2019年甘肃省天水一中高考数学考前练试卷(理科)

天水市一中2019届高三第三次模拟考试理科试题（满分：150分 时间：120分钟）一、单选题（每小题5分，共60分）1．若集合，集合，则等于（ ）M ={x|(x +1)(x ―3)<0}N ={x|x <1}A ． B ． C ． D ．(1,3)(―1,1)(―3,1)2．为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m=( ) i (1+mi )(1+i )A ． B ．0 C ．1 D ．0或1 -13．若满足约束条件，则的最小值为( ) z =-x2+y A ．1 B ．2 C ．-2 D ．-14．数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为8、2，则输出的（ ） a,b n =A ．2 B ．3C ．5D ．45．“不等式在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥0D ．m ≥26．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，则 鈻矨BC 鈭燙=()A ． B ． C ． D ．7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种8．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．9．外接圆的半径为，圆心为，且，，1O ++AC =0则CA 鈰?CB =A ． B ． C ． D ．32332310．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，以为边作一个等边三角形，若y 2=2x F P PF PFQ 点在抛物线的准线上，则（ ） Q |PF |=A ．1 B ．2C ．2D ．22311.一个封闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ） A ．1 B ．C ．D ．2312．定义在上的函数，满足，为的导函数，且R y =f(x)f(3―x)=f(x)f '(x)f(x)，若，且，则有（ ） (x ―32)f '(x)<0x 1<x 2x 1+x 2>3A ．B ．C ．D ．不确定f(x 1)>f(x 2)f(x 1)<f(x 2)f(x 1)=f(x 2)二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a 等于________.14．已知曲线在点（1，f （1））处的切线的倾斜角为α，则f(x)=23x 3的值为________．15．设＝，则二项式展开式中含项的系数是a (a x -1x)6x 216．在实数集中定义一种运算“”，具有性质：R ∗（1）对任意，；（2）对任意，；a ∗b =b ∗a a ∗0=a （3）对任意，。

2019 年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（理科）一、单项选择题（每题 5 分，共 60 分）1．（ 5 分）若会合M＝{ x|（ x+1）（ x﹣3）＜0}，会合 N＝{ x| x＜1}，则 M∩N等于（）A．（ 1， 3）B．（﹣∞，﹣ 1）C．（﹣ 1， 1）D．（﹣ 3， 1）2．（ 5 分） i 为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i ）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣ 1 B． 0 C． 1 D．0或13．（ 5 分）若x，y知足拘束条件，则的最小值为（）A．﹣ 1B．﹣ 2C． 1D．24．（ 5 分）数学名著《算学启发》中有对于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b 分别为8、2，则输出的n＝（）A． 2B． 3C．5D．45．（ 5 分）“不等式x2﹣2x+m≥0在R 上恒成立”的一个充足不用要条件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥ 0D．m≥ 26．（ 5 分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c? cos B＝2a+b，则∠ C＝（）A． 30°B． 60°C． 120°D．150°7．（ 5 分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的祥瑞物各一个，三位同学挨次选一个作为礼品，甲同学喜爱牛和马，乙同学喜爱牛、狗和羊，丙同学哪个祥瑞物都喜爱，假如让三位同学选用礼品都满意，则选法有（）A ． 30 种B ． 50 种C ．60 种D ．90 种8．（ 5 分）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，以下图，则该三棱锥的外接球的表面 积为（）A ． 29πB ． 30πC ．D ．216π9．（ 5 分）△外接圆的半径为 1，圆心为 ，且2++＝ ，|| ＝ ||，则 ?ABCO等于（）A ．B ．C ．3D ．10．（ 5 分）已知抛物线 y 2＝ 2x 的焦点为 F ，点 P 在抛物线上，以 PF 为边作一个等边三角形PFQ ，若点 Q 在抛物线的准线上，则 | PF | ＝（）A ． 1B ． 2C ． 2D ．211．（ 5 分）一个关闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平搁置时，如图，水面的高度正好为 棱长的一半．若将该正方体随意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A ．1B ．C ．D ．12．（5 分）定义在 R 上的函数 y ＝ f （ x ），知足 f （ 3﹣ x ）＝ f （ x ），f ′（ x ）为 f （ x ）的导函数，且（ x ﹣ ） ′（ x ）＜ 0，若 x1＜ 2，且x 1+ 2＞3，则有（）fx xA ． f （x 1）＜ f （ x 2）B ． f （ x 1）＞ f （x 2 ）C ． f （x 1）＝ f （ x 2）D ．不确立二、填空题（每题5 分，共 20 分）13．（ 5 分）已知直线 y ＝ ax ﹣2 和 y ＝（ a +2） x +1 相互垂直，则实数 a 等于 ．14 ．（ 5 分）已知曲线f （ x ）＝x 3 在点（ 1 ， f （ 1 ））处的切线的倾斜角为α，则的值为．15．（ 5 分）设 ＝（ sin x +cos ） dx ，则二项式（a）6 睁开式中含2项的系数axx是16．（ 5 分）在实数集 R 中定义一种运算“●” ，拥有性质：（ 1）对随意 a ，b ∈ R ， a ● b ＝ b ● a ；（ 2）对随意 a ∈R ， a ● 0＝a ；（ 3）对随意 a ，b ∈ R ，（ a ● b ）● c ＝ c ●（ ab ）+（ a ● c ） +（ b ● c ）﹣ 5c ．则函数 f （ x ）＝ x ● （x ＞ 0）的最小值为 ．三、解答题（每题 12 分，共 60 分）17．（ 12 分）已知等比数列 { a n } 是递加数列，且 a 1+a 5 ＝ ， a 2a 4＝ 4．（ 1）求数列 { a n } 的通项公式（ 2）若 b n ＝na n （n ∈ N* ），求数列 { b n } 的前 n 项和 S n ．18．（ 12 分）某市场研究人员为了认识家产园引进的甲企业先期的经营状况， 对该企业 2018年连续 6 个月的收益进行了统计，并依据获得的数据绘制了相应的折线图，以下图（ 1）由折线图能够看出，可用线性回归模型拟合月收益y （单位：百万元）与月代码x之间的关系，求 y 对于 x 的线性回归方程，并展望该企业2019 年 3 月份的收益；（ 2）甲企业新研制了一款产品，需要采买一批新式资料，现有A ，B 两种型号的新式材料可供选择，按规定每种新式资料最多可使用4 个月，但新资料的不稳固性会致使资料破坏的年限不同样，现对 A ，B 两种新式资料对应的产品各100 件进行科学模拟测试，得到两种新式资料使用寿命的聘书统计以下表：寿命种类1个月 2个月 3个月 4个月总计A20353510100B 10304020 100经甲企业测算均匀每包新式资料每个月能够带来 5 万元收入，不考虑除采买成本以外的其他成本， A 资料每包的成本为10 万元，B资料每包的成本为12 万元．假定每包新式资料的使用寿命都是整数月，且以频次作为每包新式资料使用寿命的概率，假如你是甲企业的负责人，以每包新式资料产生收益的希望值为决议依照，你会选择采买哪款新式资料参照数据：．参照公式：回归直线方程为．19．（ 12 分）在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝ 1，∠ADE＝ 90°，∠ADC ＝∠ DCB＝120°．（Ⅰ）求证： AE⊥ BD；（Ⅱ）求直线AF与平面 BDF所成角的正弦值．20．（ 12 分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣ c，0），F2（ c，0），过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆C订交所得的弦长为3，直线y＝﹣与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）能否存在直线l ：y＝ k（ x+c）与椭圆 C订交于 E，D两点，使得（）＜ 1 若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明原因！21．（ 12 分）已知函数f （ x）＝ ax﹣1﹣ lnx （ a∈R）（ 1）议论函数 f （ x）的单一性；（ 2）若函数f（x）在x＝ 1 处获得极值，不等式 f （ x）≥ bx﹣2对? x∈（0，+∞）恒成立，务实数 b 的取值范围；（ 3）当x＞ y＞ e﹣1时，证明不等式e x ln （1+y）＞ e y ln （1+x）选做题（共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答．假如多做，则按所做第一题计分．）l 的参数方程为（此中t 为参22．（ 10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线数， 0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ sin 2θ＝4cosθ．（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l与C订交于A，B两点，且 | AB| ＝ 8，求α．23．设函数 f （ x）＝|2 x+a|﹣| x﹣2|（x∈R， a∈R）．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求不等式 f （x）＞0的解集；（Ⅱ）若 f （ x）≥﹣1在x∈R上恒成立，务实数 a 的取值范围．2019 年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（理科）参照答案与试题分析一、单项选择题（每题5 分，共 60 分）1．（ 5 分）若会合M＝{ x|（ x+1）（ x﹣3）＜0}，会合 N＝{ x| x＜1}，则 M∩N等于（）A．（ 1， 3）B．（﹣∞，﹣ 1）C．（﹣ 1， 1）D．（﹣ 3， 1）【考点】 1E：交集及其运算．【专题】 11：计算题； 5J：会合．【剖析】由二次不等式的解法得：M＝（﹣1，3），由会合交集及其运算得：M∩N＝（﹣1，1），得解．【解答】解：解二次不等式（x+1）（x﹣3）＜0得：﹣1＜ x＜3，即 M＝（﹣1，3），又会合 N＝{ x| x＜1}＝（﹣∞，1），所以 M∩N＝（﹣1，1），应选： C．【评论】此题考察了二次不等式的解法及会合交集及其运算，属简单题．2．（ 5 分）i为虚数单位，若复数（1+mi）（ 1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣ 1B．0C．1D．0 或 1【考点】 A5：复数的运算．【专题】 38：对应思想； 4A：数学模型法；5N：数系的扩大和复数．【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（ 1+mi）（1+i）＝（ 1﹣m） +（ 1+m）i是纯虚数，∴，即 m＝1．应选： C．【评论】此题考察了复数代数形式的乘除运算，考察了复数的基本观点，是基础题．3．（ 5 分）若x，y知足拘束条件，则的最小值为（）A．﹣ 1B．﹣ 2C． 1D．2【考点】 7C：简单线性规划．【专题】 11：计算题； 31：数形联合；35：转变思想； 49：综合法； 5T：不等式．【剖析】先依据拘束条件画出平面地区，而后平移直线y＝﹣2x，当过点（0，﹣1）时，直线在 y 轴上的截距最大，从而求出所求．【解答】解： x， y 知足拘束条件的平面地区以下列图所示：平移直线 y＝﹣2x，由图易得，当x＝0， y＝﹣1时，即经过A时，目标函数 z＝2x+y 的最小值为：﹣1．应选： A．【评论】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（ 5 分）数学名著《算学启发》中有对于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b 分别为8、2，则输出的n＝（）A． 2B． 3C．5D．4【考点】 EF：程序框图．【专题】 38：对应思想； 4B：试验法； 5K：算法和程序框图．【剖析】依据条件进行模拟运算即可．【解答】解： n＝1， a＝8+4＝12，b＝4， a＜b 否， n＝2，n＝2，a＝12+6＝18， b＝8， a＜ b 否， n＝3，n＝3，a＝18+9＝27， b＝16， a＜ b 否， n＝4，n＝4，a＝27+＝，b＝32，a＜b否，n＝5，n＝5，a＝+＝， b＝64， a＜ b 是，输出 n＝5，应选： C．【评论】此题主要考察程序框图的辨别和辨别，联合条件进行模拟运算是解决此题的关键．5．（ 5 分）“不等式x2﹣2x+m≥0在R 上恒成立”的一个充足不用要条件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥ 0D．m≥ 2【考点】 29：充足条件、必需条件、充要条件．【专题】 11：计算题； 5L：简略逻辑．【剖析】由二次不等式恒成立问题得：：“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的充要条件为：“（﹣ 2）2﹣ 4m≤0“即”m≥ 1“，由充足必需条件得：“ m≥2“是” m≥1“的充足不用要条件，即“不等式x2﹣2x+m≥0在R 上恒成立”的一个充足不用要条件是：” m≥2“，得解．【解答】解：“不等式 x2﹣2x+m≥0在R上恒成立” 的充要条件为：“（﹣2）2﹣4m≤0“即”m≥1“，又“ m≥2“是” m≥1“的充足不用要条件，即“不等式x2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一个充足不用要条件是：” m≥ 2“，应选： D．【评论】此题考察了二次不等式恒成立问题及充足必需条件，属简单题．6．（ 5 分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c? cos B＝2a+b，则∠ C＝（）A． 30°B． 60°C． 120°D．150°【考点】 HP：正弦定理．【专题】 11：计算题； 35：转变思想；49：综合法； 58：解三角形．【剖析】联合题意，由余弦定理可得2c×＝2a+b，变形可得a2+b2﹣ c2＝﹣ab，依据余弦定理可求cos C的值，联合C的范围，剖析可得答案．【解答】解：依据题意，若2c? cos B＝ 2a+b，则有： 2c×＝2a+b，整理得： a2+b2﹣ c2＝﹣ ab，可得： cos C＝＝＝﹣，又在△ ABC中，0°＜ C＜180°，∴C＝120°．应选：C．【评论】此题考察三角形中的几何计算，考察了余弦定理的应用，属于基础题．7．（ 5 分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的祥瑞物各一个，三位同学挨次选一个作为礼品，甲同学喜爱牛和马，乙同学喜爱牛、狗和羊，丙同学哪个祥瑞物都喜爱，假如让三位同学选用礼品都满意，则选法有（）A． 30 种B． 50 种C．60 种D．90 种【考点】 D3：计数原理的应用．【专题】 32：分类议论； 5I ：概率与统计．【剖析】议论甲同学选择的两种不一样的状况，确立乙，丙的个数．【解答】解：①甲同学选择牛，乙有 2 种，丙有10 种，选法有1× 2× 10＝ 20 种，②甲同学选择马，乙有 3 种，丙有10 种，选法有1×3× 10＝ 30 种，所以总合有20+30＝ 50 种．应选： B．【评论】此题考察分步计数原理，属于简单题．8．（ 5 分）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，以下图，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． 29πB． 30πC．D．216π【考点】 LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】 11：计算题．【剖析】几何体还原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角极点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，而后求其的表面积．【解答】解：由三视图还原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角极点的三棱锥；把它扩展为长方体，二者有同样的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：．该三棱锥的外接球的表面积为：，应选： A．【评论】此题考察三视图，几何体的外接球的表面积，考察空间想象能力，计算能力，是基础题．9．（ 5 分）△外接圆的半径为1，圆心为，且2++ ＝，| | ＝ | |，则 ?ABC O等于（）A．B．C．3D．【考点】 9O：平面向量数目积的性质及其运算．【专题】 5A：平面向量及应用．【剖析】利用向量的运算法例将已知等式化简获得，获得BC为直径，故△ ABC 为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数目积的定义求出的值．【解答】解：∵，∴，∴．∴O， B， C共线， BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴＝1， | BC|＝2，| AC|＝，故∠ ACB＝．则，应选： C．【评论】此题主要考察向量在几何中的应用、向量的数目积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的重点．10．（ 5 分）已知抛物线y2＝2x 的焦点为 F，点 P在抛物线上，以PF为边作一个等边三角形PFQ，若点 Q在抛物线的准线上，则| PF| ＝（）A． 1 B． 2 C． 2 D．2【考点】 K8：抛物线的性质．【专题】 11：计算题； 35：转变思想； 49：综合法； 5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】 求出抛物线的焦点坐标（， 0），利用抛物线的简单性质求出直线方程，而后求出结果．【解答】 解：抛物线的焦点坐标（， 0），可得直线 PF ： y ＝ （ x ﹣），可得：，可得： ＝ ，则 y ＝，x| PF | ＝ ＝2．应选： B ．【评论】 此题考察抛物线的简单性质的应用，考察转变思想以及计算能力．11．（ 5 分）一个关闭的棱长为 2 的正方体容器，当水平搁置时，如图，水面的高度正好为 棱长的一半．若将该正方体随意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A ．1B ．C ．D ．【考点】 LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】 31：数形联合； 44：数形联合法；5F ：空间地点关系与距离．【剖析】 依据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新地点高度的一半．【解答】 解：正方体的对角线长为2 ，故当正方体旋转的新地点的最大高度为2，又水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为．应选： C ．【评论】 此题考察了几何体的体积计算，属于基础题．12．（5 分）定义在 R 上的函数 y ＝ f （ x ），知足 f （ 3﹣ x ）＝ f （ x ），f ′（ x ）为 f （ x ）的导函数，且（ x﹣）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＝f（x2）D．不确立【考点】 3E：函数单一性的性质与判断；62：导数及其几何意义．【专题】 11：计算题； 16：压轴题．【剖析】由“ f （3﹣ x）＝ f （ x）”，知函数图象对于直线x＝对称，再由“ f ′（ x）＜0”可知：当x＞时，函数是减函数当 x＜时，函数是增函数，最后由“x1＜ x2，且 x1+x2＞3”，得悉 x1，x2∈（，+∞），应用单一性定义获得结论．【解答】解：∵ f （3﹣ x）＝ f （ x），∴函数图象对于直线x＝对称，又∵ f ′（ x）＜0∴当 x＞时，函数是减函数当 x＜时，函数是增函数∵x1＜ x2，且 x1+x2＞3∴x1， x2∈（，+∞）∴f （ x1）＞ f（ x2）应选： B．【评论】此题主要考察函数的对称性和单一性，这里还考察了导数，当导数大于零时，函数是增函数，当导数小于零时，函数是减函数．二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13．（ 5 分）已知直线y＝ ax﹣2和 y＝（ a+2） x+1相互垂直，则实数 a 等于﹣1．【考点】 IA ：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；IJ ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】 11：计算题．【剖析】利用斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1，解方程求出实数a的值．【解答】解：∵直线 y＝ ax﹣2和 y＝（ a+2）x+1相互垂直，∴他们的斜率之积等于﹣1，即 a×（ a+2）＝﹣1，∴ a＝﹣1，故答案为：﹣1．【评论】此题考察斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1．14．（5 分）已知曲线 f （ x）＝x3 在点（ 1 ，f（ 1 ））处的切线的倾斜角为α，则的值为．【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】 11：计算题； 35：转变思想；49：综合法； 53：导数的综合应用．【剖析】求出函数的导数，求得 f （x）在点（1， f （1））处切线斜率，利用同角三角函数关系式即可化简得解．【解答】解：因为：曲线 f （ x）＝x3．所以：函数 f （ x）的导函数 f ′（ x）＝2x2，可得： f ′（1）＝2，因为：曲线 f （ x）＝ x3在点（1， f （1））处的切线的倾斜角为α，所以： tan α＝f′（ 1）＝ 2，所以：＝＝＝．故答案为：．【评论】此题考察导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考察三角函数化简求值，属于基础题．15．（ 5 分）设a＝（ sin x+cos x）dx，则二项式（ a ）6 睁开式中含x2项的系数是﹣192【考点】 DA：二项式定理．【专题】 11：计算题； 34：方程思想；52：导数的观点及应用；5P：二项式定理．【剖析】依据题意，由定积分计算公式可得 a ＝（ sin x+cos x）dx＝sin xdx+ cos xdx＝（﹣ cos x）+sin x ＝2，即可得 a 的值，由二项式定理剖析可得该二项式睁开式的通项，据此剖析可得答案．【解答】解：依据题意， a＝（ sin x+cos x）dx＝sin xdx+ cos xdx＝（﹣ cos x）+sin x ＝2，二项式（ a6 6（ 26﹣ r））即（2 ），其睁开式的通项为 T r +1＝）（﹣r＝（﹣ 1）r× × 26﹣r x3﹣r，当 r ＝1时，有 T2＝（﹣1）×× 2 5x2 ＝﹣ 192；故答案为：﹣192．【评论】此题考察二项式定理的应用，波及定积分的计算，属于基础题．16．（ 5 分）在实数集R 中定义一种运算“●” ，拥有性质：（1）对随意a，b∈ R，a●b＝b●a；（ 2）对随意a∈R，a● 0＝a；（ 3）对随意a，b∈ R，（a● b）● c＝ c●（ ab）+（ a● c）+（ b● c）﹣5c．则函数 f （ x）＝ x●（x＞0）的最小值为3．【考点】 7F：基本不等式及其应用．【专题】 23：新定义； 35：转变思想；59：不等式的解法及应用．【剖析】令 c＝0，代入得（ a? b）? 0＝0?（ab）+（a? 0）+（b? 0）＝ ab+a+b．求出 f （ x）分析式，从而获得 f （ x）最小值．【解答】因为在（ 3）中，对随意对随意a∈R，（ a● b）● c＝c●（ ab）+（ a●c）+（ b● c）﹣5c．令 c＝0，代入得（ a? b）? 0＝0?（ ab）+（ a? 0）+（b? 0）．由（ 1）中a●b＝b●a可得（a? b）? 0＝ 0?（ab） +（a? 0） +（b? 0）．由（ 2）中a● 0＝a，化简可得（a? b）? 0＝ab+a+b．所以 f （ x）＝ f （ x）? 0＝（ x●）? 0＝1+x+，因为 x ＞ 0，由基本不等式可得f （ ）＝ 1+ + ≥1+2 ＝ 3，x x故填： 3．【评论】 此题为新定义题，理解好定义并合理使用定义中的条件，是解题重点．还考察了基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题（每题 12 分，共 60 分）17．（ 12 分）已知等比数列 { a n } 是递加数列，且 a 1+a 5 ＝ ， a 2a 4＝ 4．（ 1）求数列 { a n } 的通项公式（ 2）若 b n ＝na n （n ∈ N* ），求数列 { b n } 的前 n 项和 S n ． 【考点】 8H ：数列递推式．【专题】 35：转变思想； 4O ：定义法； 54：等差数列与等比数列．【剖析】（ 1）依据 { a n } 是递加等比数列， a 1+a 5＝ ， a 2 a 4＝ 4．即可求解数列 { a n } 的通项公式（ 2）由 b n ＝n（ ∈ N* ），可得数列 { b n } 的通项公式，利用错位相减法即可求解前n 项和na nS ．n【解答】 解：（ 1）由 { a n } 是递加等比数列， a 1+a 5 ＝ ， a 2a 4 ＝4＝ a 3 2＝ 4∴ a 1+a 1q 4＝ ， ；解得： a 1＝ ， q ＝ 2；∴数列 { a n } 的通项公式： a n ＝ 2n ﹣ 2；（ 2）由 b n ＝na n （n ∈ N* ），∴ b n ＝ n ? 2﹣2；∴ S 1＝ ； n那么 S n ＝ 1×2﹣1+2× 20+3× 21++n ? 2n ﹣2，①12n ﹣2n ﹣ 1则 2S n ＝ 1× 2 +2×2 +3× 2 ++（ n ﹣ 1） 2 +n ? 2 ，②将②﹣①得：n＝n ﹣1；+ ? 2Sn即： S n ＝﹣（ 2﹣1+20+2+22+2n ﹣2）+n ? 2n ﹣1＝+n ? 2n ﹣1 ．【评论】此题主要考察数列通项公式以及前n 项和的求解，利用错位相减法是解决此题的重点．18．（ 12 分）某市场研究人员为了认识家产园引进的甲企业先期的经营状况，对该企业2018 年连续 6 个月的收益进行了统计，并依据获得的数据绘制了相应的折线图，以下图（ 1）由折线图能够看出，可用线性回归模型拟合月收益y（单位：百万元）与月代码x 之间的关系，求y 对于x 的线性回归方程，并展望该企业2019 年3 月份的收益；（ 2）甲企业新研制了一款产品，需要采买一批新式资料，现有A， B 两种型号的新式材料可供选择，按规定每种新式资料最多可使用 4 个月，但新资料的不稳固性会致使资料破坏的年限不同样，现对A，B 两种新式资料对应的产品各100 件进行科学模拟测试，得到两种新式资料使用寿命的聘书统计以下表：寿命种类 1 个月 2 个月 3 个月 4 个月总计A 20 35 35 10 100B 10 30 40 20 100经甲企业测算均匀每包新式资料每个月能够带来 5 万元收入，不考虑除采买成本以外的其他成本， A 资料每包的成本为10 万元，B资料每包的成本为12 万元．假定每包新式资料的使用寿命都是整数月，且以频次作为每包新式资料使用寿命的概率，假如你是甲企业的负责人，以每包新式资料产生收益的希望值为决议依照，你会选择采买哪款新式资料参照数据：．参照公式：回归直线方程为．【考点】 BK：线性回归方程．【专题】 38：对应思想； 4R：转变法； 5I ：概率与统计．【剖析】（ 1）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；（ 2）分别计算相应的数学希望，即可得出结论．【解答】解：（ 1）由折现图可知统计数据（，）共6组，即（ 1， 11），（ 2， 13），（3， 16），（ 4， 15），（ 5， 20），（ 6， 21），计算可得＝（1+2+3+4+5+6）＝，＝y i＝? 96＝ 16，故＝＝2，故＝﹣＝16﹣2?＝9，∴ x 对于 y 的线性回归方程为＝2x+9，故 x＝11时，则＝2× 11+9＝31，即展望企业2018 年 1 月份（即x＝7时）的收益为31 百万元；（2）由频次预计概率，A型资料可使用 1 个月，2 个月，3 个月、4 个月的概率分别为，，，，∴ A 型资料收益的数学希望为（5﹣10）×+（10﹣10）×+（15﹣10）×+（20﹣10）×＝万元；B 型资料可使用 1 个月， 2 个月， 3 个月、 4 个月的概率分别为，，，，∴ B 型资料收益的数学希望为（5﹣12）× +（10﹣ 12）× +（ 15﹣12）× +（20﹣ 12）×＝万元；∵＞，∴应当采买 A 型资料．【评论】此题考察数学知识在实质生活中的应用，考察学生的阅读能力，对数据的办理能力，属于中档题．19．（ 12 分）在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝ 1，∠ADE＝ 90°，∠ADC ＝∠ DCB＝120°．（Ⅰ）求证： AE⊥ BD；（Ⅱ）求直线AF与平面 BDF所成角的正弦值．【考点】 LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】 14：证明题； 31：数形联合； 41：向量法； 5F：空间地点关系与距离；5G：空间角．【剖析】（Ⅰ）推导出AD⊥ BD，AD⊥ DE， DC⊥ DE，从而 DE⊥平面 ABCD，从而 BD⊥ DE，由此能证明 BD⊥平面 ADE，从而 AE⊥ BD．（Ⅱ）以 D为原点， DA为 x 轴， DB为 y 轴， DE为 z 轴，成立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面 BDF所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵ AD＝ DE＝1，四边形 EDCF是正方形，∠ ADC＝∠ DCB＝120°．∴AD＝DC＝ BC＝1，∴∠ BDC＝∠ DBC＝30°，∴∠ ADB＝90°，∴ AD⊥ BD，∵在五面体 ABCDEF中，四边形 EDCF是正方形，∠ ADE＝90°，∴AD⊥DE， DC⊥DE，又 AD∩ DC＝ D，∴DE⊥平面 ABCD，∵ BD ? 平面 ABCD ，∴ BD ⊥DE ， ∵ AD ∩DE ＝ D ，∴ BD ⊥平面 ADE ，∵ AE ? 平面 ADE ，∴ AE ⊥BD ．解：（Ⅱ）以 D 为原点， DA 为 x 轴， DB 为 y 轴， DE 为 z 轴，成立空间直角坐标系，A （ 1，0， 0）， F （ 0， 1，1），B （ 0， ，0）， D （ 0， 0， 0），E （ 0， 0， 1），＝（ 1，﹣ 1，﹣ 1）， ＝（ 0， ， 0）， ＝（ 0， 0， 1），平面 BDE 的法向量＝（ 1， 0， 0），设直线 AF 与平面 BDF 所成角为 θ，则 cos θ＝＝ ＝．∴直线AF 与平面 所成角的正弦值为．BDF【评论】 此题考察线线垂直的证明，考察线面角的正弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识，考察运算求解能力，考察数形联合思想，是中档题．20．（ 12 分）已知 O 为坐标原点，椭圆 C ： ＝ 1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F 1（﹣ c ， 0），F 2（ c ， 0），过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 订交所得的弦长为 3，直线y ＝﹣ 与椭圆 C 相切．（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）能否存在直线 l ：y ＝ k （ x +c ）与椭圆 C 订交于 E ，D 两点，使得（）＜ 1 若存在，求 k 的取值范围；若不存在，请说明原因！【考点】 KL ：直线与椭圆的综合．【专题】 15：综合题； 38：对应思想； 4R ：转变法； 5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【剖析】（Ⅰ）由题意可得＝ 3，以及直线 y ＝﹣ 与椭圆 C 相切，可得 b ＝，解之即得 a ， b ，从而写出椭圆 C 的方程；（Ⅱ）联立方程组，依据韦达定理和向量的运算，即可求出k 的取值范围．【解答】 解：（Ⅰ）∵在＝ 1（ ＞ ＞ 0）中，令x ＝ ，可得 y ＝±，a b c∵过焦点且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 订交所得的弦长为 3，∴＝ 3，∵直线 y ＝﹣与椭圆 C 相切，∴ b ＝ ， ∴ a ＝ 2∴ a 2＝ 4， b 2＝ 3．故椭圆 C 的方程为+＝ 1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c ＝1，则直线 l 的方程为 y ＝ k （ x +1），联立，可得（ 4k 2+3） x 2+8k 2x +4k 2﹣12＝ 0，则△＝ 64k 4﹣ 4（ 4k 2+3）（ 4k 2﹣ 12）＝ 144（k 2+1）＞ 0，∴ x 1+x 2＝﹣， x 1 x 2＝ ，∴ y 1y 2 ＝k 2 （ x 1+1）（ x 2 +1）＝﹣，∵（ ） ＜ 1，∴?＜ 1，∴（ x 2﹣ 1，y 2 ）（x 1﹣ 1， y 1）＝ x 1x 2﹣（ x 1+x 2） +1+y 1 y 2＜ 1，即+ +1﹣ ＜1，整理可得 k 2＜ 4，解得﹣ 2＜ k ＜ 2，∴直线 l 存在，且 k 的取值范围为（﹣2， 2）．【评论】 此题考察了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技术方法，考察了运算求解能力，转变与化归能力，属于中档题．21．（ 12 分）已知函数 f （ ）＝ ax ﹣ 1﹣lnx （ ∈R ）xa（ 1）议论函数 f （ x ）的单一性；（ 2）若函数 f （ x ）在 x ＝ 1 处获得极值，不等式 f （ x ）≥ bx ﹣2 对 ? x ∈（ 0， +∞）恒成立，务实数 b 的取值范围；（ 3）当 x ＞ ＞ ﹣ 1 时，证明不等式x（ 1+ ）＞ y（ 1+ ）y ee ln y e ln x【考点】 6B ：利用导数研究函数的单一性； 6C ：函数在某点获得极值的条件；6E ：利用导数研究函数的最值．【专题】 11：计算题； 15：综合题； 51：函数的性质及应用； 53：导数的综合应用．【剖析】（ 1）由 f （ x ）＝ ax ﹣ 1﹣ lnx ，求得 f ′（ x ）＝．而后分 a ≤ 0 与 a ＞ 0 两种状况议论，从而获得 f ′（ x ）的符号，可得 f （ x ）在其定义域（ 0，+∞）内的单一性，最后综合可得答案；（ 2）函数 f （ x ）在 x ＝ 1 处获得极值，由（ 1）的议论可得 ＝1．将不等式f （ ）≥bxa x ﹣ 2 化简整理获得 1+﹣≥ b ，再结构函数 g （ x ）＝ 1+ ﹣ ，利用导数研究 g （ x ）的单一性，获得 [ g （ x ） ] min ＝ 1﹣] ．由此即可获得实数 b 的取值范围；（ 3）设函数 F （ t ）＝，此中 t ＞ e ﹣1．利用导数研究 F （ x ）的单一性，获得得 F （ t ）是（ e ﹣ 1，+∞）上的增函数． 从而获得当 x ＞ y ＞e ﹣ 1 时，F （ x ）＞ F （ y ）即＞ ，变形整理即可获得不等式e x ln （1+y ）＞ e y ln （1+x ）成立．【解答】解：（ 1）∵f（x）＝ax﹣ 1﹣lnx，∴f′（x）＝a﹣＝，当 a≤0时， f '（ x）≤0在（0，+∞）上恒成立，∴函数 f （ x）在（0，+∞）单一递减；当 a＞0时， f '（ x）＜0得0＜ x≤， f '（ x）＞0得 x＞，∴ f （ x）在（0，）上单一递减，在（， +∞）上单一递加，综上所述，当≤0 时函数f （）在（ 0， +∞）上是减函数；a x当 a＞0时， f （x）在（0，）上是减函数，在（， +∞）上是增函数．（ 2）∵函数f（x）在x＝1 处获得极值，∴依据（1）的结论，可得a＝1，∴ f （ x）≥ bx﹣2，即 x+1﹣ lnx ≥bx，两边都除以正数 x，得1+ ﹣≥ b，令 g（x）＝1+ ﹣，则 g′（ x）＝﹣﹣＝﹣（ 2﹣lnx），由 g′（ x）＞0得， x＞ e2，∴ g（ x）在（0， e2）上递减，由 g′（ x）＜0得，0＜ x＜ e2，∴ g（ x）在（ e2，+∞）上递加，∴ g（ x）min＝g（ e2）＝1﹣，可得 b≤1﹣，实数b的取值范围为（﹣∞，1﹣] ．（ 3）令F（t）＝，此中t＞e﹣1可得F'（ t ）＝＝再设（）＝ln （1+ ）﹣，可得' （）＝+ ＞0 在（e﹣1， +∞）上G t t G t恒成立∴ G（ t ）是（ e﹣1，+∞）上的增函数，可得G（ t ）＞ G（ e﹣1）＝ lne ﹣＝1﹣＞0 所以，F'（ t ）＝＞0在（e﹣1，+∞）上恒成立，可得F（t）＝是（ e﹣1，+∞）上的增函数．∵ x＞ y＞ e﹣1，∴ F（ x）＞ F（ y），可得＞∵ ln （1+x）＞0且 ln （1+y）＞0，∴不等式两边都乘以ln （1+x） ln （1+y），可得 e x ln （1+y）＞e y ln（ 1+x）．即对随意 x＞ y＞e﹣1，都有不等式e x ln （1+y）＞ e y ln （1+x）成立．【评论】此题考察利用导数研究函数的极值，考察恒成立问题，侧重考察分类议论思想与结构函数思想的应用，表现综合剖析问题与解决问题能力，属于难题．选做题（共10 分，请考生在第22、23 题中任选一题作答．假如多做，则按所做第一题计分．）22．（ 10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l 的参数方程为（此中t 为参数， 0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ sin 2θ＝4cosθ．（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l与C订交于A，B两点，且 | AB| ＝ 8，求α．【考点】 Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】 35：转变思想； 56：三角函数的求值； 5S：坐标系和参数方程．【剖析】（ 1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的变换求出结果．（2）利用直线和曲线的地点关系的应用成立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果．【解答】解：（ 1 ）直线l的参数方程为（此中t为参数，0＜α＜π）．①当时，直线的方程为x＝1．②当α≠时，直线的方程为：y＝tan α（ x﹣1）．曲线 C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，变换为直角坐标方程为：y2＝4x．（ 2 ）将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得： sin 2 αt2＝4（ 1+ cos α），t整理得： sin 2αt2﹣ 4cos αt﹣ 4＝ 0，（t1和t2为A、B对应的参数）所以：，．因为|AB|＝＝8解得：因为 0 ＜α＜π，所以：．【评论】此题考察的知识重点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的变换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考察学生的运算能力和转变能力，属于基础题型．23．设函数 f （ x）＝|2 x+a|﹣| x﹣2|（x∈R， a∈R）．（Ⅰ）当 a＝﹣1时，求不等式 f （x）＞0的解集；（Ⅱ）若 f （ x）≥﹣1在 x∈R上恒成立，务实数 a 的取值范围．【考点】 6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【专题】 32：分类议论； 4R：转变法； 5T：不等式．【剖析】（Ⅰ） a＝﹣1时不等式 f （ x）＞0化为|2 x﹣1|＞| x﹣2|，两边平方求解即可得出不等式 f （ x）＞0的解集；（Ⅱ）由题意，议论a＜﹣4、 a＝﹣4和 a＞﹣4时，求出 f （ x）的最小值 f （ x）min，列出不等式求出 a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ） a＝﹣1时，函数 f （ x）＝|2 x﹣1|﹣| x﹣2|，不等式 f （ x）＞0化为|2 x﹣1|＞| x﹣2|，两边平方得（2x﹣ 1）2＞（x﹣ 2）2，化简得（ 3x﹣ 3）（x+1）＞ 0，解得 x＜﹣1或 x＞1，所以不等式 f （ x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（ 1， +∞）；（Ⅱ）由题意，当a＜﹣4时， f （x）＝，由函数单一性可得， f （ x）min＝ f （﹣）＝+2≥﹣ 1，解得﹣ 6≤a＜﹣ 4；当 a＝﹣4时， f （ x）＝| x﹣2|， f （ x）min＝0≥﹣1，所以 a＝﹣4切合题意；当 a＞﹣4时， f （ x）＝，由函数单一性可得， f （ x）min＝ f （﹣）＝﹣﹣ 2≥﹣ 1，解得﹣4≤a＜﹣ 2；综上所述，实数 a 的取值范围是[﹣6，﹣2] ．【评论】此题考察了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考察了不等式恒成立问题，是中档题．。

甘肃天水市一中2019届高三第七次模拟考试理科数学试题数学试题（理）命题： 审核：（满分：150分时间：120分钟）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必或用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要界弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|10}A x x =+>，{1,0,1}B =-，则A B =I （ ）A. {1}B. {}1-C. {0,1}D. {1,0}- 2.若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z 的虚部为i - B. 2z = C. z 的共轭复数为1i -- D. 2z 为纯虚数3.若向量(0,2)m =-u r ，n =r ，则与2m n +u r r 共线的向量可以是（ ）A. 1)-B. (-C. (1)-D. (1,- 4.//,//,//a b αβαβ，则a 与b 位置关系 ( )A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面或相交5.空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬空气质量比中旬的空气质量好6.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 23B. 13C. 43D. 567.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ）A. 4±B. 4C. 2±D. 28.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）的的A. 6481B. 3227C. 89D. 16279.若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =（ ）A. 3B. 13C. 2D. 1210.双曲线22163x y -=的渐近线与圆(x －3)2－y 2－r 2(r －0)相切，则r 等于( )B. 2C. 3D. 6 11.已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ） A. 10110 B. 9110 C. 11111 D. 1221112.函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ）A. （2，+∞）B. （﹣∞，1）∪（2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知sin cos 0αα-=，则cos(2)2πα+=__________.14.若实数x ，y 满足66y x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-+的最小值为__________．15.若(2)n x -展开式的二项式系数之和为64，则展开式各项系数和为__________．16.已知点F 是抛物线22y x =的焦点，M ，N 是该抛物线上的两点，若17||||4MF NF +=，则线段MN 中点的纵坐标为__________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知ABC V 中，2BC =，45B =︒，D 是AB 上一点．（1）若1BCD S =△，求CD 的长；（2）若30A =︒，3BD AD =，求sin sin ACD DCB∠∠的值． 18.为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”； （3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望值．附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++19.已知椭圆C 的焦点在x（1）求椭圆C 的方程；（2）设(3,0)M -，过椭圆C 右焦点F 的直线l 交于A 、B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式()MA MB R λλ⋅≤∈u u u r u u u r 恒成立，求λ的最小值.20.如图在棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，PD ⊥面ABCD ，2,45,30.PB BPC PBD =∠=∠=o o（1）在PB 上是否存在一点E ，使PC ⊥面ADE ，若存在确定E 点位置，若不存在，请说明理由；（2）当E 为PB 中点时，求二面角P AE D --的余弦值.21.设函数2()e 3x f x m x =-+，其中m R ∈．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23总中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答的第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()()6f x x m x m R =+--∈.（Ⅰ）当3m =时，求不等式()5f x ≥解集；（Ⅱ）若不等式()7f x ≤对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.的。

天水市一中2019届高三第三次模拟考试理科试题一、单选题。

1.若集合，集合，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得，然后求两个集合的交集.【详解】由解得，故，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解即可．【详解】是纯虚数，，即，故选C．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.若满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最大值为.故选D.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.4.数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.是源于其思想的一个程序框图.若输入的分别为，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案。

【详解】由题意，输入分别为，第一次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，满足退出循环的条件，故输出，故选C。

2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（理科）一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）若集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，集合N＝{x|x＜1}，则M∩N等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）2．（5分）i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣1B．0C．1D．0或13．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．24．（5分）数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为8、2，则输出的n＝（）A．2B．3C．5D．42﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（）5．（5分）“不等式xA．m≥1B．m≤1C．m≥0D．m≥26．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c?cosB＝2a+b，则∠C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．（5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A．30种B．50种C．60种D．90种8．（5分）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29πB．30πC．D．216π9．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，||＝||，则?等于（）A．B．C．3D．2＝2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF为边作一个等边三角10．（5分）已知抛物线y形PFQ，若点Q在抛物线的准线上，则|PF|＝（）A．1B．2C．2D．211．（5分）一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A．1B．C．D．12．（5分）定义在R上的函数y＝f（x），满足f（3﹣x）＝f（x），f′（x）为f（x）的导函数，且（x﹣）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＝f（x2）D．不确定二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，则实数a等于．314．（5分）已知曲线f（x）＝x在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为．6 15．（5分）设a＝（sin x+cos x）dx，则二项式（a）2展开式中含x项的系数是16．（5分）在实数集R中定义一种运算“●”，具有性质：（1）对任意a，b∈R，a●b＝b●a；（2）对任意a∈R，a●0＝a；（3）对任意a，b∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．则函数f（x）＝x●（x＞0）的最小值为．三、解答题（每小题12分，共60分）17．（12分）已知等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5＝，a2a4＝4．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若b n＝na n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y（单位：百万元）与月代码x 之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同，现对A，B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表：寿命类型1个月2个月3个月4个月总计A20353510100B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元．假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：．参考公式：回归直线方程为．19．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（Ⅰ）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．20．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y＝﹣与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y＝k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣l nx（a∈R）；（1）讨论函数f（x）的单调性2对?x∈（0，+∞）恒成立，（2）若函数f（x）在x＝1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣求实数b的取值范围；x y1时，证明不等式 e（3）当x＞y＞e﹣ln（1+y）＞e ln（1+x）10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计选做题（共分．）22．（10分）在平面直角坐标系x Oy中，直线l的参数方程为（其中t为参数，0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程2为ρsinθ＝4cosθ．（1）求l和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求α．23．设函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣2|（x∈R，a∈R）．1时，求不等式f（x）＞0的解集；（Ⅰ）当a＝﹣．（Ⅱ）若f（x）≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围2019年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共60分）1．（5分）若集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）＜0}，集合N＝{x|x＜1}，则M∩N等于（）A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】由二次不等式的解法得：M＝（﹣1，3），由集合交集及其运算得：M∩N＝（﹣1，1），得解．【解答】解：解二次不等式（x+1）（x﹣3）＜0得：﹣1＜x＜3，即M＝（﹣1，3），又集合N＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1），所以M∩N＝（﹣1，1），故选：C．【点评】本题考查了二次不等式的解法及集合交集及其运算，属简单题．2．（5分）i为虚数单位，若复数（1+mi）（1+i）是纯虚数，则实数m＝（）A．﹣1B．0C．1D．0或1【考点】A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（1+mi）（1+i）＝（1﹣m）+（1+m）i是纯虚数，∴，即m＝1．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线y＝﹣2x，当过点（0，﹣1）时，直线在y轴上的截距最大，从而求出所求．【解答】解：x，y满足约束条件的平面区域如下图所示：平移直线y＝﹣2x，由图易得，当x＝0，y＝﹣1时，即经过A时，目标函数z＝2x+y的最小值为：﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．（5分）数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为8、2，则输出的n＝（）A．2B．3C．5D．4【考点】EF：程序框图．【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】根据条件进行模拟运算即可．【解答】解：n＝1，a＝8+4＝12，b＝4，a＜b否，n＝2，n＝2，a＝12+6＝18，b＝8，a＜b否，n＝3，n＝3，a＝18+9＝27，b＝16，a＜b否，n＝4，n＝4，a＝27+＝40.5，b＝32，a＜b否，n＝5，n＝5，a＝40.5+20.25＝60.75，b＝64，a＜b是，输出n＝5，故选：C．本题的关算是解决【点评】本题主要考查程序框图的识别和识别，结合条件进行模拟运键．2﹣2x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（）5．（5分）“不等式xA．m≥1B．m≤1C．m≥0D．m≥2【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．．辑【专题】11：计算题；5L：简易逻22x+m≥0在R上恒成立”的充要条【分析】由二次不等式恒成立问题得：：“不等式x﹣24m≤0“即”m≥1“，2）﹣件为：“（﹣22x+m≥0由充分必要条件得：“m≥2“是”m≥1“的充分不必要条件，即“不等式x﹣在R上恒成立”的一个充分不必要条件是：”m≥2“，得解．224m≤0“即”2x+m≥0在R上恒成立”的充要条件为：“（﹣2）﹣【解答】解：“不等式x﹣m≥1“，又“m≥2“是”m≥1“的充分不必要条件，22x+m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是：”m≥2“，即“不等式x﹣故选：D．【点评】本题考查了二次不等式恒成立问题及充分必要条件，属简单题．6．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c?cosB＝2a+b，则∠C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】HP：正弦定理．49：综合法；58：解三角形．【专题】11：计算题；35：转化思想；222c 【分析】结合题意，由余弦定理可得2c×＝2a+b，变形可得a﹣＝﹣ +b25页）第8页（共则有：2c×＝2a+b，222整理得：a﹣c＝﹣ab，+b可得：cosC＝＝＝﹣，又在△ABC中，0°＜C＜180°，∴C＝120°．故选：C．【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查了余弦定理的应用，属于基础题．7．（5分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）A．30种B．50种C．60种D．90种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】32：分类讨论；5I：概率与统计．【分析】讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数．【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，所以总共有20+30＝50种．故选：B．【点评】本题考查分步计数原理，属于简单题．8．（5分）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29πB．30πC．D．216π【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：．该三棱锥的外接球的表面积为：，故选：A．【点评】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．9．（5分）△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++＝，||＝||，则?等于（）A．B．C．3D．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC 为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．【解答】解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．第10页（共25页）∵，∴＝1，|BC|＝2，|AC|＝，故∠ACB＝．则，故选：C．【点评】本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．2＝2x的焦点为F，点P在抛物线上，以PF为边作一个等边三角10．（5分）已知抛物线y形PFQ，若点Q在抛物线的准线上，则|PF|＝（）A．1B．2C．2D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点坐标（，0），利用抛物线的简单性质求出直线方程，然后求出结果．【解答】解：抛物线的焦点坐标（，0），可得直线PF：y＝（x﹣），可得：，可得：x＝，则y＝，|PF|＝＝2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为第11页（共25页）棱长的一半．若将该正方体任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A．1B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据水的体积为容器体积的一半可知液面高度为物体新位置高度的一半．【解答】解：正方体的对角线长为2，故当正方体旋转的新位置的最大高度为2，又水的体积是正方体体积的一半，∴容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为．故选：C．础题．【点评】本题考查了几何体的体积计算，属于基12．（5分）定义在R上的函数y＝f（x），满足f（3﹣x）＝f（x），f′（x）为f（x）的导函）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（）数，且（x﹣A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）＝f（x2）D．不确定【考点】3E：函数单调性的性质与判断；62：导数及其几何意义．题．16：压轴【专题】11：计算题；x）＝f（x）”，知函数图象关于直线x＝对称，再由“f′（x）【分析】由“f（3﹣＜0”可知：当x＞时，函数是减函数当x＜时，函数是增函数，最后由“x1＜x2，且x1+x2＞3”，得知x1，x2∈（，+∞），．应用单调性定义得到结论x）＝f（x），【解答】解：∵f（3﹣∴函数图象关于直线x＝对称，又∵f′（x）＜0第12页（共25页）∴当x＞时，函数是减函数当x＜时，函数是增函数∵x1＜x2，且x1+x2＞3∴x1，x2∈（，+∞）∴f（x1）＞f（x2）故选：B．于零时，【点评】本题主要考查函数的对称性和单调性，这里还考查了导数，当导数大函数是增函数，当导数小于零时，函数是减函数．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，则实数a等于﹣1．【考点】IA：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；I J：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】11：计算题．【分析】利用斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1，解方程求出实数a的值．1，【解答】解：∵直线y＝ax﹣2和y＝（a+2）x+1互相垂直，∴他们的斜率之积等于﹣即a×（a+2）＝﹣1，∴a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1．314．（5分）已知曲线f（x）＝x在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则的值为．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．用．49：综合法；53：导数的综合应35：转化思想；【专题】11：计算题；【分析】求出函数的导数，求得f（x）在点（1，f（1））处切线斜率，利用同角三角函数关系式即可化简得解．3【解答】解：因为：曲线f（x）＝x．2所以：函数f（x）的导函数f′（x）＝2x，可得：f′（1）＝2，第13页（共25页）3因为：曲线f（x）＝x在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，所以：tanα＝f′（1）＝2，所以：＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查三角函数化简求值，属于基础题．6 15．（5分）设a＝（sin x+cos x）dx，则二项式（a）2展开式中含x项的系数是﹣192【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；52：导数的概念及应用；5P：二项式定理．【分析】根据题意，由定积分计算公式可得a＝（sinx+cosx）dx＝sin xdx+ cosxdx＝（﹣c osx）+sinx＝2，即可得a的值，由二项式定理分析可得该二项式展开式的通项，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，a＝（sin x+cosx）dx＝sinxdx+cosxdx＝（﹣c osx）+sinx＝2，6二项式（a）66﹣r即（2），其展开式的通项为T r+1＝（2）（﹣）r r6﹣r3﹣r＝（﹣1）××2， x52当r＝1时，有T2＝（﹣1）××2＝﹣192；x故答案为：﹣192．【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及定积分的计算，属于基础题．16．（5分）在实数集R中定义一种运算“●”，具有性质：（1）对任意a，b∈R，a●b＝b●a；（2）对任意a∈R，a●0＝a；（3）对任意a，b∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．则函数f（x）＝x●（x＞0）的最小值为3．【考点】7F：基本不等式及其应用．25页）第14页（共【专题】23：新定义；35：转化思想；59：不等式的解法及应用．?ab）+（a?0）+（b?0）＝ab+a+b．求出f（x）【分析】令c＝0，代入得（a?b）?0＝0（解析式，进而得到f（x）最小值．【解答】因为在（3）中，对任意对任意a∈R，（a●b）●c＝c●（ab）+（a●c）+（b●c）﹣5c．?ab）+（a?0）+（b?0）．令c＝0，代入得（a?b）?0＝0（?ab）+（a?0）+（b?0）．由（1）中a●b＝b●a可得（a?b）?0＝0（由（2）中a●0＝a，化简可得（a?b）?0＝ab+a+b．所以f（x）＝f（x）?0＝（x●）?0＝1+x+，因为x＞0，由基本不等式可得f（x）＝1+x+≥1+2＝3，故填：3．考查还．键【点评】本题为新定义题，理解好定义并合理使用定义中的条件，是解题关了基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题（每小题12分，共60分）17．（12分）已知等比数列{a n}是递增数列，且a1+a5＝，a2a4＝4．（1）求数列{a n}的通项公式（2）若b n＝na n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）根据{a n}是递增等比数列，a1+a5＝，a2a4＝4．即可求解数列{a n}的通项公式（2）由b n＝na n（n∈N*），可得数列{b n}的通项公式，利用错位相减法即可求解前n项和S n．2【解答】解：（1）由{a n}是递增等比数列，a1+a5＝，a2a4＝4＝a3＝44∴a1+a1q＝，；解得：a1＝，q＝2；n﹣2∴数列{a n}的通项公式：a n＝2；第15页（共25页）（2）由b n＝na n（n∈N*），n﹣2∴b n＝n?2；∴S1＝；101n﹣2﹣那么S n＝1×2+2×2+3×2+⋯⋯+n?2，①012n﹣2n﹣1则2S n＝1×2+2×2+3×2+⋯⋯+（n﹣1）2+n?2，②n﹣1将②﹣①得：S n＝+n?2；102n﹣2n﹣1n﹣1﹣即：S n＝﹣（2）+n?2＝+n?2+2+2+2．+2【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n项和的求解，利用错位相减法是解决本题的关键．18．（12分）某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018示年连续6个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所合月利润y（单位：百万元）与月代码x （1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料测试，得100件进行科学模拟损坏的年限不相同，现对A，B两种新型材料对应的产品各：到两种新型材料使用寿命的聘书统计如下表计寿命类型1个月2个月3个月4个月总A20353510100B10304020100经甲公司测算平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，A材料每包的成本为10万元，B材料每包的成本为12万元．假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：．25页）第16页（共参考公式：回归直线方程为．【考点】BK：线性回归方程．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】（1）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；（2）分别计算相应的数学期望，即可得出结论．【解答】解：（1）由折现图可知统计数据（，）共6组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21），计算可得＝（1+2+3+4+5+6）＝3.5，＝y i＝?96＝16，故＝＝2，故＝﹣＝16﹣2?3.5＝9，∴x关于y的线性回归方程为＝2x+9，故x＝11时，则＝2×11+9＝31，即预测公司2018年1月份（即x＝7时）的利润为31百万元；（2）由频率估计概率，A型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A型材料利润的数学期望为（5﹣10）×0.2+（10﹣10）×0.35+（15﹣10）×0.35+（20第17页（共25页）﹣10）×0.1＝1.75万元；B型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴B型材料利润的数学期望为（5﹣12）×0.1+（10﹣12）×0.3+（15﹣12）×0.4+（20﹣12）×0.2＝1.50万元；∵1.75＞1.50，∴应该采购A型材料．【点评】本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．19．（12分）在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD＝DE＝1，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°．（Ⅰ）求证：AE⊥BD；（Ⅱ）求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD，进而BD ⊥DE，由此能证明BD⊥平面ADE，从而AE⊥BD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD＝DE＝1，四边形EDCF是正方形，∠ADC＝∠DCB＝120°．∴AD＝DC＝BC＝1，∴∠BDC＝∠DBC＝30°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，∠ADE＝90°，∴AD⊥DE，DC⊥DE，又AD∩DC＝D，∴DE⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴BD⊥DE，∵AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADE，∵AE?平面ADE，∴AE⊥BD．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（1，0，0），F（0，1，1），B（0，，0），D（0，0，0），E（0，0，1），＝（1，﹣1，﹣1），＝（0，，0），＝（0，0，1），平面BDE的法向量＝（1，0，0），设直线AF与平面BDF所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20．（12分）已知O为坐标原点，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y＝﹣与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y＝k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意可得＝3，以及直线y＝﹣与椭圆C相切，可得b＝，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵在＝1（a＞b＞0）中，令x＝c，可得y＝±，∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，∴＝3，∵直线y＝﹣与椭圆C相切，∴b＝，∴a＝222∴a＝4，b＝3．故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c＝1，则直线l的方程为y＝k（x+1），2222联立，可得（4k﹣12＝0，+3）x+8k x+4k4222则△＝64k﹣4（4k﹣12）＝144（k+3）（4k+1）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，2∴y1y2＝k（x1+1）（x2+1）＝﹣，∵（）＜1，∴?＜1，∴（x2﹣1，y2）（x1﹣1，y1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜1，第20页（共25页）即++1﹣＜1，2整理可得k＜4，解得﹣2＜k＜2，∴直线l存在，且k的取值范围为（﹣2，2）．本技与基能方【点评】本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣1﹣l nx（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调性；?x∈（0，+∞）恒成立，（2）若函数f（x）在x＝1处取得极值，不等式f（x）≥bx﹣2对求实数b的取值范围；x y1时，证明不等式 e（3）当x＞y＞e﹣ln（1+y）＞e ln（1+x）6E：利用6C：函数在某点取得极值的条件；【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．15：综合题；l nx，求得f′（x）＝．然后分a≤0与a＞0两种【分析】（1）由f（x）＝ax﹣1﹣情况讨论，从而得到f′（x）的符号，可得f（x）在其定义域（0，+∞）内的单调性，最后综合可得答案；（2）函数f（x）在x＝1处取得极值，由（1）的讨论可得a＝1．将不等式f（x）≥bx ≥b，再构造函数g（x）＝1+﹣，利用导数研究g2化简整理得到1+﹣﹣]．由此即可得到实数b的取值范围；（x）的单调性，得到[g（x）]min＝1﹣（3）设函数F（t）＝，其中t＞e﹣1．利用导数研究F（x）的单调性，得到1时，F（x）＞F（y）即得F（t）是（e﹣1，+∞）上的增函数．从而得到当x＞y＞e﹣x y＞，变形整理即可得到不等式 eln（1+y）＞e ln（1+x）成立．＝，l nx，∴f′（x）＝a﹣【解答】解：（1）∵f（x）＝ax﹣1﹣当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x≤，f'（x）＞0得x＞，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，综上所述，当a≤0时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数．（1）的结论，可得a＝1，（2）∵函数f（x）在x＝1处取得极值，∴根据∴f（x）≥bx﹣2，即x+1﹣l nx≥bx，两边都除以正数x，得1+﹣≥b，l nx），g′（x）＝﹣﹣＝﹣（2﹣，则令g（x）＝1+﹣22由g′（x）＞0得，x＞e，∴g（x）在（0，e）上递减，22由g′（x）＜0得，0＜x＜e，∴g（x）在（e，+∞）上递增，2∴g（x）min＝g（e）＝1﹣，∞，1﹣]．，实数b的取值范围为（﹣可得b≤1﹣1（3）令F（t）＝，其中t＞e﹣可得F'（t）＝＝1，+∞）上再设G（t）＝ln（1+t）﹣，可得G'（t）＝+＞0在（e﹣恒成立∴G（t）是（e﹣1，+∞）上的增函数，可得G（t）＞G（e﹣1）＝lne﹣＝1﹣＞01，+∞）上恒成立，可得F（t）＝因此，F（'t）＝＞0在（e﹣是（e﹣1，+∞）上的增函数．∵x＞y＞e﹣1，∴F（x）＞F（y），可得＞x∵ln（1+x）＞0且ln（1+y）＞0，∴不等式两边都乘以ln（1+x）ln（1+y），可得eln（1+y）y＞eln（1+x）．想【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分论思类讨25页）第22页（共与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于难题．选做题（共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．）22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（其中t 为参数，0＜α＜π）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程2为ρsin θ＝4cosθ．（1）求l 和C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A，B 两点，且|AB|＝8，求α．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立一元二次方程根和系数关系的应用求出三角函数的值，进一步求出结果．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为（其中t 为参数，0＜α＜π）．①当时，直线的方程为x＝1．②当α≠时，直线的方程为：y＝tan α（x﹣1）．2曲线 C 的极坐标方程为ρsinθ＝4cosθ，2转换为直角坐标方程为：y ＝4x．2 2（2）将直线l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得：sin ＝4（1+tcosα），αt2 2整理得：sin ﹣4cosαt﹣4＝0，（t1 和t2 为A、B 对应的参数）αt所以：，．由于|AB |＝＝ 8解得：因为0＜α＜π，所以：．第23页（共25页）23．设函数f（x）＝|2x+a|﹣|x﹣2|（x∈R，a∈R）．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞0的解集；．（Ⅱ）若f（x）≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．；4R：转化法；5T：不等式．【专题】32：分类讨论【分析】（Ⅰ）a＝﹣1时不等式f（x）＞0化为|2x﹣1|＞|x﹣2|，两边平方求解即可得出不等式f（x）＞0的解集；论a＜﹣4、a＝﹣4和a＞﹣4时，求出f（x）的最小值f（x）min，列（Ⅱ）由题意，讨出不等式求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a＝﹣1时，函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣2|，不等式f（x）＞0化为|2x﹣1|＞|x﹣2|，两边平方得（2x﹣1）2＞（x﹣2）2，化简得（3x﹣3）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞1，所以不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（Ⅱ）由题意，当a＜﹣4时，f（x）＝，由函数单调性可得，f（x）min＝f（﹣）＝+2≥﹣1，解得﹣6≤a＜﹣4；当a＝﹣4时，f（x）＝|x﹣2|，f（x）min＝0≥﹣1，所以a＝﹣4符合题意；当a＞﹣4时，f（x）＝，由函数单调性可得，f（x）min＝f（﹣）＝﹣﹣2≥﹣1，解得﹣4≤a＜﹣2；是[﹣6，﹣2]．综上所述，实数a的取值范围问题，也考查了不等式恒成立问题，【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用是中档题．WORD格式第25页（共25页）专业分享。

2019年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A2.已知全集，集合，，那么集合（）A. B. C. D.【答案】C3.已知平面向量，的夹角为，，，则（）A. 4B. 2C.D.【答案】B4.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B. C. D.【答案】C5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】6.若函数在为增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. B. C. D.【答案】C8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法.某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B.C. D.【答案】A9.在中，，，，则的面积为（）A. 15B.C. 40D.【答案】B10.四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（）A. B. C. D.【答案】D11.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，，则（）A. 2B.C.D. 4【答案】C12.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．【答案】814.已知，均为锐角，，，则_____．【答案】15.直三棱柱中，底面为正三角形，，是的中点，异面直线与所成角的余弦值是，则三棱柱的表面积等于_____．【答案】16.已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，①函数的一个周期为4；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上单调递增，在上单调递减；④函数在内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②④三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．【答案】(I)；(Ⅱ)，或【解析】【分析】（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。

2019年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算，将复数化简为的形式，由此得出正确选项.【详解】依题意，原式，故选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知全集，集合，，那么集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得集合的补集，然后求其与集合的交集.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查集合补集的运算，考查集合交集的运算，属于基础题.3.已知平面向量，的夹角为，，，则（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】将两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.4.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.5.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A,B两个选项，，不符合图像，排除A,B选项.对于C选项，，不符合图像，排除C选项，故选D.【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.6.若函数在为增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的导函数在区间恒为非负数列不等式，用分离常数法求得的取值范围.【详解】依题意，在区间上恒成立，即，当时，，故，在时为递增函数，其最大值为，故.所以选A.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运行程序，当时退出程序，输出的值.【详解】运行程序，，判断否，，判断否，，……，以此类推，，判断是，退出循环，输出，故选C.【点睛】本小题主要考查计算循环结构程序框图输出的结果，属于基础题.8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法.某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以得出总的方法数.【详解】先将种计算器械分为三组，方法数有种，再排给个人，方法数有种，故选A.【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题.9.在中，，，，则的面积为（）A. 15B.C. 40D.【答案】B【解析】【分析】先利用余弦定理求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】由余弦定理得，解得，由三角形面积得，故选B.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.10.四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，体积取得最大值，利用勾股定理计算出高，然后求得四棱锥的最大体积.【详解】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，由于底面面积固定，则高最高时，四棱锥体积取得最大值.设高为，，球的半径为，故，解得.故四棱锥的体积的最大值为.故选D.【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关问题，考查四棱锥体积的计算，所以基础题. 11.直线过抛物线的焦点，且交抛物线于，两点，交其准线于点，已知，，则（）A. 2B.C.D. 4【答案】C【解析】过分别做准线的垂线交准线于两点，设，根据抛物线的性质可知，，根据平行线段比例可知，即，解得，又，即，解得，故选C.【点睛】抛物线的定义在解题中的应用，当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点满足定义，点到焦点的距离转化点为到准线的距离，这样可利用三角形相似或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题12.已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令,,所以函数是减函数，又，所以不等式的解集为本题选择B选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____．【答案】8【解析】【分析】画出可行域，将基准直线向下平移到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最大值的方法，属于基础题.14.已知，均为锐角，，，则_____．【答案】【解析】【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.【详解】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.15.直三棱柱中，底面为正三角形，，是的中点，异面直线与所成角的余弦值是，则三棱柱的表面积等于_____．【答案】【解析】【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求出三棱柱的高，进而求得三棱柱的表面积.【详解】设是的中点，画出图像如下图所示，由于，故是异面直线与所成角.设三棱柱的高为，则，,由于异面直线与所成角的余弦值是，在三角形中，由余弦定理得，解得.故三棱柱的表面积为.【点睛】本小题主要考查线线所成角，考查余弦定理，考查三棱柱的表面积，属于基础题.16.已知定义在上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，①函数的一个周期为4；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上单调递增，在上单调递减；④函数在内有25个零点；其中正确的命题序号是_____（注：把你认为正确的命题序号都填上）【答案】①②④【解析】【分析】先求得，由此函数的周期性.通过证明求得函数的对称轴，根据奇偶性、周期性和单调性画出函数的图像，由此判断③④的真假.【详解】令得，即，由于函数为偶函数，故.所以，所以函数是周期为的周期函数，故①正确.由于函数为偶函数，故，所以是函数图像的一条对称轴，故②正确.根据前面的分析，结合函数在区间上是增函数，画出函数图像如下图所示.由图可知，函数在上单调递减，故③错误.根据图像可知，，零点的周期为，共有个零点，故④正确.综上所述正确的命题有①②④.【点睛】本小题主要考查函数的周期性、单调性、对称性等性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知等差数列满足，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．【答案】(I)；(Ⅱ)，或【解析】【分析】（I）由，可计算出首项和公差，进而求得通项公式。

甘肃天水一中2019高三第五次重点-数学（理）数学试题〔理科〕本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分。

共150分，考试时间120分钟。

参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么P 〔A ＋B 〕＝P 〔A 〕＋P 〔B 〕、 假如事件A 、B 相互独立，那么P 〔A ·B 〕＝P 〔A 〕·P 〔B 〕、假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k n k n n P k C P -=-球的表面积公式24S R π=, 球的体积公式343V Rπ=,其中R 表示球半径。

第一卷〔选择题 共60分〕【一】选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，有一项为哪一项符合题目要求的。

1.〔x+i 〕〔1-i 〕=y ，那么实数x ，y 分别为〔 〕A.x=-1，y=1B. x=-1，y=2C. x=1，y=1D. x=1，y=2 2.函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，那么1(())9f f =A. 4B. 14C .-4D . -143 设nS 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，那么52S S =〔 〕4.关于函数f(x)=2sinxcosx ，以下选项中正确的选项是〔〕 A.f(x)在〔4π，2π〕上是递增的B.f(x)的图象关于原点对称 C.f(x)的最小正周期为2πD.f(x)的最大值为25以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A.22x +y +2x=0B.22x +y +x=0C.22x +y -x=0D.22x +y -2x=0①假设l ⊥α，m ∥β，α⊥β那么l ⊥m ②假设，，，，n l m l n m ⊥⊥⊂⊂αα那么l ⊥α ③假设l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，那么n ⊥α④假设l ∥m ，m ⊥α，n ⊥β，α∥β，那么l ∥n A.1 B.2 C.3 D.47某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 〔A 〕36种 〔B 〕42种 (C)48种 〔D 〕54种 8. 随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，且(24)0.6826P X ≤≤=，那么(4)P X >= A 、0.1588B 、0.1587C 、0.1586D 、0.158592241lim 42x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭=〔〕 A.—1B.—14C.14D.110、在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为1的菱形，⊥︒=∠PA ABC ,60底面ABCD ，PA=1，那么异面直线AB 与PD 所成角的余弦值为 ()A 、42B 、414 C 、22 D 、32 11、直线MN 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右支分别交于M N 、点，与双曲线的右准线相交于P 点，F 为右焦点，假设||2||,FM FN =又()NP PM R λλ=∈,那么实数λ的值为〔〕A 、12B 、2C 、13D 、312函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩假设,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==那么abc的取值范围是() (A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)【二】填空题(本大题共4小题、每题5分、共20分。

天水市一中2019届高三第五次模拟考试数学试题（理科）（满分：150分 时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 复数z 为纯虚数，若()3i z a i -⋅=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ）. A ．13 B ．3 C ．13- D ．3- 2. 已知{}{}222|,|2M y R y x N x R x y =∈==∈+=，则MN =（ ）.A ．{}(1,1),(1,1)- B．⎡⎣ C ．[]0,1 D ．{}13. 若非零向量,a b 满足22a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）. A. π B. 2π C. 34π D. 4π4. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）. A ．π220+ B ．π320+ C ．π224+ D ．π324+5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差d 为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．66. 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N两点，若MN ≥k 的取值范围是（ ）. A ．3[,0]4-B ．3(,][0,)4-∞-+∞C．[33- D ．2[,0]3- 7. 中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）.A.1818A 种 B.2020A 种 C.231031810A A A 种 D.218218A A 种 8.函数]),[()(cos ππ-∈=x xex f x 的图象大致是（ ）.俯视图侧视图正视图12229. 设x ，y 满足约束条件,0,1,3,x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）.A ．3-B ．3C ．4D ．2-10. 我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路 与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14，18，则输出的a 等于（ ）.A ．2B ．4C ．6D ．811. 设k 是一个正整数，在1+)k xk（的展开式中，第四项的系数为116，记函数2y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分面积为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是（ ）.A ．23B ．13C ．25D ．1612.已知函数()2()e x f x x ax b =++，当1b <时，函数()f x 在(),2-∞-，()1,+∞上均为增函数，则2a ba +-的取值范围是（ ）. A ．22,3⎛⎤- ⎥⎝⎦ B ．1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩()2~100,X N a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人． 14已知数列满足，，，那么成立的的最大值为 15．已知函数，若在区间[-，]上单调递增，则的最小值是______．16. 设12F F 、分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤.） 17. 已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈，设()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（2）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．18.自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：（1愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数之和．求随机变量ξ的分布列及数学期望． 19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD，PA BE ，4AB PA ==，2BE =．（1）求证：CE平面PAD ；（2）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值；（3）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．20. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．21. 已知函数()2e 12xm f x x mx =---. （1）当1m =时，求证：若0x ≥，则()0f x ≥； （2）当1m ≤时，试讨论函数()y f x =的零点个数.选做题：请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，则按第22题给分.22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为2:cos sin 1C ρθρθ+=,若曲线1C 与2C 相交于A 、B 两点． (1)求||AB 的值；(2)求点(1,2)M -到A 、B 两点的距离之积．23. （1）已知实数b a ,满足2,2<<b a ，证明：ab b a +<+42．（2）已知a>0≥a ＋1a－2.天水市一中2019届高三第五次模拟考试 数学试题（理科）参考答案与解析1. A2.B3.D4.B5.B6.A7.D8.B9.B 10. A 11. D 由二项展开式的通项公式，得，令，则，∴，所求概率．12.A,因为函数在，上均为增函数，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，令，则在，上恒成立，所以有，，,即满足, 在直角坐标系内作出可行域，，其中表示的几何意义为点与可行域内的点两点连线的斜率，由图知k ，所以k +1，即的取值范围为.13. 14.5 15.116.设交轴于点，，则，由OM ∥PT ，得，即，则，所以，又是的角平分线，则，代入得，所以.17.，由可得，所以函数的单调递增区间为，.（2），，.由得，.18.解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有（种），其和不低于32周的选法有（14，18）、（15，17）、（15，18）、（16，17）、（16，18）、（17，18），共6种，由古典概型概率计算公式得．②由题知随机变量的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，0．10．10．20．20．20．10．1所以. 19.解：（1）设中点为，连结，因为//，且，所以//且，所以四边形为平行四边形，所以//，且．因为正方形，所以//，所以//，且，所以四边形为平行四边形，所以//．因为平面，平面，所以//平面．（3）如图，建立空间坐标系，则，，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，所以．令，则，所以．设与平面所成角为，则．所以与平面所成角的正弦值是．（3）假设存在点满足题意，则，．设平面的一个法向量为，则，令，则，所以．因为平面平面，所以，即，所以，故存在点满足题意，且．20.解：（1）设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以，因为点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的方程为．（2）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．因为直线与椭圆交于两点，，设点（不妨设），则点，联立方程组，消去，得，所以，则，所以直线的方程为，因为直线，分别与轴交于点，，令，得，即点，同理可得点，所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．21.解：.解：（1）当时，，则，则①，令，得，当时，，∴，即，∴函数在上为增函数，即当时，，∴函数在上为增函数，即当时，.（2）由（1）和①式知，当时，，∴，∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，∴，∴，，即②，（I）当时，，又，∴，∴由②式得，即，∴函数在上为增函数，又，∴当时，，当时，，∴函数在上有且仅有一个零点.（II）当时，ⅰ）当时，，，∴，函数在时单调递减，∴，故时，函数在上无零点；ⅱ）当时，由，得，函数在上单调递增，，当时，，∴由函数零点存在性定理知，使，故当时，，当时，，∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，又，∴对，，又当时，，∴，由，∴，再由函数零点存在性定理知，使得，综上所述，当时，函数有且仅有一个零点，当时，函数有两个零点．22.解析：(1) 曲线的普通方程为，,则的普通方程为，则的参数方程为：代入得，.(2) .23. （1）证明：证法一，∴，，∴，．∴，即，∴，∴，即，∴．证法二：要证，只需证只需证只需证即，∴，，∴成立．∴要证明的不等式成立．（2）证明：要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2，即证2≥，只需证4≥2，即证a2＋≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．。

2019年高考模拟试卷高考数学考前练试卷（理科）一、选择题1．已知集合M＝{y|y＝2x，x＞0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．i是虚数单位，若＝a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15B．﹣3C．3D．153．已知向量，，且，则m等于（）A．﹣8B．﹣6C．6D．84．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A．多1斤B．少1斤C．多斤D．少斤5．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得＝λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最长棱的长度是（）A．B．4C．D．7．当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是（）A．B．C．D．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）9．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N（），则对于下列判断：①直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；②点（，0）是函数f（x）的一个对称中心；③函数y＝1与y＝f（x）（）的图象的所有交点的横坐标之和为7π．其中正确的判断是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③11．设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝lnx﹣+a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是（）A．[，﹣1）B．[，1）C．[，﹣1]D．[﹣1，e）二、填空题（共4小题）13．已知二项式（ax﹣）6的展开式中的常数项为﹣160，则a＝．14．若实数x，y满足不等式组则目标函数z＝3x﹣y的最大值为．15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则＝．16．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则＝，三棱锥P﹣BCD的体积最大值是．三、解答题17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+＝．（1）求b的值；（2）若cos B+sin B＝2，求a+c的取值范围．18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝．已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′﹣EF﹣B的大小是60°．连接C′B，C′A，如图：（Ⅰ）求证：平面C′FA⊥平面ABC′；（Ⅱ）求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k0）0.400.250.150.100.050.025 k00.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.02420．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，过F的直线m交椭圆C于M、N两点（均异于左、右顶点）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：x＝4，A为椭圆C的右顶点．若直线AM交l于点P，直线AN交l 于点Q，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．（1）设a＝1，求不等式f（x）≤7的解集；（2）已知a＞﹣1，且f（x）的最小值等于3，求实数a的值．参考答案一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{y|y＝2x，x＞0}，N＝{x|y＝lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）【分析】通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．解：M＝{y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝{x|1＜x＜2}，故选：A．2．i是虚数单位，若＝a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A．﹣15B．﹣3C．3D．15【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简，再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．解：∵＝＝＝﹣1+3i＝a+bi，∴a＝﹣1，b＝3，∴ab＝﹣1×3＝﹣3．故选：B．3．已知向量，，且，则m等于（）A．﹣8B．﹣6C．6D．8【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．解：∵，，∴，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选：D．4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A．多1斤B．少1斤C．多斤D．少斤【分析】由题意可知各等人所得金数组成等差数列，根据等差数列的性质即可计算出问题答案．解：设十等人得金从高到低依次a1，a2，……，a10，则{a n}为等差数列，设等差为d，则由题意可知，∴a2＝，a9＝1，∴a2﹣a9＝．故选：C．5．设，为非零向量，则“存在负数λ，使得＝λ”是“•＜0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】，为非零向量，存在负数λ，使得＝λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而＝λ不成立．即可判断出结论．解：，为非零向量，存在负数λ，使得＝λ，则向量，共线且方向相反，可得•＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•＜0，而＝λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得＝λ”是•＜0”的充分不必要条件．故选：A．6．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最长棱的长度是（）A．B．4C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出最长棱长．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以最长的棱长为l＝，故选：D．7．当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是（）A．B．C．D．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于103得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率．解：设实数x∈[2，30]，经过第一次循环得到x＝2x+1，n＝2经过第二循环得到x＝2（2x+1）+1，n＝3经过第三次循环得到x＝2[2（2x+1）+1]+1，n＝4此时输出x输出的值为8x+7，∴当输入x∈[2，30]时，输出x∈[23，247]，数集的长度为224；输出x不小于103，则x∈[103，247]，数集的长度为144．∴输出的x不小于103的概率为．故选：A．8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）【分析】由f（x）是R上的奇函数及f（x+2e）＝﹣f（x），可得f（x+2e）＝f（﹣x），从而可知f（x）关于x＝e对称，由f（x）在[e，2e]上的单调性可得f（x）在[0，e]上的单调性，由a，b，c的大小关系，进而得到f（a）、f（b）、f（c）的大小关系．解：∵f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2e）＝﹣f（x），∴f（x+2e）＝f（﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝e对称，∵f（x）在区间[e，2e]上为减函数，∴f（x）在区间[0，e]上为增函数，∵a＝，b＝，c＝，通过单调性判断，易知0＜c＜a＜b＜e∴f（c）＜f（a）＜f（b），故选：A．9．数列{a n}满足：，则数列{a n a n+1}前10项的和为（）A．B．C．D．【分析】通过对a n﹣a n+1＝2a n a n+1变形可知﹣＝2，进而可知a n＝，并项相加即得结论．解：∵a n﹣a n+1＝2a n a n+1，∴﹣＝2，又∵＝5，∴＝+2（n﹣3）＝2n﹣1，即a n＝，∴a n a n+1＝（a n﹣a n+1）＝（﹣），∴所求值为（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝，故选：A．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N（），则对于下列判断：①直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；②点（，0）是函数f（x）的一个对称中心；③函数y＝1与y＝f（x）（）的图象的所有交点的横坐标之和为7π．其中正确的判断是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】首先根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（）成中心对称，且与点M相邻的一个最低点为N（），则：，∴T＝π，进一步解得：ω＝，A＝3．由于函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于点M（）成中心对称，∴2•+φ＝kπ（k∈Z），解得：φ＝kπ﹣，由于0＜φ＜π，∴当k＝1时，φ＝．∴f（x）＝3sin（2x+）．①当x＝时，f（）＝﹣3sin＝﹣，故①不正确；②由2x+＝kπ，解得：x＝，当k＝0时，对称中心为：（，0），故②正确；③由于：﹣≤x≤，则：0≤2x+≤6π，∴函数f（x）的图象与y＝1有6个交点．根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6，根据函数的图象的所有交点的横坐标之和为7π．故③正确．∴正确的判断是②③．故选：C．11．设F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用向量的加减法可得，故有OP＝OF2＝c＝OF1，可得PF1⊥PF2，由条件可得∠PF1F2＝30°，由sin30°＝＝求出离心率．解：∵，∴，∴﹣＝0，OP＝OF2＝c＝OF1，∴PF1⊥PF2，Rt△PF1F2中，∵，∴∠PF1F2＝30°．由双曲线的定义得PF1﹣PF2＝2a，∴PF2＝，sin30°＝＝＝＝，∴2a＝c（﹣1），∴＝+1，故选：D．12．已知函数f（x）＝lnx﹣+a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是（）A．[，﹣1）B．[，1）C．[，﹣1]D．[﹣1，e）【分析】求出函数的导数f′（x）＝+＝，x∈[1，e]．通过当a≥﹣1时，当a ≤﹣e时，当﹣e＜a＜﹣1时，判断导函数的符号，得到函数的单调性然后转化求解a的范围即可．解：∵f′（x）＝+＝，x∈[1，e]．当a≥﹣1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]上单调递增，不合题意．当a≤﹣e时，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]上单调递减，也不合题意．当﹣e＜a＜﹣1时，则x∈[1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）在[1，﹣a）上单调递减，x∈（﹣a，e]时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣a，e]上单调递增，又f（1）＝0，所以f（x）在x∈[1，e]上有两个零点，只需f（e）＝1﹣+a≥0即可，解得≤a＜﹣1．综上，a的取值范围是：[，﹣1）．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知二项式（ax﹣）6的展开式中的常数项为﹣160，则a＝2．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于﹣160求得实数a的值．解：∵二项式（ax﹣）6的展开式中的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•a6﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得常数项为﹣•a3＝﹣160，∴a＝2，故答案为：2．14．若实数x，y满足不等式组则目标函数z＝3x﹣y的最大值为12．【分析】画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．解：作出实数x，y满足不等式组可行域如图，由，解得A（4，0）目标函数y＝3x﹣z，当y＝3x﹣z过点（4，0）时，z有最大值，且最大值为12．故答案为：12．15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则＝．【分析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出R＝，内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，从而内切球半径为r＝1，由此能求出．解：∵四棱锥P﹣ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，∴（2R）2＝AB2+AD2+AP2＝16+16+9＝41，∴R＝，∵侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为正方形，∴内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆，∴内切球半径为r＝1，故＝．故答案为：．16．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则＝2，三棱锥P﹣BCD的体积最大值是．【分析】根据Rt△ADP∽△Rt△PMC，PD＝2PC，利用体积公式求解得出PO⊥CD，求解OP最值，根据勾股定理得出：3h2＝﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，利用函数求解即解：∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，∴，即PD＝2PC，设DO＝x，PO＝h，作PO⊥CD，∴，化简得：3h2＝﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，根据函数单调性判断：x＝6时，3h2最大值为36，∴h最大值＝2，在正方体中，∵PO⊥面BCD，∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值为V＝××6×6×2＝12．故答案为：2；12．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+＝．（1）求b的值；（2）若cos B+sin B＝2，求a+c的取值范围．【分析】（1）应用正弦、余弦定理化简+＝，即可求出b的值；（2）根据cos B+sin B＝2与平方关系sin2B+cos2B＝1，求得sin B、cos B，从而求得B 的值，再由正弦定理求得a＝sin A，c＝sin C；利用A+B+C＝π求得C＝﹣A，且0＜A＜；再利用三角恒等变换求a+c＝sin A+sin C的取值范围．解：（1）△ABC中，+＝，∴+＝，∴＝，解得b＝；（2）∵cos B+sin B＝2，∴cos B＝2﹣sin B，∴sin2B+cos2B＝sin2B+＝4sin2B﹣4sin B+4＝1，∴4sin2B﹣4sin B+3＝0，解得sin B＝；从而求得cos B＝，∴B＝；由正弦定理得＝＝＝＝1，∴a＝sin A，c＝sin C；由A+B+C＝π得A+C＝，∴C＝﹣A，且0＜A＜；∴a+c＝sin A+sin C＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+sin cos A﹣cos sin A＝sin A+cos A＝sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴＜sin（A+）≤，∴a+c的取值范围是（，]．18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝．已知E，F分别是BC，AC的中点．将△CEF沿EF折起，使C到C′的位置且二面角C′﹣EF﹣B的大小是60°．连接C′B，C′A，如图：（Ⅰ）求证：平面C′FA⊥平面ABC′；（Ⅱ）求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．【分析】（Ⅰ）法一：由AF＝C′F．设AC′的中点为G，连接FG．设BC′的中点为H，连接GH，EH．从而∠BEC′即为二面角C′﹣EF﹣B的平面角．∠BEC′＝60°，推导出EH⊥BC′．EF⊥C′E，EF⊥BE，从而EF⊥平面BEC′．由EF∥AB，得AB ⊥平面BEC′，从而AB⊥EH，即EH⊥AB．进而EH⊥平面ABC′．推导出四边形EHGF为平行四边形．从而FG∥EH，FG⊥平面ABC′，由此能证明平面AFC′⊥平面ABC′．法二：以B为原点，在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面AFC′⊥平面ABC′．（Ⅱ）以B为原点，在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小．【解答】证明：（Ⅰ）证法一：∵F是AC的中点，∴AF＝C′F．设AC′的中点为G，连接FG．设BC′的中点为H，连接GH，EH．由题意得C′E⊥EF，BE⊥EF，∴∠BEC′即为二面角C′﹣EF﹣B的平面角．∴∠BEC′＝60°，∵E为BC的中点．∴BE＝EC′，∴△BEC′为等边三角形，∴EH⊥BC′．∵EF⊥C′E，EF⊥BE，C′E∩BE＝E，∴EF⊥平面BEC′．∵EF∥AB，∴AB⊥平面BEC′，∴AB⊥EH，即EH⊥AB．∵BC′∩AB＝B，∴EH⊥平面ABC′．∵G，H分别为AC′，BC′的中点．∴GH FE，∴四边形EHGF为平行四边形．∴FG∥EH，FG⊥平面ABC′，又FG⊂平面AFC′．∴平面AFC′⊥平面ABC′．法二：如图，以B为原点，在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA 为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2．则A（0，0，2），B（0，0，0），F（0，2，1），E（0，2，0），C′（，1，0）．设平面ABC′的法向量为＝（x，y，z），＝（0，0，2），＝（），∴，令x＝1，则＝（1，﹣，0），设平面AFC′的法向量为＝（x，y，z），＝（0，2，﹣1），＝（，1，﹣2），∴，取y＝1，得＝（，1，2）．∵•＝0，∴平面AFC′⊥平面ABC′．解：（Ⅱ）如图，以B为原点，在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则A（0，0，2），B（0，0，0），F（0，2，1），E（0，2，0），C′（，1，0）．平面BEC′的法向量＝（0，0，1），设平面AFC′的法向量为＝（x，y，z），＝（），＝（0，2，﹣1），∴，取y＝1，得＝（）．∴cos＜＞＝＝，由图形观察可知，平面AFC′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角．∴平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小为45°．19．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k0）0.400.250.150.100.050.025 k00.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10＝1，解得a＝0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05＝0.25，所以晋级成功的人数为100×0.25＝25（人），填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1﹣0.25＝0.75，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以X可视为服从二项分布，即，，故，，，，，所以X的分布列为X01234P（X＝k）数学期望为，或（）．20．已知椭圆的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，过F的直线m交椭圆C于M、N两点（均异于左、右顶点）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：x＝4，A为椭圆C的右顶点．若直线AM交l于点P，直线AN交l 于点Q，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．【分析】（1）由题意求得F（1，0），可得c＝1，由离心率公式可得a＝2，结合a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（2）求得A的坐标，设出直线m：x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），求得P，Q 的坐标，运用向量的加减和数量积的坐标运算，化简整理，再由直线m和椭圆方程联立，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理，计算可得所求定值．解：（1）因为直线过椭圆C的右焦点F，所以F（1，0）．即c＝1，因为离心率为，即e＝＝，∴a＝2，b＝，则椭圆的方程为+＝1；（2）A（2，0），设直线m：x＝ty+1，M（x1，y1），N（x2，y2），则AM：y＝（x﹣2），∴P（4，），AN：y＝（x﹣2），∴Q（4，），因此＝（3+3，+）•（x2﹣x1，y2﹣y1）＝6（x2﹣x1）+（y2﹣y1）（+）＝（y2﹣y1）[6t+（+）]＝（y2﹣y1）[6t+]，由x＝ty+1，+＝1得（3t2+4）y2+6ty﹣9＝0，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，因此＝＝＝﹣6t，即＝0，故为定值0．21．已知函数f（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出f（x）的导函数，得f′（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2＝（e x+a）（e x﹣2a），得到导函数的零点，对a分类可得原函数的单调性；（2）由（1）可知，当a＝0时，f（x）＝e2x＞0，a＝0成立；当a≠0时，求得f（x）的最小值，由最小值大于等于0求解实数a的取值范围．解：（1）由f（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2x，得f′（x）＝e2x﹣ae x﹣2a2＝（e x+a）（e x﹣2a）．当a＝0时，f′（x）＝e2x＞0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＜0，得x＜ln（2a），由f′（x）＞0，得x＞ln（2a）．∴f（x）在（﹣∞，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），+∞）上单调递增；当a＜0时，由f′（x）＜0，得x＜ln（﹣a），由f′（x）＞0，得x＞ln（﹣a）．∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增．综上，当a＝0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a），+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增．（2）由（1）可知，当a＝0时，f（x）＝e2x＞0，∴a＝0成立；当a＞0时，f（x）min＝f（ln（2a））＝≥0．即ln（2a）≤0，∴0；当a＜0时，＝．即ln（﹣a），∴≤a＜0．综上，a∈[，]．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．【分析】（1）消去参数t可得直线l的普通方程，两边同乘ρ后利用两角和的正弦公式以及互化公式可得曲线C的直角坐标方程；（2）由点到直线l的距离求得三角形的高，再根据面积公式可得．【解答】解（1）由消去参数t得x+y＝4，直线l的普通方程为x+y﹣4＝0．由ρ＝4sin（θ+）＝2sinθ+2cosθ得，ρ2＝2ρsin θ+2ρcos θ，即x2+y2＝2y+2x，∴曲线C的直角坐标方程是圆：（x﹣）2+（y﹣1）2＝4．（2）∵原点O到直线l的距离d＝＝2．直线l过圆C的圆心（，1），∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面积S＝|MN|×d＝4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．（1）设a＝1，求不等式f（x）≤7的解集；（2）已知a＞﹣1，且f（x）的最小值等于3，求实数a的值．【分析】（1）利用分段讨论的方法求解不等式；（2）先确定函数的解析式，然后根据函数的单调性求出最小值，建立方程求解．解：（1）a＝1时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣1|．（1分）当x＜﹣1时，f（x）≤7即为﹣3x+1≤7，解得﹣2≤x＜﹣1．当﹣1≤x≤1时，﹣x+3≤7，解得﹣1≤x≤1．当x＞1时，3x﹣1≤7，解得1＜x≤．综上，f（x）≤7的解集为（2）∵a＞﹣1，∴f（x）＝由y＝f（x）的图象知f（x）min＝f（a）＝a+1＝3，∴a＝2．故实数a的值为2．。