【知识】线性代数第3章知识梳理

第三章 几何空间一、 向量的运算1. 向量的数量积（1） 在仿射坐标系123{;,,}O e e e 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则112323(,,)y x x x A y y αβ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，其中111213212223313233e e e e e e A e e e e e e e e e e e e ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭. （2） 在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则131233213(,,)i i i y x x x I y x y y αβ=⎛⎫ ⎪⋅== ⎪ ⎪⎝⎭∑ ∙ =0αβαβ⊥⇔⋅2. 向量的向量积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，则123123i jk x x x y y y αβ⨯=. ∙ //=0αβαβ⇔⨯3. 向量的混合积在直角坐标系{;,,}O i j k 中给定两个向量123(,,)x x x α=，123(y ,,)y y β=，123(,,)z z z γ=则123123123(,,)x x x y y y z z z αβγ=. ∙ (,,)0αβγαβγ⇔=，，共面例：（1）设=αβγδ⨯⨯， =αγβδ⨯⨯，证明αδ-，βγ-共线.（2）设0αββγγα⨯+⨯+⨯=，证明αβγ，，共面.（3）证明()()βγααγβγ⋅-⋅⊥.证明：（1）因为()()αδβγ-⨯-=αβαγδβδγ⨯-⨯-⨯+⨯=αβγδαγ⨯-⨯-⨯+0βδ⨯=，所以αδ-，βγ-共线.(2)因为()αβγ=，，()αβγ⨯⋅=()βγγ-⨯⋅()γαγ-⨯⋅=()βγγ-，，()γαγ-，，0=，所以αβγ，，共面.（3） 因为(()βγα⋅())αγβγ-⋅⋅=()βγ⋅()αγ⋅()αγ-⋅()βγ⋅0=，所以()βγα⋅()αγβ-⋅γ⊥.二、 位置关系的判断1. 两个向量的共线；三个向量的共面.2. 两条直线异面，共面（相交、平行、重合）3. 两个平面相交、平行、重合4. 直线与平面相交、平行、直线在平面上.三、距离和垂线（在右手直角坐标系中讨论）1. 点到直线的距离，垂线方程垂线方程：设直线过已知点0000,,)P x y z （方向向量为0()X Y Z υ=，，，求过111(,,)P x y z 点直线的垂线方程。

大学线性代数知识点总结第一章 行列式 二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ奇偶排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:3331222113121100a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零,..化为三角形行列式⑤上下三角形行列式: 行列式运算常用方法主要行列式定义法二三阶或零元素多的 化零法比例化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵矩阵的运算：加法同型矩阵---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)(反序定理 方幂：2121k k k k A A A +=2121)(k k k kA A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵,k 是数,则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数若…… 单位矩阵、上下三角形矩阵若…… 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法,数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵,若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的, B A =-1非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵 初等变换1、交换两行列 2.、非零k 乘某一行列3、将某行列的K 倍加到另一行列初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的对换阵 倍乘阵 倍加阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r矩阵的秩rA ：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆,则满秩 若A 是非奇异矩阵,则rAB=rB 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表,对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=,行列式n ij nn ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆,则其逆矩阵是唯一的.矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的,且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的,且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置T A 也是可逆的,且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的,且111)(---=A B AB 但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆,即使可逆,但11)(--+≠+B A B AA 为N 阶方阵,若|A|=0,则称A 为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵. 5、若A 可逆,则11--=A A伴随矩阵：A 为N 阶方阵,伴随矩阵：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22211211*A A A A A 代数余子式 特殊矩阵的逆矩阵：对1和2,前提是每个矩阵都可逆1、分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O B A D 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----11111C O BC A AD 2、准对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A A A A A , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-----141312111A A A A A 3、 I A A A AA ==** 4、1*-=A A A A 可逆 5、1*-=n A A 6、()()A AA A 1*11*==--A 可逆7、()()**T TA A = 8、()***AB AB =判断矩阵是否可逆：充要条件是0≠A ,此时*11A AA =- 求逆矩阵的方法：定义法I AA =-1伴随矩阵法AA A *1=-初等变换法()()1||-=A I I A n n 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设()nm ij aA *=是mn 阶矩阵,则对A 的行实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m 阶初等矩阵左乘以A ：对A 的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n 阶初等矩阵右乘以A 行变左乘,列变右乘第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵rAB=rB=r 当r=n 时,有唯一解；当n r ≠时,有无穷多解 rAB ≠rB,无解齐次线性方程组：仅有零解充要rA=n 有非零解充要rA<n 当齐次线性方程组方程个数<未知量个数,一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数,有非零解充要|A|=0齐次线性方程组若有零解,一定是无穷多个N 维向量：由n 个实数组成的n 元有序数组.希腊字母表示加法数乘 特殊的向量：行列向量,零向量θ,负向量,相等向量,转置向量 向量间的线性关系: 线性组合或线性表示向量组间的线性相关无：定义179P向量组的秩：极大无关组定义P188定理：如果rj j j ααα,.....,21是向量组s ααα,.....,21的线性无关的部分组,则它是 极大无关组的充要条件是：s ααα,.....,21中的每一个向量都可由rj j j ααα,.....,21线性表出.秩:极大无关组中所含的向量个数.定理：设A 为mn 矩阵,则r A r =)(的充要条件是：A 的列行秩为r.现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ,若βαk =则α是β线性组合单位向量组任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合任意向量组中的一个都是他本身的线性组合 向量组间的线性相关无注： n 个n 维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关,零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例,则他们一定线性相关向量β可由n ααα,..,21线性表示的充要条件是)...()...(2121T Tn TTTnTTr r βαααααα=判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设n k k k ....21,求n k k k ....21适合维数低的2、向量间关系法183P ：部分相关则整体相关,整体无关则部分无关3、分量法n 个m 维向量组180P ：线性相关充要n r Tn T T <⇒)....(21ααα 线性无关充要n r T n T T =⇒)....(21ααα推论①当m=n 时,相关,则0321=T T T ααα；无关,则0321≠T T T ααα ②当m<n 时,线性相关推广：若向量s ααα,...,21组线性无关,则当s 为奇数时,向量组13221,...,αααααα+++s 也线性无关；当s 为偶数时,向量组也线性相关.定理：如果向量组βααα,,...,21s 线性相关,则向量β可由向量组s ααα,...,21线性表出,且 表示法唯一的充分必要条件是s ααα,...,21线性无关. 极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的,但他们所含向量的个数是确定的；不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的. 齐次线性方程组I 解的结构：解为...,21αα I 的两个解的和21αα+仍是它的解； I 解的任意倍数αk 还是它的解；I 解的线性组合s s c c c ααα+++....2211也是它的解,s c c c ,...,21是任意常数.非齐次线性方程组II 解的结构：解为...,21μμII 的两个解的差21μμ-仍是它的解；若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的一个解,则u+v 是II 的一个解. 定理：如果齐次线性方程组的系数矩阵A 的秩n r A r <=)(,则该方程组的基础解系存在,且在每个基础解系中,恰含有n-r 个解.若μ是非齐次线性方程组AX=B 的一个解,v 是其导出组AX=O 的全部解,则u+v 是II 的全部解.第四章 向量空间向量的内积 实向量定义：α,β=n n T b a b a b a +++=....2211αβ 性质：非负性、对称性、线性性 α,k β=k α,β; k α,k β=2k α,β;α+β,δγ+=α,γ+α,δ+β,γ+β,δ;),(),(1111j i sj j ri i j sj j ri i i l k l k βαβα∑∑∑∑===== n R ∈δγβα,,,,向量的长度),(ααα=0=α的充要条件是α=0；α是单位向量的充要条件是α,α=1单位化 向量的夹角正交向量：αβ是正交向量的充要条件是α,β=0 正交的向量组必定线性无关 正交矩阵：ｎ阶矩阵Ａ I A A AA T T ==性质：1、若A 为正交矩阵,则Ａ可逆,且T A A =-1,且1-A 也是正交矩阵；２、若A 为正交矩阵,则1±=A ；３、若A 、Ｂ为同阶正交矩阵,则ＡＢ也是正交矩阵； ４、ｎ阶矩阵Ａ＝ij a 是正交矩阵的充要条件是Ａ的列行向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量 特征值、特征向量A 是N 阶方阵,若数λ使AX=λX,即λI-A=0有非零解,则称λ为A 的一 个特征值,此时,非零解称为A 的属于特征值λ的特征向量. |A|=n λλλ...**21 注： 1、AX=λX2、求特征值、特征向量的方法0=-A I λ 求i λ 将i λ代入λI-AX=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵,有重根、单根、复根、实根主要学习的特殊：n I )(λ的特征向量为任意N 阶非零向量或)(21不全为零i n c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4、特征值： 若)0(≠λλ是A 的特征值则1-A --------λ1 则m A --------m λ则kA --------λk若2A =A 则-----------λ=0或1若2A =I 则-----------λ=-1或1若k A =O 则----------λ=0迹trA ：迹A=nn a a a +⋯⋯++2211性质：1、N 阶方阵可逆的充要条件是A 的特征值全是非零的2、A 与1-A 有相同的特征值3、N 阶方阵A 的不同特征值所对应的特征向量线性无关4、5、P281相似矩阵定义P283：A 、B 是N 阶矩阵,若存在可逆矩阵P,满足B AP P =-1,则矩阵A 与B 相似,记作A~B性质1、自身性：A~A,P=I2、对称性：若A~B 则B~A B AP P =-1 1-=PBP A A BP P =---111)(3、传递性：若A~B 、B~C 则A~C B AP P =-111 C BP P =-212---C P P A P P =-)()(211214、若AB,则A 与B 同不可逆5、若A~B,则11~--B A B AP P =-1两边同取逆,111---=B P A P6、若A~B,则它们有相同的特征值. 特征值相同的矩阵不一定相似7、若A~B,则)()(B r A r = 初等变换不改变矩阵的秩例子：B AP P =-1则1100100-=P PB AO AP P =-1 A=OI AP P =-1 A=II AP P λ=-1 A=I λ矩阵对角化定理：N 阶矩阵A 与N 阶对角形矩阵相似的充要条件是A 有N 个线性无关的特征向量注：1、P 与^中的i i x λ与顺序一致2、A~^,则^与P 不是唯一的推论：若n 阶方阵A 有n 个互异的特征值,则~^A P281定理：n 阶方阵~^A 的充要条件是对于每一个i K 重特征根i λ,都有i i K n A I r -=-)(λ注：三角形矩阵、数量矩阵I λ的特征值为主对角线.约当形矩阵约当块：形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλ111J 的n 阶矩阵称为n 阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n J J J J 21i J 是约当块称为约当形矩阵. 定理：任何矩阵A 都相似于一个约当形矩阵,即存在n 阶可逆矩阵J AP P =-1.第六章 二次型二次型与对称矩阵只含有二次项的n 元多项式f 称为一个n 元二次型,简称二次型. 标准型：形如 的二次型,称为标准型.规范型：形如 的二次型,称为规范型.线性变换矩阵的合同：设AB 是n 阶方阵,若存在一个n 阶可逆矩阵C,使得 则称A 与B 是合同的,记作A B.合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换二次型中不含有平方项。

线性代数[第三章n维向量]⼭东⼤学期末考试知识点复习第3章 n维向量⼀、n维向量的概念1．n维向量的定义由n个数a1，a2，…，a n所组成的⼀个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为⼀个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常⽤希腊字母α，β，γ，…来表⽰，其分量常⽤⼩写拉丁字母a，b，c，…来表⽰．2．零向量所有分量都是零的向量称为零向量．3．负向量向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．⼆、向量的线性运算1．向量的加法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．2．数与向量的乘法设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)3．向量的减法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．4．向量的线性运算向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满⾜以下⼋条运算规律：(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα三、向量的线性组合1．向量的线性组合的定义设β，α1，α2，…，αn是⼀组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成⽴，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表⽰．2．⼏个常⽤结论(1)零向量可由任意同维向量组线性表⽰；(2)向量组中的任⼀向量可由该向量组线性表⽰；(3)任⼀n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε线性表⽰，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．n四、向量组的等价1.定义设有两个向量组α1，α2，…，αm，(1)β1，β2，…，βn．(2)若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表⽰，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表⽰．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表⽰，则称两向量组等价，记作{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．2．向量组的等价性质向量组的等价满⾜反⾝性、对称性、传递性．五、向量组线性相关与线性⽆关1．定义设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成⽴，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性⽆关．线性⽆关的⼏种等价定义：(1)对任意⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠θ(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．2．⼏个常⽤结论(1)由⼀个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成⽐例．(3)含有零向量的任⼀向量组线性相关．(4)若⼀个向量组中有⼀个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若⼀个向量组线性⽆关，则它的任⼀部分组都线性⽆关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体⽆关，部分⽆关”．(5)⼀个线性⽆关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加⼀些分量所得到的⾼维向量组仍线性⽆关．逆否命题：⼀个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去⼀些分量所得的低维向量组仍线性相关．(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性⽆关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中⾄少有⼀个向量是其余s-1个向量的线性组合．(8)若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，⽽α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表⽰，且表⽰法惟⼀．(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则s≤t．(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．(11)两个等价的线性⽆关的向量组必含有相同个数的向量．六、向量组的极⼤线性⽆关组1．极⼤线性⽆关组的概念向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极⼤⽆关组(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表⽰．(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．2．关于极⼤线性⽆关组的常⽤结论(1)含⾮零向量的任⼀向量组⼀定存在极⼤⽆关组．(2)线性⽆关向量组的极⼤⽆关组是其⾃⾝、．(3)任何向量组均与其极⼤⽆关组等价．(4)⼀个向量组的任意两个极⼤⽆关组都含有相同个数的向量．七、向量组的秩1．向量组的秩的定义向量组α1，α2，…，αs的任⼀极⼤⽆关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．2．关于向量组的秩的常⽤结论(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；(2)向量组α1，α2，…，αs线性⽆关?r(α1，α2，…，αs)=s；(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs)(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性⽆关的部分组都是其极⼤线性⽆关组．⼋、矩阵的⾏秩与列秩1．定义矩阵A的⾏(列)向量组的秩称为A的⾏(列)秩．2．矩阵秩的性质(1)对任何矩阵A，都有A的⾏秩=A的列秩=r(A)；(2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；(4)r(A+B)≤r(A)+r(B)．九、极⼤⽆关组的求法1.矩阵的初等⾏(列)变换不改变其列(⾏)向量间的线性关系2．求向量组α1，α2，…，αs的⼀个极⼤⽆关组的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有⼀个r阶⼦式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr 即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组．3．求向量组α1，α2，…，αs的极⼤⽆关组并将其余向量⽤该极⼤⽆关组表出的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B；(3)再通过初等⾏变换化为⾏简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系．⼗*、向量空间1.向量空间的定义设V是⾮空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间．2．向量空间的⽣成3．向量空间的相等若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)．4．向量空间的⼦空间设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的⼦空间．5．向量空间的基及其维数设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满⾜(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)V中任⼀向量都可由α1，α2，…，αr线性表⽰；则称α1，α2，…，αr为V的⼀个基，r称为V的维数．⼗⼀、重点难点（⼀）重点(1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后⾯讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握．(2)向量的线性组合、线性相关、线性⽆关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性⽆关的有关性质及判别法，并能灵活应⽤．(3)向量组的极⼤⽆关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作⽤；此外，还应当掌握求向量组的极⼤⽆关组的⽅法．(4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其⾏(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的⽅法，并能通过秩这⼀重要⼯具来判断向量组的线性相关性．（⼆）难点(1)向量组的线性相关性的证明．常见的⽅法有：定义法、利⽤有关结论及定理、利⽤齐次线性⽅程组有⽆⾮零解、利⽤向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等．(2)向量组的秩与线性⽅程组有关理论的证明．。

线性代数知识点总结（第3章）（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα2、长度定义：||α||=3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+a n b n=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AA T=E ←→ A-1=A T←→ A T A=E → |A|=±1 （二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件：（了解即可）若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。

7、线性表示的求法：（大题第二步）设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0（三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1）α线性相关←→α=0（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例9、线性相关的充要条件：向量组α1，α2，…，αs线性相关（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=0有非零解；★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关（1）←→ r（α1，α2，…，αn）＜n（2）←→|α1，α2，…，αn |=0（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关★推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1，α2，…，αs线性无关（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=0只有零解（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关←→r（α1，α2，…，αn）=n ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。

线性代数知识点总结第一章 行列式一要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =;元素ij a 的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理5、克莱姆法则二基本要求1、理解n 阶行列式的定义2、掌握n 阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A +⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式;各行列元素之和等于同一个常数的行列式;利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵一要点1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表..当n m =时;称A 为n 阶矩阵;此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式;称为矩阵A 的行列式;记为A .注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..如果两矩阵A 与B 相乘;有BA AB =;则称矩阵A 与B 可换..注：矩阵乘积不一定符合交换2方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ;个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0;其中I 为单位阵 .3 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ;A 为方阵;矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ;其中I 为单位阵..4n 阶矩阵A 和B ;则B A AB =.5n 阶矩阵A ;则A A nλλ=4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵若矩阵A 可逆;则其逆矩阵是唯一的；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ; E A A A AA ==**矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质..6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵..7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价二要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如n m A ⨯;l n B ⨯;将矩阵B 分块为) (21l b b b B =;其中j b l j 2, ,1=是矩阵B 的第j 列;则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =;其中j p n j 2, ,1=是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = 3设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ;),2,1(s P A PP =均为方阵; A 可逆的充要条件是PP A 均可逆;s P ,2,1=;且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ;则称矩阵A 和矩阵B 等价;记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =;在等价意义下的标准型：若r A r =)(;则r D A ≅;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ;r I 为r 阶单位矩阵.. 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅..第三章 线性方程组一要点1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为n R ;n R 中定义了n 维向量的线性运算;则称nR 为 n 维向量空间..2、向量间的线性关系1线性组合与线性表示；线性表示的判定2线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价;向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法 1设有两个向量组,1α,2αs α )(A,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示;称向量组)(A 和)(B 等价..向量组的等价具有传递性..2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解1线性方程组的消元解法2线性方程组解的存在性和唯一性的判定3线性方程组解的结构4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法5非齐次方程组解的求法二要求1、理解n 维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量一要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化二要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..第五章二次型一要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..。

线性代数第三章总结概述线性代数是数学的一个重要分支，探究了向量空间和线性变换的性质与运算规律。

本文主要总结线性代数第三章的内容，包括矩阵的基本知识、矩阵运算以及逆矩阵的求解方法等。

矩阵的基本知识矩阵是线性代数中最重要的概念之一，它是由数字构成的一个矩形数组。

矩阵可以表示为一个m行n列的二维矩形，用符号A表示。

在矩阵中，每个数字称为一个元素，用aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵的大小由行数m和列数n决定，记作m×n。

矩阵可以进行加法和数乘运算。

对于两个矩阵A和B，只有当它们的行数和列数相同时，才能进行加法运算 A + B。

数乘运算是指将一个矩阵的每个元素乘以一个实数。

矩阵运算矩阵运算是线性代数中的重要内容，常见的矩阵运算包括矩阵的乘法、转置和求逆等。

矩阵乘法矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，当A的列数等于B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。

乘法运算的结果是一个新的矩阵C，它的行数等于A的行数，列数等于B的列数。

矩阵乘法的计算规则是将A的第i行与B的第j列对应元素相乘，然后将乘积相加。

矩阵乘法可以用以下公式表示：Cij = ∑(AikBkj)其中∑ 表示对k的求和。

矩阵转置矩阵的转置是指将矩阵的行变为列，列变为行。

对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵记作AT，转置矩阵的行数等于A的列数，列数等于A的行数。

转置矩阵的运算规则是将A的第i行变为AT的第i列，将A的第j列变为AT的第j行。

逆矩阵的求解逆矩阵是指对于一个n×n的矩阵A，存在一个矩阵B，满足A乘以B等于单位矩阵I，同时B乘以A也等于单位矩阵I。

这个矩阵B被称为A的逆矩阵，记作A-1。

逆矩阵的求解需要满足以下条件： - 矩阵A的行数等于列数，即A是一个方阵。

- 矩阵A的行列式不等于0，即|A| ≠ 0。

如果一个矩阵满足上述条件，则可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。

具体的求解步骤如下： 1. 计算A的伴随矩阵C，其中Cij = (-1)i+j × Mij，Mij是A的代数余子式。

线性代数学习笔记——第三章线性代数学习笔记——第三章肝了两个多⼩时，还是肝完了⼀篇笔记，借鉴了很多其他⼤佬的整理。

（不过基本上还是宋浩⽼师的原话），今天的任务算是完成⼀半了，我东某⼈真是可悲！向量的定义n维向量：n个数组成的有序数组。

⾏向量（α1,α2,α3)。

列向量将上述的竖着写。

零向量：分量全部为零。

负向量：取相反数。

向量相等：同维数，元素对应相等。

只有同维向量才能⽐较⼤⼩，以及相加。

kα = 0 ⇔ k = 0 or α = 0 。

矩阵：AB = 0 ⇏ A=0 or B=0。

向量间的线性关系线性关系：零向量可由任意向量组表⽰。

向量组中任⼀向量可由向量组表⽰eg：\alpha1=\alpha1 + 0\alpha2 + 0\alpha3。

任意向量都可由n维单位向量组表⽰。

向量组的等价：①：同维。

②：两个向量组可以相互线性表⽰。

线性组合：β、α1……αn。

若β可以⽤α向量组表⽰出来，那么就叫β是α向量组的线性组合（或者称β可以由α向量组线性表⽰）。

同时在表⽰的过程中系数可以全取零。

反⾝性、对称性、传递性均适⽤。

线性相关：α1、α2……αn是n个m维向量组，若存在⼀组不全为0的k1,k2……k n,使得k1α1 + ……+ k nαn= 0，那么则叫α1……αn是线性相关。

线性⽆关：①：不是线性相关。

②：找不到⼀组不全为0的k1……k n满⾜线性相关的条件。

③：使得k1+k2+……+k n=0的k1，k2……必定全为零。

向量组中两向量成⽐例，向量组必线性相关。

含零向量的向量组必线性相关。

⼀个⾮零向量必⽆关。

⼀个向量α相关\Leftrightarrowα=0 。

部分组线性相关\longrightarrow整体组线性相关。

整体组线性⽆关\longrightarrow部分组线性⽆关。

线性⽆关的向量组，它的接长向量组也线性⽆关。

线性相关的向量组，它的截短向量组也线性相关。

n个n维向量（维数 = 个数）构成的⾏列式D \neq 0,那么线性⽆关，否则相关。

线性代数知识点总结（第3章）（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα2、长度定义：||α||=3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+a n b n=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AA T=E ←→ A-1=A T←→ A T A=E → |A|=±1 （二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件：（了解即可）若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。

7、线性表示的求法：（大题第二步）设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0（三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1）α线性相关←→α=0（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例9、线性相关的充要条件：向量组α1，α2，…，αs线性相关（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=0有非零解；★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关（1）←→ r（α1，α2，…，αn）＜n（2）←→|α1，α2，…，αn |=0（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关★推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1，α2，…，αs线性无关（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=0只有零解（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关←→r（α1，α2，…，αn）=n ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。

第一章行列式主要知识点一、行列式的定义和性质1.余子式和代数余子式的定义2.行列式按一行或一列展开的公式1）2）3.行列式的性质1）2）用数k乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k倍. 推论3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0.5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.二、行列式的计算1.二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形（或对角形）行列式的计算.3.对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4.行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式第二章矩阵主要知识点一、矩阵的概念1.要分清矩阵与行列式的区别2.几种特殊矩阵（0矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵）二、矩阵的运算1.矩阵A , B的加、减、乘有意义的充分必要条件2.矩阵运算的性质比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法、乘法的交换律和结合律；乘法关于加法的分配律）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点）.3.转置对称阵和反对称阵1）转置的性质2）若A T=A （A T= - A），则称A为对称（反对称）阵4.逆矩阵1）方阵A可逆（也称非异，非奇异，满秩）的充分必要条件是.当A可逆时，.2）方阵A的伴随阵的定义。

重要公式；与A -1的关系（当方阵A可逆时，）3）重要结论：若n阶方阵A,B满足AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B ，B-1=A.4）逆矩阵的性质：; ; .5）消去律：设方阵A可逆，且AB=AC（BA=CA），则必有B=C。

（若不知A可逆，仅知A≠0结论不一定成立。

本章结构0 m n m n A x b A x ⨯⨯⇓⎧→⎪=⎨→⎪⎩⎧→⎪=⎨→→⎪⎩矩阵表示消元法非齐次向量表示向量与向量组的线性组合线性方程组矩阵表示消元法齐次向量表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组、秩　齐次线性方程组 非齐次线性方程组解的性质、基础解系、全部解　解的性质、全部解 常用方法：1−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−→初等行变换初等行变换初等行变换非零首元上面元素消成零非零首元消成“”相应矩阵阶梯形简化阶梯行最简阶梯 1、矩阵A 化等价标准形A −−−−→初等行变换阶梯形，求出矩阵A 的秩r ，则标准形 r I O D O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭2、求矩阵A 的逆()()1A I IA -→3、消元法求线性方程组Ax b =的解增广矩阵()A b →行最简阶梯4、求矩阵A 的秩A →阶梯形5、判断向量β能否由向量组12,,,s ααα线性表示以12,,,,s αααβ为列向量的矩阵→行最简阶梯6、求向量组12,,,s ααα的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示以12,,,s ααα为列向量的矩阵→行最简阶梯7、用基础解系表示(非)齐次线性方程组的全部解增广矩阵()A b →行最简阶梯一、用消元法求解非齐次线性方程组m n A x b ⨯=1、() A b 初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A 和(,)r A b2、观察()r A 和(,)r A b 的关系：(1) ()(,)r A r A b ≠，方程组无解；(2) ()=(,)r A r A b ，方程组有解： ①、()=(,)r A r A b n =，方程组有唯一解； ②、()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解.3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。

第三章 向量一． n 维向量的定义：数域F 中n 个数构成的有序数组。

二． n 维向量的运算：向量加法，数乘三． 线性组合与线性表出四． 线性相关与线性无关重要结论与定理：1) 单个向量线性无关。

2) 包含零向量的向量组一定线性相关。

（证明）3) 一个向量组线性相关,则加上任意多个(有限个)向量后，新向量组仍线性相关。

(局部相关,整体相关)（证明）4) 若一个向量组线性无关,取出其中任一部分也必定线性无关。

(整体无关，局部无关)5) 任意n+1个n 维向量，必定线性相关。

（齐次线性方程组方程个数小于未知量个数时，有非零解）6) 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量，得到的新向量组（称为原向量组的加长组）仍线性无关。

（无关组加长组仍无关）7) 一个向量组是线性相关，在相同位置去掉分量，得到新的向量组（称为原向量组的缩短组）仍线性相关。

（相关组缩短组相关）8) 若12,,,s ααα 线性无关，而12,,,,s βααα 线性相关，则β必可由12,,,s ααα 线性表出，且表示方法唯一。

（证明）9) 向量组Ⅰ12:,,,s ααα ，向量组Ⅱ12:,,,t βββ ，Ⅱ中每一个向量都可由Ⅰ表出，t s>则向量组Ⅱ12:,,,t βββ 一定线性相关。

（个数多的可由少的线性表出，多的一定线性相关）10) 若向量组12,,,t βββ 可由12,,,s ααα 线性表出，且12,,,t βββ 线性无关，则t s >。

（无关的向量组不能由比它个数少的向量组线性表出） 五．向量组的极大无关组与向量组的秩1 极大无关组的定义2 极大无关组的性质1) 一个向量组与它的任一个极大无关组之间可以互相线性表出。

2）一个向量组S 的任意两个极大无关组S 1，S 2之间也可互相线性一表出。

（S 1，S 2等价）3）一个向量组任意两个极大无关组所含向量个数必一样多。

相关例题例3.1设12,,,s ααα 是一组n 维向量，则下列正确的是（ ）A ． 若12,,,s ααα 不线性相关，就一定线性无关。