, （位移单位：cm,时间单位：s ）
（1） 当t=2, t ∆=0.01时，求s t
∆∆； （2） 当t=2, t ∆=0.001时，求
s t ∆∆； 估计质点M 在t=2时的瞬时速度.
三、合作探究
1.质点M 按规律2()1s t at =+作直线运动 （位移单位：m,时间单位：s ）.问：是否存在常数a ，使质点M 在t=2s 时的瞬时速度为8m s ？
2.过曲线y=f(x)=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
四、课堂练习
1. 一木块眼某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数
关系为218
s t =，则t=2时，求木块的瞬时速度。

2. 求函数2x y =在,2,31=x 附近的平均变化率，取x ∆都为3
1，哪一点附近的平均变化率最大？ 我的收获：
我的困惑：。

[对应学生用书P13]一、归纳和类比1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法．(1)综合法证明数学问题是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，二者一正一反，各有特点．综合法的特点是表述简单、条理清楚，分析法则便于解题思路的探寻．(2)分析法与综合法往往结合起来使用，即用分析法探寻解题思路，而用综合法书写过程，即“两头凑”，可使问题便于解决．2．间接证明主要是反证法．反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤．这两步缺一不可．第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n ＝( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D.2n ＋1答案：B2．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数解析：命题“a ，b ，c 中至少有一个是奇数”的否定是“a ，b ，c 都不是奇数”，故选B.答案：B3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)， x >0，0， x ＝0，x (x －1)， x <0是奇函数(小前提)，所以f (x )的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：因为f (1)＝f (－1)＝2，所以f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错．答案：B4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“”：★★★★★★……依此规律继续打下去，那么在前 2 014个图形中的“★”的个数是( )A ．60B ．61。

§1 变化的快慢与变化率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现函数的平均变化率，会求简单函数的平均变化率；(2)知道用平均变化率“逼近”瞬时变化率，并知道变化率是描述函数变化快慢的量．2．过程与方法通过具体实例，培养学生发现数学规律的思维方法和能力；培养学生归纳能力及抽象概括能力．3．情感、态度与价值观(1)通过平均变化率的探究，经历数学的探究活动的过程，体会由特殊到一般的认识规律，培养探索精神；(2)通过本节的学习和实践，体会数学的应用价值，学习从数学的角度发现问题、解决问题，认识世界，进而领会数学的价值．●重点难点重点：函数的平均变化率和瞬时变化率的定义及求解；难点：平均变化率与瞬时变化率的定义的推导及用平均变化率“逼近”瞬时变化率．教学时，应引导学生归纳具体实例(平均变化率)的共同点，并用符号表示，作为教学的重点环节，让学生经历由特殊抽象到一般的过程，从而突破难点．然后，通过具体问题求解突出重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是在学生学习了函数的概念及性质等知识后，从变化快慢的角度认识函数的变化率．教学时，应从具体实例入手，让学生充分探究平均变化率的含义及求法后，引导学生抽象概括出平均变化率的定义．通过具体问题求平均变化率逼出瞬时变化率，并进行抽象概括．因此，本节宜采取探究交流式教学，即学生探究后，通过教师的引导揭示规律．●教学流程提出问题，创设情境，求物体的平均速度和瞬时速度.⇒学生探索，尝试解决由平均速度逼近瞬时速度.⇒师生交流，揭示规律，抽象为函数的平均变化率和瞬时变化率.⇒运用规律，解决问题，通过例1，2，3及变式，掌握变化率的求法及意义.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解函数的平均变化率及瞬时变化率．2.会求函数的平均变化率及瞬时变化率．(重点)121f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢.函数的瞬时变化率 (1)01Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． (2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.求函数的平均变化率(1)求函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率； (2)求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率．【思路探究】 函数f (x )＝2x 2＋1→函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)→函数的平均变化率ΔyΔx【自主解答】 (1)由已知Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1 ＝2Δx (2x 0＋Δx )， ∴Δy Δx ＝2Δx (2x 0＋Δx )Δx＝4x 0＋2Δx . (2)由(1)可知：ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝2，Δx ＝0.01时， ΔyΔx ＝4×2＋2×0.01＝8.02.1．解答本题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求平均变化率的步骤：通常用“两步”法：一作差，二作商，即： (1)先求出Δx ＝x 2－x 1，再计算Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)对所求得的差作商，即得 Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .在本例中，分别求函数在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值均为14，问哪一点附近的平均变化率最大？【解】 由例题知，函数在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为4x 0＋2Δx .当x 0＝1，Δx ＝14时，函数在[1,1.25]的平均变化率为k 1＝4×1＋2×14＝4.5.当x 0＝2，Δx ＝14时，函数在[2,2.25]的平均变化率为k 2＝4×2＋2×14＝8.5.当x 0＝3，Δx ＝14时，函数在[3,3.25]的平均变化率为k 3＝4×3＋2×14＝12.5.∵k 1<k 2<k 3，已知函数f (x )＝2x －x ，求自变量x 在以下的变化过程中，函数值的平均变化率： x 从0变到0.1； x 从0变到0.01； x 从0变到0.001.估计当x ＝0时函数的瞬时变化率是多少？ 【思路探究】 先算出函数在三个不同的变化过程中的平均变化率，再总结这些数值趋于哪个数，这个数就是瞬时变化率．【自主解答】 x 从0变到0.1时，函数值的平均变化率是2×0.01－0.10.1＝－0.8；x 从0变到0.01时，函数值的平均变化率是2×0.000 1－0.010.01＝－0.98；x 从0变到0.001时，函数值的平均变化率是2×0.000 001－0.0010.001＝－0.998.估计当x ＝0时，函数的瞬时变化率是－1.1．本题中不断减少自变量的改变量，用“平均变化率”逐渐“逼近”函数在某一点的变化率，即“瞬时变化率”，这就是“逼近”的思想．2．在总结平均变化率的趋势时，可以多算几个平均值，这样得出的瞬时变化率更准确．若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋1(0≤t ＜2)，2＋3(t －3)2(t ≥2).求此物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度． 【解】 当t ＝1时，s ＝3t 2＋1，Δs Δt ＝3(1＋Δt )2＋1－3×12－1Δt＝6＋3Δt ， 当Δt →0时ΔsΔt→6，即t ＝1时，瞬时速度为6.当t ＝3时，s ＝2＋3(t －3)2.Δs Δt ＝2＋3(3＋Δt －3)2－2－3×(3－3)2Δt＝3Δt ， 当Δt →0时，Δs→0，即t ＝3时，瞬时速度为0.12两人的速度哪个快？图2－1－1【思路探究】 比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果．【自主解答】 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1(t 0－Δt )>s 2(t 0－Δt )，故s 1(t 0)－s 1(t 0－Δt )Δt <s 2(t 0)－s 2(t 0－Δt )Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．图2－1－2甲、乙两工厂经过排污治理，污水的排放流量(W )与时间(t )的关系如图2－1－2所示，则治污效率较高的是________．【解析】 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 然而W 2(t 0－Δt )<W 1(t 0－Δt )(Δt >0)，所以|W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt |>|W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt|，所以在相同时间内甲比乙的平均治污效率高． 【答案】 甲忽视函数的实际意义而致误已知一质点做直线运动，其速度v (t )＝t 2＋1，则当Δt 趋近于0时，v (2＋Δt )－v (2)Δt趋近于( )A ．t ＝2时的瞬时速度B ．t ＝2时的路程C ．t ＝2时的加速度D ．t ＝2时的位移【错解】 由瞬时变化率的定义知，v (2＋Δt )－v (2)Δt趋近于t ＝2时的瞬时速度，故选A.【答案】 A【错因分析】 本题的解答忽略了函数v (t )的实际意义．速度的瞬时变化率是加速度，而瞬时速度指的是位移的瞬时变化率．【正解】 由题意可知v (2＋Δt )－v (2)Δt表示速度的变化率，故选C.【答案】 C1．平均变化率和瞬时变化率描述的是函数值变化的快慢． 2．平均变化率是函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)与自变量的增量Δx 的比；而瞬时变化率则指Δx 趋近于0时，瞬时变化率趋近的值.1．在平均变化率的定义中，自变量的增量Δx 应满足( ) A ．Δx >0 B ．Δx <0 C ．Δx ≠0 D ．Δx ＝0【解析】 Δx 可正、可负，但不能等于0. 【答案】 C2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·Δx D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 【解析】 Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 【答案】 D3．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．【解析】 由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs ＝4.42＝2.2.【答案】 2.24．已知函数f (x )＝x 2＋x ，分别计算f (x )在区间[1,3]，[1,2]，[1,1.5]上的平均变化率．【解】 函数f (x )在区间[1,3]上的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝32＋3－(12＋1)2＝5，函数f (x )在区间[1,2]上的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝22＋2－(12＋1)1＝4，函数f (x )在区间[1,1.5]上的平均变化率为f (1.5)－f (1)1.5－1＝1.52＋1.5－(12＋1)0.5＝3.5.一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44【解析】 Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝0.41. 【答案】 B2．函数y ＝f (x )＝3x 在x 从1变到3时的平均变化率等于( )。

1．自变量x 从0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A.在区间[0x ，1x ]上的平均变化率
B.在0x 处的变化率
C.在1x 处的变化量
D.在区间[0x ，1x ]上的瞬时变化率
2．在求平均变化率时，自变量的增量△x 满足（ ）
A. △x>0
B. △x<0
C. △x=0
D. △x ≠0
3.函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是（ ）
A.5
B.-5
C.4
D.-4
4.若质点A 按规律32t s =运动，则在3=t 秒的瞬时速度为（ ）
A.6
B.18
C.54
D.81
5.已知函数y=x 3-2,则当x=2时的瞬时变化率是 。

6.已知物体运动的速度与时间的关系是v(t)=t 2+2t+2， 则在时间间隔[1，1+△t]内的平均加速度是 。

7.求函数y=x 1
在x=2处的瞬时变化率。

8.求函数y=x 在x=4处的瞬时变化率。

9.求函数y=x+x 1
在x=1处的瞬时变化率。

答案ADAC 5.12;6.4t +∆；7.14-；8.1
4；9.0。

变化率与导数 复习一、教学目标：1、认识到平均变化率是刻画物体平均变化的快慢的量，瞬时变化率是刻画物体在一个瞬间的变化快慢的量；2、理解导数概念的实际背景和几何意义，并能用导数定义计算简单的幂函数的导数。

3、利用导数公式表和运算法则计算基本初等函数的导数，并能解决简单的求曲线的切线的问题。

二、教学重点：导数概念的理解和利用导数公式表和导数运算法则进行简单函数的导数运算教学难点：利用极限的语言刻画导数概念和讨论导数的运算法则三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导数概念的实际背景和几何意义，导数公式表和运算法则。

(二)、探究新课例1、求下列函数的导数：（1）233ln xx x x y ++=； （2）)3)(3(2+-=x x x y ； （3）)4,0(,2sin 1π∈-=x x x y ； （4）312)31(x e y x -=+。

解：（1）∵221233ln ln x x x x x x x x y ++=++=-， ∴3234223ln 211212ln 1121x x x x x x x x x y -++-=⋅-⋅++-='--。

（2）∵2429)3)(3(x x x x x y -=+-=∴x x y 1843-='（3）∵x x x x x x x x y cos sin )cos (sin 2sin 12-=-=-=，又∵)4,0(π∈x ，∴x x cos sin <，∴)sin (cos x x x y -= ∴x x x x x x x x x y sin )1(cos )1()cos sin ()sin (cos 1+--=--⋅+-⋅='。

（4）621231223312312)31()3()31(3)31(2])31[(])31[()31()(x x e x e x x e x e y x x x x --⋅-⋅--=-'---'='++++ 412)31()611(x x e x --=+ 例2、已知曲线C 1：2x y =与曲线C 2：2)2(--=x y ，直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程。