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线性代数第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩

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第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩

第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩

第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。

在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。

但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。

例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z yxv vv t z y x ,,,,,,称为七维向量。

更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。

这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。

§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。

数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。

向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。

向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛na a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。

行向量、列向量都表示同一个n 维向量。

设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。

分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。

下面讨论n 维向量的运算。

定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。

矩阵的秩与向量组线性相关性的判定

矩阵的秩与向量组线性相关性的判定

矩阵的秩与向量组线性相关性的判定作者：单彩虹李慧珍夏静来源：《文理导航·教育研究与实践》2016年第06期【摘要】向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，本文通过两个例子来看一下矩阵的秩在向量组线性相关性判定中的应用。

【关键词】向量；矩阵；线性代数矩阵、向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，它们关系密切，无法割裂开来。

矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩也是判定向量组线性相关性常用的方法。

下面我们就通过两个例子来看一下矩阵的秩在判定向量组线性相关性时的应用。

向量组线性相关性判定定理向量组a1，a2，…am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=（a1，a2，…am）的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R（A）=m。

例1设b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar且向量组a1，a2，…，ar线性无关，证明向量组b1，b2，…，br线性无关。

证先把向量组b1，b2，…，br由向量组a1，a2，…，ar线性表示的关系式写成矩阵形式：记为B=AK，因为detK=1，所以K是可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知R（b1，b2，…，br）=（a1，a2，…，ar）又因为a1，a2，…，ar线性无关，由向量组线性相关性判定定理可知R（a1，a2，…，ar）=r，从而有R（b1，b2，…，br）=r，再次运用定理知向量组b1，b2，…，br线性无关。

例2 设b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1，证明向量组b1，b2，…，br线性相关。

证一根据题设可得b1-b2+b3-b4=（a1+a2）-（a2+a3）+（a3+a4）-（a4+a1）=0由定义，知向量组b1，b2，…，br线性相关。

证二两向量组表示的矩阵形式为：因为detK=0，所以R（K）由矩阵秩的性质知R（b1，b2，b3，b4）≤R（K）由判定定理，向量组b1，b2，…，br线性相关。

线性代数_ 向量组的线性相关性与矩阵的秩_

线性代数_ 向量组的线性相关性与矩阵的秩_

上一页
定理1
若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为零，而 所有的 k+1 阶子式全为零，则 r ( A ) = k .
证： 由于 A 的所有 k + 1 阶子式全为零，则 A 的任 一 k + 2 阶子式按某行( 列 )展开后必为零，进而全 部高于 k + 1 阶的子式全为零。 又由于 A 中至少有一个 k 阶子式不为零, 故 A 的最高阶非零子式为 k 阶，因此 r ( A ) = k .
定义2
设 A 为 m n 矩阵，在 A 中任取 k 行 k 列 ( 1 ≤ k ≤ min{m, n}), 由交叉处的 k2 个元素 ( 不改变它们的相对 位置 ) 所构成的方阵称为A的一个k 阶子阵，其行列式 称为 A 的一个 k 阶子式。
取矩阵 A 的前 k 行前 k 列所构成的子阵称为矩阵 A 的 k 阶顺序主子阵，其行列式称为 A 的 k 阶顺序主子 式。
反之, 如果 k1bi1 krbir 0,
则
k1Pai1
kr Pair
两边左乘P1
0 k1ai1
krair
0.
因此结论成立。
上一页
推论1
设矩阵A, B, P 满足 B = PA，其中P为 可逆阵。则 （1） r(A) = r(B); （2） A, B 的列向量组的极大无关组一 一对应，并 且其余向量由极大无关组线性表示相同
a j k1ai1 krair b j k1bi1 krbir .
推论2
矩阵 A 经初等行变换化为矩阵 B, 则 A, B具有定 理2及推论1的结论。
上一页
例1
1 1 2 1
求矩阵 A 3 1
0
2
的秩.
1 3 4 4

线性代数 线性相关性与秩

线性代数 线性相关性与秩

将(r +1)阶行列式Dj按最后一列展开，有：
a1 j A1 + a2 j A2 +
α1 A1 + α 2 A2 +
+ arj Ar + ar +1, j Dr = 0
j = 1,2, ,n
按向量形式写，上式为：
+ α r Ar + α r +1 Dr = 0 ∵ Dr ≠ 0, ⇒ α1 , α 2 , , α r +1线性相关, 从而α1 , α 2 , , α m 线性相关。
若存在一组不全为零的数 k1 , km , 使向量组 α1 , k1α1 + kmα m ≠ 0, 则 α1 , α m线性无关
α m的线性组合
× √
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 线性无关 ⇔ 该向量组中任意t (1 ≤ t ≤ m)个线性无关
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 中任取两个向量线性无关 ⇒ 该向量组线性无关
称为向量组的秩，记为 r (α1 , α 2 , , α m ). r(0)=0 注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。 （2）向量组线性无关⇔秩=向量个数。
若α1 , α 2 , , α m 可由β1 , β 2 , , β s 线性表示，则 定理3： r (α1 , α 2 , , α m ) ≤ r ( β1 , β 2 , , βs )
注: 1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.
例:求向量组的极大无关组. α1 = (1,2,−1), α 2 = ( 2,−3,1), α 3 ⎛1 2 ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜α 2 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 ⎟ → ⎜ 0 − 7 ⎜0 − 7 ⎜ α ⎟ ⎜ 4 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝

线性代数课件第三章矩阵的秩课件

线性代数课件第三章矩阵的秩课件

VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。

线性代数--第三章向量线性关系秩

线性代数--第三章向量线性关系秩

不妨设k10, 则有:
α1
k2 k1
α2
k3 k1
α3
α ks k1 s
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组
数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有
1+k22+ …+kss =0
这里1, k2 , …,ks不全为零, 所以1,2, …,s线性相关.
两个向量线性相关的几何意义是这两向量共线;
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.
例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1+2k3, k1+k2+3k3, 2k1k2+3k3)=(0,0,0)
k1+2k3 0 k1+k2 +3k3
0
2k 1k2 3k3 0
解得: k1=2k2=2k3. 比如取k1=2, 则有21+2 3=0
所以1, 2, 3线性相关.
显然, 一个向量组成的向量组线性相关=0
证明 不妨设1,2, …,r, …,s中1,2, …,r线性相关, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, 使: k11+k22+ …+krr=0. 所以有: k11+k22+ …+krr+0r+1+ …+0s =0 而k1,k2 , …,kr,0,…,0不全为零, 所以1,2, …,s线性相关.

向量组的线性相关性和矩阵的秩练习题答案

向量组的线性相关性和矩阵的秩练习题答案

第三章向量组的线性相关性和矩阵的秩（一）基本要求：（二）内容分析和教学指导（1）从解方程的过程引出所要解决的问题，每个方程对应于一个行向量，某个方程可由其它方程表示，则该方程可去掉，为无效方程。

这对应于讨论向量组中是否有某个向量可由其它向量线性表示，即向量的线性相关性问题。

去掉无效方程后的方程求解，需要确定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系数行列式不等于零的问题（2）向量的线性运算及其性质，和矩阵的运算相对应。

（3 ）向量线性相关性的定义和判断：线性相关性定义使用于理论证明，把相关性问题转化为向量方程（即方程组）有无非零解的问题，而等价定义使相关性的含义更加明确。

为了加深相关性的定义，对与一个向量，两个向量和三个向量线性相关的几何意义加以强调：单个零向量是线性相关的，两个向量相关是指两个向量共线，三个向量相关是共面。

通过利用相关性定义来判断向量组线性相关，重点培养学生的利用概念分析判断，进行逻辑推理的能力。

定义理解中的误区：（1 ）定义中的系数是独立的，（2 ）非零组合系数是相对向量组的，不同向量组对应的系数可能不同，（ 3 ）向量组线性相关则至少有一个向量可以由其它向量线性表示，至于是那一个向量是依赖于具体的向量组，并不是每个向量都可由其它向量变来表示。

列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示，行向量组线性相关性和线性表示的矩阵表示。

重点是列向量组表示的矩阵形式（4 ）相关表示式的分量形式是理解相关性定理的基础和本质，一个分量对应一个方程，一个向量对应一个未知数。

用子式判断向量的线性相关性的方法，子式不等于对应于只有零解，对应于线性无关，子式等于零对应于有非零解，对应线性相关。

（5 ）最大无关组和矩阵的秩：重点理解矩阵秩的定义和含义，牢固建立矩阵和向量组的对应关系。

矩阵的秩等于行向量组的秩，等于列向量组的秩，就是非零子式的最高阶数。

掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关系，子式为零对应于线性相关，子式非零对应于线性无关。

向量组和矩阵秩

向量组和矩阵秩

k1= -4 , k2 =5, k3= 1 所以 1 ,2 ,3 线性相关.
湖南科技大学 吴晓勤
13
例3 设向量组 1,2 ,3线性无关， 1 1 ，2 2 2 3 ，3 3 1，试证向量组 1, 2 , 3也
线性无关。
证 对任意的常数，令
i 1
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就
称

1
,
2
,
线性无关。
s
当

1
,
2
,
是行向量组时，它们线性相关就是指有
s
非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
1
(k1
,
k2
,ks
)2s


0
湖南科技大学 吴晓勤
10
当1
,
量，其中
(a1, a2 ,, an )
(b1, b2 ,, bn )
湖南科技大学 吴晓勤
4
定义2 如果 和 对应的分量都相等，即
ai=bi，i=1,2,…,n
就称这两个向量相等，记为
定义3 向量 （a1+b1,a2+b2,…,an+bn）
称为 与 的和，记为 。称向量
m1 j1
向量组1,2 ,s 中每一个向量都可以经向量组
1, 2 , p 线性表出。因而，向量组 1,2 ,s 可以经向量组 1, 2 , p 线性表出。
湖南科技大学 吴晓勤
23
向量组的等价具有下述性质：
(1)反身性：向量组1,2 ,s与它自己等价；
1 一个向量线性相关=0;无关 0. 2 两个向量线性相关对应元素成比例;无关对应

线性代数简明教程(方小娟编 科学出版社)第三章、向量空间

线性代数简明教程(方小娟编 科学出版社)第三章、向量空间

1 2 1 0 1 = 2 − 1 − 0 1 3 1 1
定义3 向量组 α1,α2 ,⋯αm，如果该向量组对零向量 定义 只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一， 只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一， α1,α2 ,⋯αm 线性无关，否则，称其线性 则称向量组 线性无关，否则，称其线性 相关。 相关。 定义3 称为线性相关 线性相关的 定义 / 向量组 α1,α2 ,⋯αm 称为线性相关的，如果 存在一组不全为零的数k 存在一组不全为零的数 1,k2,…,km，使
是线性相关的， 是线性相关的，因为
α3 = 3α1 −α2
定理2 定理
线性无关， 设向量组 β1 , β2 ,⋯βt 线性无关，而向量组
线性相关， β1, β2 ,⋯, βt ,α 线性相关，则 α 能由向量组 β1 , β2 ,⋯, βt 线性表示，且表示式是唯一的。 线性表示，且表示式是唯一的。 线性相关， 证 由于β1 , β2 ,⋯, βt ,α 线性相关，就有不全为零的 数k1,k2,…, kt,k，使 ，
向量 称为 的数量乘积， 数乘， 的数量乘积 简称数乘 α 与k的数量乘积，简称数乘，记为 kα 。 称为零向量， 称为零向量，记为
(ka1,ka2,…,kan)T
(0,0 ⋯ 0)T 定义4 定义 分量全为零的向量
ϑ
= (0,0⋯ 0)T ϑ
α 与-1的数乘 (−1)α = (−a1 ,−a2 ,⋯,−an )T 定义5 定义 的数乘 的负向量， 称为 α 的负向量，记为 −α
即 =2ε1 − 5ε2 + 3ε3 + 0ε4 β
所以， 的线性组合， 所以，称 β 是ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 的线性组合， 线性表示。 或 β 可以由 ε1,ε2 ,ε3 ,ε4 线性表示。

向量组线性相关性讨论

向量组线性相关性讨论

充分性 设 R(A)<m ，证α1, α2, …, αm 线性相关.
当A为零矩阵时, 显然. 当R(A)≥1时
设R(A) = r，不失一般性，设A的左上角的 r 阶 子式D≠0。只要证明前r+1个向量 α1, α2, …, αr+1 线性相关，那么部分向量组线性相关，则整体 向量组亦线性相关.
要证α1, α2, …, αr+1 线性相关，由定义就是要 说明存在r+1个不全为零的数： k1, k2, …, kr+1 ， 使得
k k k 0.
11
22
r 1 r 1
写成分量形式，即方程组：
k1a11
ka 2 21
ka r1 r1,1
0
k1a12
ka 2 22
ka r1 r1,2
0
k1a1n
ka 2 2n
ka r1 r1,n
0
或
k a k a k a 0
1 1t
2 2t
r 1 r 1,t
t 1,2,n
即要证明上述方程组有非零解: k1, k2, …, kr+1 . 考虑r+1阶行列式：
a 11
a 21
D t a r1 a r 1,1
a 1r
a 2r
a rr
a r 1,r
a 1t
a 2t t 1,2,,n
a rt
a r 1,t
显然，当 t ≤ r 时，因 Dt 中有两列相同，所 以 Dt=0 ，当t > r时(假如存在), 则 Dt 是A的r+1 阶子式，由 R(A)=r 知 Dt=0. 这就是说，对于t =1, 2, …, n，总有 Dt=0 , 于是将Dt最后一列展开得

向量线性相关性与秩

向量线性相关性与秩

例3
已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关 , b1 1 2 ,
b2 2 3 , b3 3 1 , 试证b1 , b2 , b3线性无关 .
证 设有x1 , x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0 即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
T m
T 2
T 1


T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个同维的向量所组成的向量组 可以构成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1 , 2 ,, m , 构成一个n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
方程组 结论 向量组A线性相关就是齐次线性 x1 1 x2 2 xm m 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A ( 1 , 2 , m ).
向量组1 , 2 ,, m线性相关
存在不全为0的x1 , x2 , xm , 使得
a11 x1 a12 x 2 a1m x m 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 m x m 0 齐次线性方程组 a n1 x1 a n 2 x 2 a nm x m 0 有非零解 a11 a12 a1n
则存在一组数k1 ,ki 1 , ki 1 ,km , 满足
i k11 ki 1i 1 ki 1i 1 kmm
即存在不全为0的数k1 ,ki 1 , 1 ki 1,km , ，
使得k11 ki 1i 1 (1)i ki 1i 1 kmm 0

第三章向量组的线性关系与秩(课堂PPT)

第三章向量组的线性关系与秩(课堂PPT)

1 0 0
2 0 0
5 2 0
103000
1 0 0
2 0 0
5 1 0
1 3 02
—
性 代 数 教 案 华 南 理
4
0
0
0
1 1
0 0
0 2
0 0
0 0
1 0
3
13
2
3
2 0
4 0 0 0
0 1 0 0
2 2 0 0
0 0 1 0
19 2
13
2
3
2
0
工 大 学 广 州
华 非零解(无非零解(只有零解)).
南
理 工 大
n个n维向量 1,2,L,n线性相关 1,2,L,n0
学
广 州
n个n维向量 1,2,L,n线性无关 1,2,L,n0
学
院
.
17
与线性相关性有关的性质：
—
联 合 班
① 1,2,L,s线性相关 至少有一个 i 可以用其
他向量线性表示。
线
性 代
②当向量的个数s大于维数n时，1,2,L,一s 定线
—
线 性
则说1,2,L,s线性相关,否则就说它们线性无关.
代
数 教
说明:① 意义和定义是一致的.比如设 c s 不为0,则
案 华 南
sc c1 s 1c c2 s 2Lccs s1 s1
理 ② 当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关(无关)就
工 大
是它是(不是)零向量.
学
广
州
学
③
学
院
.
12
—
3．等价关系：如果 1,2,,s与 1,2,,t互相可

(整理)第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩

(整理)第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩

第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。

在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。

但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。

例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z y xv v vt z y x ,,,,,,称为七维向量。

更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。

这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。

§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。

数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。

向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。

向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n a a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。

行向量、列向量都表示同一个n 维向量。

设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。

分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。

下面讨论n 维向量的运算。

定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。

矩阵的向量空间矩阵的秩与线性相关性

矩阵的向量空间矩阵的秩与线性相关性

矩阵的向量空间矩阵的秩与线性相关性矩阵是线性代数中的重要概念之一，它描述了向量与线性变换之间的关系。

在研究矩阵的性质时，向量空间的概念也十分重要。

本文将探讨矩阵的向量空间以及矩阵的秩与线性相关性之间的关系。

一、矩阵的向量空间矩阵可以看作是由一组向量组成的。

向量是指在向量空间中的一个点，它可以由一组有序的数值表示。

在研究向量的性质时，我们需要考虑向量的线性组合、线性相关和线性无关等概念。

对于一个由m×n个实数构成的矩阵A，我们可以将它看作是一个m 维n列的向量，进而构成一个向量空间。

向量空间的性质包括零向量、加法、标量乘法等运算。

通过这些运算，我们可以得到向量空间的维数和基。

二、矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵所包含的线性无关的列或行的最大个数。

秩的计算方法包括初等行变换和初等列变换。

一个m×n矩阵的秩不会超过m和n中的较小值。

当矩阵的秩等于m或n时，该矩阵被称为满秩矩阵。

秩的概念在矩阵求解、线性方程组求解等问题中具有重要作用。

通过计算矩阵的秩，我们可以得到矩阵的列空间和行空间，进而得到矩阵的零空间和左零空间。

这些空间描述了矩阵的线性相关性和线性无关性。

三、矩阵的线性相关性矩阵的线性相关性指的是矩阵中的向量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数，使得矩阵中的向量的线性组合等于零向量。

如果矩阵中的向量线性无关，则称矩阵是线性无关的。

线性相关性与矩阵的秩密切相关。

如果一个矩阵的秩小于其行数或列数，那么该矩阵线性相关。

反之，如果一个矩阵的秩等于其行数或列数，那么该矩阵线性无关。

矩阵的线性相关性对于解决线性方程组、求解特征值等问题非常关键。

通过判断矩阵的线性相关性，我们可以确定矩阵是否存在解，进而求解出相关的数值。

综上所述，矩阵的向量空间与矩阵的秩、线性相关性之间存在密切的关系。

研究矩阵的向量空间可以帮助我们理解矩阵的性质和运算规律。

而矩阵的秩和线性相关性则是研究矩阵在线性代数中的一些重要性质的关键概念。

矩阵的秩与线性相关性

矩阵的秩与线性相关性

矩阵的秩与线性相关性矩阵是线性代数中的基础概念之一，而矩阵的秩与线性相关性是研究矩阵性质的重要方面。

本文将探讨矩阵的秩的概念、计算方法以及与线性相关性之间的关系。

一、矩阵的秩的概念在线性代数中，一个m × n的矩阵A可以视为由m个行向量和n个列向量组成的矩阵。

矩阵的秩是指矩阵中的线性无关向量组的极大数目。

具体来说，如果一个矩阵A的某一组向量可以通过线性组合得到另一组向量，那么这两组向量是线性相关的，反之则是线性无关的。

矩阵的秩就是这个线性无关向量组的向量个数。

二、矩阵秩的计算方法在实际计算矩阵的秩时，可以通过高斯消元法或者矩阵的特征值分解等方法来得到矩阵的秩。

1. 高斯消元法高斯消元法是一种常用的计算矩阵秩的方法。

该方法通过行变换将矩阵转化为行阶梯形或者行最简形，然后通过矩阵中非零行的个数来确定矩阵的秩。

2. 特征值分解特征值分解是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算矩阵秩的方法。

根据特征值的个数以及零特征值的个数，可以确定矩阵的秩。

三、矩阵的秩与线性相关性的关系矩阵的秩与线性相关性有着密切的联系。

线性相关的向量组可以被表示为矩阵的列向量，而线性无关的向量组可以被表示为矩阵的行向量。

具体来说，对于一个m × n的矩阵A，如果其秩为r，那么矩阵A 的列向量组即为n个线性相关的向量，其中r个向量是线性无关的。

同样地，矩阵A的行向量组即为m个线性相关的向量，其中m - r个向量是线性无关的。

线性相关的向量组会导致矩阵的秩下降，这是因为线性相关的向量组包含有冗余信息，可以通过其他向量来表示。

而线性无关的向量组则不会出现这种问题，每个向量都是不可替代的。

四、矩阵的秩与解的存在性矩阵的秩与线性方程组的解的存在性也有关联。

对于一个m × n的矩阵A，如果其秩为r，则可以将其转化为行阶梯形或者行最简形。

如果方程组的个数n大于矩阵的秩r，则方程组有无穷多个解；如果n等于r，则方程组有唯一解；如果n小于r，则方程组无解。

线性代数课件PPT第三章 线性方程组 S1 向量组与矩阵的秩

线性代数课件PPT第三章 线性方程组 S1 向量组与矩阵的秩

i
am1 am2 amn m
向量组 1 ,2 , ,m 称为矩阵A的行向量组．
11
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1, 2 ,, m ,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成
的向量组1, 2 , m ,构成
li hi 0, (i 1, 2, , s)
即 li hi , (i 1, 2, , s)
所以表示法唯一. 例5和例6的结论可作为定理使用
24
三、几个有关的结论
定理2 n阶行列式|A|=det(aij)=0 它的n个行（列） 向量线性相关.
25
推论 n阶行列式|A|≠0 它的n个行(列)向量线 性无关.
(a1 , a2 , , an ),
注意
b1
b2
bn
行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算.
9
§3.1.1.2向量组的线性相关性
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成 的集合叫做向量组．
例如1 A
矩阵A
a11 a21
(a
2
a12
a22
ij)mn
但是，若A为可逆矩阵，则可以得到B=O.
| An | n | A |
注意: 矩阵与行列式线性运算的不同点，以及
(AB)T=BTAT
|AnBn| = |An| |Bn| = |Bn| |An|
2
3. 掌握逆矩阵及其性质、矩阵可逆的充要条 件，会用伴随矩阵求二阶矩阵逆矩阵． 如： |A|≠0时A可逆，或对于方阵A，若存在 方阵B，使 AB=E (AB=BA=E)则A可逆。 (AT)−1=(A−1)T, (AB)−1=B−1A−1, |A−1|=|A|−1 A−1=A* / |A|，注意A*中元素的排列顺 序 对任意方阵A，有 AA*=A*A=|A|E

第3章-向量组

第3章-向量组

3
0,
因 1， 2， 3 线性无关，故有
18

x1
x 3 0, 0, x 2 x 3 0.
列式 1 0 2 0 1
x1 x2
由于此方程组的系数行 1 1 0
故方程组只有零解 b 1 , b 2 , b 3 线性无关 .
0 1 1
x 1 x 2 x 3 0，所以 向量组
不全为零的数 k 1 , k 2 , , k m , 使
2
k 1 1 k 2
k m
m
0
, 不妨设 k i 0 ,
因 k 1 , k 2 , k m 中至少有一个不为零
则

i
(
k1 ki
) 1 ( ( k i1 ki )
k i1 ki
中，
每一个方程中变量的系数就构成一个 n 维行向量.
4
n
维向量的实际意义
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 机翼的转角 机身的水平转角


(

2


)
2 ( )
( 0 2 )
飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z) 所以，确定飞机的状态，需用6维向量
1)
则
3 2 1 2
2
即 3 可由 1 ,
经线性运算得到.
12
定义（线性组合）
对于向量
, 1 ,
2
1
2
, ,
m
如果有一
组数 1 , 2 , , m , 使
1
1
2
m

向量的线性相关性与矩阵的秩

向量的线性相关性与矩阵的秩

第三章 向量的线性相关性与矩阵的秩3.1 设()()()T T T 110,011,111321−=−==ααα。

（1） 计算 32121322;2ααααα+−+−。

（2） 求满足方程的向量ξ： ξαξααξ23)(3)(321+=+−− 。

（3） 计算.T T T T T T a a a a a a 1321322121;;;αααα3.2 设n 阶矩阵 ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==T n T Tn A αααααM L 2121，n αα,,1L 和T n T ααL L ,,1分别称作矩阵A 的列向量组和行向量组，见（2.13）和（2.14）。

利用 A A I I A ==，证明： ，n i A A T i T i i i ,,1,;L ===αεαε其中i ε是单位向量组。

3.3 把向量β表示成向量组 i α的线性组合。

（1） ()()()()T T T T 110,101,011,011321===−=αααβ；（2）()()(),1111,1111,112121T T T −−===ααβ()()T T 1111,111143−−=−−=αα；（3）()()(),1312,1011,100021T T T ===ααβ()()T T 1110,001143−−==αα。

3.4 判别下列向量组是否线性相关。

（1） ；()(T T 642,32121−−−==αα)（2） ()()()T T T 621,520,111321===ααα；（3） ()(),0130,421121T T =−=αα()T 47033=α； （4）()(),3122,625421T T −=−=αα()()T T 6514,933643−=−=αα。

3.5 求数，使得 l k ,（1） ()()()T T T k 910,203,154321===ααα线性相关；（2） ()(),0123,111221T T −==αα()T k 0213−=α 线性无关； （3）()()()T T T l k 10,00,321321===ααα线性无关。

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第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。

2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。

3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。

3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。

4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。

（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。

两个向量构成的向量组线性相关的=对应的分量成比例。

5、向量组等价：两个n维向量组A : ?1<'2^' ^ m B : _1, '2^' , 's，如果B组中的每一个向量能有向量组A线性表示，则称向量组B能有向量组A线性表示。

如果向量组A与向量组B能相互线性表示，则称向量组A与向量组B等价。

6、最大线性无关组：设有向量组A,如果在A中能选出r个向量〉i，〉2,…r，满足（1）向量组宀宀,…Cr,线性无关；（2）向量组A中任意r +1个向量（如果A中有r +1个向量的话）都线性相关，则称向量组宀，〉2，…Cr是向量组A的一个最大线性无关组，最大线性无关组中含的向量r称为向量组A的秩注：含有零向量的向量组的秩规定为0,一个向量组A的最大线性无关组不唯一。

3.1.3向量空间的有关概念1、向量空间：n维向量的非空集合V , V对于加法和乘数运算封闭，称非空集合V为向量空间。

2、子空间：设V1和V2是向量空间，如果V1 V2,称V1是V2的子空间。

3、基：设V为向量空间，如果r个向量〉1厂2厂，〉r • V，且满足（1）〉1，〉2,i,〉r,线性无关，（2）V中每一个向量都可有〉1，〉2「」「线性表示，称向量组>1, >2,…，：r为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数。

3.1.4矩阵的秩与矩阵的初等变换1、矩阵的秩：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为R（A）注：（1）零矩阵的秩为零；n阶单位矩阵E的秩为n；行阶梯形距阵的秩为非零行的行数；（2）R（A） - min、行数，列数'2、矩阵的初等变换：矩阵的如下三种变换称为初等行（或列）变换（1 ）对调距阵的两行（或列），第i行与第j行对调，记为r i= r j（2）以数k = 0乘以某一行（或列）中的所有元素，第i行乘以k，记为r i k（3）把某一行（或列）中的所有元素的k倍加到另一行（或列）对应的元素上去，第j行的k倍加到第i行上，记为r i kr j矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换3、行阶梯形距阵：特点是可以画一条阶梯线，线的下方全为0；每一个台阶只有一行台阶数是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零丿元。

4、行最简形矩阵：特点是行阶梯形距阵中，非零行的第一个非零元都为1,且这些1 所在的列的其他元素都为0。

5、矩阵等价：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，称矩阵A与矩阵B等价，记为A~ B6、初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

（1）由单位矩阵E的第i行与第j行对调得到的初等矩阵记为E（i, j），（E的第i列与第j 列对调也得到的初等矩阵E（i, j））（2）由单位矩阵E的第i行乘以数k = 0得到的初等矩阵记为E（i（k）），（E的第i列乘以数k = 0得到的初等矩阵也是E（i（k））（3）由单位矩阵E的第j行乘以数k加到第i行上（r i ' kr j）得到的初等矩阵，记为E(i, j(k))( E 的第i 列乘以数k 加到第j 列上(5 kG )得到的初等矩阵也是E(i, j(k))§3 • 2 有关定理与性质3.2.1向量组的线性相关性的有关定理定理1向量-能有向量组A : 「厂2，,「m 线性表示的充分必要条件是矩阵A = (〉1，〉2,…Cm )的秩等于矩阵B =(〉1,〉2,…=m , J 的秩。

定理2向量组〉1「2 ,…〉m 线性相关的充分必要条件是其所构成的矩阵A = ( >1, -»2 , ,"m )的秩小于向量组 "1,"2, ,"m 中的向量个数 m ；向量组 "1, " 2 , ,m 线性无关的充分必要条件是矩阵A 的秩R( A)二m 。

推论 n 个n 维向量组线性无关的充分必要条件是由向量组构成的矩阵对应的行列式 不等于零。

线性无关。

反言之，如果向量组 B : ：1, ：2,…厂m 线性相关，则向量组 A ： 〉1,〉2,…「m 也线性相关。

(3)m 个n 维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数 m 时，该向量组一定线 性相关。

(4) 设向量组A :「厂2,厂m 线性无关，而B ：5厂2,厂m ,-线性相关,则向量1必能有向量组 A : 〉1「2「「m 线性表示，且表示式是唯一的。

定理4 矩阵的秩等于其行向量组的秩也等于其列向量组的秩。

定理5 设向量组B 能有向量组 A 线性表示，则向量组 B 的秩不大于向量组 A 的秩。

推论1等价的向量组的秩相等。

推论2设C m 炀-A m 爲B s 矯，则矩阵C m 和的秩R(C ) — R( A), R(C)兰R( B)3.2.2矩阵的初等变换的有关定理定理1如果矩阵A 等价与矩阵 B ，即A ~B ，则矩阵A 的秩等于矩阵 B 的秩，即 R(A)二 R(B) 定理2设A 是一个m n 矩阵，对A 进行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相 应的m 阶初等矩阵；对 A 进行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的n 阶初等矩 阵。

注(1)由于 E (i,j)E (i,j) = E ，所以 Ei,j 匸=Ei,j定理3(1)如果向量组A : '1,'2,：m 线性相关，则向量组B ：〉1「2,…「m 「m1也线性相关。

反言之，如果向量组 〉1「2,…「m 「m1线性无关，则向量组A :P -33尸j 一 5a rj(2)设向量分量后得到：j ，如果向量组 A ： 〉1「2, ，(j =1,2/ ,m)，即向量:j 添加一个：m 线性无关，则向量组 B : ：1厂2,…厂m 也Ct ；=定理3设A 是一个可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵P, P2,…,P ，使得A = RF2…R推论 m n 矩阵A 等价于B 的充分必要条件是：存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q,使得 PAQ = B 。

从而向量组J线性相关。

解法2 由于'3 1 5^ 「1去-0 12 '>1 ——r 31 0 1、2-1 00 -1 -2 「3 十2 .-------------------------------- 7 0 1 2 (%“2,°3 )=0 1丿0 1丿<0 0 0丿矩阵0102 口3) 的秩等于 2,有定理2向量组％，°203线性相关31 52-1 0 =0解法3由于 10 1矩阵(^1，。

2，%)的秩小于3，有定理2向量组a1 0203线性相关注：解法1采用线性相关性的定义；解法 2是采用初等行变换利用向量组的线性相关性 与向量组所构成的矩阵的秩的关系来解，是经常用的方法；解法 3是利用方阵的行 列式与方阵的列向量组的秩的关系来解。

(2)由于1 E%))E 「E，所以(3)由于 E(i, j(—k))Ei, j k 二 E ,所以 I.E i, j(k) l'=Ei,j( — k)§3 • 3 向量组的线性相关性的有关问题例题分析亦即3x 1 x 2 5x 3 二 0 2x 1 - X 2+ X 2=0 X i =0(1)-1=0由于(1)的一组非零解，所以(1 )有非零解，设X 1二匕公2二k 2,X 3二k3是 -0方程组kv 1 k^ 2k 3： 3 例讨论向量组例 2 设向量组 a 1,02,03 线性无关， ％ =01 +。

2,02 =。

2 +。

3 用3 =G 1 +0（3证明：向量组：1> ‘2厂3线性无关。

证法1：设有数X l ,X 2,X 3使得Xj x 2 2 X 3 3 =0XlC l 叱：2） X 2（： 2 比3）X 3（： 3 也 1）= 0（X 1 X 3）： 1 （X 1 X 2）： 2 （X 2 X 3）： 3 =0（2） 若匕出,…，匕是实数，则 G 1 k 2：2“ "，的充分必要条件是k 「：1 k 2「k/n =0？（3） 方程组A X =0与Bx =0是同解方程组 解（1）正确，因为等价的矩阵有相同的秩 （2）正确，因为 A= “〉2…」m 经过初等行变换到 B= j 「2…，冷，存在1 —可逆矩阵P ，使得PA = B ，即P 〉J = ：J j =1,2…，n，'厂P : Jkr 1 k 2〉2 …一k n 十 P 4（k 1 ：1 k 2k n =）显然炉1 + k?% +…+ k" = 0，的充分必要条件是k 1卩1 * k 2卩2 +…* kn S = 0。