第3讲线性代数和多项式

精品文档高等代数（ 1）课程教学大纲第一部分前言一、课程基本信息1.课程类别：专业基础课2.开课单位：数学与财经系3.适用专业：数学与应用数学专业4. 备选教材：《高等代数（第三版）》，北京大学数学系几何与代数教研室前代数组编.高等教育出版社，2003.二、课程性质和目标高等代数是数学与应用数学专业的一门重要基础课程。

本课程的主要内容是多项式理论和线性代数理论。

通过本课程的教学，使学生掌握代数基本理论和基本方法，培养学生代数方面的科学的思维、抽象的思维，逻辑推理、提高运算以及解决实际应用的能力，为进一步学习专业后续课程奠定坚实的代数基础。

本课程的教学目的是使学生获得一元多项式，行列式，线性方程组，矩阵等方面的系统知识 , 为进一步学习近世代数，复变函数、等后续课程打下坚实的基础，也为深入理解初等数学、指导中学数学教学提供了高等的专业知识与重要的方法论。

通过本门课程系统的学习与严格的训练，全面掌握高等代数的基本理论知识；培养抽象的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用代数学的理论知识解决实际应用问题的能力。

三、课程学时与学分教学时数：96 学时，其中理论教学81 学时，实践教学15 学时学分数： 6 学分教学时数具体分配：教学内容理论教学实践教学合计（学时）（学时）（学时）第一章多项式26632第二章行列式16319第三章线性方程组22325第四章矩阵17320合计811596第二部分教学内容及其要求第一章多项式1.教学目标：要求学生理解数域的概念；掌握一元多项式的概念、运算及基本性质；掌握带余除法与整除性的关系，会进行相关运算；会求多项式的最大公因式；理解不可约多项式的概念，掌握求重因式的方法；理解多项式在不同的数域的因式分解形式；掌握Eisenstein判别法，会求有理系数多项式的根。

2.教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k 重因式与 k 重根的关系。

第三章 线性方程组第一节 线性方程组与矩阵的行等价一 线性方程组以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.定义3.1 多元一次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111称为线性方程组. 方程组有m 个方程, n 个未知数i x (1,2,,i n =), 而ij a (1,2,,i n =;m j ,,2,1 =)是未知数的系数, j b (m j ,,2,1 =)是常数项.如果0=j b (m j ,,2,1 =), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.数组n c c c ,,,21 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数n x x x ,,,21 , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.例3.1 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-52452132321321321x x x x x x x x x .解 从上向下消元, 得同解方程组1232332312243x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩. 这种方程组称为阶梯形方程组. 从下向上消元, 得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=310232321x x x .再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解2/31-=x , 52=x , 33=x .解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.(1) 交换两个方程的位置;(2) 用一个非零常数乘以一个方程;(3) 将一个方程的k 倍加到另一个方程上去.注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的.定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解.证 先证明只进行一次初等变换.首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解.最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解.二 矩阵的行等价用矩阵乘法, 可以将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111写作 11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21, 称为线性方程组的矩阵表示. 其中n m ⨯矩阵)(ij a A =称为方程组的系数矩阵, 1⨯n 列矩阵),,,(21'=n x x x x 称为未知数(矩阵), 1⨯m 列矩阵),,,(21'=m b b b b 称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作b Ax =.如果数组n c c c ,,,21 是线性方程组b Ax =的解, 令列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=, 则有矩阵等式A b ξ=. 列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=是方程组的解的矩阵表示.将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵),(b A A =, 称为线性方程组的增广矩阵.线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念.定义3.4 设A 是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵A 的行初等变换.(1) 交换A 的两行;(2) 用非零常数k 乘以A 的一行;(3) 将A 的一行的k 倍加到另一行上去.定义 3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵A 变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 行等价. 记作B A r−→−. 仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果.性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质.(1) 反身性: A A r −→−; (2) 对称性: 如果B A r −→−, 则A B r −→−; (3) 传递性: 如果B A r −→−,C B r −→−, 则C A r −→−. 当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价关系, 已经用等号表示为B A =. 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号B A r −→−. 用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作:定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解.通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行.定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.(1) 非零行在上, 零行在下;(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方.例3.2 用行初等变换化简矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521451121312A .解 做行初等变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521451121312A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−343042201312r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−310042201312r . 经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−310042201312r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−3100100208012r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−3100100203002r .最后, 每行除以其首元素, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−3100100203002r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−310050102/3001r .定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.(1) 每个非零行的首元素等于1;(2) 包含首元素的列的其它元素都是0.在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理.定理3.3 对于任意矩阵A , 存在一个行最简阵R , 使得A 与R 行等价.如果矩阵A 与行阶梯形阵R 行等价，则称R 是A 的行阶梯形阵. 如果A 与行最简阵R 行等价, 则称R 为矩阵A 的行等价标准形.其实, 例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决.习题3-11. 写出线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的系数矩阵与增广矩阵, 并用消元法求解.2. 设线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1681355422351312, 写出该线性方程组, 并用消元法求解.3. 求下列矩阵的行等价标准形.（1）102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭; (2) 023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭; (3) 11343335412232033421--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭; (4) 23137120243283023743--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 4. 求t 的值, 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----t 22122351311321的行等价标准形恰有两个非零行.第二节 矩阵的秩一 矩阵的秩的定义定义 3.8 设矩阵n m ij a A ⨯=)(, 从A 中任意选取k 行,k 列(},min{n m k ≤), 位于这些行与列的交叉点上的2k 个元素按照原来的相对位置构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式. 例如, 位于矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=312097102431A 的第一,三行, 第二，四列的二阶子式为133223-=-. 一个n m ⨯矩阵有kn k m C C 个k 阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而n 阶方阵的行列式是它的唯一的n 阶子式.定义3.9 如果矩阵n m ij a A ⨯=)(中有一个r 阶子式不等于零, 而所有1+r 阶子式都等于零, 则称矩阵A 的秩等于r . 记作r A =)rank(.如果矩阵的所有1+r 阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数.约定 对于零矩阵O , 约定0)rank(=O .由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实:(1) 设A 是非零矩阵, 则1)rank(≥A ;(2) 设A 是n m ⨯矩阵, 则},min{)rank(n m A ≤;(3) n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为n A =)rank(. 于是, 可逆阵又称为满秩阵.例3.3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=064212100321A , 求它的秩.解 左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, 2)rank(=A . 例3.4 求对角阵),,,diag(21n a a a A =的秩.解 由不等于0的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于0. 而阶数高于这个子式的子式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于0的主对角线元素的个数.例3.5 设矩阵A 的秩等于0>r , 从A 删除一行得到矩阵B , 问B 的秩可能取哪些值? 如果给A 添加一行呢?解 因为矩阵B 的子式也是矩阵A 的子式, 所以B 的秩不大于A 的秩.已知r A =)r a n k (, 不妨设A 的r 阶子式D 不等于0. 如果D 也是B 的子式, 则r B =)rank(. 否则, 根据行列式按照一行展开, 在D 的未被删除的1-r 行中, 至少有一个1-r 阶子式不等于0. 于是1)rank(-≥r B .仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于r , 或者1+r .性质3.2 设A 是矩阵, k 是数, 则(1) 转置: )rank()rank(A A =';(2) 数乘: 如果0≠k , 则)rank()rank(A kA =.证 只证(2).考虑矩阵A 的一个s 阶子式s D , 根据矩阵的性质2.6, 矩阵kA 的相应的子式等于s s D k .已知0≠k , 因此0=s s D k 的充分必要条件为0=s D .设r A =)rank(, 则A 有一个r 阶子式不等于0, 而所有1+r 阶子式都等于0. 根据前面的分析, 矩阵kA 具有相同的性质. 因此, r kA =)rank(.二 行初等变换用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大.定理3.4 设矩阵A 与B 行等价, 则rank()rank()A B =.证 设一次行初等变换将矩阵A 变成矩阵B ，且r A =)r a n k (, 则A 的所有1+r 阶子式都等于0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵B 的所有1+r 阶子式也都等于0.(1) 矩阵A 的一行乘以非零常数k . 此时B 的一个1+r 阶子式或者就是A 的相同位置的1+r 阶子式, 或者是A 的相同位置的1+r 阶子式的一行乘以非零常数k . 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.(2) 交换矩阵A 的两行. 考虑B 的一个1+r 阶子式D , 则A 有一个1+r 阶子式与D 的差别至多是行的顺序不同. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.(3) 将A 的第j 行的k 倍加到第i 行. 如果B 的一个1+r 阶子式不包含A 的第i 行, 它就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果B 的一个1+r 阶子式D 包含A 的第i 行, 用行列式的性质, 这个子式可以分解为21kD D +, 其中1D 就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果D 不包含A 的第j 行, 则2D 可以由A 的某个1+r 阶子式经交换行得到. 如果D 包含A 的第j 行, 则2D 有两个相同的行. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.总之, )rank()rank(A r B =≤.另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵B 变成矩阵A . 从而还有)rank()rank(B A ≤. 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有rank()rank()A B =.最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩.推论 3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.证 设矩阵A 的行等价标准形R 中恰有r 个非零行, 则所有1+r 阶子式都等于0. 另一方面, 它的非零行的首元素所在的列的前r 行构成r 阶单位阵. 于是r R =)rank(. 根据定理 3.4, 有r A =)rank(.例3.6 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A 的秩. 解 用行初等变换, 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A −→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----81440472047201511−→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000047201511. 矩阵A 的行阶梯形阵有两个非零行, 因此, 2)rank(=A .例3.7 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A , 求证: )rank()rank()rank(C B A +=. 证 设矩阵C B ,的行等价标准形分别为R 和S , 分别对B 和C 所在的行做行初等变换, 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−S O O R r , 其中R 和S 分别是B 和C 的行等价标准形. 将R 所在的行中的零行移动到矩阵的最下方, 而不改变非零行的上下顺序, 可得到一个行最简阵. 而且, 这就是A 的行等价标准形. 于是, A 的行等价标准形中非零行的个数恰等于B 与C 的行等价标准形中非零行的个数之和.用这个方法可以证明: 准对角阵的秩等于各对角块的秩的和.习题3-21. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=75211111A ，按照从小到大的顺序排列它的所有二阶子式. 2. 设n m ⨯矩阵A 的秩等于r , 任取A 的s 行构成矩阵B , 求证: m s r B -+≥)rank(. *3. 设A 是n m ⨯矩阵，求证：1)rank(=A 的充分必要条件为: 存在1⨯m 非零矩阵B 与n ⨯1非零矩阵C ，使得BC A =.4. 用行初等变换求下列矩阵的秩.(1) 123235471⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (2) 321322131345561---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭; (3) 1010011000011000011001011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (4) 132541413514243273613-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 求t 的值, 使得方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.第三节 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的矩阵表示为0=Ax . 此时方程组与其系数矩阵A 互相唯一确定.齐次线性方程组0=Ax 总有零解. 于是, 解齐次线性方程组的基本问题是:(1) 对给定的齐次线性方程组，判定是否有非零解;(2) 如果有非零解, 求出所有的解(通解). 性质 3.3 如果列矩阵1ξ与2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的两个特解, 则对于任意的数k h ,, 列矩阵21ξξk h +也是方程组的解.证 将21ξξk h +代入方程组, 得)(21ξξk h A +00021=+=+=ξξkA hA . 由定理3.2与定理3.3可得解齐次线性方程组的基本路线. 下面通过例题予以说明.例1求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-----=+++0434503223006225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解 首先写出方程组的系数矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=14345321231111162210A . 然后做行初等变换, 由矩阵A 产生行阶梯形阵. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------14345321236221011111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−00000010006221011111r . 继续做行初等变换, 得到矩阵A 的行等价标准形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010006021050101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−00000010006021050101r . 从行等价标准形得到同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=--000062054532531x x x x x x x .将行等价标准形的非零行中的首元素对应的未知数留在方程组的左边, 将其余未知数移到方程组的右边, 得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=+=0006254532531x x x x x x x . 任意取定右边未知数(自由未知数)的值, 则左边未知数(约束未知数)的值也随之确定, 由此产生方程组的一个解.实际上，由此可以得到方程组的全部解. 设),,,,(54321'd d d d d 是方程组的任意的特解, 上面求解时3x 与5x 可以任意取值, 自然包含取值33d x =与55d x =. 由于),,,,(54321'd d d d d 是方程组的解, 必须满足方程组.因此5315d d d +=,53262d d d --=,04=d . 于是, 这个特解可以由上面的方法产生.令h x =3,k x =5, 得到齐次线性方程组的通解k h x 51+=,k h x 622--=,h x =3, 04=x , k x =5, 其中k h ,是任意常数.在通解中令1=h ,0=k , 得到齐次线性方程组的一个特解1(1,2,1,0,0)ξ'=-. 反之, 令0=h ,1=k , 得到另一个特解2(5,6,0,0,1)ξ'=-. 从而得到齐次线性方程组的通解的矩阵表示: 12x h k ξξ=+, 其中k h ,是任意常数. 为了得到方程组的通解, 只须求得特解1ξ与2ξ， 因此, 称12,ξξ为齐次线性方程组的基础解系.注意 将一个自由未知数取1, 其他自由未知数取0, 得到齐次线性方程组的一个特解. 这些特解的集合就是基础解系. 因此, 如果有s 个自由未知数, 则方程组的基础解系包含s 个特解.定理 3.5 设A 是n m ⨯矩阵, 则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中所包含的特解的个数等于)rank(A n -.证 根据推论 3.1, 系数矩阵A 的秩等于行等价标准形R 中非零行的个数, 也就是约束未知数的个数. 于是, 未知数的个数n 与系数矩阵的秩)rank(A 的差等于自由未知数的个数, 也就是基础解系中所包含的特解的个数.推论 3.2 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为: 系数矩阵的秩等于它的列数.证 根据定理 3.5, 此时没有自由未知数, 于是只有一个零解.推论3.3 设A 是n 阶方阵，求证：齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .证 根据推论3.2, 齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为n A =)rank(. 由矩阵的秩的定义, n A =)rank(的充分必要条件为0||≠A .例 3.9 设A 是n 阶方阵, 且n r A <=)rank(, 求证: 存在n 阶方阵B , 满足O AB =, 且r n B -=)rank(.证 考虑齐次线性方程组0=Ax , 根据定理3.5, 它的r n -个特解12,,,n r ξξξ-组成基础解系. 即有0i A ξ=, r n i -=,,2,1 .构造分块n 阶方阵12(,,,,0,,0)n rB ξξξ-=, 即B 的前r n -列是基础解系中的特解构成的列矩阵, 后面的r 个列的元素都是0. 由基础解系的构造, 在B 的前r n -列中, 与自由未知数对应的行可以构成一个单位阵, 因此r n B -=)rank(.另一方面, 由分块矩阵的运算规则, 有12(,,,,0,,0)n r AB A ξξξ-=12(,,,,0,,0)n r A A A O ξξξ-==.习题3-31. 求下列齐次线性方程组的通解.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-03200231321321x x x x x x x x ; (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+--+=-+-+024242052420632543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ; (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ; （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-+--=-+-+=+-+-02252022303220254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .2. 设齐次线性方程组的系数矩阵的列数大于行数, 求证: 该方程组有非零解.3. 当a 满足什么条件时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x ax x x x ax 只有零解?4. 求a 的值, 使得齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++004202321321321x x x x x x x x ax 有非零解. 并求其基础解系.5. 设0>n , 求证: n 次多项式至多有n 个两两不同的零点.第四节 非齐次线性方程组的通解解非齐次线性方程组b Ax =的基本问题是:(1) 对于给定的方程组, 判断是否有解;(2) 如果有解, 求出全部解(通解).定义 3.10 将非齐次线性方程组b Ax =中各方程的右边变成0, 得到的齐次线性方程组0=Ax 称为方程组b Ax =的导出组.性质3.4 设列矩阵1η与2η是线性方程组b Ax =的两个特解, 则它们的差21ηηξ-=是它的导出组0=Ax 的解.证 将21ηηξ-=代入导出组的左边, 得)(21ηηξ-=A A 021=-=-=b b A A ηη.推论 3.4 如果非齐次线性方程组有解, 则它的通解是它的一个特解与它的导出组的通解的和.证 首先, 设列矩阵η是方程组b Ax =的特解, 列矩阵ξ是其导出组0=Ax 的特解, 则有b b A A A =+=+=+0)(ηξηξ,即列矩阵ηξ+是方程组b Ax =的解.其次, 设列矩阵ζ是方程组b Ax =的任意的特解, 根据性质3.4, 列矩阵ηζξ-=是导出组0=Ax 的解. 移项, 得ξηζ+=, 即方程组b Ax =的任意的特解ζ可以表示为它的取定的特解η与导出组0=Ax 的解ξ的和.综合两方面, 即得本推论.注意 求非齐次线性方程组的通解, 只须求出它的一个特解, 以及它的导出组的通解. 而后面的问题已经解决.在齐次线性方程组的解题路线中, 用增广矩阵代替系数矩阵, 得非齐次线性方程组的解题路线. 现举例说明.例 3.10 求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-+++-=-----=+++13334533237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解 首先写出方程组的增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311237111112462210. 然后做行初等变换, 由增广矩阵产生行阶梯形阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311232462210711111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−→−0000000000002462210711111r . 继续做行初等变换, 得到增广矩阵的行等价标准形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000000024622101751101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−00000000000024622101751101r . 从行等价标准形得到同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++-=---00002462217554325431x x x x x x x x . 将自由未知数移到右边, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+---=-++=00002462217554325431x x x x x x x x . 将自由未知数取值0, 计算约束未知数的值, 即得非齐次方程组的一个特解)0,0,0,24,17('-=η.根据推论 3.3, 还需要求它的导出组的基础解系. 注意到: 如果删除增广矩阵的最后一列, 就是系数矩阵. 在做行初等变换之后, 如果删除增广矩阵的行等价标准形的最后一列, 也就是系数矩阵的行等价标准形. 于是, 如果将非齐次方程组的同解方程组的常数项变成0, 就是它的导出组的同解方程组. 用前面的方法, 得基础解系)0,0,1,2,1(1'-=ξ, )0,1,0,2,1(2'-=ξ,)1,0,0,6,5(2'-=ξ.于是, 非齐次线性方程组的通解的矩阵表示为332211ξξξηk k k x +++=, 其中321,,k k k 是任意常数.例 3.11 解非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-+++-=-----=+++13334523237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .解 这个方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311237111112462210. 通过行初等变换, 得到行阶梯形阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0000001000002462210711111. 在这里, 有一个非零行的首元素在最后一列. 当从行阶梯形阵出发, 得同解方程组时, 该行对应矛盾方程: 10=. 因此, 同解方程组无解. 于是, 原线性方程组无解. 反之, 如果不出现这种情况, 则用前面的方法可以求出通解.于是, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的首元素不出现在最后一列(常数项). 下面的定理用矩阵的秩表述这个结论.定理 3.6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于它的增广矩阵的秩.证 在增广矩阵的行阶梯形阵中, 首元素不出项在最后一列的充分必要条件为: 增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数等于系数矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数. 由推论 3.1, 即系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.推论 3.5 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于其列数, 且等于增广矩阵的秩.证 综合定理3.6和推论3.2即可.例 3.12 当b a ,取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x bx x a x x x x x x x x 有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求通解.解 对增广矩阵做行初等变换, 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----112323101221001111a b a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−1321023101221001111a b a r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-−→−01000101001221001111a b a r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----−→−01000101001221011101a b a r 根据定理3.6, 当1,1-≠=b a 时无解.当1,1-==b a 时, 非齐次线性方程组的特解为)0,0,1,1('-=η, 导出组的基础解系为)0,1,2,1(1'-=ξ, )1,0,2,1(2'-=ξ，通解为2211ξξηk k x ++=, 其中21,k k 是任意常数.当1≠a 时有唯一解)0,1,32,2(11'+--+--=b b a a b a η. 例3.13 设A 是n 阶方阵, 且0||≠A . 将A 分块),(C B A =, 其中C 是A 的最后一列, 求证: 线性方程组C Bx =无解.证 线性方程组的增广矩阵就是A , 由0||≠A , 增广矩阵的秩等于n . 而线性方程组的系数矩阵B 只有1-n 列, 它的秩不大于1-n . 根据定理3.6, 线性方程组C Bx =无解.推论 3.6 设A 是n 阶方阵, 则线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .证 充分性. 设0||≠A , 则方阵A 的秩等于其列数n . 又方程组的增广矩阵),(b A 只有n 行, 于是, 由例3.5, 有≤=)rank(A n n b A ≤),rank(.根据推论3.5, 方程组有唯一解.必要性. 设方程组b Ax =有唯一解, 根据推论 3.5, 方阵A 的秩等于其列数n . 于是, 行列式0||≠A .条件0||≠A 保证方阵A 可逆. 用A 的逆阵左乘b Ax =, 得b A x 1-=. 这个公式是用逆阵表示线性方程组的唯一解. 从这个公式出发, 可以得到另一个公式. 根据定理2.1, 有 b A x 1-=b A A *||1=, 其中方阵*A 是A 的伴随阵. 计算这个矩阵等式的第j 行的元素, 得)(||12211n nj j j j b A b A b A A x +++= , n j ,,2,1 =. 根据定理 1.3, 等式右边的括号可以看作: 用常数矩阵b 代替系数行列式||A 的第j 列所得的行列式, 按照第j 列的展开式. 将这个行列式记作j D , 又将||A 改写作D , 则上式为D D x jj =, n j ,,2,1 =.这个公式是用行列式的商表示线性方程组的唯一解，称为克拉默法则.习题3-41. 设列矩阵i η(m i ,,,2,1 =)是非齐次线性方程组Ax b =的特解, 数i k (m i ,,,2,1 =)满足121=+++m k k k , 求证: 列矩阵1122m mk k k ηηη+++也是方程组Ax b =的特解.2. 求下列非齐次线性方程组的通解. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+--=-+337713434234313214321431x x x x x x x x x x x x x ; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-22344324314324321x x x x x x x x x x ; (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-=--=++0644352523222321321321321x x x x x x x x x x x x ; (4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=++++----nx x x x x x x x x x x x n n n n n n 122113113221 , 其中1>n .3. 求证: 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++2543222432143214321x x x x x x x x x x x x 无解. 4. 求b的值, 使得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++-b x x x x x x x x x x x x 432143214321114724212有解, 并求其通解.5. 当d c b a ,,,满足什么条件时, 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+d x x cx x b x x a x x 42314321有解? 并求其通解.6. 当b a ,取何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b ax x x x x x x x x 32132132132263132有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求其通解.*7. 设A 是n 阶方阵, b 是1⨯n 矩阵, 且分块方阵满足)rank(0rank A b b A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛', 求证: 非齐次线性方程组b Ax =有解.第五节 初等方阵与初等变换一 初等方阵定义3.11 对单位阵E 做行初等变换所得方阵称为初等方阵.三种行初等变换产生三种初等方阵:(1) 交换E 的第i 行与第j 行所得方阵记作ij P ;(2) 用非零常数k 乘以E 的第i 行所得方阵记作)(k D i ;(3) 将E 的第j 行的k 倍加到第i 行所得方阵记作)(k T ij .三种初等方阵是可逆阵, 且它们的逆阵也是初等方阵. 实际上, 有ij ij P P =-1, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k D k D i i 1)(1, )()(1k T k T ij ij -=-.定理 3.7 对矩阵A 做一种行初等变换, 相当于左乘一个相应的初等方阵.注意 定理3.7在矩阵的相等与矩阵的行等价之间建立了联系, 从而可以用矩阵的运算性质研究矩阵的行等价. 下面将看到, 有时这是非常方便的.推论 3.7 任意矩阵A 可以表示成R E E E A s 21=, 其中i E 是初等方阵, R 是A 的行等价标准形.证 对A 做行初等变换, 可得其行等价标准形R . 这个过程相当于用一系列初等方阵i E 左乘矩阵A . 即有R A E E E s =12 . 由于初等方阵可逆, 用它们的逆阵逐个左乘此式, 得R E E E A s 11211---= . 因为初等方阵的逆阵还是初等方阵, 换符号即得推论中的表示.推论3.8 方阵A 可逆的充分必要条件为: 它可以表示成初等方阵的乘积.例3.14 设B A ,都是n m ⨯矩阵, 求证: A 与B 行等价的充分必要条件为存在m 阶可逆阵P , 使得B PA =.二 矩阵方程矩阵方程B AX =, 其中A 是n 阶可逆阵, B 是m n ⨯矩阵, 而X 是m n ⨯未知矩阵.已知A 是可逆阵, 用其逆阵左乘方程, 得矩阵方程的解B A X 1-=. 对于可逆阵A , 存在初等方阵i E , 使得E A E E E s =12 . 用同样的初等方阵左乘矩阵方程B AX =, 得EX AX E E E s =12 B E E E X s 12 ==这个等式说明, 对可逆阵A 与矩阵B 做相同的行初等变换, 当将A 变成单位阵时, 矩阵B 变成矩阵方程B AX =的解B A X 1-=.例3.15设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111012112A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=521234311B , 解矩阵方程B AX =.解 做分块矩阵: 左边部分是A ,右边部分是B . 做行初等变换, 得()=B A |⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----521111234012311112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−311112234012521111r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−143100872230521111r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−1431003/1053/80103/813/2001r .于是，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-1433/1053/83/813/21B A X . 如果矩阵方程B AX =中的方阵A 可逆, 方阵B 是单位阵E , 则用这个方法得到的矩阵方程的解E A X 1-=1-=A 就是A 的逆阵. 由此得到计算逆阵的简单方法.例3.16 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A 的逆阵. 解 用初等变换法.()=E A |⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100523010012001101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−127200012210001101r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−2/112/71001150102/112/5001r于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2/112/71152/112/51A . 如果X 与B 是列矩阵, 用这里的方法可以得到线性方程组B AX =的解B A X 1-=. 而且这种解法正是前面的消元法.性质 3.5 两个矩阵的乘积的秩不大于每个因子的秩.证 设A 是p m ⨯矩阵, B 是n p ⨯矩阵, r A =)rank(. 先证明r AB ≤)rank(.根据推论 3.7, 有R A E E E s =12 , 其中A 的行等价标准形R 恰有r 个非零行. 用矩阵B 右乘此式, 得RB AB E E E s =)(12 . 根据矩阵乘法定义, 矩阵RB 至多有r 个非零行. 根据定理3.4, 有)rank()rank()rank(A r RB AB =≤=.转置可证明另一部分.例3.17 设A 是可逆阵,则)rank()rank(B AB =.证1 记矩阵AB C =. 由性质 3.5, 有)rank()rank(B C ≤. 用逆阵1-A 左乘AB C =, 得C A B 1-=, 从而有)rank()rank(C B ≤.上面的证明主要体现了逆阵的一种应用, 并不是最简捷的证明.证2 已知A 是可逆阵，根据推论3.8, 有B E E E AB s 12 =. 再根据定理 3.4, 有)rank()rank(B AB =.三 初等变换与矩阵的行初等变换类似, 可以定义矩阵的列初等变换.定义3.12 设A 是矩阵, 称下面三种变换为对矩阵A 的列初等变换.(1) 交换A 的两列;(2) 用非零常数k 乘以A 的一列;(3) 将A 的一列的k 倍加到另一列上去,与行初等变换类似, 可以定义矩阵的列等价与列等价标准形.性质 3.6 列初等变换与列等价具有下述性质.(1) 列初等变换不改变矩阵的秩;(2) 对一个矩阵做列初等变换, 相当于用相应的初等方阵右乘这个矩阵;(3) 矩阵的列等价是等价关系;(4) 矩阵B 与A 列等价的充分必要条件为: 存在可逆阵Q , 使得B AQ =.与用行初等变换解矩阵方程B AX =类似, 可以用列初等变换解矩阵方程B XA =.例3.18设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=234311B , 解矩阵方程B XA =.解 做分块矩阵, 上边是A , 下边是B . 然后做列初等变换. 当将A 变成单位阵时, B变成矩阵方程的解1-=BA X . 如果用→表示列等价, 则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---234311111012112⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→423131*********⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→253321301011001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→3/253/8122100010001. 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X . 例 3.19 设分块矩阵),(B A , 求证: )rank()rank(),rank(B A B A +≤.证 设矩阵B A ,的列等价标准形分别为S R ,,则R 与S 分别有)ra nk(A 与)rank(B 个非零列. 从而分块矩阵),(S R 有)rank()rank(B A +个非零列. 另一方面, 如果在矩阵),(B A 中分别对两个子块做列初等变换, 则可以得到分块矩阵),(S R . 于是, 有)rank()rank(),rank(),rank(B A S R B A +≤=.。

§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。

线性代数计算
线性代数计算是数学中最基础、最重要的课程，它主要涉及基本代数学、矩阵分析、多项式计算等，也是多年来研究数学问题的基础。

对于一个想要深入研究线性代数的学习者，线性代数计算是学习的开始，是深入研究的基础。

一般而言，线性代数计算包括基本的数学操作、矩阵分析、多项式计算、随机变量的建模和计算、矩阵变换等。

首先，学习者需要了解基本的数学概念，以便更好地理解线性代数计算中的概念。

其次，需要学习矩阵分析，熟练掌握基本的矩阵操作，比如矩阵的加法、减法、乘法、除法、求逆、行列式计算等。

此外，还需要学习多项式计算，掌握基本的多项式、函数的拉格朗日展开式、多项式展开式等概念。

接下来，需要学习计算随机变量的建模和计算，包括概率的概念、随机变量的概念、数学期望和方差的概念，以及蒙特卡洛模拟等，这些概念可用于复杂情形的模拟计算。

最后，学习者需要掌握矩阵变换的概念，了解矩阵变换、变换矩阵、直角坐标系变换、正交变换、变换矩阵的性质和应用等，这些内容都是学习线性代数计算的基础。

综上所述，线性代数计算包括基本的数学操作、矩阵分析、多项式计算、随机变量的建模和计算、矩阵变换等，学习者需要深入地掌握这些概念，以便能够正确地运用线性代数计算技术解决数学问题。

同时，线性代数计算不仅在数学领域有重要意义，而且在其他领域也有重要的应用，比如统计学、机器学习、数据挖掘等，学习者可以根
据自己的需求，将线性代数计算应用在不同的领域，从而更好地掌握相关的知识，提高职业竞争能力。

线性代数应该这样学6：积空间，商空间，多项式在本系列中，我的个⼈见解将使⽤斜体标注。

每篇⽂章的最后，我将选择摘录⼀些例题。

由于⽂章是我独⾃整理的，缺乏审阅，难免出现错误，如有发现欢迎在评论区中指正。

⽬录Part 1：积空间积空间与和空间都是把多个向量空间联系在⼀起的⼯具，最后也会给出它们的联系。

向量空间的积(product of vector spaces) 设V1,⋯,V m都为F上的向量空间，规定它们的积为V1×⋯×V m={(v1,⋯,v m):v1∈V1,⋯,v m∈V m}.⼜被称为笛卡尔直积，在规定了向量空间积上的加法、标量乘法后，向量空间的积空间也成为向量空间。

V1×⋯×V m上的加法：(u1,⋯,u m)+(v1,⋯,v m)=(u1+v1,⋯,u m+v m).V1×⋯×V m上的乘法：λ(v1,⋯,v m)=(λv1,⋯,v m).要把积空间上的元素与m元组区分开。

m元组中每⼀个分量都是F上的数，积空间上的元素每⼀个分量都是V i(F)上的向量，因此⼆者的维数是不同的。

积的维数等于维数的和设V1,⋯,V m都是有限维向量空间，则V1×⋯×V m都是有限维的，且dim(V1×⋯×V m)=dim V1+⋯+dim V m.证明这个结论，只需要找到V1×⋯V m的⼀组基即可。

设e i,k是V i上的第k个基向量，则,⋯,0)(e1,1,⋯,0)⋯(e1,dim V1⋮⋮)(0,⋯,e m,1)⋯(0,⋯,e m,dim Vm以上向量阵中第i⾏拥有dim V i个元素，且容易证明它们线性⽆关、张成V1×⋯×V m，所以是积空间的⼀组基。

积空间与和设U1,⋯,U m都是V的⼦空间，线性映射Γ:U1×⋯×U m→U1+⋯+U m定义为Γ(u1,⋯,u m)=u1+⋯+u m,则U1+⋯+U m是直和当且仅当Γ是单射。

----图解线性代数----任广千胡翠芳编著2010.06.01《线性代数的几何意义》几何意义名言录没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了，因此用这种方式来表达事物是非常有意义的。

-------笛卡尔算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式；没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。

--------希尔伯特“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。

”--------拉格朗日不会几何学就不会正确的思考，而不会正确思考的人不过是行尸走肉。

--------柏拉图无论是从事数学教学或研究, 我是喜欢直观的。

学习一条数学定理及其证明, 只有当我能把定理的直观含义和证明的直观思路弄明白了, 我才认为真正懂了。

--------中国当代数学家徐利治第三章 行列式的几何意义在中国古代，用筹算表示联立一次方程未知量的系数时，就有了行列式的萌芽-----排列的方式。

日本吸收了这种思想，在1683年，日本学者关孝和（Seki Takakusu）对行列式的概念和它的展开已有了清楚的叙述。

到18世纪，瑞士数学家克莱姆（G.Gramer）和法国数学家拉普拉斯（place）建立了行列式理论。

行列式的几何意义具有深刻的含义。

它是指行列式的行向量或列向量所构成的平行多面体的有向体积。

这个有向体积是由许多块更小的有向面积或有向体积的累加。

在我们逐步地讨论这个几何意义之前，先来回顾一下行列式的定义。

3.1. 行列式的定义行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。

当然，如果行列式中含有未知数，那么行列式就是一个多项式。

它本质上代表一个数值，这点请与矩阵区别开来。

矩阵只是一个数表，行列式还要对这个数表按照规则进一步计算,最终得到一个实数、复数或者多项式。

行列式分阶，比如二阶行列式、三阶行列式直至n 阶行列式。

线性代数知识点总结第一章 行列式一要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =;元素ij a 的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理5、克莱姆法则二基本要求1、理解n 阶行列式的定义2、掌握n 阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A +⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式;各行列元素之和等于同一个常数的行列式;利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵一要点1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表..当n m =时;称A 为n 阶矩阵;此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式;称为矩阵A 的行列式;记为A .注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..如果两矩阵A 与B 相乘;有BA AB =;则称矩阵A 与B 可换..注：矩阵乘积不一定符合交换2方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ;个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0;其中I 为单位阵 .3 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ;A 为方阵;矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ;其中I 为单位阵..4n 阶矩阵A 和B ;则B A AB =.5n 阶矩阵A ;则A A nλλ=4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵若矩阵A 可逆;则其逆矩阵是唯一的；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ; E A A A AA ==**矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质..6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵..7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价二要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如n m A ⨯;l n B ⨯;将矩阵B 分块为) (21l b b b B =;其中j b l j 2, ,1=是矩阵B 的第j 列;则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =;其中j p n j 2, ,1=是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = 3设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ;),2,1(s P A PP =均为方阵; A 可逆的充要条件是PP A 均可逆;s P ,2,1=;且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ;则称矩阵A 和矩阵B 等价;记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =;在等价意义下的标准型：若r A r =)(;则r D A ≅;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ;r I 为r 阶单位矩阵.. 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅..第三章 线性方程组一要点1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为n R ;n R 中定义了n 维向量的线性运算;则称nR 为 n 维向量空间..2、向量间的线性关系1线性组合与线性表示；线性表示的判定2线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价;向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法 1设有两个向量组,1α,2αs α )(A,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示;称向量组)(A 和)(B 等价..向量组的等价具有传递性..2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解1线性方程组的消元解法2线性方程组解的存在性和唯一性的判定3线性方程组解的结构4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法5非齐次方程组解的求法二要求1、理解n 维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量一要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化二要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..第五章二次型一要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..。

线性代数中的极小多项式与最小多项式线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换和线性方程组。

在线性代数中，极小多项式和最小多项式是两个重要的概念。

极小多项式是指一个线性变换在其定义域上表现出的最小多项式。

具体而言，假设我们有一个线性变换T和定义域V。

那么T的极小多项式是V上的一个首项系数为1的最低次多项式，使得T满足这个多项式。

换句话说，极小多项式是T的满足最低次多项式条件的多项式。

为了更好地理解极小多项式，我们可以通过一个例子来说明。

假设我们有一个二维向量空间V，线性变换T是将V中的向量向右旋转90度的变换。

我们可以通过矩阵来表示T，即：T = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}现在我们想找出T的极小多项式。

我们首先可以尝试一个一次多项式，即p(x) = x。

计算p(T)得到：p(T) = T = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}这个结果与T相同，说明我们需要一个更高次数的多项式来描述T。

我们再尝试一个二次多项式，即p(x) = x^2。

计算p(T)得到：p(T) = T^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}这个结果不同于T，说明我们需要一个更高次数的多项式来描述T。

我们再尝试一个三次多项式，即p(x) = x^3。

计算p(T)得到：p(T) = T^3 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}这个结果与T相同，说明我们找到了T的极小多项式，即p(x) =x^3。

第二章第3课多项式-七年级上册初一数学（人教版）引言多项式是初中数学中的重要内容之一。

它在代数学中起着重要的作用，并且在实际应用中也有广泛的应用。

本文将介绍多项式的定义、运算以及常见的一些性质和应用。

1. 多项式的定义多项式是由若干项经过有限次的加、减、乘运算得到的代数表达式。

每一项都由一个常数与一个或多个变量的乘积组成。

常数称为系数，变量称为未知数或变量，乘积称为项。

多项式可以用字母表示，如：P(x)=a n x n+a n−1x n−1+...+a1x1+a0，其中n为非负整数，a n,a n−1,...,a1,a0为常数。

例如，3x2+2x−1就是一个多项式，其中3是x2的系数，2是x的系数，-1是常数项。

2. 多项式的运算多项式可以进行加、减、乘运算。

下面分别介绍这些运算：加法多项式的加法就是将同类项相加。

同类项是指具有相同幂次的项。

例如，将多项式2x3+3x2+4x+1和5x3−2x2+x−2相加，得到7x3+x2+5x−1。

减法多项式的减法就是将减数中的每一项取相反数，然后再进行加法运算。

例如，将多项式2x3+3x2+4x+1和5x3−2x2+x−2相减，得到−3x3+5x2+3x+3。

乘法多项式的乘法是将每一个项相乘并进行合并。

例如，将多项式2x3+3x2+ 4x+1和5x−2相乘，得到10x4+15x3−4x2+8x−2。

3. 多项式的性质多项式有许多重要的性质，下面介绍其中几个常见的性质：次数多项式的次数是指最高幂次。

例如，多项式2x3+3x2+4x+1的次数是3。

系数多项式中每一项的系数是指变量的乘幂前面的数。

例如，多项式2x3+3x2+ 4x+1中，2是x3的系数，3是x2的系数，4是x的系数，1是常数项。

零多项式全为零的多项式称为零多项式。

零多项式的次数没有定义。

单项式只有一项的多项式称为单项式。

例如，3x2就是一个单项式。

多项式相等两个多项式相等是指它们具有相同的系数和相同的幂次。

线性代数中的特征多项式的求解与应用在学习线性代数的过程中我们常常会遇到用特征值和特征向量来描述矩阵的变换特性的问题。

然而，更基本的问题是如何快速准确地求出矩阵的特征值和特征向量，这就需要用到特征方程和特征多项式。

本文将对特征多项式的求解与应用进行探讨。

一、特征多项式的定义特征多项式是一个关于一个n阶矩阵A的多项式f(λ)=|λE-A|，其中E是n阶单位矩阵，|·|表示矩阵的行列式。

特征多项式将一个矩阵转化为一个关于λ的多项式，代入λ即可求得其特征值。

二、特征多项式的求解为了求解特征多项式，我们可以采用逐步消元的方法，将矩阵A的行列式展开成一个关于λ的多项式。

这个方法虽然可行，但比较麻烦，特别是对于大规模的矩阵来说。

因此，我们可以采用以下的方法来快速求解特征多项式：1. 德莱弗公式德莱弗公式是求解特征多项式的一种通用方法。

对于一个n阶矩阵A来说，其特征多项式可以表示为：f(λ)=|λE-A|=∏i=1n(λ-λi)，其中λi为A的第i个特征值。

因此，我们可以通过求矩阵A的n个特征值来得到其特征多项式。

2. 特征多项式的递推公式对于一个n阶矩阵A来说，其特征多项式有一个非常重要的性质，即它可以通过递推公式来求解。

具体来说，设A是一个n阶矩阵，那么它的特征多项式f(λ)可以表示为：f(λ)=λn-b1λn-1-...-bn其中bi是A的i阶主子式的行列式。

这个式子是一个线性多项式，因此可以用递推公式来求解。

可以发现，这个方法的时间复杂度为O(n3)，效率非常高。

三、特征多项式的应用特征多项式在线性代数中有非常重要的应用。

以下是特征多项式的几个典型应用：1. 求解矩阵的特征值和特征向量对于一个n阶矩阵A来说，它的特征值和特征向量可以通过求解其特征多项式来得到。

如果一个矩阵A有n个不同的特征值，那么它就可以被对角化，即可以将其变换为一个对角矩阵D。

此时，原矩阵A的特性就可以被完全描述为一个关于特征值的问题。

第三章线性代数1多项式多项式是代数学中最基本的对象之一, 它不但与高次方程的讨论有关, 而且是进一步学习代数以及其它数学分支的基础.1.1 多项式生成及类型测试在Maple中, 多项式由名称、整数和其他Maple值, 通过+、-、*和^等组合而成. 例如：> p1:=5*x^5+3*x^3+x+168;p1 + + +5x53x3x168:=这是一个整系数单变量多项式. 多元多项式和定义在其他数域上的多项式可以类似构造：> p2:=3*x*y^2*z^3+2*sqrt(-1)*x^2*y*z+2002;3x y2z32I x2y z2002p2 + +:=由此可以看出, Maple中多项式的生成与“赋值”命令相似.另外, 还可以通过函数randpoly生成随机多项式, 生成一个关于vars的随机多项式的格式如下：randpoly(vars, opts);其中, vars表示变量或者变量列表或集合, opts为可选项方程或者指定属性的名称. 如：> randpoly(x); ＃随机生成关于x的5次(默认)多项式42x588x476x365x225x28- + - - + +> randpoly([x, y], terms=8); ＃随机生成关于[x, y]二元8项多项式78x y62x311x2y88x3y x y330y481x4y5x2y3- + + + + + + -> randpoly([x, sin(x), cos(x)]);cos x343()sin x86x2()sin x4()cos xcos x5x4()cos x91()cos x2x3()73()- - + + - +sin x()sin x()而要随机生成关于[x, y, z]的密集的、均匀的、度为2的多项式的命令为：> randpoly([x,y,z],dense,homogeneous,degree=2);85x255z x37y x35z297y z50y2- - - - + +用type命令可以测试多项式的类型：> type(p1, polynom(integer, x)); #测试p1是否是一个关于x的整系数多项式true> type(p2, polynom(complex, {x, y, z})); #测试p2是否是一个关于{x, y, z}的复系数多项式true1.2 提取多项式系数coeff函数用来提取一元多项式的系数, 而多元多项式所有系数的提取用命令coeffs, 指定系数的提取用命令coftayl.(1) 提取多项式p中x^n的系数使用命令：coeff(p, x^n);或coeff(p, x, n);(2) 提取多项式p中变量x的所有系数并将相应的x幂存于变量t中：coeffs(p, x, ’t’);(3) 返回expr在x=a处的Taylor展式中(x-a)^k的系数: coeftayl(expr, x=a, k);> p:=2*x^2+3*y^3*x-5*x+68;2x23y3x5x68p + - +:=> coeff(p, x);3y35-> coeff(x^4-5*x^2-sin(a)*(x+1)^2, x^2);5()sin a- -> s:=3*x^2*y^2+5*x*y;3x2y25x y:=s +> coeffs(s);,53> coeffs(s, x, 't');5y3y2,> t;,x x2> coeftayl(exp(x), x=0, 10);1> p:=3*(x+1)^3+sin(Pi/3)*x^2*y+x*y^3+x-6;:= p + + + - 3() + x 13123x 2y x y 3x 6 > coeftayl(p, x=-1, 1); - + 13y y 3> coeftayl(p, [x, y]=[0, 0], [1, 0]);10返回默认为降序排列的多元多项式的首项和末项系数分别使用命令lcoeff 、tcoeff ： > lcoeff(p, x);3> tcoeff(p, x);-31.3 多项式的约数和根1.3.1多项式的最大公约因式(gcd)/最小公倍因式(lcm)求多项式的最大公约因式/最小公倍因式的命令与求两个整数最大公约数/最小公倍数命令一样, 都是gcd/lcm. 命令格式分别为：gcd(p1, p2, 't', 's');lcm(p1, p2, 't', 's');其中, 第3个参数t 赋值为余因子p1/gcd(p1, p2), 第4个参数s 赋值为余因子p2/gcd(p1, p2).> p1:=x^4+x^3+2*x^2+x+1;:= p1 + + + + x 4x 32x 2x 1> p2:=x^2+x+1;:= p2 + + x 2x 1> gcd(p1, p2, 't', 's');+ + x 2x 1> t, s;, + x 211> lcm(p1, p2);() + x 21() + + x 2x 11.3.2多项式的平方根(psqrt)和第n 次方根(proot)求多项式p 的平方根, 若不是完全平方, 则返回_NOSQRT ：psqrt(p);求多项式p的n次方根, 若不是完全n次方, 则返回_NOROOT：proot(p, n);> p:=x^4+4*x^3+6*x^2+4*x+1;x44x36x24x1:=p + + + +> psqrt(p);x22x1+ +> proot(p, 4);+x1> proot(p, 8);_NOROOT1.3.3 多项式相除的余式(rem)/商式(quo)计算p1除以p2的余式, 将商式赋值给q的命令格式为：rem(p1, p2, x, 'q');计算p1除以p2的商式, 将余式赋值给r的命令格式为：quo(p1, p2, x, 'r');余式和商式满足：p1=p2*q+r, 其中degree(r, x)<degree(p2, x)> rem(x^5+x^3+x, x+1, x, 'q');-3> q;x4x32x22x3- + - +> quo(x^3+x^2+x+1, x-1, x, 'r');x22x3+ +> r;41.4 多项式转换及整理1.4.1 将多项式转换成Horner形式将多项式poly转换成关于变量var的Horner形式或者嵌套形式的命令格式如下：convert(poly, horner, var);> convert(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1, horner, x);1()1()+x1x x x x++1()+1()+> convert(x^3*y^3+x^2*y^2+x*y+1, horner, [x, y]);+y2y3x x xy()++1()1.4.2 将级数转换成多项式形式将级数(series)转换成多项式(polynom)事实上就是忽略函数的级数展开式中的余项,其命令格式为：convert(series, polynom);> s:=series(sin(x), x, 10);:= s - + - + + x 16x 31120x 515040x 71362880x 9()O x 10 > type(s, polynom);false> p:=convert(s, polynom);:= p - + - + x 16x 31120x 515040x 71362880x 9 > type(p, polynom);true1.4.3 将级数转换成有理多项式(有理函数)将级数series(laurent 级数或Chebyshev 类型级数)转换成有理多项式(有理函数)ratpoly 的命令格式为：convert(series, ratpoly);> series(exp(x^2), x, 15);+ + + + + + + + 1x 212x 416x 6124x 81120x 101720x 1215040x 14()O x 15 > convert(%, ratpoly);+ + + 1x 61x 41x 21- + - + x 6x 4x 21 1.4.4合并多项式系数(合并同类项)将多项式具有相同次幂的项的系数合并在一起(包括正的、负的或者分数次幂), 即合并同类项(称为多项式的典范形式), 用命令collect:collect(p, x);collect(p, x, form, func);collect(p, x, func);其中x 是表示单变量x 或多变量x1, x2, …, xn 的一个列表或集合.> collect(a*ln(x)-ln(x)*x-x, ln(x));- () - a x ()ln x x> collect(x*(x+1)+y*(x+1), x);;+ + x 2() + 1y x y> collect(x*(x+1)+y*(x+1), y);+ x () + x 1y () + x 1> p := x*y+a*x*y+y*x^2-a*y*x^2+x+a*x:collect( p, [x, y], recursive );++ +1a y1a x()()-+1a y x2()> collect( p, [y, x], recursive );1a x2()+1a x y()+1a x-+()+()> collect( p, {x, y}, distributed );1a x y()+-1a y x2+1a x()+ +()其中的参数recureive为递归式的，而distributed为分布式的。