(完整版)22.3实际问题与一元二次方程(传播问题)

22．3 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究 探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件(2014·江苏淮安)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x2＋2x .(3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m－3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.。

6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．课堂总结．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n 次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．。

22.3实际问题与一元二次方程【当堂检测】中的第 1、2题，【课时作业】中的第 1, 2, 11题.的答案.一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下:(1)审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系(2)设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设 (分直接与间接).(3) 列：是指列方程，根据等量关系列出方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关 系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性, 进一步提咼分析冋题、 解决问题的意识和能力。

在利用一元二次方程解决实际问题，特别要对方程的解注意检验, 根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.主要学习下列两个内容:1.列一元二次方程解决实际问题。

一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤：审、设、 列、解、验、答六个步骤，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程 (组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键.主要设置了【典例引路】中的例 1、例2、例4.2. 一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 (a M0bc的两个根是和x 2 ,那么x 1 + x 2 = - — , x 1 ?x 2 = 一 .主要设置了 a a堂检测】中的第 4题，【课时作业】中的第 6、7题.【典例引路】中的例 3.【当知识点击点击一： 列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的 一种能力，列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系, 从而正确地列出方程.概括来说就是实际问题数学模型一一数学问题的解 实际问题(4) 解：就是解所列方程，求出未知量的值(5) 验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义,不满足要求的应舍去.(6) 答：即写出答案，不要忘记单位名称程(组)解应用题的关键.针对练习1:某城市2006年底已有绿化面积 300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐方程正确的是( )贝y X 1+X 2= 根据以上(1)(2)(3 )你能否猜出:如果关于X 的一元二次方程 mx 2+ nx+p=0 (斤产0且m 、n 、p 为常数)的两根为 X 1、X 2, 那么X 1+X 2、X 1、X 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方年增加，到2008年底增加到363公顷.设绿化面积平均每年的增长率为 X ,由题意，所列A . 300(1 + x)=363 2300(1 +C . 300(1 + 2x)=363363(1 — X )2=300【解析】B设平均增长百分率为X ,由题意知基数为 300公顷,则到2004年底的绿化面积为：300+300x=300 (1+X )(公顷)；至^ 2008年底的绿化面积为:300 (1+X ) +300(1 + X )x=300 (1+X ) 2公顷，而到2008年底绿化面积为 363公顷，所以300(1 + x)2=363 .点击二：一元二次方程根与系数的关系元二次方程根与系数的关系。

22.3 实际问题与一元二次方程一、传播问题1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一人传染了几个人？2、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个分支？3、有一人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发短信，一个人向多少人发送？4、某课外活动小组有若干人，圣诞晚会上互送贺卡一张，全组人共送出贺卡72张，则此小组共有多少人？5、一棵树主干长出若干个支干，每个支干又长出支干2倍的小分枝，主干、支干、小分枝共有56个，求主干长出几个支干？二、增长率问题1、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元。

哪种药品成本的年平均下降率较大？2、为了让河南的山更绿、水更清，2010年河南省委、省政府提出了确保到2012提实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2010年我省森林覆盖率为60.05%，设从2010年起我省森林覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程为 .3、某厂今年3月份的产值为50万元，4月份和5月份的总产值是132万元，设平均每月增长率为x ，则可列出的方程是 .4、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的21，求新产品花生亩产量的增长率？ 5、某商品经过两次降价，零售价变为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？6、某农户的粮食产量平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万千克，那么三年的总产量为 .7、已知小芳家今年5月的用电量是120千瓦时，根据去年5月至7月用电量的增长趋势，预计今年7月的用电量将达到240千瓦时，若去年5月至6月用电量月增长诣6月至7月用电量增长率的1.5倍，则预计小芳家今年6月的用电量是多少千瓦时？三、与面积有关的问题1、要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ；正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形。